上海市春考数学试卷.docx
2023年上海市春季高考数学试卷-含答案详解
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 四 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共11小题，共53.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若直线2x +y −1=0是圆(x −a)2+y 2=1的一条对称轴，则a =( )A. 12B. −12C. 1D. −12. 已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：y =kx +m ，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =( )A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±33. 已知圆M:x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线l:2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，且切点为A ，B ，当|PM|·|AB|最小时，直线AB 的方程为( )A. 2x −y −1=0B. 2x +y −1=0C. 2x −y +1=0D. 2x +y +1=0 4. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x −y −3=0的距离为( )A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√555. 若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1D. y =12x +126. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A. 4B. 5C. 6D. 77. 直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x −2)2+y 2=2上，则ΔABP 面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]8. 下列函数是偶函数的是( ) A. y =sinxB. y =cosxC. y =x 3D. y =2x9. 根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小10. 如图，P 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1边A 1C 1上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11. 已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。
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2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设集合 A 1,2,3 ,集合 B 3,4,则A B .2. 不等式 x 1 3 的解集为。
3. 若复数 z 满足 2z 1 3 6i （ i 是虚数单位），则z 。
4. 若 cos 1，则 sin 。
3 25. 若关于 x 、y的方程组x 2 y 43x ay 无解，则实数 a 。
66. 若等差数列a n的前5项的和为25 ，则a1 a5= 。
7. 若 P 、Q是圆x2 y2 2x 4 y 4 0 上的动点，则PQ 的最大值为。
8. 已知数列a n的通项公式 a n 3n，则 lima1a2 a3 a n 。
n a n2 n9. 的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为。
若 xx10. 设椭圆 x 2 y2 1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，点P在该椭圆上，则使得F1F2P 是2等腰三角形的点P 的个数是。
11. 设 a1, a2 , , a6为 1,2,3,4,5,6 的一个排列，则满足a1 a2 a3 a4 a5 a6 3 的不同排列的个数为。
12. 设 a ，b R ，函数 f ( x) x a1,2 上有两个不同的零点，则 f 1 的取值b 在区间x范围为。
二、选择题(A) 0, (B) 1, (C) ,0 (D) ,114. 设a R ，“ a 0 ”是“1”的（）。
a(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件15.过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。
(A) 三角形(B) 长方形(C) 对角线不相等的菱形(D) 六边形16. 如图所示，正八边形A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8的边长为2 .若P为该正八边形上的动点，则A1 A3 A1 P 的取值范围为（）A6 A5 P(A) 0, 8 6 2 (B) 2 2, 8 6 2A7(C) 8 6 2,2 2 (D) 8 6 2, 8 6 2 A8三、解答题A1 A2 17. 如图，长方体ABCD A1B1C1 D1中，AB BC 2, AA1 3 .（1）求四棱锥A1ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小 .A4 A318. 设 a 函数2x aR , f (x) .2x 1（ 1）求a的值，使得 f ( x) 为奇函数；a 2对任意 x R 成立，求a的取值范围. （ 2）若f x219.某景区欲建造两条圆形观景步道M 1、M 2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ，AB AC AD 60（单位：米），要求圆M1与 AB 、 AD 分别相切于点B 、 D ，圆M2与 AC 、 AD分别相切于点C、 D.（ 1）若BAD 60 ，圆 M 1和圆 M 2的半径（结果精确到0.1 米）；（ 2）若观景步道M 1与 M 2的造价分别为每米0.8 千元与每米 0.9 千元。
2023年上海市普通高等学校春季招生考试试卷(数学)
12023年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意:1.答卷前,考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试卷,满分150分.考试时间120分钟.48分）本大题共有12题,只要求直接4分,否则一律得零分.1．已知集合{1A x x =<-或}23x ≤<,{}24B x x =-≤<,则A B = .2．计算:131lim 32n n n n +→∞+=+ .3．函数()f x =地定义域是 .4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内地解是 .5．已知数列{}n a 是公差不为零地等差数列,11a =. 若125a a a 、、成等比数列,则n a = .6．化简:cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上地一点,双曲线地一条渐近线方程为30x y -=. 设 12F F 、分别为双曲线地左、右焦点. 若23PF =,则1PF = .8．已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如右图所示,则该凸多面体地体积V = .9．已知无穷数列{}n a前n项和113n nS a=-,则数列{}n a地各项和为 . 10．古代"五行"学说认为:"物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金."将五种不同属性地物质任意排成一列,设事件A表示"排列中属性相克地两种物质不相邻",则事件A出现地概率是（结果用数值表示）.11．已知12,,,na a a；12,,,nb b b（n是正整数）,令112nL b b b=+++, 223L b b=+,nb++,n nL b=. 某人用右图分析得到恒等式:1122n na b a b a b+++=112233a L c L c L+++k kc L+n nc L++,则kc=(2)k n≤≤.12．已知(1,2),(3,4)A B,直线1l:20,:0x l y==和3:l x+3y10-=. 设iP是il(1,2,3)i=上与A、B两点距离平方和最小地点,则△123PP P地面积是 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确地,必须把正确结论地代号写在题后地圆括号内,选对得 4分,否则一律得零分. 13．已知向量(2,3),(3,)a bλ=-=,若//a b,则λ等于 [答] ( )（A）23. （B）2-. （C）92-. （D）23-.14．已知椭圆221102x ym m+=--,长轴在y轴上. 若焦距为4,则m等于 [答]（）（A）4. （B）5. （C）7. （D）8.15．已知函数()()f xg x、定义在R上,()()()h x f x g x=⋅,则"()()f xg x、均为奇函数"是"()h x为偶函数"地 [答] ( )（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.23（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.16．已知C z ∈,且22i 1,i z --=为虚数单位,则22i z +-地最小值是 [答] ( )（A ）2. （B ）3. （C ）4. （D ）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要地步骤.12分) 已知cos ,2πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求2cos sin 2sin θθθ-地值. [解]412分)在平面直角坐标系xOy 中,A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴地交点,C 为AB 地中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ,求焦点F 到直线AB 地距离.[解]514分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数)2()log 21x f x =+.