隔板法”解决排列组合问题
[隔板法解排列组合问题]解读隔板法
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[隔板法解排列组合问题]解读隔板法[隔板法解排列组合问题]解读隔板法篇一 : 解读隔板法隔板法就是在n个元素间的个空中插入 k个板，可以把n个元素分成k+1组的方法。
应用隔板法必须满足3个条件:这n个元素必须互不相异所分成的每一组至少分得1个元素分成的组别彼此相异教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有:种不同的方法(2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有: 种不同的方法(3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件(解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,1 先排末位共有C31 然后排首位共有C43 最后排其它位置共有A4113 由分步计数原理得C4C3A4?288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法,二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元522素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
微专题 隔板法解排列组合问题
微专题 “隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将n 个相同元素分成m 组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有11--m n C 种，即给n 个元素中间的（1-n ）个空隙中插入（1-m ）个隔板.(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有11--+m m n C 种，即将n 个相同元素与（1-m ）个相同隔板进行排序，在（1-+m n ）个位置中选（1-m ）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有 种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了3组.图1－1所示的是其中一种装法.图11-将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有3629=C （种）.例2.求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、5x ，要得到方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.可分以下两步完成:第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法； 第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法.由分步计数原理知，共有46C 种不同放法.我们把标有i x （i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k .这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）.46C =26C =1256⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有n 个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有（种）165311=C .题型三：每盒分别有m n n n ,,,21 个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3,4,5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2,3,4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放法共有（种）45210=C题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法.311C =12391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法.点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒子数少1.例6.求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方.这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。
2023年高考数学复习----排列组合隔板法典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合隔板法典型例题讲解【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）六元一次方程12610x x x +++=的正整数解有________组．【答案】126【解析】12610x x x +++=的正整数解的组数为59987612624C ⨯⨯⨯==， 故答案为：126．例2．（2022·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ） A ．720种B ．420种C ．120种D ．15种【答案】D 【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为26C =15，故选： D例3．（2022春·山东济宁·高三济宁一中校考开学考试）()112x y z ++展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）A ．12项B ．24项C ．39项D ．78项【答案】D 【解析】()112x y z ++展开之后必有形如a b c mx y z 的式子出现，其中,,,m R a b c N ∈∈，且11a b c ++=．构造14个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，利用隔板法，共有分法213C 种； 每组去掉一个小球的数目分别为()112x y z ++的展开式中,,x y z 各字母的次数； 小球分组模型与各项的次数是一一对应的，故()112x y z ++的展开式中，合并同类项之后的项数为213131278 2C⨯==项．故选：D。
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。
隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题
