任意角与弧度制题型小结
任意角与弧度制知识与题型总结
任意角与弧度制知识与题型总结一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。
2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点重合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、 C 关系是（ ） A ．B=A∩C B ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=Cααα∠αx4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。
（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、（1）若角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 。
（2）若βα和是终边相同的角。
那么βα-在例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ．例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[]1260180，-∈θ．)(Z k k ∈{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββθ2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。
任意角和弧度制及任意角的三角函数知识点与题型归纳DOC
●高考明方向1.认识随意角的观点．2.认识弧度制的观点，能进行弧度与角度的互化3.理解随意角的三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 .★备考知考情1.三角函数的定义与三角恒等变换等相联合，考察三角函数求值问题．2.三角函数的定义与向量等知知趣联合，考察三角函数定义的应用．3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》 P47知识点一角的观点按旋转方向不一样分为正角、负角、零角.(1)分类按终边地点不一样分为象限角和轴线角.(2)终边同样的角：全部与角α终边同样的角，连同角α在内，可组成一个会合 S＝{β|β＝α＋k·360°， k∈Z}.《名师一号》 P47对点自测1、21注意：1、《名师一号》 P48问题研究问题1、2相等的角终边同样，终边同样的角也必定相等吗？相等的角终边必定同样，但终边同样的角却不必定相等，终边同样的角有无数个，它们之间相差 360°的整数倍．角的表示形式是独一的吗？角的会合的表示形式不是独一的，如：终边在y 轴的负半轴上的角的会合能够表示为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z} ，也能够表示为 {x|x＝k·360°＋270°， k∈ Z}．(增补)2、正角 >零角>负角3、以下观点应注意划分小于 90°的角；锐角；第一象限的角； 0°～ 90°的角．4、(1) 终边落在座标轴上的角1）终边落在x轴非负半轴上的角{x|x＝ 2kπ， k∈ Z}2）终边落在x轴非正半轴上的角{x|x＝ 2kπ+π， k∈ Z}终边落在 x 轴上的角{x|x＝ kπ，k∈Z}3）终边落在y轴非负半轴上的角π{x|x＝ 2kπ+2， k∈ Z}4）终边落在y轴非正半轴上的角3π{x|x＝ 2kπ+ 2， k∈Z}2终边落在 y 轴上的角π{x|x＝ kπ+2， k∈ Z}(2)象限角（自己课后达成）知识点二弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝ 2π弧度； 180°＝π弧度；②弧长公式： l＝|α|r；1 1 2③扇形面积公式： S 扇形＝2lr 和2|α|r .重点：基本公式180 rad《名师一号》 P47 对点自测 3注意：1、《名师一号》 P48 问题研究问题 3在角的表示中角度制和弧度制能不可以混淆应用？不可以．在同一个式子中，采纳的胸怀制度是一致的，不行混用．2、弧长公式与扇形面积公式（扇形的圆心角为弧度，半径为 r ）3弧长公式l | | r 扇形面积公式S1 lr2( 增补 ) （将扇形视为曲边三角形，记l 为底，r为高）知识点三随意角的三角函数于点(1)定义：设α是一个随意角，它的终边与单位圆交P(x，y)，则 sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．(增补)1 、广义的三角函数定义三角函数的定义让角的极点与原点 O重合，始边与 x轴的非负半轴重合，在角的终边上任取一点，则角的三角函数值以下：y ycos x x ysinx2 y2 tan xr r x2 y 2 x OP r x 2 y 2 r 0特别地，当OP r2 21 时x y ysin y cos x tan 0xx2、各象限角的三角函数值符号规律：( 增补 ) 重点：立足定义正弦一二正，横为零余弦一四正，纵为零4正切一三正，横为零，纵不存在3、特别角的三角函数值（自己课后达成）知识点三随意角的三角函数(2)几何表示：三角函数线能够看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是 (1,0)．如图中有向线段 MP ，OM ， AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．《名师一号》 P47对点自测 6注意：《名师一号》 P48问题研究问题 4怎样利用三角函数线解不等式及比较三角函数值的大小？(1)先找到“正当”区间，即 0～ 2π间知足条件的范围，而后再加上周期．(2)先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较5大小，应注意三角函数线的有向性．也能够利用相应图象求解二、例题剖析：（一 ) 角的表示及象限角的判断例 1. 《名师一号》 P48 高频考点例 1(1)写出终边在直线 y＝3x 上的角的会合；α(2)已知α是第三象限角，求2所在的象限．【思想启示】(1)角的终边是射线，应分两种状况求解．α(2)把α写成会合的形式，进而2的会合形式也确立．解： (1)当角的终边在第一象限时，角的会合为π{α|α＝ 2kπ＋3，k∈Z} ，当角的终边在第三象限时，角的会合为4{α|α＝ 2kπ＋3π， k∈ Z}，故所求角的会合为π 4{α|α＝ 2kπ＋3，k∈Z} ∪ {α|α＝2kπ＋3π， k∈ Z}6π{ | k33(2)∵2k π＋π<α<2k π＋2π(k ∈Z) ，∴k π＋π α π＋ 3π(∈ Z) ．2<2<k4kπ α3当 k ＝ 2n(n ∈ Z) 时， 2n π＋2<2<2n π＋4π，α2是第二象限角，3π α 7当 k ＝ 2n ＋1(n ∈Z) 时，2n π＋ 2 <2<2n π＋4π， α2是第四象限角，综上知，当 α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．注意 : 《名师一号》 P48 高频考点例 1 规律方法(1)若要确立一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为 2k π＋α(0 ≤α<2π)(k ∈Z) 的形式，而后再依据α所在的象限予以判断．(2)利用终边同样的角的会合能够求合适某些条件的角，方法是先写出这个角的终边同样的全部角的会合， 而后经过对会合中的参数 k 赋值来求得所需角．7（二 ) 弧度制的定义和公式 例 1. 《名师一号》 P48 高频考点 例 2 (1)已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解： (1)设圆心角是 θ，半径是 r ， 2r ＋r θ＝10r ＝1， r ＝4， 则 1θ·2＝? (舍 )， θ＝14θ＝8 2r21故扇形圆心角为 2.(2)设圆心角是 θ，半径是 r ，则 2r ＋ r θ＝40.1 2 1S ＝2θ·r ＝2r(40－2r)＝r(20－r)2当且仅当 r ＝10 时， S max ＝100， θ＝ 2. 所以当 r ＝10， θ＝ 2 时，扇形面积最大．《名师一号》 P47对点自测 4注意：《名师一号》 P48 高频考点 例 2 规律方法811.弧度制下 l ＝ |α| r ·，S ＝2lr ，此时 α为弧度．在角度制下 ，弧长 l ＝n πr，扇形面积 S ＝ n πr 2，180 360此时 n 为角度，它们之间有着必定的联系． 2．在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．（三 ) 三角函数的定义及应用例 1. 《名师一号》 P48 高频考点 例 3 (1)已知角 θ的极点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，2 5若 P(4，y)是角 θ终边上一点，且 sin θ＝－ 5 ， 则 y ＝________.解： (1)r ＝ x 2＋y 2＝ 16＋y 2，且 sin θ＝－255， y y 2 5所以 sin θ＝ r ＝ 16＋y 2＝－5 ， 所以 θ为第四象限角，解得 y ＝－ 8.《名师一号》 P47对点自测 5(3)(2015 日·照模拟 )已知点 P(sin θcos θ， 2cos θ)位于第三象限，则角 θ是第 ________象限角．9解： (3)由于点 P(sinθcosθ， 2cosθ)位于第三象限，sinθ>0，所以 sinθcosθ<0,2cosθ<0，即cosθ<0，所以θ为第二象限角．※(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始地点在 (0,1)，此时圆上一点 P 的地点在 (0,0)，圆在→x 轴上沿正向转动．当圆转动到圆心位于 (2,1)时，OP的坐标为 ________．解： (2)如图，连结 AP，分别过 P，A 作 PC，AB 垂直 x 轴于 C，B 点，过 A 作 AD⊥ PC 于 D 点，由题意知 BP 的长为 2.10∵圆的半径为 1，∴∠ BAP＝ 2.π故∠ DAP＝ 2－2.π∴DP＝ AP·sin 2－2＝－ cos2.π∴PC＝ 1－ cos2，DA＝APcos2－2＝ sin2.→∴OC＝ 2－ sin2，故 OP＝(2－sin2,1－ cos2)．注意：《名师一号》 P48高频考点例2规律方法1.利用定义求三角函数值．在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要依据问题的本质及解题的需要对参数进行分类议论．随意角的三角函数值仅与角α的终边地点相关，而与角α终边上点 P 的地点没关．2．三角函数值的符号及角的地点的判断．已知一角的三角函数值 (sinα， cosα，tanα)中随意两个的符号，可分别确立出角终边所在的可能地点，两者的交集即为该角的终边地点，注意终边在座标轴上的特别状况．3．与向量等问题形成的交汇问题，抓住问题的本质，找寻相应的角度，而后经过解三角形求得解．11练习：若一个角α的终边在直线 y3x上，3求 10sin的值。
