方向导数与梯度的关系
方向导数与梯度公式关系
方向导数与梯度公式关系方向导数和梯度是微积分中两个常用的概念,它们之间的关系可以用以下公式表示:方向导数 = 梯度 / 权重其中,梯度是指目标函数对变量的导数,权重是指变量的系数。
具体来说,假设我们有一个线性回归模型$$y = x"beta + epsilon$$其中$y$是输出变量,$x$是输入变量,$beta$是模型的参数,$epsilon$是噪声。
那么,$beta$的梯度可以表示为:$$frac{partial}{partial beta}left(frac{y}{x"beta}ight) = frac{partial y}{partial beta}x" - frac{partial x"}{partial beta}frac{y}{x"beta} = frac{y"beta - x"betay}{x"beta}$$其中,$frac{partial y}{partial beta}$表示$beta$对$y$的导数,$frac{partial x"}{partial beta}$表示$x"beta$对$x$的导数。
现在,如果我们想要计算$beta$的方向导数,可以使用上述公式:$$frac{partial}{partial beta}left(frac{y}{x"beta}ight) = frac{y"beta - x"beta y}{x"beta} = frac{y"}{x"}beta - frac{x"}{x"}beta = frac{y-x"beta"}{x"}$$其中,$beta" = x"(beta)$。
因此,$beta$的方向导数可以通过计算它与其他变量的差来得到。
第六节 方向导数与梯度
f x ( x, y) , f y ( x, y) 是 沿 x 轴正向 及 y 轴正向的变化率 .
讨论函数 z f ( x , y ) 在一点 P0 沿任意方
向的变化率问题就是方向导数问题．
设函数 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域U ( P ) 内有定义． 设 e cos i cos j 为一单位
1 3
f l
( 0,0 )
f ( ta , tb) f (0,0) ( t 2ab) lim lim . t 0 t 0 t t
此例同时也说明函数在一点连续也未必能推 出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在.
(2) 函数在一点处沿各方向的方向导数都存在，
也未必在该点处连续.
z f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ), 考虑
当 P 沿着 l 趋于P0 时，
z
t
,
f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ) 是否存在？ lim t 0 t
1、方向导数的定义
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点P ( x0 , y0 )的某个邻 域内有定义 , l 是一非零向量 , el (cos , cos ) 是与 l 同方向的单位向量 , 如果极限 f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) lim t 0 t 存在 , 则称这极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 沿 f 方向 l 的方向导数 , 记为 ,即 l ( x0，y0 )
有何意义?
二阶方向导数几何意义：
2 f 的近旁 的 0 ，则说明在 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) l l 2 切线斜率沿 el 方向单调增加，曲线为下凸；
梯度及其与方向导数的关系
u y
2
2
2
1 r
3
3y r
2
5
,
2
u z
2
2
1 r
3
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例3.
处矢径 r 的模 , 试证
x x y z
2 2 2
证:
f (r ) y
grad f (r )
f (r )
f ( r )
f (r ) x
f ( r )
x r
y r
,
f (r ) y
f (r ) z
j
f ( r )
2 2
(x y )
2 2 2 2
2
y x
2 2
2 2
(x y )
2
z y
2
x y y 2y (x y )
2 2 2
x y
2 2
2 2
(x y )
2
2 2
z x
2
z
2
y
2
y x
2 2
(x y )
2
x y
2 2
2 2
(x y )
2
1 5
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u (1,1) u ( 1,1) , el l
(6 3)
3 5
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7/22
(1) 方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向 量为
1 2 (1,1)
，方向导数的最大值为
1 2
u ( 1,1) 3 2.
