高等数学 方向导数与梯度
高等数学8.8 方向导数
f ( x0
x, y0
y)
f ( x0 , y0 )
f x (x0 , y0 )
(2). 沿着 x轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y.
定理 如果函数z f ( x, y)在点 P(x0, y0) 处可微，那末函数在该
点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
(6
x
2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n的方向导数.
z
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
故 nr |(1,1,1) Fx, Fy, Fz |(1,1,1) 4, 6, 2 ,
cos 2 ,
14
cos 3 ,
14
cos 1 .
f lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) lim fx ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y o( )
l （x0 ,y0）0+
0+
fx ( x0 , y0 )cos f y ( x0 , y0 )cos
y
l
• P
且 P U( p). = | PP | (x)2 (y)2 ,
y
若 lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
P
••
x
0+
o
f
x
则称此极限为 z f ( x, y)在P处沿方向 l 的方向导数, 记为 l （x0 , y0）
l 0
z
高等数学第17章第3节方向导数与梯度
§3 方向导数与梯度在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率.这就是本节所要讨论的方向导数． 定义1 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域30)(R P ⊂ 内有定义，l 为从点0P 出发的射线，),,(z y x P 为l 上且含于 )(0P 内的任一点，以ρ表示P 与0P 两点间的距离。
若极限ρρρρf P f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在，则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记作)(,00P f l f l P ∂∂或).,,(000z y x f l 容易看到，若f 在点0P 存在关于x 的偏导数，则f 在点0P 沿轴正向的方向导数恰为 .00P P x f lf∂∂=∂∂ 当l 的方向为x 轴的负方向时，则有 .00P P x f l f∂∂-=∂∂ 沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出．定理17.6 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微，则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在，且,cos )(cos )(cos )()(0000γβαP f P f P f P f z y x ++= )1( 其中γβαcos ,cos ,cos 为方向l 的方向余弦．证 设),,(z y x P 为l 上任一点，于是（见图17－5）⎪⎭⎪⎬⎫=∆=-=∆=-=∆=-.cos ,cos ,cos 000γρβραρz z z y y y x x x ()2由假设f 在点0P 可微，则有 ()()=-0p f p f ()ρo z P f y P f x P f z y x .).()()(000+∆+∆+∆上式左、右两边皆除以ρ，并根据（2）式可得()ρρρρρρo z P f y P f x P f P f P f z y x +∆+∆+∆=-)()()()()(0000 ()ρργβαo P f P f P f z y x +++=cos )(cos )(cos )(000. 因为当0→ρ时，上式右边末项,0)(→ρρo ，于是左边极限存在且有()ρρ)()(lim 000P f P f P f l -=+→ .cos )(cos )(cos )(000γβαP f P f P f z y x ++= □对于二元函数),(y x f 来说，相应于)1(的结果是 (),cos ),(cos ),(00000βαy x f y x f P f y x l += 其中βα,是平面向量l 的方向角．例1 设,),,(32z y x z y x f ++=求f 在点0P )1,1,1(沿方向)1,2,2(:-l 的方向导数． 解 易见f 在点0P 可微.故由3)(,2)(,1)(000===P f P f P f z y x 及方向l 的方向余弦,321)2(22cos ,321)2(22cos 222222-=+-+-==+-+=βα grad ),3,3,1()(0--=P f g ra d .19)3()3(1222=-+-+=f □作业布置：Ｐ１２７ １；３．。
高等数学讲义课件 第7节 方向导数及梯度
u z P
6x2 8 y2 14. z2
P
故 u (ucos ucos ucos ) 11.
n P x
y
z
7
P
三、梯度的概念
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G f , f , f x y z
l 0 (cos , cos , cos )
| gradf ( x, y) |
f
2
f
2
.
gradf
x y
当 f 不为零时， x
P gradf
x轴正向与梯度方向的夹角的正切为
tan f / f
y x
在几何上 z f ( x, y) 表示一个曲面
曲面被平面 z c
所截得
z z
f c
(
x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
第七节 方向导数与梯度
一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
y f ( x, y) c2 gradf ( x, y)
P 梯度为等高线上的法向量
f ( x, y) c 等高线
f ( x, y) c1
o
x
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y)的梯度的方向与点 P 的等高线 f ( x, y) c 在 这点的法线的一个方向相 同，且从数值较低的等高 线指向数值较高的等高线， 而梯度的模等于函数在这 个法线方向的方向导数．
高等数学(下册)第9章第5节方向导数与梯度
x P0
y P0
z P0
f cos f cos f cos o() .
