程林松 7、第七章-双重介质渗流

(6)
K0 (U )是零阶虚宗量贝塞尔函数。
对(6)式进行Laplace反演：
∫ U(r,t) = β
2π i
r +i∞
eλt
⎡
r −i∞
λ(k
+ λη)K0
⎢ ⎣
k
λ + λη
ir
⎤ ⎥ ⎦
dλ
裂缝中压力变化公式 :
积 分
第一类零阶 贝塞尔函数
∫ p(r , t )
=
pi
+
μQ 2π K f
h
∞ 0
⎞ ⎟ ⎠
=
−
μQ 2π K f
h
1 − e−βt/η
24
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
为了进行求解，引入无量钢压力U (r,t) 为：
U
(r,t)
=
2π K f μQ
h
(
pf
(r,t)
−
pi
)
这样，方程式(4)以及初边界条件可以表达为：
∂U ∂t
−η
∂ ∂t
⎧1
⎨ ⎩
r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
18
第七章 多重介质渗流理论
第一节 双重介质油藏模型 第二节 双重介质单相渗流的数学模型 第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解 第四节 双重介质油藏不稳定试井分析
19
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
一、Km和φf=0简化模型的典型解
在含油气裂缝-孔隙介质中，如果满足条件：
∂p ∂t
∂ ∂t
(φmρ )
= φm0ρo
⎛ ⎜ Cρ ⎝
+
Cφm
φm0
⎞ ⎟ ⎠
∂p ∂t
= φm0ρoCm
∂p ∂t
Cf
⎛ = ⎜⎜⎝ Cρ
+ Cφ f
φf 0
⎞ ⎟⎟⎠
Cm
⎛ = ⎜Cρ
⎝
+
Cφm
φm0
⎞ ⎟ ⎠
16
第二节 双重介质单相渗流的数学模型
四、连续性方程
裂缝系统
( ) ∂
∂t
φf ρ
U
=
0
在拉式空间中无量纲 压力U的像函数
边界条件：
U (∞,λ)
=
⎛ 0,⎜ r
⎝
dU dr
⎞ ⎟ ⎠r=0
=
−
λ(β
β
+
λη )
,U (∞, λ)
=
0
25
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
由边界条件上式方程可化为
U
(r,
λ)
=
λ(k
β
+
λη)
K0
⎡ ⎢ ⎣
k
λ + λη
ir
⎤ ⎥ ⎦
+
div
⎛ ⎜⎝
ρ
→
vf
⎞ ⎟⎠
−
q
=
0
基岩系统
∂ ∂t
(φm
ρ
)
+
div
⎛ ⎜⎝
ρ
→
vm
⎞ ⎟⎠
+
q
=
0
对于均质各向同性地层，上式中的对流项可以化简为：
( ) div
⎛ ⎜⎝
ρ
→
vf
⎞ ⎟⎠
=
−
Kf
μ
ρodiv
grad p f
div
⎛ ⎜⎝
ρ
→
vm
⎞ ⎟⎠
=
−
Km
μ
ρodiv (grad
pm
)
17
双重介质渗流理论基础
中国石油大学（北京）
第七章 多重介质渗流理论
第一节 双重介质油藏模型 第二节 双重介质单相渗流的数学模型 第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解 第四节 双重介质油藏不稳定试井分析
2
第一节 双重介质油藏模型
双重介质定义
具有裂缝和孔隙双重储油(气) 和流油(气)的介质我们称之为双重 介质。在一般情况下，裂缝所占 的储集空间大大小于基岩的储集 空间，因此裂缝孔隙度就小于基 岩的孔隙度，而裂缝的流油能力 却大大高于基岩的流油能力，因 此裂缝渗透率就高于基岩的渗透 率，这种流油能力和供油能力的 错位的现象是裂缝-孔隙介质的基 本特性。
7
第一节 双重介质油藏模型
4.Factal模型
基质 裂缝
分形模型:整 体与局部具 有某种相似
性
部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。裂缝性 油藏的分形模型认为裂缝的分布形态、基岩的孔隙结构属 于分形系统。分形的维数随油藏的非均质性不同而不同。
8
第一节 双重介质油藏模型
双重介质油藏基本参数：弹性储容比和窜流系数。
∂p f ∂r
⎞ ⎟ ⎠
=
−
μQ 2π K f
h
外边界条件：
lim
r→∞
pf
(r,t)
=
pi
其中： k = K f / μ0C0 = K f / φmμ0Cm 是导压系数。
注意到： t = 0
⎛
lim
r→0
⎜⎜⎝
r
∂p f ∂r
⎞ ⎟⎟⎠ = 0
可得新的边界条件为：
( ) lim
r→0
⎛ ⎜ ⎝
r
∂p f ∂r
化的偏微分方程：
Co
∂p f ∂t
− div[ K f
μ
grad p f
+ηCo
∂ ∂t
grad
p
f
]
=
0
(3)