最优化方法方向导数与梯度例题
最优化方法方向导数与梯度例题一、引言在数学和计算机领域中，最优化方法是一种常用的数学工具，用于解决优化问题。
在这个过程中，方向导数和梯度是非常重要的概念，它们帮助我们找到函数的最大值或最小值。
本文将深入探讨最优化方法中的方向导数和梯度，并通过例题来帮助读者更好地理解这些概念。
二、方向导数与梯度的定义1. 方向导数方向导数是一个向量的数量函数，表示函数在某一点沿着某一方向的变化率。
在数学上，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在点P0(x10, x20, ..., xn0)处沿着向量v=(v1, v2, ..., vn)的方向导数定义如下：∇f(P0)•v = lim(h→0) [f(P0+hv) - f(P0)] / h其中∇f(P0)表示函数f在点P0处的梯度，v表示方向向量。
2. 梯度梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最大的方向。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，函数在点P0(x10, x20, ..., xn0)处的梯度定义如下：∇f(P0) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)其中∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数。
三、方向导数与梯度的关系方向导数与梯度之间有着密切的关系。
事实上，当方向向量为梯度的时候，方向导数达到最大值。
这意味着，函数在梯度的方向上的变化率最大。
这也是最优化方法中常用的一种策略，即沿着梯度的方向不断调整自变量，以寻找函数的最大值或最小值。
四、例题分析为了更好地理解方向导数与梯度的概念，我们将通过一个具体的例题来说明。
例题：求函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数和梯度。
解析：我们求函数在点(1, 2)处的梯度。
计算过程如下：∇f(1, 2) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2y)|_(1, 2) = (2, 4)我们求函数在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数。
2.5 方向导数与梯度
z 同理： y
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向l { x, y}的方向导数,
z l
( 0,0 )
lim
f ( x , y ) f (0,0)
0
( x ) 2 ( y ) 2 lim 1 2 2 0 ( x ) ( y )
显然f x , f y是f ( x , y )沿x , y轴的方向导数 沿x , y轴正向时为f x , f y ;负向时为 f x , f y .
f 2. 的存在定理 l 若z f ( x , y)在P ( x , y)可微,
则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且 f f x cos f y cos , l 其中cos , cos 为方向l 的方向余弦. y Proof. z f ( x, y)可微, P y1 z f x x f y y o( ), P x z x y o( ) fx fy , o
u cos cos l (1,1)
此时
2
u 从而 2 cos( ) l (1,1) 4
u 显然当 时, 4 l (max)
2,
u 当 时, 0, 4 2 l
而gradu i j ,
即
r cos cos sin sin cos( ) l r r 且当 时, 1;当 时, 0. l 2 l
二. 梯度
定义 设函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有 一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x , y ) D ，
关于多元函数的梯度与方向导数
关于多元函数的梯度与方向导数多元函数的梯度与方向导数是微积分中非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将详细介绍这两个概念的含义和应用。
多元函数的梯度是指一个函数在空间中的变化方向。
在二元函数中，梯度是一个二维向量，包含两个分量，即在x方向上的变化率和在y方向上的变化率。
在三元函数中，梯度是一个三维向量，包含三个分量，即在x、y、z三个方向上的变化率。
一般地，对于一个n元函数，其梯度是一个n维向量。
了解梯度对于研究函数的极值和最优化问题非常重要。
通过求出梯度，我们可以判断函数在某一点是否有极值，并可以求出函数最快增长的方向。
在最优化问题中，我们通常希望有一个函数值最小（或最大）的解。
通过求出梯度，我们可以找到函数值增长最快的方向，并在该方向上进行逼近搜索，从而找到函数的最小值（或最大值）。
