量子力学课件 华中科技大学袁松柳 第二章
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量子力学10.23
（三）角动量算符
（1）角动量算符的形式 （2）角动量本征方程
(一) Dirac 1.定义：
0 ( x)
—函数
(x)
x0 x0
0
x
( x)dx ( x)dx 1
( 0)
2.性质：
(a)
(b)
( x) ( x)
1 (ax) ( x) |a|
i
( r ) ( x ) ( y ) ( z )
p
p x ( x ) p y ( y ) pz ( z )
这正是自由粒子的 de Broglie波的空 间部分波函数。
c1e ce
i
i
px x
c2e
i
py y
c3 e
i
pz z
p r
在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性 边界条件。
L rA , yy ,z 2
i L [ p x p y y pz z ] 2
L rA , y, z 2
ce
ce
1
i L [ px p y y pz z ] 2
1 2
dk eikx
| c |2 | c |
2
e e
3
i
p r
e
i
pr
d
(b)
(ax)
1 ( x) |a|
i(
p p ) r
d
| c | (2 ) ( p p)
原子物理――量子力学初步精品PPT课件
• 因此可认为，光学是经典物理学向近代物理学（包 括量子论和相对论）过渡和发展的纽带和桥梁。
海森伯不确定关系的讨论
• 经典粒子：可以同时有确定的位置、 速度、动量、能量…… 其运动是可以用轨迹来描述的。
• 经典波：有确定的波长，但总是在空 间扩展，没有确定的位置
• 波粒二象性：不可能同时具有确定的 位置和动量。如何来确定它们位置、 动量等物理量？
• 粒子在其中以驻波的形式存在 • 匣子壁是驻波的波节 • 匣子的长度是半波长的整数倍
匣子 长度
Ln
2
p h
p nh 22m
n2h2 8mL2
束缚粒子的能 量是量子化的
如果将匣子等效为核的库仑势场
• 其中的粒子就是核外电子，电子沿轨道运动一周后回到起点
• 轨道的周长为匣子长度的2倍
资料仅供参考约恩逊clausjnsson实验1961年50kv005a缝间距基本数据89年日立公司的电子双棱镜实验单电子干涉实验20029物理世界最美丽的十大物理实验让电子通过特制的金属狭缝资料仅供参考1989年日立公司的akiratonomura等人作了更精确的实实际测量证明每秒钟只有少于1000个电子入射到双棱镜中所以不可能有两个或两个以上的电子同时到达接收装置上因而不存在干涉是两个电子相互作用的结果20029物理世界最美丽的十大物理实验资料仅供参考如果让入射电子数减弱每次仅有一个电子射出经过一段时间后仍能得到稳定的双缝干涉花样
1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波 .
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该 处邻近出现的概率成正比的 .
概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不可能 精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率 .
三、量子态—波粒二象性的必然结果
海森伯不确定关系的讨论
• 经典粒子：可以同时有确定的位置、 速度、动量、能量…… 其运动是可以用轨迹来描述的。
• 经典波：有确定的波长，但总是在空 间扩展，没有确定的位置
• 波粒二象性：不可能同时具有确定的 位置和动量。如何来确定它们位置、 动量等物理量？
• 粒子在其中以驻波的形式存在 • 匣子壁是驻波的波节 • 匣子的长度是半波长的整数倍
匣子 长度
Ln
2
p h
p nh 22m
n2h2 8mL2
束缚粒子的能 量是量子化的
如果将匣子等效为核的库仑势场
• 其中的粒子就是核外电子，电子沿轨道运动一周后回到起点
• 轨道的周长为匣子长度的2倍
资料仅供参考约恩逊clausjnsson实验1961年50kv005a缝间距基本数据89年日立公司的电子双棱镜实验单电子干涉实验20029物理世界最美丽的十大物理实验让电子通过特制的金属狭缝资料仅供参考1989年日立公司的akiratonomura等人作了更精确的实实际测量证明每秒钟只有少于1000个电子入射到双棱镜中所以不可能有两个或两个以上的电子同时到达接收装置上因而不存在干涉是两个电子相互作用的结果20029物理世界最美丽的十大物理实验资料仅供参考如果让入射电子数减弱每次仅有一个电子射出经过一段时间后仍能得到稳定的双缝干涉花样
1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波 .
