相似三角形性质应用

相似三角形的性质及应用

相似三角形对应角相等，对应边成比例；相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

1．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.

总结：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类

2．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

总结：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.

举一反三

【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.

总结：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题.

相似三角形的应用

1．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？

方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽.

方案2：

思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.

如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC

∴∠ABO=∠DCO=90°

又∵∠AOB=∠DOC

∴△AOB∽△DOC

∴

∵BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m

答：河宽为85m．

总结：方案2利用了“”型基本图形，实际上测量河宽有很多方法，可以用“”型基本图形，借助相似；也可用等腰三角形等等.

举一反三

【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．

(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?

(2)求古塔的高度．

【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？

相似三角形的周长与面积

1．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC 交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．

【变式】如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．

(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；

(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；

综合探究

1．如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P 为垂足，PE交DC于点E，

(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；

(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.

总结升华：

(1)求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和已知线段作为三角形的边，利用相似三角形的知识解决.

(2)解决第(2)小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置，再转化为具体的数值，通过建立方程解决，体现了数形结合的思想.

10．如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF ∥AC交AB于F.

(1)设BP=，△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；

(2)当P在BC边上什么位置时，值最大.

总结升华：建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从以下几方面考虑：

(1)从面积公式入手；

(2)从相似三角形的性质入手；将面积的比转化为相似比的平方；

(3)从同底或等高入手，将面积比转化为底之比或高之比.