高数第九章(7)方向导数与梯度
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高等数学第九章第七节 方向导数与梯度
| PP | (x)( x, y), 考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
1、定义
函数的增量 f (x x, y y) f (x, y) 与
2、设 f ( x, y, z) x 2 2 y 2 3z 2 xy 3 x 2 y 6z ,
则gradf (0,0,0) __________________.
3、已 知 场 u( x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
,则u沿
场的梯度
方向的方向导数是__________________.
4、称向量场 a 为有势场,是指向量a 与某个函数
u( x, y, z)的梯度有关系__________________.
练习题答案
一、1、1 2 3；
2、3 i 2 j 6 k ；
3、
(
2 a
x
2
)
2
(
2 b
y
2
)
2
(
2z c2
)
2
gradu ；
4、a gradu.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x, y) 在这点增长 最快的方向.
练习题
一、填空题:
1、函数z x 2 y 2 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点
(2,2 3)的方向的方向导数为_____________.
(1,1)
(1,1)
cos sin 2 sin( ), 4
高数 方向导数与梯度
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f f f f cos cos cos 方向导数公式 l x y z f f f 令向量 G , , x y z 0 l (cos , cos , cos ) f Gl 0 G cos( G ,l0 ) ( l0 1) l 当 l 0与 G 方向一致时 , 方向导数取最大值： f G max l 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
, y) 在点 P(x, y) 处的梯度 同样可定义二元函数 f (x
f f f f grad f i j , x y x y
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
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z f( x ,y ) 对函数 z f ( x , y ) , 曲线 在 xoy 面上的 z C * 称为函数 f 的等值线 . 影 L :f( x ,y ) C
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 1 ,4 ) 它在点 P 的切向量为 ( 1 ,2 x )x 2( 4 1 cos cos , 17 17
y
P
2x
o
1
4 z 60 6 xy 1 2 ( 3 x 2 y ) 17 17 l P (2 , 3) 17
, y) 在点 P • 二元函数 f (x (x , y) 沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f f f f sin cos cos cos x y l x y
f f f f cos cos cos 方向导数公式 l x y z f f f 令向量 G , , x y z 0 l (cos , cos , cos ) f Gl 0 G cos( G ,l0 ) ( l0 1) l 当 l 0与 G 方向一致时 , 方向导数取最大值： f G max l 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
, y) 在点 P(x, y) 处的梯度 同样可定义二元函数 f (x
f f f f grad f i j , x y x y
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
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z f( x ,y ) 对函数 z f ( x , y ) , 曲线 在 xoy 面上的 z C * 称为函数 f 的等值线 . 影 L :f( x ,y ) C
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 1 ,4 ) 它在点 P 的切向量为 ( 1 ,2 x )x 2( 4 1 cos cos , 17 17
y
P
2x
o
1
4 z 60 6 xy 1 2 ( 3 x 2 y ) 17 17 l P (2 , 3) 17
, y) 在点 P • 二元函数 f (x (x , y) 沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f f f f sin cos cos cos x y l x y
高等数学-电子课件07第九章 第7节 方向导数与梯度.ppt
则有yxccooss
(2)方向导数的等价定义
fl l i0fm (x c o ,y s c o ) s f(x ,y ).
6
P((x3,)y若 )沿 fx(x,着 xy轴 )存正 在 ,e则 1向 {1是 f,(0x}的 ,y)在 方点 向. 导数
fll i0m f(x x,y y)f(x,y). y
记为 f lif m (x x ,y y)f(x ,y). l 0
y
l
P••
x
• P y
o
x
5
f lif m (x x ,y y)f(x ,y).