（1）求证:函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；（2）记1()-f x 为函数()f x 地反函数.若关于x 地方程1()()fx m f x -=+在[1,2]上有解,求m 地取值范围.[证明]（1）[解]（2）614分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如下图所示）.凳面为三角形地尼龙布,凳脚为三根细钢管.考虑到钢管地受力和人地舒适度等因素,设计小凳应满足:①凳子高度为30cm ,②三根细钢管相交处地节点O 与凳面三角形ABC 重心地连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 地正三角形,三只凳脚与地面所成地角均为45 ,确定节点O 分细钢管上下两段地比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120 地等腰三角形,腰长为24cm ,节点O 分细钢管上下两段之比为2:3.确定三根细钢管地长度（精确到0.1cm ）.[解]（1） （2）716分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在直角坐标平面xOy 上地一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ,简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅ 构成地数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>= ,其中j 为方向与y 轴正方向相同地单位向量,则称{}n A 为T 点列.（1）判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1,,n A n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,是否为T 点列,并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列,且点2A 在点1A 地右上方. 任取其中连续三点1k k A A +、、2k A +,判断△12k k k A A A ++地形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）,并予以证明；（3）若{}n A 为T 点列,正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+,求证: >n q m p A A j A A j ⋅⋅ .[解]（1）（2）[证明]（3）8918分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,6分,第3小题满分8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=地虚根,记它在直角坐标平面上地对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上,求证:z P 在圆1C :22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C :222()x m y r -+=（R m r ∈、,0r >）,则存在唯一地线段s 满足:①若z P 在圆C 上,则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点）,则z P 在圆C 上. 写出线段s 地表达式,并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系,通过这种对应关系地研究,填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 地对应线段）.[证明]（1）[解]（2）（3）表一、地取值或表达式线段s与线段1s地关系m rs所在直线平行于1s所在直线s所在直线平分线段s1线段s与线段1s长度相等2023年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考解析及评分标准说明1.本解答列出试卷地一种或几种解法,如果考生地解法与所列解法不同,可参照解答中评分标1011准地精神进行评分.2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生地解答中出现错误而中断对该题地评阅. 当考生地解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后地解答未改变这一题地内容和难度时,可视影响程度决定后面部分地给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重地概念性错误,就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注地分数,表示考生正确做到这一步应得地该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.解析及评分标准一．（第1至12题）每一题正确地给4分,否则一律得零分.1. {}4x x <. 2.13. 3. [2,1)(1,3]- . 4. 712x π=. 5. 21n a n =-. 6. cos α. 7. 5.8. 1 9. 1-. 10.112. 11. 1k k a a --. 12. 32.二．（第13至16题）每一题正确地给4分,否则一律得零分.题 号13141516 代 号CDAB三．（第17至22题）17. [解] 原式2cos 2sin cos sin θθθθ=-…… 2分21cos sin sin cos cos θθθθθ-==. …… 5分又cos,2πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,sin θ∴==, …… 9分 2cos sin 2sin θθθ∴-=. …… 12分1218. [解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C , …… 3分解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分 于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭. …… 9分 ∴ 点F 到直线AB. …… 12分19. [证明]（1）任取12x x <,则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+,1212,02121x x x x <∴<+<+ ,11222212101,log 02121x x xx ++∴<<<++, 12()()f x f x ∴<,即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …… 6分[解]（2）()12()log 21(0)x f x x -=-> , …… 9分[解法一] 1()()m fx f x -∴=- =()()22log 21log 21xx--+ 22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, …… 11分 当12x ≤≤时,222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++, m ∴地取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分[解法二] 解方程()()22log 21log 21xxm -=++,得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭, …… 11分1322112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭, 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴地取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分20. [解]（1）设△ABC 地重心为H ,连结OH . 由题意可得,BH =.设细钢管上下两段之比为λ.已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分节点O 与凳面三角形ABC 重心地连线与地面垂直,且凳面与地面平行.∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成地角,亦即45OBH ∠= .30,1BH OH λλ=∴=+ , 解得,0.63λ=≈. …… 6分即节点O 分细钢管上下两段地比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠=∴==,AC = 设△ABC 地重心为H ,则8,BH AH ==分由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3,可知12OH =. 设过点A B C 、、地细钢管分别为AA BB CC '''、、, 则560.82AA CC OA ''====≈,/14536.12BB OB '===≈, ∴对应于A B C 、、三点地三根细钢管长度分别为60.8cm , 36.1cm 和60.8cm .…… 14分21. [解]（1） 1n a n=, 1111(1)n b n n n n -∴=-=++,显然有1n n b b +>, ∴ {}n A 是T 点列. …… 3分（2）在△12k k k A A A ++中,()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-, ()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--. …… 5分点2A 在点1A 地右上方,1210b a a ∴=->, {}n A 为T 点列,10n b b ∴≥>,()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<,则1120k k k k A A A A +++⋅<.