方向导数与梯度
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第六节 方向导数与梯度
f x ( x, y) , f y ( x, y) 是 沿 x 轴正向 及 y 轴正向的变化率 .
讨论函数 z f ( x , y ) 在一点 P0 沿任意方
向的变化率问题就是方向导数问题．
设函数 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域U ( P ) 内有定义． 设 e cos i cos j 为一单位
1 3
f l
( 0,0 )
f ( ta , tb) f (0,0) ( t 2ab) lim lim . t 0 t 0 t t
此例同时也说明函数在一点连续也未必能推 出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在.
(2) 函数在一点处沿各方向的方向导数都存在，
也未必在该点处连续.
z f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ), 考虑
当 P 沿着 l 趋于P0 时，
z
t
,
f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ) 是否存在？ lim t 0 t
1、方向导数的定义
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点P ( x0 , y0 )的某个邻 域内有定义 , l 是一非零向量 , el (cos , cos ) 是与 l 同方向的单位向量 , 如果极限 f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) lim t 0 t 存在 , 则称这极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 沿 f 方向 l 的方向导数 , 记为 ,即 l ( x0，y0 )
有何意义?
二阶方向导数几何意义：
2 f 的近旁 的 0 ，则说明在 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) l l 2 切线斜率沿 el 方向单调增加，曲线为下凸；
9.7 方向导数与梯度(新)
， 不 存 在.
同理，
( 0 ,0 )
不 存 在 ， 故 两 个 偏 导 数 均 不 存 在.
沿 任 意 方 向 l { x , y}的 方 向 导 数 z l
( 0 ,0 )
lim
f ( x , y ) f (0 , 0 )
(1) 0， 即 ， 向 量 e l 与 梯 度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) 方 向 相 同 时 ， z f ( x, y ) 在 此 方 向 的 方 向 导 数 达 到 最 大 值 ， 且 最 大 值 为 | grad f ( x0 , y0 ) | .
12
( 2 ) ， 即 ， 向 量 el 与 梯 度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) 方 向 相 反 时 ， z f ( x, y) 在 此 方 向 的 方 向 导 数 达 到 最 小 值 ， 且 最 小 值 为 | g ra d f ( x0 , y0 ) | .
2 2 2
,
( x) ( y ) ( z ) ，
设 方 向 l 的 方 向 角 为 , , ， x co s ， y co s ， z co s .
同 理 ： 当 f ( x, y, z ) 在 此 点 可 微 时 ， 则 在 该 点 沿 任 意 方 向 l的 方 向 导 数 都 存 在 ， 且 f l f x co s f y co s f z co s .
3 4
或
7 4
.
15
梯度的概念可以推广到三元函数
三 元 函 数 u f ( x, y, z ) 在 空 间 区 域 G 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 对 于 每 一 点 P ( x , y , z ) G， 都 可 定 义 一 个 向 量 (梯 度 )
8-7 方向导数与梯度
fx (1, 1, 1) =1 , fy(1, 1, 1)=2 , fz(1, 1, 1)=3
f ∴ l
P
2 1 1 2 = 1 + 2 ( ) + 3 = 3 3 3 3
f f f f cos α + cos β + cos γ = 方向导数公式 l x y z
二,梯度
f = G l 0 = G cos( G , l 0 ) ( l 0 = 1 ) l 0 方向导数取最大值: 当 l 与 G 方向一致时 , 方向导数取最大值:
ρ
的方向导数. 则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数 l
定理: 定理 若函数 f ( x, y) 在点P( x, y) 处可微, 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f f cosα + cos β = l x y
l
证明: 证明 由函数 f ( x, y) 在点 P 可微 , 得
f f f= x+ y + o(ρ ) x y
=ρ (
P′ ρ P( x, y)
) + o (ρ )
f f f f = lim 故 l ρ →0 ρ = x cosα + y cos β
对于可微的函数 f ( x, y),在点P( x, y)处沿方向l (向角为α , β ) 的方向导数为 的方向导数为 向角为
内容小结 1. 方向导数 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 方向角
为α, β, γ ) 的方向导数为 f f f f = cosα + cos β + cosγ l x y z
二元函数 在点 沿方向 l (方向角为 方向角为
α, β )的方向导数为
方向导数和梯度
方向导数和梯度
本节的研究目的
研究标量场的变化率。最大变化率？
本节的研究内容
一、方向导数 二、梯度
一、方向导数
1. 方向导数的定义
l
P
P0
l
u lim u lim u(P) u(P0 )
l l PP0 P0
P P0
l
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
一、方向导数
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
u u cos u cos u cos
l x
y
z
函数 u(P) 从给定点出发有无穷多个变化方向，其 中哪个方向的变化率最大？
最大变化率是多少？
一、方向导数
u u cos u cos u cos
l x
y
z
令：
g
u x
ex
u y
ey
u z
ez
el
ex
cos
ey
cos
ez
cos
u l
g
el
g el cos(g, el ) g cos(g, el )
cos(g, el ) 1
u g 方向导数取得最大值
l
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
1. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐导数；
3. 梯度的方向为该点方向导数最大的方向；
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
4. 梯度描述标量场中任一点函数值在该点附近增 减性质的量，沿着梯度的方向，函数值增加或 减小得最快；
本节的研究目的
研究标量场的变化率。最大变化率？
