任意角与弧度制题型小结

任意角与弧度制

【知识梳理】

1．按旋转方向分

2.

(1)角的终边在第几象限，则此角称为第几____；(2)角的终边在__上，则此角不属于任何一个象限．

3. 所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个集合S＝_________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和．

【常考题型】

题型一、象限角的判断

【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．

(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.

【类题通法】象限角的判断方法

(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．

(2)根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°围，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．

【对点训练】

在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°围，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．

(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°.

题型二、终边相同的角的表示

【例2】(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．

(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．

(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．

【类题通法】

1．终边相同的角常用的三个结论

(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；

(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；

(3)用不等式表示区域的角，组成集合． 【对点训练】

已知角α的终边在如图所示的阴影部分，试指出角α的取值围．

题型三、确定n α及

n

α

所在的象限

【例3】 若α是第二象限角，则2α，α

2

分别是第几象限的角？

【类题通法】

1．n α所在象限的判断方法

确定n α终边所在的象限，先求出n α的围，再直接转化为终边相同的角即可． 2.αn

所在象限的判断方法

已知角α所在象限，要确定角αn

所在象限，有两种方法：

(1)用不等式表示出角αn

的围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．

(2)作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定αn 的终边所落在的区域．如此，αn

所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．

【对点训练】已知角α为第三象限角，试确定角2α，α

2

是第几象限角．

题型四 轴线角与象限角

1. 终边落在x 轴正半轴上角的集合_________________

2. 终边落在x 轴负半轴上角的集合_________________

3. 终边落在y 轴正半轴上角的集合_________________

4. 终边落在y 轴负半轴上角的集合_________________

5. 终边落在x 轴上角的集合_________________

6. 终边落在y 轴上角的集合_________________

7. 终边落在坐标轴上角的集合_________________

8. βααβ与终边关于原点对称（互为反向延长线），与的关系________________

9.

x βα与终边关于轴对称,αβ与的关系_______________________

10. y βα与终边关于轴对称, αβ与的关系______________________ 11. 第一象限角的围：__________________

12. 第二象限角的围：__________________ 13. 第三象限角的围：__________________ 14. 第四象限角的围：__________________

【知识梳理】

1．角度制与弧度制 (1)角度制．

①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的______作为一个单位． (2)弧度制．

①定义：以_____作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于______的弧所对的圆心角． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是一个_____，负角的弧度数是一个_____，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算

如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r

. 4．弧度与角度的互化

题型一、角度与弧度的换算

【例1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π

9

.

【类题通法】角度与弧度互化技巧

在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×

π

180＝弧度数，弧度数×180

π＝度数．

【对点训练】

已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π

3.

(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；

(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°围，找出与它们有相同终边的所有角．