梯度的计算非常简单，只需要对函数的各个分量分别求偏导数，再组成一个向量即可。
例如，对于一个二元函数f(x, y)，其梯度为(gx, gy)，其中gx表示f在x方向的变化率，gy表示f在y方向的变化率，计算公式如下：（1）gx = ∂f/∂x（2）gy = ∂f/∂y对于一个三元函数f(x, y, z)，其梯度为(gx, gy, gz)，计算公式如下：（1）gx = ∂f/∂x（2）gy = ∂f/∂y（3）gz = ∂f/∂z方向导数是指一个函数在某一点沿着某一个方向的变化率。
求解方向导数时，我们必须指定一个方向，方向可以用一个向量表示。
例如，对于一个二元函数f(x, y)，我们可以指定一个方向向量u = (a, b)，表示在x轴上移动a单位，在y轴上移动b单位。
函数在该方向上的变化率就是方向导数，计算公式如下：Duf(x, y) = ∂f/∂x * a + ∂f/∂y * b对于一个三元函数f(x, y, z)，我们可以指定一个方向向量u = (a, b, c)，表示在x轴上移动a单位，在y轴上移动b单位，在z轴上移动c单位。
方向导数与梯度
三、物理意义
数性函数) 数量场 (数性函数 数性函数 函数 场 温度场, 如: 温度场 电位场等 向量场(矢性函数 矢性函数) 向量场 矢性函数 如: 力场 速度场等 力场,速度场等 可微函数 f (P) (势) 梯度场 grad f (P) (向量场 向量场) 向量场 (物理量的分布 物理量的分布) 物理量的分布
∂f ∂f ∂f , , = ∂ x ∂ y ∂z
同样可定义二元函数 在点P( x, y)处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 方向导数为梯度在该方向上的投影 2. 梯度的几何意义
12
z = f ( x, y) 对函数 z = f ( x, y), 曲线 在 xoy 面上的投 z =C * 影L : f ( x, y) = C 称为函数 f 的等值线 .
二.梯度
, 方向导数取最大值： 当l 0 与G方向一致时 方向导数取最大值： ∂f )= G m ( ax ∂l 方向： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
11
1. 定义 向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 处的梯度 记作 grad f , 即
grad f (r) = f ′(r)r 0
gradu = (
q 4π ε r
)′
r =−
0
q 4π ε r
r 0 = −E 2
这说明场强: 垂直于等位面, 这说明场强 垂直于等位面 且指向电位减少的方向. 且指向电位减少的方向
19
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f ∂f ∂f grad f = , , ∂x ∂ y ∂z • 二元函数 在点 处的梯度为 grad f = ( f x ( x, y) , f y ( x, y))
7.5_方向导数与梯度
2 2 ( x ) 0 0 | x | f xz lim , lim lim 但 x 0 x x x x 0 x x 0 不存在. 即z在(0, 0)点的偏导数不存在.
π 特别地, 当 l为正x轴时, 0, , 上式化为 2 f z . 可微必可导 l P x P
因此, 函数 z = f (x, y)在点P (x, y)处沿x轴正方向 的方向导数就是函数 z = f (x, y)在该点处对x的偏
z f f cos cos l P x P y P
f x y
方向导数与梯度
沿梯度方向, 函数的增长最快!
grad z P
f f , x y P
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它 的模为方向导数的最大值(最大的变化率).
2 梯度的模为 2 f f | grad z |P x y
2 2 z x y , 例2 某山体表面某段曲面方程为
一登山者位于点(1,2)处. 求山体表面在该点处沿方向 l (1,1)处海拔高度z值变化率, 该变化率说明什么.
z 2 因为 x (1, 2 )
z 解 z沿方向 l 的变化率即为方向导数 .
0 1 1 f l 的单位向量 l ,
11
方向导数与梯度
f f f cos cos l P0 x P0 y P0
8.5 方向导数与梯度
一 方向导数 二 梯度
一 方向导数
1 定义
定义1 设函数
f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 )
的某个邻域内有
定义，设 l 是一单位向量，记为 l
P P0
cos , cos .
y
若极限
lim
f ( P ) f ( P0 ) PP 0
lim
0
f ( x 0 cos , y 0 cos ) f ( x 0 , y 0 )
则称此极限值为 f ( x , y ) 在点 P0 处 存在，
沿方向 l 的方向导数， 记为
f l
P0
P
。
o
P0
x
注：
f x
P0
存在
f ( x, y )
在点 P0 处沿 x 轴正方向
) (2)
4 3 3
.