任意角、弧度制小结学案
1.1.3 任意角、弧度制小结【学习目标】 1．通过小结形成知识网络，更加熟练、系统地掌握和运用本小节的知识点；2．能正确表示某一范围的角；能熟练应用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，能求有关扇形面积的最值等.【学习重点】（1）角的集合表示；（2）弧长公式、扇形面积公式的灵活运用【难点提示】构建知识网络、灵活运用解决实际问题.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材110P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一．知识梳理请感悟上面的知识网络（建议自己在电脑自作），主动复习教材中相关知识，并将各知识内容填写在横线上或空白处.二、热身练习1.在直角坐标系中，若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系是（ ）90;90360();A B k k Z βαβα=+=++⋅∈． ．90;90360();C D k k Z βαβα=±=±+⋅∈． ．任意角、弧度制任意角弧度制角的概念象限角 同终边上的角 轴上角 正角负角零角弧度制的概念 弧度制与角度制互化弧长、面积公式{}{},,,n Z Y k Z ⋅∈=±⋅∈２．集合Z ＝x ｜x=(2n+1)180x ｜x=(4k 1)180之间的关系是（ ）.;.;.;..A Z Y B Z Y C Z Y D Z Y ≠≠⊂⊃= 与之间的关系不确定三、典例赏析例1 写出如图(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合．思路启迪 以两条射线为终边上的角是多少度（或弧度）？再看周期性吧！解：解后反思 你是怎样理解题的？求解该题的关键点、易错点在哪里？变式练习 写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.解：例2.已知α是第二象限角，试求下列角的范围与所在的象限：(1) 3α；(2) 3α．思路启迪：准确写出α，在33αα、的范围，根据求出的范围，运用数形结合，试试看.解后反思（1）若例2中的α分别是第一象限、第三象限、第四象限的角，怎样确定 33αα、所在象限？有规律吗？各自的周期是多少？（2）解答本题用到了什么数学思想方法？该题中33ααα、、的范围还有不同的写法吗？角的两种制度能用在同一个表达式中出现吗？变式练习 已知α是第三象限角，试求角4α与2α的范围和所在的象限. 解：例3（１）已知扇形OAB 的圆心角α为120，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积． （２）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？解：解后反思 在第（1）问中，应怎样选择公式更好？第（2）问是一道什么题型，求解时 的入手点在哪里？易错点在哪里？变式练习 已知圆中一条弦的长等于半径r ，求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧组成的弓形的面积.解：例4. 2003年10月15日9时，中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船， 在酒泉卫星发射中心用“长征二号F ”型运载火箭发射升空，按规定轨道3地球14圈，在太空飞行21小时18分，16日6时23分在内蒙古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功.视飞船在地面343千米的太空中绕地球做匀速圆周运动，90分钟绕地球一圈，地球的平均半径为6378千米，计算：（1）飞船绕地球14圈共转过的度数是多少？（2）在太空飞行中，杨利伟与家人进行了一次特别的通话，通话时间持续4分50秒，在这段时间内，杨利伟所乘坐的飞船转过的角度是多少？飞船走了多少千米（不考虑其他因素，计算时取 3.14π≈）？解：解后反思 该题是什么题型？求解它的思想方法是什么、步骤如何？变式练习 在以原点为圆心半径为4的圆周上，动点P 、Q 从点A （4,0）出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟旋转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟旋转6π弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P 、Q 各自走过的弧长.解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：知识网络理解了吗？里面的知识内容都掌握了吗？本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解的？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？（学习链接——阅读材料）五、学习评价1将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是（ ） A.3π B.－3π C.6π D.－6π2.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A.2B.1sin 2 C.1sin 2 D.2sin 3.集合A={},322|{},2|Z n n Z n n ∈±=⋃∈=ππααπαα， B={},21|{},32|Z n n Z n n ∈+=⋃∈=ππββπββ，则A 、B 之间关系为（ ） A. A B ⊂ B. B A ⊂ C. B ⊂A D. A ⊂B4.在半径为1的单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则弦AB 所对圆心角α是( )A ．α＝3B ．α＜3C ．α＝32π D ．α＝120 5.若角α与β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是 ； 若角α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是 ；若角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系是 ；若角,αβ的终边关于直线y x =对称，则αβ与的关系式是 .6.12弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积．解：7.扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长L 最小?解：8.半径为R 的扇形，其周长为R 4，则扇形中所含弓形的面积是多少？解：◆承前启后 现在我们学习了角的推广，角的两种度量制度？在数学中角与三角函数联系最为紧密，那对任意角又怎样定义三角函数呢？【学习链接】（阅读材料）密位制:一种军用的角度计量法.以密位为单位来量角的制度是：把圆周6000等分，每一等分的弧所对圆心角称为1密 位的角，即：1密度位就是圆的16000所对的圆心角（或这条弧）的大小. 密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如15密位记为“0—15”，读作“零，一五”；1370密位记为“13—70”，读作“一三，七零”。
高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总
任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。
（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。
高考数学 专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数热点题型和提分秘籍 理
专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义热点题型一 象限角与终边相同的角例1、 (1)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。
(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。
【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π（2）见解析解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π。
(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )， 所以角－α的终边在第二象限。
由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )。
所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴。
【提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。
(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。
(4)求并集化简集合。
2．确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出k α或αk的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk的终边所在位置。