本节的研究内容
一、方向导数 二、梯度
一、方向导数
1. 方向导数的定义
l
P
P0
l
u lim u lim u(P) u(P0 )
l l PP0 P0
P P0
l
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
一、方向导数
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
u u cos u cos u cos
l x
y
z
函数 u(P) 从给定点出发有无穷多个变化方向，其 中哪个方向的变化率最大？
最大变化率是多少？
一、方向导数
u u cos u cos u cos
l x
y
z
令：
g
u x
ex
u y
ey
u z
ez
el
ex
cos
ey
cos
ez
cos
u l
g
el
g el cos(g, el ) g cos(g, el )
cos(g, el ) 1
u g 方向导数取得最大值
l
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
1. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐导数；
3. 梯度的方向为该点方向导数最大的方向；
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
4. 梯度描述标量场中任一点函数值在该点附近增 减性质的量，沿着梯度的方向，函数值增加或 减小得最快；
方向导数与梯度
其中
e l = (cos α , cos β , cos γ )
例3 n 是2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 6 在 (1,1,1) 处指向外侧的法向量， 处指向外侧的法向量，
6 x 2 + 8 y 2 在该点沿 的方向导数. 求u = n 的方向导数. z | n |= 14 n = ( 2 x ,3 y , z ) (1,1,1) = ( 2,3,1) 解 1 2 3 cos α = cos γ = cos β = 14 14 14 6 8 6x 6x 8y u x ( 1 ,1 , 1 ) = = = uy = ( 1 , 1 ,1 ) 14 14 z 6x2 + 8 y2 z 6x2 + 8 y2
zx
( 1, 0 )
=e
2y
=1
zy
( 1, 0 )
= 2 xe 2 y
( 1, 0 )
=2
∂f ∂l
( 1, 0 )
1 1 2 = 1⋅ ) =− − + 2 ⋅ (− 2 2 2
例2 求 z = 3 x 2 y − y 2 切线方向（ 增大方向） 沿曲线在该点处切线方向（ x 增大方向）的 方向导数. 方向导数. 解
l = (1,0)
∂f ∂l ∂f
l = (−1,0) −
∂l
f x (0,0) = lim t →0
lim f ( t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) lim f ( − t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 = t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) f ( t ,0) − f (0,0) = lim | t | 不存在 t →0+ t t
高等数学课件第八章方向导数与梯度
M (1,1,1) 处切线的方向向量
2. P73 题 16
P51 2，3，6，7，8，9，10
作业
备用题 1.
函数
在点
处的梯度
解:
则
注意 x , y , z 具有轮换对称性
(92考研)
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 .
在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
记作
(gradient),
在点
处的梯度
说明:
函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
向量
2. 梯度的几何意义
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
称为函数 f 的等值线 .
则L*上点P 处的法向量为
同样, 对应函数
有等值面(等量面)
当各偏导数不同时为零时,
其上
点P处的法向量为
指向函数增大的方向.
偏导数存在
•
• 可微
梯度在方向 l 上的投影.
思考与练习
1. 设函数
(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数;
(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
2. P73 题 16
曲线
1. (1)
在点
解答提示:
函数沿 l 的方向导数
得
故
对于二元函数
为, ) 的方向导数为
特别:
• 当 l 与 x 轴同向
• 当 l 与 x 轴反向
向角
例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
2. P73 题 16
P51 2，3，6，7，8，9，10
作业
备用题 1.
函数
在点
处的梯度
解:
则
注意 x , y , z 具有轮换对称性
(92考研)
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 .
在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
记作
(gradient),
在点
处的梯度
说明:
函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
向量
2. 梯度的几何意义
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
称为函数 f 的等值线 .
则L*上点P 处的法向量为
同样, 对应函数
有等值面(等量面)
当各偏导数不同时为零时,
其上
点P处的法向量为
指向函数增大的方向.
偏导数存在
•
• 可微
梯度在方向 l 上的投影.
思考与练习
1. 设函数
(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数;
(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
2. P73 题 16
曲线
1. (1)
在点
解答提示:
函数沿 l 的方向导数
得
故
对于二元函数
为, ) 的方向导数为
特别:
• 当 l 与 x 轴同向
• 当 l 与 x 轴反向
向角
例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
8-7 方向导数与梯度
z
z f ( x, y)
G
F
M0
E
o p
x
0
y
p
z l
l
是用过射线l且垂直于xoy面的半平面
P0
截曲面z f ( x , y )所得曲线在点M 0处的半 切线M 0 N相对于射线l的斜率.
二、方向导数的计算
定理：如果z f ( x , y )在点( x0 , y0 )可微，那 么函数在该点沿任一方 向的方向导数都存在. 且
{ f x , f y , f z } gradf
M
f ( x, y, z ) C
第七节 方向导数与梯度
要点:
f 方向导数的定义: l
p0
lim
沿l
f ( p) f ( p0 ) p0 p
p p0
lim
0
z
f 意义: f . p0 反映函数 在点 p0沿方向l的瞬时变化率 l 方向导数与偏导数的联系与区别.