l 0
y
l
• P
y
说 明:
P••
x
(1) x, y有约 P (x束 x,y， y) o
x
在直设线 与l同方上 向的单， 位向量为el(cos cos)
问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
解 由方向导数的计算公式知
f l(1,1)
fx(1,1)cosfy(1,1)cos
(2 x y) c o ( s 2 y x ) s i,n
(1 ,1 )
(1 ,1 )
14
c o ss in 2sin(), 4
故（ 1） 当 4时 ，方 向 导 数 达 到 最 大 值 2 ; （ 2） 当 5时 ，方向导数达到最小值 2;
导数,存 f是 在否?存在 x
不一定 如 zx 2y2在 (0 ,0 )点e 处 1 {1 ,0 }沿
方向导数
zlim(x)2(y)2 1,
l 0
但zlim(x)2 lim x不存在8 x x 0 x x 0x
类似: fx,fy是 f(x ,y)在 P (x 点 ,y)沿 e1 { 1 ,0 }
方向导数与梯度的关系与计算公式
方向导数与梯度的关系与计算公式方向导数（Directional Derivative）是多元函数在某个给定点上沿指定方向的变化率。
它在物理学、工程学和优化问题中具有重要的应用。
在求解方向导数时，我们常常会遇到梯度（Gradient）的概念。
本文将介绍方向导数与梯度之间的关系，并探讨它们的计算公式。
一、方向导数的定义在多元函数中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个单位向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数Duf(x₀, y₀, z₀)表示函数f(x, y, z)在P点上沿u方向的变化率。
方向导数用符号∇f(x₀, y₀, z₀)·u表示。
二、梯度的定义梯度是一个向量，它在多元函数的每个点上都有定义。
对于二元函数f(x, y)，梯度∇f(x, y)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y) = (fx, fy)，其中fx和fy分别表示f对x和y的偏导数。
对于三元函数f(x, y, z)，梯度∇f(x, y, z)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y, z) = (fx, fy, fz)，其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
三、方向导数与梯度的关系在函数f(x, y, z)的某一点P(x₀, y₀, z₀)处，方向导数和梯度的关系可以表示为：Duf(x₀, y₀, z₀) = ∇f(x₀, y₀, z₀)·u即，方向导数等于梯度与单位向量u的内积。
四、方向导数的计算公式在笛卡尔坐标系中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个非零向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数可以通过以下公式计算：Duf(x₀, y₀, z₀) = fx(x₀, y₀, z₀)a + fy(x₀, y₀, z₀)b + fz(x₀, y₀, z₀)c其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
7方向导数与梯度-22页PPT文档资料
1. 定义
向量G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
记作 gradf, 即
f , x
f , y
f z
同样可定义二元函数
在点 P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
例 5 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解:将已知曲线用参数方程表示为
yx
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1,2x)x2(1,4)
cos 1 , cos 4
17
17
y P
o1 2x
60 17
例3. 设 n是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n的方向导数.
记为
由定义看出，方向导数实际上是函数沿某一方向 的单侧的增量比的极限。
例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
u 2xyz 2
l P
14
x2y
3 14
例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f fcosfcos
l x
y
2. 梯度 • 三元函数
在点
由定义看出，方向导数实际上是函数沿某一方向 的单侧的增量比的极限。
向量G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
记作 gradf, 即
f , x
f , y
f z
同样可定义二元函数
在点 P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
例 5 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解:将已知曲线用参数方程表示为
yx
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1,2x)x2(1,4)
cos 1 , cos 4
17
17
y P
o1 2x
60 17
例3. 设 n是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n的方向导数.
