第七节 方向导数和梯度

第七节 方向导数和梯度

一、 方向导数

在许多实际问题中，常常需要知道函数(),,f x y z 在一点P 沿任何方向或某个方向的变化率。

定义 1 设D 是3R 中的一个区域，f 是D 内一个函数，0P D ∈，l 是一个方向向量，令'P P →，如果

'(')()lim 'P P f P f P PP --→-

存在，则称此极限是(),,f x y z 在点0P 沿方向l 的方向导数，记为

)(0P l

f ∂∂。它表示f 在点0P 沿方向l 的变化率。 定理1 设函数f 在点0P 可微，则f 在点0P 沿任何方向l 的方向导数存在，并且有

γβαcos )(cos )(cos )()(0000z

P f y P f x P f P l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 其中γβαcos ,cos ,cos 是方向l 的方向余弦。

例：设x ze z y xy u +-=2，求u 在点（1，0，2）沿方向（2，1，-1）的方向导数。 设D 是2R 中的一个区域，),(y x f 是D 内的一个二元可微函数，那么在D 内每一点),(y x ，f 沿单位向量l 的方向导数是

ααsin cos y

f x f l f ∂∂+∂∂=∂∂， 其中α是x 轴的正向（即x 轴上单位向量i ）和向量l 之间的夹角。

二 、 梯度

1、引言

在一个数量场中，在给定点沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是：沿哪一个方向其方向导数最大？其最大值是多少？为此引进一个很重要的概念——梯度。

2、梯度的定义

定义2 设(,,)u f x y z =定义于某个三维区域D 内，又设函数f 具有关于各个多元的连续偏导数，称向量

(,,)(,,)(,,)f x y z f x y z f x y z i j k x y z

∂∂∂++∂∂∂ 是f 在点(,,)x y z 的梯度，记为grad u ，即

(,,)(,,)(,,)grad f x y z f x y z f x y z u i j k x y z

∂∂∂=

++∂∂∂。 它的长度为 222

grad u u u u x y z ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭

⎝⎭。 注：它是一个向量，是由数量场f 产生的向量。

3、grad f 的性质：

设g f ,可微，则

（1）grad()grad grad f g f g +=+；grad()grad cf c f =⋅（c 是常数）。 （2）grad()grad grad f g f g g f ⋅=⋅+⋅； （3）

2grad()grad grad()f f f g f g g ⋅-⋅= （0≠g ） （4）(,,)grad(((,,))()grad (,,)u f x y z f x y z u f x y z ϕϕ='=⋅ （)(u ϕ'在),,(z y x f u =

可微） 例：设在空间原点处有一个点电荷q ，在真空中产生一个静电场，在空间任一点),,(z y x 处的电位是：

r

q V =，222z y x r ++= 则 2

grad grad q V r r =-。 4、grad u 的意义

grad u 的方向表示数量场u 沿此方向的方向导数达到最大；grad u 的根长就是这个最大的方向导数。

例：求数量函数22u x xy =+在()1,1,1的梯度及其大小。