2 2
的方向导数最大？
解: 梯度向量 grad z { z , z } ( 0 ,1) x y { 2 x , 2 y } ( 0 ,1 )
z
z x2 y2
{0,2}
o
x
(0,1) {0,2}
y
{1,0}
z x 2 y 2在点(0,1)沿着梯度向量{0，}方向 2 （即y轴正向）的方向导数最 大, 最大值为 . 2
o z z 梯度向量 grad z { , } ( 0 ,1) x x y {2 x ,2 y } ( 0,1) {0,2}
2 2
2.5 方向导数与梯度
| y | ( 0 , 0 ) lim y 0 y
z 同理： y
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向l { x, y}的方向导数,
z l
( 0,0 )
lim
f ( x , y ) f (0,0)
0
( x ) 2 ( y ) 2 lim 1 2 2 0 ( x ) ( y )
显然f x , f y是f ( x , y )沿x , y轴的方向导数 沿x , y轴正向时为f x , f y ;负向时为 f x , f y .
f 2. 的存在定理 l 若z f ( x , y)在P ( x , y)可微,
则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且 f f x cos f y cos , l 其中cos , cos 为方向l 的方向余弦. y Proof. z f ( x, y)可微, P y1 z f x x f y y o( ), P x z x y o( ) fx fy , o
u cos cos l (1,1)
此时
2
u 从而 2 cos( ) l (1,1) 4
u 显然当 时, 4 l (max)
2,
u 当 时, 0, 4 2 l
而gradu i j ,
即
r cos cos sin sin cos( ) l r r 且当 时, 1;当 时, 0. l 2 l
二. 梯度
定义 设函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有 一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x , y ) D ，
z 同理： y
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向l { x, y}的方向导数,
z l
( 0,0 )
lim
f ( x , y ) f (0,0)
0
( x ) 2 ( y ) 2 lim 1 2 2 0 ( x ) ( y )
显然f x , f y是f ( x , y )沿x , y轴的方向导数 沿x , y轴正向时为f x , f y ;负向时为 f x , f y .
f 2. 的存在定理 l 若z f ( x , y)在P ( x , y)可微,
则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且 f f x cos f y cos , l 其中cos , cos 为方向l 的方向余弦. y Proof. z f ( x, y)可微, P y1 z f x x f y y o( ), P x z x y o( ) fx fy , o
u cos cos l (1,1)
此时
2
u 从而 2 cos( ) l (1,1) 4
u 显然当 时, 4 l (max)
2,
u 当 时, 0, 4 2 l
而gradu i j ,
即
r cos cos sin sin cos( ) l r r 且当 时, 1;当 时, 0. l 2 l
二. 梯度
定义 设函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有 一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x , y ) D ，
方向导数与梯度
17
三、物理意义
数性函数) 数量场 (数性函数 数性函数 函数 场 温度场, 如: 温度场 电位场等 向量场(矢性函数 矢性函数) 向量场 矢性函数 如: 力场 速度场等 力场,速度场等 可微函数 f (P) (势) 梯度场 grad f (P) (向量场 向量场) 向量场 (物理量的分布 物理量的分布) 物理量的分布
∂f ∂f ∂f , , = ∂ x ∂ y ∂z
同样可定义二元函数 在点P( x, y)处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 方向导数为梯度在该方向上的投影 2. 梯度的几何意义
12
z = f ( x, y) 对函数 z = f ( x, y), 曲线 在 xoy 面上的投 z =C * 影L : f ( x, y) = C 称为函数 f 的等值线 .
二.梯度
, 方向导数取最大值： 当l 0 与G方向一致时 方向导数取最大值： ∂f )= G m ( ax ∂l 方向： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
11
1. 定义 向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 处的梯度 记作 grad f , 即
grad f (r) = f ′(r)r 0
gradu = (
q 4π ε r
)′
r =−
0
q 4π ε r
r 0 = −E 2
这说明场强: 垂直于等位面, 这说明场强 垂直于等位面 且指向电位减少的方向. 且指向电位减少的方向
19
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f ∂f ∂f grad f = , , ∂x ∂ y ∂z • 二元函数 在点 处的梯度为 grad f = ( f x ( x, y) , f y ( x, y))
三、物理意义
数性函数) 数量场 (数性函数 数性函数 函数 场 温度场, 如: 温度场 电位场等 向量场(矢性函数 矢性函数) 向量场 矢性函数 如: 力场 速度场等 力场,速度场等 可微函数 f (P) (势) 梯度场 grad f (P) (向量场 向量场) 向量场 (物理量的分布 物理量的分布) 物理量的分布
∂f ∂f ∂f , , = ∂ x ∂ y ∂z
同样可定义二元函数 在点P( x, y)处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 方向导数为梯度在该方向上的投影 2. 梯度的几何意义
12
z = f ( x, y) 对函数 z = f ( x, y), 曲线 在 xoy 面上的投 z =C * 影L : f ( x, y) = C 称为函数 f 的等值线 .
