空间大地直角坐标系及其转换模型

因此，旋转矩阵中只有5个独立未知数。在进行坐 标转换时，可以直接以旋转矩阵中的9个元素为未知数， 加上6个约束条件直接解算。求得旋转矩阵元素后，进 行坐标转换，不必解算旋转角。 这样可避免大旋转角时，线性化过程的复杂形式。
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习
题
1、若采用克拉索夫斯基椭球，已知大地坐标： B = 310 28′16.2831′′, L = 121031′ 50.4015 H = 108.391m 计算三维空间坐标，并反算检核。 2、在上题中，大地经纬度和大地高分别变化了
1
( (
)
)
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
2、由X、Y、Z计算 、L、H的迭代解法 、 计算B、 、 的迭代解法 、 、 计算 计算L：
Y L = tan = sin −1 X
−1
Y X 2 +Y 2
迭代计算B：
B
(i +1)
= tan
−1
Z + N (i )e 2 sin B (i ) X 2 +Y 2
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
4、B、L、H与椭球元素 e2 之间的微分关系 、 、 、 与椭球元素 与椭球元素a, 若顾及椭球元素的变化，则前面的微分公式变为：
dX dB da dY = AJ dL + B 2 de dZ dH
cos ε Z R Z (ε Z ) = − sin ε Z 0
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
Z
方法一： 方法一： 转换到X、 将X’、Y’、Z’转换到 、 、 、 转换到 Y 、 Z 坐 标 系 ： 先绕Z’将X’旋转到XOY 平面与X’OY’平面的交线 X” ，再绕X” 轴将Z’旋转 到Z轴，最后再绕Z轴， 将X” 旋转到X轴方向。 由于 三 坐 标 轴 的正 交关 系， 经 最 后 一 次旋 转的 Y”’必位于Y轴上。
§2.4 空间大地直角坐标系及其转换模型
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
1、X、Y、Z与B、L、H间的关系 、 、 、 与 、 、 间的关系 空间坐标系的定义： 空间坐标系的定义：Z//自转轴，X位于赤道面，指格林 尼治天文台，Y指东，构成右手系。 大地坐标系的定义： 大地坐标系的定义：B为过坐标点椭球面的法线与赤道面 交角、L为过坐标点的子午线与起始子午线的夹角，H Z 为点沿法线到椭球面的距离。 大地高与正高、正常高之间的关系： 大地高与正高、正常高之间的关系： P L
Z Z ′′ Z′
εY ε X
Y
O
其中，旋转矩阵：
R = R Z (ε Z )R Y ′′ (ε Y )R X ′ (ε X ) X ′
εY
εX
εZ
Y ′′ Y′
εZ
是正交矩阵。
X ′′
X
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
若α、β、 γ分别表示X与X’、Y与Y’和Z与Z’之 间的夹角，则有：
Z′
Y ′′′
O
Y ′′ Y
X′ X X ′′
Y′
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
坐标变换公式为：
X Y = R Z − ε Z 2 R X ′′ (ε X )R Z ′ ε Z1 Z
Z Z′
(
)
( )
X ′ Y′ Z′
H = H N + N = Hζ + ζ
X
P′
O
B Y
KP
Q
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
如图所示：
rOP′ X N cos B cos L = Y = N cos B sin L Z N 1 − e 2 sin B P′
1 旋转矩阵简化为： R = − ε Z ε Y
εZ
1 −εX
− εY εX 1
坐标转换模型简化为：
X 1 Y = −εZ Z ε Y
εZ
1 −εX
− ε Y X ′ ε X Y ′ 1 Z ′
Z X 2 +Y 2
迭代初值为： B
(0 )
= tan
−1
最后计算H： H = Z csc B − N (1 − e 2 ) = X 2 + Y 2 sec B − N
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
3、X、Y、Z与B、L、H间的微分关系 、 、 、 与 、 、 间的微分关系 由前面 1 式微分得；
N cos B cos L a N sin 2 B cos B cos L 2W 2 2 2 其中： B = N cos B sin L a N sin B cos B sin L 2W N 1 − e 2 sin B a − N cos 2 B + W 2 cos B 2W 2
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
顾及A是正交阵，J是对角阵，得：
dB dX dX −1 −1 T dL = (AJ ) dY = J A dY dH dZ dZ sin B cos L − M +H sin L − = ( N + H ) cos B cos B cos L sin B sin L M +H cos L (N + H ) cos B − cos B sin L cos B M + H dX dY 0 dZ sin B
Z Z ′′ Z′
εY ε X
Y
O
εY
εX
εZ