式中：Co = φmCm ,η = K f / (α Km ) = rw2 / λ
21
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
如果η→0，窜流速度加快，地层流体可以很快的由基岩流 入裂缝，然后按照裂缝系统渗流规律流动。此时方程(3)退化为 单纯裂缝介质不稳定特性渗流方程。
=
β
1 r
⋅
1 ∂r
⎛ ⎜ ⎝
r
∂p f ∂r
⎞ ⎟ ⎠
(4)
Kf
Km
Warren-Root模型示意图
23
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
初始条件： t = 0,p f (r,t) |t=0 = pi
⎛
内边界条件：
lim
r→0
⎜ ⎝
r
∂p f ∂r
⎞ ⎟ ⎠
+
η β
∂ ∂t
⎛ ⎜r ⎝
13
第二节 双重介质单相渗流的数学模型
二、窜流方程
在基岩与裂缝之间存在着压力差异，因而存在流体交换，
但这种流体交换进行是较缓慢，可将其视为稳定过程。一般认为
单位时间内从基岩排至裂缝中的流量与以下因素有关：
(1) 流体粘度； (2) 孔隙和裂缝之间的压差； (3) 基岩团块的特征量，如长度、面积和体积等； (4) 基岩的渗透率。 通过分析可以得出窜流速度q为：
9
第一节 双重介质油藏模型
2.窜流系数
流体在双重介质油藏渗流的过程中，基质与裂缝之间存在
着流体交换。窜流系数就是用来描述这种介质间流体交换的物
理量，它反映了基质中流体向裂缝窜流的能力。窜流系数定义
为：
λ
=α
Km Kf
rw2
K f ，Km ——裂缝系统和基质系统的渗透率，μm2；
α ——形状因子。
窜流系数的大小，既取决于基质和裂缝渗透率的比值，又 取决于基质被裂缝切割的程度，基质与裂缝渗透率的比值越 大或者裂缝密度越大，窜流系数越大。
22
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
实例：假设有一等厚无限大地层，被一完善井打开，并设井半 径为零，此处有一点源，其产量为Q，则流动为平面径向流， 流动模型如图所示，此时公式(3)就可以展开为：
∂p f ∂t
−η ∂
∂t
⎧⎪1
⎨ ⎪⎩
r
∂ ∂r
⎛ ⎜ ⎝
r
∂p f ∂r
⎞⎫⎪ ⎟⎠⎬⎪⎭
10
第一节 双重介质油藏模型
3.形状因子
形状因子α与基质岩块大小和正交裂缝组数有关，岩块越 小，裂缝密度越大，形状因子α越大 。
Warren-Root提出的计算α的关系式：
α = 4n(n + 2)
L2
n ——正交裂缝组数，整数； L——岩块的特征长度，m。
Kazemi也提出计算α的公式：
α
=
⎛ 4 ⎝⎜⎜
建立双重介质油藏的数学模型时，两种介质分别满足各自 的运动方程、状态方程和连续性方程，而两种连续介质间窜流 通过连续性方程中的一个源和汇函数来表示。
一 运动方程
认为达西线性流公式对裂缝的基岩均是适用的，则有如 下渗流速度公式 ：
裂缝系统： 基岩系统：
vf
=− Kf
μ
gradp f
vm
=
−
Km
μ
gradpm
基岩
双重介质
裂缝
裂缝 基岩 双重介质实际油藏模型
3
第一节 双重介质油藏模型
裂缝-孔隙性双重介质结构油藏可抽象地简化 成各种不同地质模型。
⎧1.Warren − Root 模型
⎪⎪2.Kazemi 模型
⎨ ⎪3.De
Swaan模型
⎪⎩4.Factal 模型
4
第一节 双重介质油藏模型
1.Warren-Root模型
第二节 双重介质单相渗流的数学模型
经过处理后，连续性方程变为：
φfCf
∂p f ∂t
− Kf
μ
div(grad
p
f
)
−
α
Km
μ
( pm − p f ) = 0
φmCm
∂pm ∂t
−
Km
μ
div(grad
pm ) +
α Km μ
( pm
−
pf
)
=
0
这就是考虑双重孔隙性和双重渗透性的双重介质渗流的微 分方程,要获得上述方程在各种条件下的精确解是很困难的， 因而产生了各种简化模型解。
( ) φm = φm0 + Cφm pm − pi
对于其中的流体（如原油）则：
ρ = ρo ⎡⎣1+ Cρ ( p − pi )⎤⎦
15
第二节 双重介质单相渗流的数学模型
渗流问题中常遇到乘积 ρφ f 和 ρφm 的压缩特性。由于介
质和流体的微可压缩性，舍去高阶无穷小量后可得到：
φf
ρ
= φf 0ρo
( ) q = αρoKm
μ
pm − p f
q—单位时间单位岩石体积流出的流体质量；α—形状因子。 14
第二节 双重介质单相渗流的数学模型
三、状态方程
假设孔隙介质，裂缝介质和地层流体均被认为是微可压缩 的，则裂缝孔隙压缩特性公式是：
( ) φ f = φ f 0 + Cφ f p f − pi
则基岩孔隙度 φm压缩特性公式是：
J0
(a, a
r)
⎡ ⎢1 − ⎣