x P0
y P0
z P0
一、方向导数
所以
f lim f (P) f (P0 ) f cos f cos f cos .
l 0 P0
x P0
y P0
z P0
注 对于二元函数f (x, y)，由于 π ，所以相应于(1)式的结果是
二、梯度
例 9.30 求函数u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点(1,1, 2)处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu(x, y, z) u i u j u k = (2x 3)i (4 y 2) j 6zk， x y z
故gradu(1,1,
cos 1 ，cos 1 .因为
2
2
z e2 y 1；z 2xe2 y 2，
x (1,0)
(1,0)
y
(1,0)
(1,0)
故所求方向导数为
z 1 l (1,0)
1 221 2Fra bibliotek2. 2
一、方向导数
例 9.28 设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，求函数
2)
5i
2
j
12k.易知在点P0
(
3 2
,
1 2
,
0)处梯度为零.
高等数学（下册）
学海无涯，祝你成功！
u
1
(6x2
1
8y2)2
在此处沿方向n 的方向导数.
z
解 令F (x, y, z) 2x2 3y2 z2 6，因为
Fx P 4x P 4，Fy P 6 y P 6，Fz P 2z P 2，
高等数学同济版下第七节方向导数与梯度
f f f f cos cos cos l x y z
其中 , , 为 l 的方向角 .
对于二元函数 f (x 向角 ,y ), 在点 P ( x ,y ) 处沿方向 l( 方
为, ) 的方向导数为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0 l
2
l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时 ,有 2 l x
例1. 求函数 u x2yz 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 l ( 2 , 1 , 3 )
的方向导数 .
6 14
2 2 在点P(2, 3)沿曲线 y x2 1 3 x y y 例2. 求函数 z
, y) 在点 P(x, y) 处的梯度 同样可定义二元函数 f (x
f f f f grad f i j , x y x y
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
z f( x ,y ) 对函数 z f ( x , y ) , 曲线 在 xoy 面上的 z C
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
三、物理意义
一、方向导数
x ,y ,z )在点 P 定义: 若函数 f( (x, y, z) 处
, ,) 存在下列极限: 沿方向 l (方向角为
记作 f f f ( x x , y y , z z ) f ( x , y , z ) lim lim l 0 0
朝 x 增大方向的方向导数.
60 17
2 2 2 在点 P(1, 1, 1 )处 是曲面 n 2 x 3 y z 6 例3. 设
方向导数与梯度的关系与计算公式
方向导数与梯度的关系与计算公式方向导数（Directional Derivative）是多元函数在某个给定点上沿指定方向的变化率。
它在物理学、工程学和优化问题中具有重要的应用。
在求解方向导数时，我们常常会遇到梯度（Gradient）的概念。
本文将介绍方向导数与梯度之间的关系，并探讨它们的计算公式。
一、方向导数的定义在多元函数中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个单位向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数Duf(x₀, y₀, z₀)表示函数f(x, y, z)在P点上沿u方向的变化率。
方向导数用符号∇f(x₀, y₀, z₀)·u表示。
二、梯度的定义梯度是一个向量，它在多元函数的每个点上都有定义。
对于二元函数f(x, y)，梯度∇f(x, y)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y) = (fx, fy)，其中fx和fy分别表示f对x和y的偏导数。
对于三元函数f(x, y, z)，梯度∇f(x, y, z)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y, z) = (fx, fy, fz)，其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
三、方向导数与梯度的关系在函数f(x, y, z)的某一点P(x₀, y₀, z₀)处，方向导数和梯度的关系可以表示为：Duf(x₀, y₀, z₀) = ∇f(x₀, y₀, z₀)·u即，方向导数等于梯度与单位向量u的内积。
四、方向导数的计算公式在笛卡尔坐标系中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个非零向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数可以通过以下公式计算：Duf(x₀, y₀, z₀) = fx(x₀, y₀, z₀)a + fy(x₀, y₀, z₀)b + fz(x₀, y₀, z₀)c其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
大学经典课件之高等数学——8-6方向导数和梯度
