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相似三角形性质专项练习30题(有答案)

相似三角形性质专项练习30题（有答案）1．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．2．如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC（1）求AB的长；（2）求CD的长；（3）求∠BAD的大小．3．如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证：=．4．如图所示，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，BD=k，若△ACB∽△CBD，写出a、b、k之间满足的关系式．5．如图，AD、BE是△ABC的两条高，A′D′、B′E′是△A′B′C′的两条高，△ABD∽△A′B′D′，∠C=∠C′，求证：=．6．已知，如图，△AOB∽△DOC，BD⊥AC，∠AOB是直角．求证：AD2+BC2=AB2+CD2．7．已知如图△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°，△ABD∽△DCE．当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．8．如图，△ABC与△ADB相似，AD=4，CD=6，求这两个三角形的相似比．9．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度．10．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？11．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE=AB，AB=9，AO=6，求DE和AE的长．12．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．13．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE△∽△DEF，AB=6，AE=8，DE=2，求EF的长．14．如图，△ABC∽△DAB，AB=8，BC=12，求AD的长．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C 出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？16．如图，△ABC∽△FED，若∠A=50°，∠C=30°，求∠E的度数．17．如图，已知△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，点D、E分别是边AB、AC上的点，如果AD=3，AE=6，CE=3．根据以上条件你能求出边AB的长吗？请说明理由．18．如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC 相似？试说明理由．19．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．20．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm（1）已知他们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长．（2）已知它们的面积相差588cm2，求这两个三角形的面积．21．如图，已知△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，（1）求∠B和∠D的度数；（2）求AE和DE的长．22．一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．23．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为多少？24．如图，已知等边△ABC的边长为8，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，BD=3，E为AC中点，当△BPD 与△PCE相似时，求BP的值．25．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，求证：．26．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC=5cm，DF=4cm，求EF和AC的长．27．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C 出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，P、Q分别为AC，AB上的两动点，P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，当一点到达终点时，P、Q两点就同时停止运动．设运动时间为ts．（1）用t的代数式分别表示AQ和AP的长；（2）设△APQ的面积为S，①求△APQ的面积S与t的关系式；②当t=2s时，△APQ的面积S是多少？（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？29．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q 从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？30．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．相似三角形专项练习30题参考答案:1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=9，∴BE===，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．2．解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：AB=3；（2）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：CD=；（3）∵△ABC∽△DAC，∴∠BAC=∠D=107°，∠CAD=∠B=36°，∵∠B=36°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107°+36°=143°3．证明：∵△ABC与∽A′B′C′，∴∠ABD=∠A′B′D′，∵AD和A′D′是高，∴∠ADB=∠A′D′B′，∴△ABD∽△A′B′D，∴=，同理可得=，∴=．4．解：∵△ACB∽△CBD，∴=，∵AC=b，CB=a，BD=k，∴=，即a2=bk．5．证明：∵△ABD∽△A′B′D′，∴∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∵AD是△ABC的高，A′D′是△A′B′C′的，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴=，同理可求△ABE∽△A′B′E′，∴=，∴=．6．解：∵BD⊥AC，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠DEC=90°，∴在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2=AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2=BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2=CE2+DE2，∴AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．7．解：分三种情况：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意；②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=1，BC=，AE=AC﹣EC=1﹣BD=1﹣（﹣1）=2﹣；③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如图所示，易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=．综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2﹣或．8．解：∵△ABC与△ADB相似，∴△ABC∽△ADB，∴=，∴AB2=AC•AD=10×4=40，∴△ABC与△ADB的相似比为==．9．解：设BF=x，则CF=4﹣x，由翻折的性质得B′F=BF=x，当△B′FC∽△ABC，∴=，即=，解得x=，即BF=．当△FB ′C ∽△ABC ，∴AB FB /'=ACFC 即，解得：x=2． ∴BF 的长度为：2或．10．解：设运动了ts ，根据题意得：AP=2tcm ，CQ=3tcm ，则AQ=AC ﹣CQ=16﹣3t （cm ），当△APQ ∽△ABC 时，，即，解得：t=；当△APQ ∽△ACB 时，，即，解得：t=4；故当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是：s 或4s11．解：∵△AOB ∽△EOD ， ∴DE ：AB=OA ：OE ， ∵DE=AB ，AB=9，AO=6， ∴DE=×9=6，OE=OA=4， ∴AE=OA+OE=6+4=10． 12．解：（1）∵△PCD 是等边三角形， ∴∠PCD=60°， ∴∠ACP=120°， ∵△ACP ∽△PDB ， ∴∠APC=∠B ， ∵∠A=∠A ， ∴∠ACP ∽∠APB ， ∴∠APB=∠ACP=120°；（2）∵△ACP∽△PDB，∴AC：PD=PC：BD，∴PD•PC=AC•BD，∵△PCD是等边三角形，∴PC=PD=CD，∴CD2=AC•BD．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=8，∴BE===10，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．14．解：∵△ABC∽△DAB，∴，∵AB=8，BC=12，∴，∴AD=．15．解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒．16．解：∵△ABC中，∠A=50°，∠C=30°，∴∠B=180°﹣50°﹣30°=100°，∵△ABC∽△FED，∴∠E=∠B=100°．17．解：∵△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，∴．又AD=3，AE=6，CE=3，∴AB==18．18．解：设经过t秒两三角形相似，则AP=AB﹣BP=8﹣2t，AQ=4t，①AP与AB是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=2，②AP与AC是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=，综上所述，经过或2秒钟，△APQ与△ABC相似19．解：（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=，BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中，∠AFC=90°∴（1分）（2）过点P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°，∴（1分）如果△ABP和△BCE相似，∵∠APB=∠EBC又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）∴∠ABP=∠ECB∴即解得（不合题意，舍去）∴x=8（1分）（3）①当AE=AB=4时∵AP∥BC，∴即，解得，②当BE=AB=4时∵AP∥BC，∴，即，解得（不合题意，舍去）③在Rt△AFC中，∠AFC=90°∵，在线段FC上截取FH=AF，∴∠FAE＞∠FAH=45°∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE∴AE≠BE．综上所述，当△ABE是等腰三角形时，或20．解：（1）∵相似三角形的对应边长分别是35cm和14cm∴这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的周长比为：5：2∵他们的周长相差60cm∴设较大的三角形的周长为5xcm，较小的三角形的周长为2xcm ∴3x=60∴x=20cm∴5x=5×20=100cm，2x=2×20=40cm∴较大的三角形的周长为100cm，较小的三角形的周长为40cm（2）∵这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的面积比为：25：4∵他们的面积相差588cm2∴设较大的三角形的面积为25xcm2，较小的三角形的面积为4xcm2∴（25﹣4）x=588，∴x=28cm2∴25x=25×28=700cm2，4x=4×28=112cm2∴较大的三角形的面积为700cm2，较小的三角形的面积为112cm2 21．解：（1）∵△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，∴∠B=∠A=117°，∠C=∠D=37°；（2）∵△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，∴设AE=x，DE=y，则BE=12﹣x，CE=18﹣y，∴==，即==，解得x=8，y=6，∴AE=8，DE=622．解：①当把30厘米的钢筋作为最长边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有；②当30厘米的钢筋作为中长边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，则有．③当30cm作为最短边：则另两边都会超过50cm，此时不合题意，∴一共有两种截法．23．解：题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：（1）若边长为2的边与边长为4的边相对应，则另两边为和3；（2）若边长为2的边与边长为5的边相对应，则另两边为和；（3）若边长为2的边与边长为6的边相对应，则另两边为和．故三角形框架的两边长可以是：和3或和或和．24．解：设BP=x，∵等边△ABC的边长为8，∴CP=8﹣x，∵E为AC中点，∴CE=AC=×8=4，①BD和PC是对应边时，△BDP∽△CPE，∴=，即=，整理得，x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，即BP的长为2或6，②BD和CE是对应边时，△BDP∽△CEP，∴=，即=，解得x=，即BP=，综上所述，BP的值是2或6或．25．证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴===K．又∵AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，∴==．∴，∵∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′．∴．26．解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴，∴，同理，∴．答：EF的长是cm，AC的长是cm．27．解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）则，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）则，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值为3秒或4.8秒．（11分）28．解：（1）用t的代数式分别表示AQ=2t，AP=6﹣t；（2分）（2）设△APQ的面积为S，①△APQ的面积S与t的关系式为：S=AQ•AP=×2t×（6﹣t）=6t﹣t2，即S=6t﹣t2，②当t=2s时，△APQ的面积S=×AQ•AP=×[2×2×（6﹣2）]=8（cm2）；（6分）（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当=时=，∴t=2.4（s）；②当=时=，∴t=（s）；综上所述，当t为2.4秒或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．29．解：∵∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，∴设AC=3xcm，AB=5xcm，则BC==4x（cm），即4x=8，解得：x=2，∴AC=6cm，AB=10cm，∴BC=8cm，设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则BP=2tcm，CP=BC﹣BP=8﹣2t（cm），CQ=tcm，∵∠C是公共角，∴①当，即时，△CPQ∽△CBA，解得：t=2.4，②当，即时，△CPQ∽△CAB，解得：t=，∴过2.4或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．30．（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），∴=k，a=ka1；又∵c=a1，∴a=kc；（2）解：取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2；此时=2，∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1；（3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1；又∵b=a1，c=b1，∴a=2a1=2b=4b1=4c；∴b=2c；∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．。

相似三角形的定义、判定及性质(习题及答案).

