高中数学选修2-2综合测试卷

合集下载

高中新课标数学选修(2-2)综合测试题(4)

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1、函数2x y =在区间]2,1[上的平均变化率为（）（A ）2 （B ）3 （B ）4 （D ）52曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为（）（A ）38 （B ）37 （C ）35（D ）343、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（）（A ）e1 （B ）e1-（C ）e2 （D ）e2-4、设ai b bi a ++,,1是一等比数列的连续三项，则b a ,的值分别为（）（A ）21,23±=±=b a （B ）23,21=-=b a（C ）21,23=±=b a （D ）23,21-=-=b a5、方程)(04)4(2R a ai x i x ∈=++++有实根b ，且bi a z +=，则=z （）（A ）i 22- （B ）i 22+（C ）i 22+- （D ）i 22--6、已知三角形的三边分别为c b a ,,，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为a s (21=rc b )++；四面体的四个面的面积分别为4321,,,s s s s ，内切球的半径为R 。

类比三角形的面积可得四面体的体积为（）（A ）R s s s s V )(214321+++= （B ）Rs s s s V )(314321+++=（C ）Rs s s s V )(414321+++= （D ）R s s s s V )(4321+++=7、数列 ,4,4,4,4,3,3,3,2,2,1的第50项是（）（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）118、在证明12)(+=x x f 为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是小前提；④函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（）（A ）①② （B ）②④ （C ）①③ （D ）②③9、若R b a ∈,，则复数i b b a a )62()54(22-+-++-表示的点在（）（A ）在第一象限（B ）在第二象限（C ）在第三象限（D ）在第四象限 10、用数学归纳法证明不等式“)2(2413212111>>+++++n nn n ”时的过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（）（A ）增加了一项)1(21+k（B ）增加了两项)1(21121+++k k（C ）增加了两项)1(21121+++k k ，又减少了11+k ；（D ）增加了一项)1(21+k ，又减少了一项11+k ；11、如图是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2221x x +等于（）（A ）32 （B ）34 （C ）38 （D ）31212、对于函数233)(x x x f -=，给出下列四个命题：①)(x f 是增函数，无极值；②)(x f 是减函数，有极值；③)(x f 在区间]0,(-∞及),2[+∞上是增函数；④)(x f 有极大值为0，极小值4-；其中正确命题的个数为（）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4班级：姓名：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间]0,3[-上的最大值与最小值分别为：14、若i z 311-=，i z 862-=，且21111z z z =+，则z 的值为；15、用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 .16、物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为12-=t v （v 的单位是s m /，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为t v 81+=，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动。

部编版高中数学选修二综合测试题带答案典型例题

(名师选题)部编版高中数学选修二综合测试题带答案典型例题单选题，则该函数在x=1处的切线斜率为（）1、已知函数f(x)=x−1xA．0B．1C．2D．32、我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长3、设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝（）A．139B．153C．144D．178，对任意的n∈N∗都有na n=(n+2)a n+1，则S2021=（）4、已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=12A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010115、若函数f(x)=x 2−ax +lnx 在区间(1,e )上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．[3,+∞)B ．(−∞,3]C ．[3,e 2+1]D ．[e 2+1,3]6、若等差数列的首项是−24，且从第10项开始大于0，则公差d 的取值范围是（） A ．[83,+∞)B ．(−∞,3)C ．[83,3)D ．(83,3]7、已知函数f (x )=(x −1)(x −2)(x −3)，则曲线y =f (x )在点(2,0)处的切线方程为（） A ．y =x +2B ．y =−x +2C ．y =x −2D ．y =−x −28、设曲线y =e 2ax (e =2.718…为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线及直线2x −y −1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则a =（） A ．−1B ．−14C ．14D ．1 多选题9、若直线y =12x +b 是函数f(x)图像的一条切线，则函数f(x)可以是（）A ．f(x)=1x B ．f(x)=x 4C ．f(x)=sinx D ．f(x)=e x 10、下列四个选项中，不正确的是（） A ．数列23,34,45,56，…的一个通项公式是a n =n n+1B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，−1，1，−1，…与数列−1，1，−1，1，…是同一数列D ．数列12,14，…，12n 是递增数列11、设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，S 1=1，S n+1=n+2nS n ，且b n =a n+12an a n+2，则下列结论正确的是（）A ．a 2021=2021B ．S n =n (n+1)2C ．b n =1−1n (n+2)D ．13≤T n −n <34填空题12、已知数列{a n }满足a 1=32，a n+1=3a na n +3，则数列{a n }的通项公式为______．部编版高中数学选修二综合测试题带答案(四十四)参考答案1、答案：C分析：利用导数的定义求解.因为f(1+Δx)−f(1)=(1+Δx)−11+Δx −(1−11)，=Δx+1−11+Δx =Δx+Δx1+Δx，所以斜率k=limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx，=limΔx→0(1+11+Δx)=1+1=2．故选：C2、答案：C分析：先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}，其中a1=15寸，a13=135寸，公差为d寸，则135=15+12d，解得d1=10（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}，首项b1=135，末项b13=15，公差d2=−10（单位都为寸）.故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7=b1+6d2=135−60=75，∵秋分的晷长为a7，∴a7=a1+6d1=15+60=75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；∵小雪的晷长为a11，∴a11=a1+10d1=15+100=115，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4=a1+3d1=15+30=45，b4=b1+3d2=135−30=105，∴b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.故选：C.小提示：关键点点睛：本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点.3、答案：B分析：根据数列的通项公式，可得数列{an}为等差数列，即可求得a1,d，进而可得前n项和S n，所求可化简为S15−2S3，代入公式，即可得答案.∵an＝2n－7，∴a n+1−a n=2(n+1)−7−(2n−7)=2，∴数列{an}为等差数列，且a1＝－5，d＝2.∴前n项和S n=na1+n(n−1)d2=−5n+n(n−1)×22=n2−6n.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝−a1−a2−a3+a4+⋅⋅⋅+a15=−S3+(S15−S3)=S15−2S3=153.故选：B4、答案：C解析：由na n=(n+2)a n+1，可得n(n+1)a n=(n+1)(n+2)a n+1，数列{n(n+1)a n}为常数列，令n=1，可得n(n+1)a n=2a1=1，进而可得a n=1n(n+1)，利用裂项求和即可求解.数列{a n}满足a1=12，对任意的n∈N∗都有na n=(n+2)a n+1，则有n(n+1)a n=(n+1)(n+2)a n+1，可得数列{n(n+1)a n}为常数列，有n(n+1)a n=2a1，得n(n+1)a n=1，得a n=1n(n+1)，又由a n=1n(n+1)=1n−1n+1，所以S2021=1−12+12−13+⋅⋅⋅12021−12022=1−12022=20212022．故选：C小提示：方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如a n =(−1)n f (n )类型，可采用两项合并求解. 5、答案：B分析：由f ′(x )≥0分离常数a ，利用构造函数法，结合导数，求得a 的取值范围. 依题意f ′(x )=2x −a +1x ≥0在区间(1,e )上恒成立，即a ≤2x +1x在区间(1,e )上恒成立，令g (x )=2x +1x(1<x <e )，g ′(x )=2−1x 2=2x 2−1x 2=(√2x+1)(√2x−1)x 2>0，g (x )在(1,e )上递增，g (1)=3，所以a ≤3.所以a 的取值范围是(−∞,3]. 故选：B 6、答案：D分析：直接写出等差数列的通项公式，由a 9⩽0且a 10>0联立不等式组求得公差d 的取值范围．解：∵等差数列的首项是−24，则等差数列的通项公式为a n =−24+(n −1)d ，要使从第10项开始为正，则由{a 10=−24+9d >0a 9=−24+8d ⩽0 ，解得：83<d ⩽3．故选：D ． 7、答案：B分析：求得函数f (x )的导数，得到切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.由题意，函数f (x )=(x −1)(x −2)(x −3)=(x −2)[(x −1)(x −3)]，可得f ′(x )=(x −1)(x −3)+(x −2)[(x −1)(x −2)]′，所以曲线y =f (x )在点(2,0)处切线的斜率为k =f ′(2)=−1, 所以切线方程为y −0=−(x −2)，即y =−x +2. 故选：B. 8、答案：B分析：由导数的几何意义，求得切线的方程y =2ax +1，根据围成的四边形有外接圆，得到切线与直线2x −y −1=0垂直，列出方程，即可求解.由题意，函数f (x )=e 2ax ，可得f ′(x )=2ae 2ax ，则f ′(0)=2a ，即曲线y =e 2ax 在点(0,1)处的切线的斜率为k =2a ，所以切线方程为y −1=2ax ，即y =2ax +1，要使得切线与直线2x −y −1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则满足两直线垂直，即2a ×2=−1，解得a =−14.故选：B. 9、答案：BCD分析：求得已知直线的斜率k ，对选项中的函数分别求导，可令导数为k ，解方程即可判断结论解：直线y =12x +b 的斜率为k =12，由f(x)=1x的导数为f ′(x)=−1x2，即切线的斜率小于0，故A 不正确；由f(x)=x 4的导数为f ′(x)=4x 3，而4x 3=12，解得x =12，故B 正确；由f(x)=sinx 的导数为f ′(x)=cosx ，而cosx =12有解，故C 正确；由f(x)=e x 的导数为f ′(x)=e x ，而e x =12，解得x =−ln2，故D 正确，故选：BCD小提示：此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题 10、答案：ACD分析：由a 1=12≠23可判断A ；由数列的通项公式以及n ∈N ∗可判断B ；由数列定义可判断C ；由递减数列定义可判断D ．对于A ，当通项公式为a n =n n+1时，a 1=12≠23，不符合题意，故选项A 错误；对于B ，由数列的通项公式以及n ∈N ∗可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B 正确；对于C ，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C 错误；对于D ，数列12,14，…，12n是递减数列，故选项D 错误．故选：ACD ． 11、答案：ABD分析：对于AB ，通过累乘法求出{S n }的通项公式，进而求出{a n }的通项公式，即可求解；对于CD ，通过{a n }的通项公式求出{b n }的通项公式，再通过裂项相消求T n ，进而求解. 由题意，得S n+1S n=n+2n， ∴当n ≥2时，S n =S n S n−1×S n−1S n−2×⋅⋅⋅×S 2S 1×S 1=n+1n−1×n n−2×⋅⋅⋅×31×1=n (n+1)2，又当n =1时S 1=1也符合上式， ∴S n =n (n+1)2，易得a n =n ，∴a 2021=2021，故A ，B 正确； b n =a n+12an a n+2=(n+1)2n (n+2)=1+1n (n+2)=1+12(1n −1n+2)，∴T n =n +12(1−13+12−14+13−15+⋅⋅⋅+1n−1−1n+1+1n −1n+2)=n +12(1+12−1n+1−1n+2) =n +34−12(1n+1+1n+2)<n +34，易知{T n −n}单调递增，∴T n −n ≥T 1−1=13，∴13≤T n −n <34，故C 错误，D 正确.故选:ABD ． 12、答案：a n =3n+1分析：对递推数列两边同时去倒数，可得1an+1−1a n=13，所以数列{1a n}是首项为23，公差为13的等差数列，即可求出数列{a n }的通项公式. 因为a 1=32，a n+1=3a na n+3，所以1a n+1=a n +33a n =13+1a n，即1an+1−1a n=13，所以数列{1a n}是首项为23，公差为13的等差数列，所以1a n=23+13(n −1)=n+13，所以a n =3n+1．所以答案是：a n =3n+1.。