二.梯度
, 方向导数取最大值： 当l 0 与G方向一致时 方向导数取最大值： ∂f )= G m ( ax ∂l 方向： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
11
1. 定义 向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 处的梯度 记作 grad f , 即
grad f (r) = f ′(r)r 0
gradu = (
q 4π ε r
)′
r =−
0
q 4π ε r
r 0 = −E 2
这说明场强: 垂直于等位面, 这说明场强 垂直于等位面 且指向电位减少的方向. 且指向电位减少的方向
19
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f ∂f ∂f grad f = , , ∂x ∂ y ∂z • 二元函数 在点 处的梯度为 grad f = ( f x ( x, y) , f y ( x, y))
8.5 方向导数与梯度
§8.5 方向导数与梯度
一 方向导数 二 梯度
一 方向导数
1 定义
定义1 设函数
f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 )
的某个邻域内有
定义，设 l 是一单位向量，记为 l
P P0
cos , cos .
y
若极限
lim
f ( P ) f ( P0 ) PP 0
lim
0
f ( x 0 cos , y 0 cos ) f ( x 0 , y 0 )
则称此极限值为 f ( x , y ) 在点 P0 处 存在，
沿方向 l 的方向导数， 记为
f l
P0
P
。
o
P0
x
注：
f x
P0
存在
f ( x, y )
在点 P0 处沿 x 轴正方向
) (2)
4 3 3
.
例3 设 n 是椭球面 2 x 2 3 y 2 z 2 处的内法向量，求u 的方向导数。 解
u x 6x z 6x 8y
2 2
6
在点 P (1, 1, 1)
6x 8y
2
2
z
在点 P 处沿方向 n
,
u x
P ( 1 ,1 , 1 )
grad f
2 x 3 , 4 y 2 , 6 z ,
5 , 2 , 12 .
grad f
P
2 x 3 , 4 y 2 , 6 z (1,1, 2 )
（2） f ( x , y , z ) 在点 P 处沿梯度方向的方向导数是
一 方向导数 二 梯度
一 方向导数
1 定义
定义1 设函数
f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 )
的某个邻域内有
定义，设 l 是一单位向量，记为 l
P P0
cos , cos .
y
若极限
lim
f ( P ) f ( P0 ) PP 0
lim
0
f ( x 0 cos , y 0 cos ) f ( x 0 , y 0 )
则称此极限值为 f ( x , y ) 在点 P0 处 存在，
沿方向 l 的方向导数， 记为
f l
P0
P
。
o
P0
x
注：
f x
P0
存在
f ( x, y )
在点 P0 处沿 x 轴正方向
) (2)
4 3 3
.
例3 设 n 是椭球面 2 x 2 3 y 2 z 2 处的内法向量，求u 的方向导数。 解
u x 6x z 6x 8y
2 2
6
在点 P (1, 1, 1)
6x 8y
2
2
z
在点 P 处沿方向 n
,
u x
P ( 1 ,1 , 1 )
grad f
2 x 3 , 4 y 2 , 6 z ,
5 , 2 , 12 .
grad f
P
2 x 3 , 4 y 2 , 6 z (1,1, 2 )
（2） f ( x , y , z ) 在点 P 处沿梯度方向的方向导数是
高数 8-7方向导数与梯度~
的极值. 的极值.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
A
在点(1,0) 处 在点
AC −B2 =12×6 > 0, A > 0,
为极小值; 为极小值;
在点(1,2) 处 在点
AC −B2 =12×(−6) < 0,
y
P
o
2x −1
60 = 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处 处 在点P 在点 处沿
指向外侧的法向量, 指向外侧的法向量 求函数 方向 n 的方向导数 的方向导数. 解:
n = (4x , 6y , 2z) P = 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cosα = , cos β = , cosγ = 14 14 14 ∂u 6x 6 = = 而 2 2 P ∂x P z 6x + 8y 14
ϕx ϕy
fx
=
fy
=− λ
极值点必满足
f x + λϕx = 0 f y + λϕy = 0 ϕ(x, y) = 0
引入辅助函数 F = f (x, y) + λϕ(x, y) 则极值点满足: 则极值点满足
辅助函数F 称为拉格朗日( 函数.利用拉格 辅助函数 称为拉格朗日 Lagrange )函数 利用拉格 函数 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 拉格朗日乘数法
当l 与G方 一 时, 方向导数取最大值： 向 致 方向导数取最大值： ∂f )= G max ( ∂l 方向： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
方向导数和梯度课件
方向导数和梯度的应用领域
方向导数和梯度广泛应用于物理、工程、经济和计算机科学等领域，为我们理解和解决复杂问题提供了重要的 工具。
实际问题的应用案例
通过应用方向导数和梯度的方法，我们可以在实际问题中找到最优解、改进 算法和优化系统等诸多应用。
探索方向导数和梯度的未来发展方向
方向导数和梯度作为数学中的重要概念，尚存在很多研究方向和待解决的问题，我们对它们的深入研究具有重 要意义。
方向导数的物理意义
方向导数可以用来描述物理领域中的梯度、速度和加速度等概念，从而揭示了物理现象的本质。
方向导数的计算方法
方向导数可以通过梯度向量和给定方向的点乘来计算，也可、非负性以及与梯度方向垂直等多个重要性质，这些性质使得它在实际问题中具有广泛的 应用价值。
方向导数和梯度ppt课件
方向导数和梯度是数学中重要的概念，本课件将详细介绍它们的定义、计算 方法、性质以及实际应用案例。
什么是方向导数？
方向导数是一个矢量在某一方向上的变化率，衡量了函数在这个方向上的变 化速度。
方向导数的定义
方向导数可以通过对点P附近的函数进行极限计算得到，它表示了函数在某一点上的变化速率。
梯度的性质
梯度有着与方向导数类似的性质，包括线性性、非负性和与等值线垂直等特 点，这些性质使得梯度在优化问题中有着重要的应用。
梯度的理解和应用
梯度可以帮助我们理解函数的变化规律，从而用于解决最优化问题和优化算 法中的迭代过程。
方向导数与梯度的关系
方向导数和梯度之间有着密切的联系，它们在数学和物理问题中都有重要的应用。
各种方向导数的关系
在不同的坐标系下，方向导数的计算方法和具体表达式会有所差异，了解它 们之间的关系对于解决实际问题很有帮助。
方向导数与梯度
P0
cos , cos 为l 的方向余弦
f l
f x ( x0 , y0 ) cos f y ( x0 , y0 ) cos
P0
例 考虑函数 z x y , 定点P0(3,1), P1(2,3).求
3 2
函数在 P0沿 P0 P1 方向的方向导数. 解 zx
( 3 ,1 )
f ( x x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ), f lim x x i x 0 y
同理 f ( x, y )沿y轴正向
j (0,1) 的方向导数存在,
且值为 f y .