【举一反三】设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2属于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限热点题型二 扇形的弧长及面积公式例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。
任意角及弧度制知识点总结
任意角及弧度制知识点总结1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z .（3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈o .如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y xr rαα==，()tan ,0y x xα=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec rx α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
三角函数任意角和弧度制知识点
三角函数任意角和弧度制知识点第一章三角函数任意角和弧度制知识点任意角知识点一、任意角b终边总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、旋转方向、旋转量大小。
α知识点二、直角坐标系则中角的分类始边o1、象限角与轴线角aβ2、终边相同的角与角α终边相同的角β子集为__________________c终边轴线角的表示：终边落到x轴非负半轴角的子集为_____________；终边落到x轴非正半轴角的子集为_______；终边落到x轴角的子集为____________________。
终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合为_______；终边落在y轴角的集合为____________________。
终边落在坐标轴角的集合为__________________。
象限角的则表示第一象限的角的子集为_________________第二象限的角的子集为_____________。
第三象限的角的集合为_________________；第四象限的角的集合为____________。
例题1、推论以下各角分别就是第几象限角：670°，480°，-150°，45°，405°，120°，-240°，210°，570°，310°，-50°，-315°例题2、以下角中与330°角终边相同的角是（）a、30°b、-30°c、630°d-630°题型一、象限角的认定例1、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，指出他们是第几象限角，并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角。
（1）420°（2）-75°（3）855°（4）1785°（5）-1785°（6）2021°（7）-2021°（8）1450°（9）361°（10）-361°例2、已知α是第二象限角，则180°-α是第_____象限角。
三角函数解三角形题型归类
三角函数解三角形题型归类一知识归纳：（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝ ．(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 .(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2. 3．任意角的三角函数（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ．（2）任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0) 4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （二）公式概念1．三角函数诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋α(k ∈Z)的本质奇变偶不变(对k 而言，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)．2．两角和与差的三角函数公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.3．二倍角公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos α2；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.（三）正、余弦定理及其变形： 1．正弦定理及其变形 在△ABC 中，a sin A＝b sin B＝c sin C＝2R (其中R 是外接圆的半径)；a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 2．余弦定理及其变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.b 2＝ ； cos B ＝ ；c 2＝ . cos C ＝ .3.三角形面积公式:S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝_________________＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .2．整体法：求y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx ＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x (或cos x )看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．4．公式法：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (2016年 全国卷1)4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（A （B （C ）2 （D ）3 6.将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 （A ）2sin(2)4y x π=+ （B ）2sin(2)3y x π=+（C ）2sin(2)4y x π=-（D ）2sin(2)3y x π=-14.已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-=————————————． (2015年 全国卷1)8. 函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.(2014年 全国卷1) 2.若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 7.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A .①②③ B. ①③④ C . ②④D. ①③16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测学科网得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .(2013年 全国卷1)9．函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）10．已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b = （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）516．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.(2012年 全国卷1)9.已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π417.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，sin sin c C c A =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆b ，c .三、题型归纳题型一、三角函数定义的应用1.若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A.－33 B.33C.－ 3D. 3变式1．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4题型二、三角函数值的符号2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4变式2.设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43 题型三、同角三角函数关系式的应用3.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.454.已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34变式3.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1 题型四 诱导公式的应用5．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________. (2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝______变式4.已知角α终边上一点p(-4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为 题型五、三角函数的图形变换6.（1）要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位（2）某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．