相似三角形的判定、性质及应用(讲义)
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
相似三角形的判定及性质 课件
1.相似三角形 (1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形 叫作相似三角形，相似三角形对应边的比值叫作相 似比(或相似系数). (2)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示，例 如△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.
2.相似三角形的判定
定理
内容
规律方法 直角三角形相似的判定方法很多，既 可根据一般三角形相似的判定方法，又有其独特 的判定方法，在求证、识别的过程中可由已知条 件结合图形特征，确定合适的方法.
要点三 相似三角形的性质 例 3 如图所示，在△ABC 和△DBE 中，DABB＝BBCE
＝DACE＝53. (1)若△ABC 与△DBE 的周长之差为 10 cm，求 △ABC 的周长； (2)若△ABC 与△DBE 的面积之和为 170 cm2， 求△DBE 的面积.
外接(内切)圆的面积相等 的平方
要点一 相似三角形的判定 例 1 如图所示，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝a，
BC＝b，当 BD 与 a，b 之间满足怎样的关系 时，△ABC 与△CDB 相似？
解 (1)∵∠ABC＝∠CDB＝90°，∴当ABCC＝BBDC时， △ABC∽△CDB.即ab＝BbD，∴BD＝ba2时，△ABC∽△CDB. (2)∵∠ABC＝∠BDC＝90°，∴当ABCC＝BADB时， △ABC∽△BDC，即ab＝ aB2－D b2，∴BD＝b aa2－b2时， △ABC∽△BDC.综上，当 BD＝ba2或 BD＝b aa2－b2时， △ABC 与△CDB 相似.
4.相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长的比等于相似比. (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形的性质ppt课件
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
三角形的相似性质相似三角形的判定及其应用
三角形的相似性质相似三角形的判定及其应用相似三角形的判定及其应用相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它在几何图形的相似性及其应用方面具有广泛的应用。
本文将介绍相似三角形的判定方法以及在实际问题中的应用。
一、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，常用的方法有以下几种：1. AA判定法（角-角相似判定法）当两个三角形中有两个对应的角相等时，这两个三角形就是相似的。
如下图所示，∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，那么△ABC与△A'B'C'相似。
[插入示意图]2. AAA判定法（全等三角形的判定法）如果两个三角形的三个内角相对应相等，那么这两个三角形是相似的。
如下图所示，∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，∠C1 = ∠C2，那么△ABC与△A'B'C'相似。
[插入示意图]3. SSS判定法（边-边-边相似判定法）当两个三角形的对应边长度成比例时，这两个三角形就是相似的。
如下图所示，AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'，那么△ABC与△A'B'C'相似。
[插入示意图]二、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 测量高度利用相似三角形的性质，可以通过测量一个物体的阴影和遮挡的长度，来计算出物体的真实高度。
如下图所示，通过测量△ABC的阴影长度BD和实际高度AC，可以利用相似三角形的比例关系计算出物体的真实高度。
[插入示意图]2. 地图比例尺在地图上，为了能够容纳更多的信息，通常会使用比例尺来缩小地图的尺寸。
利用相似三角形的性质，可以通过测量地图上的距离和实际距离来确定比例尺的大小，进而测量其他地点的实际距离。
3. 相似三角形的分割比例在一些几何问题中，需要将一个三角形或长方形划分成若干个部分，利用相似三角形的性质可以确定每个部分的长度比例。
相似三角形的判定与性质
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地理学中的应用：测量距离、确定位置等
航海学中的应用：确定船只的位置、航向等
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相似三角形的判定定理与性质定理的证明
判定定理的证明
定义法：利用相似三角形的定义，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
平行线法：利用平行线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
角平分线法：利用角平分线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
适用情况：适用于已知三角形角度和边长的情况
注意事项：在应用定义法时，需要仔细检查对应角和对应边的比例关系，以避免出现误差
平行线法
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适用范围：适用于直角三角形和非直角三角形
定义：利用平行线性质，通过比较对应边和角的比例关系来判定两个三角形是否相似
证明方法：利用平行线的性质和相似三角形的定义进行证明
应用举例：在几何问题中，常常利用平行线法来判定两个三角形是否相似
角角角法
性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例
应用：在几何、代数、三角函数等领域有广泛的应用
定义：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
判定方法：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
边边边法
证明方法：利用相似三角形的性质和判定定理进行证明
证明：根据相似三角形的定义，可以通过相似比推导出对应角相等
对应边成比例
性质定义：相似三角形的对应边长比例相等
性质推论：相似三角形的对应高、中线、角平分线等比例
性质应用：在几何证明和计算中，利用对应边成比例的性质可以简化问题
相似三角形的性质与判定专题讲义(基础)(精)
相似三角形的性质与判定专题讲义一、知识梳理(一、相似三角形的性质:1、相似三角形的对应角 ,对应边。
2、相似三角形的对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于。
3、相似三角形对应周长的比等于。
4、相似三角形对应面积的比等于。
注意:在运用相似三角形的性质解题时,一定要确定好对应边、对应角;若果不能确定,则应当进行分类讨论。
(二、相似三角形的判定: 1、判定两个三角形相似的条件:(1平行截割: _____(2两角对应相等: (3两边夹: (4三边比:_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤:(1先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角 (2若只能找到一对对应角相等,则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。
(3若找不到相等的角,就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积,化等比;横找、竖找定相似;不相似,莫生气,等线等比来代替。