相似三角形的定义、判定及性质（习题）➢例题示范例1：如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点 F 在边CD 上，且CF=3FD，△ABE 与△DEF 相似吗？为什么？解：△ABE 与△DEF 相似．理由如下：在正方形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB=AD=CD设AB=AD=CD=4a∵E 为边AD 的中点，CF=3FD∴AE=DE=2a，DF=a∴ AB=4a= 2 ，AE =2a = 2DE 2a∴ AB=AEDF aDE DF又∵∠A=∠D∴△ABE∽△DEF➢巩固练习1.在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x= ，y= ，m= ，n= ．2.如图，△ADE∽△ABC，AD=BC，BD=4，DE=9，则AD= ，AE= ．EC3.如图，在△ABC 中，AC=8，BC=10，AB=12，D，E 分别是△ABC 的边AB，AC 上的动点，且始终满足△ABC∽△AED．当AE=AC 时，BD= ；当AE=BD 时，AE= ，DE=；BC在D，E 移动的变化过程中，AD:DE:AE= ．4.如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个条件：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2 =AP ⋅AB ；④ AB ⋅CP =AP ⋅CB ．其中能判定△ABC∽△ACP 相似的是．第4 题图第5 题图5.如图，在正三角形ABC 中，D，E 分别在AC，AB 上，且AD=1，AC 3AE=BE，则有（）A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD6.在如图4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A B C D7.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC，BD 交于点O，OD=1，若OA=1，OB =9，则OD= ，AD=．OC 2 2 BC8.如图，∠APB=120°，点M，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三角形．若AMNB =1，AB=26，则NB 长为．99.如图，在△ABC 中，∠A=90°，点E 在线段AB 上，点D 在线段AC 上，且满足△ABC∽△ADE，若AE=6，EB=3，2AD=DC，则AD= ，DE= ．10.如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=12，BC=8，点D，E分别在边BC，AC 上，且BD=3，CE=2．求证：△ABD∽△BCE．11.如图，在△ABC 中，CD=CE，∠A=∠ECB．求证：CD2=AD·BE．12.将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积是△ABC 面积的一半．已知BC=2，求△ABC 平移的距离．13.求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC 及线段A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′ 为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出己知、求证和证明过程．14.如图，在△ABC 中，EF∥BC，AB=3AE，若S 四边形BCFE=16，=（）则S△ABCA．16 B．18 C．20 D．2415.如图，△ABC，△FGH 中，D，E 两点分别在AB，AC 上，F点在DE 上，G，H 两点在BC 上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG:GH:HC=4:6:5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（）A．2:1 B．3:2 C．5:2 D．9:4➢思考小结1. 回顾相似三角形相关概念，并填空．①相似三角形对应边成比例，对应角相等；②两角分别相等的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似．以上概念都是围绕三角形相似，角度相等，线段成比例等信息进行的．不同处在于：利用性质时，三角形相似是条件，角度相等，线段成比例是结论；利用判定时，角度相等，线段成比例是，三角形相似是．由此我们可以发现，当碰到线段成比例和角度相等等条件或结论时，要考虑相似三角形的应用．【参考答案】➢巩固练习1. 32；15；70°；60°22. 12；33. 20；7.2；3 3 54. ①②③5. B6. B7. 3；1；4:5:6 2 38. 189. 4；3 610. 证明略11. 证明略12. △ABC 平移的距离为2 2 ．13. 证明略14. B15. D➢ 思考小结1. 条件；结论。

相似三角形的性质及应用练习题1

相似三角形的性质及应用练习卷一、填空题1.已知两个相似三角形的相似比为3, 则它们的周长比为；2.若△ABC∽△A′B′C′, 且, △ABC的周长为12cm, 则△A′B′C′的周长为；3、如图1, 在△ABC中, 中线BE、CD相交于点G, 则= ；S△GED: S△GBC= ；4.如图2, 在△ABC中, ∠B=∠AED, AB=5, AD=3, CE=6, 则AE= ；5.如图3, △ABC中, M是AB的中点, N在BC上, BC=2AB, ∠BMN=∠C, 则△∽△ ,相似比为 , = ；6、如图4, 在梯形ABCD中, AD∥BC, S△ADE: S△BCE=4: 9, 则S△ABD: S△ABC= ；7、如图5, 在△ABC中, BC=12cm, 点D、F是AB的三等分点, 点E、G是AC的三等分点, 则DE+FG+BC= ；8、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm, 则它们的对应角的平分线的比为；9、两个三角形的面积之比为2: 3, 则它们对应角平分线的比为 , 对应边的高的比为；对应边的中线的比周长的比10、已知有两个三角形相似, 一个边长分别为2、3、4, 另一个三角形最长边长为12, 则x、y的值为；二、选择题11.下列多边形一定相似的为（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形12、在△ABC中, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, 另一个和它相似的三角形的最短边是5cm, 则最长边是（）A.18cmB.21cmC.24cmD.19.5cm13、如图, 在△ABC中, 高BD.CE交于点O, 下列结论错误的是（）A.CO·CE=CD·CA B、OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·AB D、CO·DO=BO·EO14.已知, 在△ABC 中, ∠ACB=900, CD ⊥AB 于D, 若BC=5, CD=3, 则AD 的长为（）A.2.25B.2.5C.2.75D.315.如图, 正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上,其余两个顶点A.D 在PQ 、PR 上, 则PA ：PQ 等于（）A.1:B.1: 2C.1: 3D.2: 316.如图, D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, = =3,且∠AED=∠B, 则△AED 与△ABC 的面积比是（）A 、1: 2B 、1: 3C 、1: 4D 、4: 9三、解答题17、如图, 已知在△ABC 中, CD=CE, ∠A=∠ECB, 试说明CD2=AD ·BE 。

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。

证明：=。

当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。

2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。

证明：AC^2=AF•AD。

联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。

3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。

证明：△APC∽△ACB。

若AP=2，PC=6，求AC的长。

4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。

证明：△ABF∽△EAD。

若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。

5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。

证明：AB•BC=AC•CD。

6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。

说明AF•BE=2S的理由。

7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。

若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。

若AE=2，试求AP•AF的值。

若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。

8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。

证明。

9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。

证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。

10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。

12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。

第27章相似三角形专题讲解：第2讲相似三角形的性质(word精编版)-有答案

1、相似三角形对应边成比例，对应角相等。

2、相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

3、相似三角形周长的比等于相似比。

4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。

【例1】如图，已知点D ，E ，F 分别是△ABC 三边的中点，则△DEF 与△ABC 对应高的比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶2【解答】解：∵△ADE 与△ABC 相似，∴△DEF 与△ABC 对应高的比等于相似比，即是1∶2 。