记为
由定义看出，方向导数实际上是函数沿某一方向 的单侧的增量比的极限。
例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
u 2xyz 2
l P
14
x2y
3 14
例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f fcosfcos
l x
y
2. 梯度 • 三元函数
在点
由定义看出，方向导数实际上是函数沿某一方向 的单侧的增量比的极限。
《方向导数与梯度》课件
方向导数在优化中的应用
总结词
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题，以及用于 梯度下降法和牛顿法的实现。
详细描述
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题。在无约束 优化问题中，方向导数可以用于梯度下降法和牛顿法的实现，通过不断沿着负梯度方向 搜索，找到函数的极小值点。在约束优化问题中，方向导数可以用于确定搜索方向和步
长，以避免进入不可行区域或避免目标函数的增加。
02
梯度
定义与性质
01
基本概念
02 梯度是标量场中某一点的方向导数最大的。
04
梯度的大小表示函数在该点的斜率，方向 表示函数在该点的增长方向。
计算方法
计算步骤
计算函数在这一点沿各个 方向的变化量。
确定函数在某一点的值。
计算方法
总结词
计算方向导数需要用到偏导数和方向余弦，常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。
详细描述
计算方向导数需要用到函数的偏导数和方向余弦。首先求出函数的偏导数，然后根据方向余弦计算出方向导数。 常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。解析法适用于数学函数，数值法适用于复杂函数，图解法适用于直 观理解。
05
实际应用案例
在机器学习中的应用
机器学习算法优化
方向导数和梯度在机器学习中用于优化算法，例如梯度下降法。通过计算梯度，可以找到函数值下降最 快的方向，从而更新模型的参数，使模型在训练数据上的表现更好。
方向导数和梯度的计算对于深度学习尤为重要，因为深度学习模型通常具有大量的参数，需要使用梯度 下降等优化算法进行训练。
在机器学习中的应用
01
特征选择与降维
02
同济版大一高数第九章第七节方向导数与梯度
ln( x + 1)
ln(1 + y 2 + 1)
1 = 2
8
例3. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 x= x y = x2 −1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x = 2 = (1, 4) 1 4 ∴ cos α = , cos β = 17 17
2. 梯度的几何意义
等高线的画法
播放
16
例如, 例如,
函数 z = sin xy 图形及其等高线图形．
17
3. 梯度的基本运算公式
∂f, ∂f, ∂f = ∂x ∂y ∂z
(2) grad (C u ) = C grad u (4) grad ( u v ) = u grad v + v grad u
∂f ∂f ∂f = cos α + cos β ∂l ∂x ∂y
25
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f ,∂f ,∂f grad f = ∂x ∂ y ∂z
• 二元函数 3. 关系 • 可微 方向导数存在
0
在点
处的梯度为
grad f = ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
M (1,1,1) 处切ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的方向向量
l
∂f ∂l
在点M (1,1,1) 处 函数沿 l 的方向导数
M
= [ f x ⋅ cos α + f y ⋅ cos β + f z ⋅ cos γ
] (1,1,1)
23
(2) grad f
高等数学课件--D9_7方向导数与梯度
例2. 求函数
朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
y
P
解: 将已知曲线用参数方程表示为
xx y x 1
2
它在点 P 的切向量为 (1, 2 x)
cos 1 17 ,
(1, 4) x2
4 17
O
1
2
x
cos
60 17
2012-10-12
同济版高等数学课件
(2) grad (c u ) c grad u 或 (c u ) c u
(4) grad ( u v ) u grad v v grad u
或 (u v ) u v v u
2012-10-12
同济版高等数学课件
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例5.
处矢径 r 的模 , 试证
2 9 (1, 2 , 2)
在点
(1992 考研)
注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 9
2012-10-12 同济版高等数学课件
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(1, 2 , 2)
2. 函数 u ln(x
提示:
y z ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
1 2
2
同济版高等数学课件
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2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
f f f grad f f , , x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f f ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
• 梯度的特点
f x f x
高等数学第九章第七节方向导数与梯度课件.ppt
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G
f, x
l x
y
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
grad f
f ,f ,f x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
3. 关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
思考与练习
1. 设函数
x y
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
17
17
yP o 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
(2) grad (C u) C grad u (4) grad (u v ) u grad v v grad u
例4.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2
f (r) x r
高数(下)D9_7方向导数与梯度
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例. 设函数 (1) 求 f ( x, y, z ) 在点 P(1,1,1) 处的梯度. (2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 的方向导数的最大值. 解: (1) 点P处的梯度 (2) 函数 f 在点P处最大的方向导数
f l f ( P) 5
最大
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二元函数 f ( x, y ) , 在点 P( x, y) 处沿方向 l (方向角为，） 的方向导数为 y l
f f ( x x, y y) f ( x, y) | p lim 0 l
（可微） f x ( x, y ) cos f y ( x, y ) cos
复习方向导数
三元函数 f ( x, y, z ) 在点P( x, y, z ) 处 沿方向 l (方向角为 , , )
f ( x x, y y, z z) f ( x, y, z) f lim |p 0 l
l
P
P( x, y, z )
可微条件下 f f f f |p | p cos | p cos |p cos l x y z
P
u l
P
2 2 1 1 1 3 14 14 14
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练习2. 求函数
在曲线
上点P(2, 3)
沿 x 增大方向的方向导数.
