群论第三章A
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群论34-41
1 2 i 3 2 eˆ1 i i 3 2 1 2 eˆ2 1 2 i 3 2 eˆ1 ieˆ2
ei2 3eˆ1 ieˆ2 eˆ1 ieˆ2
上式结果对应于 c3 的不可约表示 D3 。同理其他元素的也可以得到
P4eˆ3 0
P4eˆ1 1 2 eˆ1 ieˆ2
是否成立？
左边 a Al a Al b Bi b Bi ga gb
l
i
上面推论成立
※⑶因子群的所有不可约表示的直积得到的是直积群的不
可约表示的全部 证：直积群的不可约表示的维度 L
L la lb
r
L2 ga gb
1
对于 Ga 的不可约表示 Da ，其维度 la ，Gb 的 Db 维度 lb
群)
而且对过球心的平面的镜面反射也是对称操作，与 R3群合
并组成 O3 群(全正交群)
图！
点操作的共同特点：
不动的点为坐标原点，过原点的点 操作不改变 r1 , r2 矢量间的相对位
r 1
置(在数学上称保长、保角变换)
任何点操作在三维空间中对应着一个算符 A,
r1 Ar1
r2 Ar2
显然内积：
rv1, rv2 rv1, rv2 Arv1, Arv2
群C3h 在三维空间上的表示及表示空间的约化： 设C3 的转动轴为 z 轴，建立坐标系，基矢为 eˆ1 ， eˆ2 ， eˆ3 ，对应 x,y,z 轴的单位矢量。
图！
T
c3
eˆ1
1 2
eˆ1
3 2
eˆ2
0
eˆ3
T c3 eˆ2
3 2
eˆ1
1 2
eˆ2
0
eˆ3
T c3 eˆ3 0 eˆ1 0 eˆ2 1 eˆ3
p144-173讲稿北师大的群论
p144-173讲稿北师大的群论第一篇：p144-173 讲稿北师大的群论第三章完全转动群复习：正当转动矩阵为⎛cosϕ+λ2(1-cosϕ)λμ(1-cosϕ)-νsinϕ2R=μλ(1-cosϕ)+νsinϕcos ϕ+μ(1-cosϕ) ⎝νλ(1-cosϕ)-μsinϕνμ(1-cosϕ)+λsinϕλν(1-cosϕ)+μsin ϕ⎫⎪μν(1-cosϕ)-λsinϕ⎪⎪2cosϕ+ν(1-cosϕ)⎭可以验证满足detR=1，χ(R)=1+2cosϕ用欧拉角表示的正当转动矩阵⎛cosαR(α,β,γ)=sinα0⎝-sinαcosα00⎫⎛cosβ⎪0⎪0 -sinβ1⎪⎭⎝0sin β⎫⎛cosγ⎪10⎪sinγ00cosβ⎪⎭⎝-sinγcosγ00⎫⎪0⎪⎪1⎭⎛cosαcosβcosγ-sinαsinγ=sinαcosβcosγ+cosαsinγcosγsinβ⎝cos αcosβ⎫⎪-sinγsinαcosβ+cosαcosγsinαsinβ⎪⎪sinβsinγcosβ⎭-sinγcosαcosβ-sinαcosγ可以验证 detR(α,β,γ)=1 三维空间中全部的正当转动，构成三维空间中的正当转动群，或称为三维完全转动群。
记作SO(3).三维空间中全部的正当转动与非正当转动，构成一个群，称为三维空间中的正交群，或称为三维转动反演群。
记作O(3).§3.2 完全转动群SO(3)的不可约表示函数变换算符PR Pz,θ=e-iηˆθLz（3.2-5）（3.2-18）Pωˆ,θ=e-iηϖˆθω⋅L下面构造SO(3)群的2l+1维的表示：l一定的2l+1个球谐函数Ylm(θ,ϕ)，构成一个2l+1维的完备的表示空间Pωˆ,αYl(θ,ϕ)=mˆ,α)m'm∑Yl(θ,ϕ)D(ωm'm'l 表示的特征标：Pz,αYl(θ,ϕ)=Pl(cosθ)emmim(ϕ-α)=Yl(θ,ϕ)em-imα得到第m列的表示矩阵元D(z,α)m'm=el-imαδm'm（3.2-28）表示矩阵为⎛e-i(-l)α0 MlD(z,α)=0 M0 0⎝0e-i[-(l-1)]αΛΛO000M001O eΛ-i(l-1)α00⎫⎪0⎪⎪M⎪0⎪⎪M⎪0⎪⎪-ilα⎪e⎭则第l个表示中，转角为α类的特征标为lsin(l+e-imα122)αχ(α)=l∑=sinm=-lα特征标表（示意）α0601212010-11180Λl=01l=13l=25l=37M1Λ局限性：只有奇数维的不可约表示。
第2部分第3章 空间群(2) 群论讲义PPT
[ 答案: 是 ]
[ 思考题: T 群的不可约表示是几维的? 为什么? ]
[ 答案: 都是一维的, 因为阿贝尔群各元素自成一类, 故不
可约表示数 r 和类数 c 都等于群元数 h ( r = c = h ),
又因为 j nj 2 = h ( j = 1 ---- r ), 则nj 皆为1. ] *
因此有 PT = C ( T )
10
B2 = A-1 B1 A = C4-1 C2 C4 = C2 ( 习题 )
B1 = B2 = C2 D3 ( B1 ) = D4 ( B2 ) = -1 D3 ( B2 ) = D4 ( B1 ) = -1
以上两计算结果表明群C2v 的3 和4 是相对于群C4v 的共轭表示
习题: 用新的点群操作表示法证明下列关系式
则称 1 和 2 为群 H 相对于群 G 的共轭表示 (2) 例1: 群C2v 的 3 和 4 是相对于群C4v 的共轭表示