故答案是A【例2】如图，已知△ABC 中，AB ＝20，BC ＝14，AC ＝12，△ADE 与△ACB 相似，∠AED ＝∠B ，DE ＝5．求AD ，AE 的长．【解答】解：∵△ADE 与△ACB 相似， ∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴，∴∴AD ＝ ∵∴∴AE ＝【例3】如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上一点，且BE ＝EC ，BD 、AE相似三角形的性质相似三角形的性质典题精练模块二利用相似比求相似三角形对应线段的比利用相似比求三角形的周长和面积相交于F 点．(1)求△BEF 与△AFD 的周长之比； (2)若S △BEF ＝6cm 2，求S △AFD .【解答】解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ， ∴△BEF ∽△AFD .又∵BE ＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12；(2)由(1)可知△BEF ∽△DAF ，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝24cm 2.【例4】若△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为( ) A ．1∶2 B.2∶2 C ．1∶4 D.2∶1【解答】解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.【例5】如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别为18和8，DE ＝3，求AC 边上的高．【解答】解：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为点F .∵AD ⊥BC, CE ⊥AB ，∴Rt △ADB ∽Rt △CEB ，∴BD BE ＝AB CB ，即BD AB ＝BECB ，且∠ABC ＝∠DBE ，∴△EBD ∽△CBA, ∴S △BED S △BCA ＝(DE AC )2＝818.又∵DE ＝3，∴AC ＝4.5.∵S △ABC ＝12AC ·BF ＝18, ∴BF ＝8.利用相似三角形的周长或面积比求相似比利用相似三角形的性质和判定进行计算【例6】如图所示，PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于E ，交BC 于D . (1)若AP ∶PB ＝1∶2，S △ABC ＝18，求S △APN ； (2)若S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，求AEAD的值．解：(1)因为PN ∥BC ，所以∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C ，△APN ∽△ABC ，所以S △APNS △ABC＝(APAB )2.因为AP ∶PB ＝1∶2，所以AP ∶AB ＝1∶3.又因为S △ABC ＝18，所以S △APN S △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN ＝2；(2)因为PN ∥BC ，所以∠APE ＝∠B ，∠AEP ＝∠ADB ，所以△APE ∽△ABD ，所以APAB ＝AE AD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD )2，所以AE AD ＝13＝33. 【例7】如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片．AD 是边BC 上的高，BC ＝40cm ，AD ＝30cm ．从这张硬纸片剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ．使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上．AD 与HG 的交点为M ．（1）求证：；（2）求这个矩形EFGH 的周长．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH 为矩形， ∴EF ∥GH ， ∴∠AHG ＝∠ABC ，又∵∠HAG ＝∠BAC ， ∴△AHG ∽△ABC ，利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题∴；（2）解：由（1）得：设HE ＝xcm ，MD ＝HE ＝xcm ，∵AD ＝30cm ， ∴AM ＝（30﹣x ）cm ， ∵HG ＝2HE ， ∴HG ＝（2x ）cm ，可得，解得，x ＝12，故HG ＝2x ＝24所以矩形EFGH 的周长为：2×（12+24）＝72（cm ）．答：矩形EFGH 的周长为72cm ．【例8】如图，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【解答】解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形P ABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2；(2)∵△PQC ∽△ABC ，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP .同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C 四边形P ABQ ＝P A ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP )＋AB ＋(3－CQ )＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.一．选择题（共5小题）1．如果两个相似三角形对应边的比为4：5，那么它们对应中线的比是（）跟踪练习利用相似三角形的性质解决动点问题A．B．2：5 C．4：5 D．16：252．已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：43．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积的比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：14．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，4.5cm和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为（）A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm5．已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为（）A．3：4 B．2：3 C．9：16 D．3：2二．解答题（共7小题）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．7．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE ：S四边形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值．9．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．（1）求AD的长；（2）求矩形EFGH的面积．10．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．11．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．12．已知如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．（1）当t为多少时，DE＝2DF；（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如果两个相似三角形对应边的比为4：5，那么它们对应中线的比是（）A．B．2：5 C．4：5 D．16：25 【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为4：5，∴它们对应中线的比为4：5，故选：C．2．已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：4【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴S△ABC ：S△A'B'C'＝22：32＝4：9．故选：C．3．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积的比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积的比为（1：2）2＝1：4．故选：B．4．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，4.5cm和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为（）A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm【解答】解：设另一个三角形的最短边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝6，即另一个三角形的最短边的长为6cm．故选：A．5．已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为（）A．3：4 B．2：3 C．9：16 D．3：2【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为9：4，∴△ABC与△DEF的相似比为3：2，∴△ABC与△DEF对应角的角平分线之比为3：2，故选：D．二．解答题（共7小题）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．【解答】解：（1）△AEF为等边三角形．理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BE＝AE，AF＝CF，∴∠EAB＝∠B＝30°，∠FAC＝∠C＝30°，∴∠AEF＝2∠B＝60°，∠AFE＝2∠C＝60°，∴△AEF为等边三角形；（2）∵D是AB中点、G是AC中点，∴DG是△ABC中位线，∴DG＝BC；（3）∵DG＝5，∴BC＝2DG＝10，∵AE＝BE，AF＝CF，∴AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10cm，∴△AEF的周长为10cm．7．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，∵AB＝8cm，BC＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，解得：x＝2；②当，即时，△QBP∽△ABC，解得：x＝0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE ：S四边形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值．【解答】（1）证明：∵AE2＝AD•AB，∴，又∵∠EAD＝∠BAE，∴△AED∽△ABE，∴∠AED＝∠ABE，∵∠ABE＝∠ACB，∴∠AED＝∠ACB，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．9．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．（1）求AD的长；（2）求矩形EFGH的面积．【解答】解：（1）设BC＝3x，则AD＝2x，∵△ABC的面积为12，∴×3x×2x＝12，解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），则AD的长＝2x＝4；（2）设GF＝y，则HG＝2y，∵四边形EFGH为矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，解得，y＝，HG＝2y＝，则矩形EFGH的面积＝×＝．10．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．【解答】证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，∴BE＝ED＝DB，∵EF2＝•BD•EC，∴EF2＝ED•EC，即得＝，又∵∠FED＝∠CEF，∴△EDF∽△EFC．（2）∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，又∵DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，∴∠ADB＝∠FDC，∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，∵△EDF∽△EFC，∴∠EFD＝∠C，∴△EDF∽△ADC，∴＝（）2＝，∴＝，即ED＝AD，又∵ED＝BE＝BD，∴BD＝AD，∴AB＝BD．11．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．【解答】解：∵△ABC中，AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，∴△ABC的周长＝60cm，AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝×15×20＝150cm2，∵△ABC∽△A′B′C′，且△ABC中最长边为25cm，△A′B′C′的最长边长为50cm，∴相似比为，∴＝，即＝，＝120cm，解得C△A′B′C′∵＝（）2，∴＝，＝600cm2．解得S△A′B′C′12．已知如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．（1）当t为多少时，DE＝2DF；（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：DE＝AD﹣t＝6﹣t，DF＝2t，∴6﹣t ＝2×2t ，解得t ＝，故当t ＝时，DE ＝2DF ；（2）∵矩形ABCD 的面积为：12×6＝72，S △ABE ＝×12×t ＝6t ， S △BCF ＝×6×（12﹣2t ）＝36﹣6t ，∴四边形DEBF 的面积＝矩形的面积﹣S △ABE ﹣S △BCF ＝72﹣6t ﹣36+6t ＝36，故四边形DEBF 的面积为定值；（3）设以点D 、E 、F 为顶点的三角形能与△BCD 相似，则＝或＝，由ED ＝6﹣t ，DF ＝2t ，FC ＝12﹣2t ，BC ＝6，代入解得：＝或＝，解得t ＝3或t ＝，故当t ＝3或时，以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCD 相似．。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长；（2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5；（2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°．（2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。

相似三角形的判定与性质练习题(附答案)

