“隔板法”解决排列组合问题

隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解, 下面通过典型例子加以解决。

例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种

（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种

（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种

解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11 个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“ 1”看成隔板，则如图00 隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4 四个盒子相应放入2个，4个，4个，2 个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C131 =165 种。

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（2）法1 （分类）①装入一个盒子有C4 4种；②装入两个盒子，即12个相同的小

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球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有C42C111 66种; ③装入三个盒子，即12个相同

的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有C：Gi=220种;④装入四个盒子，即12个

相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有C131 165种;由加法原理得共有

4+66+220+165=455 种。

法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12 个小球任意装，即16 个小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有C135 455 种。

（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子，共有C41C4210 种。

法2：先给每个盒子装上比编号小 1 的小球，还剩 6 个小球，则转化为将 6 个相同的小球装入4 个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有C5310

由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。

例2、（1）方程X, x2 x3 x4 10的正整数解有多少组

（2）方程X i X2 X3 X4 10的非负整数解有多少组

（3）方程2X,X2 X3川X10 3的非负整数整数解有多少组

3 解：（1）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有C9 84种，所以该方程有84组正整数解。

（2）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，进而转化为14个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有C；3 286种，所以该方程有286组非负整数整数解。

3 （3）当X1 0时，转化为3个相同的小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有Cn 165

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种。当X1 1时，转化为1个小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有C9=9种；所以该

方程有165+9=174组非负整数整数解。

例3、已知集合，选择的两个非空子集代B，且A中最大的元素比B中

最小的元素小，则选择方法有多少种

解:由题意知A, B的交集是空集，且A,B的并集是的子集C，所以C至少含有两个元素，

将C中元素按从小到大的顺序排列，然后分为两部分，前边的给A，后边的给B，代B至

少含有1个元素，设C中有n个元素，则转化为n个相同的小球装入2个不同的盒子，则有c n种装

法，故本题有Cs c；c；C5C3 c f c4 49种选择方法。

总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”。若每组元

素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目为0个时，向每组元素数目至少一个的模型转化，然后用“隔板”法加以解决。