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该 处邻近出现的概率成正比的 .
概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不可能 精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率 .
三、量子态—波粒二象性的必然结果
中科大量子力学课件
弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶 粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散 射，否则称为非弹性散射。
入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射
粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数， 用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称 为入射粒子流强度。 散射截面：
一 散射截面 (续2)
设单位时间内散射到（，）方向面积元ds
(r, ) Rl (r)Pl (cos )
（3-2）
l
Rl r为待定的径向波函数，每个特解称为一
个分波，Rl (r)Pl (cos ) 称为第 l 个分波，通常称
l 0,1,2,3, 的分波分别为s, p, d, f…分波
（3-2）代入（3-1），得径向方程
1 r2
d dr
r
2
dRl dr
（12）
比较（1）式与（12），得到
q( ,) | f ( ,) |2
（13）
二、散射振幅 (续7)
由此可知，若知道了 f (,) ，即可求得 q( ,)， f (,) 称为散射振幅。所以，对于能量给定的入
射粒子，速率 v 给定，于是，入射粒子流密度
N v 给定，只要知道了散射振幅 f (,)，也就能 求出微分散射截面。 f (,) 的具体形式通过求
上（立体角d内）的粒子数为dn，显然
dn ds d r2
dn N
综合之，则有： dn Nd
或 dn q( , )Nd
（1）
比例系数q(，)的性质：
q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的
性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子
的动能有关，是， 的函数
一 散射截面 (续3)
q(，)具有面积的量纲
（8）
此方程类似一维波动方程。我们知道，对于
入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射
粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数， 用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称 为入射粒子流强度。 散射截面：
一 散射截面 (续2)
设单位时间内散射到（，）方向面积元ds
(r, ) Rl (r)Pl (cos )
（3-2）
l
Rl r为待定的径向波函数，每个特解称为一
个分波，Rl (r)Pl (cos ) 称为第 l 个分波，通常称
l 0,1,2,3, 的分波分别为s, p, d, f…分波
（3-2）代入（3-1），得径向方程
1 r2
d dr
r
2
dRl dr
（12）
比较（1）式与（12），得到
q( ,) | f ( ,) |2
（13）
二、散射振幅 (续7)
由此可知，若知道了 f (,) ，即可求得 q( ,)， f (,) 称为散射振幅。所以，对于能量给定的入
射粒子，速率 v 给定，于是，入射粒子流密度
N v 给定，只要知道了散射振幅 f (,)，也就能 求出微分散射截面。 f (,) 的具体形式通过求
上（立体角d内）的粒子数为dn，显然
dn ds d r2
dn N
综合之，则有： dn Nd
或 dn q( , )Nd
（1）
比例系数q(，)的性质：
q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的
性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子
的动能有关，是， 的函数
一 散射截面 (续3)
q(，)具有面积的量纲
（8）
此方程类似一维波动方程。我们知道，对于
量子力学研究201009ppt
*
c3ψ 1 = c2ψ 2 − c1ψ 3
ψ1 =
取复共轭 所以 取 α = 0 ，则