相似三角形的判定与性质练习题一、单选题1.如果两个相似三角形的相似比是1:2, 那么这两个相似三角形的面积比是( ) A.2:1 B. 1:2C.1:2D.1:42.如图,点D 是△ABC 的边AB 上的一点,过点D 作BC 的平行线交AC 于点E,连接BE,过点D 作BE 的平行线交AC 于点F,则下列结论错误的是( )A. AD AE BD EC= B. AF DF AE BE= C. AE AF EC FE= D. DE AF BC FE = 3.下列四条线段中，不能组成比例线段的是（）A.3,6,2,4a b c d ====B.1,2,3,6a b c d ====C.4,6,5,10a b c d ====D.2,5,23,15a b c d ====4.如图,在ABC ∆中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不能判断ABC AED ~△△ ( )A. AED B ∠=∠B. ADE C ∠=∠C. AD AC AE AB =D. AD AE AB AC= 5.如图27-4-4,在四边形ABCD 中,BD 平分,90,ABC BAD BDC E ∠∠=∠=°为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F.若4,30BC CBD =∠=°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.4356.如图,在中,E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则:EF FC等于( )A.3:2B.3:1C.1:1D.1:27.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(11)，，(41)，，(61)，，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A.(60)，B.(63)，C.(65)，D.(42)，8.如图,在正方形网格上,若使△ABC∽△PBD,则点P应在处( )A.P1B.P2C.P3D.P49.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=( )A.1:3B.1:4C.2:3D.1:210.如图,在等边三角形ABC 中,D 、E 分别在AC 、AB 上,且AD ︰AC=1︰3,AE=BE,则有( )A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD11.如图所示,四边形ABCD 是正方形,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的一点,下列条件:①∠APB=∠EPC;②∠APE=∠APB;③P 是BC 的中点;④BP:BC=2:3.其中能推出△ABP∽△ECP 的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个12.如图，在ABC △中，CB CA =，90ACB ∠︒＝，点D 在边BC 上（与,B C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论:AC FG =；四边形1:2FAB 四边形CBFG S :S ＝△③ABC ABF ∠=∠；④2AD FQ AC =，其中正确结论有（） A.1个 B.2个C.3个D.4个13.如图，点A 在线段BD 上.在BD 的同侧作等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △,CD 与BE ,AE 分别交于点,P M .对于下列结论:① BAE CAD △△;②MP MD MA ME ⋅=⋅;③22CB CP CM =⋅.其中正确的是( )A.①②③B.①C.①②D.②③14.如图,在平行四边形ABCD 中, E 为CD 上一点,连接AE 、BE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,:4:25DEF ABF S S ∆∆=,则:?DE EC = ( ) A. 2:3B. 2:5C. 3:5D. 3?:?2二、证明题15.如图，已知,,B C E 三点在同一条直线上，ABC △与DCE △都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F ，连接GF .求证：（1）ACE BCD ≅△△；（2）AG AF GC FE=. 16.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交,AB AC 于点,M N .求证：BP CP BM CN ⋅=⋅.17.如图，D BC 已知是边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，DE BA E 与相交于点，EC AD F 与相交于点.（1）求证:ABC FCD △△；（2）若5FCD S =△，10BC ＝，求DE 的长18.如图，已知AD 平分BAC ∠， AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P .求证：2.PD PB PC =⋅19.如图，//AB FC ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，分别延长FD 和CB 交于点G（1）求证:ADE CFE ≅△△；（2）若2GB =，4BC =，1BD =，求AB 的长.20.如图，在ABCD 中，,AM BC AN CD ⊥⊥，垂足分别为,M N .求证：（1）AMB AND △△；（2）AM MN AB AC=. 三、解答题21.如图，在4x3的正方形方格中,ABC △和DEC △的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1) 填空:ABC ∠= ,BC = ;(2) 判断ABC △和DEC △是否相似，并证明你的结论.22.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米,点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动;点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动.如果P,Q 同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么1.设△POQ 的面积为y,求y 关于t 的函数关系式;2.当t 为何值时,△POQ 与△AOB 相似.23.如图，已知矩形ABCD 的一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处.已知折痕与边BC 交于点O ，连接,,.AP OP OA(1)求证:OCP PDA △△;(2)若OCP △与PDA △的面积比为1:4，求边AB 的长.24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =-+与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点45(,)33A ,点D 的坐标为(0)1，.(1)求直线AD 的解析式;(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当BOD △与BCE △相似时，求点E 的坐标. 25.如图，在矩形ABCD 中，12AB = cm ，6BC = cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P ，Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间（06t ≤≤），那么:（1）当t 为何值时，QAP △为等腰直角三角形？（2）对四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论（3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与ABC △相似？四、填空题26.如图,在直角梯形ABCD 中, 90ABC ∠=,//AD BC ,4AD =,5AB =,6BC =,点P 是AB 上一个动点,当PC PD +的和最小时, PB 的长为__________.27.如图,若AB∥CD,则△__________∽△__________,__________=__________=AO CO.28.如图,在等边三角形ABC 中,点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上,且90ADF BED CFE ∠=∠=∠=︒,则DEF ∆与ABC ∆的面积之比为__________ 29.已知578a b c ==，且329a b c -+=，则243a b c +-的值为 . 30.如图，已知在Rt ABC △中，5,3AB BC ==，在线段AB 上取一点D ，作DE AB ⊥交AC 于E ，将ADE △沿DE 析叠，设点A 落在线段BD 上的对应点为11,A DA 的中点为,F 若1FEA FBE △△，则AD= .31.已知:如图,在△ABC 中,点A 1,B 1,C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点,A 2,B 2,C 2分别是B 1C 1,A 1C 1,A 1B 1的中点,依此类推….若△ABC 的周长为1,则△A n B n C n 的周长为__________.32.如图，正三角形ABC 的边长为2，以BC 边上的高1AB 为边作正三角形11AB C ，ABC △与1ABC △公共部分的面积记为1S ，再以正三角形11AB C 的边1C 上的高2AB 为边作正三角形22AB C ，11AB C △与22AB C △公共部分的面积记为2S ，……，以此类推，则n S ＝ .（用含n 的式子表示，n 为正整数）33.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且 : 2:1,BE EC AE =与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的面积之比是 .34.如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P 从点B 出发,沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动,点Q 从点C 出发,以1cm/s 的速度向点A 移动,若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发,设运动时间为ts,当t=__________时,△CPQ 与△CBA 相似.35.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且1,4CF CD =下列结论: ①30BAE ∠=°; ②;ABE ECF △△③AE EF ⊥; ④ADF ECF △△.其中正确结论是 .(填序号)36.如图27-4-9,在ABC △中,90,8m 10m,C BC AB ∠===,°点 P 从B 点出发,沿BC 方向以2m/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA 方向以1m/s 的速度移动.若P Q 、同时分别从B C 、出发,经过____________s,CPQ CBA △△~.37.如图24-4-10,ABC △的两条中线AD 和BE 相交于点G ,过点E 作//EF BC 交AD 于点F ,则FG AG=________.参考答案1.答案：C解析：2.答案：D解析：3.答案：C解析：A 选项，因为3:62:4=，所以,,,a b c d 四条线段成比例B 选项，因为1232,2226==，所以,,,a b c d 四条线段成比例C 选项，因为4:56:10≠，所以,,,a b c d 四条线段不成比例D 选项，因为2252325,55515==，所以,,,a b c d 四条线段成比例故选C 4.答案：D解析：∵DAE CAB ∠=∠,∴当AED B ∠=∠或ADE C ∠=∠时,由两角分别相等的两个三角形相似,可以得出ABC AED ~△△;当AD AC AE AB=时,由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得ABC AED ~△△. 只有选项D 中条件不能判断ABC AED ~△△,故选D.5.答案：D解析：如图，在Rt BDC △中，4,30,BC CBD =∠=°2,2 3.CD BD ∴=∴=连接,90,DE BDC ∠=°，点E 是BC 中点,1 2.2DE BE CE C ∴====30,30,CBD BDE DBC ∠=∴∠=∠=°°,30,BD CBC ABD DBC ∠∴∠=∠=°,//,,ABD BDE DE AB DEF BAF ∴∠=∠∴∴△△~.DF DE BF AB ∴=在Rt ABD △中，230,23,3,,3DF ABD BD AD BF ∠==∴=∴=°22243,23,5555DF DF BD BD ∴=∴==⨯=故选D.6.答案：D解析：在中, //AD BC ,∴DEF BCF ∆~∆,∴DE EF BC CF=. ∴点E 是边AD 的中点, ∴12AE DE AD ==, ∴12EF CF =. 7.答案：B解析：ABC ∆中, 90,6,3,:2ABCAB BC AB BC ∠====. A 、当点E 的坐标为()6,0时, 90,2,1CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; B 、当点E 的坐标为()6,3时, 90,2,2CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ≠∆与ABC ∆不相似,故本选项符合题意; C 、当点E 的坐标为()6,5时, 90,2,4CDE CD DE ∠===,则::,AB BC DE CD EDC ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; D 、当点E 的坐标为()4,2时, 90,2,1ECD CD CE ∠===,则::,?AB BC CD CE DCE ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; 故选:B.8.答案：C解析：从图中可知，要使△ABC 与△PBD相似，根据勾股定理，得BC =BD =12BC AB BD BP ===,因为AB=2，那么BP=4，故选择P 3处 . 考点：相似三角形点评：该题主要考查学生对相似三角形概念的理解，以及对其性质的应用。

(05)相似三角形性质专项练习30题(有答案)

