相似三角形的判定、性质及应用(讲义)

相似三角形的判定、性质及应用（讲义）

➢ 课前预习

一、回顾下列知识，再将各选项填到对应横线上：

A ．能够完全重合的两个图形称为全等图形

B ．全等图形的形状和大小都相同

C ．全等三角形的对应边相等，对应角相等

D ．三边分别相等的两个三角形全等，简写为“SSS ”

E ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ASA ”

F ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“AAS ”

G ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“SAS ”

二、读一读，想一想

太阳光线可以看成平行光线．早在约公元前600年前，就有人利用平行光线去解决实际生活当中的问题了．他就是泰勒斯——古希腊第一位享有世界声誉，有“科学之父”和“希腊数学的鼻祖”美称的伟大学者．

泰勒斯已经观察金字塔很久了：底部是正方形，四个侧面都是相同的等腰三角形．要测量出底部正方形的边长并不困难，但仅仅知道这一点还无法解决问题．他苦苦思索着．

当他看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到办法了．这一天，阳光的角度很合适，把所有东西都拖出一条长长的影子．泰勒斯仔细地观察着影子的变化，找出金字塔底面正方形的一边的中点（这个点到边的两端的距离相等），并作了标记．然后他笔直地站立在沙地上，并请人不断测量他的影子的长度．当影子的长度和他的身高相等时，他立即跑过去测量金字塔影子的顶点到做标记的中点的距离．他稍做计算，就得出了这座金字塔的高度．

当他算出金字塔高度时，围观的人十分惊讶，纷纷问他是怎样算出金字塔的高度的．泰勒斯一边在沙地上画图示意，一边解释说：“当我笔直地站立在沙地上时，我和我的影子构成了一个直角三角形．当我的影子和我的身高相等时，就构成了一个等腰直角三角形．而这时金字塔的高

（金字

塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形．所以这个巨大的直角三角形的两条直角边也相等．”他停顿了一下，又说：“刚才金字塔的影子的顶点与我做标记的中心的连线，恰好与这个中点所在的边垂直，这时就很容易计算出金字塔影子的顶点与底面正方形中心的距离了．它等于底面正方形边长的一半加上我刚才测量的距离，算出来的数值也就是金字塔的高度了．

想一想：为什么金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形呢？

➢ 知识点睛

1. 相似三角形的判定：

① _______________________________________________

_；

② _______________________________________________

_；

③ _______________________________________________

_；

④ _______________________________________________

_

_______________________________________．

2.相似三角形的性质：

①相似三角形___________，_______________，___________都等于相似

比；

②相似三角形的周长比等于_______，面积比等于_________．

3.测量旗杆高度的方法：

①利用阳光下的影子②利用标杆③利用镜子的反射

（太阳光是平行光）（同位角相等）（借助反射角、入射角相等）

4.位似：

①如果两个图形不仅________，而且____________________

_____________________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_________．位似图形上__________________

________________等于相似比．

②在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一

个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是_______，它们的相似比为________．

➢精讲精练

1.如图，线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD．给出下列条件，判断并写出

对应的相似三角形．

①若∠A=∠D，则_______∽______；

②若∠A=∠B，则_______∽______；

③若

OA OC

OD OB

，则______∽______；

D

C

A

B

O

④若AC ∥BD ，则______∽______．

2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上．给出下列条件：①∠AED =

∠B ；②∠ADE =∠C ；③∠ADE =∠B ；

④

AD AC AE AB =；⑤AD AE

AB AC

=

．其中能判断△ABC ∽△AED 的有_______________（填序号）．

3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC

相似的是（ ）

A

B

C

D

4. 如图，AB ∥CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ，则图中相

似的三角形有______对．

F E

D

C

B

A

图2

5.

图中相似三角形共有（ ） A ．1对 B ．2对

C ．3对

D ．4对

C

B

A

F E

C

A B D

E D C B A