例3 设 n 是椭球面 2 x 2 3 y 2 z 2 处的内法向量，求u 的方向导数。 解
u x 6x z 6x 8y
2 2
6
在点 P (1, 1, 1)
6x 8y
2
2
z
在点 P 处沿方向 n
,
u x
P ( 1 ,1 , 1 )
grad f
2 x 3 , 4 y 2 , 6 z ,
5 , 2 , 12 .
grad f
P
2 x 3 , 4 y 2 , 6 z (1,1, 2 )
（2） f ( x , y , z ) 在点 P 处沿梯度方向的方向导数是
梯度和方向导数关系
梯度和方向导数关系
梯度和方向导数是微积分中的重要概念，它们之间存在密切的关系。
梯度是一个向量，它的方向是函数值增加最快的方向，大小表示函数变化最快的速率。
方向导数是一个标量，表示函数在给定方向上的变化率。
两者之间的关系是：方向导数等于梯度与该方向的点积。
换言之，梯度指示了函数的局部变化率最大的方向，而方向导数则告诉我们，当沿着该方向移动时，函数的变化率是多少。
具体来说，对于函数f(x,y)，其梯度为：
grad(f)=(df/dx,df/dy)
在点P(x0,y0)处，给定一个方向u=(a,b)，则该方向导数为：Duf(x0,y0)=grad(f)(x0,y0)·u
其中，符号“·”表示向量的内积（点积）。
因此，知道了梯度，我们就可以求出在任何方向上的方向导数，从而更好地理解函数在该点的性质和行为。
方向导数、梯度、法线间的关系
⽅向导数、梯度、法线间的关系
在读书时候，数学⾥的好多东西记不清楚了感觉很模糊，所以为了加深印象防⽌遗忘所以记录⼀下，博客中参考的资料已在⽂末标明。
博客中要是有啥错误，或者不好的地⽅欢迎指出⼀起探讨，嘿嘿。
⽅向导数：
函数在点P处，沿着⽅向V的变化率⼤⼩，得到结果是⼀个数值。
对于⼀个⼆元函数,其⽅向导数为（word⾥⾯写好公式复制不上来，⽓⼈只能截图）
证明如下：由
两边同时除以得到下式⼦：
梯度：
梯度这个东东是⼀个向量，既有⼤⼩也有⽅向。
设函数在平⾯区域D内具有⼀阶连续偏导数，那么对于每⼀个点，都可以求出⼀个向量：这个向量就是在点处的梯度。
为什么梯度的⽅向是函数变化最快的⽅向？
对于点由上⾯可知其⽅向导数为，由此可以推出下式⼦：
为两个梯度与所选⽅向间的夹⾓，明显可以看出时即⽅向⼀致时所得到的⽅向导数最⼤即函数变化率最⼤。
梯度与法线的关系：
对于⼀个曲⾯，法线为与切平⾯垂直的直线。
那么对⼀般的⼆元函数,这个曲⾯被平⾯z=c所截下来的曲线L在平⾯xOy上⾯的投影为等⾼线。
由于所以两边同时对x求微分可得下式⼦：
然后我们通过求切线的⽅式来求得法线：
这正好也是梯度⽅向，所以说等⾼线上点P的法向量与该点的梯度⽅向相同。
五节方向导数和梯度
二、方向导数旳定义
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
旳变化率问题．
设函数 z f ( x, y) 在点
y
l
P( x, y) 的某一邻域 U (P)
• P
y
内有定义，自点 P 引射线 l．
••
x
P
设 x 轴正向到射线 l 的转角
y
z
7
P
三、梯度旳概念
问题 :函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快?