ψ * = cψ 2 ψ = c ψ * = c*cψ = c ψ
*
与假设矛盾。 与假设矛盾。定理得证。 定理得证。
c =1
*
2
c = e iα
ψ =ψ
2
定理6 定理6：设势能具有空间反演不变性， 设势能具有空间反演不变性，即 U ( x ) = U (− x )。若ψ ( x)是 一维定态薛定谔方程的一个解， ，则 ψ (− x ) 也一定是对应同一个能量 一维定态薛定谔方程的一个解 本征值的另一个解。 本征值的另一个解。 h2 d 2 证明： 证明： + U ( x) ψ ( x) = Eψ ( x) − 2 2µ dx 作代换 x → − x ，则 考虑到 U ( x ) = U (− x) ，得
′ −ψ 2ψ 1′ = c ψ 1ψ 2 ψ 1 ,ψ 2 → 0 所以
c=0
ψ 1 = c1ψ 2
ϕ ′ ψ 1′ = ϕ ψ1
c2 c ψ2 − 1 ψ3 c3 c3
两者代表同一个量子态， 两者代表同一个量子态，因此能级不简并。 因此能级不简并。
ϕ = c3ψ 1
定理5 定理5：一维束缚态粒子能量的本征函数可以是实数。 一维束缚态粒子能量的本征函数可以是实数。 证明： 由定理1得，ψ 和 ψ 都是薛定谔方程的解。 都是薛定谔方程的解。 证明： 由定理1 由定理4 它们最多相差一常数因子， 由定理 4得，它们最多相差一常数因子 ，即
v
v
v
v
ψ ( r , t ) = Φ ( r ) f (t )
ih 1 df 1 ˆ = H Φ f dt Φ
c3ψ 1 = c2ψ 2 − c1ψ 3
ψ1 =
取复共轭 所以 取 α = 0 ，则
ψ * = cψ 2 ψ = c ψ * = c*cψ = c ψ
*
与假设矛盾。 与假设矛盾。定理得证。 定理得证。
c =1
*
2
c = e iα
ψ =ψ
2
定理6 定理6：设势能具有空间反演不变性， 设势能具有空间反演不变性，即 U ( x ) = U (− x )。若ψ ( x)是 一维定态薛定谔方程的一个解， ，则 ψ (− x ) 也一定是对应同一个能量 一维定态薛定谔方程的一个解 本征值的另一个解。 本征值的另一个解。 h2 d 2 证明： 证明： + U ( x) ψ ( x) = Eψ ( x) − 2 2µ dx 作代换 x → − x ，则 考虑到 U ( x ) = U (− x) ，得
′ −ψ 2ψ 1′ = c ψ 1ψ 2 ψ 1 ,ψ 2 → 0 所以
c=0
ψ 1 = c1ψ 2
ϕ ′ ψ 1′ = ϕ ψ1
c2 c ψ2 − 1 ψ3 c3 c3
两者代表同一个量子态， 两者代表同一个量子态，因此能级不简并。 因此能级不简并。
ϕ = c3ψ 1
定理5 定理5：一维束缚态粒子能量的本征函数可以是实数。 一维束缚态粒子能量的本征函数可以是实数。 证明： 由定理1得，ψ 和 ψ 都是薛定谔方程的解。 都是薛定谔方程的解。 证明： 由定理1 由定理4 它们最多相差一常数因子， 由定理 4得，它们最多相差一常数因子 ，即
v
v
v
v
ψ ( r , t ) = Φ ( r ) f (t )
ih 1 df 1 ˆ = H Φ f dt Φ
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
华中科技大学物理系袁松柳教授量子力学课件第一章
4. 对 Planck 公式的讨论
(1) 短波（相当于高频区） 由于很大，
h / kT
e
1 e
h / kT
8 h 3 d 8 h 3 h / kT d 3 e d h / kT 3 c e 1 c
Wein 公式 (2) 长波（相当于低频区） 由于很小， eh / kT
黑体辐射 光电效应 Compton散射
？
§1.2.3 电子衍射实验
(1) 晶体表面电子衍射实验
Davisson 和 Germer(19271928)：截取单晶的一个 面作为表面，该表面形 成二维平面点阵。
入射电子注
θ
法拉第 园筒
镍单晶
d 观察到和X射线相类似的衍射 现象即在适当的方向上可观 察到极大现象，观察到极大 现象满足的条件：d sin=n
d (8 / c )kTd
2 3 0 0
导致黑体辐射能量密度 趋于无穷大的荒谬结果。
由于这种荒谬结果出现在紫 外部分，这就是著名的所谓 紫外灾难，是经典物理学最 早显露的困难之一。
§1.2.2 光电效应
(1) 实验装置
(2) 实验现象
当光照射到金属 表面上时，电子 会从金属中逸出， 这种现象称为光 电效应
热力学连最基本的问题都不能 回答，如热是如何产生的？为 什么有些物质是热的良导体， 有些物质是热的不良导体？
§1.2 触发量子力学诞生的实验基础
紫外灾难 光电效应
物理学上空
晴空万里!