∴ 12k k k A A A ++∠为钝角,∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形. …… 8分（3）[证明] 1,m n p q m q n p ≤<<<+=+ ,0q p n m ∴-=->. ① 1121q p q q q q p pa a a a a a a a ---+-=-+-++- 12()q q p pb b b q p b --=+++≥- . ②同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤- . ③ …… 12分 由于{}n A 为T 点列,于是1p n b b ->, ④由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-, …… 15分 ∴->-q n p m a a a a ,即 >⋅⋅n q m p A A j A A j . …… 16分22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=,解方程2220x bx b +-=,得z b =-±, …… 2分∴点(),z P b -或(),z P b -,将点z P 代入圆1C 地方程,等号成立,15∴ z P 在圆1C :22(1)1x y -+=上. …… 4分（2）[解法一] 当0∆<,即2b c <时,解得z b =-, ∴点(),z P b -或(),z P b -,由题意可得222()b m c b r --+-=,整理后得 222c mb r m =-+-, …… 6分 ()240b c ∆=-< ,222()b m c b r ++-=, (,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为: 222c mb r m =-+-,[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点）,则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<,且点(),z P b -、(),z P b --在圆C 上.…… 10分[解法二] 设i =+z x y 是原方程地虚根,则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ,解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得,222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …… 6分 以下同解法一.[解]（3）表一线段s 与线段1s 地关系、m r 地取值或表达式得分s 所在直线平行于1s 所在直线1m =,1r ≠12分s 所在直线平分线段1s22(1)1r m --=,1m ≠15分线段s 与线段1s 长度相等()22145m r+=18分。
上海市春季高考数学试题
2003年上海市普通高校春季高考数学试卷 (2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。
若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________. 8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。
若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列。
上海市2025届高三 数学一模暨春考 数学试卷(含解析)
2025届高三数学一模暨春考数学试卷2时间：120分钟满分：150一.填空题：1.已知集合{1,4}A =，{5,7}B a =-.若{4}A B = ，则实数a 的值是______.2.已知i 是虚数单位.若3i i(,R)a b a b =+∈，则a b +的值为______.3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是______.4.函数y =的定义域是______.5.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______.6.已知双曲线2221(0)2x y a a-=>，则该双曲线的渐近线为______.7.如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =______.8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若284a a +=，227332a a -=，则10S 的值为______.9.已知函数22,2()11,22x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的不等式()(1)f x f x -<-的解集为______.10.如图，在ABC △中，12AD AB = ，13AE AC = ，CD 与BE 交于点P ，2AB =，4AC =，2AP BC ⋅= ，则AB AC ⋅ 的值为______.11.圆22640x y x y ++-=与曲线243x y x +=+相交于A ，B ，C ，D 点四点，O 为坐标原点，则||OA OB OC OD +++= ______.12.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则22sin sin A B +的最大值为______.二.选择题：13.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，判断下列结论：（1）月接待游客量逐月增加；（2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳。
2023年上海市春季高考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共4小题，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数是偶函数的是( )A. y=sinxB. y=cosxC. y=x3D. y=2x2.根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小3.如图，P是正方体ABCD−A1B1C1D1边A1C1上的动点，下列哪条边与边BP始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C4.已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，共54分。
2023年上海市春季高考数学试卷
2023年上海市春季高考数学试卷（2023•上海）已知集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B ，则a=2．【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．【解答】解：集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B ，则a=2．故答案为：2．（2023•上海）已知向量a =（3，4），b =（1，2），则a -2b =（1，0）．→→→→【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．【解答】解：因为向量a =（3，4），b =（1，2），所以a -2b =（3-2×1，4-2×2）=（1，0）．故答案为：（1，0）．→→→→（2023•上海）不等式|x-1|≤2的解集为：[-1，3]．（结果用集合或区间表示）【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】运用|x|≤a ⇔-a≤x≤a,不等式|x-1|≤2即为-2≤x-1≤2，解出即可．【解答】解：不等式|x-1|≤2即为-2≤x-1≤2，即为-1≤x≤3，则解集为[-1，3]，故答案为：[-1，3]．（2023•上海）已知圆C 的一般方程为x 2+2x+y 2=0，则圆C 的半径为 1．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】把圆C 的一般方程化为标准方程，可得圆C 的圆心和半径．【解答】解：根据圆C 的一般方程为x 2+2x+y 2=0，可得圆C 的标准方程为（x+1）2+y 2=1，故圆C 的圆心为（-1，0），半径为1，故答案为：1．江南博哥（2023•上海）已知事件A的对立事件为A，若P（A）=0.5，则P（A）=0.5．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：事件A的对立事件为A，若P（A）=0.5，则P（A）=1-0.5=0.5．故答案为：0.5．（2023•上海）已知正实数a、b满足a+4b=1，则ab的最大值为116．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用基本不等式求出结果．【解答】解：正实数a、b满足a+4b=1，则ab=14×a•4b≤14×(a+4b2)2=116，当且仅当a=12，b=18时等号成立．故答案为：116．（2023•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm,最小值为154cm,根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为7．【专题】对应思想；分析法；概率与统计；数学运算．【分析】计算极差，根据组距求解组数即可．【解答】解：极差为186-154=32，组距为5，且第一组下限为153.5，325=6.4，故组数为7组，故答案为：7．（2023•上海）设（1-2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4=17．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】根据二项式定理及组合数公式，即可求解．【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a0+a4=C 04+C44•(−2)4=17．故答案为：17．（2023•上海）已知函数f（x）=2-x+1，且g（x）=V WX log2(x+1)，x≥0f(−x)，x<0，则方程g（x）=2的解为x=3．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】分x≥0和x＜0分别求解即可．【解答】解：当x≥0时，g（x）=2⇔log2（x+1）=2，解得x=3；当x＜0时，g（x）=f（-x）=2x+1=2，解得x=0（舍）；所以g（x）=2的解为：x=3．故答案为：x=3．（2023•上海）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为0.5．【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】根据古典概型求解即可．