H: C2v E C2 v’ v” D1 1 1 1 1 1
G: C4v E C2 2v 2d 2C4
D2 2 1 1 -1 -1
D3 3 1 -1 1 -1
D4 4 1 -1 -1 1
Ck = Ck1 Ck2 Ck3 = exp [- 2 i ( P1/N1 + P2/N2 + P3/N3 ) ] = exp [-2 i i (Pi /Ni)] (i = 1, 2, 3) [提问:多少个不可约表示?]
三维平移群 { | R n } 有 N1 N2 N3 个 (群元数) 不可约表示 *
二, 平移群不可约表示的性质
6
(1) 平移群 T = { | R n } 的不可约表示 Ck 为 exp ( i k • R n ),
群论教程3
反之，如果存在满足定理 3.1 的①、②、③、④的投影算子 Pi (i = 1,2,...k ) 与
－ 79 －
V 上的表示 A 对易，则 Wi = PiV 是 V 中 G 不变的子空间。 证明： 1． ∀x ∈V ，有 x = x1 + L + x k , xi ∈Wi , i = 1,2,L, k ,则
v
v
v
v ⎧ 0 当x ∉ Wi 。 xei = ⎨ v v ⎩ x 当x ∈ Wi
v
v
v
v
v
v
v
v
V = P1V + P2V + L + PkV ， i． V = EV = (P 1 + P2 + L + Pk )
令 PiV = Wi，i = 1，2，…，k， 有 V = W1 + W2 + … + Wk。
v v v v v ii．对于 xi ∈Wi = PiV ，有 xi = Pi x = Pi2 x = Pi xi
v v v 由 Pj Pi = 0, i ≠ j ，有 ∀xi ∈ Wi , P j Pi xi = p j xi = 0 v v iii．故若有 u ≠ 0, u ∈ Wi I W j ，则
v v v v v Pi u = u ，因 u ∈Wi ; 又 Pi u = 0 ，因 u ∈ W j
因此 W1， W2， …， Wk 仅有公共元素 0， 因此 V = W1 ⊕ W2 ⊕ L ⊕W k 。 故有 u = 0 ， ◆ 定 理 3.2 ◆ 设 群 G 在表 示空间 V 上 的 线性表 示为 A(g) ，若 V 可 分解 为
k
（令 ei ≡ Pi g o ）
－ 79 －
V 上的表示 A 对易，则 Wi = PiV 是 V 中 G 不变的子空间。 证明： 1． ∀x ∈V ，有 x = x1 + L + x k , xi ∈Wi , i = 1,2,L, k ,则
v
v
v
v ⎧ 0 当x ∉ Wi 。 xei = ⎨ v v ⎩ x 当x ∈ Wi
v
v
v
v
v
v
v
v
V = P1V + P2V + L + PkV ， i． V = EV = (P 1 + P2 + L + Pk )
令 PiV = Wi，i = 1，2，…，k， 有 V = W1 + W2 + … + Wk。
v v v v v ii．对于 xi ∈Wi = PiV ，有 xi = Pi x = Pi2 x = Pi xi
v v v 由 Pj Pi = 0, i ≠ j ，有 ∀xi ∈ Wi , P j Pi xi = p j xi = 0 v v iii．故若有 u ≠ 0, u ∈ Wi I W j ，则
v v v v v Pi u = u ，因 u ∈Wi ; 又 Pi u = 0 ，因 u ∈ W j
因此 W1， W2， …， Wk 仅有公共元素 0， 因此 V = W1 ⊕ W2 ⊕ L ⊕W k 。 故有 u = 0 ， ◆ 定 理 3.2 ◆ 设 群 G 在表 示空间 V 上 的 线性表 示为 A(g) ，若 V 可 分解 为
k
（令 ei ≡ Pi g o ）
群论-3群的表示理论
如果 Â(x+y) = Âx+Ây Â(αx) = αÂx
则 Â称为线性算符。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
2 矩阵表示 算符的矩阵形式 用矩阵形式表示算符，则需引进坐标系 令e1, e2, …,en为空间Vn上的一组正交归一基矢
Â对任一基矢ej的作用可以写成n个基矢的线性组合：
Aˆ e j Aijei
D'(a) D'(b) = (S -1D(a)S) (S -1D(b)S) = S -1D(a)D(b)S = S -1D(ab)S
= D'(ab) 可见D'也满足同态关系，因此它确实是群G的一个表示。
3 幺正表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
若群G的一个矩阵表示中，所有的矩阵都是幺正矩阵，那么 这个表示就称为群G的一个幺正表示
3 / 2 1/ 2
2 等价表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
矩阵的相似变换： M' = S -1MS
等价表示：两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示 记作D(G) ~ D'(G) 。