紫外灾难和光电效应虽然 仅仅是当时经典物理学万 里晴空中远在天边的两朵 乌云，但预示着暴风雨即 将来临!
这里简述一下从上上个世纪末到上个世纪三十年代所做 的一些著名实验，这些实验奠定了量子力学的基本概念， 触发了从经典物理学向量子理论的跃变，并为这种跃变 提供了最初一批实验事实。
同济大学 量子力学课件 第二章
上述的态叠加原理也可以理解为：
如果粒子处于态Ψ 1 和态Ψ 2 的线性组合态Ψ= C1 Ψ1 + C2Ψ2 ，则粒子是既处于态Ψ1又处于态Ψ2，处于态 Ψ1的几率为 c 2 ，处于态Ψ2的几率为 c 2 。 1 2 态叠加原理一般表述：
若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态 ，则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)。 也是体系的一个可能状态。 处于Ψ态的体系，部分的处于 Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部分 的处于Ψn，...
1 A
2
e
2 x 2
dx A
dy A
2
1
A
2
1
1
e
2 x 2
d ( x )
e
y2
2
e
y2
dy
A
§2.1.6 推广到多粒子体系
设由N个粒子组成的体系的波函数为 则
2 (r1 , r2 ,....rN ; t ) dr1dr2 ....drN
归一化过程具体步骤：
令
1 (r , t ) (r , t ) C
使得
2 (r,t) dr 1
(r , t )
只差一个常数因子
1 (r , t ) C
(r, t)
e (r, t)
i
因此,描述粒子的同一状态
(r , t ) (r , t )
如果粒子处于态Ψ 1 和态Ψ 2 的线性组合态Ψ= C1 Ψ1 + C2Ψ2 ，则粒子是既处于态Ψ1又处于态Ψ2，处于态 Ψ1的几率为 c 2 ，处于态Ψ2的几率为 c 2 。 1 2 态叠加原理一般表述：
若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态 ，则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)。 也是体系的一个可能状态。 处于Ψ态的体系，部分的处于 Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部分 的处于Ψn，...
1 A
2
e
2 x 2
dx A
dy A
2
1
A
2
1
1
e
2 x 2
d ( x )
e
y2
2
e
y2
dy
A
§2.1.6 推广到多粒子体系
设由N个粒子组成的体系的波函数为 则
2 (r1 , r2 ,....rN ; t ) dr1dr2 ....drN
归一化过程具体步骤：
令
1 (r , t ) (r , t ) C
使得
2 (r,t) dr 1
(r , t )
只差一个常数因子
1 (r , t ) C
(r, t)
e (r, t)
i
因此,描述粒子的同一状态
(r , t ) (r , t )
量子力学课件第二章
2 dW ( p, t ) | c( p, t ) | dp t时刻粒子出现在动量 点附近 p dp体积元内的几率。
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
量子力学简介PPT课件
2m
量子力学简介
说明
2 2 V E
2m
——定态薛定谔方程
(x,y,z)应为单值函数;
(1) 标准条件： |Ψ |2dxdydz 1 应为有限值；
(2) 求解
, , ,
应连续.
x y z
E （粒子能量）
（定态波函数）
(3) 势能函数V 不随时间变化.