二、基础练习1.(2013•重庆已知△ABC ∽△DEF ,若△ABC 与△DEF 的相似比为3:4,则△ABC 与△DEF 的面积比为( A .4:3B .3:4C .16:9D .9:162.两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ,它们的面积之差为32cm 2,那么小三角形的面积为( A .10cm 2B .14cm 2C .16cm 2D .18cm 23.如图,已知△ABC ,AB=6,AC=4,D 为AB 边上一点,且AD=2,E 为AC 边上一点(不与A 、C 重合,若△ADE 与△ABC 相似,则AE=( A .2B .34C .3或43D .3或345.如图,D 、E 分别是AC ,AB 上的点,∠ADE =∠B ,AG ⊥BC 于点G ,AF ⊥DE 于点F.若AD =3,AB=5,求: (1AGAF;(2△ADE 与△ABC 的周长之比;ABCDEF三、重难点高效突破专题一:计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是:1、运用勾股定理计算;2、运用相似三角形对应边成比例计算;3、综合运用进行计算。
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比叫做相似比。
相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：相似三角形的对应角大小相等。
2、对应边成比例：相似三角形的对应边的长度之比等于相似比。
3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
这些性质是解决相似三角形应用问题的基础，我们需要熟练掌握并能够灵活运用。
二、相似三角形在测量中的应用1、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量一些物体的高度，如大树、高楼等。
当直接测量高度有困难时，可以利用相似三角形的原理来解决。
例如，要测量一棵大树的高度，可以在与大树底部水平的地面上选择一点 A，然后在 A 点处直立一根标杆 CD，测量出标杆的长度 CD 以及标杆顶端 D 与树顶 E 的仰角∠DAE 和∠DBC。
由于标杆与地面垂直，大树也与地面垂直，所以三角形 ADE 和三角形 ABC 相似。
根据相似三角形对应边成比例，可得：AB ／ AD ＝ BC ／ DE已知 AB、AD、BC 的长度，就可以求出大树的高度 DE。
2、测量距离相似三角形还可以用于测量无法直接到达的两点之间的距离。
比如，要测量一条河的宽度。
可以在河的一侧选择一点 A，在对岸选择一点 B，然后在 A 点所在的岸边选择另一点 C，使得 AC 与河岸垂直。
再在 AC 上选择一点 D，使得∠ADB ＝∠ABC。
此时三角形ABD 和三角形 ABC 相似。
通过测量 AC、AD 的长度以及∠ADB 的度数，就可以根据相似三角形的性质求出河的宽度 AB。
三、相似三角形在几何证明中的应用在几何证明题中，常常会遇到需要证明两个三角形相似的情况。
这时，我们需要根据已知条件寻找三角形相似的条件。
常见的证明三角形相似的方法有：1、两角对应相等的两个三角形相似。
相似三角形的性质及应用(解析版)
4.5相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.OEFDABC即12OD OE OF OA OB OC === . 要点：H OEFDAB C过点E 作EH ∥BC 交AD 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH ，从而得到BD=2EH ，再根据△BDO 和△EHO 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证1=2OE HE OB BD ，同理其他比例也可以得到． 三、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB 的长.2．如乙图所示，可先测AC 、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（ ） A ．2:3 B ．2：3 C ．4：9 D ．8：27 【解答】B【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．2．已知ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2，若BC 边上的中线长为1，则EF 边上的中线长是（ ） A ．2 B ．2 C ．3D ．4【解答】A【提示】由ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2可知：相似比为1:2，则对应中线的比为1:2，即可求出答案．【详解】∵ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2 ∴相似比为1:2 ∴其对应中线的比为1:2 ∵BC 边上的中线长为1 ∴EF 边上的中线长是2 故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题．3．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ）．A ．AD DEAB BC =； B ．AD AE AC AB =；C ．AD AB DE BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅． 【解答】D【提示】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断． 【详解】解：A 、∵AD DEAB BC =，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；B 、AD AE AC AB =EAD BAC ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽，E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD =，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误；D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，AD AEAB AC ∴=，EAD BAC ∠=∠， DAE BAC ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，//DE BC ∴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 4．已知ABC 与DEF 相似，且A D ∠=∠，那么下列结论中，一定成立的是（ ） A ．B E ∠=∠ B ．AB ACDE DF =C ．相似比为AB DED ．相似比为BCEF【解答】D【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．【详解】解：∵B 可以与E 对应，也可以与F 对应，∴∠B=∠E 或∠B=∠F ，A 不一定成立； 同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴AB AC DE DF =或AB ACDF DE =，B 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴相似比可能是AB DE ，也可能是ABDF ，C 不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A 与∠D 是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC 与EF 是对应比，∴相似比为BCEF ，∴D 一定成立， 故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的． 5．如图，小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E ．C ，E ，A 三点在同一直线上，B ，C 相距 20 米，D ，C 相距 40 米，乙楼的高 BE 为 15 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 AD 为 （ ）A ．40 米B ．20 米C ．15 米D ．30 米【解答】D【提示】证明ADC EBC ∽△△，利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：90ADC ∠=︒，90EBC ∠=︒，C ∠是公共角，∴ADC EBC ∽△△， ∴AD DCEB BC =， ∵20m BC =，40m DC =，15m BE =， ∴40=15=30m 20DC AD EB BC =⨯⨯．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质． 6．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥垂足为D ，那么下列结论错误的是（ ）A ．