O
x 0
y 0
( x, y) ( x x, y)
O
x
lim 定义如果极限 P P lim
0
f ( x x , y y ) f ( x , y )
存在,
则将这个极限值称为函数在点 P沿方向l 的方向导数 ,
P P
lim
f ( P) f ( P )
lim
0
y
f ( x x , y y ) f ( x , y )
8.7 方向导数与梯度
一、 方向导数的概念 二、 梯度的定义和方向导数的计算 三、 小结 思考题
一、方向导数定义与计算公式
y
实例
T T ( x, y) k x2 y2
( 1, 3 )
( 1, 1 )
( 5, 3 )
( 5, 1 )
o
x
问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
cos , cos 为l 的方向余弦
f l
f x ( x0 , y0 ) cos f y ( x0 , y0 ) cos
P0
例 考虑函数 z x y , 定点P0(3,1), P1(2,3).求
3 2
函数在 P0沿 P0 P1 方向的方向导数. 解 zx
( 3 ,1 )
f ( x x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ), f lim x x i x 0 y
同理 f ( x, y )沿y轴正向
j (0,1) 的方向导数存在,
且值为 f y .
O
x 0
y 0
( x, y) ( x x, y)
O
x
lim 定义如果极限 P P lim
0
f ( x x , y y ) f ( x , y )
存在,
则将这个极限值称为函数在点 P沿方向l 的方向导数 ,
P P
lim
f ( P) f ( P )
lim
0
y
f ( x x , y y ) f ( x , y )
8.7 方向导数与梯度
一、 方向导数的概念 二、 梯度的定义和方向导数的计算 三、 小结 思考题
一、方向导数定义与计算公式
y
实例
T T ( x, y) k x2 y2
( 1, 3 )
( 1, 1 )
( 5, 3 )
( 5, 1 )
o
x
问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
方向导数与梯度
方向导数与梯度在多变量微积分和优化理论中，方向导数和梯度是两个重要的概念。
它们提供了函数在某一点处关于不同方向的信息，以及函数在该点处的变化率和方向。
理解这两个概念对于解决各种实际问题，如最优控制、机器学习、图像处理等都至关重要。
方向导数是函数在某一点处沿特定方向的变化率。
给定一个函数f(x)在点x0，对于任意的方向v = (h1, h2,..., hn)，方向导数Df(x0)v 是f(x)在x0处沿v方向的变化率。
具体地，Df(x0)v = lim(h->0) [f(x0 + hv) - f(x0)] / h。
方向导数的重要性在于它提供了函数在某一点处对不同方向的敏感度。
例如，如果你在山峰上沿着不同的方向行走，方向导数可以告诉你哪个方向更容易攀登，哪个方向更困难。
梯度是函数在某一点处所有方向导数的向量。
给定一个函数f(x)在点x0，梯度gradf(x0)是一个向量，其方向是f(x)在x0处增加最快的方向，而其大小是f(x)在该方向的导数。
具体地，gradf(x0) = (f'(x01), f'(x02),..., f'(xn))。
梯度是一个非常重要的概念，因为它提供了函数在某一点处的最大变化率方向。
在很多实际问题中，找到这个最大变化率方向往往能够指引我们找到最优解。
例如，如果你在山峰上寻找攀登最快的方式，梯度可以告诉你应该沿着哪个方向前进。
梯度是方向导数的最大值。
换句话说，对于任意给定的方向v，方向导数Df(x0)v都不超过梯度的长度。
这是因为梯度是所有方向导数向量的范数，即||gradf(x0)|| = max{Df(x0)v : ||v|| = 1}。
这个性质表明，梯度不仅提供了函数在某一点处的最大变化率方向，还给出了沿这个方向的导数（即变化率）。
这使得梯度在优化问题中具有特别的重要性，因为它可以用来找到使函数值下降最快的方向。
方向导数和梯度是多变量微积分和优化理论中的重要概念。
方向导数与梯度
方向导数与梯度
1. 基本概念
方向导数：是一个数；反映的是f(x,y)在P0点沿方向v 的变化率。
偏导数：是多个数（每元有一个）；是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数，因此二元函数就有两个偏导数。
偏导函数：是一个函数；是一个关于点的偏导数的函数。
梯度：是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。
2. 方向导数
反映的是f(x,y)在P0点沿方向v的变化率。
例子如下：
2.0 方向导数计算公式
2.1 偏导数
2.2 二元函数偏导数的几何意义
2.3 偏导函数
偏导数与偏导函数的关系：
偏导数是偏导函数在指定点的函数值，因此在求偏导数时，也可先求出偏导函数，然后再将点代入偏导函数，从而求出函数在此点的偏导数。
3. 全微分
4. 梯度
梯度是一个向量；既有大小，也有方向。
4.1 几何意义
函数z=f(x,y)在点P0处的梯度方向是函数变化率(即方向导数)最大的方向。
梯度的方向就是函数f(x,y)在这点增长最快的方向，梯度的模为方向导数的最大值。
8-7 方向导数与梯度
两边同除以 (即t ), 得到
f ( x t cos , y t sin ) f ( x , y ) t
f x
cos
f y
sin
o( ) t
故有方向导数为:
lim
t 0
f ( x t cos , y t sin ) f ( x , y )
f l
( x0 , y0 )
lim
t 0
f ( x0 t cos , y0 t sin ) f ( x0 , y0 ) t
y)在点P沿着x轴正向 i =(1,
.