∂f ∂f ∂f ∂f r = cos α + cos β + cos γ . ∂l ∂x ∂y ∂z
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二、梯度
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向变化率增加 的 最快 ? r r 设 e = {cos α , cos β } 是方向 l 上的单位向量，
则
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f r = cosα + cos β = { , } ⋅ {cosα , cos β } ∂y ∂x ∂y ∂ l ∂x
结论：函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得 最大方向导数的方向一致，即：沿梯度的方向函数的变化 率增加最快。而梯度的模为方向导数的最大值。梯度的模 为 2
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂ f ⎞ | gradf ( x , y ) |= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
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∂ f ∂f r ∂f 2 ∂f 2 = ( ) + ( ) cosθ , 其中 θ = ({ , }, e ) ∂x ∂y ∂x ∂x
∂f 显然当 cos θ = 1 ，即 θ = 0 时， r 有最大值。 ∂l
∂f ∂f 即沿方向 { , } 函数的变化率增加最快 ∂ x ∂y
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然而，在实际问题中还要经常会遇到在其它方 向上的变化率的问题。
问题： 函数 z = f ( x , y )在其它方向上的变化率如 何刻划？
—— 方向导数
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方向导数的定义
y
l
设函数 z = f ( x , y ) 在点P ( x , y ) r α 的某一邻域 U ( P ) 内有定义， 是过 l • • P r Δx 点 P 的任意确定方向。在 l 上任取 ′( x + Δx , y + Δy )， P ′ ∈ U ( P ), o 一点 P 使
高等数学方向导数与梯度
cos 1 , cos 4
17
17
y
P
O 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量
G
f, x
f, y
f z
l (cos , cos , cos )
当 l 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
第七节
第八章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
一、方向导数
l
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限:
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z
z)
f
(x,
y,
z)
记作
f l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
高等数学：9-7方向导数和梯度
20-9
例 9.7.1 求 f (x, y)=x2 y2 在点（1, 2）处沿点（1, 2）到 2,2 3 的方向
l 的方向导数．
解 由题设，得方向l = {1, 3}，其单位向量l0 { 1 , 3} {1 , 3} . l l 22
故
cos 1 ,sin
2
3 2
，又
fx(1, 2)
也记为gradf .
前面对二元函数梯度讨论的重要结论对三元函数梯度仍成立.
20-17
例 9.7.4 设在一金属球内任意一点处的温度T 与该点到球心（设为坐标
原点）的距离（单位: m）成反比，且已知在点1,2,2 处的温度为 120oC .
(1) 证明球内任一点处温度T 升高最快的方向总是指向原点的方向；
点 P0 (x0, y0 ) 处沿任一方向l( 0) 的方向导数都存在，且
f l
( x0 , y0 )
fx(x0, y0 ) cos
f y(x0, y0 )sin
．
（9.7.5）
其中 为 l 对 x 轴正向的转角．
证 由于 f (x, y)在点 P0 (x0, y0 ) 处可微，因此 f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 处的
20-2
设二元函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 的某邻域U (P0 ) 内有定义，l
是 xOy 坐标面上的一个非零向量，设 l 对 x 轴正向的转角为 （图
9-7-1），则与l 同向单位向量为
l0 {cos,sin}
（9.7.1）
以点 P0 为起点，沿l 方向作射线 L， 则 L 的参数方程为
为 f (x, y)的梯度，有时也记为gradf . 如果三元函数u f (x, y, z) 在点(x, y, z) 处偏导数存在，同样可
高等数学76方向导数与梯度
0
存在, 则将这个极限值称为函数
在点 P沿方向l的方向导数,
O
P
l
P
y
x
x
记为 f , 即 l
f lim f ( x x, y y) f ( x, y)
l 0
注 方向导数是函数沿半直线方向的变化率.
3
方向导数与梯度
2. 方向导数的几何意义
设z f ( x, y)的几何意义为曲面,当限制
l 0
是函数在某点沿任何方向的变化率. ρ一定为正!
