隔板法”解决排列组合问题

“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）

排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。

例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？

（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？

（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？

解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3

11C =165种。

（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C =种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C =种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C =220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C =种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。 法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有3

15455C =种。

（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。

法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有3510C =

由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。

例2、（1）方程123410x x x x +++=的正整数解有多少组？

(2) 方程123410x x x x +++=的非负整数解有多少组？

（3）方程1231023x x x x ++++=L 的非负整数整数解有多少组？

解：（1）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有3

984

C=种，所以该方程有84组正整数解。

（2）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，进而转化为14个

相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有3

13286

C=种，所以该方程有286组非负整数整数解。

（3）当

10

x=时，转化为3个相同的小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有3

11165

C=种。当

11

x=时，

转化为1个小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有1

9

C=9种；所以该方程有165+9=174组非负整数整数解。例3、已知集合{}

I=1,2,3,4,5，选择I的两个非空子集,A B，且A中最大的元素比B中最小的元素小，则选择方法有多少种？

解：由题意知,A B的交集是空集，且,A B的并集是I的子集C，所以C至少含有两个元素，将C中元素按从小到大的顺序排列，然后分为两部分，前边的给A，后边的给B，,A B至少含有1个元素，设C中有n个元素，则转化为n个相同的小球装入2个不同的盒子，则有1n C种装法，故本题有

2314151 552535449

C C C C C C C

+++=种选择方法。

总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”。若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目为0个时，向每组元素数目至少一个的模型转化，然后用“隔板”法加以解决。