高中数学选修二综合测试题典型例题(带答案)

高中数学选修二综合测试题典型例题单选题1、函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)−f(2)B．0<f′(2)<f(3)−f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2)D．0<f(3)−f(2)<f′(2)<f′(3)答案：C分析：根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1斜率k1>0，f′(3)表示切线l3斜率k3>0，=f(3)−f(2)，表示割线l2的斜率k2，又由平均变化率的定义，可得f(3)−f(2)3−2结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2).故选：C.，则f(x)（）2、已知f(x)=3xe xA ．在(−∞,+∞)上单调递增B ．在(−∞,1)上单调递减C ．有极大值3e ，无极小值D ．有极小值3，无极大值答案：C分析：根据导数判断单调性与极值 f ′(x)=3−3x e x，则x <1时f ′(x)>0，x >1时f ′(x)<0f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减有极大值f(1)=3e故选：C3、若数列{a n }满足a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n =n 2(n ≥2)，则a 3=（） A ．9B ．3C ．94D ．49 答案：C分析：利用前n 项积与通项的关系可求得结果. 由已知可得a 3=a 1a 2a 3a 1a 2=3222=94.故选：C.4、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 和为T n ，已知a 5=11,S 10=120,b n =1a n ⋅a n+1，若T k =17，则正整数k 的值为（） A ．9B ．8C ．7D ．6 答案：A分析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 5=11,S 10=120求得公差d ，即可求得数列{a n }的通项，从而求得数列{b n }的通项，再根据裂项相消法求得数列{b n }的前n 和为T n ，从而可得出答案. 解：设等差数列{a n }的公差为d ， S 10=10(a 1+a 10)2=5(a 5+a 6)=5(11+a 6)=120，所以a 6=13，则d =a 6−a 5=2，所以a n =a 5+2(n −5)=2n +1，所以b n =1a n ⋅a n+1=12(12n+1−12n+3)，所以T n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)，因为T k =17，所以k 3(2k+3)=17，解得k =9. 故选：A.5、设a ≠0，若x =a 为函数f (x )=a (x −a )2(x −b )的极大值点，则（） A ．a <b B ．a >b C ．ab <a 2D ．ab >a 2 答案：D分析：先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到a,b 所满足的关系，由此确定正确选项.若a =b ，则f (x )=a (x −a )3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a ≠b .∴f(x)有x =a 和x =b 两个不同零点，且在x =a 左右附近是不变号，在x =b 左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x =a 左右附近都是小于零的.当a <0时，由x >b ，f (x )≤0，画出f (x )的图象如下图所示：由图可知b <a ，a <0，故ab >a 2.当a >0时，由x >b 时，f (x )>0，画出f (x )的图象如下图所示：由图可知b >a ，a >0，故ab >a 2. 综上所述，ab >a 2成立. 故选：D小提示：本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 6、若直线l 与曲线y =√x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12 答案：D分析：根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 设直线l 在曲线y =√x 上的切点为(x 0,√x 0)，则x 0>0，函数y =√x 的导数为y ′=2√x ，则直线l 的斜率k =2√x 0，设直线l 的方程为y −√x 0=2√x 0−x 0)，即x −2√x 0y +x 0=0，由于直线l 与圆x 2+y 2=15相切，则√1+4x 0=√5，两边平方并整理得5x 02−4x 0−1=0，解得x 0=1，x 0=−15（舍），则直线l 的方程为x −2y +1=0，即y =12x +12.故选：D.小提示：本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 7、已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若−5，S 3，S 6成等差数列，则S 9−S 6的最小值为( ) A ．25B ．20C ．15D ．10答案：B分析：利用等比数列前n 项和的性质表示出S 9−S 6，再表示成同一变量S 3，然后利用基本不等式求出其最小值即可.因为{a n }是正项等比数列，所以S 3，S 6−S 3，S 9−S 6仍然构成等比数列，所以(S 6−S 3)2=S 3(S 9−S 6). 又−5，S 3，S 6成等差数列，所以S 6−5=2S 3，S 6−S 3=S 3+5，所以S 9−S 6=(S 6−S 3)2S 3=(S 3+5)2S 3=S 3+25S 3+10.又{a n }是正项等比数列，所以S 3>0，S 3+25S 3+10≥2√S 3⋅25S 3+10=20，当且仅当S 3=5时取等号.故选：B.8、已知等比数列{a n }中，a 1=2a 2，则这个数列的公比为（） A ．2B ．√2C ．12D ．√22答案：C分析：结合等比数列的知识求得正确答案. 数列{a n }是等比数列，所以公比q =a 2a 1=12.故选：C 多选题9、已知数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，则下列各数是{a n }的项的有（）A ．−2B ．23C ．32D ．3 答案：BD分析：根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．因为数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，∴a 2=11−(−12)=23；a 3=11−a 2=3；a 4=11−a 3=−12=a 1；∴数列{a n }是周期为3的数列，且前3项为−12，23，3；故选：BD ．小提示：本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．10、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1+3a 5=S 7，则以下结论一定正确的是（） A ．a 4=0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 6=S 1D ．|a 3|<|a 5| 答案：AC分析：根据等差数列的定义及前n 项和公式可求得公差d 与a 1的关系，再对各项进行逐一判断即可. 设等差数列的公差为d ，因为a 1+3a 5=S 7，可得a 1+3(a 1+4d )=7a 1+21d ，解得a 1=−3d ，又由a n =a 1+(n −1)d =(n −4)d ，所以a 4=0，所以A 正确；因为公差d 的正负不能确定，所以S 3可能为最大值最小值，故B 不正确；由S 6−S 1=a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=5a 4=0，所以S 6=S 1，所以C 正确；因为a 3+a 5=2a 4=0，所以a 3=−a 5，即|a 3|=|a 5|，所以D 错误. 故选:AC.11、已知函数f(x)=xlnx ，若0<x 1<x 2，则下列结论正确的是（） A ．x 2f(x 1)<x 1f(x 2)B ．x 1+f(x 1)<x 2+f(x 2) C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0D ．当lnx >−1时，x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>2x 2f(x 1)答案：AD 分析：设g(x)=f(x)x=lnx ，函数g(x)单调递增，可判断A ；设ℎ(x)=f(x)+x ，则ℎ′(x)=lnx +2不是恒大于零，可判断B ；f(x)=xlnx ，f ′(x)=lnx +1不是恒小于零，可判断C ；当x >1e时，lnx >−1，故f ′(x)=lnx +1>0，函数f(x)=xlnx 单调递增，故(x 2−x 1)[f(x 2)−f(x 1)]=x 1f(x 1)+x 2f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2)>0，即x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 2f(x 1)+x 1f(x 2)，由此可判断D.得选项. 解：对于A 选项，因为令g(x)=f(x)x=lnx ，在(0,+∞)上是增函数，所以当0<x 1<x 2时，g(x 1)<g(x 2)，所以f(x 1)x 1<f(x 2)x 2，即x 2f(x 1)<x 1f(x 2)．故A 选项正确；对于B 选项，因为令g(x)=f(x)+x =xlnx +x ，所以g′(x)=lnx +2，所以x ∈(e −2,+∞)时，g′(x)>0,g(x)单调递增，x ∈(0,e −2)时，g′(x)<0,g(x)单调递减．所以x 1+f(x 1)与x 2+f(x 2)无法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令f′(x)=lnx +1，所以x ∈(0,1e )时，f′(x)<0,f(x)在(0,1e )单调递减，x ∈(1e ,+∞)时，f′(x)>0,f(x)在(1e,+∞)单调递增，所以当0<x 1<x 2<1e时，f(x 1)>f(x 2)，故f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，当1e<x 1<x 2时，f(x 1)<f(x 2)，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0．故C 选项错误；对于D 选项，由C 选项知，当lnx >−1时，f(x)单调递增，又因为A 正确，x 2f(x 1)<x 1f(x 2)成立，所以x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−2x 2f(x 1)>x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2) =x 1[f(x 1)−f(x 2)]+x 2[f(x 2)−f(x 1)] =(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0,故D 选项正确. 故选：AD ．小提示：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 填空题12、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 19>0，S 20<0，则使S n 取得最大值的n 为______．答案：10分析：由S19>0，S20<0，结合等差数列的前n项和公式得到第10项大于0，第10项和第11项的和小于0，得到第10项大于0，这样前10项的和最大．由S19>0，S20<0，可知{a n}为递减的等差数列，设其公差为d，则d<0，由S19=19(a1+a19)2>0，S20=10(a1+a20)<0，得a1+a19=2a10>0，a1+a20=a10+a11<0，所以a10>0，a11<0，所以使S n取得最大值的n为10，所以答案是：10．小提示：一般地，如果{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则有性质：（1）若m,n,p,q∈N∗,m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；（2）S n=n(a k+a n+1−k)2,k=1,2,⋯,n且S2n−1=(2n−1)a n；（3）S n=An2+Bn且{S nn}为等差数列；（4）S n,S2n−S n,S3n−S2n,⋯为等差数列.13、若直线y=2x+a是函数f(x)=x+lnx的图象在某点处的切线，则实数a=____________.答案：−1分析：利用f′(x)=2求得切点坐标，代入切线方程，从而求得a.令f′(x)=1+1x=2，解得x=1，所以切点为(1,1)，将(1,1)代入切线y=2x+a得1=2+a,a=−1.所以答案是：−114、若对任意的x1，x2∈(m,+∞)，且当x1<x2时，都有lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2，则m的最小值是________.答案：2分析：将lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2变形为x1lnx1+2x1<x2lnx2+2x2，令f(x)=xlnx+2x，利用f(x)在(m,+∞)上是递增函数求解.由题意得：0<x1<x2，所以x 1−x 2<0，则lnx 1−lnx 2x 1−x 2>2x 1x 2等价于x 1x 2(lnx 1−lnx 2)>2(x 2−x 1)，即x 1lnx 1+2x 1<x 2lnx 2+2x 2，令f (x )=xlnx+2x，则f (x 1)<f (x 2)，又x 2>x 1>m ，所以f (x )在(m,+∞)上是递增函数，所以f ′(x )=x−2x 2>0成立，解得x >2所以m ≥2，故m 的最小值是2，所以答案是：2 解答题15、在①a 3=5，S 9=63；②3a 2=a 10，S 2=7；③a 1=3，S 8−S 6=19这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答（若选择两个或三个按照第一个计分）.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，___________，数列{b n }是公比为2的等比数列，且b 2=a 2.求数列{a n }，{b n }的通项公式. 答案：a n =n +2；b n =2n分析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据等差数列的基本量方法，结合等差数列的性质可得{a n }，进而根据b 2=a 2求得{b n }的通项公式即可设等差数列{a n }的公差为d .若选①：根据等差数列的性质，由S 9=63有9a 5=63，故a 5=7，所以{a 1+2d =5a 1+4d =7 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n若选②：由题意{3(a 1+d )=a 1+9d 2a 1+d =7 ，即{a 1=3d 2a 1+d =7 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n若选③：由S 8−S 6=19可得a 7+a 8=19，即{a 1+2d =52a 1+13d =19 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n。