Y ′′ Y′
εZ
X ′′
X
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
坐标变换公式为：
X X ′ Y = R Z (ε Z )R Y ′′ (ε Y )R X ′ (ε X ) Y ′ Z Z′
r11r31 + r12 r32 + r13r33 = 0 r21r31 + r22 r32 + r23r33 = 0
2 2 2 r11 + r12 + r13 = 1 2 2 2 r21 + r22 + r23 = 1 2 2 2 r31 + r32 + r33 = 1
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
(∆B
∆L ∆H ) = (0.2′′ 0.3′′ 5m )
用微分公式计算三维空间坐标的变化量。 3、在球近似下，给出球心经纬度和高程与三维空间坐标 的微分关系式。 4、若要求相对误差小于10-7，则当旋转角超过多少时， 不能采用略去二次项的线性近似。
O
Y ′′′ Y ′′ Y
旋转矩阵：
R = R Z − ε Z 2 R X ′′ (ε X )R Z ′ ε Z1
(
)
( )
X′ X X ′′
Y′
是正交矩阵。
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
若γ表示Z与Z’之间的夹角，则有：
cos γ = cos ε X
若α、β分别表示X与X’和Y与Y’之间的夹角，则有：
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
旋转矩阵是正交阵，满足条件：
r11 R = r21 r 31 r12 r22 r32 r13 r23 r33
RR T = I
若：
则根据正交条件，得： r r + r r + r r = 0 11 21 12 22 13 23
(
)
(
)
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
由上式可得：
dB dX −1 T da −1 T dL = J A dY − J A B 2 de dH dZ
若空间坐标系的原点和坐标轴指向保持 不变，即椭球的定位与定向不变，则：
N cos B sin B 2 − e 2 sin 2 B 2 2W (M + H ) da 0 de 2 2 N sin B 2
(
)
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
两个右手旋转坐标系之间的旋转角，取逆时针旋 转为正，顺时针旋转为负，旋转矩阵为正交阵，可表 示为：
0 1 R X (ε X ) = 0 cos ε X 0 − sin ε X sin ε X cos ε X 0
cos ε Y R Y (ε Y ) = 0 sin ε Y
sin ε Z cos ε Z 0 0 0 1
0 − sin ε Y 1 0 0 cos ε Y
cos α = cos ε Y cos ε Z cos β = cos ε X cos ε Z + sin ε X sin ε Y cos ε Z cos γ = cos ε X cos ε Y
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
当旋转角是小角度时，可略去其二次项，取：
sin ε = ε , cos ε = 1
cos β = sin ε Z1 sin ε Z 2 + cos ε Z1 cos ε Z 2 cos ε X cos α = cos ε Z1 cos ε Z 2 + sin ε Z1 sin ε Z 2 cos ε X
2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换
方法二： 方法二： 转换到X、 将X’、Y’、Z’转换到 、 、 、 转换到 Y 、 Z 坐 标 系 ： 先绕X’将Y’旋转到YOZ 平面与Y’OZ’平面的交线 Y” ，再绕Y” 轴将Z ”旋 转到Z轴，最后再绕Z轴， 将X” 旋转到X轴方向。 X ′ 由于 三 坐 标 轴的正 交关 系， 经 最 后 一次旋 转的 Y”必位于Y轴上。
L P′
O
B
Z
P
(
)
rP′P
H cos B cos L = Hn = H cos B sin L H sin B
Y
Q
KP
X
X ( N + H ) cos B cos L Y = rOP = rOP′ + rP′P = ( N + H ) cos B sin L Z N 1 − e 2 + H sin B
M + H 其中： J = 0 0 0 0 (N + H ) cos B 0 0 1
− sin B cos L − sin L cos B cos L A = − sin B sin L cos L cos B sin L cos B 0 sin B
dX − (M + H )sin B cos L − ( N + H ) cos B sin L cos B cos L dB dY = − (M + H )sin B sin L ( N + H ) cos B cos L cos B sin L dL dZ (M + H ) cos B 0 sin B dH dB = AJ dL dH
dX dY = 0 dZ
2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系
上式简化成大地坐标与椭球间的微分关系：
dB −1 T da dL = −J A B 2 de dH e 2 cos B sin B W (M + H ) 0 = −W