高中数学选修2-2综合测试卷

综合检测

一、选择题

1.“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”.此推理方法是( ) A.完全归纳推理 B.归纳推理 C.类比推理 D.演绎推理 答案 B

解析 由特殊到一般的推理为归纳推理.故选B.

2.复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A.2＋i B.2－i C.5＋i D.5－i 答案 D

解析 由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝5

2－i ＝2＋i ，

∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i.

3.设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A.10 B.10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D.11ln 10

答案 B

解析 ∵f ′(x )＝10x ln 10＋

1

x ln 10

，∴f ′(1)＝10ln 10＋lg e ，故选B. 4.如图，在复平面内，向量OP →对应的复数是1－i ，若将OP →向左平移1个单位长度后得到O 0P 0→

，则点P 0对应的复数为( )

A.－i

B.1－2i

C.－1－i

D.1－i 答案 A

解析 ∵O 0P 0→＝OP →，OO 0→

对应的复数是－1，

∴点P 0对应的复数，即OP 0→

对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.

5.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋1

2n )

时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要利用归纳假设再证( ) A.n ＝k ＋1时等式成立 B.n ＝k ＋2时等式成立 C.n ＝2k ＋2时等式成立 D.n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B

解析 由k ≥2且k 为偶数知选B.

6.函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝－4

b ＝11 B.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4b ＝11 C.⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝－1

b ＝5 D.以上都不对 答案 B

解析 ∵f ′(x )＝3x 2

－2ax －b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a －b ＝0，1－a －b ＋a 2

＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－3或⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝－4，

b ＝11.经检验a ＝3，b ＝－3不合题意，应舍去.

7.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( )

①z 1，z 2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z 1，z 2是虚数. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①

答案 C

解析 ②是大前提，③是小前提，①是结论.

8.设f (x )＝1

3x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围是( )

A.[－5，＋∞)

B.[－∞，－3]

C.(－∞，－3]∪[－5，＋∞)

D.[－5，5] 答案 C

解析 因f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，若f (x )在[1,3]上为单调函数且单调递增，则x ∈[1,3]时，x 2＋2ax

＋5≥0恒成立，即2a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋5x ，而x ∈[1,3]，x ＋5

x

≥25， ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋5

x ≤－25，∴2a ≥－25，a ≥－5，若f (x )在[1,3]上单调递减，则x ∈[1,3]时，x 2＋2ax ＋5≤0恒成立，即2a ≤－⎝⎛⎭⎫x ＋5x ，而x ∈[1,3]时，记h (x )＝x ＋5x ，h max ＝h (1)＝6，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋5x ≥－6，∴2a ≤－6，a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞).

9.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则|AG ||GD |＝

2”.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则|AO |

|OM |等于( )

A.1

B.2

C.3

D.4 答案 C

解析 面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，

|AG ||GD |＝2类比|AO |

|OM |

＝3，故选C. 10.已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( ) A.f (x 1)＞0，f (x 2)＞－1

2

B.f (x 1)＜0，f (x 2)＜－1

2

C.f (x 1)＞0，f (x 2)＜－1

2

D.f (x 1)＜0，f (x 2)＞－1

2

答案 D

解析 函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个根，由数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f (x )

递增，所以f (x 1)＜f (1)＜f (x 2)，即f (x 1)＜－a ＜f (x 2)，所以f (x 1)＜0，f (x 2)＞－1

2.故选D.

二、填空题

11.若实数x ，y 满足(1－i)x ＋(1＋i)y ＝2，则xy 的值是 . 答案 1

解析 由(1－i)x ＋(1＋i)y ＝2得(x ＋y )＋(－x ＋y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，

y ＝1，

∴xy ＝

1.

12.由抛物线y ＝1

2

x 2，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成的图形的面积是________.