(完整版)新北师大九年级数学下册知识点总结
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新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一•锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与邻边的比叫做/A的正切，记作tanA ,① tanA 是一个完整的符号，它表示/A的正切，记号里习惯省去角的符号“/”；② tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/A 的对边与邻边的比；③ tanA 不表示"tan ”乘以"A ”；④ 初中阶段，我们只学习直角三角形中，/A是锐角的正切；⑤ tanA 的值越大，梯子越陡，ZA 越大；ZA 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2. 正弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与斜边的比叫做/A 的正弦，记作sinA ，即sin AA的对边................................... """■ 斜边3. 余弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦，记作cosA ，即cosA A的邻边 .............................. ■■■■■斜边之变化三•三角函数的计算1. 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 仰角2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 俯角值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大 < sin a< 1， 0< cos a< 1。
4. 坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度i tan Al5. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角...。
如图3，OA OB OC 的方位角分别为 45 °、135 °、225 °。
6. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角.。
北师大九年级下数学知识点
北师大九年级下数学知识点作为数学的学科，可以说无处不在。
数学贯穿我们的生活，涵盖了各个领域，不仅仅是学校的教育内容，更是构建整个世界的基石。
在北师大九年级下数学课程中，有一些重要的知识点我们不能忽视。
本文将为您介绍几个重要的数学知识点。
一、平行线与相交线平行线与相交线是几何学中最基础的概念之一。
平行线是指在同一平面内永不相交的两条直线，而相交线则正相反，是指相交于一点的两条线。
在九年级下学期数学课程中，我们将学习到如何证明平行线的性质，如何利用平行线的特性解题等。
这些知识将为我们奠定几何学的基础。
二、相似三角形相似三角形是几何学中的重要概念。
相似三角形是指具有相同的形状但是大小不同的三角形。
在九年级下学期的数学中，我们将学习如何判断两个三角形是否相似，以及相似三角形的性质和运用。
相似三角形的概念在几何学中有着广泛的应用，如测量不可达距离、解决建筑工程问题等。
三、立体图形立体图形是三维空间中的图形，也是数学课程中的重要内容。
在九年级下学期的数学中，我们将学习到各种各样的立体图形，如长方体、正方体、圆柱体等。
我们将学会如何计算这些立体图形的体积、表面积等数值，并应用这些数值解决实际问题。
立体图形的学习将培养我们的空间想象能力和计算能力。
四、数列与函数数列与函数是代数学中的重要内容。
在九年级下学期的数学中，我们将学习到数列和函数的概念，如何判断一个数列是等差数列或等比数列，并掌握求解数列的通项公式等。
我们还将学会函数的概念以及函数的图像、性质和应用。
数列与函数的学习将培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
五、几何投影几何投影是几何学中的一种重要工具。
在九年级下学期的数学中，我们将学习到点、线、面在不同投影面上的投影图形，以及利用几何投影解决实际问题。
几何投影是建筑、艺术和设计等领域中不可或缺的技术。
六、概率与统计概率与统计是数学中的重要分支。
在九年级下学期的数学中，我们将学习到概率的基础概念，如何计算事件发生的概率，并应用概率解决实际问题。
北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总
北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总函数1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个自变量通过特定的规律映射为唯一的因变量。
函数的定义包括自变量与因变量的关系式及定义域、值域。
2. 函数的性质函数有唯一性和有界性两个重要性质，还有奇偶性、周期性等其他性质。
其中，绝对值函数、反比例函数、幂函数、指数函数等具有一定的特殊性质。
3. 函数图像函数图像是将函数的自变量与因变量的关系绘制在直角坐标系中所得到的图形。
在绘制函数图像的过程中，需要研究函数的单调性、零点、极值等特点。
三角函数1. 角度制与弧度制在三角函数中，角的度量单位可以是角度制和弧度制。
角度制是以度数作为单位，弧度制是以弧长所对应的圆心角的度数作为单位。
两种度量方式可以相互转换。
2. 常用三角函数常用三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
在计算中，需要掌握三角函数的各种性质和公式，如正弦定理、余弦定理、正切定理等。
3. 解三角形解三角形是指通过给定的三角形中的一些已知量求解其余未知量的过程。
在解三角形时，常用的方法包括正弦定理、余弦定理、正切定理等。
解析几何1. 平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何的基本工具。
在平面直角坐标系中，直线可以表示成一元一次方程，圆可以表示为二元二次方程。
2. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离、相切和相交三种情况。
通过圆心的坐标与半径，可以确定圆的位置关系。
3. 解析几何中的重点知识点解析几何中还有许多重要的知识点，如向量的基本概念与性质、平面向量的数量积和叉积、直线和平面的方程等。
概率统计1. 随机事件随机事件是指在试验过程中，其结果不能确定的事件。
随机事件可以用事件的概率来描述。
2. 概率和事件的运算概率是指某个随机事件在所有可能事件中出现的概率。
概率可以用加法原理、乘法原理和条件概率等进行计算。
3. 抽样调查和统计图表的制作概率统计的重要应用包括抽样调查和统计图表的制作。
在抽样调查中，需要考虑样本的大小与抽样误差；在统计图表的制作中，需要了解直方图、折线图、饼图等基本图形的制作方法。
北师大版数学九年级下册知识点总结及例题(不错!)