【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为C310=10×9×83×2×1=120，恰有1名男生2名女生的事件个数为C14C26=4×6×52×1=60，则恰有1名男生2名女生的概率为60120=0.5，故答案为：0.5．（2023•上海）已知z1，z2∈C且z1=i z2（i为虚数单位），满足|z1-1|=1，则|z1-z2|的取值范围为[0，2+2]．√【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．【解答】解：设z1-1=cosθ+isinθ，则z1=1+cosθ+isinθ，因为z1=i•z2，所以z2=sinθ+i（cosθ+1），所以|z1-z2|=(cosθ−sinθ+1)2+(sinθ−cosθ−1)2=2[2sin(θ−π4)−1]2=2|2sin(θ−π4)−1|，显然当sin(θ−π4)=22时，原式取最小值0，当sin(θ−π4)=-1时，原式取最大值2+2，√√√√√√√A．y=sinxC．y=x3D．y=2x 故|z1-z2|的取值范围为[0，2+2]．故答案为：[0，2+2]．√√（2023•上海）已知OA、OB、OC为空间中三组单位向量，且OA⊥OB、OA⊥OC，OB与OC夹角为60°，点P为空间任意一点，且|OP|=1，满足|OP•OC|≤|OP•OB|≤|OP•OA|，则|OP•OC|最大值为217．→→→→→→→→→→→→→→→→→→√【专题】综合题；转化思想；分析法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】将问题坐标化，表示出OA，OB，OC的坐标，再设OP=(x,y,z)，代入条件，结合不等式的性质求解．→→→→【解答】解：设OA=(0，0，1)，OB=(32，12，0)，OC=(0，1，0)，OP=(x,y,z)，不妨设x,y,z＞0，则|OP|=x2+y2+z2=1，因为|OP•OC|≤|OP•OB|≤|OP•OA|，所以y≤32x+12y≤z，可得x≥33y，z≥y,所以1=x2+y2+z2≥13y2+y2+y2，解得y2≤37，故OP•OC=y≤217．故答案为：217．→→√→→→→→→→→→√√→→√√（2023•上海）下列函数是偶函数的是（ ）【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可．【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y=sinx为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y=cosx为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y=x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y=2x为非奇非偶函数．故选：B．（2023•上海）如图为2017-2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（ ）A ．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B ．从2018年开始，进出口总额逐年增大D ．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小A ．DD1C ．AD1D ．B 1C【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数据分析．【分析】结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断即可．【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A 对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B 对；2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C 错；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D 正确．故选：C ．（2023•上海）如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 为边A 1C 1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）【专题】整体思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【分析】根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可．【解答】解：对于A ，当P 是A 1C 1的中点时，BP 与DD 1是相交直线；对于B ，根据异面直线的定义知，BP 与AC 是异面直线；A．a1，a3，a5，⋯，a2n-1，⋯为等差数到，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等比数列B．a1，a3，a5，⋯，a2n-1，⋯为等比数列，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等差数列D．a1，a2，a3，⋯，a2022为等比数列，a2022，a2023，⋯，a n，⋯为等差数列对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选：B．（2023•上海）已知无穷数列{a n}的各项均为实数，S n为其前n项和，若对任意正整数k＞2022都有|S k|＞|S k+1|，则下列各项中可能成立的是（ ）【专题】分类讨论；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理．【分析】由对任意正整数k＞2022，都有|S k|＞|S k+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，⋯，a n不可能为等差数列，若d=0，a n=0，则|S k|=|S k+1|，矛盾；若d=0，a n＜0，当n→+∞，S n→-∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d=0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＜0，当n→+∞，a n→-∞，S n→-∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；即可判断．【解答】解：由对任意正整数k＞2022，都有|S k|＞|S k+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，⋯，a n 不可能为等差数列，因为若d＜0，当n→+∞，an→-∞，Sn→-∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d=0，a n=0，则|S k|=|S k+1|，矛盾；若d=0，a n＜0，当n→+∞，S n→-∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d=0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；所以选项B中的a2，a4，a6，⋯，a2n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项D中的a2022，a2023，a2024，⋯，a n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项A中的a1，a3，a5，⋯，a2n-1为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；事实上，只需取a1=a2=⋯=a2022=−1，a n=(12)n,n≥2023，n∈N即可．故选：C．（2023•上海）已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=3，AC=4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F．（1）求直线PM与平面ABC所成角的大小；（2）求直线ME到平面PAB的距离．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；数学运算．【分析】（1）连接AM，PM，∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，在△PAM中，求解即可；（2）先证明AC⊥平面PAB，可得AE为直线ME到平面PAB的距离．进则求AE的长即可．【解答】解：（1）连接AM，PM，∵PA⊥平面ABC，∴∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，在△PAM中，∵AB⊥AC，∴BC=32+42=5，∵M为BC中点，∴AM=12BC=52，∴tan∠PMA=65，即直线PM与平面ABC所成角为arctan65；（2）由ME∥平面PAB，MF∥平面PAB，ME∩MF=M，∴平面MEF∥平面PAB，∵ME⊂平面MEF，∴ME∥平面PAB，∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，∵AB⊥AC，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴AC⊥平面PAB，∴AE为直线ME到平面PAB的距离，∵ME∥平面PAB，ME⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAB=AB，∴ME∥AB，∵M为BC中点，∴E为AC中点，∴AE=2，∴直线ME到平面PAB的距离为2．√（2023•上海）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,其中b=2．（1）若A+C=120°，a=2c,求边长c；（2）若A-C=15°，a=2csinA，求△ABC的面积．√【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【分析】（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求A，B，C，然后结合锐角三角函数即可求解；（2）由已知结合正弦定理先求出sinC，进而可求C，再由正弦定理求出a,结合三角形面积公式可求．