高二数学空间向量数量积的坐标表示

练习一：
1.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
2.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3)，b (1, 0 , 0) ; (2) a (1, 1,1)，b (1, 0 ,1) ;
3．已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) ,C(0,0, 2) ,
则顶点 D 的坐标为___(_1_,_-_1_,2_)_____;
4． Rt△ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) ,
C( x, 0,1) ,则 x __2__;
例题：
A
D1F1
z
A1B1 ，求
4
BE1 与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1 , 1 , 0)
,
E1
1
,
3 4
,
1
,
D
Oபைடு நூலகம்
C
y
D(0 , 0 , 0) ,
F1
0
,
1 4
，1
.
A
x
DF1
0
,
1 4
B
BE1
1
,
3 4
,
1
(1
,
1
,
0)
0
,
1 4
,
1
，1
(0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1
.
BE1
DF1
0
0
1 4
1 4
1
1
15 16
,
,
15
| BE1 |
17 4 , | DF1 |
17 . 4
cos
BE1
,
DF1
|
BE1 BE1 |
DF1 | DF1
|
16 15 . 17 17 17
44
例 4．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E ， F 分别是 BB1 ， D1B1 中点，求证： EF DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
（2）到 A 、B两点距离相等的点 P(x , y , z) 的
坐标 x , y , z 满足的条件。
解：点P(x , y , z)到 A 、B 的距离相等，则
(x 3)2 ( y 3)2 (z 1)2 (x 1)2 ( y 0)2 (z 5)2 ,
化简整理，得 4x 6 y 8z 7 0 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 (x , y , z) 满 足的条件是 4x 6 y 8z 7 0
例1 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度；
M
B
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则 O
OM
1 2
(OA
OB)
1 2
(3
,
3
,
1)
1 ,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
,
3
.
AB (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
空间向量运算的坐标表示(二)
复习：
z
z
以 i, j, k 为单位正交基底
建立空间直角坐标系O—xyz
p P(x, y, z)
i, j,k 为基底 ( x, y, z)
p xi y j zk
k
O
xi
j
y 记 p (x, y, z)
y OP ( x, y, z)
x
P(x, y, z)
1.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
2.空间向量数量积的坐标表示：
设空间两个非零向量a (x1，y1，z1)，b (x2，y2，z2)， 则a b x1x2 y1y2 z1z2
所以 DA1 (1 , 0 , 1)
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2),
则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间向量类似于平面向量可以用坐标表示,而且 也类似于平面向量可以用坐标来进行各种运算及进行 有关判断.
设a (a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则 a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ;
3.长度的计算
已知 a ( x, y, z) ,则 a x2 y2 z2
4.空间两点间的距离公式
已知 A( x1 , y1 , z1) 、B(x2 , y2 , z2 ) ，则
注：此公式的 几何意义是表 示长方体的对 角线的长度。
AB ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
（2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
6.空间两非零向量垂直的条件
a b a b 0 x1x2 y1 y2 z1z2 0
思考：当 0 cos a , b 1及1 cos a , b 0 时，
的夹角在什么范围内？
5.角度的计算
已知空间两非零向量 a (x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
注意：（1）当 cos a , b 1时，a 与 b 同向；
例2：已知两点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在 OP上运动，求当QA QB取得最小值时，点Q的坐标。
设OQ OP (, , 2),
QA QB 6 2 16 10
当 4时，QA QB取得最小值 2。
3
3
此时Q（ 4 ，4 ，8） 333
例3 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R);
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R; ) a // b且a、b均各坐标值非0 a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
规定：0 a 0
思考：0 a ??