相似三角形性质专项练习30题（有答案）1．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．2．如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC（1）求AB的长；（2）求CD的长；（3）求∠BAD的大小．3．如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证：=．4．如图所示，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，BD=k，若△ACB∽△CBD，写出a、b、k之间满足的关系式．5．如图，AD、BE是△ABC的两条高，A′D′、B′E′是△A′B′C′的两条高，△ABD∽△A′B′D′，∠C=∠C′，求证：=．6．已知，如图，△AOB∽△DOC，BD⊥AC，∠AOB是直角．求证：AD2+BC2=AB2+CD2．7．已知如图△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°，△ABD∽△DCE．当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．8．如图，△ABC与△ADB相似，AD=4，CD=6，求这两个三角形的相似比．9．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度．10．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？11．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE=AB，AB=9，AO=6，求DE和AE的长．12．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．13．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE△∽△DEF，AB=6，AE=8，DE=2，求EF的长．14．如图，△ABC∽△DAB，AB=8，BC=12，求AD的长．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？16．如图，△ABC∽△FED，若∠A=50°，∠C=30°，求∠E的度数．17．如图，已知△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，点D、E分别是边AB、AC上的点，如果AD=3，AE=6，CE=3．根据以上条件你能求出边AB的长吗？请说明理由．18．如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC 相似？试说明理由．19．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．20．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm（1）已知他们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长．（2）已知它们的面积相差588cm2，求这两个三角形的面积．21．如图，已知△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，（1）求∠B和∠D的度数；（2）求AE和DE的长．22．一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．23．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为多少？24．如图，已知等边△ABC的边长为8，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，BD=3，E为AC中点，当△BPD 与△PCE相似时，求BP的值．25．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，求证：．26．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC=5cm，DF=4cm，求EF和AC的长．27．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C 出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，P、Q分别为AC，AB上的两动点，P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，当一点到达终点时，P、Q两点就同时停止运动．设运动时间为ts．（1）用t的代数式分别表示AQ和AP的长；（2）设△APQ的面积为S，①求△APQ的面积S与t的关系式；②当t=2s时，△APQ的面积S是多少？（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？29．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q 从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？30．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．相似三角形专项练习30题参考答案: 1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=9，∴BE===，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．2．解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：AB=3；（2）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：CD=；（3）∵△ABC∽△DAC，∴∠BAC=∠D=107°，∠CAD=∠B=36°，∵∠B=36°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107°+36°=143°3．证明：∵△ABC与∽A′B′C′，∴∠ABD=∠A′B′D′，∵AD和A′D′是高，∴∠ADB=∠A′D′B′，∴△ABD∽△A′B′D，∴=，同理可得=，∴=．4．解：∵△ACB∽△CBD，∴=，∵AC=b，CB=a，BD=k，∴=，即a2=bk．5．证明：∵△ABD∽△A′B′D′，∴∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∵AD是△ABC的高，A′D′是△A′B′C′的，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴=，同理可求△ABE∽△A′B′E′，∴=，∴=．6．解：∵BD⊥AC，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠DEC=90°，∴在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2=AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2=BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2=CE2+DE2，∴AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．7．解：分三种情况：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意；②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=1，BC=，AE=AC﹣EC=1﹣BD=1﹣（﹣1）=2﹣；③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如图所示，易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=．综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2﹣或．8．解：∵△ABC与△ADB相似，∴△ABC∽△ADB，∴=，∴AB2=AC•AD=10×4=40，∴△ABC与△ADB的相似比为==．9．解：设BF=x，则CF=4﹣x，由翻折的性质得B′F=BF=x，当△B′FC∽△ABC，∴=，即=，解得x=，即BF=．当△FB ′C ∽△ABC ， ∴AB FB /'=AC FC即，解得：x=2．∴BF 的长度为：2或．10．解：设运动了ts ，根据题意得：AP=2tcm ，CQ=3tcm ，则AQ=AC ﹣CQ=16﹣3t （cm ），当△APQ ∽△ABC 时，，即，解得：t=；当△APQ ∽△ACB 时，，即，解得：t=4；故当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是：s 或4s11．解：∵△AOB ∽△EOD ， ∴DE ：AB=OA ：OE ，∵DE=AB ，AB=9，AO=6，∴DE=×9=6，OE=OA=4，∴AE=OA+OE=6+4=10．12．解：（1）∵△PCD 是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP ∽△PDB ，∴∠APC=∠B ，∵∠A=∠A ，∴∠ACP∽∠APB，∴∠APB=∠ACP=120°；（2）∵△ACP∽△PDB，∴AC：PD=PC：BD，∴PD•PC=AC•BD，∵△PCD是等边三角形，∴PC=PD=CD，∴CD2=AC•BD．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=8，∴BE===10，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．14．解：∵△ABC∽△DAB，∴，∵AB=8，BC=12，∴，∴AD=．15．解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒．16．解：∵△ABC中，∠A=50°，∠C=30°，∴∠B=180°﹣50°﹣30°=100°，∵△ABC∽△FED，∴∠E=∠B=100°．17．解：∵△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，∴．又AD=3，AE=6，CE=3，∴AB==18．18．解：设经过t秒两三角形相似，则AP=AB﹣BP=8﹣2t，AQ=4t，①AP与AB是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=2，②AP与AC是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=，综上所述，经过或2秒钟，△APQ与△ABC相似19．解：（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=，BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中，∠AFC=90°∴（1分）（2）过点P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°，∴（1分）如果△ABP和△BCE相似，∵∠APB=∠EBC又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）∴∠ABP=∠ECB∴即解得（不合题意，舍去）∴x=8（1分）（3）①当AE=AB=4时∵AP∥BC，∴即，解得，②当BE=AB=4时∵AP∥BC，∴，即，解得（不合题意，舍去）③在Rt△AFC中，∠AFC=90°∵，在线段FC上截取FH=AF，∴∠FAE＞∠FAH=45°∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE∴AE≠BE．综上所述，当△ABE是等腰三角形时，或20．解：（1）∵相似三角形的对应边长分别是35cm和14cm∴这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的周长比为：5：2∵他们的周长相差60cm∴设较大的三角形的周长为5xcm，较小的三角形的周长为2xcm ∴3x=60∴x=20cm∴5x=5×20=100cm，2x=2×20=40cm∴较大的三角形的周长为100cm，较小的三角形的周长为40cm（2）∵这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的面积比为：25：4∵他们的面积相差588cm2∴设较大的三角形的面积为25xcm2，较小的三角形的面积为4xcm2∴（25﹣4）x=588，∴x=28cm2∴25x=25×28=700cm2，4x=4×28=112cm2∴较大的三角形的面积为700cm2，较小的三角形的面积为112cm2 21．解：（1）∵△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，∴∠B=∠A=117°，∠C=∠D=37°；（2）∵△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，∴设AE=x，DE=y，则BE=12﹣x，CE=18﹣y，∴==，即==，解得x=8，y=6，∴AE=8，DE=622．解：①当把30厘米的钢筋作为最长边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有；②当30厘米的钢筋作为中长边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，则有．③当30cm作为最短边：则另两边都会超过50cm，此时不合题意，∴一共有两种截法．23．解：题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：（1）若边长为2的边与边长为4的边相对应，则另两边为和3；（2）若边长为2的边与边长为5的边相对应，则另两边为和；（3）若边长为2的边与边长为6的边相对应，则另两边为和．故三角形框架的两边长可以是：和3或和或和．24．解：设BP=x，∵等边△ABC的边长为8，∴CP=8﹣x，∵E为AC中点，∴CE=AC=×8=4，①BD和PC是对应边时，△BDP∽△CPE，∴=，即=，整理得，x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，即BP的长为2或6，②BD和CE是对应边时，△BDP∽△CEP，∴=，即=，解得x=，即BP=，综上所述，BP的值是2或6或．25．证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴===K．又∵AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，∴==．∴，∵∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′．∴．26．解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴，∴，同理，∴．答：EF的长是cm，AC的长是cm．27．解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）则，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）则，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值为3秒或4.8秒．（11分）28．解：（1）用t的代数式分别表示AQ=2t，AP=6﹣t；（2分）（2）设△APQ的面积为S，①△APQ的面积S与t的关系式为：S=AQ•AP=×2t×（6﹣t）=6t﹣t2，即S=6t﹣t2，②当t=2s时，△APQ的面积S=×AQ•AP=×[2×2×（6﹣2）]=8（cm2）；（6分）（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当=时=，∴t=2.4（s）；②当=时=，∴t=（s）；综上所述，当t为2.4秒或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．29．解：∵∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，∴设AC=3xcm，AB=5xcm，则BC==4x（cm），即4x=8，解得：x=2，∴AC=6cm，AB=10cm，∴BC=8cm，设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则BP=2tcm，CP=BC﹣BP=8﹣2t（cm），CQ=tcm，∵∠C是公共角，∴①当，即时，△CPQ∽△CBA，解得：t=2.4，②当，即时，△CPQ∽△CAB，解得：t=，∴过2.4或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．30．（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），∴=k，a=ka1；又∵c=a1，∴a=kc；（2）解：取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2；此时=2，∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1；（3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1；又∵b=a1，c=b1，∴a=2a1=2b=4b1=4c；∴b=2c；∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．。

人教版九年级下册 27.2相似三角形判定与性质基础题专项训练(word版有答案)