依定义, 函数z=f(x, 0), y 轴正向 j =(0, 1)的方向导数分别为 fx, fy. 沿着x轴负向, y轴负向的方向导数分别为 -fx, -fy.
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
类 似 地 ,设 曲 面 f ( x , y , z ) c 为 函 数 u f ( x , y , z ) 的 等 量 面 ，此 函 数 在点 P ( x, y, z)的 梯 度 的 方 向 与 过 点 P 的 等 量 面 f ( x, y, z) c 在 这 点 的 法 线 的 一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数.
lim f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 )
0
x x 0 t cos l: y y 0 t sin
是否存在？
(t 0)
l 的参数方程为:
P(x0+tcos, y0+tsin)为 l 上的另一点, 且PU(P).
3 方向导数与梯度
想一想，为什么？
即使 l 的方向与 x 轴， y 轴的正方向一致时，方向 导数与偏导数的概念也是不同的.
怎样计算方向导数？
X
X0
0 l
l
X x, y, z x x0 cos X X0 y y0 cos Y Y0
z z0 cos Z Z0
o
f ( x , y ) c1x
例 3 设 f x , y , z xy 2 yz 3 , 求 f 在点 p0 2, 1,1 处 的梯度及它的模.
解 由于 f x p0 1, f y p0 3, f z p0 3, 所以
grad f p0 1, 3, 3 ,
x 0
A
x
x x
C
f x
z
R 中
3
z f x
f P f P0 lim P P0 PP0
f x 沿 l 方向的方向导数
0
.
O
0 l
P
.
l
P0 y
x
一、方向导数的定义
U P0 R 内有定义， l 为从点 P0 出发的射线，
3
当 l 的方向为 x 轴的负方向时，则有
P0
f x
P0
利用直线方程可将方向导数的定义表示为:
f X 0 te f X 0 u lim l t 0 t
x x 0 y y0 z z 0 射线 l 的方程为 t cos cos cos
f l P0 f x P0 cos f y P0 cos f z P0 cos
方向导数与梯度
最大增长率为多少? 解 f ( x , y )在点P(2,0)处沿 梯度方向具有最大的 增长率, 梯度方向为 grad f (2,0) ( f x , f yxe ) ( 2 ,0 ) (1,2)
y y
最大的增长率为: | grad f
|( 2,0) 1 22 5
函数在 P0沿 P0 P1 方向的方向导数. 解 zx
( 3 ,1 )
3x2 y2
3
( 3 ,1)
27,
P0 P1 ( 1,2),
| P0 P1 | 5 ,
zy
z l
( 3 ,1 )
2 x y ( 3,1) 54
P0
1 2 81 ) 54 27 ( 5 5 5
u 6 x 2 8 y 2 14 . z P z2 P
u u u u 11 ( cos cos cos ) . 故 7 n P x y z P
20
求函数 u
x
2
f f f f cos cos cos l x y z
18
x2 y2 z2 已知数量场u( x , y , z ) 2 2 2 , a b c
2 2 2 6 在点P (1,1,1) n 2 x 3 y z 设 是曲面 2 2 6x 8 y , 处指向外侧的法向量 求函数u z 在P点处沿方向n的方向导数.
解 令 F ( x, y, z ) 2 x 2 3 y 2 z 2 6
P0
f f cos cos . x P0 y P0
方向导数存在
偏导数存在
5
方向导数与偏导数的关系
i (1,0) 的方向导数存在, 且值为f x .
y y
最大的增长率为: | grad f
|( 2,0) 1 22 5
函数在 P0沿 P0 P1 方向的方向导数. 解 zx
( 3 ,1 )
3x2 y2
3
( 3 ,1)
27,
P0 P1 ( 1,2),
| P0 P1 | 5 ,
zy
z l
( 3 ,1 )
2 x y ( 3,1) 54
P0
1 2 81 ) 54 27 ( 5 5 5
u 6 x 2 8 y 2 14 . z P z2 P
u u u u 11 ( cos cos cos ) . 故 7 n P x y z P
20
求函数 u
x
2
f f f f cos cos cos l x y z
18
x2 y2 z2 已知数量场u( x , y , z ) 2 2 2 , a b c
2 2 2 6 在点P (1,1,1) n 2 x 3 y z 设 是曲面 2 2 6x 8 y , 处指向外侧的法向量 求函数u z 在P点处沿方向n的方向导数.