偏导数 f lim f ( x x, y) f ( x, y)
x x0
x
f
f ( x, y y) f ( x, y)
lim
y y0
y
分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线
的变化率. Δx、Δy可正可负！
5
方向导数与梯度
当函数f ( x, y)在点P( x, y)的偏导数 fx , f y 存在时, 函数f ( x, y)在点P( x, y)沿x轴正向
f (x, y)
f y ( x, y),
6
方向导数与梯度
函数f ( x, y)在点P( x, y)沿x轴负向 (1,0)
f i
lim x0
f ( x x, y) x
f ( x, y) fx ( x, y),
函数f ( x, y)在点P( x, y)沿y轴负向(0,1)
f lim j y0
两边同除以 ,得到
9
方向导数与梯度
f (x x, y y) f (x, y) f x f y o( )
x y
f
(x
x,
y
y)
f
( x,
方向导数和梯度的关系公式
方向导数和梯度的关系公式方向导数和梯度是微积分中的重要概念，它们在多元函数的研究中起着重要作用。
方向导数描述了函数在某一给定方向上的变化率，而梯度则是方向导数的一种特殊情况。
本文将探讨方向导数和梯度之间的关系，并阐述它们的定义、性质和应用。
让我们来定义方向导数。
对于一个多元函数f(x, y, z)，在某一点P(x0, y0, z0)处，沿着一个与坐标轴夹角为θ的方向v=(cosθ, sinθ)的方向导数表示函数在该方向上的变化率。
方向导数的计算公式为：Dvf(x0, y0, z0) = ∇f(x0, y0, z0)·v其中，∇f(x0, y0, z0)是函数f在点P的梯度。
梯度是一个向量，其分量为函数在各个方向上的偏导数。
梯度的计算公式为：∇f(x0, y0, z0) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)可以看出，梯度是一个向量，方向导数是梯度与方向向量的点积。
因此，方向导数可以通过计算梯度和方向向量的点积来求得。
方向导数具有以下性质：1. 方向导数的值与方向向量的长度无关，只与方向向量的方向有关。
这意味着方向导数可以通过单位向量来表示。
2. 方向导数的最大值和最小值分别是函数在某一点上沿着梯度方向和负梯度方向的方向导数。
当方向向量与梯度方向相同时，方向导数达到最大值；当方向向量与负梯度方向相同时，方向导数达到最小值。
3. 方向导数为0的点是函数的临界点，即梯度为0的点。
梯度是方向导数的一种特殊情况。
当方向向量与梯度方向相同时，方向导数达到最大值，即梯度的模长为方向导数的最大值。
因此，梯度可以看作是方向导数的最大值和方向。
梯度在数学中具有重要的应用。
在优化问题中，梯度可以帮助我们找到函数的最大值或最小值。
当函数的梯度为0时，函数达到极值点。
因此，我们可以通过求解梯度为0的方程组来求解极值问题。
梯度还可以用于描述函数在空间中的变化趋势。
当梯度的模长越大时，函数在该点的变化趋势越明显；当梯度的模长趋近于0时，函数在该点的变化趋势越平缓。
方向导数与梯度的关系
方向导数与梯度的关系方向导数和梯度都是用来描述函数在某一点的变化率的概念，它们之间存在一定的关系。
本文将简要介绍方向导数和梯度的概念，并探讨它们之间的关系。
一、方向导数的概念方向导数是用来描述函数在给定方向上的变化率的。
对于具有两个或更多个自变量的函数，我们可以通过改变自变量的方向来获得不同的方向导数。
在二维空间中，方向导数可以通过对函数进行偏导数计算得到。
假设函数为f(x,y)，在点P(x0,y0)处，沿着单位向量u=(cosθ,sinθ)方向的方向导数定义为：Df(P;u) = lim┬(h→0)[f(x0+hu,y0+hu)-f(x0,y0)]/h其中，h表示极限中h的变化量，u为单位向量，θ为u与x轴的夹角。
二、梯度的概念梯度是用来描述函数在某一点上的最大方向导数的。
对于具有多个自变量的函数，梯度是一个向量，其大小和方向分别表示函数在该点上的变化率和变化的方向。
对于函数f(x1,x2,...,xn)，在点P(x1,x2,...,xn)处，梯度定义为：∇f(P) = (∂f/∂x1,∂f/∂x2,...,∂f/∂xn)其中，∂f/∂xi表示对第i个自变量的偏导数。
三、方向导数与梯度的关系方向导数与梯度之间存在着一定的关系。
事实上，方向导数可以看作是梯度与给定方向的内积。
具体地说，对于函数f(x1,x2,...,xn)，在点P(x1,x2,...,xn)处，沿着方向u=(cosθ1,cosθ2,...,cosθn)的方向导数可以用梯度与方向向量的内积表示：Df(P;u) = ∇f(P)·u = |∇f(P)||u|cosφ其中，φ为梯度与方向向量的夹角，|∇f(P)|表示梯度的模，|u|表示方向向量的模。
通过上述公式可以得出，方向导数的大小由梯度的模和方向向量的夹角共同决定。
当梯度与方向向量的夹角为0时，方向导数达到最大值；当夹角为90°时，方向导数为0；当夹角为180°时，方向导数达到最小值。
同济版大一高数第九章第七节方向导数与梯度
ln( x + 1)
ln(1 + y 2 + 1)
1 = 2
8