相似变换实际上可认为是坐标系的变换（基矢变换）
——故可认为一切等价表示都是相同的表示。
通过相似变换，可由一个矩阵表示得到无穷多个等价的表示 假定D'是由矩阵S决定的相似变换D，则
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
§3.1 线性算符及其矩阵表示
线性代数的准备知识
群的表示理论是群论处理物理问题的基本数学方法 表示理论：用线性变换表示抽象代数
1 线性空间与线性变换
线性空间：V是一个非空集合，F是一个数域 V上定义了加法， z = x+y ，V对加法成Abel群； F与V的元素之间定义了数乘， y = kx ，
则 Â称为线性算符。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
2 矩阵表示 算符的矩阵形式 用矩阵形式表示算符，则需引进坐标系 令e1, e2, …,en为空间Vn上的一组正交归一基矢
Â对任一基矢ej的作用可以写成n个基矢的线性组合：
Aˆ e j Aijei
D'(a) D'(b) = (S -1D(a)S) (S -1D(b)S) = S -1D(a)D(b)S = S -1D(ab)S
= D'(ab) 可见D'也满足同态关系，因此它确实是群G的一个表示。
3 幺正表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
若群G的一个矩阵表示中，所有的矩阵都是幺正矩阵，那么 这个表示就称为群G的一个幺正表示
3 / 2 1/ 2
2 等价表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
矩阵的相似变换： M' = S -1MS
等价表示：两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示 记作D(G) ~ D'(G) 。
相似变换实际上可认为是坐标系的变换（基矢变换）
——故可认为一切等价表示都是相同的表示。
通过相似变换，可由一个矩阵表示得到无穷多个等价的表示 假定D'是由矩阵S决定的相似变换D，则
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
§3.1 线性算符及其矩阵表示
线性代数的准备知识
群的表示理论是群论处理物理问题的基本数学方法 表示理论：用线性变换表示抽象代数
1 线性空间与线性变换
线性空间：V是一个非空集合，F是一个数域 V上定义了加法， z = x+y ，V对加法成Abel群； F与V的元素之间定义了数乘， y = kx ，
群论-三维转动群
物理学中的群论——三维转动群主讲翦知渐群论-三维转动群第四章三维转动群三维转动群的表示4.1 维转动群的表示§拓扑群和李群42§4.2轴转动群SO (2)§4.3 三维转动群SO (3)§4.4二维特殊幺正群SU (2)§4.1拓扑群和李群连续群的基本概念1拓扑群无限群分为分立无限群和连续无限群有关有限群的理论对于分立无限群来说几乎全部成立定义4.1 连续群的维数, a2, …, a n所标明连续群G的元素由一组实参数a1其中至少有一个参数在某一区域上连续变化，且该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够的则该组参数中连续参数的个数l 称为连续群的维数。
在具体的群中，参数的取法可能不唯一例子如下的线性变换T(a,b)x'= T(a,b)x = ax +b,a,b∈(-∞,+∞), a≠0构成的集合，定义其上的乘法为：T(a1,b1)T(a2,b2)x = T(a1a2, a1b2+b1)x，b b T封闭律是显然的逆元素为T-1(a,b) = T(1/a, -b/a) ，单位元是T(1,0)结合律也容易证明因此{T(a,b)}构成个连续群。
构成一个连续群。
由于群元素的连续性质，需要在群中引入拓扑由于群元素的连续性质需要在群中引入简单说拓扑是个集子集族简单地说，拓扑是一个集合以及它的子集族拓扑学研究的是某个对象在连续变形下不变的性质为简单起见，我们仅讨论其元素可与l 维实内积空间的某个子有对应关系的群有一一对应关系的群集Sl该子集称为参数空间定义4.2 拓扑群群元的乘法法则和取逆法则在群的所有元素处都连续的群，称为拓扑群定义4.3 简单群和混合群拓扑群G的任意两个元素x1和x2在参数空间中如果能用一条或者多条道路连接（道路连通），则该群的参数空间是连通的，该群称为连通群或简单群。
若群的参数空间形成不相连结的若干片，则该群称为混合群。
前者如三维转动群SO(3)，后者如三维实正交群O(3)。
三 群论基本知识
C2v群特征表表：
C2v
E C2
A1
11
A2
11
B1
1 -1
B2
Г2φ
1 -1 20
(xz) (yz ) 基
11
z
x2, y2, z2
-1 -1 1 -1 -1 1
Rz xy x, Ry xz y, Rx yz
02
C3v群特征表表：
C2v
E
2C3
A1
1
1
A2
1
1
E
2
-1
3v 1 -1 0
基
z
x2 + y2, z2
x、y、z
