苏教版数学高二 必修5学案 2. 等比数列的性质

第2课时 等比数列的性质1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点) 2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)[基础·初探]教材整理1 等比数列与指数函数的关系 阅读教材P 53，完成下列问题．如果数列{a n }是等比数列，则a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，故q ≠1时点(n ，a n )均在函数y ＝a 1q x －1的图象上．若等比数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋p ，则p ＝________. 【解析】 结合等比数列{a n }的图象特点，可知p ＝0. 【答案】 0教材整理2 等比数列的性质阅读教材P 54第12题，P 55第14题，第16题，完成下列问题． 等比数列的性质(1)如果m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l . (2)如果m ＋n ＝2k ，则有a m ·a n ＝a 2k .(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n ，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·a n＝a2·a n－1＝a k·a n－k＋1＝….1．在等比数列{a n}中，若a5＝1，则a2·a8＝________.【解析】a2·a8＝a25＝1.【答案】 12．在等比数列{a n}中，a1a2＝3，a5a6＝27，则a3a4＝________.【解析】∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)＝3×27＝81，∴a3a4＝±9.【答案】±9[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问4：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]等比数列的性质在等比数列{a n }中， (1)若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，求a 29a 11的值；(2)若a n >0，且a 3a 6＝32，求log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8的值．【精彩点拨】 利用等比数列的性质，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k 求解．【自主解答】 (1)∵a 3，a 5，a 7，a 9，a 11成等比数列，∴a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243＝35，∴a 7＝3.又a 29a 11＝a 7·a 11a 11＝a 7，∴a 29a 11＝3. (2)log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8＝log 2a 1·a 2·…·a 8＝log 2(a 1·a 8)4 ＝log 2(a 3a 6)4＝log 2324＝log 2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．[再练一题]1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3·a 9＝4，a 6·a 10＋a 3·a 5＝41，求a 4＋a 8的值；(2)在等比数列{a n }中，a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根，求a 7. 【解】 (1)∵{a n }为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a 3·a 9＝a 4·a 8＝4，a 6·a 10＝a 28，a 3·a 5＝a 24， ∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.灵活设项求解等比数列第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【精彩点拨】 解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．【自主解答】 法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋(a ＋d )＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.∴当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq ，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎨⎧q ＝13，a ＝3.∴当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16； 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.灵活设项求解等比数列的技巧1．三数成等比数列，一般可设为aq ，a ，aq .2．四数成等比数列，一般可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3. 3．五数成等比数列，一般可设为a q 2，aq ，a ，aq ，aq 2.[再练一题]2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.【导学号：91730038】【解】 设三个数依次为aq ，a ，aq ， ∵a q ·a ·aq ＝512，∴a ＝8. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a q －2＋(aq －2)＝2a ，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12， ∴这三个数为4,8,16或16,8,4.[探究共研型]等差数列与等比数列的综合应用n 2n 【提示】 {log 2a n }是等差数列，由log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n 可知．探究2 若{a n }是等差数列，则{2a n }是什么数列？ 【提示】 {2a n }是等比数列，由2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n 可知．设{a n }是公差大于0的等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，(1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求等差数列{a n }的通项a n .【精彩点拨】 (1)证明b n ＋1b n 为同一常数；(2)先求b n ，由b n 求a n .【自主解答】 (1)证明：设{a n }的公差为d (d ＞0)， ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d 为常数，且b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＞0，∴{b n }为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1为首项，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫12d 的等比数列．(2)∵b 1b 2b 3＝18，∴b 32＝18，∴b 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178，b 1b 3＝14，∴⎩⎨⎧ b 1＝18，b 3＝2或⎩⎨⎧b 1＝2，b 3＝18.∵q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d ∈(0,1)，∴b 1＞b 3，∴⎩⎨⎧b 1＝2，b 3＝18，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3，∴a n ＝2n －3，(n ∈N *)．等差数列与等比数列的转化1．若数列{a n }为等差数列，则数列{ma n }(m >0，m ≠1)为等比数列． 2．若数列{a n }为等比数列，且a n >0，则数列{log b a n }(b >0，b ≠1)为等差数列．[再练一题]3．已知{x n }为各项不为1的正项等比数列，{y n }满足y n ·log x n a ＝2(a ＞0且a ≠1)，设y 4＝17，y 7＝11.则数列{y n }的前多少项的和最大？最大值是多少？ 【解】 y n ＝2log x n a ＝2log a x n ，且{x n }为等比数列，∵y n －1＋y n ＋1＝2log a x n －1＋2log a x n ＋1＝2log a (x n －1·x n ＋1)＝2log a x 2n ＝4log a x n ＝2y n ，n ≥2，n ∈N *，∴{y n }为等差数列．又y4＝17，y7＝11＝y4＋3d，∴d＝－2，∴y n＝y4－2(n－4)＝25－2n(n∈N*)．由y n≥0，知n≤12.故{y n}的前12项和最大，其最大值为12×(23＋1)2＝144.[构建·体系]1．对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是________．①a1，a3，a9成等比数列；②a2，a3，a6成等比数列；③a2，a4，a8成等比数列；④a3，a6，a9成等比数列．【解析】∵3＋9＝2×6，∴a26＝a3·a9，∴a3，a6，a9成等比数列．