例3. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 x= x y = x2 −1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x = 2 = (1, 4) 1 4 ∴ cos α = , cos β = 17 17
2. 梯度的几何意义
等高线的画法
播放
16
例如, 例如,
函数 z = sin xy 图形及其等高线图形．
17
3. 梯度的基本运算公式
∂f, ∂f, ∂f = ∂x ∂y ∂z
(2) grad (C u ) = C grad u (4) grad ( u v ) = u grad v + v grad u
∂f ∂f ∂f = cos α + cos β ∂l ∂x ∂y
25
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f ,∂f ,∂f grad f = ∂x ∂ y ∂z
• 二元函数 3. 关系 • 可微 方向导数存在
0
在点
处的梯度为
grad f = ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
M (1,1,1) 处切ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的方向向量
l
∂f ∂l
在点M (1,1,1) 处 函数沿 l 的方向导数
M
= [ f x ⋅ cos α + f y ⋅ cos β + f z ⋅ cos γ
] (1,1,1)
23
(2) grad f
同济大学第七版高等数学上册第九章—方向导数与梯度
lim 0
l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
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定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在, 且有
f
f cos
f cos
f cos
l
lx
y
z
P
证明:由函数 f (x, y, z)在点P 可微, 得
P(x, y, z)
f
f x f y f z o( )
x
y
z
o( )
故 f lim f
l
0
f cos x
f cos y
f cos z
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对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为 ,) 的方向导数为
f
f (x x, y
y) f (x, y)
y
f c3
f c2
P
f c1
当各偏导数不同时为零时, 其上
点P处的法向量为 grad f P .
o
x
( c1 c2 c3 )
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),
指向函数增大的方向.
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3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u) C grad u
(4) grad (u v) u grad v v grad u
yl
lim
l
0
l
l
fx (x, y) cos fy (x, y) cos
P
o
x
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9.8.1 方向导数
定义9.5 (方向导数)
设二元函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某一邻域
内有定义, l 是以P0(x0, y0) 为起点的射线, y l (cos , cos ) 为其方向向量. 如果极限
l
P
f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) P0 lim O t 0 t
类似地, 如果三元函数 u f ( x, y, z )在点P0 ( x0 , y0 , z0 ) 且 f l
f f cos cos y P z P0 P0 0 其中 cos , cos , cos 为l 的方向余弦.
7
处可微, 则在该点沿任意方向 l 的方向导数都存在 ,
9
6 x2 8 y2 函数u z 1 3 2 , cos cos , cos 14 14 14 u 6x 6 x P z 6 x 2 8 y 2 P 14
u 8y y P z 6 x 2 8 y 2
P
P (1,1,1)
8 14
u 6x 8 y z P z2
向量微分算子或哈密尔顿算子,则梯度又可记为
f f grad f ( x , y ) x , y f
17
结论:
函数在某点的梯度是这样一个向量,
它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 梯度的模为
f f | grad f ( x , y ) | x y f f 沿着 x , y 方向, 函数减少得最快.
l
称为f (x, y)沿方向 l 的方向导函数(简称方向导数).