高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析

高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是导学号 10510897( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2D ．y ＝x －22．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在导学号 10510898( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是导学号 10510899( )4．定义复数的一种运算z 1*z 2=|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为导学号 10510900( )A.92B.322C.32D ．945．(2016·宜春高二检测)已知函数f (x )＝sin x ＋e x ＋x 2015，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2016(x )＝导学号 10510901( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x6．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是导学号 10510902( ) A.12 B ．－1 C ．0D ．17．(2016·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k 个格点，则称函数为k 阶格点函数．已知函数：①y ＝sin x; ②y ＝cos(x ＋π6)；③y ＝e x －1;④y ＝x 2.其中为一阶格点函数的序号为导学号 10510903( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②④8．(2016·淄博高二检测)下列求导运算正确的是导学号 10510904( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1 B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )29．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是导学号 10510905( )A ．289B ．1024C ．1225D ．137810．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a ＝导学号 10510906( )A ．64B ．32C ．16D ．811．(2016·全国卷Ⅲ理，12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有导学号 10510907( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个12．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是导学号 10510908( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.导学号 1051090914．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________.导学号 1051091015．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：导学号 10510911 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．16．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.导学号 10510912三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·大连高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .导学号 10510913(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．18．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值.导学号 1051091419．(本题满分12分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设c n ＝a n －b n ，其中n ∈N *.导学号 10510915(1)求证：数列{c n }既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较c n 与c n ＋1的大小．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝x ln x .导学号 10510916 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．21．(本题满分12分)(2016·贵州高二检测)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….导学号 10510917(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．22．(本题满分12分)(2016·北京文，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .导学号 10510918 (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．高中数学选修2-2综合测试试题答案解析1．[答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.2． [答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.3． [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ；又f (x )的顶点在第四象限，∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．[答案] B[解析] 由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2，∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9，由二次函数可知当a ＝32时，上式取最小值322.故选B.5．[答案] A[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2015x 2014，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x ＋2015× 2014x 2013， f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x ＋2015×2014×2013x 2012，…，∴f 2016(x )＝sin x ＋e x .6．[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7． [答案] C[解析] 对于①，注意到y ＝sin x 的值域是[－1,1]；当sin x ＝0时，x ＝k π(k ∈Z )，此时相应的整数x ＝0；当sin x ＝±1时，x ＝k π＋π2(k ∈Z )，此时没有相应的整数x ，因此函数y ＝sin x 仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y ＝cos(x ＋π6)不是一阶格点函数．对于③，令y ＝e x －1＝k (k ∈Z )得e x ＝k ＋1>0，x ＝ln(k ＋1)，仅当k ＝0时，x ＝0∈Z ，因此函数y ＝e x －1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y ＝x 2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y ＝x 2不是一阶格点函数．综上所述知选C.8．[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x)′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.9．[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.10．[答案] A[解析] y ′＝－12x －32，∴k ＝－12a －32，切线方程是y －a －12＝－12a －32(x －a )，令x ＝0，y ＝32a －12，令y ＝0，x ＝3a ，∴三角形的面积是S ＝12·3a ·32a －12＝18，解得a ＝64.11． [答案] C[解析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．12．[答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ，当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1.∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6；当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 13． [答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.14．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立，∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0， ∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .15． [答案] 15[解析] 依题意得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0，又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.16． [答案] 1－ln2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln2.17． [解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．18． [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3π2.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(3π2，2π)，单调减区间为(π，3π2)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (3π2)＝3π2.19． [解析] (1)证明：依题意，a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，c n ＝n 2＋1－n . 假设{c n }是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，∴2(5－2)＝2－1＋10－3. ∴25＝2＋10，产生矛盾， ∴{c n }不是等差数列．假设{c n }是等比数列，则c 22＝c 1c 3，即(5－2)2＝(2－1)(10－3)．有6＝65－32－10，产生矛盾， ∴{c n }也不是等比数列．(2)解：∵c n ＋1＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)>0，c n ＝n 2＋1－n >0， ∴c n ＋1c n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)， 0<n 2＋1<(n ＋1)2＋1，又0<n <n ＋1，∴n 2＋1＋n <(n ＋1)2＋1＋n ＋1， ∴0<n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1，∴c n ＋1c n<1，即c n ＋1<c n . 20． [解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，令f ′(x )>0，得x >1e ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12，f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e ，又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e .21． [解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a(－2)n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a(－2)n －1. 方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a (－2)n －1成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a (－2)n －1成立，即a k＝a ·(－12)k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a(－2)n －1成立．由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22． [解析] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ，所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c >0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈(－2，－23)，x 3∈(－23，0)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈(0，3227)时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)当Δ＝4a 2－12b <0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b >0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点．当Δ＝4a 2－12b ＝0时， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增；所以f (x )不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b >0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b >0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．。

高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)

高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。

2.复数就像向量，有大小和方向。

3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。

4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。

改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。

一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。

②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。

③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。

其中类比得到的结论正确的是：A。

①③B。

②④C。

②③D。

①④2.删除明显有问题的段落。

3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。

14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。

4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。

0)和(2.+∞)。

2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。

又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。

高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试(一)