定义 设函数z f ( x, y)在平面区域 D 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 P( x, y) D ，
都可定出一个向量f
i
f
j ，这向量称为函数
x y
z f ( x, y)在点P( x, y)的梯度，记为
gradf ( x, y) f
y f
．
x
在几何上 z f ( x, y) 表达一种曲面
曲面被平面 z c
所截得
z
z
f c
(
x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
y f (x, y) c2 gradf ( x, y)
P 梯度为等高线上旳法向量
f (x, y) c 等高线
f (x, y) c1
o
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 等高线旳画法
播放
例如, 函数 z sin xy 图形及其等高线图形．
梯度与等高线旳关系：
函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y) 的梯度的方向与点 P 的等 高线 f ( x, y) c 在这点的法 线的一个方向相同，且 从数 值较低的等高线指向数 值较 高的等高线，而梯度的 模等 于函数在这个法线方向 的方 向导数．
第八章8 方向导数与梯度
2 π π ∂z = cos( − ) + 2 sin( − ) = − . 2 4 4 ∂l
y 点 1， ） 例2 求 数 f ( x, y) = x2 − xy + r 2在 （ ，1） 函 方 夹 为 方 射l 方 导 .并 沿 x轴 向 角 α 的 向 线 的 向 数 并 与 问 怎 的 向 此 向 数 在 样 方 上 方 导 有 2） （1） 大 ； （ ） 小 ； （3） 于 ？ ） 最 值 最 值 ） 等 零
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值. 为方向导数的最大值
与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为 C r 在 π上考察 C P0 P的方向与 l 对应
π
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) 表示C 的割线向量
r P0 P 与 l 的交角的正切值
ρ
即
r P0 P关于 的斜率 关于l
当ρ → 0时
即
( x0 + ∆x, y0 + ∆y) →( x0, y0 )
( 1 ,1 )
3π π 7π π （3）当α = ） 和α = 时， 方向导数等于 0. 4 4
5π π （2）当 α = ） 时，方向导数达到最小值− 2 ; 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x , y , z )，它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向 L 的方向导数 ，可定义 为 ∂ f = lim f ( x + ∆ x , y + ∆ y , z + ∆ z ) − f ( x , y , z ) , ρ→0 ∂l ρ
第七节方向导数与梯度
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0 , y0 )
fx (x0 , y0 )
x
f y (x0 ,
y
y0 )
o( )
fx (x0 , y0 ) cos
f y (x0 , y0 ) cos
o( )
令 ，0 对上式两端同时取极限, 就得
f l
图7-7
即
f
lim
l ( x0 , y0 )
0
在点 P(x0 , y0 ) 沿方向l的
方向导数,
记作
f l
, ( x0 , y0 )
f (P1) f (P) lim f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 ) .
0
(1)
定理1 如果函数 z f (x, y) 在点P(x0, y0 )可微, 则函数
即 grad f (x, y) fx(x, y)i fy (x, y) j fx(x, y), fy (x, y)
(4)
f (x, y) 在点P (x, y)沿l方向的方向导数可表示为
f l
fx (x, y) cos
f y (x, y) cos
{ fx (x, y), f y (x, y)}{cos, cos }
(x0 ,y0 ) f x (x0 , y0 ) cos f y (x0 , y0 ) cos
例1:求函数
z
x2
y2在点P（1,
1）沿与x轴正向夹角
3
的方向l的方向导数.
高数7方向导数和梯度
这个向量称为函数z=f(x,y)在P(x,y)的梯度，记为
grad f (x, y) ( fx , f y ).
el=(cosα,cosβ)是方向l上的单位向量，即l的方向余弦.
f l
fx
cos
fy
cos
( fx , f y ) (cos , cos )
f l
lim
0
f ( x x, y y)
f (x, y) .
( (x)2 (y)2 )
函数f(x,y)在点P沿着x轴正方向、y轴正方向的方 向导数分别为fx，fy； 沿着x轴负方向、y轴负方向的方向导数分别为-fx，-fy.
2、方向导数的计算公式
定理 如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的，则 函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有
3、方向导数与梯度的关系 梯度的方向就是函数f (x, y) 在这点增长最 快的方向. 梯度的模为方向导数的最大值。
f f cos f cos
l x
y
其中cosα,cosβ是方向l的方向余弦.
例 1 求函数 z xe2 y 在点 P(1, 0) 处沿从点 P(1, 0)
到点 Q(2, 1) 的方向的方向导数.