—－可编辑修改，可打印——别找了你想要的都有！精品教育资料——全册教案，，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务——全力满足教学需求，真实规划教学环节最新全面教学资源，打造完美教学模式北师大版数学九年级下册知识点总结及例题第一章 直角三角形的边角关系1．正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，常省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
例 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化 2. 正弦．．： 在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;例 在ABC ∆中，若90C ∠=︒，1sin 2A =，2AB =，则ABC ∆的周长为 3. 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;例 等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（ ） A ．4B ．23C ．2D ．224. 一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。
例 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 3|2sin 30B A -+-=（），则△ABC是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形5.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．6.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
北师大版九年级(下)数学知识点归纳总结
第一章直角三角形的边角关系九年级下册第1节锐角三角函数一、锐角三角函数锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°【说明】①三角函数表示的是两边的比值，所以它只是一个数值，没有单位。
②当用一个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sin A，cos B，tan C；当用一个希腊字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sinα，cosβ，tanθ；当用三个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号不能省略，如sin∠ABC，cos∠DEF，tan∠GHI；当用一个阿拉伯数字表示角时，其三角函数中角的符号不能省略，如sin∠1，cos∠2，tan∠3。
③如果要表示三角函数的倍数与乘方，应分别表示为2 sin A，3cos B，4tan C，sin2A，cos3B，tan4C；2 sin30°，3cos30°，4tan30°，sin230°，cos330°，tan430°。
二、坡度1、坡度的概念如图所示，我们把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比值叫做坡度（或坡比），通常用字母i表示。
【说明】坡面的坡度实际上就是坡角的正切值，即i＝tanα＝hl2、三角函数与坡面的陡峭程度（1）tan A的值越大，坡面越陡。
（2）sin A的值越大，坡面越陡。
（3）cos A的值越小，坡面越陡。
三、锐角三角函数的增减性（0°~90°）1、正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；2、余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；3、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。
四、同角三角函数的关系1、互余关系：sinA ＝cos(90°－A) cosA ＝sin(90°－A)2、平方关系：s in 2A ＋cos 2A ＝13、弦切关系：tan A ＝sin cos AA4、倒数关系：tan A ·tan(90°－A)＝1第2节 30°，45°，60°角的三角函数值一、探索30°，45°，60°角的三角函数值求30°角的三角函数值，关键根据“直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，可设30°的锐角的对边为a ，则斜边为2a ，由勾股定理可求得30°3a ，因此可以求出30°的锐角的各个三角函数值：sin30°＝2a a ＝12 cos30°3a3 tan30°3a 33也可以求出60°的锐角的各个三角函数值：sin60°3a ＝3 cos60°＝2a a ＝12tan60°3a 3求45°角的三角函数值，关键根据“有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形”，可设一条直角边为a ，则另一条直角边也为a 2a ，因此可以求出45°的锐角的各个三角函数值：sin45°2a 22 cos45°2a 2 tan45°＝aa ＝1二、熟记特殊角的三角函数值第3节三角函数的计算一、用计算器求任意锐角的三角函数值1、求整数度数的锐角的三角函数值首先使计算器的面板上出现DEG，然后再按sin cos tan这三个键之一，再从高位向低位按出表示度数的整数，再按键＝，就可以在显示屏上得到答案。
北师大版初中数学各册章节知识点总结
北师大版初中数学各册章节知识点总结第一册：《初二上册》1.直角三角形：直角三角形的定义、直角三角形的性质、勾股定理。
2.平面图形的表示：点、线、线段、射线、角度、平行线、垂直线、相交线等基本概念。
3.二次根式：二次根式的定义、运算法则。
4.初中平面几何基本定理：垂线定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、角平分线定理等。
5.多边形：多边形的定义、正多边形、变位积分、多边形的内角和、多边形的外角和。
6.梅涅劳斯定理：梅涅劳斯定理的概念、定理的应用。
第二册：《初二下册》1.线性方程：线性方程的定义、解线性方程的常用方法。
2.三角函数的定义和初步认识：三角函数的定义、正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.平行线与相交线：平行线的性质、平行线之间的角对、相交线之间的角对等。
4.二次函数：二次函数的基本性质、二次函数图像的性质与应用。
5.海伦公式：海伦公式的概念、海伦公式的应用。
第三册：《初三上册》1.集合：集合的概念、集合的运算、集合的表示等。
2.图形的相似：图形相似的概念、相似比、相似三角形的性质等。
3.三角形的性质：三角形的角与边的关系、角边关系等。
4.空间几何基本概念：欧几里得空间几何学的基本概念、空间图形与平面图形的关系等。