【解答】解：（1）∵A+C=120°，且a=2c,∴sinA=2sinC=2sin（120°-A）=3cosA+sinA，∴cosA=0，∴A=90°，C=30°，B=60°，∵b=2，∴c=233；（2）a=2csinA，则sinA=2sinCsinA，sinA＞0，∴sinC=22，∵A-C=15°，∴C为锐角，∴C=45°，A=60°，B=75°，∴a sin60°=2sin75°=82+6，∴a=432+6=32−6，∴S△ABC=12absinC=12×432+6×2×22=3-3．√√√√√√√√√√√√√√√√√（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S=F0V0，其中F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为f=L 2A，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S=f•nT +13n．当f=18，T=10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小．√【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中S的定义求解即可；（2）利用导函数求S的单调性，即可求出S最小时n的值．【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：F 0=2πRH +πR 2．V 0=πR 2H ，所以S =F 0V 0=πR (2H +R )πR 2H=2H +RHR．（2）由题意可得S=18n 10000+13n =32n 100+13n，n ∈N *，所以S′=32200n -13n2=92n 32−200600n2，令S′=0，解得n=32000081≈6.27，所以S 在[1，6.27]单调递减，在[6.27，+∞）单调递增，所以S 的最小值在n=6或7取得，当n=6时，S=32×6100+13×6≈0.31，当n=7时，S=32×7100+13×7≈0.16，所以在n=6时，该建筑体S 最小．√√√√√√√（2023•上海）已知椭圆Γ：x2m2+y 23=1（m ＞0且m≠3）．（1）若m=2，求椭圆Γ的离心率；（2）设A 1、A 2为椭圆Γ的左右顶点，椭圆Γ上一点E 的纵坐标为1，且EA 1•EA 2=-2，求实数m 的值；（3）过椭圆Γ上一点P 作斜率为3的直线l,若直线l 与双曲线y25m2-x 25=1有且仅有一个公共点，求实数m 的取值范围．√→→√【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】（1）由题意可得a,b,c,可求离心率；（2）由已知得A 1（-m,0），A 2（m,0），设E （p,1），由已知可得p 2=23m 2，p 2-m 2+1=-2，求解即可；（3）设直线y=3x+t,与椭圆方程联立可得t 2≤3m 2+3，与双曲线方程联立可得t 2=5m 2-15，可求m 的取值范围．√【解答】解：（1）若m=2，则a 2=4，b 2=3，∴a=2，c=a2−b2=1，∴e=c a =12；（2）由已知得A 1（-m,0），A 2（m,0），设E （p,1），∴p2m2+13=1，即p 2=23m 2，∴EA 1=（-m-p,-1），EA 2=（m-p,-1），∴EA 1•EA 2=（-m-p,-1）•（m-p,-1）=p 2-m 2+1=-2，∵p 2=23m 2，代入求得m=3；√→→→→（3）设直线y=3x+t,联立椭圆可得x2m2+(3x +t )23=1，整理得（3+3m 2）x 2+23tm 2x+（t 2-3）m 2=0，由△≥0，∴t 2≤3m 2+3，联立双曲线可得(3x +t )25m2-x 25=1，整理得（3-m 2）x 2+23tx+（t2-5m 2）=0，由Δ=0，t 2=5m 2-15，∴5m 2-15≤3m 2+3，∴-3≤m≤3，又5m 2-15≥0，∴m≥3，∵m≠3，综上所述：m ∈（3，3]．√√√√√√√√（2023•上海）已知函数f （x ）=ax 3-（a+1）x 2+x,g （x ）=kx+m （其中a≥0，k,m ∈R ），若任意x ∈[0，1]均有f （x ）≤g （x ），则称函数y=g （x ）是函数y=f （x ）的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y=g （x ）在x 处取得的最小值记为f （x ）．（1）若a=2，g （x ）=x,试判断函数y=g （x ）是否为函数y=f （x ）的“控制函数”，并说明理由；（2）若a=0，曲线y=f （x ）在x=14处的切线为直线y=h （x ），证明：函数y=h （x ）为函数y=f （x ）的“控制函数”，并求f （14）的值；（3）若曲线y=f （x ）在x=x 0，x 0∈（0，1）处的切线过点（1，0），且c ∈[x 0，1]，证明：当且仅当c=x 0或c=1时，f （c ）=f （c ）．【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【分析】（1）设h （x ）=f （x ）-g （x ）=2x 3-3x 2，h′（x ）=6x 2-6x=6x （x-1），当x ∈[0，1]时，易知h′（x ）=6x （x-1）≤0，即h （x ）单调减，求得最值即可判断；（2）根据题意得到f （x ）≤h （x ），即y=h （x ）为函数y=f （x ）的“控制函数“，代入即可求解；（3）f （x ）=ax 3-（a+1）x 2+x,f′（x ）=3ax 2-2（a+1）x+1，y=f （x ）在x=x 0（x 0∈（0，1））处的切线为t （x ），求导整理得到函数t （x ）必是函数y=f （x ）的“控制函数“，又此时“控制函数“g （x ）必与y=f （x ）相切于x 点，t （x ）与y=f （x ）在x =12a 处相切，且过点（1，0），在(12a，1)之间的点不可能使得y=f （x ）在(12a ，1)切线下方，所以f (c )=f (c )⇒c =12a =x 0或c=1，即可得证．【解答】解：（1）f （x ）=2x 3-3x 2+x,设h （x ）=f （x ）-g （x ）=2x 3-3x 2，h′（x ）=6x 2-6x=6x （x-1），当x ∈[0，1]时，易知h′（x ）=6x （x-1）≤0，即h （x ）单调减，∴h （x ）max =h （0）=0，即f （x ）-g （x ）≤0⇒f （x ）≤g （x ），∴g （x ）是f （x ）的“控制函数“；（2）f (x )=−x 2+x ,f (14)=316，f ′(x )=−2x +1，f ′(14)=12，∴h (x )=12(x −14)+316=12x +116，f (x )−h (x )=−x 2+12x −116=−(x −14)2≤0，∴f （x ）≤h （x ），即y=h （x ）为函数y=f （x ）的“控制函数“，又f(14)=h(14)=316，且g(14)≥f(14)=316，∴f(14)=316；证明：（3）f（x）=ax3-（a+1）x2+x,f′（x）=3ax2-2（a+1）x+1，y=f（x）在x=x0（x0∈（0，1））处的切线为t（x），t（x）=f′（x0）（x-x0）+f（x0），t（x0）=f（x0），t（1）=0⇒f（1）=0，f′(x0)=3ax02−2(a+1)x0+1⇒f′(x0)(1−x0)=f(1)−f(x0)=(1−x0)[a(1+x0+x02)−(a+1) (1+x0)+1]⇒3a x02−2(a+1)x0+1=a x02−x0⇒(2a x0−1)(x0−1)=0，x0≠1⇒a=12x0∈(12，+∞)⇒x0=1 2a ，f′(x0)=3ax02−2(a+1)x0+1=3a(12a )2−2(a+1)(12a)+1=−14a，f(x0)=a(12a )3−(a+1)(12a)2+12a=2a−18a2，t(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)=−14a (x−12a)+2a−18a2⇒t(x)=−14a(x−1)，f(x)=x(x−1)(ax−1)≤t(x)⇒ax2−x+14a ≥0，(x−12a)2≥0恒成立，函数t（x）必是函数y=f（x）的“控制函数“，∀g(x)=kx+m≥f(x)⇒∀f(x)≥f(x)，f(x)=f(x)，x∈(0，1)是函数y=f（x）的“控制函数“，此时“控制函数“g（x）必与y=f（x）相切于x点，t（x）与y=f（x）在x=12a处相切，且过点（1，0），在(12a ，1)之间的点不可能使得y=f（x）在(12a，1)切线下方，所以f(c)=f(c)⇒c=12a=x0或c=1，所以曲线y=f（x）在x=x0（x0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，当且仅当c=x0或c=1时，f(c)=f(c)．。
上海市2022届春季高考数学试卷
上海市2022届春季高考数学试卷12题，满分54分，第1~6题每题4分，第题每题5分） (共12题；共54分)1．（4分）已知z=2+i，则z̅=【答案】2-i【解析】【解答】解：∵z=2+i，∴z=2−i故答案为：2-i【分析】根据共轭复数的定义求解即可.2．（4分）已知A=(−1，2)，B=(1，3)，则A∩B=【答案】(1，2)【解析】【解答】解：∵A=(−1，2)，B=(1，3)∴A∩B=(1，2)故答案为：(1，2)【分析】根据交集的定义求解即可.3．（4分）不等式x−1x<0的解集为【答案】(0，1)【解析】【解答】解：由题意得x−1x<0等价于x(x-1)<0，解得0<x<1，故所求解集为(0，1).故答案为：(0，1).【分析】根据分式不等式的解法直接求解即可.4．（4分）已知tanα=3，则tan(α+π4)=【答案】-2【解析】【解答】解：由题意得tan(α+π4)=tanα+11−tanα=3+11−3=−2故答案为：-2【分析】根据和角的正切公式求解即可.5．（4分）已知方程组{x+my=2mx+16y=8有无穷解，则m的值为【解析】【解答】解：∵方程组 {x +my =2mx +16y =8 有无穷解， ∴两直线重合 ∴1m =m 16=28 解得m=4 故答案为：4【分析】根据方程组解的个数与直线的位置关系直接求解即可.6．（4分）已知函数 f(x)=x 3 的反函数为 y =f −1(x) ，则 f −1(27)= 【答案】3【解析】【解答】解：∵函数 f(x)=x 3 的反函数为 y =f −1(x) ，∴令x 3=27，得x=3 即 f −1(27)=3 故答案为：3【分析】根据反函数的定义直接求解即可.7．（5分）在 (x 3+1x)12 的展开式中，含 1x 4 项的系数为【答案】66【解析】【解答】解：由题意得 (x 3+1x )12的通项公式为T r+1=C 12r (x 3)12−r(x −1)r=C 12r x36−4r (0≤r≤12，r∈N) 令36-4r=-4，得r=10，则T 11=C 1210x−4=66x −4， 则1x4 项的系数为66.