解 令 F ( x, y, z ) 2 x 2 3 y 2 z 2 6
P0
f f cos cos . x P0 y P0
方向导数存在
偏导数存在
5
方向导数与偏导数的关系
i (1,0) 的方向导数存在, 且值为f x .
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设 x 轴正向到射线 l 的转角 为 , 并 设 P ′( x + x , y + y ) 为 l 上的另一点且 P ′ ∈ U ( P ).
o
z= f (x, y) 在一点 沿某一方向的 = 在一点P沿某一方向的
y
x
l P′
y
P
x
∵ | PP ′ |= ρ = ( x )2 + ( y )2 ,
第七节 方向导数与梯度
一,方向导数 二,梯度
一,问题的提出
一块长方形的金属板, 一块长方形的金属板,受热 产生如图温度分布场. 产生如图温度分布场 设一个小虫在板中逃生至某 问该虫应沿什么方向爬行, 处, 问该虫应沿什么方向爬行, 才能最快到达凉快的地点? 才能最快到达凉快的地点? 问题的实质: 问题的实质: 实质 应沿由热变冷变化最剧烈的 方向爬行. 方向爬行.
故
π = cos α + sin α = 2 sin(α + ), 4
π (1)当α = 时,方向导数达到最大值 2 ; 4
5π π (2)当 α = 时, 方向导数达到最小值 2 ; 4 3π 7π π π (3)当α = 和α = 时, 方向导数等于 0. 4 4
所求方向导数
z π π = cos( ) + 2 sin( ) = 4 4 l
2 . 2
例2 求函数
f ( x , y ) = x xy + y轴方向夹角为 α 的方向射线 l 沿与 轴方向夹角为 在点 的方向导数. 的方向导数 并问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值 (2)最小值; (3)等于零? )最大值; )最小值; )等于零? 解
且 z = f ( x + x, y + y) f ( x, y),
考虑 z
y
x
l P′
ρ 当 P ′ 沿着 l 趋于P 时,
,
y
P
o
x
lim
ρ →0
f ( x + x , y + y ) f ( x , y )
ρ
是否存在? 是否存在?
定义 函数的增量 f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) 与PP ′ 两点间的距离 ρ = ( x )2 + ( y )2 之比值, 当 P ′ 沿着 l 趋于 P 时, 如果此比的极限存在, 则称这极限为函数在点 P 沿方向 l 的方向导数.
需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率, 需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率, 方向导数问题 从而确定出温度下降的最快方向 梯度问题 引入两个概念:方向导数和 引入两个概念:方向导数和梯度
二,方向导数
讨论函数 变化率问题. 变化率问题.
设函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的某一邻域 U ( P ) 内有定义,自点 P 引射线 l. 内有定义,
2 2
偏 导 数 存 在 沿 任 意 方 向 的 方 向 导 数 存 在.
方向导数的存在及计算公式 定理 如果函数 z = f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分, 可微分, 那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在, 那末函数在该点沿任意方向 的方向导数都存在, 的方向导数都存在 且有
f f f = cos + sin l x y
计算公式
轴到方向l的转角 的转角. 其中 为 x 轴到方向 的转角. 由于函数可微, 证明 由于函数可微,则增量可表示为 f f f ( x + x, y + y) f ( x, y) = x + y + o(ρ ) x y
f f f ( x + x, y + y) f ( x, y) = x + y + o( ρ ) x y 两边同除以 ρ , 得到
P
o x
y
l P′
记为
f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) f . = lim ρ l ρ → 0
i = {1,0}的方向导数为
f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) f . = lim ρ l ρ → 0 存在,则 若偏导 f x 存在 则 f ( x , y ) 在点 P 沿着 x 轴正向
若方向导数存在, 若方向导数存在,则偏 导数未必存在 .
例如,z = x + y 在O ( 0,0 ) 处沿l = i 方向的 z f 而偏导数 方向导数 = 1, (0 , 0 ) 不存在 . 0 ( 0,) x l f ( x , y ) f (0,0) z (0 原因: 原因:, 0 ) = lim ρ →0 l ρ 方向导数是单侧极限,而偏导数是双侧极限. 方向导数是单侧极限2,而偏导数是双侧极限 ( x ) + ( y ) 2 = lim =1 2 2 ρ → 0 ( x ) + ( y )
f l
由方向导数的计算公式知
= f x (1,1) cosα + f y (1,1) sin α
( 1 ,1 )
= ( 2 x y ) (1,1) cosα + ( 2 y x ) (1,1) sinα ,
f l
= f x (1,1) cosα + f y (1,1) sin α
( 1 ,1 )
0 f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) f f = = fx = lim x x ρ l ρ → 0 x
此时 ρ = x = x
同理,沿y轴正向e 2 = {0,1}的方向导数分别为 f y . 同理 沿 轴正向
轴负向, 沿着 x 轴负向, y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
f ( x + x, y + y) f ( x, y) f x f y o( ρ ) = + + ρ ρ x ρ y ρ
故有方向导数
sin f f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) = lim ρ →0 l ρ ρ
cos
l
f f = cos + sin . x y
y
x
例1
求函数 z = xe 在点 P (1,0) 处沿从点 P (1,0)
2y
到点 Q( 2,1) 的方向的方向导数.