变式5.已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．题型六、三角函数的性质问题7.（1）函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间为________.（2）已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π2⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π6，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z（3）函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( ) A.关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称D.关于直线x ＝π12对称（4）当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是( ) A.奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称 C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D.偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 变式6.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．题型七、最值与值域问题8.已知函数2()(sinx cosx)cos 2f x x =++。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案：39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4 <α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。
《任意角和弧度制及任意角的三角函数》题型分析
数学教育研究
·４ １·
《 任意角和弧度制及任意角的三角函数》 题型分析
董建华 （ 湖北省秭归第二中学 ４ ） ４ ３ ６ ０ ０
任意角和弧度制及任意角 高中数学 必 修 ４《 这一节主要考 查 用 三 角 函 数 的 定 义 的三角函数 》 求三角函数值以 及 三 角 函 数 值 符 号 的 确 定 ． 其主 要内容包括 ： １．角的概念的推广 （ ）定义 ： 角可以看成平面内的一条射线绕 １ 着端 点 从 一 个 位 置 旋 转 到 另 一 个 位 置 所 成 的 图形 ．
）
·４ ２·
∴犗 犆＝２－ｓ ｉ ｎ ２ ．
数学教育研究
２ ０ １ ５ 年第 ２ 期
合不等式 － １ ８ ０ °≤ ８ ０ °的元素α 为 －６ ０ °， １ ２ ０ °． α＜１
→ 故犗 ） 犘＝ （ ２－ｓ ｉ ｎ ２， １－ｃ ｏ ｓ ２ ．
４ 应用三角函数线解题
例 ４ 函 数 狔 ＝ ２ ｃ ｏ ｓ 狓－１ 的 定 义 域 槡 为 ． 解 ：∵ ２ ｃ ｏ ｓ 狓 －１ ｏ ｓ 狓≥ ≥０，∴ ｃ １ ． ２
→ 到圆心位于 （ ） 时， ２， １ 犗 犘的坐标为
直狓 轴 于 犆 ， 过 犅 点，
．
解： 如图 ２， 连犃 分பைடு நூலகம்过 犘， 犘， 犃 作犘 犆， 犃 犅垂
狔（ ） 狓≠０ ． 狓
（ ）几何 表 示 ： 三角函数线可以看作是三角 ２ 正 弦 线 的 起 点 都 在 狓 轴 上， 余 函数的几 何 表 示 ． 弦线的起点都是原点 ， 正切线的起点都是 （ ） １， ０ ． 如图中有向线段 犕犘， 犗犕 ， 犃 犜 分 别 叫 做 角α 的正弦线 ， 余弦线和正切线 ． 在学习这一节中其常见题型如下 ：
任意角和弧度制(基础知识+基本题型)(含解析)
5.1 任意角和弧度制（基础知识+基本题型）知识点一 任意角 1.角的概念(1)角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
(2)角的表示：如图射线OA 为始边，射线OB 为终边，点O 为角的顶点，图中角α可记为“角α”或“α∠”，也可简记为“α”。
2.角的分类 名称定义 图形正角一条射线按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线按顺时针方向旋转形成的角零角 一条射线没有做任何旋转形成的角拓展：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置。
（2）角的范围不再限于0360.BOAOABOABA（BO知识点二 象限角与终边相同的角 1.象限角（1）象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
（2）象限角的集合表示}36090360,x k k Z <<+⋅∈}90360180360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }180360270360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈}270360360360,k x k k Z ⋅<<+⋅∈2.终边相同的角（1）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{S ββα==+}360,k k Z ⋅∈，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
（2）角的终边在坐标轴上的角的集合表示,k Z ∈}360,k k Z +⋅∈}180,k k Z ⋅∈}90360,k k Z +⋅∈}90360,k k Z +⋅∈终边落在y 轴上的角{}90180,x x k k Z =+⋅∈终边落在坐标轴上的角{}90,x x k k Z =⋅∈注意：（1）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍。
24任意角与弧度制知识点总结
y sin x 的图象。
③五点法：在函数 y sin x ， x 0，2 的图象上，起关键作用的点有以下五个：
0，0， 2 ，1，，0， 32 ，1，2，0
必修四第一章知识点总结
一、意角的概念
（1）、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）、角的分类 ①按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。 ②按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。 ③如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。这样，零角的始边与终 边重合。 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。
量角的单位制
无关
以省略
有关
五、任意角的三角函数
（1）、直角坐标系内用点的坐标表示锐角三角函数
设锐角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象
限。在 的终边上任取一点 P a，b ，它与原点的距离 r a2 b2 0 ，过 P 作 x 轴的
垂线，垂足为 M ，则线段 OM 的长度为 a ， MP 的长度为 b 。根据初中学过的三角函数定
（4）、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数 y sin x （ x R ）是奇函数，余弦函数 y cos x （ x R ）是偶函数。
（5）、正弦函数、余弦函数的单调性 ①由正弦曲线和余弦曲线可得正弦函数和余弦函数的单调性如下：
函数
y
sin
x
在
2k
2
，2k
2
3 2
sin
，
任意角和弧度制知识点总结
任意角和弧度制知识点总结任意角和弧度制知识点总结在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
小编准备了高二数学任意角和弧度制知识点，希望你喜欢。
1.任意角(1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.②按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：终边与角相同的角可写成+k360(kZ).(3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||=，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径.③用弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关.④弧度与角度的换算：360弧度;180弧度.⑤弧长公式：l=||r，扇形面积公式：S扇形=lr=||r2.2.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设是一个任意角，角的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin =y，cos =x，tan =，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的`函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.3.三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_，sin_)，即P(cos_，sin_)，其中cos =OM，sin =MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan =AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线.高二数学任意角和弧度制知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。
数学下册任意角和弧度制知识点总结
一、任意角：初中我们研究过锐角(0～90)的三角函数值，了解钝角(大于90，小于180的角)，平角(180)周角(360)的概念。