解 PQ (1, 1)
z e2 y 1;
x (1,0)
(1, 0 )
z 2xe2 y 2,
gradf (x, y, z) ( fx , f y , fz ).
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与 取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的 最大值.
例 4 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点 (1, 1, 2) 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零向量？
8-7 方向导数与梯度
两边同除以 (即t ), 得到
f ( x t cos , y t sin ) f ( x , y ) t
f x
cos
f y
sin
o( ) t
故有方向导数为:
lim
t 0
f ( x t cos , y t sin ) f ( x , y )
f l
( x0 , y0 )
lim
t 0
f ( x0 t cos , y0 t sin ) f ( x0 , y0 ) t
y)在点P沿着x轴正向 i =(1,
.
依定义, 函数z=f(x, 0), y 轴正向 j =(0, 1)的方向导数分别为 fx, fy. 沿着x轴负向, y轴负向的方向导数分别为 -fx, -fy.
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
类 似 地 ,设 曲 面 f ( x , y , z ) c 为 函 数 u f ( x , y , z ) 的 等 量 面 ，此 函 数 在点 P ( x, y, z)的 梯 度 的 方 向 与 过 点 P 的 等 量 面 f ( x, y, z) c 在 这 点 的 法 线 的 一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数.
lim f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 )
0
x x 0 t cos l: y y 0 t sin
是否存在？
(t 0)
l 的参数方程为:
P(x0+tcos, y0+tsin)为 l 上的另一点, 且PU(P).
标量场的方向导数和梯度
l M x
y
z
3
1.2.2 标量场旳梯度
NM n
l
●P
在P点沿哪个方向变化率最快？
由方向导数旳定义可知：沿等值面 法线n旳方向导数最大。故定义梯度
grad
n
en
x
ex
y
ey
z
ez
其中， 称为哈密顿算子。
大小：最大变化率
方向：最大变化率旳方向即过该点旳等值面法线方向
梯度旳计算公式推导如下：
【例】求标量场 u x2 2 y2 3z2 xy 3x 2y 6z在点 O(0, 0, 0) 与点 A(1,1,1)处梯度旳大小和方向余弦。在哪点上旳梯度 为0？
【解】：标量场旳梯度为：
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
(2x y 3)ex (4 y x 2)ey (6z 6)ez
第一章 矢量分析
1.2 标量场旳方向导数和梯度
主要内容
❖ 方向导数 ❖ 梯度
学习目旳
❖ 掌握方向导数、梯度旳物理含义及计算措施 ❖ 掌握方向导数与梯度之间旳区别与联络
1.2.1 标量场旳方向导数
标量函数 在M0处沿l方向旳方向导
●
M0
●
l 数为
M
lim (M ) (M0 )
l M0
M M0
含义：表达标量场 在点M0处沿l方向旳变化规律。
h3u3
eu 3
q 对于距离矢量 R r r 有下列常用结论：
R
q'
r
r' O
总结：
(1)R
R R
Ro
eR
1 R Ro (2)
R R3 R2
方向导数与梯度
y y
最大的增长率为: | grad f
|( 2,0) 1 22 5
函数在 P0沿 P0 P1 方向的方向导数. 解 zx
( 3 ,1 )
3x2 y2
3
( 3 ,1)
27,
P0 P1 ( 1,2),
| P0 P1 | 5 ,
zy
z l
( 3 ,1 )
2 x y ( 3,1) 54
P0
1 2 81 ) 54 27 ( 5 5 5
u 6 x 2 8 y 2 14 . z P z2 P
u u u u 11 ( cos cos cos ) . 故 7 n P x y z P
20
求函数 u
x
2
f f f f cos cos cos l x y z
18
x2 y2 z2 已知数量场u( x , y , z ) 2 2 2 , a b c
2 2 2 6 在点P (1,1,1) n 2 x 3 y z 设 是曲面 2 2 6x 8 y , 处指向外侧的法向量 求函数u z 在P点处沿方向n的方向导数.