A. y 2x 1
B. y 3x 2
C. y 2x 3
D. y x 2
7.函数 f (x) e ln x x 在 (0, 2e] 上的最大值为
A.1 e C. e
B. 1 D. 0
8.若函数 f (x) x(x c) 2 在 x 2 处取得极大值，则常数 c
A. 2 C. 2 或 6
数学选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1.定积分 2 (ex 2x)dx 的值为 0
A.1
B. e2
C. e2 3
D. e2 4
2.某物体的位移 s (米)与时间 t (秒)的关系式为 s t 2 t ，则该物体在 t 2 时的瞬时速度为
A. 2 米/秒 C. 5 米/秒
B. 3 米/秒 D. 6 米/秒
3.已知曲线 y x2 上一点 P 处的切线与直线 2x y 1 0 平行，则点 P 的坐标为
A. (1,1)
B. (1,1)
C. (2, 4)
D. (3, 9)
4.已知 f (x) x2 2x f (1) ，则 f (3)
11.若函数 f (x) lnx ax 1 在[1, ) 上是单调函数，则实数 a 的取值范围为 x
A. (, 0] [1 , ) 4
B. (, 1 ] [0, ) 4
C.[ 1 , 0] 4
D. (,1]
12.已知函数 f (x) ax 1 (a 1) ln x 1 在 (0,1] 上的最大值为 3 ，则实数 a x
即 2x y 1 0 .(6 分)

高中数学2-1、2-2综合测试 (31)

数学选修2-1和2-2综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分）⒈有下面四个命题：⑪方程2x-5=0在自然数集N中无解⑫方程2x²+9x-5=0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解⑬x=i是方程x²+1=0在复数集C中的一个解⑭x的四次方=1在实数R上有两解，在复数集C中也有两解其中正确命题的个数为（）(复数的定义)A、1B、2C、3D、42、点P是椭圆x²/5+y²/4=1上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF2=30°，求△F1PF2的面积（）（S△F1PF2=b²tanα/2）A、4/（2+√3）B、4/（2+√2）C、2D、3/23、a,b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)*（xb+a）为一次函数”的（）（常用逻辑用语的辨别）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、已知P是椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）上的一动点，且P椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-1/2，则椭圆的离心率为（）（椭圆的离心率）A、√3/2B、√2/2C、1/2D、√3/35、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=π/2，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的最小值( )（建立空间直角坐标系）A．√5/5 B．1 C．2√5/5 D．3√5/56、设函数f(x)在实数集R上的导函数是f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x^2 则下面不等式恒成立的是？（导数与函数结合）A.f(x)>0B.f(x)<0C.f'(x)>xD.f'(x)<x7、已知f(x)=x^3+x(x属于R),a,b,c也属于R，且a+b大于0,b+c 大于0,c+a大于0，则f(a)+f(b)+f(c)的符号为（推理与证明）A．正B．负C．等于0 D．无法确定8、7．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误是( )(三段论的辨析)A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错9、（微积分应用）10、某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()（归纳推理应用）A．a(1＋p)7B．a(1＋p)8C.ap[(1＋p)7－(1＋p)]D.ap[(1＋p)8－(1＋p)]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）11、已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x-1)+(3-y)i=y-I,则x,y的值分别是（复数的计算）12、设A,B两点的坐标是（-a,0）（a,0），若动点M满足kMA*kMB=-1，则动点M的轨迹方程为(轨迹方程及x的取值范围)13、已知F是双曲线x²/4-y²/12=1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（双曲线的性质）14、观察下列等式：C15＋C55＝23－2，C19＋C59＋C99＝27＋23，C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1＝__________________.（考查归纳推理的能力）三、解答题（共6小题，15~18题每题13分，19，20题每题14分）15、已知ab≠0求证：a+b=1的充要条件是a³-b³+ab-a²-b²=0(充要条件的证明)16、求证：ln(n+1)>1/3+1/5+1/7+...+1/(2n+1) (n∈R+)（数学归纳法和导数结合）17、（微积分与导数相结合）18、（空间直角坐标系解决几何问题）．19、已知点F（0,1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P 作直线l的垂线，垂足为Q，且向量QP*QF-FP*FQ=0(椭圆综合应用)，⑪求动点P的轨迹C的方程⑫已知圆M过定点D（0,2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于AB两点，设||DA|=L1，|DB|=L2，求L1/L2+L2/L1的最大值20、设函数f(x)=(a/3)x^3+bx^2+4cx+d的图象关于原点对称.y=f(x)的图象在点P(1,m)处的切线斜率为-6.且当x=2时函数f(x)有极值.（导数综合应用）1.求a.b.c.d的值2.若x1,x2属于[-1,1].求证|f(x1)-f(x2)|<=44/3答案解析1、选C.有三解1、-1、i²2、选A.S△F1PF2=b²tanα/2=4×[1/（2+√3）]= 4/（2+√3）3、选B. 函数f(x)=(xa+b)*（xb+a）为一次函数﹤＝﹥a⊥b且|a|≠|b|4、选B.设P（x0,y0）,则[y0/(x0-a) ] ×[y0/（x0-a]= ﹣1/2 化简得x0²/a²+2y0²/a²=1又P在椭圆上，所以x0²/a²+y0²/b²=1 所以a²=2b²,e=√2/25、选A.以A为原点，AB,AC,AA1为x,y,z轴j建立坐标系选A.D(0，y,0) F(x,0,0) ,G(1/2,0,1),E(0,1,1/2)向量GD=(-1/2,y,-1), 向量EF=（x,-1,-1/2)∵GD⊥EF ∴-x/2-y+1/2=0∴y=1/2-x/2 (0<x<1)|DF|²=x²+y²=x²+(1/2-x/2)²=5/4*x²-1/2x+1/4=5/4(x²-2/5x)+1/4=5/4(x-1/5)²+1/5≥1/5∴|DF|min=√5/56、选A.反正法：设f(x)=<0 则0<x^2<2f(x)+xf'(x)=<xf(x) 因为R上都成立如果x<0 f'(x)<0 x<0时减函数 x>0 f'(x)>0 x>0是为增所以f(x)>f(0) 令原式中x=0则f(x)>0 即f（x)>f(x)>0 矛盾则f（x）>0恒成立 f(x)>1/2*x(x-f'(x)) 因为f（x）>0恒成立则 1/2*x(x-f'(x))=<07、选A2[f(a)+f(b)+f(c)]=(a^3+b^3+a+b)+(b^3+c^3+b+c)+(c^3+a^3+c+a )=(a+b)(a^2-ab+b^2+1)+(b+c)(b^2-bc+c^2+1)+(c+a)(c^2-ca+a^ 2+1)因为(a+b)(a^2-ab+b^2+1)=(a+b)[(a-b/2)^2+3b^2/4+1]>0同理(b+c)(b^2-bc+c^2+1)＞0(c+a)(c^2-ca+a^2+1)＞0所以2[f(a)+f(b)+f(c)]＞08、选A 当a﹥0时y＝ax为增函数，当a﹤0时y＝ax为减函数9、选D.∫f(ax+b)dx=(1/a)∫f(ax+b)d(ax+b)令ax+b=t则，原式=(1/a)∫f(t)dt已知：∫f(x)dx=F(x)+C所以，原式=(1/a)F(t)+C将t=ax+b代入，就有：原式=(1/a)F(ax+b)+C10、选D.到2006年5月10日存款及利息为a(1＋p)．到2007年5月10日存款及利息为a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]到2008年5月10日存款及利息为a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]……所以到2012年5月10日存款及利息为a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]＝a(1＋p)[1－(1＋p)7]1－(1＋p)＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．11、-3/2和4i设y=bi(b∈R且b≠0)则（2x-1）+(3-bi)i=bi-i整理得(2x-1+b)+3i=(b-1)i∴2x-1+b=0且b-1=3解得x=-3/2 y=4i12、x²+y²=a²(x≠±a)设M为(x,y) x≠±a∵kMA*kMB=-1∴y/(x+a) ×y/(x-a)=-1∴x²+y²=a²(x≠±a)13、9已知F(-4,0)设F1为双曲线的右焦点，则F1（4,0），点A（1,4）在双曲线两支之间，由双曲线定义，|PF|-|PF1|=2a=4,而|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|≥4+|AF1|=4+5=9当且仅当A,P,F1三点共线时，取等号14、24n－1＋(－1)n22n－1等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为an＝4n－1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式bn＝2n－1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端＝24n－1＋(－1)n22n－1.15、必要性：∵a+b=1a+b-1=0∴(a+b)（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）=（a²-ab+b²）(a+b-1)=0充分性:a³+b³+ab-a²-b²=0（a²-ab+b²）(a+b-1)=0∵ab≠0∴a≠0且b≠0∴a²-ab+b²=(a-b/2) ²+(3/4)b²﹥0∴a+b-1=0即a+b=1综上所述：当ab≠0时a+b=1的充要条件是a³-b³+ab-a²-b²=0 16、17、⑪设tx^2=uφ(x)=(1/x^2)∫(0,x^2sinx)f(u)du.φ'(x)=[xf(x^2sinx)(2xsinx+x^2cosx)-2∫(0,x^2sinx)f(u)du]/x^3 (x不等于0）⑫x=0时，φ(0)=0，limφ(x)/x=lim∫(0,x^2sinx)f(u)du/x^3=limf(x^2sinx)(2xsinx+x^2cosx)/3x^2=f(0)=2 x趋于0时，limφ'(x)=lim[xf(x^2sinx)(2xsinx+x^2cosx]/x^3-2lim∫(0,x^2sinx)f(u)du]/ x^3=f(0)-2limf(x^2sinx)(2xsinx+x^2cosx)/3x^2=-2在x=0处不连续18、19、⑪设P(x,y), Q(x,-1)∵QP*FQ-FP*FQ=0∴(0,y+1)●(-x,2)-(x,y-1)●(x,-2)=0∴2(y+1)-(x²-2y+2)=0∴轨迹为C：x²=4y㈡设M（t,t²/4),|MD|²=t²+(2-t²/4)²圆M:(x-t)²+(y+t²/4)²=t²+(2-t²/4)²令y=0，得（x-t)²=4，x=t±2∴A(t-2,0),B(t+2,0)l1=√(t²-4t+8),l2=√(t²+4t+8)∴l1/l2+l2/l1=(l1²+l2²)/(l1l2)=[(t²-4t+8)+ (t²+4t+8)]/ √[(t²+4t+8)(t²-4t+8)]=(2t²+16)/√[(t²+8)²-16t²]=(2t²+16)/√(t⁴+64 )=2√[(t²+8)²/(t⁴+64)]=2√[(t⁴+64+16t²)/(t⁴+64)]=2√[1+16t²/(t⁴+64)]=2√[1+16/(t²+64/t²)]∵t²+64/t²≥2√64=16∴∴1+16/(t²+64/t²)≤220、⑪函数f(x)=(a/3)x^3+bx^2+4cx+d的图象关于原点对称,则f(0)=0,所以d=0①f(x)=x[(a/3)x²+bx+4c]②,f´(x)=ax²+2bx+4c③,当x=2时函数f(x)有极值,根据对称性，当x=-2时函数f(x)也有极值,x=±2是函数的两个极值点,也是f´(x)=ax²+2bx+4c=0的两个根,代入得:4a±4b+4c=0,解得b=0④,c=-a⑤,代入②函数f(x)化为:f(x)=(a/3)x(x²-12)⑥,同时f´(x)=a(x²-4),又y=f(x)的图象在点P(1,m)处的切线斜率为-6, 所以f´(1)=a(1²-4)=-6,所a=2⑦,由⑤,c=-2⑧,于是f(x)=(2/3)x(x²-12)⑨,f´(x)=2(x²-4)⑩,a=2 b=0 c=-2 d=0⑫.当x∈[-1,1]时,由⑩f´(x)<0,f(x)单调递减，x1,x2属于[-1,1]，所以|f(x1)-f(x2)|≤f(-1)-f(1)由⑨,f(-1)=22/3，f(1)=-22/3所以|f(x1)-f(x2)|≤22/3-(-22/3)=44/3。

