二次函数与三角形最大面积的3种求法(供参考)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
二次函数与三角形最大面积的3种求法
一.解答题(共7小题)
1.(2012•广西)已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A(3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B、C的距离之和最小,并求出点D的坐标;
(3)在第一象限的抛物线上,是否存在一点P,使得△ABP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.(2013•茂名)如图,抛物线与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,已知点B的坐标
为(3,0).
(1)求a的值和抛物线的顶点坐标;
(2)分别连接AC、BC.在x轴下方的抛物线上求一点M,使△AMC与△ABC的面积相等;
(3)设N是抛物线对称轴上的一个动点,d=|AN﹣CN|.探究:是否存在一点N,使d的值最大?若存在,请直接写出点N的坐标和d的最大值;若不存在,请简单说明理由.
3.(2011•茂名)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线对称轴l与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)点P在抛物线上,且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标;
(3)连接AC.探索:在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请你说明理由.
4.(2012•黔西南州)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.
(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴;
(2)设点P为抛物线(x>5)上的一点,若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标;
(3)连接AC,探索:在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
5.(2013•新疆)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.6.(2009•江津区)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.
7.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c经过点A(1,0),C(0,3),且对称轴为直线x=﹣1.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使△PAB得面积为10,请写出所有点P的坐标.
二次函数与三角形最大面积的3种求法
参考答案与试题解析一.解答题(共7小题)
1.(2012•广西)解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A(3,0)和点B(0,3),
∴,解得a=﹣1,c=3,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3.
(2)对称轴为x==1,
令y=﹣x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=﹣1,∴C(﹣1,0).
如图1所示,连接AB,与对称轴x=1的交点即为所求之D点,由于A、C两点关于对称轴对称,则此时DB+DC=DB+DA=AB最小.
设直线AB的解析式为y=kx+b,由A(3,0)、B(0,3)可得:
,解得k=﹣1,b=3,
∴直线AB解析式为y=﹣x+3.
当x=1时,y=2,∴D点坐标为(1,2).
(3)结论:存在.
如图2所示,设P(x,y)是第一象限的抛物线上一点,
过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y,AN=OA﹣ON=3﹣x.
S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA﹣S△AOB
=(OB+PN)•ON+PN•AN﹣OA•OB
=(3+y)•x+y•(3﹣x)﹣×3×3
=(x+y)﹣,
∵P(x,y)在抛物线上,∴y=﹣x2+2x+3,代入上式得:
S△ABP=(x+y)﹣=﹣(x2﹣3x)=﹣(x﹣)2+,
∴当x=时,S△ABP取得最大值.
当x=时,y=﹣x2+2x+3=,∴P(,).
所以,在第一象限的抛物线上,存在一点P,使得△ABP的面积最大;P点的坐标为(,).
2.(2013•茂名)
解答:
解:(1)∵抛物线y=ax2﹣x+2经过点B(3,0),
∴9a﹣×3+2=0,
解得a=﹣,
∴y=﹣x2﹣x+2,
∵y=﹣x2﹣x+2=﹣(x2+3x)+2=﹣(x+)2+,
∴顶点坐标为(﹣,);
(2)∵抛物线y=﹣x2﹣x+2的对称轴为直线x=﹣,
与x轴交于点A和点B,点B的坐标为(3,0),
∴点A的坐标为(﹣6,0).
又∵当x=0时,y=2,
∴C点坐标为(0,2).
设直线AC的解析式为y=kx+b,
则,解得,
∴直线AC的解析式为y=x+2.
∵S△AMC=S△ABC,
∴点B与点M到AC的距离相等,
又∵点B与点M都在AC的下方,
∴BM∥AC,
设直线BM的解析式为y=x+n,
将点B(3,0)代入,得×3+n=0,
解得n=﹣1,
∴直线BM的解析式为y=x﹣1.
由,解得,,
∴M点的坐标是(﹣9,﹣4);
(3)在抛物线对称轴上存在一点N,能够使d=|AN﹣CN|
的值最大.理由如下:
∵抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A和点B,
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称.