椭圆常见性质

椭圆常见性质 1.

11

||

1PF e d =< 2.PT 平分12PF F ∆在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径1PF 为直径的圆必与长轴为直径的圆内切.

5.设12,A A 为椭圆的左,右顶点,则12PF F ∆在边2PF (或1PF )上的旁切圆,必与12A A 所在的直线切与2A (或1A ).

6.椭圆焦点三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.

7.椭圆两焦点到椭圆焦点三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a -c .

8.椭圆焦点三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a -c .

9.椭圆焦点三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比c .

10.椭圆焦点三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.

11.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.

12.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆的和椭圆长轴为直径的圆的切点.

13.椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的焦半径公式:

1020||,||.PF a ex PF a ex =+=-(0x 是P 点横坐标).

14.设P 点是椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点.记

12F PF θ∠=,则1222122(1)||||;(2)tan .1cos 2

PF F b PF PF S b θ

θ∆==+

15.若P 为椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上异于长轴端点的任一点, 12,F F 为其焦点,

1221,PF F PF F αβ∠=∠=,则

tan tan .22

a c a c αβ

-=+ 16.设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的两个焦点为12,F F ,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,

在12PF F ∆中,记121212,,,F PF PF F F F P αβλ∠=∠=∠=则有

sin sin sin e α

βλ

=+.

17.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的两个顶点12(,0),(,0)A a A a -,与y 轴平行的直线交椭圆于

12,P P 时,11A P 与22A P 交点的轨迹方程是22

221x y a b

-=.

18.若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过P 点的椭圆的切线方程是00221xx yy

a b +=.

19.AB 是椭圆22

221x y a b

+=的不平行于对称轴的弦,M 为AB 的中点,则22OM AB b k k a ⋅=-.

20.若00(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内,则被P 所平分的中点弦的方程是

22

0000

2222xx yy x y a b a b

+=+. 21.若00(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=内,则过P 的弦中点的轨迹方程是22002222xx yy x y a b a b +=+.

22.已知椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>,O 为坐标原点,P,Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥，

（1）22

221111||||OP OQ a b +=+；（2）22

||||OP OQ +的最大值为2222

4a b a b +； （3）OPQ S ∆的最小值是22

22

a b a b +.

23.若椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左准线为l ，11

e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离的d 与2PF 的比例中项。

24.P 为椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上任一点，12,F F 为左右焦点，A 为椭圆内一定点，则

212||||2||a AF PA a AF -≤≤+，当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立。

25.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上存在两点关于直线0:()l y k x x =-对称的充要条件是

222

20

222

()a b x a b k -<+.

26.设A,B 为椭圆椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点,其直线AB 与椭圆22

221x y a b

+=相交

于P,Q,则AP=BQ ．

27.椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是

22222A a B b C +≥.

28.MN 是过椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>焦点的任意弦.若AB 是经过椭圆中心且平行于MN

的弦,则2

||2||AB a MN =.

29. .MN 是过椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>焦点的任意弦.若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥,

则

222

2111||||a MN OP a b +=+.

30.设11(,)A x y 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任一点,过A 作一条斜率为21

21

b x a y -的直线l,

又设d 是原点到直线l 的距离,12,r r 分别是A 到椭圆两焦点的距离,

ab =.

31.过椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>,A,B 是椭圆上两点,线段AB 的垂直平分线与想轴相交于点

0(,0)P x ，则2222

0a b a b x a a

---<<.

32. 过椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB,CD,则

2222282()||||ab a b AB CD a b a

+≤+≤+.