分别代表原子的三个坐标以及在轴上的平移运动，由 于px、py、pz轨道的变换性质和偶极矩向量的变换性
质相似，故也可用x、y、z表示
Rq
代表绕q轴进行旋转的转动向量
xy，xz，yz，x2- y2 ，z2
分别代表各个d轨道和判断拉曼光谱活性的极化率的不 可约表示
将原子轨道作为表示的基,并与C2v群的特征标表相对照，可看出Pz轨道在C2v群中按A1 变换，px轨道按B1变换，Py轨道按B2变换，但以点（x、y、z）为基的Г1(xyz)表示在C2v 群的特征标表中并没有出现，说明它是个可约表示。将它转化为不可约表示，需借助约化 公式，即确定第i个不可约表示在可约表示中出现的次数ai的公式
A(BC)=(AB)C，A(B+C)=AB+AC
几种矩阵：
a1
a2
列矢量 {A}= a3
在n维空间中，一个矢量可由一个n×1阶的列矢量所决定。这 个矢量矩阵元素的几何意义和实际空间中的相同，也就是假定 它的一端位于坐标原点，则另一端就给出了矢量的正交坐标（ 例如直角坐标系）。
第三章 群论的应用(A)
O 原子的轨道 2s 2pz 2px 2py
H 原子的轨道 -1
(2) 2 (1sa +1sb )
—
-1
(2) 2 (1sa 1sb )
分子轨道 1a1,2a1,3a1
1b1 1b2, 2b2
分子的能级图概括于图3.1.2所示
图3.1.2 H2O 分子能级图概况
由图可见，有两个成键轨道(1a1和1b2)，两个实际上是非键轨道(2a1 和1b1)。这四个轨道均填满电子，其基态的电子组态为
+1sb
1sc
1sd
)
3.1.15
方程3.1.11+3.1.13=
1 2
(1sa
1sb
+1sc
1sd
)
3.1.16
方程3.1.11+3.1.14=
1 2
(1sa
1sb
1sc
+1sd
)
3.1.17
由方程3.1.11到3.1.14组合得到具有T2对称性的三者组合可以 有许多途径，这里选择的一种是由方程3.1.15到3.1.17分别和C 原子的2pz，2px和2py轨道有效的叠加的函数，如图3.1.7所示。
=4(1sa +1sb +1sc ) (3)1/2 (1sa +1sb +1sc ) (归一化之后)
3.1.5
PE' (1sa )=2(1sa ) 1(1sb +1sc )+2(1sa ) 1(1sb +1sc )
=4(1sa ) 2(1sb +1sc )
(6)1/2[2(1sa ) 1sb 1sc ] (归一化之后)
对于具有oh对称性的八面体羰基配合物mco6则为由于羰基配合物的结构和co伸缩振动谱带的数目间有着直接的联系当用群论方法对每个可能的结构计算出羰基配合物中co伸缩谱带的数目并和它们的光谱进行比较通常可以直接推断在配合物中co基团的排列
群论-1 群论基础
一般记为c = a· b，或c = ab 。
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作…… 集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
A
乘法表：有限集
l m O
D3 e a b k
B
k
C
e
e a b k
a
a b e l
b
b e a m
k
k m l e
l
l k m a
群论-群论基础-集合与运算
3 一些基本概念
1) 阿贝尔群：交换群
2) 有限群：可给出群表
3) 无限群：离散群，连续群
4) 群元素的阶： gn = e 群阶：|G| 5) 生成元：通过乘法产生群G的最小子集
6) 循环群：一个生成元
群论-群论基础-集合与运算
4 一些基本性质 设G = {gi } 是一个群 ∀ gi , gj ∈ G, 方程 gi x = gj ， x gi = gj 有唯一解 ( gi -1 ) -1 = gi ( gi gj ) -1 = gj -1 gi -1
群论-群论基础
第一章 群论基础
群的基本概念和基本性质
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 集合与运算 群的定义和基本性质 子群及其陪集 群的共轭元素类
§1.5
§1.6 §1.7 §1.8
正规子群和商群
直积和半直积 对称群 置换群
群论-群论基础-集合与运算
§0 绪论
群论的发展历史
群论在数学中的作用
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编 参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）
群论复习资料
把6个群元素分别作用到ijk上变成ijkd3生成元ab操作a是把正三角形绕轴i转动180o使得i和k的方向发生了反演而保持j方向不变因此有1210001001iaiijkjajijkkakikjk???????????????????100010001aa?????????????操作b是把正三角形绕轴ii转动180o使得ij和k的方向都发生了变化即有13022310220011302231022001ibiijkjbjijkkbkijkab??????????????????????????????????????????????其他群元素的表示矩阵可以由aa和ab生成如2100010001aeaa????????????1302231022001adaaab?????????????????????????1302231022001afabaa?????????????????????????100010001aa?????????????1302231022001ab???????????????????????1302231022001acabaaab??????????????????????????例