但实际生活中会遇到超过360的角，例如:体操转体720等，这需要把角的概念进行推广，而原来角的定义(从一点出发的两条射线所构成的图形)显然不能完成推广的任务，因此对角需要重新定义。
角:平面内一条射线绕着顶点(O)，从开始位置(OA)旋到结束位置(OB)所构成的图形。
OA称为角的始边，OB称为角的终边。
规定:射线逆时针旋转而成的角为正角，顺时针旋转而成的角为负角，射线没有旋转时称为零角。
角进行重新定义后，角的分类也要重新进行，而这次分类是通过直角坐标系来完成的。
我们把角的顶点放在坐标原点，角的始边放在某轴的正半轴上，根据终边的'位置，把角分成象限角与轴上角两类。
即终边落在象限内(四个)称为象限角;终边落在轴上(四个)称为轴上角。
因此今后我们考虑角的问题时，只考虑角的终边位置即可。
终边相同角的表示方法:由于终边相同的角之间都相差360的整数倍，因此与角终边相同的角的集合为:{某|某=k360+, kZ}。
其中可以是与角终边相同的任意一个角;一般情况下，取0到360之间的角。
注意:0到360是指:0360。
二、弧度制:我们前面把角推广到任意角。
实际上是解决了三角函数中定义域的问题。
应该说我们所应用的角度数与实数是可以建立一一对应关系的。
但如果就用角度数作为自变量的取值，会有一些不方便的地方(尤其是作图中)，因此引入了弧度制。
今后在表示角时，如无特殊规定，用角度制、用弧度制表示均可，但一定不要混用。
为了给三角函数的教学作准备，建议大家尽量用弧度制表示角。
(完整版)任意角与弧度制题型小结
2. 按角的终边位置 (1)角的终边在第几象限， —则此角称为第几；(2)角的终边在—上，则此角不属于任何一 个象限•3. ________________________________________________________________________________ 所有与角a 终边相同的角，连同角 a 在内，可构成一个集合 S= _______________________________________ ，即 任一与角a 终边相同的角，都可以表示成角【常考题型】 题型一、象限角的判断【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在 出它们是第几象限角.(1) - 75 ° ;⑵855 ° ; (3) - 510【类题通法】象限角的判断方法(1) 根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限， 此角就是第几象限角.(2) 根据终边相同的角的概念.把角转化到0°?360。
范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角. 【对点训练】在直角坐标系中，作出下列各角，在0°?360。
范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角.(1)360 ° ；⑵720 ° ； (3)2 012 ° ； (4) - 120 ° .题型二、终边相同的角的表示任意角与弧度制【知识梳理】1按旋转方向分X 轴的非负半轴上，作出下列各角，并指【例2】(1)写出与a=- 1 910。
终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720 v卩v 360。
的元素卩写出来•⑵分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合⑶ 写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合.x30*8【类题迪袪】1终边相同的角常用的三个结论(1) 终边相同的角之间相差360°的整数倍.⑵终边在同一直线上的角之间相差180。
的整数倍.(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90 的整数倍.2?区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界;⑵由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角a,卩，写出所有与a ,卩终边相同的角;(3) 用不等式表示区域内的角，组成集合【对点训练】已知角a的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角a的取值范围.4yn *亠题型三、确定n及一所在的象限【例3】若a是第二象限角，则a 2a，-分别是第几象限的角？【类题通法】1. n a所在象限的判断方法H：Jy *o/2. a所在象限的判断方法na(1)用不等式表示出角一的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1 ;被n除余2；…；被n除余n —1. 从而得出结论.⑵作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域?从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4. 标号为几的区域，就是根据a终边所在的象限确定a a的终边所落在的区域. 如此，一所在的象限就可以由标号区域n n所在的象限直观地看出. a【对点训练】已知角a为第三象限角，试确定角2 a ,〜是第几象限角.题型四轴线角与象限角1. 终边落在x 轴正半轴上角的集合_________________________________2. 终边落在x 轴负半轴上角的集合_________________________________3. 终边落在y 轴正半轴上角的集合_________________________________4. 终边落在y 轴负半轴上角的集合_________________________________5. 终边落在x 轴上角的集合_______________________________6. 终边落在y 轴上角的集合_______________________________7. 终边落在坐标轴上角的集合________________________________8. 与终边关于原点对称( 互为反向延长线)，与的关系____________9. 与终边关于X 轴对称，与的关系_________________10. 与终边关于y 轴对称，与的关系_____________11. 第一象限角的范围：_______________________________12. 第二象限角的范围：_______________________________13. 第三象限角的范围：_______________________________14. 第四象限角的范围：_______________________________知识梳理】1. 角度制与弧度制(1)角度制.①定义：用度作为单位来度量角的单位制•② 1 度的角：周角的 ___________ 作为一个单位(2)弧度制.①定义：以 ______ 作为单位来度量角的单位制•②1弧度的角：长度等于_____________ 的弧所对的圆心角•2. 任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个 ___________ ，负角的弧度数是一个_______________ ，零角的弧度数是0.3. 角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I ,那么，角a的弧度数的绝对值是| a | = p4. 弧度与角度的互化5. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表6?扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为弧长为, a为其圆心角，则【常考题型】题型一、角度与弧度的换算2 n【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°(2) —300 ° ; (3)2 ; (4)—-.【类题通法】角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式n rad = 180。
任意角和弧度制经典总结
任意角和弧度制、诱导公式一．角的概念的推广我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角。
突出“旋转” 注意：(1)“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“0角”二．“象限角” 三．轴线角： 四．终边相同的角 五、弧度制角度制与弧度制的换算：3．弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180r n l *=π简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积4．扇形面积公式 lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 证：如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221R ππ弧长为l 的扇形圆心角为rad Rl∴lR R R l S 21212=⋅⋅=ππ 比较这与扇形面积公式 3602R n S π=扇 要简单公式一（其中Z ∈k ）:角度制表示如下： 用弧度制可表示如下： ααsin )360sin(=︒⋅+k ⇔ απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k ⇔ απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k ⇔ απαt a n )2t a n (=+k（这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函o RSl数值问题。