(Et px)
Ψ(x,t) ψ0e h
ψ0e
2019/11/14
类比
量子力学简介
光栅衍射
I E02
I 大处 I 小处
I=0
INhN
到达光子数多 到达光子数少 无光子到达
2019/11/14
电子衍射
I |Ψ|2 I N
电子到达该处概率大 电子到达该处概率小 电子到达该处概率为零
量子力学简介
量子力学简介
量子力学简介
17.1 微观粒子的波粒二象性和不确定关系式 17.1.1 微观粒子的波粒二象性 1. 物质波提出的背景
(1) 玻尔模型遇到根本困难，亟需突破; (2) 爱因斯坦的光量子论及光的波粒二象性思想得到国际科
学界的承认; (3) 德布罗意本人对量子物理研究感兴趣，有相当好的研究
氢原子中电子速率约为106m/s.速率 不确定量与速率本身的数量级基本相 同,因此原子中电子的位置和速度不能 同时完全确定,也没有确定的轨道.
此几率分布形成一种对称而美观的“电子(几率)云”图象.
2019/11/14
能量—时间不确定关系
E E
2
Et h
E
E
反映了原子能级宽度ΔE和原子在该 2
2019/11/14
这个迷你的结构由纳米管和氧化锌构成， 电子显微镜拍下了这个精巧的结构
量子力学简介
说明
2 2 V E
2m
——定态薛定谔方程
(x,y,z)应为单值函数;
(1) 标准条件： |Ψ |2dxdydz 1 应为有限值；
(2) 求解
, , ,
应连续.
x y z
E （粒子能量）
（定态波函数）
(3) 势能函数V 不随时间变化.
(Et px)
Ψ(x,t) ψ0e h
ψ0e
2019/11/14
类比
量子力学简介
光栅衍射
I E02
I 大处 I 小处
I=0
INhN
到达光子数多 到达光子数少 无光子到达
2019/11/14
电子衍射
I |Ψ|2 I N
电子到达该处概率大 电子到达该处概率小 电子到达该处概率为零
量子力学简介
量子力学简介
量子力学简介
17.1 微观粒子的波粒二象性和不确定关系式 17.1.1 微观粒子的波粒二象性 1. 物质波提出的背景
(1) 玻尔模型遇到根本困难，亟需突破; (2) 爱因斯坦的光量子论及光的波粒二象性思想得到国际科
学界的承认; (3) 德布罗意本人对量子物理研究感兴趣，有相当好的研究
氢原子中电子速率约为106m/s.速率 不确定量与速率本身的数量级基本相 同,因此原子中电子的位置和速度不能 同时完全确定,也没有确定的轨道.
此几率分布形成一种对称而美观的“电子(几率)云”图象.