高中数学选修2-2分章节测试卷(含答案)

第一章综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．函数y ＝sin(π4－x )的导数为( )A ．－cos(π4＋x )B ．cos(π4－x )C ．－sin(π4－x )D ．－sin(x ＋π4)2．(2009·广东三校联考)函数f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝1处取得极值，则a 的值为( ) A.12B ．－1C ．0D ．－123．如果f (x )为定义在R 上的偶函数，且导数f ′(x )存在，则f ′(0)的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．－14．(2009·全国卷Ⅰ)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－25．已知f (x )＝(x －1)2＋2，g (x )＝x 2－1，则f [g (x )]( ) A ．在(－2,0)上递增 B ．在(0,2)上递增 C ．在(－2，0)上递增 D ．在(0，2)上递增6．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．2≤m ≤47．(2009·江西高考)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或78．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 9．由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成图形的面积可表示为( ) A.⎠⎛0π(sin x －cos x )dxC.⎠⎛0π(cos x －sin x )dx10．已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx ，则f (a )的最大值为( )A ．－12B.19C.29D ．不存在11．(2009·青岛模拟)如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，由曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π412．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a ) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.⎠⎛02(2x －e x )dx ＝________.14．(2009·海淀区模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的导函数y＝f ′(x )的部分图象如右图所示，且导函数f ′(x )有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.15．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是________． 16．物体A 以速度v ＝3t 2＋1在一直线上运动，在此直线上物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，当t ＝________ s 时，两物体相遇，相遇时物体A 走过________m.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2009·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．18．(本小题满分12分)已知F(x)＝⎠⎛x－1t(t－4)dt，x∈(0，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．19．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．20．(本小题满分12分)求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根？(其中a>0)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1，在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0<x1<1<x2<2.(1)证明a>0；(2)求z＝a＋2b的取值范围．22．(本小题满分12分)(2009·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3.第二章综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．所有自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段推理( ) A ．正确 B ．推理形式不正确 C ．两个“自然数”概念不一致 D ．两个“整数”概念不一致 2．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a >2b －aB.b 2a <2b －aC.b 2a ≥2b －a D.b 2a≤2b －a 3．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋144．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有：①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中为真命题的是( )A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④5．若x ，y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14B ．15C ．16D ．176．设f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )A ．0B ．1 C.52D ．57．若O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心8．如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到H 有几条不同的旅游路线可走( )A ．15B ．16C ．17D ．189．对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)定义它们之间的一种“距离”：||AB ||＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||AC ||＋||CB ||＝||AB ||； ②在△ABC 中，若∠C ＝90°，则||AC ||2＋||CB ||2＝||AB ||2； ③在△ABC 中，||AC ||＋||CB ||>||AB ||. 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．310．已知a ，b ，c ，d 是正实数，P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d c ＋d ＋b ，则有( )A ．0<P <1B ．1<P <2C ．2<P <3D ．3<P <411．一个等差数列{a n }，其中a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (1≤n ≤19)．一个等比数列{b n }，其中b 15＝1.类比等差数列{a n }有下列结论，正确的是( )A ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)B ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－nC ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n 12．观察数表1 2 3 4 …第一行 2 3 4 5 …第二行 3 4 5 6 …第三行 4 5 6 7 …第四行 … … … …第一列第二列第三列第四列根据数表中所反映的规律，第n 行与第n 列的交叉点上的数应该是( ) A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．n 2－1D ．n 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V ＝________.14．若符号“*”表示求实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是________．15．把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环下去，如：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，…，则第104个括号内各数字之和为________．16．已知n 次多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －2x 2＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0(k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1(k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)证明对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2.18．(本小题满分12分)(2009·江苏高考)如右图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．(本小题满分12分)求证：y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是互不相等的实数)这三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．(本小题满分12分)已知函数f(n)(n∈N*)，满足条件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈N*，④当x>y时，有f(x)>f(y)．(1)求f(1)，f(3)的值；(2)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式；(3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性．21．(本小题满分12分)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30是公差为d2的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？22．(本小题满分12分)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝x2＋abx－c(b，c∈N)有且只有两个不动点0,2，且f(－2)<－12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知各项均不为零的数列{a n}满足4S n·f(1a n)＝1，求数列的通项a n；(3)如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证当n≥2时，恒有a n<3成立．第三章综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．一个实数x 与一个虚数y 的和x ＋y 必为( )A ．实数B ．虚数C ．可能实数也可能是虚数D ．纯虚数 2．复数4＋3i1＋2i 的实部是( )A ．－2B ．2C ．3D ．43．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的对应点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．65．若3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个根，则q 的值是( ) A ．26B ．13C ．6D ．56．已知z 1＝2－5i ，z 2＝－3＋i ，z 1，z 2的对应点分别为P 1，P 2，则向量P 2P 1→对应的复数为( ) A ．－5＋6iB ．5－6iC ．5＋6iD ．－1－4i7．已知m1＋i ＝1＋n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 的值为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i8．复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆9．“复数z ＝12＋32i ”是“z ＋1z ∈R ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10．复数－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008的虚部为( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i11．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i )n(n ∈N *)，则集合{x |x ＝f (n )}中的元素有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个12．若复数z ，a ，x 满足x ＝a －z 1－a z，且|z |＝1，则|x |等于( )A ．0B ．1C ．|a |D.12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝________. 14．复数z 满足|z ＋2＋2i|＝|z |，那么|z －1＋i|的最小值是________． 15．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab ＝________.16．对于n 个复数z 1，z 1，…，z n ，如果存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1z 1＋k 2z 2＋…＋k n z n ＝0，就称z 1，z 2，…，z n 线性相关．若要说明复数z 1＝1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2线性相关，那么可取{k 1，k 2，k 3}＝________.(只要写出满足条件的一组值即可)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)(1)设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )．若z 1z 2为实数，求实数x ； (2)计算：(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7－i 11)(4－3i)．18．(本小题满分12分)在复数范围内解方程|z 2|＋(z ＋z )i ＝3－i2＋i .(i 为虚数单位)19．(本小题满分12分)已知z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ωz |≤2时，求a的取值范围．20．(本小题满分12分)已知z ∈C ，z －1z ＋1是纯虚数，求|z 2－z ＋2|的最小值．21．(本小题满分12分)设虚数z 满足|2z ＋5|＝|z ＋10|. (1)求|z |的值；(2)若z m ＋mz为实数，求实数m 的值；(3)若(1－2i)z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z .22．(本小题满分12分)对任意一个非零复数α，定义M α＝{ω|ω＝α2n －1，n ∈N *}．(1)设α是方程x ＋1x ＝2的一个根，试用列举法表示集合M α.