）※ 公式: 1cos sin 22=+αααααt a n c o s s i n = 1c o t t a n=⋅αα 公式二：角度制表示如下： 用弧度制可表示如下：αα-sin 180sin(=+︒） ⇔ ααπ-sin sin(=+） αα-cos 180cos(=+︒） ⇔ ααπ-cos cos(=+） ααtan 180tan(=+︒） ⇔ ααπtan tan(=+）公式三： αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）公式四：角度制表示如下： 用弧度制可表示如下： ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-） αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-） ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）公式五：角度制表示如下： 用弧度制可表示如下：sin(90︒ -α) = cos α, sin(2π-α) = cos α,cos(90︒ -α) = sin α. cos(2π-α) = sin α.公式六：角度制表示如下： 用弧度制可表示如下：sin(90︒ +α) = cos α, sin(2π+α) = cos α,cos(90︒+α) = -sin α. cos(2π+α) = - sin α.例题分析： 例1．若,(0,)2παβ∈，且sin cos 0αβ-<， 则 （ ）()A αβ< ()B αβ> ()C 2παβ+<()D 2παβ+>例2．（1）如果α是第一象限的角，那么3α是第几象限的角？ （2）如果α是第二象限的角，判断sin(cos )cos(sin )αα的符号．解：（1）∵22,2k k k Z ππαπ<<+∈，∴22,3336k k k Z παππ<<+∈， 当3()k n n Z =∈时，22,36n n n Z απππ<<+∈，3α是第一象限的角，当31()k n n Z =+∈时，2522,336n n n Z παπππ+<<+∈，3α是第二象限的角， 当32()k n n Z =+∈时，4322,332n n n Z παπππ+<<+∈，3α是第三象限的角． ∴3α是第一，二，三象限的角．（2）∵α是第二象限的角，1cos 0α-<<，0sin 1α<<， ∴sin(cos )0α<，cos(sin )0α>，∴sin(cos )0cos(sin )αα<．例3．已知锐角α终边上的一点P 坐标是(2sin 2,2cos 2)-，则α=（ ）角度和弧度的转换：1．设02θπ≤<，如果sin 0θ<且cos 20θ<，则θ的取值范围是（ ）()A 32ππθ<<()B 322πθπ<< ()C 344ππθ<< ()D 5744ππθ<<2．已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos0αα>≤ ，则a 的取值范围是 ．3．若sin tan cot ()22ππαααα>>-<<，则α∈ （ ）诱导公式例题例1． 下列各式的值： 1）（1）cos210º；(2)sin45π解：（1）cos210º=cos(180º+30º)=－cos30º=－23；（2）sin45π=sin(4ππ+)=－sin 4π=22 2）（3）sin(－34π)；(4)cos(－60º)－sin(－210º) 解：（3）sin(－34π)=－sin(3ππ+)=sin 3π=23； （4）原式=cos60º+sin(180º+30º)=cos60º－sin30º=21－21=0 同类练习： 求下列三角函数的值(1) sin240º； (2)45cosπ；(3) sin （-67π）(4)cos 35π；(5)cos(-150º)；4解：（1）sin240º=23-(2) 45cosπ=22-； (3) sin （-67π）=21(4)cos35π=cos(32ππ-)=cos 3π=21 (5)cos(-150º)=cos150º=cos(180º-30º) =－cos30º=23-； (6)sin47π=sin(42ππ-)=－sin 4π=22- （7）sin(-1200º)²cos1290º+cos(-1020º)²sin(-1050º)+tan855º解：原式＝－sin(120º+3²360º)cos(210º+3²360º)+cos(300º+2²360º)[-sin(330º+2²360º)]+tan(135º+2²360º) ＝－sin120º²cos210º－cos300º²sin330º+tan135º ＝－sin(180º－60º)²cos(180º+30º) － cos(360º－60º)²sin(360º-30º)+)45180cos()45180sin(︒-︒︒-︒=sin60º²cos30º+cos60º²sin30º－tan45º=23²23+21²21-1=0例2．化简 )180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα同类练习：1)sin()5cos(αππα--⋅--略解：原式=)]sin([)cos(cos )sin(απαπααπ+-⋅+⋅+=ααcos cos =1说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型． 2）化简：)()2cos()2sin(])12([sin 2])12([sin Z n n n n n ∈--+-⋅+++⋅αππαπαπα解：原式=)2cos()2sin(]2)sin[(2]2)sin[(αππαππαπαπ----+++n n n n=ααπααπcos sin )sin(2)sin(-++ =ααααcos sin sin 2sin -- =αcos -说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5．求解时应注意从所涉及的角中分离出2π的整数倍才能利用诱导公式一． 例3．已知cos(π+α)=－21，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）． （A ）23(B) 21 (C)－23(D)±23 事实上，已知条件即cos α=21，于是 sin(2π－α)=－sin α=－(－α2cos 1-)=2211⎪⎭⎫⎝⎛-=23因此选A 同类练习：已知παπαπ22321)cos(<<-=+，．求：)2sin(απ-的值． 解：已知条件即21cos =α，又παπ223<<，所以：)cos 1(sin )2sin(2αααπ---=-=-=23)21(12=- 例4．求证：)sin()cos()2cos()4sin()tan()sin()cos()4cos()3sin(πααπαπαππαπαπαπαπα++---=-----+-证明：左边=)cos()sin()sin()cos(cos ]4)sin[(απαπαπαπαπαπ-------+-+ =ααααααπcos sin sin cos cos )sin(-++=ααααααcos sin sin cos sin cos 22⋅--=()()ααααααααsin cos sin cos cos sin )sin (cos -+⋅-=ααααcos sin cos sin +⋅，右边=ααααsin cos cos sin --⋅-=ααααcos sin cos sin +⋅，所以，原式成立．同类练习：求证ααααα3tan )360sin()540sin(1)180cos()cos(1=-︒+-︒+︒+- 证明：左边＝ααααααααsin sin 1cos cos 1sin )180sin(1cos cos 1--=--︒- ＝αααααααα2222cos cos sin sin sin sin 1cos cos 1=--＝tan 3α＝右边， 所以，原式成立．例5．已知223)360tan(1)720tan(1+=︒--︒++θθ,求:)2(cos 1)](sin 2)cos()sin()([cos 222πθπθθπθπθπ--⋅-+-⋅++-的值解：由223)360tan(1)720tan(1+=︒--︒++θθ，得222tan )224+=+θ（，所以22224222tan =++=θ 故 )2(cos 1)](sin 2)cos()sin()([cos 222πθπθθπθπθπ--⋅-+-⋅++-=θθθθθ222cos 1]sin 2cos sin [cos ⋅++ =1＋tan θ＋2tan 2θ =1+2)22(222⋅+222+= 例6．已知)32tan()0()3cos(326αππαπαπ-≠=+<<，求，m m 的值． 解：因为）（332παπαπ+-=-， 所以：)]3(cos[)32cos(παπαπ+-=-=)3cos(πα+-＝－m 由于，326παπ<<所以，2320παπ<-<于是：)32(cos 1)32sin(2απαπ--=-=21m -， 所以：tan()32cos()32sin()32(ααπαπ--=-=m m 21-- 例7．已知cos 32=β，角βα-的终边在y 轴的非负半轴上，求cos ()βα32-的值．解：因为角βα-的终边在y 轴的非负半轴上，所以：βα-=)(22Z k k ∈+ππ，于是 2（βα-）=)(4πππ∈+k k 从而 ，)(432Z k k ∈++-=-ππββα所以 ]4)c o s [()32c o s(πβπβαk +-=-=)cos(βπ-=βcos -=32-巩固练习一、选择题（在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的.）1、 下列四个命题中可能成立的一个是（ ）A 、21cos 21sin ==αα且 B 、1cos 0sin -==αα且 C 、1cos 1tan -==αα且 D 、α是第二象限时，αααcos tan sia -= 2、 若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（ ） A 、34- B 、43 C 、43± D 、34±3、 化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）A 、4cos 4sin +B 、4cos 4sin -C 、4sin 4cos -D 、4cos 4sin -- 4、 ︒︒+450sin 300tan 的值为（ ）A 、31+B 、31-C 、31--D 、31+-7、在△ABC 中，若最大角的正弦值是22，则△ABC 必是（ ） A 、等边三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 10、已知函数2cos)(xx f =，则下列等式成立的是（ ） A 、)()2(x f x f =-πB 、)()2(x f x f =+πC 、)()(x f x f -=- D 、)()(x f x f =- 11、若θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=++m mx x 的两个实根，则m 值为（ ） A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,34m B 、51-=m C 、51±=m D 、51+=m 12、设函数4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f （其中βα、、、b a 为非零实数），若5)2001(=f ，则)2002(f 的值是（ ） A 、5 B 、3 C 、8 D 、不能确定13.