计算方法练习题与答案

练习题与答案

练习题一

练习题二

练习题三

练习题四

练习题五

练习题六

练习题七

练习题八

练习题答案

练习题一

一、是非题

1.*x=–1

2.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限

≤

4

10

2

1

-

⨯

。( )

2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。( )

3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。( )

4. 用

2

12x -近似表示cos x 产生舍入误差。 ( ) 5. 3.14和3.142作为π的近似值有效数字位数相同。 ( )

二、填空题

1. 为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ；

2. *x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限

为 ，相对误差限为 ；

3. 误差的来源是 ；

4. 截断误差为 ；

5. 设计算法应遵循的原则

是 。

三、选择题

1．*x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。

(A) 7； (B) 3；

(C) 不能确定 (D) 5.

2．舍入误差是( )产生的误差。

(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值

(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值

3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。

(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入

4．用s *=21

g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是

在时间t 内的实际距离，则s t s *是（ ）误差。

(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断

5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。

(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。

四、计算题

1． 3.142，3.141，22

7分别作为π的近似值，各有几位有效数字？

2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？

3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)1||,11211<<+-++x x x x ， (2) 1||1112<<+⎰+x dt t x x

(3) 1||,1<<-x e x ， (4) 1)1ln(2>>-+x x x

4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21

g t 2，g 为重力加速度。现设g 是精确的，而对t 有0.1±秒的测量误差，证明：当t 增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。

5*.

，取

⎪⎩

⎪⎨⎧+==+)

7(21210k k k x x x x k =0,1,…, 若k x

的具有n 位有效数字的近似值，求证1k x +

的具有2n 位有效数字的近似值。

练 习 题 二

一、是非题

1. 单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( )

2. 牛顿法是二阶收敛的。 ( )

3. 求方程310x x --=在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。 ( )

4. 迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( )

5. 求非线性方程 f (x )=0根的方法均是单步法。 ( )

二、填空题

1. 1. 用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误

差限为 ；

1. 2. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是 ；

2. 3. 用二分法求方程310x x +-=在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区

间为 ，要求准确到3

10-，则至少应二分 次； 3. 4.

2()(5)x x x ϕα=+-，要使迭代格式1()k k x x ϕ+=

局部收敛到*x =则

α的取值范围是 ；

4. 5. 求方程340x x +-=根的单点割线法是 ，其收敛阶

为 ；双点割线法是 ，其收敛阶为 。

三、计算题

1. 用二分法求方程210x x --=的正根，使误差小于0.05。

2. 求方程3210x x --=在0 1.5x =附近的一个根，将方程改写为下列等价形

式，并建立相应迭代公式。 (1) 211x x =+，迭代公式1211k k x x +=+；

(2) 321x x =+，迭代公式()12311k k x x +=+；

(3) 211x x =-，迭代公式1k x +=；

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似值。

3. 用牛顿切线法求的近似值。取02x =, 计算三次，保留三位小数。

4. 用割线法求方程3310x x --=的在0 1.5x =附近的一个根，精确到小数

点后第二位。

四*、证明题

已知方程()0f x =，试导出求根公式

122()()

2[()]()()k k k k k k k f x f x x x f x f x f x +'=-'''-

并证明：当*x 是方程()0f x =的单根时，公式是3阶收敛的。

练 习 题 四

一、是非题

1．矩阵

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=521352113A 具有严格对角优势。 ( ) 2．

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=521351113A 是弱对角优势矩阵。 ( ) 3．高斯—塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。 ( )

4．1||||

(1)()k k M +=+x x f 收敛的必要条件。 ( ) 5*. 逐次超松弛迭代法是高斯—赛德尔迭代法的一种加速方法。 ( )

二、填空题

1. 解方程组 ⎩⎨⎧=+=+021532121x x x x 的雅可比迭代格式（分量形式）为 ， 该迭代矩阵的谱半径=)(1B ρ ；

2. 解方程组⎩⎨⎧=+=+021532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式（分量形式）

为 ，迭代矩阵=2B ， 该迭代矩阵

的谱半径=)(2B ρ ；

3. 幂法的迭代公式为 ；

4*．QR 算法是用来求 矩阵的全部特征值的一种方法。

5*．雅可比方法是用来求 矩阵的全部特征值及特征向量的一种变

换方法。