解 令 F ( x, y, z ) 2 x 2 3 y 2 z 2 6
P0
f f cos cos . x P0 y P0
方向导数存在
偏导数存在
5
方向导数与偏导数的关系
i (1,0) 的方向导数存在, 且值为f x .
高数讲义第七节方向导数与梯度
故
对于三元函数 u = f ( x , y , z ) ,它在点
处沿方向
的方向导数定义为
如果 u = f ( x , y , z ) 在点
处可微，则
例3 设 是曲面
在点
处的指向外侧的法向量，求函数 在此处沿方向 的方向导数.
解： 令 则曲面上任意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为
（2）等值线与梯度 等值线在点 P ( x , y ) 处的一 个法向量可取为
梯度与等值线的关系：
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数 在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
，都可定义一个向量(梯度)
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
一、问题的提出
考虑二元函数 z = f ( x , y ) 的偏导数
仅反映函数在水平方向 （横轴方向）上的变化率。 同理，偏导数 仅反映函数在垂直平方向 上的变化率。 在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化 率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,4)，(5,4)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(4,3)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
解 由梯度计算公式得 故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解 故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为 解
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解 （3）沿梯度方向温度变化率最大，最大值为
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多元函数的基本概念(130)
10
例 3 设 wf(xyz,xy)， zf具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 求 w和 2w. x xz
解 令 u x y z , vxy;z
记
f (u,v) f1 u ,
2 f (u,v) f12 uv ,
同理有 f 2 , f 1 1 , f 2 2 .
y 的偏导数，且z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续 偏导数，则复合函数 z f [( x, y), ( x, y)] 在对应 点( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：
z zuzv, x ux vx
z z uz v. y uy vy
多元函数的基本概念(130)
5
链式法则如图示：
多元函数的基本概念(130)
25
则方程组 F ( x, y,u,v) 0， G( x, y,u,v) 0
在点 P0 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且
具有连续偏导数的函数u u( x, y)，v v( x, y)，
它们满足条件u0 u( x0 , y0 ), v0 v( x0 , y0 ) 并有
点 P0 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内有对各个变量的连 续偏导数，F ( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0, G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ， 且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
F J (F,G) u
(u,v) G u
F v 0, G v P0
实质：无论 z是自变量 u 、 v的函数或中间变量 u 、 v的函数，它的全微分形式是一样的, 即
多元函数的基本概念(130)
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dz z dxzdy x y
uzu xvzxvdx uzuyvzvydy
uzuxdxuydy vzxvdxvydy
z du z dv.
u
v
多元函数的基本概念(130)
x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看 成 x , z 的 函 数 对 z 求 偏 导 数 得
1
fu
(
y z
1)
fv(xy
xz
y), z
整理得
y 1 fu xyfv .
z
fu xzfv
多元函数的基本概念(130)
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隐函数存在定理 3 设F ( x, y,u,v)、G( x, y,u,v)在
v1(F ,G )F u F y F u F v. y J(u ,y) G u G y G u G v
多元函数的基本概念(130)
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例5 设 xu yv 0， yu xv 1，
求 u，u，v 和v . x y x y
解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法，
将所给方程的两边对 x求导并移项
x
x
zfuf, x ux x
两者的区别
v 0, w 1.
y
y
区
zf uf. y u y y
别 类 似
把 z f (u, x, y)
把复合函数 z f [( x, y), x, y] 中 中 的 u 及 y 看 作 不
的 y 看作不变而对 x的偏导数 变 而 对 x 的 偏 导 数
多元函数的基本概念(130)
w x
f uf v u x v x
f1
yzf2;
多元函数的基本概念(130)
11
2w xz
z ( f1 yzf2 )
f1 z
yf2
yzf2 z
;
f1 z
f1 uf1 v u z v z
f11xyf12;
f2 z
f2 uf2 v u z v z
f21xyf22;
于是
2w xz
f 1 1 x y f 1 2 y f 2 y z (f 2 1 x y f 2 2 )
第7章 多元函数微分法及其 应用
7.2.2 复合函数与隐函数的偏导数 7.2.3 方向导数与梯度
7.2.2 复合函数与隐函数的偏导数
复合函数的偏导数:
定理 如果函数 u (t) 及 v (t) 都在点t 可导，
函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数 z f [(t), (t)] 在对应点t 可导，且
14
例4
已知 e xy 2z ez 0 ，求 z
和
z
.
