二次函数及三角形周长,面积最值问题
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。
在解决二次函数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。
关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的分析：由已知，可求得二次函数的对称轴为，又因为二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则,所以CH＋EH的最小值为。
小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的最小值。
变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长；若不存在，请说明理由。
分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。
，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,问题2.如图，直线与抛物线交于点A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长并求EF的最大值。
分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大值为小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。
变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角形，，要求的最大值只需求得的最大值，由此就转化为问题2，所以小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。
二次函数与三角形周长最值问题
二次函数与三角形周长最值问题1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊一个既有趣又实用的话题，那就是二次函数和三角形周长的最值问题。
听起来是不是有点晦涩？别担心，我会尽量把这些复杂的数学概念变得简单易懂，就像喝水一样容易。
你有没有发现，数学其实就像生活中的调味品，适量的话，能让一切变得更美味。
今天我们就来看看，如何用二次函数来找出三角形周长的最值。
2. 二次函数的基本概念2.1 二次函数是什么？首先，咱们得搞清楚二次函数是什么。
简单来说，二次函数就是形如 ( y = ax^2 + bx + c ) 的函数，其中 ( a, b, c ) 是常数，而 ( a neq 0 )。
这个公式的图像通常是一条抛物线，像个笑脸，或者说是个哭脸，真是个多情的家伙。
它的形状和位置全靠那个 ( a ) 的值决定——如果 ( a ) 是正的，它就笑得特别灿烂；如果是负的，那就是个忧伤的小抛物线。
2.2 如何求最值？在二次函数中，最值也就是我们常说的“顶点”。
顶点的横坐标可以用公式 ( x = frac{b{2a ) 来计算。
得到横坐标后，把它带回原方程，就能算出对应的纵坐标。
这样一来，我们就能轻松找到函数的最大值或最小值，就像捡到了一个大便宜。
3. 三角形周长的计算3.1 三角形的周长公式接下来，我们来聊聊三角形的周长。
三角形的周长简单来说就是三条边的长度加起来。
无论你是直角三角形、等边三角形还是其他类型，周长都是那个公式：( P = a + b + c )，其中 ( a, b, c ) 就是三条边的长度。
很简单吧？不过，别忘了，边的长度可不是随便定的哦，得满足三角形不等式。
3.2 周长与二次函数的关系现在问题来了，怎么把周长和二次函数联系起来呢？我们可以设定一条边的长度为( x )，另外两条边用 ( y ) 和 ( z ) 表示。
然后通过一些简单的代数变换，把三角形的周长表达为 ( P(x) = x + f(x) )，其中 ( f(x) ) 是个二次函数，表示与 ( x ) 相关的边长。
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法二次函数是高中数学中一个经常出现的重要知识点，它在数学中有着广泛的应用，其中一个重要的应用就是处理三角形面积最大值问题。
在本文中，我们将介绍二次函数在处理三角形面积最大值问题中的基本方法和应用技巧。
1. 三角形面积最大值问题的基本原理三角形面积最大值问题指的是给定三边长度为a、b、c，求出以这三条边为边长的三角形的面积最大值。
根据海伦公式，三角形面积公式为：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，是三角形半周长。
我们可以通过求解出上式的最大值来得到三角形的最大面积。
2. 二次函数相关知识介绍二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 是常数，而x是自变量。
二次函数在数学中有着广泛的应用，其标准形式为：y=ax^2+bx+c（a≠0）其中a表示二次函数的开口方向和大小，常被称为二次函数的开口因子；b表示二次函数的对称轴的位置，常被称为二次函数的对称轴；c表示二次函数在y轴上的截距，即当x=0时，二次函数的函数值。
3. 二次函数求解三角形面积最大值的应用在二次函数求解三角形面积最大值的应用中，我们可以将三角形面积公式中的p表示为：p=(a+b+c)/2 = (x+y+z)/2然后使用二次函数y=f(x)表示√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中x、y、z分别表示三角形的三边长度a、b、c。
由于p=(x+y+z)/2是一个常数，因此我们可以将其视为一个固定值，从而将y=f(x)表示为：y=√[(x+y+z)/2(x+y+z)/2-x(x+y+z)/2-y(x+y+z)/2+z(x+y+z)/2]化简得：y=√[xyz(x+y+z)]这就是一个二次函数的标准形式。
通过求解这个二次函数的最大值，我们就可以得到三角形的最大面积。
4. 二次函数求解三角形面积最大值的具体方法为了求解上述的二次函数的最大值，我们需要使用二次函数y=f(x)的顶点公式：x=-b/2a，y=f(-b/2a)其中x=-b/2a即为二次函数的对称轴坐标，f(-b/2a)即为二次函数的顶点坐标。
高中数学最值问题12种
高中数学最值问题12种高中数学最值问题是指在一定条件下，找出某个函数的最大值和最小值的问题。
这些问题需要通过一定的方法来求解，涉及到导数、不等式、二次函数、三角函数等数学知识。
下面我们将介绍12种高中数学最值问题的解法和相关概念。
1.函数的最大值和最小值：函数的最大值和最小值是指函数的各个值中最大和最小的值。
一元函数的最大值和最小值通常可以通过求解导数为0的点来获得。
多元函数的最大值和最小值可能需要使用拉格朗日乘数法等方法。
2.二次函数的最值：二次函数的最值可以通过求解顶点坐标来获得。
二次函数的最大值发生在开口向下的情况下，最小值发生在开口向上的情况下。
3.三角函数的最值：三角函数的最值可以通过研究函数的周期性和对称性来获得。
一般情况下，三角函数的最值为1和-1。
4.不等式的最值：不等式的最值是指不等式的解集中最大和最小的值。
不等式的最值可以通过求解方程来获得。
需要注意确定不等式边界的方式。
5.绝对值函数的最值：绝对值函数的最值可以通过研究函数的分段性质来获得。
需要考虑绝对值函数的参数取值范围。
6.对数函数的最值：对数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。
对数函数的最大值和最小值通常发生在底数小于1的情况下。
7.指数函数的最值：指数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。
指数函数的最大值和最小值通常发生在指数大于1的情况下。
8.等式的最值：等式的最值是指满足等式的变量的最大和最小的值。
等式的最值通常可以通过求解方程组来获得，在求解过程中需要注意排除无解的情况。
9.不定积分的最值：不定积分的最值可以通过求导和临界点的方式来获得。
需要注意确定积分的上下界。
10.定积分的最值：定积分的最值可以通过函数在积分区间上的最值来获得。
需要注意确定积分的上下界和积分变量的取值范围。
11.矩形面积的最值：矩形面积的最值可以通过求解矩形的边长和面积关系来获得。
需要注意确定矩形的条件和限制条件。
12.三角形面积的最值：三角形面积的最值可以通过求解三角形的边长和高的关系来获得。
中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题解题策略
中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题解题策略考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
解决此类题目的基本步骤与思路:1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想.3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。
考试题型，大多类似于此。
求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。
一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。
通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。
方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。
请看解题步骤。