解: 将已知曲线用参数方程表示为 xx y x2 1 它在点 P沿 x 增大方向的的切向量为 dy T (1, ) x 2 (1, 2 x) x 2 (1, 4) dx 1 4 cos , cos 17 17
高数一 9-7 方向导数与梯度
f l
( x0 , y0 )
f x (x0, y0) cos f y (x0, y0) cos
例1 求函数zxe2y在点P(1, 0)处沿从点P到点Q(2, 1)的方 向的方向导数
解 解 PQ (1, 1) , 与 l 同向的单位向量为 el ( 1 , 1 ) 2 2 因为函数可微分, 且
方向导数
f f ( x0 t cos , y0 t cos ) f (x0, y0 ) lim l (x0 , y0 ) t 0 t 定理(方向导数的计算) 如果函数zf(x, y)在点P0(x0, y0)可微分, 那么函数在该点 沿任一方向l (el(cos, cos))的方向导数都存在, 且有
z e2 y 1 , z (1,0) x (1,0) y 所以所求方向导数为
(1,0)
2xe2 y
(1,0)
2,
z 1 1 2( 1 ) 2 l (1,0) 2 2 2
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铃
函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos, cos))的方向导数
方向导数就是函数f(x, y)在点P0(x0, y0) 处沿方向l的变化率
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铃
一、方向导数
设函数zf(x, y)在点P0(x0, y0)的某一邻域U(P0)内有定义, l是xOy平面上以P0(x0, y0)为始点的一条射线, 与l同方向的单 位向量为el(cos, cos)
f l
首页
( x0 , y0 )
f x (x0, y0) cos f y (x0, y0) cos
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高等数学高数课件 9.7方向导数与梯度
u
1 z
(6
x2
8
y2
1
)2
解
u
6;
x p
14
u
8;
y p
14
例5
设
n
是曲面
2x2
3
y2
z2
6
在点
P(1,1,1)
处的指向外侧的法向量, 求函数
在此处沿方向
n
的方向导数.
u
1 z
(6
x2
8
y2
1
)2
解
u x
p
6; 14
u y
p
8; 14
u z p
6x2 8y2
z2
14.
p
所以
u n
p
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
fx (1,1)cos
f y (1,1)sin
(2x y) cos (2 y x) sin
(1,1)
(1,1)
cos sin
2
sin
4
,
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
2
sin
4
,
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
2 sin
在此处沿方向
n
的方向导数.
u
1 z
(6
x2
8
y2
1
)2
解
Fx p
4,
Fy p
6, Fz p
2,
n
{4,6,2},
|n|
2 14,
cos 2 , cos 3 , cos 1 .
14
高数讲义第七节方向导数与梯度
故
对于三元函数 u = f ( x , y , z ) ,它在点
处沿方向
的方向导数定义为
如果 u = f ( x , y , z ) 在点
处可微，则
例3 设 是曲面
在点
处的指向外侧的法向量，求函数 在此处沿方向 的方向导数.
解： 令 则曲面上任意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为
（2）等值线与梯度 等值线在点 P ( x , y ) 处的一 个法向量可取为
梯度与等值线的关系：
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数 在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
，都可定义一个向量(梯度)
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
一、问题的提出
考虑二元函数 z = f ( x , y ) 的偏导数
仅反映函数在水平方向 （横轴方向）上的变化率。 同理，偏导数 仅反映函数在垂直平方向 上的变化率。 在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化 率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,4)，(5,4)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(4,3)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
解 由梯度计算公式得 故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解 故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为 解
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解 （3）沿梯度方向温度变化率最大，最大值为
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函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
指向函数增大的方向.
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结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为 方向导数的最大值．梯度的模为
gradf
f f | gradf ( x , y ) | . x y
3 x y 14
2
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例2. 求函数
朝 x 增大方向的方向导数.