则有：（1）当M≠0时，表示A和B 必等价； （2）当表示A和B不等价时，必有M≡0。 群上函数：设有限群 G ， g G ，元素 g 的群上函数定义为： f g C （ C 复数
7
域）
右正则表示 TR (h) ： 在 L (G) { f ( g )} ，以 h G 生成 L (G) 的一个线性变换 TR (h) ： TR (h) f ( g ) f ( gh1 )
(1)ha ,h H H , 有ha h H (2) ha H H , 有ha 1 H
n阶循环群
则有：（1）当M≠0时，表示A和B 必等价； （2）当表示A和B不等价时，必有M≡0。 群上函数：设有限群 G ， g G ，元素 g 的群上函数定义为： f g C （ C 复数
7
域）
右正则表示 TR (h) ： 在 L (G) { f ( g )} ，以 h G 生成 L (G) 的一个线性变换 TR (h) ： TR (h) f ( g ) f ( gh1 )
(1)ha ,h H H , 有ha h H (2) ha H H , 有ha 1 H
n阶循环群
第三章 正规子群和群的同态与同构
⇒ G / N = (G : N ),
由 Lagrange定理，对有限群 G有 G = N (G : N )，
G . 从而有 G / N = N
定理5 (A.L.Cauchy) 设G是一个pn阶有限交换群， 其中p是一个素数，则G有p阶元素，从而有p阶子群. 推论
pq(p，q为互异素数）阶交换群必为循环群.
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习 设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作 业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习 二、 群同态基本定理 三、应用
一、复习
1、正规子群：
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的 代数系统，
_
且 G ≅ G，则当 G与G 有一个是群时，另一个 一定是群.
_
_
定理2 设ϕ为群G到群G的一个同态映射（不一 定为满射），
_
则
1) 当 H ≤ G时，有 ϕ ( H ) ≤ G 2）当 H ≤ G 时，有 ϕ −1 ( H ) ≤ G .
_ _ _
乘法）的集合，如果 G ~ G ，则 G 也是一个群 .
_ _ __
注意：定理中的同态映射ϕ 必须是满射. 推论 设ϕ为群 G到群G的一个同态映射，
则群 G的单位元的象是群 G 的单位元； G的元素 a的逆元的象 是 a的象的逆元 ,即a
_ −1 _
_
= (a)−1 或 ϕ (a −1 ) = ϕ (a)−1 .
当ϕ是双射时，称 ϕ为群 G到 G 的一个 同构映射.
由 Lagrange定理，对有限群 G有 G = N (G : N )，
G . 从而有 G / N = N
定理5 (A.L.Cauchy) 设G是一个pn阶有限交换群， 其中p是一个素数，则G有p阶元素，从而有p阶子群. 推论
pq(p，q为互异素数）阶交换群必为循环群.
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习 设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作 业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习 二、 群同态基本定理 三、应用
一、复习
1、正规子群：
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的 代数系统，
_
且 G ≅ G，则当 G与G 有一个是群时，另一个 一定是群.
_
_
定理2 设ϕ为群G到群G的一个同态映射（不一 定为满射），
_
则
1) 当 H ≤ G时，有 ϕ ( H ) ≤ G 2）当 H ≤ G 时，有 ϕ −1 ( H ) ≤ G .
_ _ _
乘法）的集合，如果 G ~ G ，则 G 也是一个群 .
_ _ __
注意：定理中的同态映射ϕ 必须是满射. 推论 设ϕ为群 G到群G的一个同态映射，
则群 G的单位元的象是群 G 的单位元； G的元素 a的逆元的象 是 a的象的逆元 ,即a
_ −1 _
_
= (a)−1 或 ϕ (a −1 ) = ϕ (a)−1 .
当ϕ是双射时，称 ϕ为群 G到 G 的一个 同构映射.