x y
解 Q d (e x y 2 z e z) 0 ,
e x y d ( x y ) 2 d z e z d z 0 ,
(e z 2 )d z e x y(x d y y d x )
yexy
xexy
dz(ez2)dx(ez
dy 2)
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
多元函数的基本概念(130)
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类似地，设 u (x, y) 、v ( x, y)、w w( x, y) 都在点( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，则复合函数
z f [( x, y), ( x, y), w( x, y)]
8
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y， 求 z 和z . x y
解 z z u z v x u x v x
eusinvyeuco sv1eu(ysinvcosv),
z y
z u
u y
z v
v y
e u s in v x e u c o sv 1eu(xsinvcosv).
xv x2
yy2u,
v y
xx2uyy2v.
多元函数的基本概念(130)
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例 2 设 z uv sin t ，而 u et ，v cos t ，
dz 求全导数 dt .
解
dz z du z dv z
dt udt v dt t
vetu sin tco st
e tc o st e ts in t c o st
et(co stsint)co st.
把 z 看 成 x , y 的 函 数 对 x 求 偏 导 数 得
z x
fu (1
z ) x
fv(yzxyxz),
整理得
z fu yzfv , x 1 fu xyfv
多元函数的基本概念(130)
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把 x看成 z, y的函数对 y 求偏导数得
0
fu
(
x y
1)
fv
(xz
yz
x), y
整理得
则
Fx(x,
y)
x x2
y y2
,
Fy(x,
y)
yx x2 y2
,
dy dx
F
x
F
y
x y. y x
多元函数的基本概念(130)
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隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在 P0( x0 , y0 , z0 )
点的某一邻域内具有连续偏导数，且 F ( x0, y0, z0 ) 0， Fz( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F ( x, y, z) 0在点 P0 的某一 邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导
在对应点( x, y)的两个偏导数存在，且有计算公式：
zzuzvzw, x ux vx wx
z
zzuzvzw. y uy vy wy
ux v wy
多元函数的基本概念(130)
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特殊地 zf(u ,x ,y) 其中 u(x,y) 即 zf[(x ,y),x ,y], 令 vx, wy,
v 1, w 0,
则 பைடு நூலகம்x 2x,
Fz2z4,
z Fx x , x Fz 2z
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2z) x x
2z (2 z)2
(2z)2 x2 (2z)3
.
多元函数的基本概念(130)
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例 4 设z f ( x y z, xyz)，求 z ，x ，y . x y z
思路 (1) 代入公式求解；
u1(F ,G )F x F v F u F v , x J(x,v) G x G v G u G v
多元函数的基本概念(130)
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v1(F ,G )F u F x F u F v , x J(u ,x) G u G x G u G v u1(F ,G )F y F v F u F v, y J(y,v) G y G v G u G v
（2） 把z看成 x, y的函数对 x求偏导数得 z ， x
把 x看成z, y的函数对 y 求偏导数得 x ， y
把 y 看成 x, z的函数对z求偏导数得 y . z
多元函数的基本概念(130)
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解 令 u x y z ,vxy, z则
z f ( u ,v ) f ( x + y z ,x y z ) .
某一邻域内唯一确定一个单值连续且具有连续导数
的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx(x, y) . dx Fy(x, y)
多元函数的基本概念(130)
隐函数的求导公式
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例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域
内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1的隐
其导数可用下列公式计算： dz z duz dv. dt udt vdt
多元函数的基本概念(130)
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证 设t获得增t量 ，则
u (t t) (t), v ( t t)( t);