解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。
这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。
铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。
因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。
这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
二次函数中三角形问题(含问题详解)
二次函数中的三角形一．与三角形面积例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22k y kx =+-与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。
C 是抛物线的顶点。
（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）； （2）若点A 在点B 的左侧，且021<⋅x x 。
①当k 取何值时，直线通过点B ；②是否存在实数k ，使ABC ABP S S ∆∆=？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。
例2：已知抛物线)1(3)4(2-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， （1）求m 的取值范围；（2）若0<m ，直线1-=kx y 经过点A ，与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式； （3）若A 点在B 点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使直线P A 平分ACD ∆的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
例3．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)。
(1)写出A 、B 、C 、D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B 、C 的抛物线的解析式； (3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；(4)△PEB 的面积S △PEB 与△PBC 的面积S △PBC 具有怎样的关系？证明你的结论。
A BC DO E x y(第25题图)例4.如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于AB ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．二．与三角形形状例5. 如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．图2图1例 6.如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．x 图①x 图②x 图③例7. 已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．例8.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． (1)求点B 的坐标；(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方， 那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)(第25题图)三．二次函数与三角形相似 例9：已知一次函数1243--=x y 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、C 两点， （1）求出A 、C 两点的坐标；（2）在x 轴上找出点B ，使ACB ∆∽AOC ∆，若抛物线过A 、B 、C 三点，求出此抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，使m AP =，是否存在m 的值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。
二次函数中常见的几种综合题型
二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。
1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。
2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。
1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。
①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。
二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。
1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。
重难点 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题(解析版)--2024年中考数学
重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
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二次函数与三角形周长，面积最值问题
知识点：1、二次函数线段，周长问题
2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题
3、二次函数面积最大值问题
【新授课】
考点1：线段、周长问题
例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），
如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。
练习
1、如图，已知二次函数24
=-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．
y ax x c
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例2. (2018•莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
练习
1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y=
2
0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；
⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．
（4）过点F 作FG 垂直X 轴，并与直线BC 交于点H ，求FH 的最大值。
2、 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =
-与抛物线21
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y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式；
（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．
考点2：二次函数面积最大值
1. (2018•)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
2.(2018•东营)如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)（a>0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线
的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
练习
1.如图，抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接MB，MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？若存在，求出点M的坐标及四边形OBMC
课后练习
1、（2017·）定义：如图1，抛物线与轴交于A，B两点，点P 在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足，则称点P为抛物线的勾股点。
(1)直接写出抛物线的勾股点的坐标；
(2)如图2，已知抛物线C：与轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件的点Q（异于点P）的坐标
2、如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =
++经过B 点，且顶点在直线52
x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断
点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴
交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．。