2 y x 1 在点P(2, 3)沿曲线
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x 2 (1, 4) 4 1 cos cos , 17 17
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
第九章
三、物理意义
机动
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回顾：二元函数偏导数的几何意义
f x
x x0 y y0
d f ( x, y 0 ) x x0 dx
z
M0
z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 . 2. P131 题 16 1. 设函数
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间的距离。
例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 P( x, y, z) q 处所产生的电位为 u ( r x 2 y 2 z 2 ), 试证 4 r q 0 grad u E (场强 E r ) 2 4π ε r 证: 利用例4的结果 grad f (r ) f (r ) r
f x 轴到梯度的转角的正切为 tan y ． f x
2
2
P
f 当 不为零时， x
gradf
图形及其等高线图形．
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点P 的等 高线 f ( x , y ) c 在这点的法 线的一个方向相同，且 从数 值较低的等高线指向数 值较 高的等高线，而梯度的 模等 于函数在这个法线方向 的方 向导数．
grad f ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
• 可微 方向导数存在
0
偏导数存在
f grad f l • l
梯度在方向 l 上的投影.
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思考与练习
x t 2 y 2 t 1 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 z t3 在该点切线方向的方向导数;
f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
斜率.
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一、方向导数
定义: 若函数 f ( x, y ) 在点 P( x, y ) 处
y
l
l
P
沿方向 l (方向角为 , ) 存在下列极限:
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为 y f c3 ( f x , f y ) P grad f P f c2 同样, 对应函数 P 有等值面(等量面) f c1 o x 当各偏导数不同时为零时, 其上 ( 设 c1 c2 c3 ) 点P处的法向量为 grad f P .
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例1. 求函数
3) 的方向导数 .
在点 P(1, 1, 1) 沿向量 l (2, 1,
解: 向量 l 的方向余弦为 3 1 2 , cos cos , cos 14 14 14
u l
P
2 2x yz 14
0
grad u
q 4 r
0 r
q 4 r
0 r E 2
这说明场强: 垂直于等位面,
且指向电位减少的方向.
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内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
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x
结束
定理: 若函数f ( x, y) 在点P( x, y) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f f cos cos l x y
证明: 由函数 f ( x, y ) 在点 P 可微 , 得 f f f x y o ( ) x y
在点 P( x, y ) 处的梯度
f f f f grad f i j , x y x y
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
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z f ( x, y ) 对函数 z f ( x, y) ,曲线 在 xoy 面上的投 z C * 影 L : f ( x, y ) C 称为函数 f 的等值线 .
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
类似地,设曲面 f ( x , y , z ) c 为函数u f ( x , y , z ) 的等量面，此函数在点 P ( x , y , z ) 的梯度的方向与 过点 P 的等量面 f ( x , y , z ) c 在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数.
P
证明: 由函数 f ( x, y, z ) 在点 P 可微 , 得 f f f f x y z o ( ) x y z
P( x, y, z )
故
o ( )
f f f f f lim cos cos cos l 0 x y z
3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u ) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
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例4.
其中 r x 2 y 2 z 2 为点 P ( x, y, z )
0
处矢径 r 的模 , 试证 grad f (r ) f (r ) r . x x f (r ) r 证: f (r ) f (r ) f (r ) 2 2 2 x x r x y z f (r ) y f ( r ) z f (r ) , f (r ) y r z r f (r ) f (r ) f (r ) grad f (r ) j k i z P y z x r 1 f (r ) ( x i y j z k ) o r y 1 x f (r ) r f (r ) r 0 r
f f f 令向量 G , , x y z
l 0 (cos , cos , cos )
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： f G max l
这说明 G : 方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
z 6 xy 1 (3x 2 2 y ) 4 l P
(2,3)
y
P
o
1 2
x
17
17
60 17
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例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数
方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处
在点P 处沿
n (4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cos , cos , cos 14 14 14 6x 6 u 而 2 2 14 x P z 6x 8 y P
0
P
P( x, y, z )
f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) 记作 f lim l 0
f 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l
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定理: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有 f f f f l cos cos cos l x y z
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 一阶连续偏导数，则对于每一点P ( x , y , z ) G ， 都可定义一个向量(梯度)
f f f gradf ( x , y , z ) i j k. x y z
o f ( x cos , y cos ) f ( x, y ) 记作 f lim 0 l f 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l
特别: f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2
指向函数增大的方向.
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结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为 方向导数的最大值．梯度的模为
gradf
f f | gradf ( x , y ) | . x y
3 x y 14
2
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例2. 求函数
朝 x 增大方向的方向导数.