已知0cos sin <+θθ，那么角θ是 （ ） A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角14.0cos 6tan 4323sin22++ππ的值为 （ ） A.43 B. 43- C. 45 D. 45- 15．α和β的终边关于y 轴对称，则下列各式中正确的是 （ ） A.βαsin sin = B ．βαcos cos = C ．βαtan tan = D ．βαπcos )2cos(=-16.α是第四象限角，125tan -=α，则=αsin ( ) A. 15 B.15- C. 513 D. 513-17.)619sin(π-的值等于 （ ）A. 12-B. 12C. 2-D. 218.已知三角形ABC 的内角A 满足31cos sin =A A ，则A A c o s s i n +的值为（ ）A. B. C. 53- D. 5319.下列三角函数：①)32cos(ππ+n ；②]6)12s i n [(ππ-+n ；③)61s i n (ππ+n ()N n ∈，其中函数值与6sinπ的相同的是 （ ） A.①② B.②③ C.①③ D. ①②③20.已知,21cos sin 1-=+x x 则=-1sin cos x x（ ） A. 12- B. 12C. 1-D. 121.若23cos -=β，且α的终边过点)2,(x p ，则 α是 （ ）A.第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 22.角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααco s co s 1s i n 1s i n 22-+-的值等于（ ）A.2B. -2C. 2或-2D. 023.若1sin sin 2=+αα，则αα42cos cos += ( ) A.-1 B. 0 C. 1 D. 224．在△ 中，下列各表达式为常数的是 （ ）A ．C C sin )sin(+-πB ．A A cos )cos(--πC ．2sin 2sin 22CB A ++ D ．2cos 2cos AA -π 25.已知函数2sin )(xx f =，则下列各式成立的是 （ ）A.)()2(x f x f -=-πB. )()2(x f x f =+πC.)()(x f x f -=-D. )()(x f x f =-二、填空题.将答案填在题中横线上）26、化简=+-+βαβαβα222222cos cos sin sin sin sin .27、若0cos 3sin =+αα，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .28、=-︒)945cos( .29、=⋅⋅⋅⋅⋅⋅︒︒︒︒89tan 3tan 2tan 1tan .30.已知扇形的半径为2cm ，圆心角所对弧长为π34cm ，则圆心角的角度为31.若角0600的终边上有一点),,4(a -则a 的值是32.已知51cos =α,且α是第四象限角，则=+)2cos(πα 33.已知2tan =x ，则xx xx 22sin cos cos sin 1--= 34.)cos()29sin()3cos(πααπαπ--++=35.若)3,0(πα∈，则αsin log 33等于三、解答题（本大题共5道小题，共36分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）36、化简：)(cos )tan()2cot()cos()(sin 32πααππααππα--⋅+--⋅+⋅+.37.在ABC 三角形中，53cos -=B ，求B sin ，)cos(C A +，)tan(C A +38已知21)sin(=+απ，求απααπcos )cot()2sin(⋅---的值.。
5.1-任意角和弧度制 2025年高考数学知识点题型及考项复习
)
A.第一象限角
B.角
【解析】由 是第二象限角可得，90∘ + ⋅ 360∘ < < 180∘ + ⋅ 360∘ ∈ .
所以180∘ − 90∘ + ⋅ 360∘ > 180∘ − > 180∘ − 180∘ + ⋅ 360∘ ∈ ，
①④
例1-2 下列所示图形中， = + 的是______;
=−
②③
的是______.
【解析】在①中， 与 的始边相同， 的终边为 的始
边， 与 的终边相同，所以 = + .
在②中， 与 的始边相同， 的终边为− 的始边，−
与 的终边相同，所以 = + − = − .
)
C.2 2
D. 2
【解析】设此圆的半径为，则正方形的边长为 2，所以这段弧所对的圆心角的弧
度数为 =
2
= 2，则这段弧所对的圆周角的弧度数为
2
.
2
知识点4 角度与弧度的换算
5π
例4-7 （1） 化为角度是( B
12
A.60∘
5π
【解析】
12
B.75∘
=
5π
12
×
180 ∘
π
5
B.
8
C.115∘
（1）180∘ + 2 ⋅ 360∘ < 2 < 360∘ + 2 ⋅ 360∘ ∈ ,∴ 2 可能是第三象限角、第
四象限角或终边在轴非正半轴上的角.
（2）方法1
⋅ 120∘
+ 30∘
<
3
弧度制与任意角的三角函数知识点与例题.doc
弧度制与任意角的三角函数知识梳理与典例剖析淤知识梳理1.任意角的概念设角的顶点在坐标原点，始边与工轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生.2.象限角的概念若角a的终边在第&个象限，则称a是第k象限角.象限角及其集合表示3.终边相同的角所有与角a的终边相同的角连同角a在内构成的集合为4.弧度制的概念与半径等长的圆孤所对的圆心角称为1 rad（弧度）的角.1 QA°角度与弧度的互化：1囱（弧度）=（——）«57.3°=57°18/； 1° = rad（弧度）. 715.扇形的弧度、面积在弧度制下：孤长公式：l=\a\R（a 一•扇形中心角的弧度数，/?—扇形所在圆的半径）1 1 .扇形面积公式：5,.4；=-lR = -\a\R2.n 2 2在角度制下：弧长公式：1 = 域扇形中心角的角度数，R•—扇形所在圆的半径）180扇形面积公式：=崩形3606.任意角的三角函数的定义在伯。
的终边上任取点P",y）,设它与原点。
的距离IOP l=r （r > 0）,贝0 sina -, cosa =, tancr =.7 .三角函数在各象限的符号sincz ：上正下负横轴零cos。
：左负右正纵轴零tana：交叉正负横轴零8.典例剖析一、角的概念问题1.终边相同的角的表示例1若角a是第三象限的角，答案：二.解析：因为a是第三象限的角，则角-。
的终边在第象限. A=1 故-k -360° -270° <-a<-k-360° -180°,^ G Z,则S360°,tan(2成 + a)=分别表示：正弦线，余弦线，正切线.9.终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2A〃 + a) =, cos(2k/r + a)=10 .三角函数线如图有向线段MF, OM,-270°<-a<k-360° -180°,A：G Z,故-a的终边在第二象限.练习：与610°角终边相同的角可表示为. 【答案：A・360°+250°(A E Z)】2.象限角的表示例2已知角a是第二象限角，问(1)角巳是第儿象限的角？(2)角2a终边的位置.2思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k值来确定象限角.解析(1)因为a 是第二象限的角，故k - 360° + 90°<a<k-360° +180°(Z: G Z),故4180°Of CC (I+45° v —vA・18(T+90°(AcZ).当R为偶数时，一在第一象限；当k为奇数时，一在第三象限，2 2 2 CC故兰为第一或第三象限角.2(2)由S360°+90° vavk・360° + 180°(SZ),得2如360°+ 180° v2a v2如360° + 360°(Jt G Z),故角2Q终边在下半平面.点评：已知a所在象限，求-(neN*)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论. n结论：a 第一象限第二象限第三象限第四象限a第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限练习：二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的互化例3 (1)设6Z = 750° ,用孤度制表示。
(完整版)任意角的概念与弧度制重点、难点题型
任意角的概念与弧度制重点、难点题型题型一终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合：S k 360°,k z 终边相同的角不一定相等，等相等的角一定终边相同。
例 1. 把1230°、3290°写成k 360°（其中0°360°, k z）的形式。