故答案为：66【分析】根据二项式定理直接求解即可.8．（5分）在∈ABC 中， ∠A =π3 ， AB =2 ， AC =3 ，则∈ABC 的外接圆半径为【答案】√213【解析】【解答】解：设AB=c ，AC=b ，BC=a ，则c=2，b=3，则由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA 得a 2=22+32−2×2×3×cos π3=7则由正弦定理得2R =a sinA =√7√32=2√213，则R= √213故答案为： √213【分析】根据余弦定理与正弦定理求解即可.9．（5分）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为 【答案】17【解析】【解答】解：由题意知符合要求的四位数分成三类，①千位数为3或4的四位数，共有C 21A 33=12个；②千位数为2且百位数是3或4的四位数，共有C 21A 22=4个；③千位数为2且百位数是1的四位数，只有一个数：2143. 根据分类加法计数原理得所求四位数的个数为12+4+1=17 故答案为：17【分析】根据分类加法计数原理与根据分步加法计数原理，结合排列组合求解即可.10．（5分）在∈ABC 中， ∠C =π2， AC =BC =2 ，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为【答案】78【解析】【解答】解：由题意知，可以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，2)，B(2，0)，C(0，0)，M(0，1)， 由题意可设P(x ，2-x)，则MP →=(x ，1−x )，CP →=(x ，2−x )， 则MP →·CP →=(x ，1−x )·(x ，2−x )=2x 2−3x +2=2(x −34)2+78≥78(0≤x ≤2)则当x =34时， MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为78 故答案为：78【分析】根据平面向量的坐标运算，以及向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求解即可.11．（5分）已知双曲线 x 2a2−y 2=1(a >0) ，双曲线上右支上有任意两点 P 1(x 1，y 1) ， P 2(x 2，y 2) ，满足 x 1x 2−y 1y 2>0 恒成立，则a 的取值范围是【答案】a ≥1【解析】【解答】解：如图所示，取点P 1关于x 轴对称的点P 3，则P 3(x 2，-y 2)，分别在渐近线上取点M ，N则由 x 1x 2−y 1y 2>0恒成立，得OP 1→·OP 3→>0恒成立， 则∈P 1OP 3恒为锐角， 即∈MON≤90°，则其中一条渐近线y =1a x 的斜率1a ≤1，则 a ≥1故答案为： a ≥1【分析】根据双曲线的几何性质，结合向量的数量积求解即可.12．（5分）已知 f(x) 为奇函数，当 x ∈[0，1] 时， f(x)=lnx ，且 f(x) 关于直线 x =1 对称，设 f(x)=x +1 的正数解依次为 x 1 、 x 2 、 x 3 、 ⋅⋅⋅ 、 x n 、 ⋅⋅⋅ ，则 lim n→∞(x n+1−x n )= 【答案】2【解析】【解答】解：因为 f(x) 为奇函数，所以f(x)关于原点对称， 又 f(x) 关于直线 x =1 对称， 则函数f(x)的周期为T=4(1-0)=4， 又因为 当 x ∈[0，1] 时， f(x)=lnx ， 作出函数f(x)的图象，如图所示，则由题意知， lim n→∞(x n+1−x n )的几何意义是相邻两条渐近线之间的距离2，即 lim n→∞(x n+1−x n )=2. 故答案为：2【分析】根据函数的图象与性质，结合极限的几何意义，运用数形结合思想求解即可.4题，每题5分，共20分） (共4题；共20)13．（5分）下列幂函数中，定义域为R 的是（ ）A ．y =x −1B ．y =x −12C ．y =x 13D ．y =x 12【答案】C【解析】【解答】解：对于A ， y =x −1的定义域为{x|x≠0}，故A 错误；对于B ， y =x −12的定义域为{x|x>0}，故B 错误； 对于C ， y =x 13的定义域为R ，故C 正确； 对于D ， y =x 12的定义域为{x|x>0}，故D 错误. 故答案为：C【分析】根据函数的定义域，结合幂函数的定义求解即可.14．（5分）已知 a >b >c >d ，下列选项中正确的是（ ）A ．a +d >b +cB ．a +c >b +dC ．ad >bcD ．ac >bd【答案】B【解析】【解答】解：对于A ，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d<b+c ，故A错误；对于B ，因为 a >b >c >d ，即a>b ，c>d ，则根据不等式的性质得 a +c >b +d ，故B 正确； 对于C ， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad<bc ，故C 错误；对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac<bd，故D错误.故答案为：B【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.15．（5分）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次A．0B．2C．4D．12【答案】B【解析】【解答】解：根据直线与平面垂直的性质定理易知当相邻两个时钟在3时和9时的时候，时针相互垂直.故答案为：B【分析】根据直线与平面垂直的性质定理求解即可.16．（5分）已知{a n}为等比数列，{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，则下列选项中正确的是（）A．若S2022>S2021，则数列{a n}单调递增B．若T2022>T2021，则数列{a n}单调递增C．若数列{S n}单调递增，则a2022≥a2021D．若数列{T n}单调递增，则a2022≥a2021【答案】D【解析】【解答】解：对于A，设a n=12n，显然有S2022>S2021，但数列{a n}单调递减，故A错误；对于B，设a n=-2n，显然有T2022>T2021，但数列{a n}单调递减，故B错误；对于C，设a n=12n，显然有数列{S n}单调递增，但a2022<a2021，故C错误；对于D，若数列{T n}单调递增，则T n>T n-1>0，则a n>1，q≥1，则a2022≥a2021，故D正确.故答案为：D【分析】根据等比数列的性质，结合特殊值法求解即可.5题，共14+14+14+16+18=76分） (共5题；76分)17．（14分）如图，在圆柱 OO 1 中，底面半径为1， AA 1 为圆柱母线.（1）（7分）若 AA 1=4 ，M 为 AA 1 中点，求直线 MO 1 与底面的夹角大小； （2）（7分）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.【答案】（1）根据直线与平面所成角的定义，易知 直线MO 1与底面的夹角为∈MO 1A 1 则由题意得tan∠MO 1A 1=A 1MO 1A 1=2，则∈MO 1A 1= arctan2 ；（2）设圆柱的底面圆的半径为r ，高为h ， 则因为圆柱的轴截面为正方形， 所以h=2r=2所以圆柱的侧面积为2πrℎ=2π×1×2=4π 圆柱的体积为 πr 2ℎ=π×12×2=2π【解析】【分析】根据直线与平面所成角的定义，以及圆柱的侧面积与体积公式求解即可. 18．（14分）已知数列 {a n } ， a 2=1 ， {a n } 的前n 项和为 S n .（1）（7分）若 {a n } 为等比数列， S 2=3 ，求 lim n→∞S n ； （2）（7分）若 {a n } 为等差数列，公差为d ，对任意 n ∈N ∗ ，均满足 S 2n ≥n ，求d 的取值范围.【答案】（1）设等比数列的公比为q ，则由题意得a 1=2， 则q =12则S n =a 1(1−q n )1−q =4(1−12n ) 则 lim n→∞S n =lim4n→∞(1−12n )=4（2）由题意得S2n=2n·(a2+a2n−1)2=2dn2+(2−3d)n⩾n则(3-2n)d≤1当n=1时，d≤1；当n≥2时，d≥13−2n恒成立；∵13−2n∈[−1，0)∴d≥0综上d∈[0，1]【解析】【分析】（1）根据等比数列的前n项和公式，结合极限求解即可；（2）根据等差数列的前n项和公式，结合不等式的解法求解即可.19．（14分）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知AB=30m，AD=15m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.（1）（7分）若∈ADE =20°，求EF的长；（2）（7分）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）【答案】（1）如图，作DH∈EF，则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∈ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)，则S AEFD =152(30tanθ+15cot2θ)=2254(3tanθ+1tanθ)≥225√32当且仅当3tanθ=1tanθ，即tanθ=√33时，等号成立，即当AE =15tanθ=5√3时，最大面积为450−225√32≈255.14m 2【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.20．（16分）在椭圆 Γ：x 2a2+y 2=1 中，直线 l ：x =a 上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F.（1）（5分）若∈AFB =π6 ，求椭圆 Γ 的标准方程；（2）（5.5分）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）（5.5分）已知直线BC 与椭圆 Γ 相交于点P ，直线AD 与椭圆 Γ 相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求 |CD| 的最小值.