2019/11/14
能量—时间不确定关系
E E
2
Et h
E
E
反映了原子能级宽度ΔE和原子在该 2
2019/11/14
这个迷你的结构由纳米管和氧化锌构成， 电子显微镜拍下了这个精巧的结构
量子力学课件
量子力学彭斌地址：微固楼211电话：83201475Email: bpeng@引言牛顿力学质点运动牛顿力学（F、p、a）22dtvdmmaF==牛顿力学成功应用到从天体到地上各种尺度的力学客体的运动中。
引言牛顿力学热力学●统计物理Ludwig Boltzmann Willard Gibbs引言牛顿力学热力学●统计力学 电动力学电磁现象——Maxwell方程组¾统一电磁理论¾光─> 电磁波1600170018001900时间t力学电磁学热学物理世界（力、光、电磁、热…）经典热力学（加上统计力学）经典电动力学（Maxwell 方程组）经典力学（牛顿力学）迈克尔逊－莫雷实验黑体辐射动力学理论断言，热和光都是运动的方式。
但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得黯然失色了……——开尔文（1900年）引言什么是量子力学？什么是量子力学？——研究微观实物粒子（原子、电子等）运动变化规律的一门科学。
相对论量子力学量子电动力学量子场论高能物理相对论力学经典电动力学V~C量子力学（非相对论）经典力学v<<C微观宏观量子力学的重要应用量子力学的重要应用¾自从量子力学诞生以来，它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和促发人类物质文明的大飞跃。
¾百年（1901－2002）来总颁发Nobel Prize 97次单就物理奖而言：——直接由量子理论得奖25次——直接由量子理论得奖＋与量子理论密切相关而得奖57次¾量子力学成为整个近代物理学的共同理论基础。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it." -Niels Bohr 任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it."-Niels Bohr 我想我可以相当有把握地说，没有人理解量子力学。
华科量子力学
※<教学方法>(1)量子力学是一个建立在公理体系上的科学。
对于低年级本科生来说，他们更习惯于大前提到小前提再到结论这样的形式逻辑的三段论式的分析、推理和论述方式。
但是，大前提来自何处，怎样来，他们往往不清楚，更不了解辨正逻辑的分析、推理和思维方式。
不太了解如何通过完全归纳法或不完全归纳法确定大前提，更不习惯于通过公设建立大前提。
这样，在涉及波函数及其统计诠释、薛定谔方程、算符与力学量及其平均值、态叠加原理等这些量子力学基本原理的时候，学生很难理解。
为此，要借助量子力学的授课机会，向学生讲一些逻辑思维的方式和方法，让他们从一切都是可以推导出来的这种形式逻辑思维的桎梏中解脱出来，领会物理学家是如何通过各种方式确定大前提的。
这就要求任课老师要能从思维方法和自然辩证法的角度进行了这方面的讲授，这样不仅能使学生克服理解量子力学时遇到的困难，而且能大大开拓学生的思维方式。
而后者，也恰恰是为学生讲授量子力学这门课应该达到的另一个目的，对于启迪学生的思维、开拓学生的思路，提高学生科学素质和创新能力，都是至关重要的。
例如，在引进薛定谔方程时，为使学生容易接受，许多教材往往从粒子能量等于动能与势能之和入手，得到等式E＝T＋V，再在两边乘以粒子的波函数Ψ，得到E Ψ=(T＋V)Ψ，然后再将E和T换成算符形式，就得到薛定谔方程[3-5]。
这样的处理方式，初学者从表面上看上去，薛定谔方程是推导出来的。
为了既让学生易于接受薛定谔方程，又能明白作为量子力学的基本假设之一的薛定谔方程不是推导出来的，在做上述讲授后，应该给学生明确指出，在EΨ=(T＋V)Ψ中，E、T和V是以常量的形式给出的，Ψ作为时空变量的函数，如果将E和T换成算符形式，从数理逻辑上讲，是行不通的。
这时，就要向学生介绍公理体系。
以学生在中学就了解的平面几何为例，介绍公理体系的思维方式和基本方法，不仅让学生明白薛定谔方程本质上是量子力学公理体系中的一个基本公设，也让低年级本科生从什么都能推导出来这种思维模式的桎梏中解脱出来。
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P
P
电子源
O
感
Q光
Q
屏
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够 长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电 子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一 起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