1 10.3 组合六教学目标: 1掌握组合数的性质并能应用组合数的性质解题. 2培养学生应用公式、性质的能力. 教学重点: 隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题. 教学难点: 隔板法、插入法、捆绑法. 教学过程: 讲授新课例1有10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个不同盒子�7�6要求每个盒子非空共有多少种放法�7�7要求每个盒子放入的小球数不少于盒子的编号数共有多少种放法方法一:�7�6设xyz10 x≥y≥z 其正整数解为x8y1z1x7y2z1 x6y3z1x6y2z2x5y4z1x5y3z2 x4y4z2x4y3z3 则放法有:.36443313AA �7�7先将1个、2个小球分别放入第2、3个盒子再按�7�6放入每个盒子的小球数gt 0 设xyz7 x≥y≥z 其正整数解为x5y1z1x4y2z1 x3y3z1x3y2z2 则放法有:.1533313AA 方法二隔板法.如: 对应: �7�63629C �7�71526C 答:�6�7 练习1.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队参加市中学数学应用题竞赛活动使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种611C462 练习2. 6人带10瓶汽水参加春游每人至少带1瓶汽水共有多少种不同的带法12659C 练习3.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学每所小学至少得到2台共有种不同送法. 例2. 已知方程xyzw100求这个方程的正整数解的组数. 练习4. 已知方程x1x2x350求这个方程有多少组非负整数解. 1号2号3号1号2号3号1号2号3号2 隔板法就是把“”当成隔板把考察的对象分成若干份例3. 一座桥上有编号为123�6�710的十盏灯为节约用电又不影响照明可以把其中的三盏关掉但不能关掉相邻的两盏或三盏也不能关掉两端的路灯问不同的关灯方法有多少种练习5. 一条长椅上有9个座位3个人坐若相邻2人之间至少有2个空椅子共有几种不同的坐法例4. 一条长椅上有七个座位四人坐要求三个空位中有两个空位相邻另一个空位与这两个相邻空位不相邻共有几种坐法课堂小结 1. 隔板法2. 插入法3. 捆绑法. 捆绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一主要用于解决quot相邻问题quot及quot不邻问题quot。
国考备考：排列组合问题之隔板法
国考备考：排列组合问题之隔板法河北公务员考试的《行测职业能力测验》包括五大部分内容：言语理解与表达、数量关系、判断推理、常识判断和资料分析，主要考察考生是否具有从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力。
河北华图教育精心整理了河北公务员行测真题及其他公务员笔试资料供考生备考学习。
排列组合问题一直是困扰很多考生的一类题目，其实我们只要把握好排列组合的基本原理和方法，大部分的题目都能够顺利解出来。
今天我们就排列组合的一种方法—隔板法介绍给大家。
对于这种方法虽然没有前面我们讲过的捆绑法和插空法考查的那么频繁，但一旦出现这种题型的话如果没有这种方法的话，会让很多考生感觉没有头绪。
首先我们先来看一下适用隔板法的题目特征：如果题目表述为一组相同的元素分成数量不等的若干组，要求每组至少一个元素，则将隔板插入元素之间，计算出分类总数。
m个相同的物品分给n个人，m≥n时，每人至少分一个有C n-1m-1种分法【例1】将7 个大小相同的桔子分给4 个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法？（）A. 14B. 18C. 20D. 22【解析】m个相同的物品分给n个人，m≥n时，每人至少分一个有C n-1m-1种分法；因此本题中共计有C36 =20 种，因此，本题正确答案为C。
【例2】（2010-国考-46）单位订阅了30 份学习材料发放给3 个部门，每个部门至少发放9 份材料。
问一共有多少种不同的发放方法？（）A. 12B. 10C. 9D. 7【解析】这道题目的问题虽然不是每个部门至少一个，但是我们可以首先给每个部门分8 份，再将剩下6 份的分配给3个部门，这样就变成将6份材料分给3个部分每个部门至少发放一份的方法有几种了。
相当于在6 份材料的5 个间隔中插两块板，有C25＝10(种)情况。
因此，一共有10种方法。
因此，本题正确答案为B。
【例3】有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法?( )A. 144B. 217C. 512D. 640【解析】这道题目的问题虽然是每天至少吃一粒，但是没有说明吃几天，因此需要分情况吃1天，2天，3天....10天。
“隔板法”
“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153 =455 种（2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。
（3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种913111例 2、（ 1）方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的正整数解有多少组？(2) 方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x 1 x 2 x 3x 10 3 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C 384 种，所以该方程有 84 组正整数解。
（ 2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子， 可以有空盒， 先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C3286 种， 所以该方程有 286 组非负整数整数解。
排列组合的基本方法——隔板法
一、知识要点预备：二、知识要点：排列组合的基本方法——隔板法排列组合中分配问题，是排列组合中的难点问题，其中涉及到名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法，下面我们就来一起研究一下这种方法。
例1 10个优秀指标名额分配给6个班级，每个班至少一个，共有多少种不同的分配方法？解析：本小题涉及到了名额分配的问题，宜采用隔板法。
用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即有59C 种方法。
按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标……依此类推，共有59126C =种分法。
例2 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？解析：先拿3个指标分配给二班一个，三班两个，然后，问题就转化为7个优秀名额分配个三个班级，每班至少一个。
由例1可知，共有2615C =种不同的分配方法。
例3 研究不定方程123410x x x x +++=的正整数解有多少个？ 解析：该问题可以这样处理：将方程左边的1234x x x x 、、、看成是4个班级得到的名额数，右边的10看成是10个名额。
这样就相当于10个优秀名额分配到4个班级，每个班级至少有一个名额，共有多少种不同的分配方法。
这样，本题就转化为里例1的形式，所以本题的答案即为3984C =。
例4 研究不定方程123410x x x x +++=的非负整数解有多少个？ 解析：本题与上一题的不同点就在于本题求的是非负整数解的个数，即1234x x x x 、、、有可能等于0，所以本题就不能再直接的看成是例1的名额分配的问题了。
但我们可以通过转化将其转化为名额分配的问题。
方程123410x x x x +++=即为123411((1)14x x x x ++++++=（）（）+1)，通过这样的转化形式，11x +、21x +、3x +1、41x +就都是正整数了。
所以本题的最后答案是313286C =。
巧用隔板法解相同元素组合问题
练习题
▪ 4、若集合A=｛1,2,3,4,5｝,B=｛6,7,8｝, 从A到B的映射f中，满足
f(a1)≤f(a2)≤f(a3) ≤f(a4)≤f(a5) 则这样的映射共有多少个映射？
巧用隔板法解相同元素的组合问题
广东省深圳市建文中学 高中数学老师欧阳文丰制作
隔板法：又称剪截法。
在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒 子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。
解题思路： n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个
盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球排列成
一排从间隙里插入m-1个隔板形成m段.因此放法数
再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒
子至少有一个小球的放法种数问题.