【答案】（1）由题意知，∵ ∈AFB =π6 ，∴在RT∈BOF 中，BF=2OB ，即a=2b=2 则椭圆 Γ 的标准方程为 x 24+y 2=1 ；（2）由题意知A(-a ，0)，B(0，-1)，C(a ，2)，D(a ，1)， 则直线BC ：y =3ax −1直线AD ：y =12a x +12则由{y =3a x −1y =12a x +12得交点为(3a 5，45)，符合椭圆 Γ：x 2a 2+y 2=1，故交点在椭圆上； （3）设P 为(acosθ，sinθ)，又B(0，-1)， 则K BP =sinθ+1acosθ，则直线BP ：y =sinθ+1acosθx −1，∴点C (a ，sinθ+1cosθ−1)，同理可得，设Q 为(-acosθ，-sinθ)，又A(-a ，0)，则K AQ=sinθacosθ−a，则直线AQ：y=sinθacosθ−a(x+a)，∴点D(a，2sinθcosθ−1)，∴|CD|=sinθ+1cosθ−1−2sinθcosθ−1=2sinθ2cosθ2+sin2θ2+cos2θ2cos2θ2−sin2θ2−4sinθ2cosθ2−2sin2θ2设t=tan θ2，则|CD|=2(11−t+1t)−2∵1a+1b≥4a+b∴11−t+1t≥41−t+t=4∴|CD|≥6即|CD|的最小值为6【解析】【分析】(1)根据椭圆方程，运用数形结合思想求解即可；(2)根据直线的斜截式方程，以及两直线的交点，结合点在椭圆上的判定求解即可；(3)根据直线的斜截式方程，以及直线与椭圆的位置关系，运用换元法，结合两点间的距离公式以及不等式的性质求解即可.21．（18分）已知函数f(x)，甲变化：f(x)−f(x−t)；乙变化：|f(x+t)−f(x)|，t>0.（1）（6分）若t=1，f(x)=2x，f(x)经甲变化得到g(x)，求方程g(x)=2的解；（2）（6分）若f(x)=x2，f(x)经乙变化得到ℎ(x)，求不等式ℎ(x)≤f(x)的解集；（3）（6分）若f(x)在(−∞，0)上单调递增，将f(x)先进行甲变化得到u(x)，再将u(x)进行乙变化得到ℎ1(x)；将f(x)先进行乙变化得到v(x)，再将v(x)进行甲变化得到ℎ2(x)，若对任意t>0，总存在ℎ1(x)=ℎ2(x)成立，求证：f(x)在R上单调递增.【答案】（1）由题意得g(x)=f(x)-f(x-1)=2x-2x-1=2x-1，则由g(x)=2得2x-1=2，解得x=2；（2）由题意得h(x)=|2tx+t2|，如图所示①当x≤−t2时，h(x)≤f(x)恒成立；②当x>−t2时，h(x)=2tx+t2，则由h(x)≤f(x)得2tx+t2≤x2，解得x≤(1−√2)t或x≥(1+√2)t，综上可得x≤(1−√2)t或x≥(1+√2)t，故解集为：(−∞，(1−√2)t]∪[(1+√2)t，+∞)（3）由题意得h1(x)=|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|，h2(x)=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|，∵x∈R时，h1(x)=h2(x)恒成立∴|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|……①∵t>0且f(x)在(−∞，0)上单调递增∴x-t<x<0则根据|a-b|≥|a|-|b|(当且仅当ab≥0且|a|≥|b|时等号成立)得f(x-t)<f(x)∴f(x)-f(x-t)>0则由①得{[f(x+t)−f(x)]·[f(x)−f(x−t)]⩾0|f(x+t)−f(x)|≥|f(x)−f(x−t)|=f(x)−f(x−t)>0∴f(x+t)-f(x)>0即f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)>0∴{f(x +t)−f(x)>f(x)−f(x −t)f(x +t)>f(x)f(x)>f(x −t)对t>0都成立，则f(x)在R 上单调递增.【解析】【分析】(1)根据函数的新定义，结合对数方程的解法求解即可；(2)根据函数的新定义，运用数形结合思想，结合不等式的解法求解即可；(3)根据函数的新定义，结合函数的单调性，以及绝对值不等式的性质求解即可.试题分析部分1、试卷总体分布分析2、试卷题量分布分析3、试卷难度结构分析4、试卷知识点分析。
2022年上海市春季高考数学试卷-含答案
2022年上海市春季高考数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列函数定义域为R的是( )A. y=x−12B. y=x−1C. y=x13D. y=x122. 若a>b>c>d，则下列不等式恒成立的是( )A. a+d>b+cB. a+c>b+dC. ac>bdD. ad>bc3. 上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点(包含0点，不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为( )A. 0B. 2C. 4D. 124. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，则下列选项判断正确的是( )A. 若S2022>S2021，则数列{a n}是递增数列B. 若T2022>T2021，则数列{a n}是递增数列C. 若数列{S n}是递增数列，则a2022≥a2021D. 若数列{T n}是递增数列，则a2022≥a2021第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知z =2+i(其中i 为虚数单位)，则z −=______． 6. 已知集合A ={−1,2}，集合B ={1,3}，则A ∩B =______． 7. 不等式x−1x<0的解集为______．8. 若tanα=3，则tan(α+π4)=______．9. 设函数f(x)=x 3的反函数为f −1(x)，则f −1(27)=______． 10. 在(x 3+1x )12的展开式中，则含1x 4项的系数为______．11. 若关于x ，y 的方程组{x +my =2mx +16y =8有无穷多解，则实数m 的值为______． 12. 已知在△ABC 中，∠A =π3，AB =2，AC =3，则△ABC 的外接圆半径为数为______．13. 用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为______.(用数字作答)14. 在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC =2，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 15. 已知P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)两点均在双曲线Γ：x 2a2−y 2=1(a >0)的右支上，若x 1x 2>y 1y 2恒成立，则实数a 的取值范围为______．16. 已知函数y =f(x)为定义域为R 的奇函数，其图像关于x =1对称，且当x ∈(0,1]时，f(x)=lnx ，若将方程f(x)=x +1的正实数根从小到大依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，则n →∞lim(x n+1−x n )=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。
上海市春季高考数学试卷(含答案).doc
上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。
若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。
11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
2024年上海市普通高校春季招生统一文化考试 数学试卷
上海市教育考试院保留版权2024春考数学第1页(共4页)2024年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）（试卷共4页，答题纸共2页）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分。
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）1．函数2()log f x x =的定义域为．2．直线10x y -+=的倾斜角为．3．若复数z 满足i 1iz=+(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为．4．在6(1)x -二项展开式中，4x 项的系数为．5．在△ABC 中，若2BC =，45A ∠= ，30B ∠= ，则AC 的长为．6．已知数列{}n a 的通项公式为n a n c =+，设前n 项和为n S ，若70S <，则c 的取值范围为．7．已知a 、b ∈R ，1ab =，则2249a b +的最小值为．8．在△ABC 中，5AB =，7AC =，6BC =，若以B 、C 为焦点，且过点A 的双曲线的离心率为．9．已知2()f x x =，(),(0)()(),(0)f x x g x f x x ≤⎧=⎨-->⎩，则()2g x x ≤-的解集为．10．如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为平行四边形，1||3AA = ，||4BD = ，11115AB B C BC DC ⋅-⋅=，则直线1AA 与BD 所成角的大小为．11．某正方形展区ABCD 边长为1.2km ，点E 距AB 、AD 的距离都为0.2km ，点F 距BC 、CD 的距离都为0.4km ，若有一个圆形跑道经过E 、F 两点，且与AD 只有一个公共点，则圆形跑道的周长为．(精确到0.01km)D 1C 1CB 1A BA 1D2024春考数学第2页(共4页)12．若12a =，24a =，38a =，416a =，若存在实数1b 、2b 、3b 、4b ，使得{|14}{|14}i j i j a a i j b b i j +≤<≤=+≤<≤，则有序实数组1234(,,,)b b b b 共有个．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分。
上海市学业水平考试暨春季高考数学试卷