相似三角形判定与性质基础题专项训练1．如图，已知△ABO ∽△DCO ，OA ＝4，OD ＝6，BC ＝12，求OB 的长．2．如图，将一副三角板按图叠放，则△ADE ∽△BCE 吗？请说明理由．3．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 相交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，求GH 的长．4.如图，已知菱形ABCD 的边长为3，延长AB 到E ，使BE ＝2AB ，连接EC 并延长交AD 的延长线于点F ，求AF 的长．5.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.6．如图所示，在△ABC 中，D 是AC 边上的一点，若AB ＝6，AC ＝9，AD ＝4.求证：△ABD ∽△ACB.7．已知：如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP ＝3PC ，M 是CD 的中点，求证：△ADM ∽△MCP.8．如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且AD CD ＝CDBD.(1)求证：△ACD ∽△CBD ； (2)求∠ACB 的大小；(3)若AD ＝3，BD ＝2，则BC ＝10．9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，点E 在AC 上，AB ＝9，AD ＝6，AE ＝4，∠BAC ＝50°.求∠CDE 的度数．10．如图，D 是△ABC 内的一点，E 是△ABC 外的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，图中有与∠ACB 相等的角吗？如果有，请找出来，并说明理由．11．如图所示，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由．12．如图，AB AD ＝BC DE ＝ACAE，求证：(1)∠BAD ＝∠CAE ； (2)∠ABD ＝∠ACE.13．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．A BCDE14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.15．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE ∽△DEF ；(2)若AB ＝4，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求BG 的长．16.如图，在锐角△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.若AD ＝3，AB ＝5，求AFAG的值．17．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证：(1)△ADE ∽△ABC ； (2)DF ·BF ＝EF ·CF.18.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果 S △ADE: S 四边形DBCE=1 ：8, 求AD ：DB.19．一块材料的形状是锐角△ABC，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3∶2，求这个矩形零件的边长．20．如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3 m，沿BD方向行走到达G点，DG＝5 m，这时小明的影长GH＝5 m．如果小明的身高为1.7 m，求路灯杆AB的高度(精确到0.1 m)．答案1．如图，已知△ABO ∽△DCO ，OA ＝4，OD ＝6，BC ＝12，求OB 的长．解：∵△ABO ∽△DCO ， ∴OA OD ＝OB OC . ∴OA OD ＝OB BC －OB ，即46＝OB 12－OB . 解得OB ＝4.8.2．如图，将一副三角板按图叠放，则△ADE ∽△BCE 吗？请说明理由．解：△ADE ∽△BCE.理由：∵∠DAC ＝∠ACB ＝90°， ∴∠DAC ＋∠ACB ＝180°. ∴AD ∥BC.∴△ADE ∽△BCE.3．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 相交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，求GH 的长．解：∵AB ∥GH ∥CD ，∴△CGH ∽△CAB ，△BGH ∽△BDC. ∴GH AB ＝CH BC ，GH CD ＝BH BC . ∴GH AB ＋GH CD ＝CH BC ＋BHBC ＝1. ∵AB ＝2，CD ＝3， ∴GH 2＋GH3＝1. ∴GH ＝65.4.如图，已知菱形ABCD 的边长为3，延长AB 到E ，使BE ＝2AB ，连接EC 并延长交AD 的延长线于点F ，求AF 的长．解：∵BE ＝2AB ，AB ＝3， ∴BE ＝6，AE ＝9.∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC ∥AF.∴△EBC ∽△EAF. ∴BE AE ＝BC AF. ∴AF ＝AE ·BC BE ＝9×36＝92.5.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC ∽△CBD. ∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD . 又∵E 为AC 中点， ∴AE ＝CE ＝ED. ∴∠A ＝∠EDA. ∵∠EDA ＝∠FDB ， ∴∠FCD ＝∠FDB. 又∵∠F 为公共角， ∴△FDB ∽△FCD. ∴DF CF ＝BD DC . ∴DF CF ＝BC AC.6．如图所示，在△ABC 中，D 是AC 边上的一点，若AB ＝6，AC ＝9，AD ＝4.求证：△ABD ∽△ACB.证明：∵AD AB ＝46＝23，AB AC ＝69＝23，∴AD AB ＝AB AC. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ABD ∽△ACB.7．已知：如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP ＝3PC ，M 是CD 的中点，求证：△ADM ∽△MCP.证明：∵四边形ABCD 是正方形，M 为CD 的中点， ∴CM ＝MD ＝12AD.∵BP ＝3PC ，∴PC ＝14BC ＝14AD ＝12CM.∴CP CM ＝MD AD ＝12，即CP MD ＝CM AD . 又∵∠PCM ＝∠ADM ＝90°， ∴△ADM ∽△MCP.8．如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且AD CD ＝CDBD.(1)求证：△ACD ∽△CBD ； (2)求∠ACB 的大小；(3)若AD ＝3，BD ＝2，则BC ＝10．解：(1)证明：∵CD 是AB 边上的高， ∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°. 又∵AD CD ＝CD BD，∴△ACD ∽△CBD.(2)∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A ＝∠BCD. 在△ACD 中，∠ADC ＝90°， ∴∠A ＋∠ACD ＝90°.∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°. (3)提示：∵AD CD ＝CD BD，∴CD 2＝AD ·BD ＝6.∴CD ＝ 6.∴BC ＝BD 2＋CD 2＝10.9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，点E 在AC 上，AB ＝9，AD ＝6，AE ＝4，∠BAC ＝50°.求∠CDE 的度数．解：∵AD 2＝62＝36， AE ·AB ＝4×9＝36，∴AD 2＝AE ·AB ，即AD AE ＝AB AD. ∵∠EAD ＝∠BAD ，∴△EAD ∽△DAB. ∴∠EDA ＝∠B.∵∠C ＝90°，∠BAC ＝50°，AD 平分∠CAB ， ∴∠EDA ＝∠B ＝40°，∠CAD ＝25°. ∴∠CDA ＝65°.∴∠CDE ＝25°.10．如图，D 是△ABC 内的一点，E 是△ABC 外的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，图中有与∠ACB 相等的角吗？如果有，请找出来，并说明理由．解：∠ACB ＝∠DEB.理由： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴△ABD ∽△CBE. ∴AB BC ＝BD BE .∴AB BD ＝BC BE. 又∵∠1＋∠DBC ＝∠2＋∠DBC ，即∠ABC ＝∠DBE ， ∴△ABC ∽△DBE. ∴∠ACB ＝∠DEB.11．如图所示，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由．解：△ABC ∽△DBE.理由：∵AC DE ＝36＝12，BC BE ＝48＝12，AB DB ＝510＝12，∴AC DE ＝BC BE ＝AB DB . ∴△ABC ∽△DBE.12．如图，AB AD ＝BC DE ＝ACAE，求证：(1)∠BAD ＝∠CAE ； (2)∠ABD ＝∠ACE. 证明：(1)∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，∴△ABC ∽△ADE. ∴∠BAC ＝∠DAE. ∴∠BAD ＝∠CAE.(2)∵AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝ADAE，∠BAD ＝∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE.13．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ，即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4.14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.证明：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF .∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. ∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠EFC ，即FE 平分∠DFC.15．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE ∽△DEF ；(2)若AB ＝4，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求BG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠A ＝∠D ＝90°. ∴∠ABE ＋∠AEB ＝90°.∵∠BEF ＝90°，∴∠AEB ＋∠DEF ＝90°. ∴∠ABE ＝∠DEF.∴△ABE ∽△DEF. (2)∵AB ＝AD ＝4，E 为AD 的中点， ∴AE ＝DE ＝2.由(1)知，△ABE ∽△DEF ， ∴AB DE ＝AE DF ，即42＝2DF . ∴DF ＝1.∴CF ＝3. ∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF. ∴ED GC ＝DF CF ，即2GC ＝13. ∴GC ＝6.∴BG ＝BC ＋GC ＝10.16.如图，在锐角△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.若AD ＝3，AB ＝5，求AFAG的值．A B CD E 解：∵AG ⊥BC ，AF ⊥DE ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°.∵∠EAF ＝∠GAC ，∴∠AED ＝∠ACB.又∵∠EAD ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC.∵AF ，AG 分别是△ADE 和△ABC 的高，∴AF AG ＝AD AB ＝35. 17．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)DF ·BF ＝EF ·CF.证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE.∴AD AB ＝AE AC ＝13. 又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠ABC.∴DE ∥BC.∴△DEF ∽△CBF.∴DF CF ＝EF BF. ∴DF ·BF ＝EF ·CF.18.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果 S △ADE: S 四边形DBCE=1 ：8, 求AD ：DB.19．一块材料的形状是锐角△ABC ，边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．且矩形的长与宽的比为3∶2，求这个矩形零件的边长．解：设PQ 与AD 的交点为H ，∵四边形PQMN 是矩形，∴BC ∥PQ.∴△APQ ∽△ABC. ∴PQ BC ＝AH AD . 由于矩形长与宽的比为3∶2，∴分两种情况：①若PQ 为长，PN 为宽，设PQ ＝3k ，PN ＝2k ，则3k 12＝8－2k 8，解得k ＝2. ∴PQ ＝6 cm ，PN ＝4 cm ；②若PN 为长，PQ 为宽，设PN ＝3k ，PQ ＝2k ，则2k 12＝8－3k 8，解得k ＝2413. ∴PN ＝7213 cm ，PQ ＝4813cm.20．如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D 点处的影长DE ＝3 m ，沿BD 方向行走到达G 点，DG ＝5 m ，这时小明的影长GH ＝5 m ．如果小明的身高为1.7 m ，求路灯杆AB 的高度(精确到0.1 m)．解：根据题意，得AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，FG ⊥BH ，∴CD ∥AB ∥FG.∴△CDE ∽△ABE ，△FGH ∽△ABH.∴CD AB ＝DE DE ＋BD①， FG AB ＝HG HG ＋GD ＋BD②. 又∵CD ＝FG ＝1.7 ，∴由①②可得：DE DE ＋BD ＝HG HG ＋GD ＋BD ，即33＋BD ＝510＋BD，解得BD ＝7.5.将BD ＝7.5代入①，得AB ＝5.95 ≈6.0 .答：路灯杆AB 的高度约为6.0 m.。