将10个小球串成一串，截为4段有 法，对应放到4个盒子里.
C93
84
种截断
因此，不同的分配方案共有84种 .
例题学习
▪ 例5(2002年全国高中数学联赛试题5)已知
两个实数集合A＝{a1，a2，…，a100}与
B＝{b1，b2，…，b50}，若从A到B的映
C 变个成小了球求的1放0法个了小。球即放共入有例4.某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名 额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有 ___种.
解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，
▪ 5、求方程
的非负整数解的个数。
的个数为 （个）。
练习题
▪ 1、一串糖葫芦共6颗，每颗大小形状都相同，分 给三个小朋友吃，每个小朋友至少分得一颗，问 共有多少种分法? A.4 B.6 C.8 D.10
解答排列组合问题常用的几种途径
体，即为一个“对象”，4 本不同年级的物理书也看成一
个整体，即为另一个“对象”，把两个“对象”排成一排
有
A2 2
种排法；
第二步，对数学书、物理书两个“对象”内部的元素
分别进行排列，数学书“对象”内部的元素有
A3 3
种排列
方法，物理书“对象”内部的元素有
A
4 4
种排列方法.
因此，符合题意的排列方法共有
同元素.将这 10 个相同元素排成一排，元素之间有 9 个
空，选出 2 个空插入隔板，可把 10 个元素分成 3 份，分
配给每个班级，所以共有
C2 9
=
36种
分配方案.
本题为相同元素的分配问题，可采用隔板法对问
题进行求解.隔板法的适用范围较窄，同学们在解题时
需首先确定问题是否为相同元素的分配问题，再采用
A22∙A33∙A
4 4
=
288种
.
本题中要求数学书必须相邻，物理书也必须相
邻，则本题即为相邻问题，可采用捆绑法对问题进行
求解.
二、运用插空法
若问题中要求几个元素不能相邻，则需采用插空
法，即先将无限制条件的元素全排列；再将指定的不
能相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从
而将各个元素按照题目要求排列好.
隔板法求解.
四、借助倍缩法
有些问题中要求部分元素有固定的顺序，此时我
们可用倍缩法进行求解.先将所有元素进行全排列；然
后用所有元素的全排列数除以定序元素的全排列数，
即可得到问题的答案.
例 4.现将 4 名男生、3 名女生（身高各不相同）这 7
名学生排成一行.若女生按照从矮到高的顺序排列（从
利用隔板法巧解排列组合问题(四个方面)
利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++展开式中共有多少项？ 解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。
隔板法排列组合题目
隔板法是一种排列组合的方法，通常用于解决将物品分成若干组的问题。
一个经典的隔板法题目是：有8个苹果和3个梨，请问你用隔板法将它们排成一排，让苹果和梨交替出现。
这个问题可以用隔板法来解决。
首先，我们在苹果和梨之间插入两个隔板，表示两者之间的间隔。
然后我们就可以在这些位置排列苹果和梨。
按照这种方法，我们可以得到各种不同的排列组合。
用A表示苹果，P表示梨，|表示隔板，那么一种排列方式可能是：
A | A | A | A | A | A | A | A | P | P | P
另外一种可能的排列方式是：
A | A | P | A | A | A | A | A | P | A | P
这样的问题可以通过隔板法来解决，让我们得到所有可能的排列组合。
2016山东公务员考试行测排列组合速解技巧之隔板法
2016山东公务员考试行测排列组合速解技巧之隔板法
行测作为山东公务员考试公共科目，考察内容包括言语理解与表达、数量关系、判断推理、资料分析和常识判断等部分；从近几年山东公务员招考信息情况来看，山东公务员考试一般在每年4月份进行。
中公教育面为考生整理了大量山东公务员行测考点供考生学习提高。
在公务员考试行测数量关系题目中，经常能看到排列组合问题的身影，大部分的考生可能会对排列组合题目望而却步，其实解出排列组合问题并不难，掌握一定的技巧，很多题目可以快速选出答案。
这里给大家介绍一种同素分堆问题的巧解方法-隔板法。
中公教育专家先带着大家来了解一下什么是同素分堆。
例题1. 一串糖葫芦共6颗，每颗大小形状都完全相同，分给三个小朋友吃，每个小朋友至少分得一颗，问共有多少种分法?