若在M α中任取两个元素，求其和为零的概率P ；(2)若集合M α中只有三个元素，试写出满足条件的一个α值，并说明理由．第一章综合能力检测答案一、选择题：1．解析：y ′＝－cos(π4－x )＝－sin[π2－(π4－x )]＝－sin(π4＋x )．答案：D2．解析：f ′(x )＝ax ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，由题知当a ＝－1时，原函数在x ＝1处取得极值．答案：B3．解析：偶函数的导数为奇函数，即f ′(x )为奇函数，故f ′(0)＝0. 答案：C4．解析：y ′＝1x ＋a ，设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切的切点为(x 0，x 0＋1)，则1x 0＋a ＝1，∴x 0＝1－a ，∴ln(1－a ＋a )＝2－a ，∴e 2－a ＝1， ∴a ＝2. 答案：B5．解析：F (x )＝f [g (x )]＝x 4－4x 2＋6，F ′(x )＝4x 3－8x .令F ′(x )>0，得－2<x <0或x >2，∴F (x )在(－2，0)上递增．答案：C6．解析：由题意，得f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋(15m 2－2m －7)，由于f ′(x )≥0恒成立，故Δ≤0，解得2≤m ≤4. 答案：D7．解析：设直线与曲线y ＝x 3的切点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30y 0x 0－1＝3x 20⇒切线斜率k ＝3x 20＝0或k ＝274. 若k ＝0，切线方程为y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9，消去y ，得ax 2＋154x －9＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－2564；若k ＝274，切线方程为y ＝274(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝274(x －1)，y ＝ax 2＋154x －9消去y ，得ax 2－3x －94＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－1. 答案：A8．解析：∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，由题知，f ′(x )<0在(－1，＋∞)上恒成立，即－x ＋bx ＋2<0，∴b <x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1. ∴b <－1.又当b ＝－1时，f ′(x )＝－x －1x ＋2＝－x (x ＋2)＋1x ＋2＝－(x ＋1)2x ＋2<0，∴b ≤－1. 答案：C9．解析：由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成的图形，如下图的阴影部分．答案：B10．解析：⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2，即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29，∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 答案：C11．解析：根据几何概型的意义，所投的点落在阴影部分的概率是S 阴影S 矩形，由S 阴影＝⎠⎛0πsin xdx ＝(－cos x )|π0＝2，所求概率为S 阴影S 矩形＝22π＝1π. 答案：A 12．解析：设函数F (x )＝xf (x )，∴F ′(x )＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )≤0，∴F (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵a <b ，∴F (a )≥F (b )，即af (a )≥bf (b )．又∵0<a <b ，f (b )≥0，∴af (a )≤bf (a )，bf (b )≥af (b )．∴bf (a )≥af (b )．答案：A二、填空题：13.解析：⎠⎛02(2x －e x )dx ＝(x 2－e x )|20＝4－e 2＋1＝5－e 2. 答案：5－e 214．解析：f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，依题意，得ω＝2,2cos(π3＋φ)＝－1，解得φ＝π3.答案：2 π315．解析：∵y ′＝a (3x 2－1)，令y ′<0，当a >0时，不等式的解集为(－33，33)；当a <0时，不等式的解集为(－∞，－33)∪(33，＋∞)．∵已知函数y ＝a (x 3－x )在(－33，33)上单调递减， ∴a >0. 答案：a >016．解析：设A 追上B 时，所用的时间为t 0，依题意有s A ＝s B ＋5，即10tdt＋5，t 30＋t 0＝5t 20＋5，即t 0(t 20＋1)＝5(t 20＋1)，解得t 0＝5 s ．所以s A ＝5t 20＋5＝130(m)．答案：130三、解答题：17．解：(1)由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， f (x )在原点处的切线斜率是－3，则－a (a ＋2)＝－3，所以a ＝－3，或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎨⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12，所以a 的取值范围是(－5，－12)∪(－12，1)．18．解：F (x )＝⎠⎛x －1(t 2－4t )dt ＝(13t 3－2t 2)|x －1＝13x 3－2x 2－(－13－2)＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4，由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4，∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)∪(4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F (x )在[1,4]上递减，[4,5]上递增．又∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253. 19．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，所以a ＋b＋c ＝－1.③ 由①②③，解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)因为f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)·(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.20．解：函数的定义域为R ，其导函数为y ′＝3x 2－3a .由y ′＝0，得x＝±a ，列表讨论如下：x (－∞，－a ) －a(－a ，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得，函数x ＝－a 处取得极大值2＋2a 32；在x ＝a 处取得极小值2－2a 32.根据列表讨论，可作出函数的草图(如右图所示)，因为极大值f (－a )＝2＋2a 32>0，故当极小值f (a )＝2－2a 32<0，即a >1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f (a )＝2－2a 32>0，即0<a <1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有唯一的实根．21．解：求函数f (x )的导数得 f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .(1)证明：由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1时，f ′(x )>0，函数为增函数，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0. (2)在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎨⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A (47，67)，B (2,2)，C (4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8.所以z 的取值范围为(167，8)．22．解：(1)f ′(x )＝x －ax ，∵x ＝2是一个极值点，∴2－a2＝0.∴a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝x 2－4x ＝(x －2)(x ＋2)x.∵f (x )的定义域是{x |x >0}，∴当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. ∴当a ＝4时，x ＝2是f (x )的极小值点．∴a ＝4. (2)∵f ′(x )＝x －ax，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x，令f ′(x )>0有x >a ，∴函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)；令f ′(x )<0有0<x <a ，∴函数f (x )的单调递减区间为(0，a )． (3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x >0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数． ∴g (x )>g (1)＝16>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.第二章综合能力检测答案一、选择题：1．解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．答案：A 2．解析：∵b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，∴b 2a≥2b －a . 答案：C 3．解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．故选D. 4．解析：若F (k )真，则F (k ＋1)一定真，其逆否命题为F (k ＋1)不真，则F (k )不真． ∴F (7)不真，则F (6)不真；F (6)不真，则F (5)不真．答案：A5．解析：x 2＋y 2＋2x ＝x 2＋(6x －2x 2)＋2x ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16≤16. 答案：C6．解析：∵f (x ＋2)＝f (x )＋f (2) ∴令x ＝－1则有 f (1)＝f (－1)＋f (2) ∴f (2)＝2f (1)又∵f (1)＝12，∴f (2)＝1∴f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＋f (3) ＝f (2)＋f (2)＋f (1) ＝2f (2)＋f (1)＝2＋12＝52. 答案：C7．解析：OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，AP →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)＝λ(e 1＋e 2)，∴AP 是∠A 的内角平分线．答案：B8．解析：这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一个思路，用分析法来试试．要到H 点，需从F 、E 、G 走过来，F 、E 、G 各点又可由哪些点走过来，……，这样一步步倒推，最后归结到A ，然后再反推过去得到如下的计算法：A 至B 、C 、D 的路数记在B 、C 、D 圆圈内，B 、C 、D 分别到F 、E 、G 的路数亦记在F 、E 、G 圆圈内，最后F 、E 、G 各个路数之和，即得至H 的总路数如答图1所示．答案：C9．解析：①当点C 在线段AB 上时，可知||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故①是正确的．②取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，则||AC ||2＝1，||BC ||2＝1，||AB ||2＝(1＋1)2＝4，故②是不正确的．③取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，证明||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故③不正确．故选B. 10．解析：P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b>a a ＋b ＋c ＋d ＋b a ＋b ＋d ＋c ＋c c ＋d ＋a ＋b ＋d c ＋d ＋b ＋a ＝1， P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b<a a ＋b ＋b a ＋b ＋c c ＋d ＋d c ＋d ＝2， ∴1<P <2. 答案：B11．解析：在等差数列{a n }中，a 10＝0，知以a 10为等差中项的项和为0，如a 9＋a 11＝a 8＋a 12＝…＝a 2＋a 18＝a 1＋a 19＝0.而在等比数列{b n }中，b 15＝1，类比地有b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1.从而类似地总结规律应为各项之积．∵等差数列{a n }中a 10＝0，∴a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a 8＋a 12＝a 9＋a 11＝0. 即：a 19－n ＋a n ＋1＝0， a 18－n ＋a n ＋2＝0， a 17－n ＋a n ＋3＝0， …∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n . ∵b 15＝1，∴b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1. 即b 29－n b n ＋1＝b 28－n b n ＋2＝…＝b 14b 16＝1.∴b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)．故选A.12．解析：根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行第n 列交叉点上的数应该是2n －1. 答案：A二、填空题：13．解析：由平面图形到空间图形的类比过程中，边长→面积，面积→体积．答案：13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)14．解析：答案不唯一．因为a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c 2，又(a ＋b )*(a ＋c )＝(a ＋b )＋(a ＋c )2＝2a ＋b ＋c2，因此答案成立．同时：(a *b )＋c ＝(a *c )＋(b *c )；a *(b ＋c )＝(a ＋b )*c ＝(b ＋c )*a ＝(a ＋c )*b ；(a *b )＋c ＝(b *a )＋c 也符合题意．答案：a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )15．解析：前面103个括号中共用了256个数，第104个括号有4个数分别是515,517,519,521，其和为2072. 答案：207216．解析：P n (x 0)＝a 0x n －10＋…＋a n －2x 20＋a n －1x 0＋a n ，共需n 次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n ，n －1，…，1.