九年级数学上1.3相似三角形的性质练习题含答案

九年级数学上册第1章图形的相似1.3相似三角形的性质练习题（含答案）一．选择题（共10小题）1．已知△ABC∽△A′B′C′且，则S△ABC：S△A'B'C′为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：12．如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A．2：3 B．：C．4：9 D．8：273．如果两个相似三角形的面积比是1：6，则它们的相似比（）A．1：36 B．1：6 C．1：3 D．1：4．两个相似三角形对应中线的比2：3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（）A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．6和145．△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（）A．27 B．12 C．18 D．206．两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之差为25cm2，则较大三角形的面积是（）A．75cm2B．65cm2C．50cm2D．45cm27．已知△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，△ABC的周长是10cm，△DEF的周长是（）A．10cm B．15cm C．20cm D．30c m8．如图，△ABC中，点D在线段AB上，且△ABC∽△ACD，则下列结论一定正确的是（）A．AC2=AB•AD B．A C2=BC•AD C．A C•CD=AB•AD D．A C•CD=CD•BD（8题图）（9题图）（10题图）（11题图）9．如图，△ACD∽△ABC，则下列式子：①CD2=AD•DB；②AC2=AD•AB；③=．其中一定成立的有（）A．3个B．1个C．2个D．0个10．如图，在正方形网格上有相似三角形△A1B1C1和△A2B2C2，则△A1B1C1和△A2B2C2的面积比为（）A．2 B．C．4D．二．填空题（共6小题）11．（2015•曲靖）若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC=．12．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是．13．两个相似三角形的面积比1：4，则它们的周长之比为．14．若△ABC∽△DEF，且相似比，当S△ABC=6cm2时，则S△DEF=cm2．15．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一条短边长为2，则另外一个三角形的周长为．16．若△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的相似比为．三．解答题（共4小题）17．如图所示，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似？18．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE=AB，AB=9，AO=6，求DE和AE的长．19．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长．20．如图所示，已知：△ABC∽△DAC，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=117°（1）求AB的长；（2）求CD的长；（3）求∠BAD的大小．青岛版九年级数学上册第1章图形的相似1.3相似三角形的性质练习题参考答案一．选择题（共10小题）1．C．2．C．3．D．4．A．5．C．6．D．7．B．8．A．9．B．10．C．二．填空题（共6小题）11．15．12．4：9．13．1：2．14．24．15．7.5．16．：2．三．解答题（共4小题）17．解：①设经x秒后，△PBQ∽△CDA，由于∠PBQ=∠ADC=90°，当=时，即=，解得x=5；②设经x秒后，△QBP∽△CDA，由于∠PBQ=∠ADC=90°，当=时，即=，解得x=2．故经过5秒或2秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似．18．解：∵△AOB∽△EOD，∴DE：AB=OA：OE，∵DE=AB，AB=9，AO=6，∴DE=×9=6，OE=OA=4，∴AE=OA+OE=6+4=10．19．解：∵∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，∴BC==3cm，若△ABC∽△ADB，则，即，解得：AD=cm；若△ABC∽△BDA，则，即，解得：AD=cm；AD的长为：cm或cm．20．解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴，∵AD=2，AC=4，BC=6，∴解得：AB=3；（2）∵△ABC∽△DAC，∴，即，解得：DC=；（3）∵△ABC∽△DAC，∠B=36°，∠D=117°，∴∠BAC=∠D=117°，∠DAC=∠B=36°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=117°+36°=153°．。

相似三角形的性质(有答案)

27.2.2 相似三角形的性质学习目标：1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点、难点)2.理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (重点)【自主学习】一、知识链接1. 相似三角形的判定方法有哪几种？2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?【合作探究】一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比思考如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？证明如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应高的比.试一试仿照求高的比的过程，当△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.【要点归纳】相似三角形对应高的比等于相似比.类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.【典例精析】例1已知△ABC∽△DEF，BG、EH 分别是△ABC和△DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求EH 的长.【针对训练】1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是，对应边上的中线的比是.2. 已知△ABC ∽△A'B'C' ，相似比为3 : 4，若BC 边上的高AD＝12 cm，则B'C' 边上的高A'D' ＝.思考如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，它们的周长比也等于相似比吗？为什么？【要点归纳】相似三角形周长的比等于相似比.探究点2：相似三角形面积的比思考如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为 k ，它们的面积比是多少？证明画出它们的高，由前面的结论，我们有k C B BC =''，k D A AD=''，22121k k k D A AD C B BC D A C B AD BC S S C B A ABC=⋅=''⋅''=''⋅''⋅='''△△【要点归纳】由此得出：相似三角形面积的比等于相似比的平方．【针对训练】1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：2. 把一个三角形变成和它相似的三角形，(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的_____倍；相似比 2k ……周长比13……面积比10000……(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的_____倍.3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm 、14 cm ，(1) 它们的周长差为60 cm ，这两个三角形的周长分别是___ ___； (2) 它们的面积之和是 58 cm 2，这两个三角形的面积分别是 .例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF ，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为512，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.【针对训练】如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.例3 如图，D ，E 分别是 AC ，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm 2，且53==AB AD AC AE ，求四边形 BCDE 的面积.【针对训练】如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC的值.二、课堂小结当堂检测1. 判断：(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5 倍( )(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9 倍( )2. 在△ABC 和△DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若AP ＝2，则DQ的值为( )1A．2 B．4 C．1 D.23. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于___________.4. 两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm，面积是12 cm2，则较小三角形的周长是__________cm，面积为__________cm2.5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4 和9，求△ABC 的面积.6. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于点D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求S△ADE∶S△ABC.【分析】从题干分析可以得到△ADE∽△ABC，要证明它们面积的比，直接的就是先求出相似比，观察得到△ADE与△DCE是同高，得到AE与CE的比，进而求解.参考答案自主学习一、知识链接解：（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（5）两角分别相等的两个三角形相似（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似解：还有高，中线，平分线等等合作探究一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比证明解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．则∠ADB =∠A' D' B'=90°.∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠B ＝∠B' . ∴△ABD ∽△A' B' D' .∴k B A ABD A AD =''=''. 【典例精析】解：∵ △ABC ∽△DEF ，∴EFBCEH BG =(相似三角形对应角平分线的比等于相似比)， ∴468.4=EH ，解得 EH = 3.2.∴ EH 的长为 3.2 cm. 【针对训练】1. 2 : 3 2 : 3 2. 16cm思考解：等于，如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k ，那么k AC CAC B BC B A AB =''=''=''，因此AB ＝k A'B'，BC ＝kB'C'，CA ＝kC'A'，从而k A C C B B A A C k C B k B A k A C C B B A CA BC AB =''+''+''''+''+''=''+''+''++. 探究点2：相似三角形面积的比【针对训练】1.2. (1) 5 (2) 103. (1) 100cm ，40cm (2) 50cm 2,8cm 2解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB=2DE ，AC=2DF ，∴21==AC DF AB DE . 又 ∵∠D=∠A ，∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为21. ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为512，∴△DEF 的边 EF 上的高为21×6 = 3，面积为53512212=⨯⎪⎭⎫⎝⎛.【针对训练】14解：∵ ∠BAC = ∠DAE ，且53==AB AD AC AE ，∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25.又∵ △ABC 的面积为 100 cm 2，∴ △ADE 的面积为 36 cm 2. ∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm 2).【针对训练】解：∵ DE ∥BC ，D 为 AB 中点，∴ △ADE ∽ △ABC ，∴21==AB AD AC AE ，即相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4. 又∵ EF ∥AB ，∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为21=AC CE ， ∴面积比为 1 : 4.设 S △ABC = 4，则 S △ADE = 1，S △EFC = 1， S 四边形BFED = S △ABC －S △ADE －S △EFC = 4－1－1 = 2， ∴ S 四边形BFED : S △ABC = 2 : 4 =21. 当堂检测1. (1) √ (2) ×2. C3. 1:1 1:44. 14 345. 解：∵ DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴ △ADE ∽△ABC ，∠ADE =∠EFC ，∠A =∠CEF ， ∴△ADE ∽△EFC.又∵S △ADE : S △EFC = 4 : 9，∴ AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5， ∴ S △ADE : S △ABC = 4 : 25，∴ S △ABC = 25.6. 解：过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 F ，则22121==⋅⋅=EC AE DF EC DF AE S S DCEADE △△， ∴32=AC AE . 又∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC. ∴943222=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=AC AE S S ABC ADE △△，即 S △ADE : S △ABC ＝4 : 9.。