2 y x 1 在点P(2, 3)沿曲线
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x 2 (1, 4) 4 1 cos cos , 17 17
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
第九章
三、物理意义
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回顾：二元函数偏导数的几何意义
f x
x x0 y y0
d f ( x, y 0 ) x x0 dx
z
M0
z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 . 2. P131 题 16 1. 设函数
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间的距离。
例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 P( x, y, z) q 处所产生的电位为 u ( r x 2 y 2 z 2 ), 试证 4 r q 0 grad u E (场强 E r ) 2 4π ε r 证: 利用例4的结果 grad f (r ) f (r ) r
f x 轴到梯度的转角的正切为 tan y ． f x
2
2
P
f 当 不为零时， x
gradf
图形及其等高线图形．
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点P 的等 高线 f ( x , y ) c 在这点的法 线的一个方向相同，且 从数 值较低的等高线指向数 值较 高的等高线，而梯度的 模等 于函数在这个法线方向 的方 向导数．
grad f ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
• 可微 方向导数存在
0
偏导数存在
f grad f l • l
梯度在方向 l 上的投影.
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思考与练习
x t 2 y 2 t 1 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 z t3 在该点切线方向的方向导数;
f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
斜率.
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一、方向导数
定义: 若函数 f ( x, y ) 在点 P( x, y ) 处
y
l
l
P
沿方向 l (方向角为 , ) 存在下列极限:
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为 y f c3 ( f x , f y ) P grad f P f c2 同样, 对应函数 P 有等值面(等量面) f c1 o x 当各偏导数不同时为零时, 其上 ( 设 c1 c2 c3 ) 点P处的法向量为 grad f P .
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例1. 求函数
3) 的方向导数 .
在点 P(1, 1, 1) 沿向量 l (2, 1,
解: 向量 l 的方向余弦为 3 1 2 , cos cos , cos 14 14 14
u l
P
2 2x yz 14
0
grad u
q 4 r
0 r
q 4 r
0 r E 2
这说明场强: 垂直于等位面,
且指向电位减少的方向.
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内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
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x
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定理: 若函数f ( x, y) 在点P( x, y) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f f cos cos l x y
证明: 由函数 f ( x, y ) 在点 P 可微 , 得 f f f x y o ( ) x y
在点 P( x, y ) 处的梯度
f f f f grad f i j , x y x y
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
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z f ( x, y ) 对函数 z f ( x, y) ,曲线 在 xoy 面上的投 z C * 影 L : f ( x, y ) C 称为函数 f 的等值线 .
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
类似地,设曲面 f ( x , y , z ) c 为函数u f ( x , y , z ) 的等量面，此函数在点 P ( x , y , z ) 的梯度的方向与 过点 P 的等量面 f ( x , y , z ) c 在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数.
P
证明: 由函数 f ( x, y, z ) 在点 P 可微 , 得 f f f f x y z o ( ) x y z
P( x, y, z )
故
o ( )
f f f f f lim cos cos cos l 0 x y z
3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u ) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
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例4.
其中 r x 2 y 2 z 2 为点 P ( x, y, z )
0
处矢径 r 的模 , 试证 grad f (r ) f (r ) r . x x f (r ) r 证: f (r ) f (r ) f (r ) 2 2 2 x x r x y z f (r ) y f ( r ) z f (r ) , f (r ) y r z r f (r ) f (r ) f (r ) grad f (r ) j k i z P y z x r 1 f (r ) ( x i y j z k ) o r y 1 x f (r ) r f (r ) r 0 r
f f f 令向量 G , , x y z
l 0 (cos , cos , cos )
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： f G max l
这说明 G : 方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
z 6 xy 1 (3x 2 2 y ) 4 l P
(2,3)
y
P
o
1 2
x
17
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例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数
方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处
在点P 处沿
n (4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cos , cos , cos 14 14 14 6x 6 u 而 2 2 14 x P z 6x 8 y P
0
P
P( x, y, z )
f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) 记作 f lim l 0
f 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l
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定理: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有 f f f f l cos cos cos l x y z
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 一阶连续偏导数，则对于每一点P ( x , y , z ) G ， 都可定义一个向量(梯度)
f f f gradf ( x , y , z ) i j k. x y z
o f ( x cos , y cos ) f ( x, y ) 记作 f lim 0 l f 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l
特别: f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2