苏教版数学高二 必修5学案 2. 等比数列的性质

第2课时 等比数列的性质

1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点) 2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)

[基础·初探]

教材整理1 等比数列与指数函数的关系 阅读教材P 53，完成下列问题．

如果数列{a n }是等比数列，则a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，故q ≠1时点(n ，a n )均在函数y ＝a 1q x －1的图象上．

若等比数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋p ，则p ＝________. 【解析】 结合等比数列{a n }的图象特点，可知p ＝0. 【答案】 0

教材整理2 等比数列的性质

阅读教材P 54第12题，P 55第14题，第16题，完成下列问题． 等比数列的性质

(1)如果m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l . (2)如果m ＋n ＝2k ，则有a m ·a n ＝a 2k .

(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．

(4)如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为

q 1，q 2，那么数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n ，{a n ·b n }，

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫b n a n ，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2

q 1，|q 1|.

(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·a n＝a2·a n－1＝a k·a n－k＋1＝….

1．在等比数列{a n}中，若a5＝1，则a2·a8＝________.

【解析】a2·a8＝a25＝1.

【答案】 1

2．在等比数列{a n}中，a1a2＝3，a5a6＝27，则a3a4＝________.

【解析】∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，

∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)

＝3×27

＝81，

∴a3a4＝±9.

【答案】±9

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_________________________________________________

解惑：_________________________________________________

疑问2：_________________________________________________

解惑：_________________________________________________

疑问3：_________________________________________________

解惑：_________________________________________________

疑问4：_________________________________________________

解惑：_________________________________________________

[小组合作型]

等比数列的性质

在等比数列{a n }中， (1)若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，求a 29

a 11

的值；

(2)若a n >0，且a 3a 6＝32，求log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8的值．

【精彩点拨】 利用等比数列的性质，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k 求解．

【自主解答】 (1)∵a 3，a 5，a 7，a 9，a 11成等比数列，

∴a 3a 5a 7a 9a 11＝a 5

7＝243＝35，

∴a 7＝3.

又a 29

a 11＝a 7·a 11a 11

＝a 7，

∴a 29

a 11

＝3. (2)log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8＝log 2a 1·a 2·…·a 8＝log 2(a 1·a 8)4 ＝log 2(a 3a 6)4＝log 2324＝log 2220＝20.

等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．

[再练一题]

1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3·a 9＝4，a 6·a 10＋a 3·a 5＝41，求a 4＋a 8的值；

(2)在等比数列{a n }中，a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根，求a 7. 【解】 (1)∵{a n }为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，

∴a 3·a 9＝a 4·a 8＝4，a 6·a 10＝a 28，a 3·a 5＝a 24， ∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·

a 8＝4，

∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.

(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根，

∴⎩⎨

⎧

a 5＋a 9＝18

7，

a 5·

a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.

又∵a 2

7＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.

灵活设项求解等比数列

第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

【精彩点拨】 解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．

【自主解答】 法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，

由条件得⎩⎪⎨

⎪⎧

a －d ＋(a ＋d )2

a ＝16，

a ＋(a ＋d )＝12，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝9，

d ＝－6.

∴当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

法二：设这四个数依次为2a q －a ，a

q ，a ，aq (a ≠0)，