年上海市学业水平考试暨春季高考数学试卷一.填空题(本大题共题，每题分，共分) 复数3 4i( i为虚数单位)的实部是.若log2(x 1)=3，则x 二.直线y = x _1与直线y = 2的夹角为.函数f (x)—.厂2的定义域为.1 -3 5三阶行列式 4 0 0中，元素5的代数余子式的值为.-1 2 11函数f (x) a的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a二.x在ABC 中，若A =30，B =45，BC ，则AC =.4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为(结果用数值表示)1无穷等比数列｛a n｝的首项为2，公比为一，则｛a n｝的各项的和为.3若2 i( i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2 ax ^0的一个虚根，则a =.函数y =x2 -2x • 1在区间［0,m］上的最小值为0，最大值为1,则实数m的取值范围是.在平面直角坐标系xOy中，点代B是圆x2 y^6x 5=0上的两个动点，且满足uur uuu| AB | = 2\/3，贝V | OA+OB |的最小值为.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。
二.选择题(本大题共题，每题分，共分)满足sin 一：「0且tan ：：：0的角〉属于()()第一象限()第二象限()第三象限()第四象限半径为1的球的表面积为()4()二() ()2二()43在(1 x)6的二项展开式中，x2项的系数为()()2 () 6 () 15 () 20幕函数y二x‘的大致图像是()V i ■19■JNJ J 1X J101I01X0I* t11ICA5 <B) (C) <D)r r r r已知向量a =(1,0) , b =(1,2)，则向量b在向量a方向上的投影为()()1 () 2 () (1,0) () (0,2)设直线I与平面:-平行，直线m在平面:-上，那么()()直线I平行于直线m ()直线I与直线m异面()直线I与直线m没有公共点()直线I与直线m不垂直在用数学归纳法证明等式 1 2 3 L ，2n =2n2• n (n • N*)的第(ii)步中，假设n = k时原等式成立，那么在n -k 1时需要证明的等式为()()1 2 3 L 2k 2(k 1^2k2 k 2(k 1)2(k 1)()1 2 3 L 2k 2(k 1^2(k 1)2 (k 1)()1 2 3 L 2k 2k 1 2(k 1^ 2k2k ■ 2(k1)2 (k 1)2()1 2 3 L 2k 2k 1 2(k 1^2(k 1) (k 1)2 2 2 2X y y x关于双曲线1与1的焦距和渐近线，下列说法正确的是()16 4 16 4()焦距相等，渐近线相同()焦距相等，渐近线不相同()焦距不相等，渐近线相同()焦距不相等，渐近线不相同设函数y = f (x)的定义域为R ,则"f (0) = 0"是'、二f (x)为奇函数"的()()充分不必要条件()必要不充分条件()充要条件()既不充分也不必要条件下列关于实数a, b的不等式中，不恒成立的是()()a2 b2 _2ab () a2 b2 - -2ab□ J ()2 ()ir ur r ur ur r ur ur设单位向量e与e2既不平行也不垂直，对非零向量y i e2、^x,e i y2e>有结r r r r论：若x1y2- x2y1 = 0 ,则a / /b ;若x-|X2y1y2= 0 ,贝U a _ b .关于以上两个结论，正确的判断是（）聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。
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数学试卷
参考答案：
一、填空题：
1、, 11,；2、3；3、0,1；4、2；5、15；6、x2y21；7、5；8、180；
43
9、4；10、
3
；11、
11
19
；12、4.4；
，
6
，
3
6
二、选择题：
13、A；14、C；15、D；16、B；
三、解答题：
17、（1）12 6；（2）3；
am
an
0
，则称{ an}是{ cn}的
N *，使得
cn 1
am
“分隔数列”
（1）设cn2n, ann1，证明：数列{ an}是{ cn}的分隔数列；
（2）设cnn4, Sn是{ cn}的前n项和，dnc3n 2，判断数列{ Sn}是否是数列{ dn}的分隔数列， 并说明
理由；
（3）设cnaqn 1,Tn是{ cn}的前n项和，若数列{ Tn}是{ Cn}的分隔数列，求实数a, q的取值范围？
第7题图第12题图
8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不
担任四辩，则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示）。
2
9
a
9
9、设a
R，若x2
与x
的二项展开式中的常数项相等，则
a _______；
x
x2
10、设mR，若z是关于x的方程x2mxm210的一个虚根，则z的取值范围是________；
1
q
Tm
cn 1
qnqn 11qmqn 1qn1，
令mn，则qn 1qn1qnqnq210，对任意的nN恒成立，则q2，
而qnqn 11qnqn 11（恒成立），故数列Tn是cn的分隔数列，且此时a0；
③当
0 q 1
Tm
cn0，代入并化简得：
q
n
q
n 1
1 q
m
q
n 1
q
n
1
，
时，因为
Tm
cn 1
因为qm单调递减，而qnqn 11n1，qn 1qn1n
2
2
2
假设数列
Sn是否是数列
dn的分隔数列，则必定存在
Sm
dn
0
，
m N，使得
dn 1
Sm
代入不并化简得：
m2
7m 6n 12
m2
7m 6n 12 m2
7m 6n 6 0
m2
7m 6n 6
0
7m 6n 6 0
m2
所以，6n12m27m6n6，
又因为m m72k kZ，所以m(m7)6n12,6n10,6n8，
投影的直观图， 在图2与图3中，点
O
A B
OC
是抛物线的对称轴，
OC
AB
于
C AB 3
、 、 在抛物线上，
，
米，OC 4.5米.
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹
角的大小（精确到0.01）.
20.
20.设a
m2
7m
6n
12
①
对于任意的n
N，三个方程m2
7m
6n
10
②都不能确保m一直偶整数解，
m2
7m
6n
8
③
故不符合定义，所以数列Sn不是数列dn的分隔数列；
另解：举出反例即可！
1°当
2°当
6
m m 7 0
n 1时，
m 6，存在；
m
N
0m m76
n2时，m7，存在；
mN
6m m712
3°当n3时，m8，存在；
2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试
数学试卷
一、填空题（54分）
1、不等式x1的解集为______________；
2、计算：lim3n1_________；
nn 2
3、设集合A
x 0 x 2，B
x
1
x 1
，则A B
________；
4、若复数z
1 i（i是虚数单位），则z
2
______；
z
0，函数
1
f ( x)
1 a 2x
（1）.若a 1，求f ( x)的反函数f1(x)
（2）求函数y f ( x) f ( x)的最大值，（用a表示）
（3）设g( x)f ( x)f ( x1)，若对任意x(,0], g( x)g(0)恒成立，求a的取值范围？
21.若{ cn}是递增数列，数列
{ an}满足：对任意n R, m
，
a
t
则g a
a
,0，且g 0
a
g 0，符合题意；
3a 2
，故满足g x
a
2
a2
3a 2
2°当0
2
1时，即a
2，则y a2t
2
3a 2
2
3a 2 2a 3a，
a
t
a
则g a
2 2 3,0，因为g xming log2
2
g 0，故不符合题意，舍去；
a
综上：a0,2。
21、解析（1）依题意得，
am
cn
m
（1）.若点(2,1)在上，求的焦点坐标；
（2）.若a1，直线ykx1与相交于A, B两点，若线段AB中点的横坐标为1，求k的值；
19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的
光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯
11、设a0，函数f xx2(1x) sin( ax), x0,1，若函数y2x1与yf x的图像有且仅有两
个不同的公共点，则a的取值范围是__________；
12、如图，在正方形
ABCD的边长为20
米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点
P、Q分别在
线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点
5、已知an
是等差数列，若a2
a8
10，则a3a5a7
______；
6、已知平面上动点P到两个定点
1,0
和
1,0
的距离之和等于
4，则动点P的轨迹方程为_________；
7、如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC4，AA15，O是A1C1的中点，则三棱锥
AA1OB1的体积为_________；
62
18、（1）
3,0，
3,0
；（2）
5
1；
2
19、（1）1
；（2）9.59
；
4
20、解析：（1）
x
1
1 x
1
1
f
1
( x)
1
1
x
0,1；
2
y
log2y
log2x
（2）y
1
1
2x
2x
，设2x
t 0，
1 a 2x1 a 2x
a 1 a 2x
则y
t
1
，因为a
0，所以at
a
1时取等号，所以
at
2
a21 t
1
2n
m
2n
1
m (2n 1) 0
am
cn 1
m 1
(
0
m
(2n
1)
2n 1 m 2n 1
2n 2)
0
因为m
N，于是，可得，m
2n，故存在这样的
am
cn
0
，所以数列
am是cn的分隔
m，使得
cn 1
am
数列，得证；
（2）dn
c3n 23n 6，又因为Sn是cn
的前n项和，所以Sn
3 n 4 n
n2
7n，
Q在点P的“盲区”中，已知点P以米/秒的速度
从A出发向D移动，同时，点
Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，
点Q在点P的盲区中的时长均为
_____秒（精确到）.
二．选择题（20分）
13.
下列函数中，为偶函数的是（
）
y x2
1
1
Dy x3
A
B
y x3
C
y x2
14.
如图，在直三棱柱
a
a
2a，当且仅当t
at
a
2
1
t
t
at
a
a2
1 a2
2a 1，即y
0,
1
2；
t
a
1
1
2
a 2x
，设2
x
t，因为x
,0，
（3）g x
2 a 2x
a2t2
3a 2x
1 a 2x
2
所以t
0,1，则g t
a
，若a2t
2
t
2
，
2
2
3a
t
a
aபைடு நூலகம்
t
t
1°当
2
1时，即0 a
2，y a2t
2
3a单调递减，所以y a2
3a 2,
AP AB6，AQ2 AP，则动线段PQ所围成的面积为（）
A、50B、60C、72D、108
三、解答题（14+14+14+16+18=76分）