波由粒子组成的看法夸大了粒子 性的一面，而抹杀了粒子的波动 性的一面，具有片面性。
2. 粒子由波组成
即认为描述粒子的波是由无限多波 长不同的平面波迭加而成的波包
(3) 描写的是什么样的波呢？
§2.1.2 历史上两种典型的错误看法
1. 波由粒子组成
即认为描述粒子的波是由大量粒子在 空间形成象水波、声波一样的蔬密波
这种看法与实验相矛盾！
因为如果波是由它所描写的粒子组 成，则粒子流的衍射现象应当是由 于组成波的这些粒子的相互作用而 形成的。
电子单缝衍射实验
第二章 波函数 和 Schrodinger 方程
§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态叠加原理 §2.3 波函数随时间的变化－Schrodinger 方程 §2.4 量子力学中的守恒定律 §2.5 定态Schrodinger方程 §2.6 能量算符的本征值方程 §2.7 定态Schrodinger方程的解法
§2.1.5 波函数的归一化
考虑两个波函数:
(r , t ) C (r , t )
C=constant
在 t 时刻，空间任意两 点 r1 和 r2 处找到粒子 的相对几率之比是：
2
2
C (r1, t) (r1, t)
C (r2 , t)
(r2 , t)
可见， (r , t ) 和 C (r , t )所描写状态的相 对几率是相同的,因此,它们描述粒子的同一 状态，意味着波函数有一常数因子不定性。
以 dW (r ,t) 表示在 t 时刻,在 r 到 r+dr 的 无限小区域 dr 中找到粒子的几率,则有
dW (r ,t) W (r ,t)dr
W (r,t)= *(r,t) (r,t)= (r,t) 2 称为几率密度
这就是首先由 Born 提出的波函数的 统计解释，是量子力学的基本原理。
描写粒子的波是几率波， 波的强度反映在空间某 处找到粒子的几率的大 小，因此,波函数又称为 几率幅。
2、开S2关S1 电子通过S2到达屏，用2描述电子通过S2后的状态，屏上出现的衍射花 样由 I2 ~ 2 2 决定；
3、同开S1和S2 电子通过双缝到达屏，用描述电子通过双缝后的状态，屏上出现的衍 射花样由 I ~ 2 决定。
问题：双缝同时打开后出现在屏上的衍射花样到底是由 2 1 2 2 2 描述还是由 2 1 2 2 描述？
(r1, r2,....rN ;t) 2 dr1dr2....drN 1
§2.2 态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。 干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相 加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。 因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力 学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的 波，即波函数决定体系的状态，称波函数为 状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称 为态叠加原理。
对于一个粒子而言,尽管不知道它会出现 在何处,但知道它总会在空间中出现,或 者说粒子在全空间出现的几率等于一.
(r,t)2dr 1
满足该式的波函数称之为 归一化波函数
若描述某个粒子的波函数
不满足归一化条件，即
(r,t)2dr C2
则可通过归一化过程将其归一化
归一化过程具体步骤：
令 (r ,t) 1 (r ,t) 使得
2．ψ要满足态叠加原理，即，若ψ1( r, t ) 和ψ2( r, t )是 方程的解，则 ψ( r, t)= C1ψ1( r, t ) + C2ψ2( r, t ) 也 应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中 只能包含ψ, ψ对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项， 不能含它们的平方或开方项。
实验上观测到的电子，总是处于一 个小区域内。例如在一个原子内， 其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
§2.1.3 电子双缝衍射实验
光
屏
实验分三步 进行，观察 在屏上出现 的衍射画样
1、电子枪发射强电子束
2、电子枪发射强电子束电子枪发弱 电子束(弱到电子一个一个电子射向双缝) 3、将感光屏换成照相底版,对经过双缝 到达底版上的弱电子束作长时间曝光
自由粒子
E和P为常量
de Broglie关系
与自由粒子联系的波频
ν和波矢k 也为常量
A cos[k • r t]
k 2 n
2
单色平面波
经典物理 A cos[k • r t]
