二次函数面积和周长最值问题

二次函数面积和周长最值问题15、[淮南市洞山中学第四次质量检测，21,12分]（本题12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点。

（1）求这个二次函数的解析式；（2）过点C的直线y=kx+b与这个二次函数的图象相交于点E（4,m），请求出△CBE的面积S的值。

16、（20120)三点.(1)求抛物线的解析式；(3分)(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M求出S的最大值；(4分)(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.(3分)25．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线ky=x2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC与△ABE的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．y12．（山东省临沂市）如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA2. 如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x ，y=122+-x 的图象相交于点A ，动点E 从O 点出发，沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，作EF ∥y 轴与直线BC 交于点F ，以EF 为一边向x 轴负方向作正方形EFMN ，设正方形EFMN 与△AOC 的重叠部分的面积为S.（1）求点A 的坐标； （2）求过A 、B 、O 三点的抛物线的顶点P 的坐标； （3）当点E 在线段OA 上运动时，求出S 与运动时间t （秒）的函数表达式； （4）在（3）的条件下，t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？此时（2）中的 抛物线的顶点P 是否在直线EF 上，请说明理由.11.如图12-2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2） 求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △；（3） 设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ， 使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．-2图12-2xC Oy ABD 1 1x6.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，OA=4,AO=2OC ，且抛物线对称轴为直线3x =-(1)求该抛物线的函数表达式；(2)已知矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在AC 、BC 上，设OD=m ，矩形DEFG 的面积为S ，当矩形DEFG 的面积S 取得最大值时，连接DF 并延长至点M ，使25FM DF =，求出此时点M 的坐标。

(3)若点Q 是抛物线上一点，且横坐标为4-，点P 是y 轴上一点，是否存在这样的点P ，使得BPQ 是直角三角形，如果存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

7.（一中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线32++=nx mx y 经过点A 和点（2，3），与x 轴的另一交点为C.（1）求此二次函数的表达式；（2）若点P 是x 轴下方的抛物线上一点，且△ACP 的面积为10，求P 点坐标； （3）若点D 为抛物线上AB 段上的一动点（点D 不与A ，B 重合），过点D 作DE ⊥x 轴交x 轴于F ，交线段AB 于点E.是否存在点D ，使得四边形BDEO 为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点D 的坐标；若不存在，请通过计算说明理由.26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，3），△AOB的面积是3.（1）求点B 的坐标；（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在（2）中x 轴下方的抛物线上是否存在一点P ，过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ，线段OD 把△AOB 分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD 面积比为2 : 3？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8.（一中）如图，在Rt △ABO 中，OB=8,tan ∠OBA=43.若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C 在x 轴负半轴上，且OB ＝4OC.若抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 、C .（1）求该抛物线的解析式；（2）设该二次函数的图象的顶点为P ，求四边形OAPB 的面积；（3）有两动点M,N 同时从点O 出发，其中点M 以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB 按O →A →B 的路线运动，点N 以每秒4个单位长度的速度沿折线按O →B →A 的路线运动，当M 、N 两点相遇时，它们都停止运动.设M 、N 同时从点O 出发t 秒时，△OMN 的面积为S .①请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ②判断在①的过程中,t 为何值时，△OMN 的面积最大？10.（一中）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－4，0），点N 的坐标为（－3，－2）,直角梯形OMNH 关于原点O 的中心对称图形是直角梯形OABC ，（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； （1）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（2）在直角梯形OABC 中，截取BE=AF=OG=m(m ＞0)，且E ，F ，G 分别在线段BA ，AO ，OC 上，求四边形．．．BEFG ．．．．的面积．．．S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的情况下，是否存在BG ∥EF 的情况，若存在，请求出相应m 的值，若不存在，说明理由．11．（南开）如图，已知直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于A 、C 两点，抛物线y=-2x 2+bx+c (a ≠0)经过点A 、C.（1）求抛物线的解析式;（2）设抛物线的顶点为P ，在抛物线上存在点Q ，使△ABQ 的面积等于△APC 面积的4倍.求出点Q 的坐标;（3）点M 是直线y=-2x+4上的动点，过点M 作ME 垂直x 轴于点E ，在y 轴（原点除外）上是否存在点F ，使△MEF 为等腰直角三角形? 若存在,求出点F 的坐标及对应的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 12. （一中）矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图所示, A 、C 两点的坐标分别为A(6,0), C(0, 2), 直线12y x =与BC 相交于D.(1) 求点D 的坐标;(2) 若抛物线2y ax bx =+经过D 、A 两点, 试确定此抛物线的解析式;(3) P 为x 轴上方(2)中抛物线上一点, 求POA ∆面积的最大值;(4) 设(2)中抛物线的对称轴与OD 交于点M, 点Q 为对称轴上一动点, 以Q 、O 、M 为顶点的三角形与OCD ∆相似,求符合条件的Q 点的坐标.4、（2009年重庆市江津区）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.14.（一中）如图，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连接AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.（1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着线段AB 向B 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ≤2)，△PQA 的面积记为S.① 求S 与t 的函数关系式；② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；（3）是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.26、已知二次函数2(1)4y x =--的图象如图所示.（1）求抛物线与x 轴交点A 、B 的坐标（点A 在点B 的左侧），及与y 轴的交点C 的坐标； （2）设抛物线的顶点为点D ，求BCD ∆的面积S ；（3）在抛物线上是否存在点E ，使以A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点E 的坐标，并说明理由；若不存在，请说明理由。

2. （2010年广州中考数学模拟试题(四)）关于x 的二次函数y ＝－x 2＋(k 2－4)x ＋2k －2以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方．(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；(2)设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过D 点作DC 垂直x 轴于点C, 得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式；(3)当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说25．如图，抛物线212y x bx c =++与直线:l y kx m =+交于(4,2),(0,1)A B -两点。

(1)求抛物线与直线的解析式；(2)若点D 是直线，下方抛物线上的一动点，过点D 作DE//y轴交直线l 于点E ，求DE 的最大值，并求出此时D 点的坐标；(3)在(2)的条件下，DE 取最大值时，点P 在直线AB 上，平面内是否存在点Q ，使得以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形?若存在直接写出Q 点坐标，若不存在说明理由．25、如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为()1,0-，抛物线的对称轴为直线 1.5x =，点M 为线段AB 上一点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于P ，交过点A 的直线y x n =-+于点C 。