5.高中数学预修知识：比例与相似、复数等。
第四册：《初三下册》1.数系的扩充：有理数和无理数的概念、实数的分类等。
2.几何体的计算：几何体的表面积、几何体的体积等。
3.空间几何基本定理：角的平分线、角的辅助线等。
4.三角恒等式：三角函数的反函数、三角函数的周期等。
第五册：《九年级上册》1.一次函数：一次函数的定义、一次函数图像的性质、线性规律等。
2.向量几何：向量的定义、向量的运算、向量的平行和垂直等。
3.数的四则运算：整数、有理数、无理数的四则运算等。
4.二次方程与不等式：二次方程的定义、解二次方程的方法等。
5.三角形的面积：三角形的名字、面积的计算公式等。
第六册：《九年级下册》1.指数与对数：指数、对数和底数的概念、指数与对数的性质等。
北师大版九年级数学知识要点(复习提纲)
北师大版九年级数学知识要点(复习提纲)一、整数与有理数
- 整数的概念
- 整数的运算：加法、减法、乘法、除法
- 有理数的概念
- 有理数的分类：正有理数、负有理数、零、无理数
- 有理数的比较
- 有理数的运算：加法、减法、乘法、除法
二、代数初步
- 代数式的概念与运算
- 开放式与等式
- 方程的概念与解方程
- 不等式的概念与解不等式
- 函数的概念
- 线性函数与一次函数
三、平面图形的认识
- 二维坐标系的认识与运用- 点、线、面的基本概念- 角的概念与性质
- 三角形的分类
- 三角形的面积与周长
- 四边形的分类
- 四边形的面积与周长
四、比例与相似
- 比例的概念与性质
- 等式与比例
- 相似的概念与判定
- 相似图形之间的比较
- 相似三角形的性质与判定- 平行线与比例
五、数据的收集和处理
- 统计调查的概念与方法
- 数据的收集与整理
- 平均数的概念与计算
- 数据的图表表示
- 相关系数的概念与计算
- 折线图与趋势线
六、立体几何初步
- 空间直线的概念与性质
- 平面与直线之间的位置关系
- 立体图形的概念与表示
- 空间几何体的性质与计算
- 三视图的绘制与应用
以上是北师大版九年级数学知识的复习提纲，包括整数与有理数、代数初步、平面图形的认识、比例与相似、数据的收集和处理
以及立体几何初步等内容。
希望能帮助同学们复习并掌握数学知识。
北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲
图1 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值h三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。
用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
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新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一•锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与邻边的比叫做/A的正切，记作tanA ,① tanA 是一个完整的符号，它表示/A的正切，记号里习惯省去角的符号“/”；② tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/A 的对边与邻边的比；③ tanA 不表示"tan ”乘以"A ”；④ 初中阶段，我们只学习直角三角形中，/A是锐角的正切；⑤ tanA 的值越大，梯子越陡，ZA 越大；ZA 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2. 正弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与斜边的比叫做/A 的正弦，记作sinA ，即sin AA的对边................................... """■ 斜边3. 余弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦，记作cosA ，即cosA A的邻边 .............................. ■■■■■斜边之变化三•三角函数的计算1. 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 仰角2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 俯角值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大 < sin a< 1， 0< cos a< 1。
4. 坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度i tan Al5. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角...。
如图3，OA OB OC 的方位角分别为 45 °、135 °、225 °。
6. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角.。
如图4，OA 、即 tanAA 的对边A 的邻边锐角A 的正弦、余弦和正切都是/A 的三角函数当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随30 o45 o 60 osin a1 亞矗222cos a旦返1222tan a迴313. 规律：禾U 用特殊角的三角函数值表，可以看岀,（1）当角度在0 °〜90°间变化时，正弦值、正切（或减小）而减小（或增大）。
（2）0（或坡比）。
用字母i 表示，即二•特殊角的三角函数值图2OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45° （东南方向）、南偏西为60 °，北偏西607. 同角的三角函数间的关系:① 互余关系 sinA=cos(90 ° — A)、cosA=sin(90 ° — A )② 平方关系：匚二『丘^：左止=1③商数关系：unAtan = ---------cos A8.解直角三角形： 在直角三角形中，除直角锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素，求岀所有未知元素的过程，叫做解直角三角形( 须 知一条边)9. 直角三角形变焦关系:在厶ABC 中，/ C 为直角，/ A 、/ B 、/ C 所对的边分别为 a 、b 、c ,则有 (1) 三边之间的关系：a 2+b 2=c 2；⑵ 两锐角的关系：/ A +/ B=90(5) 直角三角形的内切圆半径(6) 直角三角形的外接圆半径 10. 三角函数的应用 教材第18页 11.利用三角函数测高 教材第22页第二章二次函数1.概念：一般地，若两个变量x ，y 之间对应关系可以表示成y ax 2 bx c ( a 、b 、c 是常数，a工0)的形式，则称y 是x 的二次函数。
