高等数学同济版下第七节方向导数与梯度

rad f ( r ) f ( r ) e . 处矢径 r 的模 , 试证 g r
三、物理意义
数量场 (数性函数)
函数 场 如: 温度场, 密度场等 (物理量的分布)
向量场(矢性函数)
如: 力场,速度场等
可微函数 f (P) (势)
f( P ) 梯度场 grad (向量场、势场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
( x ) ( y ) ( z ) , z cos y cos , x cos ,
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l

2
2
2
定理: 若函数 f ( x , y , z ) 在点 P ( x , y , z ) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
, y) 在点 P(x, y) 处的梯度 同样可定义二元函数 f (x
f f f f grad f i j , x y x y
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
z f( x ,y ) 对函数 z f ( x , y ) , 曲线 在 xoy 面上的 z C
f f f 令G , (cos , cos , co ) , e l x y z

f G el G cos( G ,e l) l f 当 e G 方向一致时 , max G l与 l
这说明 G : 方向：f 变化率最大的方向
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
三、物理意义
一、方向导数
x ,y ,z )在点 P 定义: 若函数 f( (x, y, z) 处
, ,) 存在下列极限: 沿方向 l (方向角为
记作 f f f ( x x , y y , z z ) f ( x , y , z ) lim lim l 0 0
模:
f 的最大变化率之值
1. 定义
向量 G称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), radf , 即 记作 g
g r ad f
f f f f f f , , i j k x y z x y z
f f f f cos cos cos l x y z
其中 , , 为 l 的方向角 .
对于二元函数 f (x 向角 ,y ), 在点 P ( x ,y ) 处沿方向 l( 方
为, ) 的方向导数为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0 l
内容小结
1. 方向导数
• 三元函数 f( (x ,y ,z )沿方向 l (方向角 x ,y ,z )在点 P 为 , ,) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
, y) 在点 P • 二元函数 f (x (x , y) 沿方向 l (方向角为
朝 x 增大方向的方向导数.

60 17
2 2 2 在点 P(1, 1, 1 )处 是曲面 n 2 x 3 y z 6 例3. 设
6x2 8y2 指向外侧的法向量, 求函数 u 在点P 处沿 z 11 方向 n的方向导数. 7
二、梯度
f f f f cos cos cos 方向导数公式 l x y z
(x , y)处的梯度为 , y)在点 P • 二元函数 f (x
, )的方向导数为
f f f f f sin cos cos cos x y l x y
2. 梯度 • 三元函数 f( (x ,y ,z )处的梯度为 x ,y ,z )在点 P
f f f grad f , , x y z
2
z
x t 2 y 2 t 1 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 3 z t 6 在该点切线方向的方向导数; 26
(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 .
6 arccos 130
2 2 2 其中 r x y z 为点 P ( x , y , z ) 例5. 设 f( r )可导 ,
* 称为函数 f 的等值线 . 影 L :f( x ,y ) C
Leabharlann Baidu
设 fx , fy不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为 y f c3 f c2 (fx , fy) P grad fP
f c 1 o x ( 设 c c c ) 1 2 3
P
( x ,y , z ) x y 例4. 设函数 f
2
l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时 ,有 2 l x
例1. 求函数 u x2yz 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 l ( 2 , 1 , 3 )
的方向导数 .
6 14
2 2 在点P(2, 3)沿曲线 y x2 1 3 x y y 例2. 求函数 z
y
l
x 2 2 ( ( x ) ( y ) , x cos , . y co )
o f ( x , y ) cos f ( x , y ) cos x y

P
特别:
f f 0 , 时 ,有 • 当 l 与 x 轴同向