exp
⎛ ⎜ ⎝
−
a2βt 1+ a2η
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
da
(7)
26
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
可以看出，被积函数随自变量a的上升是很快递减的，因而积分收
敛。从公式的圆括号中的量看出，指数的分母中出现了考虑窜流大小
将双重介质油藏简化为正交裂缝
裂缝
切割基质岩块呈六面体的地质模
型，裂缝方向与主渗透率方向一
基质
致，并假设裂缝的宽度为常数。
裂缝网络可以是均匀分布，也可以是非均匀分布的，采 用非均匀的裂缝网格可研究裂缝网络的各向异性或在某一方 向上变化的情况。
5
第一节 双重介质油藏模型
2.Kazemi模型
该模型是把实际的双重介 质油藏简化为由一组平行层理 的裂缝分割基质岩块呈层状的 地质模型，即模型由水平裂缝 和水平基质层相间组成。
⎡⎛
⎢1 ⎢⎣
+
⎝⎜⎜
Cρ
+
Cφ f
φf 0
⎞ ⎠⎟⎟
(
p
−
pi
⎤
)⎥
⎥⎦
φm ρ
=
φm0 ρo
⎡ ⎢1 + ⎣
⎛ ⎜ Cρ ⎝
+
ຫໍສະໝຸດ BaiduCφm
φm0
⎞ ⎟
(
⎠
p
−
pi
)⎤⎥
⎦
由此得到上二式对时间的导数：
( ) ∂
∂t
φf ρ
⎛
= φ f 0ρo ⎜⎜⎝ Cρ
+ Cφf
φf 0
⎞ ⎟⎟⎠
∂p ∂t
= φf 0ρoCf
1 L2x
+
1 L2y
+
1 L2z
⎞ ⎠⎟⎟
Lx、Ly、Lz——基质岩块在x、y、z方向上的长度，m。
11
第七章 多重介质渗流理论
第一节 双重介质油藏模型 第二节 双重介质单相渗流的数学模型 第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解 第四节 双重介质油藏不稳定试井分析
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第二节 双重介质单相渗流的数学模型
r
∂U ∂r
⎞⎫ ⎟⎠⎬⎭
=
β
1 r
1 ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂U ∂r
⎞ ⎟⎠
(5)
U
(r, 0)
=
0,U
(∞, t )
=
0,
⎛ ⎜⎝
r
∂U ∂r
⎞ ⎟⎠r =0
=
−(1−
−βt
eη
)
对式(5)及初边界条件进行Laplace变换得：
拉氏变换 自变量
1 r
d dr
⎛ ⎝⎜ r
dU dr
⎞ ⎠⎟
−
k
λ + λη
1.弹性储容比
弹性储容比ω定义为裂缝系统的弹性储存能力与油藏总 的弹性储存能力之比，用来描述裂缝系统和基质系统的弹性 储容能力的相对大小。
ω = φfCf φ f C f + φmCm
φf
=
裂缝系统孔隙体积 基质和裂缝系统总体积
φm
=
基质系统孔隙体积 基质和裂缝系统总体积
C f 、Cm ——裂缝和基质系统的综合压缩系数； φ f 、φm ——裂缝和基质系统的孔隙度。
φf << φm
Km << K f
φf 和 K f —是裂缝系统的孔隙度和渗透率; φm 和 Km —是基岩系统的孔隙度和渗透率;
则在双重介质渗流的微分方程中，有两项可以忽略：
φf Cf
∂pf ∂t
− Kf
μ
div(grad
pf
)
−
αKm μ
(pm − pf ) = 0
忽略
φmCm
∂pm ∂t
−
Km
分析公式:
Co
∂p f ∂t
− div[ K f
μ
grad p f
+ηCo
∂ ∂t
grad
p
f
]
=
0
它相当于一个连续性方程,其中的渗流速度由两部分组成，
第一部分是纯裂缝中的渗流速度，第二部分是窜流速度引起的
附加渗流速度，即：
v
=− Kf
μ
grad
pf
−ηC0
∂ grad ∂t
pf
在给定初始和边界条件时，方程(3)有解。
对于裂缝均匀分布、基质具有较高的窜流能力和高储存 能力的条件下，其结果与Warren-Root模型的结果相似。
6
第一节 双重介质油藏模型
3.De Swaan模型
该模型除与Warren-Root模型 相似，只是基质岩块不是平行 六面体，而是圆球体。圆球体 仍按规则的正交分布方式排列。
裂缝由圆球体之间的空隙表示，圆球体由基质岩块表示。
μ
div(grad
pm )
+
α Km μ
( pm
−
pf
)
=
0
20
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
上面两式化简为：
Kf
μ
div(grad p f
) + αKm μ
( pm
−
pf
)=0
(1)
φmCm
∂pm ∂t
+
α Km μ
(
pm
−
pf
)
=
0
(2)
对(1)式求导带入(2)式并消去压差pm-pf得裂缝系统压力变