量子力学
写成复数形式
Aei ( k •r t )
de Broglie 关系： = 2 ν= 2E/h = E/
已知初态是：r0 ,
p0
方程是牛顿方程：F
m dr
dt d2 m dt
t r
2
t
0
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数， 所以方程是时间的二阶常微分方程。
（2）量子情况
1．因为，t = t0 时刻，已知的初态是ψ( r, t0) 且只知道 这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方 程只能含ψ对时间 的一阶导数。
C
(r,t)2dr 1
(r ,t) 只差一个常数因子 1 (r ,t)
C
(r,t) ei (r,t)
因此,描述粒子的同一状态
(r,t) (r,t)
称为波函数归一化 1/C称为归一化常数
注意：对归一化波函数仍有 一个相因子不定性。因为下 列两函数的模是相等的。
(r,t) ei (r,t)
例题
考虑一维运动的粒子，其波函数为
(x)
1 2x2
Ae 2
(为常数 )
试将其进行归一化并求出归一化常数
解：由归一化条件，有
1 A2 e2x2 dx A2 1 e2x2 d ( x)
A2 1 ey2 dy A2 1
ey2 dy
A
§2.1.6 推广到多粒子体系
C1 和 C2 是复常数
如果粒子处于态Ψ1和态Ψ2 的线性组合态Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 ，则粒子是既处于态Ψ1又处于态Ψ2，处于态 Ψ1的几率为 c1 2 ，处于态Ψ2的几率为 c2 2 。
态叠加原理一般表述：
若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态 ，则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)。
显然，两式互为Fourier变换式，故总是成立的。
可见
(r ,t) c( p,t) 同一量子态的两种
不同描述方式
坐标 表象
动量 表象
§2.3 波函数随时间变化的规律 Schrodinger 方程
经典力学中，力学体系的运动状态随时间变化规 律由牛顿方程描述
若知道力学体系的初始条件，利用牛顿方程即可求出体系在 任何时刻的运动状态
k = 1/ = 2 /λ = p/
描写自由粒子的 平面波
Ae
i
(
p•r
Et
)
称为 de Broglie 波，是描述自由粒子的波函数
非自由情况
粒子处于随时间和位 置变化的力场中运动
动量和能量不再是常量
粒子的状态就不能用平面波描 述，而必须采用较复杂的波函
数，一般记为： (r , t)
3个问题？ (1) 是怎样描述粒子的状态？ (2) 如何体现波粒二象性的？
设由N个粒子组成的体系的波函数为
则 (r1, r2,....rN ;t) 2 dr1dr2....drN
(r1, r2 ,....rN ;t)
表示t时刻,
第1个粒子出现在r1处dr1小区域中. 第2个粒子出现在r2处dr2小区域中 . . .第N个粒子出现在rN处drN小区域中的几率
多粒子体系波函数归一化条件为
§2.2.1 电子双缝衍射实验
Ψ1
在介绍波函数统计解释时，曾介绍过电
S1
子双缝衍射实验。为了获得关于态叠加
原理的某些信息，这里我们拟通过不同 的实验步骤来进行电子双缝衍射实验。
电子源
S2
Ψ2
PΨ
感 光 屏
1、开S1关S2
电子通过S1到达屏，用1描述电子通过S1后的状态，屏上出现的衍射花 样由 I1 ~ 1 2 决定；
§2.1.4 波函数统计解释
衍射实验:无论是强电子束还是弱电子束, 在接受屏上出现相同的衍射图样
强电子束:在出现亮条纹的地方到达的电子数目多,
而在比较暗的地方到达的电子数目少.
弱电子束:电子到达亮条纹的几率较大,而到达暗
的地方几率较小.
1924年Born提出了波函数的统计解释
波函数的统计解释
波函数是描述粒子状态的函数,波 函数t时刻某一点处的强度(模平方) 正比于该点处找到粒子的几率
也是体系的一个可能状态。 处于Ψ态的体系，部分的处于 Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部 分的处于Ψn，...
§2.2.3 态叠加原理的应用 电子在晶体表面的衍射
电子在晶体表面反射后，电子可 能以各种不同的动量 p 运动。具 有 确 定 动 量 的 运 动 状 态 用 de Broglie 平面波表示
量子力学中，量子体系的运动状态由波函数(r,t)决 定，那么，波函数是如何随时间变化的？
若知道量子体系的初始状态，通过波函数随时间变化规律就可 预测出量子体系在任何时刻的状态
本节中心内容
§2.3.1 基本考虑
让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。