群论应用-第3章 空间群(1)
如{ | t } 群的不变子群{ | t }为{ | R n },
则该 { | t } 群为狭义空间群, 简称空间群. 其中, R n 为晶体的格矢, R n = n1 a 1 + n2 a 2 + n3 a 3
a 1, a 2 , a 3 为晶格的元胞基矢, 是彼此线性独立的. n1, n2 , n3 为正整数 二, ( 狭义) 空间群的性质 ( 符合晶体对称性的要求 ) (1) 如 R n 是晶体格矢, 则 R n 也是晶体格矢.
即
( - ) b tP
因此可选择 b , 以满足 ( - ) b = - t o ------------ (4)
将(4)代入(3)得(2) s ’ = s + t P = { | t P } s , 则目的达到 *
6 [ 提问: 满足 (4) 式 要求的 b 是不是唯一的? 请作图示意
1, 因 故
k v p = v p ( k = 1 ---- n ) [ 提问: 为什么? ] 10 [ 答案: v p ( ) 是沿 转轴方向的平移 ]
v p = n v p ------------- (9) [ 提问: 为什么? ] [ 答案: = ( n -1 + n -2 + ----- + + ) ]
2, 因
=
[ 提问: 为什么? ]
[ 答案: = ( n -1 + n -2 + ----- + + ) ]
故
vo = vo
( 对任何 )
又因 一般不等于 0
[ 提问: 由上式, v o 将如何? ]
则有两种情况: 第一种情况为 v o‖v p [ 提问: 这可能吗? ] 不可能, 只能是第二种情况 vo = 0 --- (10) [ 提问: 如何理解? ] [ 答案: v o = ( n -1 + n -2 + ----- + + ) v o = 0, 水平力平衡 ] 3, 由 (9) 和 (10) 式可知 v = v p + v o = n v p -------------- (11) [ 提问: 如何理解? ]
群论基础-第3章 特征标理论(1)
D ( R ) = i D i ( R ) ai ( i = 1 ------ r ) ------ (3) *
(3) 例: D3 群表示的特征标和约化 ( D5 和 D6 前面给出过) 5
类 群元
D4
4
D5
5
D6
6
┌1 0 0┐
┌1 0 0┐
┌1 0 ┐
C1 E ∣ 0 1 0∣ 3 ∣0 1 0∣ 3 ∣
R Dr i * ( R ) D j ( R ) = ij r h / nj (1) 取对角元, 即 = , = [ 思考题: 为什么? ]
则有
R D i * ( R ) D j ( R ) = ij h / nj
(2) 对 求和
[ 思考题: 是何目的? ]
1
D3 1 1 1 -1 -1
D4 1 1 -1
1 -1
D5 2 -2 0
0
0
________________________________________________________
D6 6 2 2
2
0
*
(五) 不可约表示特征标完全性定理
14
一, 关系式 [ 对照(4)’式 C hC i * (C) j (C) = ij h --- (4)’ ] i ( h m / h ) i * ( Cm ) i ( Cn ) = mn ------------------- (8)
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•1•2 + 3•(-1)•0 + 2•1•(-1) = 2 – 2 = 0 若令 i = j = 3, 则有
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•2•2 + 3•0•0 + 2•(-1)•(-1) = 4 + 2 = 6 *
(完整word版)p106-159讲稿北师大的群论
第二章 群表示理论§2.12 表示的直积矩阵的直积（1)定义 βαγ⊗= 例如：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211ααααα， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211ββββββββββ 则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()()()(22211211βαβαβαβαγ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=332232223122332132213121232222222122232122212121132212221122132112211121331232123112331132113111231222122112231122112111131212121112131112111111βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα 维数(阶）n ×m（2）定理若βαγ⊗=，βαγ⊗=,则有)()())((ββααβαβαγγ⊗=⊗⊗=直积表示（1）定义:群G 的两个表示，表示矩阵为D a （A ）， D b （A ）则表示矩阵的直积，也是群G 的一个表示D a （A ）⊗D b（A ）称为直积表示（一般是可约表示）。
(2）直积表示的特征标baχχχ⋅= （2.12—6）（3）直积表示的约化∑∈=GR j j R R g a )(*)(1χχ （2.6-6）即 ∑∈=GR ba j j R R R g a )()(*)(1χχχ （4）直积表示的基函数若直积表示 D （A)= D i (A ）⊗D j（A ）， 不可约表示的基函数分别为D i:｛)(1r i ϕ、)(2r i ϕ、…、)(r il iϕ}D j：{)(1r jφ、)(2r j φ、…、)(r j l jφ｝ 则直积表示有j i l l ⨯个基函数,分别是j n im m n φϕψ= (2.12—10)§2。
13 直积群的表示复习：§1。
第1部分第3章 特征标理论(2)
[ 答案: 群元数目增加, 表示的不可约性不会改变 ] • 由商群不可约表示的特征标可得大群相应不可约表示的特征标
*
.