方向l 解 方向 即为 PQ = {1, 1}
π 轴到方向l 故x轴到方向 的转角 = 轴到方向 4 z 2y z 2y ∵ = e (1, 0 ) = 1; = 2 xe (1, 0 ) = 2, x ( 1 , 0 ) y ( 1 , 0 )
o
z= f (x, y) 在一点 沿某一方向的 = 在一点P沿某一方向的
y
x
l P′
y
P
x
∵ | PP ′ |= ρ = ( x )2 + ( y )2 ,
第七节 方向导数与梯度
一,方向导数 二,梯度
一,问题的提出
一块长方形的金属板, 一块长方形的金属板,受热 产生如图温度分布场. 产生如图温度分布场 设一个小虫在板中逃生至某 问该虫应沿什么方向爬行, 处, 问该虫应沿什么方向爬行, 才能最快到达凉快的地点? 才能最快到达凉快的地点? 问题的实质: 问题的实质: 实质 应沿由热变冷变化最剧烈的 方向爬行. 方向爬行.
故
π = cos α + sin α = 2 sin(α + ), 4
π (1)当α = 时,方向导数达到最大值 2 ; 4
5π π (2)当 α = 时, 方向导数达到最小值 2 ; 4 3π 7π π π (3)当α = 和α = 时, 方向导数等于 0. 4 4
所求方向导数
z π π = cos( ) + 2 sin( ) = 4 4 l
2 . 2
例2 求函数
f ( x , y ) = x xy + y轴方向夹角为 α 的方向射线 l 沿与 轴方向夹角为 在点 的方向导数. 的方向导数 并问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值 (2)最小值; (3)等于零? )最大值; )最小值; )等于零? 解
且 z = f ( x + x, y + y) f ( x, y),
考虑 z
y
x
l P′
ρ 当 P ′ 沿着 l 趋于P 时,
,
y
P
o
x
lim
ρ →0
f ( x + x , y + y ) f ( x , y )
ρ
是否存在? 是否存在?
定义 函数的增量 f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) 与PP ′ 两点间的距离 ρ = ( x )2 + ( y )2 之比值, 当 P ′ 沿着 l 趋于 P 时, 如果此比的极限存在, 则称这极限为函数在点 P 沿方向 l 的方向导数.
需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率, 需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率, 方向导数问题 从而确定出温度下降的最快方向 梯度问题 引入两个概念:方向导数和 引入两个概念:方向导数和梯度
二,方向导数
讨论函数 变化率问题. 变化率问题.
设函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的某一邻域 U ( P ) 内有定义,自点 P 引射线 l. 内有定义,
2 2
偏 导 数 存 在 沿 任 意 方 向 的 方 向 导 数 存 在.
方向导数的存在及计算公式 定理 如果函数 z = f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分, 可微分, 那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在, 那末函数在该点沿任意方向 的方向导数都存在, 的方向导数都存在 且有
f f f = cos + sin l x y
计算公式
轴到方向l的转角 的转角. 其中 为 x 轴到方向 的转角. 由于函数可微, 证明 由于函数可微,则增量可表示为 f f f ( x + x, y + y) f ( x, y) = x + y + o(ρ ) x y
f f f ( x + x, y + y) f ( x, y) = x + y + o( ρ ) x y 两边同除以 ρ , 得到
P
o x
y
l P′
记为
f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) f . = lim ρ l ρ → 0
i = {1,0}的方向导数为
f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) f . = lim ρ l ρ → 0 存在,则 若偏导 f x 存在 则 f ( x , y ) 在点 P 沿着 x 轴正向
若方向导数存在, 若方向导数存在,则偏 导数未必存在 .
例如,z = x + y 在O ( 0,0 ) 处沿l = i 方向的 z f 而偏导数 方向导数 = 1, (0 , 0 ) 不存在 . 0 ( 0,) x l f ( x , y ) f (0,0) z (0 原因: 原因:, 0 ) = lim ρ →0 l ρ 方向导数是单侧极限,而偏导数是双侧极限. 方向导数是单侧极限2,而偏导数是双侧极限 ( x ) + ( y ) 2 = lim =1 2 2 ρ → 0 ( x ) + ( y )
f l
由方向导数的计算公式知
= f x (1,1) cosα + f y (1,1) sin α
( 1 ,1 )
= ( 2 x y ) (1,1) cosα + ( 2 y x ) (1,1) sinα ,
f l
= f x (1,1) cosα + f y (1,1) sin α
( 1 ,1 )
0 f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) f f = = fx = lim x x ρ l ρ → 0 x
此时 ρ = x = x
同理,沿y轴正向e 2 = {0,1}的方向导数分别为 f y . 同理 沿 轴正向
轴负向, 沿着 x 轴负向, y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
f ( x + x, y + y) f ( x, y) f x f y o( ρ ) = + + ρ ρ x ρ y ρ
故有方向导数
sin f f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) = lim ρ →0 l ρ ρ
cos
l
f f = cos + sin . x y
y
x
例1
求函数 z = xe 在点 P (1,0) 处沿从点 P (1,0)
2y
到点 Q( 2,1) 的方向的方向导数.
方向l 解 方向 即为 PQ = {1, 1}
π 轴到方向l 故x轴到方向 的转角 = 轴到方向 4 z 2y z 2y ∵ = e (1, 0 ) = 1; = 2 xe (1, 0 ) = 2, x ( 1 , 0 ) y ( 1 , 0 )