二次函数与三角形最大面积的3种求法(供参考)

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二次函数与三角形最大面积的3种求法

一.解答题(共7小题)

1.(2012•广西)已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A(3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B、C的距离之和最小,并求出点D的坐标;

(3)在第一象限的抛物线上,是否存在一点P,使得△ABP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2.(2013•茂名)如图,抛物线与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,已知点B的坐标

为(3,0).

(1)求a的值和抛物线的顶点坐标;

(2)分别连接AC、BC.在x轴下方的抛物线上求一点M,使△AMC与△ABC的面积相等;

(3)设N是抛物线对称轴上的一个动点,d=|AN﹣CN|.探究:是否存在一点N,使d的值最大?若存在,请直接写出点N的坐标和d的最大值;若不存在,请简单说明理由.

3.(2011•茂名)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线对称轴l与x轴相交于点M.

(1)求抛物线的解析式和对称轴;

(2)点P在抛物线上,且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标;

(3)连接AC.探索:在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请你说明理由.

4.(2012•黔西南州)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.

(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴;

(2)设点P为抛物线(x>5)上的一点,若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标;

(3)连接AC,探索:在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

5.(2013•新疆)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;

(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.6.(2009•江津区)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.

7.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c经过点A(1,0),C(0,3),且对称轴为直线x=﹣1.

(1)求二次函数的表达式;

(2)在抛物线上是否存在点P,使△PAB得面积为10,请写出所有点P的坐标.

二次函数与三角形最大面积的3种求法

参考答案与试题解析一.解答题(共7小题)

1.(2012•广西)解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A(3,0)和点B(0,3),

∴,解得a=﹣1,c=3,

∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3.

(2)对称轴为x==1,

令y=﹣x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=﹣1,∴C(﹣1,0).

如图1所示,连接AB,与对称轴x=1的交点即为所求之D点,由于A、C两点关于对称轴对称,则此时DB+DC=DB+DA=AB最小.

设直线AB的解析式为y=kx+b,由A(3,0)、B(0,3)可得:

,解得k=﹣1,b=3,

∴直线AB解析式为y=﹣x+3.

当x=1时,y=2,∴D点坐标为(1,2).

(3)结论:存在.

如图2所示,设P(x,y)是第一象限的抛物线上一点,

过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y,AN=OA﹣ON=3﹣x.

S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA﹣S△AOB

=(OB+PN)•ON+PN•AN﹣OA•OB

=(3+y)•x+y•(3﹣x)﹣×3×3

=(x+y)﹣,

∵P(x,y)在抛物线上,∴y=﹣x2+2x+3,代入上式得:

S△ABP=(x+y)﹣=﹣(x2﹣3x)=﹣(x﹣)2+,

∴当x=时,S△ABP取得最大值.

当x=时,y=﹣x2+2x+3=,∴P(,).

所以,在第一象限的抛物线上,存在一点P,使得△ABP的面积最大;P点的坐标为(,).

2.(2013•茂名)

解答:

解:(1)∵抛物线y=ax2﹣x+2经过点B(3,0),

∴9a﹣×3+2=0,

解得a=﹣,

∴y=﹣x2﹣x+2,

∵y=﹣x2﹣x+2=﹣(x2+3x)+2=﹣(x+)2+,

∴顶点坐标为(﹣,);

(2)∵抛物线y=﹣x2﹣x+2的对称轴为直线x=﹣,

与x轴交于点A和点B,点B的坐标为(3,0),

∴点A的坐标为(﹣6,0).

又∵当x=0时,y=2,

∴C点坐标为(0,2).

设直线AC的解析式为y=kx+b,

则,解得,

∴直线AC的解析式为y=x+2.

∵S△AMC=S△ABC,

∴点B与点M到AC的距离相等,

又∵点B与点M都在AC的下方,

∴BM∥AC,

设直线BM的解析式为y=x+n,

将点B(3,0)代入,得×3+n=0,

解得n=﹣1,

∴直线BM的解析式为y=x﹣1.

由,解得,,

∴M点的坐标是(﹣9,﹣4);

(3)在抛物线对称轴上存在一点N,能够使d=|AN﹣CN|

的值最大.理由如下:

∵抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A和点B,

∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称.

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