5
6
例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表
D3 群
C2 群
E, D, F (不变子群 H ) E
A, B, C
C2
C2
E C2
D1 1 1
D3 E D F A B C
即两类和矢量的乘积可按类和矢量展开
( 两完正类的乘积仍为完正类的和 )
2, 令 i, j, k分别为Ci , Cj, Ck 类的不可约表示特征标, 则
hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) ------------- (2)
(2)式中: Cijk 即为 (1) 式中的 Cijk , E = 1 为 E 类的特征标,
习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可
约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置 换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系:
S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 )
S3 :
1C1,
hi , hj , hk 分别为 Ci. , Cj, Ck 类的阶
*8
(3) 类和定理的证明
9
1, 证明(1)式
第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 即 R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
习题: 证明 Ci X = X Ci, X 为群元空间中一切矢量 [ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ]
*
.
5
6
例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表
D3 群
C2 群
E, D, F (不变子群 H ) E
A, B, C
C2
C2
E C2
D1 1 1
D3 E D F A B C
即两类和矢量的乘积可按类和矢量展开
( 两完正类的乘积仍为完正类的和 )
2, 令 i, j, k分别为Ci , Cj, Ck 类的不可约表示特征标, 则
hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) ------------- (2)
(2)式中: Cijk 即为 (1) 式中的 Cijk , E = 1 为 E 类的特征标,
习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可
约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置 换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系:
S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 )
S3 :
1C1,
hi , hj , hk 分别为 Ci. , Cj, Ck 类的阶
*8
(3) 类和定理的证明
9
1, 证明(1)式
第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 即 R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
习题: 证明 Ci X = X Ci, X 为群元空间中一切矢量 [ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ]
群论
1. 主要内容：内幂零群的结构。
2.基本概念和知识点：内幂零群及有关性质。
3.问题与应用：了解内幂零群的结构。
第五节 群的初等结果
1. 主要内容：有限 群的Frattini子群、生成元、自同构群及某些特殊子群的性质、具有循环极大子群的有限 群的结构。
2.基本概念和知识点：有限 群的Frattini子群的性质、具有循环极大子群的有限 群的结构。
3.问题与应用：了解 群在 群上的作用的基本理论。
第四节关于 幂零性的Frobenius定理
1. 主要内容：介绍 幂零性的Frobenius定理。
2.基本概念和知识点：规范子群、焦点子群、 幂零群，Frobenius定理。
3.问题与应用：了解 幂零性的Frobenius定理的内容。
第五节Frobenius-群
适用对象:理科数学类一年级研究生
考核方式：考查<写一篇字数字不少于3000的课程论文、读书报告或文献综述等＞。
先修课程：抽象代数学
二、课程简介
群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
第二节 群在交换 群上的作用
1. 主要内容： 群在交换 群上的作用的基本理论。
2. 基本概念和知识点：Schur引理、Maschke定理的推广形式。
3.问题与应用：了解 群在交换 群上的作用的基本理论。
第三节 群在 群上的作用
2.基本概念和知识点：内幂零群及有关性质。
3.问题与应用：了解内幂零群的结构。
第五节 群的初等结果
1. 主要内容：有限 群的Frattini子群、生成元、自同构群及某些特殊子群的性质、具有循环极大子群的有限 群的结构。
2.基本概念和知识点：有限 群的Frattini子群的性质、具有循环极大子群的有限 群的结构。
3.问题与应用：了解 群在 群上的作用的基本理论。
第四节关于 幂零性的Frobenius定理
1. 主要内容：介绍 幂零性的Frobenius定理。
2.基本概念和知识点：规范子群、焦点子群、 幂零群，Frobenius定理。
3.问题与应用：了解 幂零性的Frobenius定理的内容。
第五节Frobenius-群
适用对象:理科数学类一年级研究生
考核方式：考查<写一篇字数字不少于3000的课程论文、读书报告或文献综述等＞。
先修课程：抽象代数学
二、课程简介
群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
第二节 群在交换 群上的作用
1. 主要内容： 群在交换 群上的作用的基本理论。
2. 基本概念和知识点：Schur引理、Maschke定理的推广形式。
3.问题与应用：了解 群在交换 群上的作用的基本理论。
第三节 群在 群上的作用