例2. 在0°到360°范围内找出与1500°，-1500°（1）终边互为反向延长线的角；（2）终边关于x轴对称的角；（3）终边关于y轴对称的角；题型二轴线角与象限角1.终边落在x轴正半轴上角的集合2.终边落在x轴负半轴上角的集合3.终边落在y轴正半轴上角的集合4.终边落在y轴负半轴上角的集合5.终边落在x轴上角的集合6.终边落在y轴上角的集合7.终边落在坐标轴上角的集合8.与终边关于原点对称（互为反向延长线），与的关系9.与终边关于X轴对称,与的关系10.与终边关于y轴对称,与的关系11.第一象限角的范围：12.第二象限角的范围：13.第三象限角的范围：14.第四象限角的范围：例3.设为第一象限角'判断-、亍2分别是第几象限角?例 4•集合 A= | =k 1200 30°,k z ,B k 3600 1200 k 360° 60°,k z ，求A B3.设集合 A xx kgl8O 0 则集合A 、B 的关系是（） （A ）A B （ B ）B A4.. 如图所示，终边落在阴影部分5.. 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.题型三弧度制与角度值的互化 1.1800，10 _______ _______ ，1 = _____度0030045060090012001350弧度度1500180021002250270°31503300弧度(A)第象限（B ）第二象限(C ) 第三象限 （D ）第四象限2•如果 与x 450具有同一条终边，角 与x 450具有同一条终边，那么, 间关系: 是（）(A )(B )(C )kgB60°,k z(D )kgB60° 900,k z跟踪练习：1•已知角，终边相同，那么 的终边在（）与之(1)k g900,k z ，B= xx kg3600 900,k z（C ） A=B （ D ）A B= （含边界）的角的集合是跟踪练习:1.如果 与一具有同一条终边，角 与具有同一条终边，那么， 与 之间关系是()44(A)(B)= 7 (C)+ =2k ,k z(D)=2k尹z2.终边在直线 y=x 上的角的集合为3.集合Mx xk—,k z-N x x则MN 等于( )2 517 47 4/ 、 37(A)—(B )(C )(D )——,5 1010 55 10 10 510 104•已知 是第二象限角，且 +2 5，贝U的范围为 ___________5.. 已知 8000。
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任意角与弧度制
【知识梳理】
1．按旋转方向分
2.
(1)角的终边在第几象限，则此角称为第几____；(2)角的终边在__上，则此角不属于任何一个象限．
3. 所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个集合S＝_________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和．
【常考题型】
题型一、象限角的判断
【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
【类题通法】象限角的判断方法
(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
(2)根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°围，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．
【对点训练】
在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°围，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．
(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°.
题型二、终边相同的角的表示
【例2】(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
【类题通法】
1．终边相同的角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；
(3)用不等式表示区域的角，组成集合． 【对点训练】
已知角α的终边在如图所示的阴影部分，试指出角α的取值围．
题型三、确定n α及
n
α
所在的象限
【例3】 若α是第二象限角，则2α，α
2
分别是第几象限的角？
【类题通法】
1．n α所在象限的判断方法
确定n α终边所在的象限，先求出n α的围，再直接转化为终边相同的角即可． 2.αn
所在象限的判断方法
已知角α所在象限，要确定角αn
所在象限，有两种方法：
(1)用不等式表示出角αn
的围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．
(2)作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定αn 的终边所落在的区域．如此，αn
所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
【对点训练】已知角α为第三象限角，试确定角2α，α
2
是第几象限角．
题型四 轴线角与象限角
1. 终边落在x 轴正半轴上角的集合_________________
2. 终边落在x 轴负半轴上角的集合_________________
3. 终边落在y 轴正半轴上角的集合_________________
4. 终边落在y 轴负半轴上角的集合_________________
5. 终边落在x 轴上角的集合_________________
6. 终边落在y 轴上角的集合_________________
7. 终边落在坐标轴上角的集合_________________
8. βααβ与终边关于原点对称（互为反向延长线），与的关系________________
9.
x βα与终边关于轴对称,αβ与的关系_______________________
10. y βα与终边关于轴对称, αβ与的关系______________________ 11. 第一象限角的围：__________________
12. 第二象限角的围：__________________ 13. 第三象限角的围：__________________ 14. 第四象限角的围：__________________
【知识梳理】
1．角度制与弧度制 (1)角度制．
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的______作为一个单位． (2)弧度制．
①定义：以_____作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于______的弧所对的圆心角． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个_____，负角的弧度数是一个_____，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r
. 4．弧度与角度的互化
题型一、角度与弧度的换算
【例1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π
9
.
【类题通法】角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×
π
180＝弧度数，弧度数×180
π＝度数．
【对点训练】
已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π
3.
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°围，找出与它们有相同终边的所有角．
题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用
【例2】 (1)已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________． (2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略 (1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12
|α|r 2
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
【对点训练】已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
题型三、用弧度制表示角的集合
【例3】 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分(不包括边界)的角的集合．
用弧度制表示角应关注的三点
(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．
(2)表示角的集合时，可先写出一周围(如－π～π，0～2π)的角，再加上2k π，k ∈Z . (3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z }；终边在相互垂直的两
直线上的角的集合可以合并为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＝α＋k ·π
2，k ∈Z
. 在进行区间的合并时，一定要做到准确无误．
【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线y ＝－x 上的角的集合．
其他重要例题
1.在下列各组中，终边不相同的一组是（ ） A ．600
和 B ．2300
和950
C ．10500
和 D ．10000
和80
2.下列各角中，与60°角终边相同的角是( ) A. B. C. D .
3.{}{}
2(21),,44A k k k z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则A B ⋂=____________ 4．若角α＝2 014°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________． 半期考试补救
例1已知函数()222++=x x x f ，
（1）若R x ∈，求函数的最值；（2）若[]1,3x ∈，求函数的最值；
（3）若]3,2[-∈x ，求函数的最值；（4）若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值； （5）[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最大值。
练习：（1）已知R k ∈，求函数322
++-=kx x y 在区间[]2,1-上的最大值。
（2）已知R k ∈，求二次函数,122
++=kx kx y []2,3-∈x 的最值。
300-0
30-︒-60︒600︒1380︒-300。