故共需计算次数为n ＋n (n ＋1)2＝12n (n ＋3)．第二种运算中，P 0(x 0)＝a 0，不需要运算，P 1(x 0)＝x 0P 0(x 0)＋a 1，需2次运算．P 2(x 0)＝x 0P 1(x 0)＋a 2，需2＋2次运算，依次往下，P n (x 0)需2n 次运算．答案：12n (n ＋3) 2n三、解答题：17．证明：(分析法)要证x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2，只需证明2(x 4＋y 4)≥xy (x ＋y )2，即证2(x 4＋y 4)≥x 3y ＋xy 3＋2x 2y 2.只需x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3与x 4＋y 4≥2x 2y 2同时成立即可．又知x 4＋y 4－2x 2y 2＝(x 2－y 2)2≥0，即x 4＋y 4≥2x 2y 2成立，只需再有x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立即可．由于x 4＋y 4－x 3y －xy 3＝(x －y )(x 3－y 3)， ∵x －y 与x 3－y 3同号，∴(x －y )(x 3－y 3)≥0，即x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立．∴对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2成立．18．证明：(1)因为E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，EF ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC .所以EF ∥平面ABC .(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥面A 1B 1C 1，BB 1⊥A 1D ，又A 1D ⊥B 1C ，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．证明：假设三条抛物线均与x 轴无两交点，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0，∴a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ≤0，即12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≤0，∴a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾．故三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．解：(1)∵f (2)＝f (2×1)＝f (2)·f (1)，又f (2)＝2，∴f (1)＝1.又∵f (4)＝f (2·2)＝f (2)·f (2)＝4,2＝f (2)<f (3)<f (4)＝4，且f (3)∈N *.∴f (3)＝3.(2)由f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，猜想f (n )＝n (n ∈N *)．(3)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝1时，f (1)＝1，函数解析式成立． (ⅱ)假设n ＝k 时，f (k )＝k ，函数解析式成立．①若k ＋1＝2m (m ∈N *)，f (k ＋1)＝f (2m )＝f (2)·f (m )＝2m ＝k ＋1. ②若k ＋1＝2m ＋1(m ∈N *)，f (2m ＋2)＝f [2(m ＋1)]＝f (2)·f (m ＋1)＝2(m ＋1)＝2m ＋2，2m ＝f (2m )<f (2m ＋1)<f (2m ＋2)＝2m ＋2. ∴f (2m ＋1)＝2m ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时，函数解析式成立．综合(ⅰ)(ⅱ)可知，f (n )＝n (n ∈N *)成立． 21．解：(1)a 10＝10，a 20＝10＋10d ＝40， ∴d ＝3.(2)a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d ≠0)， a 30＝10[(d ＋12)2＋34]，当d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a 30∈[7.5，＋∞)；(3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．研究的问题可以是：试写出a 10(n ＋1)关于d 的关系式，并求a 10(n ＋1)的取值范围研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)，依次类推可得a 10(n ＋1)＝10(1＋d ＋…＋d n ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧10×1－d n ＋11－d ，d ≠1，10(n ＋1)，d ＝1.当d >0时，a 10(n ＋1)的取值范围为(10，＋∞)． 22．解：(1)依题意有x 2＋a bx －c＝x ，化简为(1－b )x 2＋cx ＋a ＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2＋0＝－c 1－b，2·0＝a 1－b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1＋c 2，代入表达式得f (x )＝x 2(1＋c 2)x －c ，由f (－2)＝－21＋c <－12，得c <3.又因为c ∈N ，b ∈N ，若c ＝0，b ＝1，f (x )＝x 不止有两个不动点，若c ＝1，b ＝32，则f (x )＝x只有一个不动点，所以c ＝2，b ＝2，故f (x )＝x 22(x －1)(x ≠1)．(2)由题设得4S n ·(1a n)22(1a n－1)＝1，得2S n ＝a n －a 2n ，(*) 且a n ≠1，把n －1代入得2S n －1＝a n －1－a 2n －1.(**)由(*)与(**)两式相减得2a n ＝(a n －a n －1)－(a 2n －a 2n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1＋1)＝0，所以a n ＝－a n －1或a n －a n －1＝－1，把n ＝1代入(*)得2a 1＝a 1－a 21，解得a 1＝0(舍去)或a 1＝－1.由a 1＝－1，a n ＝－a n －1，得a 2＝1，这与a n ≠1矛盾，所以a n －a n －1＝－1，即{a n }是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以a n ＝－n .(3)证明：(采用反证法)假设a n ≥3(n ≥2)，则由(1)知a n ＋1＝f (a n )＝a 2n2a n －2，所以a n ＋1a n ＝a n 2(a n －1)＝12·(1＋1a n －1)≤12(1＋12)＝34<1，即a n ＋1<a n (n ≥2，n ∈N )，有a n <a n －1<…<a 2，而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，所以a 2<3.这与假设矛盾，故假设不成立，所以a n <3.第三章综合能力检测答案一、选择题：1．解析：由复数的概念可知x ＋y 仍是虚数．答案：B2．解析：4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i)(1－2i)1＋22＝(4＋6)＋(3－8)i5＝2－i. 答案：B3．解析：m －2i 1＋2i ＝(m －2i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(m －4)－2(m ＋1)i5，对于m 的值，不存在m 使m －4>0且m＋1<0，故对应的点不可能在第一象限．答案：A4．解析：∵z ＝(a ＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝a ＋65＋(3－2a )i 5.若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3－2a ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，a ≠32.答案：C5．解析：由于实系数一元二次方程的虚根成对出现，是互为共轭复数的，故另一根为3－2i ，则(3＋2i)·(3－2i)＝q2＝13.故选A.6．解析：∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→，∴P 2P 1→对应的复数为z 1－z 2＝(2－5i)－(－3＋i)＝5－6i. 答案：B7．解析：由m1＋i ＝1＋n i 得m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1＋n ，0＝1－n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴m ＋n i ＝2＋i. 答案：C8．解析：设z ＝x ＋y i ，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|. ∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0.∴复数z 对应点Z 的轨迹为圆．故选C.9．解析：由z ＝12＋32i 可得，z ＋1z ＝12＋32i ＋12－32i ＝1∈R . ∴z ＝12＋32i 是z ＋1z ∈R 的充分条件．但z ＋1z ∈R ⇒|z |＝1z ＝12＋32i ，所以z ＝12＋32i 是z ＋1z∈R 的充分非必要条件．答案：A10．解析：－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008＝i(35i ＋2)2＋35i ＋1i1004＝i ＋1. 答案：B11．解析：f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i1＋i )n ＝i n ＋(－i)n (n ∈N *)，根据i n 取值的周期性，给n 赋值发现集合{x |x ＝f (n )}＝{0，－2,2}，故应选C.12．解析：由|z |＝1，得|z |2＝1，即z ·z ＝1，所以x ＝a －z z z －a z ＝a －zz (z －a )＝－1z＝－z ，所以|x |＝|－z |＝1. 答案：B二、填空题：13．解析：由已知得z ＝z 0z 0－3＝3＋2i 2i ＝1－32i. 答案：1－32i14．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z ＋2＋2i|＝|z |得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝x 2＋y 2，即x ＋y ＋2＝0，点(1，－1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|1－1＋2|2＝2，∴|z －1＋i|的最小值为 2. 答案： 215．解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i)(2＋i)4＋1＝－1＋3i由－1＋3i ＝a ＋b i 得a ＝－1，b ＝3 ∴ab ＝－3 答案：－316．解析：由k 1z 1＋k 2z 2＋k 3z 3＝0得k 1(1＋2i)＋k 2(1－i)＋k 2·(－2)＝0，即(k 1＋k 2－2k 3)＋(2k 1－k 2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2－2k 3＝0，2k 1－k 2＝0.∴k 1∶k 2∶k 3＝1∶2∶32.(答案不唯一，只需满足1∶2∶32的任何一组都行) 答案：{1,2，32}三、解答题：17．解：(1)z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝x ＋2i ＋x i －2＝(x －2)＋(2＋x )i ，因为z 1z 2是实数，所以x ＋2＝0，所以x ＝－2.(2)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i －4i 2)＋(28－4i －21i ＋3i 2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.18．解：原方程化简为|z |2＋(z ＋z )i ＝1－i ，设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，代入上述方程；得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，2x ＝－1.解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.所以原方程的解是z ＝－12±32i.19．解：z ＝2＋4i －(1＋3i)i ＝1＋i i ＝－i(1＋i)＝1－i ，ω＝1＋(a －1)i ，ωz ＝1＋(a －1)i1－i＝[1＋(a －1)i](1＋i)2＝2－a ＋a i 2，由|ωz |≤2，得(2－a 2)2＋(a2)2≤2，解得1－3≤a ≤1＋ 3.故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．20．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －1z ＋1＝(x －1)＋y i (x ＋1)＋y i ＝x 2＋y 2－1＋2y i(x ＋1)2＋y 2是纯虚数，∴x2＋y 2＝1且y ≠0，于是－1<x <1.而|z 2－z ＋2|＝|(x ＋y i)2－(x ＋y i)＋2|＝|(x 2－y 2－x ＋2)＋y (2x －1)i|＝(x 2－y 2－x ＋2)2＋y 2(2x －1)2＝8x 2－6x ＋2＝8(x －38)2＋78，∴当x ＝38时，|z 2－z ＋2|取得最小值144. 21．解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则 (2x ＋5)2＋(2y )2＝(x ＋10)2＋y 2. 化简得x 2＋y 2＝25.∴|z |＝5. (2)∵z m ＋m z ＝x ＋y i m ＋m x ＋y i＝(x m ＋mx x 2＋y 2)＋(y m －myx 2＋y2)i 为实数，∴y m －myx 2＋y 2＝0. 又y ≠0，且x 2＋y 2＝25， ∴1m －m25＝0，解得m ＝±5. (3)(1－2i)z ＝(1－2i)(x ＋y i)＝(x ＋2y )＋(y －2x )i ，依据题意，得x ＋2y ＝y －2x . ∴y ＝－3x .①又∵|z |＝5，即x 2＋y 2＝25.② 由①、②得⎩⎨⎧x ＝102，y ＝－3102或⎩⎨⎧x ＝－102，y ＝3102.∴z ＝102－3102i 或z ＝－102＋3102i. 22．解：(1)解方程x ＋1x ＝2，得x ＝22±22i.当α1＝22＋22i 时，ω＝α2n －11＝(α21)nα1＝[(22＋22i)2]n α1＝in α1.由i n 的周期性知，ω有四个值，n ＝1时，ω＝22＋22i ；n ＝2时，ω＝－22＋22i ；n ＝3时，ω＝－22－22i ；n ＝4是，ω＝22－22i. 当α2＝22－22i 时，ω＝α2n －12＝(α22)n α2＝(－i)nα2.当n ＝1时，ω＝22－22i ；n ＝2时，ω＝－22－22i ；n ＝3时，ω＝－22＋22i ；n ＝4时，ω＝22＋22i.∴不论α＝22＋22i 还是α＝22－22i ，都有 M α＝{22＋22i ，22－22i ，－22＋22i ，－22－22i}，P ＝2C 24＝13. (2)取α＝－12＋32i ，则α3＝1，α5＝－12－32i ，于是M α＝{α，α3，α5}＝{－12＋32i,1，－12－32i}．(或取α＝－12－32i ，则α3＝1，α5＝－12＋32i)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