【答案】④2．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.【解析】∵{a n}成等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝50，∴a4a5a6＝±52，又a n >0，∴a 4a 5a 6＝5 2. 【答案】 5 23．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝________.【导学号：91730039】【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝362324＝4.【答案】 44．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.【解析】 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7. 又∵a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝a 1a 10＝a 4a 7＝a 3a 8＝a 2a 9＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2a 3…a 10)＝log 395＝log 3310＝10. 【答案】 105．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．【解】 依题意可设这四个数分别为：(4－d )24，4－d,4,4＋d ，则由前三个数和为19，可列方程得，(4－d )24＋4－d ＋4＝19，整理得，d 2－12d －28＝0，解得d ＝－2或d ＝14. ∴这四个数分别为：25，－10,4,18或9,6,4,2.我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________． 【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，∴2b ＝a ＋b 2a ，即a 2＋b 2＝2ab ， ∴(a －b )2＝0， ∴a ＝b ≠0， ∴q ＝b a ＝1. 【答案】 12．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15＝________. 【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000. 【答案】 10 0003．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，∴q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝－7.【答案】 －74．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.【导学号：91730040】【解析】 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6，.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5，解得q ＝26， ∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 【答案】 325．已知数列{a n }是等比数列，且a 2a 6＝2a 4，则a 3a 5＝________.【解析】 ∵a 2a 6＝2a 4，由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 3a 5＝a 24，∴a 24＝2a 4，∴a 4＝2，∴a 3a 5＝4.【答案】 46．互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.【解析】 由题意知a ＋c ＝2b ，∴5b ＝10，b ＝2，∴a ＋c ＝4.∵a c ＝b a ，∴a 2＝bc ，∴a 2＝2c ，∴a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，a ＝b ＝2不合题意，∴a ＝－4.【答案】 －47．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q ＝________.【解析】 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0，则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d .∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 38．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.【解析】 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q12可得q 9＝3，又a n －1·a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.【答案】 14二、解答题9．数列{a n }是等比数列，(1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值；(2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10；(3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5.【解】 (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 4＝32. (2)∵a 2·a 10＝a 26，∴a 10＝a 26a 2＝1622＝128. (3)∵a 3·a 7＝a 25，∴a 5＝±a 3a 7＝±4 2.又∵a5＝a3q2<0，∴a5＝－4 2.10．若a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，试判断△ABC的形状．【解】∵角A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，又△ABC中，A＋B＋C＝π，∴B＝π3.又∵边a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，由余弦定理∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac＝cosπ3＝12，∴a2＋c2－ac＝ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，∴△ABC为等边三角形．[能力提升]1．若正数a，b，c成公比大于1的等比数列，则当x>1时，下列关于log a x，log b x，log c x的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列．【解析】a，b，c成等比数列，则ba＝cb，即b2＝ac,2log x b＝log x a＋log x c，即2 log b x ＝1log a x＋1log c x，即1 log a x ，1log b x，1log c x成等差数列．【答案】③2．(2016·启东高二检测)设{a n}是公比为q的等比数列，其前n项积为T n，并满足条件a1>1，a99a100－1>0，a99－1a100－1<0，给出下列结论：①0<q<1；②T198<1；③a99a101<1；④使T n<1成立的最小自然数n等于199.其中正确的编号为________．【解析】根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a99a100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a99－1a100－1<0，可知a99，a100一个大于1，一个小于1，因为a1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q<1，而且a99>1，a100<1，又a99·a101＝a2100 <1，①③正确；T198＝a1a2…a99a100…a197·a198＝(a99a100)99>1，②不正确；T199＝a1a2…a100…a198a199＝(a100)199<1，故④正确．【答案】①③④3．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)．若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.【解析】∵b n＝a n＋1，∴a n＝b n－1，而{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，∴{a n}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．∵{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，∴{a n}中的连续四项为－24,36，－54,81，∴q＝－3624＝－32，∴6q＝－9.【答案】－94．若{a n}是公差d≠0的等差数列，{b n}是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得d ＝3，q ＝4.(2)假设存在常数a ，b .由(1)得a n ＝3n －2，b n ＝4n －1，代入a n ＝log a b n ＋b ，得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－log a 4＝0，log a 4－b －2＝0， ∴⎩⎨⎧ a ＝34，b ＝1.所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．。