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设G{E, A, B, …}有两组表示：{D(1)(E), D(1)(A), D(1)(B), …} {D(2)(E), D(2)(A), D(2)(B), …}
则超矩阵（块状对角矩阵）
D(1) ( 0
E
)
D
0 (2) (E
)
,
D(1) ( 0
A)
D
0 (2) (
A)
,
D
(1) ( 0
B)
D
0 (2) (B)
3
2
0
1
0
0
3 2
,
D(C
)
0
1 2
3 2
,
1
0
3
1
2
2 2
1
0
0
1
0
0
D(D)
0
1 2
3 2
,
D(F
)
0
1 2
3 2
0
3
1
0
3
1
2 2
2 2
定义：群 GE, A, B, 表示 DGDE, DA, DB,
则
m
trDE DEii E
i 1
m
trDA D A ii A i 1
定义：可约化的表示称为可约表示，
不可约化的表示称为不可约表示。
3.1.4 伴随表示与复共轭表示
设GE, A, B, 有表示 DGDE, DA, DB, ，
若有D~1G D~1E, D~1A, D~1B ，则D~1G 仍是G的表示。
证明：
D~AB 1 DADB1 D~(B)D~A 1 D~1AD~1B
若 DG ~ G ，则D(G)——非真实表示
它对D的限制： 对真实表示，D(A)D(B)=D(AB) ——一般均为真实表示
(1) 单位元素的矩阵表示必为单位矩阵 证：∵ EA=AE=A ∴ D(E)D(A)=D(A)D(E)=D(A) D(E)必是单位矩阵
(2) D A1 DA1
D AD A1 D AA1 DE I
r (r)
r r,(r) (r) 两者数值相等 x (r) (r) (R1r)
(r) (R1r) 令PR(r) (r) PR(r) (R1r)
DA[DA]1 I
D A1 DA1
例：G6：
1 0
10,
1 0
01,
1 2 3
2
3 1
2 , 2
1 2
3 2
3 1
2 , 2
1 2
3 2
3 1
2 , 2
1 2
3 2
3
1 2
d3 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
0 1 0,1 0 0,0 0 1,0 1 0,1 0 0,0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0
S3： 11
2 2
33,
1 2
2 1
33, 13
2 2
13,
G6 E A B C D F E E ABCDF
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2,3 1 2, 2 3 1
D
A
D 2 A
0
0
A G
DS A
定义：以上D(A)称为D1A, D2A, DSA 的直和（direct sum）
记作：
DA D1A D2A D3A DS A ai DiA
i
其中ai代表相同的Di(A)的个数。
上面是将S套表示化为一套，若把一套通过相似变换分解为许多
套表示，称为约化。
∴ xDAx1 xDBx1 xDADBx1 xDABx1
称D(G)和xD(G)x-1为等价表示
例：求C3v群三维表示d3的等价表示
d3 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
0 1 0,1 0 0,0 0 1,0 1 0,1 0 0,0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0
称 D~1G 为伴随表示（adjoint）
同理 D*G D*E, D*A, D*B, 也是G的一个表示，称为复
共轭表示。
§3.2 表示的构造
3.2.1 函数的变换
矢量r在对称变换R作用下：r=Rr
x R11 R12 R13 x y R21 R22 R22 y z R31 R32 R33 z
m
trDB DBii B
…i…1
称(E), (A), (B), …分别为表示D(E), D(A), D(B), …的特征标。
表示矩阵是可变的
相似变换
但表示的特征标是不变的。
证： tr(xDAx1) tr(x1xDA) tr(DA)
3.1.3 可约表示，不可约表示 （reducible and irreducible)
第三章 群表示论
§3.1 群表示的概念
3.1.1 定义：若一组mm维的非奇异矩阵构成的群D(G)与已知
群G同构或同态，则D(G)称为G的一个m维线性表示， 简称“表示”。
*G中元素RG对应的矩阵D(R)称为R在表示D(G)中的表 示矩阵。
*D(R)的迹 R trDR ——R在D(G)中的特征标。
若 DG G ，则D(G)——真实表示
设矩阵为：
逆矩阵为：
1 1
1
3 6
2
S
1
3 1
3
1
6 2
6
1
2
0
1
3
S 1
1
6 1
2
1
3 1
6 1
2
1
3
2
6
0
可以得到等价表示：D(A)=S-1D(A)S
1 0 0
1 0 0
D(E) 0 1 0, D( A) 0 1 0 ,
0
0
1
0
0
1
1
0
D(B)
0
1 2
0
也是G的表示（反之亦真） 。
证明：
D(1) ( A)D(1) (B)
0
D( A)D(B)
0
D(2) ( A)D(2) (B)
D(1) ( AB)
0
0
D(2) ( AB) D( AB)
对于有S组表示时，超矩阵
D1A
DA
D 2 A
0
0
A G
D
S
A
也是G的表示。
D1A
C3v: E, , C32 , C3, C32 , C3
A AEDF BC B BF EDC A C CDF E AB
此四个群同构，它们的二维表示为G6， D D C A B F E
三维表示为d3 。
F F BC AED
另：
1
1
0
1
1
0
1
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1
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1
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1
0
1
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
也是它们的表示，但无意义 即：
D(E) D(A) D(B) (1)
称为恒等表示
3.1.2 等价表示和特征标
定理：若 DGDE, DA, DB, 为群 GE, A, B, 的表示矩阵
则这些表示矩阵经过某个非奇异矩阵x的相似变换后，仍为 G的表示。 证：∵ D(A)D(B) = D(AB)