在这个题目中，6颗糖葫芦的大小和形状是完全相同的，这就是所谓的“同素”，分给三个小朋友，这三个小朋友是不同的，这就是“分堆”，合起来就是“同素分堆”。
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隔板法
n 1 空档中选取 m 1 个位置放隔板，因隔板无差别，
m 故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有 Cn1 种不同的放Байду номын сангаас， 1
根据分步计数原理，共有 1× Cn1 = Cn1 种不同排法,因 m 1 块隔板将 n 件相同物品分成 m 块，从左到右可以看成每人所得 的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有 Cn1 种分法.
2 2 22
归纳：
对 n 件相同物品（或名额）分给 m 个人（或位 置） ，允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看 成将这 n 件物品分成 m 组， 允许若干组为空的问题. 将 n 件物品分成 m 组，需要 m 1 块隔板，将这 n 件 物品和 m 1 块隔板排成一排，占 n m 1 位置，
m1
m1
m1
应用
1． (1)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中， 问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种? (2)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中， 每盒可空，问不同的放法有多少种? (3)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中， 要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放 法有多少种?
17 17 有 C19 种不同的放法，根据分步计数原理，共有 C19 种不同的方法，因 17
块隔板将 20 个小球分成 18 组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每 一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有 C19 种分法.
17
归纳：
对 n 件相同物品（或名额）分给 m 个人（或位置） ， 每个人（或位置）必须有物品问题,可以看成将这 n 件物品分 成 m 组，每组不空的问题.将 n 件物品分成 m 组，需要 m 1 块隔板，将这 n 件物品排成一排，因物品无差别，故物品之间 无顺序，是组合问题，只有 1 种排法，再在这 n 件物品之间的
隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题汇总
1 10.3 组合（六）教学目标: 1．掌握组合数的性质，并能应用组合数的性质解题. 2．培养学生应用公式、性质的能力. 教学重点: 隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题. 教学难点: 隔板法、插入法、捆绑法. 教学过程: 讲授新课例1．有10 个相同的小球，放入编号为1、2、3 的三个不同盒子，�7�6要求每个盒子非空，共有多少种放法？�7�7要求每个盒子放入的小球数不少于盒子的编号数，共有多少种放法？方法一:�7�6设x＋y＋z＝10, x≥y≥z, 其正整数解为：x＝8，y＝1，z＝1；x＝7，y＝2，z＝1；x＝6，y＝3，z＝1；x＝6，y＝2，z＝2；x＝5，y＝4，z＝1；x＝5，y＝3，z＝2；x＝4，y＝4，z＝2；x＝4，y＝3，z＝3．则放法有�7�7先将1 个、2 个小球分别放入第2、3 个盒子，再按�7�6放入每个盒子的小球数> 0，设x＋y＋z＝7, x≥y≥z, 其正整数解为：x＝5，y＝1，z＝1；x＝4，y＝2，z＝1；x＝3，y＝3，z＝1；x＝3，y＝2，z＝2．则放法有: . 15 3 3 方法二：隔板法.如: 对应: �7��7�C 答:�6�7 练习1.某中学从高中7 个班中选出12 名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1 人参加的选法有多少种？练习2. 6 人带10 瓶汽水参加春游，每人至少带1 瓶汽水，共有多少种不同的带法？练习3.北京市某中学要把9 台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2 台，共有种不同送法. 例2. 已知方程x＋y＋z＋w＝100，求这个方程的正整数解的组数. 练习4. 已知方程x 1 ＋x 2 ＋x3＝50，求这个方程有多少组非负整数解. 1号2号3号1号2号3号1号2号3号 2 隔板法：就是把“|”当成隔板，把考察的对象分成若干份．例3. 一座桥上有编号为1，2，3�6�7，10 的十盏灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，问不同的关灯方法有多少种？练习5. 一条长椅上有9 个座位，3 个人坐，若相邻2 人之间至少有2 个空椅子，共有几种不同的坐法？例 4. 一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中有两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻空位不相邻，共有几种坐法？课堂小结 1. 隔板法；2. 插入法；3. 捆绑法 . 捆绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一，主要用于解决"相邻问题" 及"不邻问题"。
隔板法”解决排列组合问题
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解，下面通过典型例子加以解决。