自变量x 的取值范围是全体实数。
在写二次函数的关系式 时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列岀相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围 2. 图像性质：(1)二次函数y = ax 2的图象：是一条顶点在原点且关于y 轴对称的抛物线。
y ax 2(a 0)是二次函数y ax 2 bx c 的特例，此时常数 b=c=0. (2) 抛物线的描述： 开口方向、对称性、y 随x 的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线 与x 轴的交点。
① 函数的取值范围是全体实数；② 抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y 轴(或称直线x = 0)。
③ 当a >0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。
当 a v 0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。
图4外，一共有五个元素，即三条边和二个• “ ab“ asin A, cosAtan A ,cot Ac c bbsin B , cosB a._ b tan B , cotBcca(4)面积公式：S -ab 1ch c (h c为C 边上的高22b ； Ja a b);a b c2 1 c 2 (3)边与角之间的关系:④函数的增减性：A 、当a > 0时x 0时,y 随x 增大而减小x 0时,y 随x 增大而增大B 、当a v 0时x 0时,y 随x 增大而增大x 0时,y 随x 增大而减小⑤ 当丨a 丨越大，抛物线开口越小；当丨 a 丨越小，抛物线的开口越大。
⑥ 最大值或最小值：当 a >0,且x = 0时函数有最小值，最小值是 0;当a v 0，且x = 0时函数有最大值，最大值是 0。
（3）二次函数 y ax 2 c 的图象：是一条顶点在y 轴上且与y 轴对称的抛物线，二次函数① 对称轴：x=2a3. 确定二次函数的表达式：（待定系数法）2y ax 2 c 的图象中，a 的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小, c 决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。
（4）二次函数y ax2bx c 的图象：是以直线b——为对称轴，顶点坐标为（2a2a24ac b 4a的抛物线。
（开口方向和大小由 a 来决定） |a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴 |a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y 轴，y 随x 增长（或下降）速度越快; y 轴，y 随x 增长（或下降）速度越慢。
(5)2 —_二次函数 y ax bx c 的图象与 y = ax2的图象的关系:ax 2 bx c 的图象可以由y = ax 2的图象平移得到:（利用顶点坐标）(6) 二次函数y2a （x h ） k 的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h ，k ）的抛物线。
（开口方向和大小由 a 来决定） （7 ）二次函数yax 2 bx c 的性质: 2二次函数 y axbx c 配方成yb 2 a(x2a )2 4ac —则抛物线的 4a②顶点坐标：（卫2a4ac b 2)4a③增减性：若a>0，当X< —b 时，y2a随x 的增大而减小； 当x> —时，y 随x 的增大而增大。
2a ............若a<0，则当x< —时,2ay 随x 的增大而增大；当x> B 时，y 随x 的增大而减小。
2a ............④最值：若a>0，则当x= —时，y 最小2a—— ; 若 a<0，则当 x= — 时,4a 2a4ac b 2 y 最大4a（1 ）一般式：y ax bx c（2）顶点式：y a（x h）2 k（2 ）交点式：y=a（x-x i）（x-x 2）4. 二次函数的应用：教材第46页几何方面教材第48页应用题5. 二次函数与一元二次方程（1 ）二次函数y ax2 bx c的图象（抛物线）与x轴的两个交点的横坐标x i, X2是对应一二次方程ax2 bx c 0的两个实数根（2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：b24ac >0 <===>抛物线与x轴有2个交点；b24ac =0 <===>抛物线与x轴有1个交点；b24ac <0 <===>抛物线与x轴有0个交点（无交点）；2（3 ）当b 4ac>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离：b? 4ac化简后即为：|AB| （b24ac 0）这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。
|a|第三章圆1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O O,读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心.，定长叫做圆的半径.圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
2. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d,则①点在圆上<===> d=r;②点在圆内<===> d<r;③点在圆外<===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
3. 圆的对称性：（1）与圆相关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号表示，以CD为端点的弧记为" "，读作"圆弧CD'或“弧CD'。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。
（为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
）③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心．角．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心．距．．.（2）. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
定理：在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.4. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。