2
f f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ) lim 方向导数 l t 0 t
是函数在某点沿任何方向的变化率. t一定为正!
f f ( x x , y ) f ( x , y ) lim 偏导数 x x 0 x f f ( x , y y ) f ( x , y ) lim y y 0 y
2
2
14
P
故 u n
P
11 u u u . x cos y cos z cos P 7
10
考虑函数 z x 3 y 2 , 定点 P0(3,1), P1(2,3). 求函数在 P0 沿 P0 P1 方向的方向导数. 解
z x
3 x2 y2
P0
P0
27,
z y
P0
2 x 3 y 54 P
0
P0 P1 ( 1,2),
1 cos , 5
z l
| P0 P1 | 5
2 cos 5
P0
2 81 1 54 27 5 5 5
13
f f f f cos cos cos . l x y z
f f 其中 G x , y , l (cos , cos ), l 1.
而
f 当 l 与G 方向一致时,方向导数取最大值 max l G , f 当 l 与G 方向相反时,方向导数取最小值 min l G . 16
解
u u u gradu( x, y, z ) i j k x y z
(2 x 3)i (4 y 2) j 6zk
故 令
gradu(1,1,2) 5i 2 j 12k .
(2 x 3)i (4 y 2) j 6zk 0,
分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线 的变化率. Δx、Δy可正可负！
3
定理9.12 如果 z f ( x, y)在点P0 ( x0 , y0 )处可微, 则函数 在该点沿任意方向 l 的方向导数都存在 , f f f cos cos 且 l P0 x P0 y P 0 其中 cos , cos 为l 的方向余弦.
f x cos
P0
例 设 n是曲面 2 x2 3 y2 z 2 6 在点P(1,1,1)
处指向外侧的法向量, 求函数 u 在P点处沿方向 n的方向导数 .
6 x2 8 y2 z
解 令 F ( x, y, z) 2 x2 3 y2 z 2 6,
Fx
, Fy , Fz) P (4, 6, 2), 故 n (Fx
P
4 x P 4, Fy
P
6 y P 6, Fz P 2 z P 2
其方向余弦为
1 cos 14
n 42 62 22 2 14,
2 3 cos , cos , 14 14
1
x
存在, 则称此极限为函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)
f 处沿方向 l 的方向导数, 记为 l
f ( x 0 , y0 ) ,或 . l P
0
注: 方向导数是函数沿半直线方向的变化率. 如果函数 f (x, y)在区域D内任何一点(x, y)处沿方向
f 为D内的一个函数, l 的方向导数都存在, 则
24
2 ). (1,2,2) 9
作业
习题9.8 (209页) 1. (3) 2. 3.(3)
26
3 1 可得, 在 P0 , ,0 处梯度为 0. 2 2 23
函数u ln(x 2 y 2 z 2 )在点M (1,2,2)处
的梯度grad u M (
u u u 解 grad u M , , x y z M 2x 2y 2z 2 2 2, 2 2 2, 2 2 2 x y z x y z x y z M 2 (1,2,2). 9
函数u ln( x
y 2 z 2 )沿点A(1,0,1)指向点
1 B(3,2,2)方向的方向导数为 ( 2
).
解 此方向的方向向量为 ( 2,2,1). 2 1 2 , cos , cos , cos 3 3 3 u 1 u u 1 0, , , y A z A 2 x A 2
u l
A
2 1 2 1 1 1 ( ) 0 . 3 2 3 3 2 2
15
9.8.2 梯度的概念 问题: 函数 z f ( x , y ) 沿什么方向的方向导数为
最大或最小? f f f 方向导数 cos cos G l , l x y
f f f x , y , z
此梯度也是一个向量, 其方向与取得最大方 向导数的方向一致, 其模为方向导数的最大值.
22
2 2 2 u x 2 y 3 z 3 x处梯度为零?
2 2
grad f
P
方向：f 变化率最大的方向 G: 模： f的最大变化率之值
18
grad f
梯度的概念可以推广到三元函数
设三元函数 u f ( x , y , z ) 在点P处可微分,
则函数在该点的梯度为
f f f grad f ( x , y , z ) f i j k x y z
f f z f ( x, y) 为函数 定义9.6 G , x y 在点P ( x, y )处的梯度, 记作 gradf ( x , y ).
f f f f 即 gradf ( x , y ) x , y x i y j . 引用记号 , , 称为奈布拉算子, 或称为 x y