例1、（1） 12个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（2）12个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子中，问不同放法有多少种？（3）12个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1 ）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选岀3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有Cn3 =165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有C41 4种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有CrCn166种；③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有C43C H2 =220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有Cu3 165种；由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有C153 4 5 5种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有C41C4210种。
法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有C5310由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
2020江西国企招聘考试：排列组合问题之隔板法
2020江西国企招聘考试：排列组合问题之隔板法1.幼儿园老师手中有10个一模一样的苹果，现在要分给3个小朋友，每个小朋友至少分得一个苹果，有几种分配方案?A.24B.36C.48D.72【解析】B。
已知苹果是一模一样的，这就是所谓的元素相同，现在要分给三个人，也就是需要把这10个相同的苹果分成三份，那我可以用两个隔板放在10个苹果形成的中间9个空中，这样就可以分成三份了，而且每份里至少有一个，所以总的方法数就是种。
请注意，刚刚在解题中需要大家关注到一些点：一、题干特征一定是相同元素进行分组，每组至少一个，才能用隔板法;二、分m组应该用m-1个隔板，且隔板必须放在中间的空里，也就是n个元素中间形成n-1个空，即分配方案数为种。
另外，这类题可以有一定变形，如果大家能掌握就更好了。
我们接着一起来看一下变形后的题：2.幼儿园老师手中有10个一模一样的苹果，现在要分给3个小朋友，每个小朋友至少分得2个苹果，有几种分配方案?A.12B.15C.18D.24【解析】B。
依然是相同元素要进行分配，但改成了“每个人至少分两个”，可以怎么考虑呢?我们前面学过“每个人至少分一个”可以很快用隔板法进行求解，那能不能将“每个人至少分两个”转变成“每个人至少分一个”呢?我可以先给三个小朋友一人发一个苹果，这样这道题不就变成了“有7个相同的苹果，要分给3个小朋友，每人至少分一个”，利用隔板法，有种。
3.幼儿园老师手中有10个一模一样的苹果，现在要分给3个小朋友，任意分，有几种分配方案?A.30B.45C.66D.76【解析】C。
根据上一题的思路，如果能将“任意分”转变成“每个人至少分一个”，大家肯定就会做了，怎么操作呢?我可以先向三个小朋友一人借一个苹果，借了就必须要还给人家，这样这道题不就变成了“有13个相同的苹果，要分给3个小朋友，每人至少分一个”，利用隔板法，有种。
同素分配并不难，希望大家掌握之后能更快的解题，同时克服对排列组合问题的畏难情绪。
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“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）
排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？
（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3
11C =165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C =种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C =种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C =220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C =种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有3
15455C =种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。
法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有3510C =
由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
例2、（1）方程123410x x x x +++=的正整数解有多少组？
(2) 方程123410x x x x +++=的非负整数解有多少组？
（3）方程1231023x x x x ++++=L 的非负整数整数解有多少组？
解：（1）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有3
984
C=种，所以该方程有84组正整数解。
（2）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，进而转化为14个
相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有3
13286
C=种，所以该方程有286组非负整数整数解。
（3）当
10
x=时，转化为3个相同的小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有3
11165
C=种。
当
11
x=时，
转化为1个小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有1
9
C=9种；所以该方程有165+9=174组非负整数整数解。
例3、已知集合{}
I=1,2,3,4,5，选择I的两个非空子集,A B，且A中最大的元素比B中最小的元素小，则选择方法有多少种？
解：由题意知,A B的交集是空集，且,A B的并集是I的子集C，所以C至少含有两个元素，将C中元素按从小到大的顺序排列，然后分为两部分，前边的给A，后边的给B，,A B至少含有1个元素，设C中有n个元素，则转化为n个相同的小球装入2个不同的盒子，则有1n C种装法，故本题有
2314151 552535449
C C C C C C C
+++=种选择方法。
总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”。
若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目为0个时，向每组元素数目至少一个的模型转化，然后用“隔板”法加以解决。