综合检测一、选择题1.“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”.此推理方法是( ) A.完全归纳推理 B.归纳推理 C.类比推理 D.演绎推理答案 B解析由特殊到一般的推理为归纳推理.故选B.2.复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A.2＋i B.2－i C.5＋i D.5－i 答案 D解析由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝52－i ＝2＋i ，∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i.3.设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A.10 B.10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D.11ln 10答案 B解析 ∵f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10＋lg e ，故选B. 4.如图，在复平面内，向量OP →对应的复数是1－i ，若将OP →向左平移1个单位长度后得到O 0P 0→，则点P 0对应的复数为( )A.－iB.1－2iC.－1－iD.1－i 答案 A解析 ∵O 0P 0→＝OP →，OO 0→对应的复数是－1，∴点P 0对应的复数，即OP 0→对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.5.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要利用归纳假设再证( ) A.n ＝k ＋1时等式成立 B.n ＝k ＋2时等式成立 C.n ＝2k ＋2时等式成立 D.n ＝2(k ＋2)时等式成立答案 B解析由k ≥2且k 为偶数知选B.6.函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 B.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4b ＝11 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5 D.以上都不对答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a －b ＝0，1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.经检验a ＝3，b ＝－3不合题意，应舍去.7.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( )①z 1，z 2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z 1，z 2是虚数. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①答案 C解析 ②是大前提，③是小前提，①是结论.8.设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.[－5，＋∞)B.[－∞，－3]C.(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D.[－5，5] 答案 C解析因f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，若f (x )在[1,3]上为单调函数且单调递增，则x ∈[1,3]时，x 2＋2ax＋5≥0恒成立，即2a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋5x ，而x ∈[1,3]，x ＋5x≥25， ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋5x ≤－25，∴2a ≥－25，a ≥－5，若f (x )在[1,3]上单调递减，则x ∈[1,3]时，x 2＋2ax ＋5≤0恒成立，即2a ≤－⎝⎛⎭⎫x ＋5x ，而x ∈[1,3]时，记h (x )＝x ＋5x ，h max ＝h (1)＝6，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋5x ≥－6，∴2a ≤－6，a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞).9.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则|AG ||GD |＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则|AO ||OM |等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，|AG ||GD |＝2类比|AO ||OM |＝3，故选C. 10.已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( ) A.f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B.f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C.f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D.f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12答案 D解析函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个根，由数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f (x )递增，所以f (x 1)＜f (1)＜f (x 2)，即f (x 1)＜－a ＜f (x 2)，所以f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12.故选D.二、填空题11.若实数x ，y 满足(1－i)x ＋(1＋i)y ＝2，则xy 的值是 . 答案 1解析由(1－i)x ＋(1＋i)y ＝2得(x ＋y )＋(－x ＋y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴xy ＝1.12.由抛物线y ＝12x 2，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成的图形的面积是________.答案133解析如图所示，S ＝⎠⎛1312x 2d x ＝16x 3⎪⎪⎪31＝16(33－13)＝133. 13.已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是________. 答案 [3,12]解析因为f (x )有两个极值点x 1，x 2，所以f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－2)≥0，f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，画出可行域如图所示.因为f (－1)＝2b －c ，由图知经过点A (0，－3)时，f (－1)取得最小值3，经过点C (0，－12)时，f (－1)取得最大值12，所以f (－1)的取值范围为[3,12].14.如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________.答案1191解析设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n ，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n ＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191. 三、解答题15.(1)已知z ∈C ，且|z |－i ＝z ＋2＋3i(i 为虚数单位)，求复数z2＋i 的虚部.(2)已知z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i(i 为虚数单位)，且z 1z 2为纯虚数，求实数a 的值.解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入方程|z |－i ＝z ＋2＋3i ，得出x 2＋y 2－i ＝x －y i ＋2＋3i ＝(x ＋2)＋(3－y )i ，故有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝x ＋2，3－y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.∴z ＝3＋4i ，复数z2＋i ＝3＋4i 2＋i ＝2＋i ，虚部为1.(2)z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝3a －8＋(4a ＋6)i 25，且z 1z 2为纯虚数，则3a －8＝0，且4a ＋6≠0，解得a ＝83.16.已知a ，b ，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明 (1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，∴⎝⎛⎭⎫a 2＋19＋⎝⎛⎭⎫b 2＋19＋⎝⎛⎭⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c ＝23.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (2)∵a ·13≤a ＋132，b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132，三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1，∴a ＋b ＋c ≤ 3.17.已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1. (1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论.(1)解 S n ＋a n ＝2n ＋1，当n ＝1时，S 1＝a 1，∴a 1＋a 1＝2×1＋1，得a 1＝32.当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2，则a 1＋a 2＋a 2＝5，将a 1＝32代入得a 2＝74，同理可得a 3＝158.∴a n ＝2n ＋1－12n＝2－12n . (2)证明当n ＝1时，结论成立.假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即a k ＝2－12k .当n ＝k ＋1时，S n ＋a n ＝2n ＋1，则a 1＋a 2＋…＋a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1.∵a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，∴2a k ＋1＝4－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1成立.∴根据上述知对任意n ∈N *，结论成立.18.已知函数f (x )＝ln |x |(x ≠0)，函数g (x )＝1f ′(x )＋af ′(x )(x ≠0).(1)当x ≠0时，求函数y ＝g (x )的表达式；(2)若a ＞0，函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上的最小值是2，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求直线y ＝23x ＋76与函数y ＝g (x )的图象所围成图形的面积.解 (1)∵f (x )＝ln |x |，∴当x ＞0时，f (x )＝ln x ，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )，∴当x ＞0时，f ′(x )＝1x ，当x ＜0时，f ′(x )＝1－x·(－1)＝1x ，∴当x ≠0时，函数y ＝g (x )＝x ＋a x . (2)由(1)知当x ＞0时，g (x )＝x ＋ax ，∴当a ＞0，x ＞0时，g (x )≥2a ，当且仅当x ＝a 时取等号，∴函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上的最小值是2a ，∴2a ＝2， ∴a ＝1.(3)由⎩⎨⎧y ＝23x ＋76，y ＝x ＋1x，得⎩⎨⎧x 1＝32，y 1＝136，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝52， ∴直线y ＝23x ＋76与函数y ＝g (x )的图象所围成图形的面积S ＝232271()()36x x x ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦⎰dx ＝724＋ln 3－2ln 2.。