相似三角形的性质_练习题有答案

---.18.6 相似三角形的性质同步课堂检测学120 分考试时间：120 考试总分：分钟考号：__________ 班级：姓名：学校：一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为，继续往前走到达处时，的高度，那么路灯测得影子的长为，他的身高是D.A.B.C.的面积等于，则的面2.如图，在中，若，，若）积等于（D.C. A. B.）的值为（，那么如图，3. 中，，如果，D. A.B. C.，则， 4.如图，在中，，是边上的高，D. A.B. C.）的长为（，则，上的高，斜边是如图，5.D.A. B. C.，则这两个三角形的周长比为（6.两个相似三角形的面积之比为）D.A.B.C.，一个三角形的三边分别为7. ，另一个与它相似的三角形中有一条边长为，，则这个------.------）三角形的周长不可能是（D.C.B. A.的两条线段三等分，如8.一个，则这两条果的面积被平行于它的一边）线段中较长的一条是（D.B. C.A.如9.平于图，交于点中，，为分点，交，．下列结论；，的中点，交①的延长线于点，，其中结论正确的个数有）（③②；；④D.个C.个A.个B.个，则的上的点，、如图，分别是边、，若10.）值为（D.B. C. A.分）3二、填空题（共10小题，每小题分，共30相似三角形的判定方法11. ）和．型（图））则型（图若（射影定理：若斜边上的高（双直角图形）图为则，且．，，，则图中线段的长12.如图，，，已知，．，，且若13. ，的周长为，则的------2------.________ ．周长为．，若，则如图，已知14. ，，交于点，则，，在15. 中，、分别在、上，，．，过点的直线截，使截得的三角形与中，在16. 是上的动点异于、，（为自然数）．相似，我们不妨称这种直线为过点的的相似线，简记为，，当时，、(1)如图①，都是过点），的，的相似线（其中此外还有条．时，如图②，，，当截得面积的．的三角形面积为在底边上，且，点为腰中点，点中，17.如图，在，的长为．，则．已知：如图，在18. ，，求中，，，垂足是．19，那么这两个三角形面积的比 .．是如果两个相似三角形的相似比是20的面积 .，，且为若，，的面积为则________ ．三、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）------.------，，，21.如图，已知，分别是的，上的一点，的长．，求平分，求证：延长线于的中垂线，交，是中，22.已知在．23.如图所示，在中，点是上一点，连接，且，与的相似比．．求，连接，试判断与、，垂足分别为，中，如图，在24. 是否相似，并说明理由？，延25.如图，在于点长边上的点，为，点中，交．于点4------.证明：；，；并说明理由．若答案1.C.------2.D3.C4.C5.D6.C7.C8.D9.C10.D11.12.13.14.15. 16. ．或17.18.19.20.，、∵、分别是边上的点，的21.解：，∴，∵∴，．∴22.证明：连接，的中垂线，∵是，∴，∴且，，∴，且，∴，∴，∴，∴．------6------.23.解：∵，∴，，，∵∴，，则的相似比为：与．故24.解：相似．理由如下：∵在中，，分别是，边上的高，，∴，∵，∴∴，即，∵是公共角，．∴25.．线段线段26..------专业资料可修改可编辑范文范例可行性研究报告指导范文---。

相似三角形的性质与判定练习题含答案

和
相似．
，点 p 在 BD 上移动，
【答案】或 12cm 或 2cm
【解析】解：由
，
，
，
设
，则
，
若
∽
，
则
，
即
，
变形得：
，即
，
因式分解得：
，
解得：
，
，
所以
或 12cm 时，
∽
；
若
∽
，
则
，
即
，解得：
，
，
综上，
或 12cm 或时，
∽
．
故答案为：或 12cm 或 2cm．
设出
，由
表示出 PD 的长，若
．
综上所述，当
或时，
与
相似．
故答案为或．
19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，AC
与 DE 相交于点 F，若
，
，则
等于_____．
20.
21.
【答案】11
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题首先利用平行四边形的构造相似三角形
的相似条件，然后利用其性质即可求解由于四边形 ABCD 是平行四边形，所以得到
根据对称性可知：
，
∽
，根据相似的性质可得出：
，又，
，所以，在
中，由勾股定理可求得 AC 的值，
，
【解答】
解：设 BE 的长为 x，则
、
在
中，
，将这些值代入该式求出 BE 的值．
，
∽
两对对应角相等的两三角形相似
，故选：C．
，
，

相似三角形判定与性质-练习题(带答案)

【答案】 D
【解析】 ∵
，
∴
，
∴
，
∴
∵Hale Waihona Puke ，∴，即甲与乙与丙均相似．
【标注】【知识点】相似三角形的判定-两角对应相等
D. 甲与乙与丙
3
6. 给定条件能判断
A.
B.
，
C.
，
D.
和，
，，，
相似的是（）．，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【答案】 D
【解析】．不相似：∵
∴
，
∴不相似；
．不相似：∵
，，
，
，
∴ 不是边， ∴不相似；
，交于，则
（
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 ∵
，
∴
，
又∵平行四边形
中，
，
，
∴
，
，
∴
．
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
14. 要测量一棵树的高度，发现同一时刻一根米长的竹竿在地面上的影长为米，此刻树的影子不全落在地上，有一部分落在了教学楼第一级的台阶水平面上，测得台阶水平面上的影长为米，一级台阶的垂直高度为米，若，此时落在地面上的影长为米，则树高（）．
∵
，
∴
．
【标注】【知识点】相似反A字型
1
3. 已知：如图，
，求证：
．
【答案】证明见解析．
【解析】 ∵ ∴ 又∵ ∴
，，
，．
【标注】【知识点】相似反8字型
4. 如图，在
中，点、分别在边、上，如果

相似三角形的性质_练习题(有答案)word版本

18.6相似三角形的性质同步课堂检测学考试总分：120分考试时间：120分钟学校：班级:姓名:考号:、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1•王华晚上由路灯下的岡处走到|:；|处时，测得影子丽的长为，继续往前走|M 住到达处时，测得影子馬的长为，他的身高是|1,，那么路灯H 的高度.=：」2•如图，在中，若一」「丄； …，若—二匸的面积等于同，则的面积等于（）3.如图，|心』呪中，DE 〃氏，如果M = 0甘=2|,那么远;的值为（）LJ4.如图，在h ；「‘心一中，..I ，.； r ,：：綢是边上的高，-4匚二二 d = *，则，=（；A.B.7.2mC.D.l.SmB. C. D.A.C.A. B. C.A.245•如图，是严利斜边!胡上的高，，，则’•的长为（）A.・1B.C.D.6•两个相似三角形的面积之比为，则这两个三角形的周长比为（）A.B. .C.； 1D..7•—个三角形的三边分别为鞫，，，另一个与它相似的三角形中有一条边长为三角形的周长不可能是（）8•—个芒二N 的面积被平行于它的一边的两条线段三等分，如果匚匸止■.比，则这两条线段中较长的一条是（）A. B. D.「'■-：9.如图，卜山二壮中，山‘平分一—交覚于点:；,亠交胡于点二，吗为,的中点，时「.胆交的延长线于点，岂:--，‘工：-:：.•下列结论 ① W-\DE 3②DA = A ；③AC DL ~i2；④站4=^4,其中结论正确的个数有（）「，则这个B.C. D.二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）11.相似三角形的判定方法K1J若DEJfBC（川型（图1）和氏型（图2））则|.同射影定理：若为 -斜边上的高（双直角图形）Rt A ABC -Wt A ACD - Rt A CUDA.个B.个C.个D.个10.如图，、•分别是朮边’、上的点，，若'也甘恥：'右CDS =1；3，则1Bi1C.12.如图，中线段的长BD =13.若— ms.，且，—.的周长为悴;,贝则"玄v|的周长为A H 4__ •/ID 214. 如图，已知 M 〃肚，如，0E 交于点卩，若 —=-15.在'中，\ 分别在、•上，九 ■：, • ，沁-加，，则■ & & AifC- _____16.在 ’中，是’上的动点异于、鬲，过点的直线截，使截得的三角形与简记为，（为自然数）（1）如图①，山=90■，已，当HP = 2PA 时，件⑺、P 心）此外还有 _________ 条.⑵如图②，山=«,当顾二 _________________________________ , P （Q 截得的三角形面积为^ABC 面积的17.如图，在"肮中，=占（；=2, ，点"为腰中点，点圧在底边虫凸上，且，则DEh.相似，我们不妨称这种直线为过点的.的相似线,都是过点的的相似线（其中I •丄血，），营②UE 3^ElAD，则0E的长为_____________ -18. 已知：如图，在Ui-中，.二”舟_ ：小“，’V亠正：，垂足是卜，£「-卡，.求19. 如果两个相似三角形的相似比是 ___________________ 1:3,那么这两个三角形面积的比是-20. 若-一m—ur,―:江的面积为的面积为忖”：.［，且心疔丄心胡,则DE —_________ __、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）21. 如图，已知，分别是•的，上的一点，『―】处i，处+1，，= <■，求|.:沱;的长. __________22. 已知在V中，.平分-丛江，阂H是!拥的中垂线，交於［延长线于，求证:23. 如图所示，在巳1中，点是上一点，连接伴，"二且•, 則［.求-总」与的相似比.24. 如图，在中，妙—叮，，垂足分别为' > ，连接，试判断与|是否相似，并说明理由？25. 如图，在Rt A ABC中，山腕=90”，点卩为Of边上的点，血丄AD于点E,延长交于点•证明:际-Ali _IiD _ AF~mj：~j，■；并说明理由.答案1. C2. D 精品文档3. C4. C5. D6. C7. C8. D9. C10. D 11•…•匸丄- —D；；U U匚 212.13.15.164押17渥318.19.20.21. 解：T、分别是乙―的'、•边上的点，■, •/ ' .W22. 证明：连接卜乂•••■是「的中垂线, 精品文档23. 解：•/,AC AD• _ ___•乔—屁’•抑=4 Z?D = 5|故• 与•’的相似比为:24.解：相似•理由如下：••在中，* , 分别是妁；|, 边上的高,•/是公共角，25..26/ I线段■线段精品文档。

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