22AC BD BC AD ⋅=⋅B ．22BC BD CD AB ⋅=⋅C ．AD BC AC CD ⋅=⋅ D ．CD BC AC BD ⋅=⋅ 【解答】B【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC ∽△CDB ∽△ACB ，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ∴AC2=AD·AB ，BC2=BD·AB ，故22AC BD BC AD ⋅=⋅，A 正确，B 错误；∵△ADC ∽△CDB∴AD AC CDCD BC BD == ∴AD BC AC CD ⋅=⋅，CD BC AC BD ⋅=⋅,C,D 选项正确； 故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.7．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=14AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGHS S △△的值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．1【解答】C【提示】首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得223924ADC BAC BGHBGHS S BA SSBG （）（）====,13ADG ADCSS=，由此即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，DC=AB ， ∵AC=CA ， ∴△ADC ≌△CBA ， ∴S △ADC=S △ABC ，∵AE=CF=14AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3， ∴AG ：AB=CH ：BC=1：3， ∴GH ∥AC ， ∴△BGH ∽△BAC ， ∴223924ADC BAC BGHBGHS S BA S SBG （）（）====，∵13ADG ADCS S=，∴913434ADG BGHS S=⨯=.故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图，在正方形ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP 、AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是（ ）A ．AE=2DEB ．CFP APHC ．CFP APCD ．2CP PH PB =⋅【解答】C【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF ，即可判断．D.利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵△ABP 是等边三角形， ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE ，故A 正确; ∵AB ∥CD ，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°， 又∵BC=BP ，∠PBC=30°， ∴∠BPC=∠BCP=75°， ∴∠CPF=105°，∴∠PHA=∠CPF ，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP ∽△APH ，故B 正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF ， ∴△PFC 与△PCA 不相似，故C 错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°， ∴∠PCH=∠PBC ， ∵∠CPH=∠BPC ， ∴△PCH ∽△PBC ，∴PC PHPB PC =,∴PC2=PH•PB ，故D 正确， 故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图所示，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ．若45::2DOE COA S S ∆∆=，则BDES ∆与CDE S ∆的比是（ ）A ．1：2B ．1： 3C ．2：3D ．2：5 【解答】C【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵//DE AC ， ∴DEO CAO ∆∆∽， ∵45::2DOE COA S S ∆∆=，∴2425DE AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴25DE AC =， ∵//DE AC ， ∴25BE DE BC AC ==， ∴23BE EC =，∴BDES ∆与CDE S ∆的比2:3=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点,,C D E 在同一条直线上，顶点, ,B C G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，EGC ∠的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH 交EC 于点N ．则BCCG 的值为（ ）A ．31-B ．3C ．21-D ．2【解答】C【详解】∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，,,BC DC CE CG BCE DCG ∴==∠=∠．在BCE和DCG △中，,,(),,BC DC BCE DCG BCE DCG SAS BEC BGH CE CG =⎧⎪∠=∠∴∴∠=∠⎨⎪=⎩≌．90BGH CDG ∠+∠=︒，,90CDG HDE BEC HDE ∠=∠∴∠+∠=︒．GH BE ∴⊥．GH 平分,EGC BGH EGH ∠∴∠=∠．()BGH EGH ASA ∴≌．BH EH ∴=．又O 是EG 的中点，//HO BG ∴．D C DHN G ∴∽△△．DN HN DC CG ∴=．设HN a =，正方形ECGF 的边长是2b ，则2BC a =，22,,22b a aCD a NC b a b -==∴=，即2220a ab b +-=，解得(12)a b =-+或(12)a b =--（舍去），则221,212a BCb CG =-∴=-．二、填空题11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________． 【解答】3：5【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案． 【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25 ∴两个相似三角形的相似比是3：5 ∴对应边上的中线的比为3：5 故答案为：3：5．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，△ABC ∽△CBD ，AB=9，BD=25，则BC=______．【解答】15【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵△ABC ∽△CBD ，∴AB CBCB BD =，即2BC AB BD =⨯， AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD ∴=⨯=⨯==，15BC =∴， 故答案为：15【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________． 【解答】8【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x ，则 2624x =，∴8x =；∴三角形的最短边为8． 故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．14．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF AE ⊥交DC 于点F ．若4AB =，6BC =，则DF 的长为______．【解答】74【提示】结合矩形的性质证明BAECEF ∆∆可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90AEB CEF∴∠+∠=︒，BAE CEF∴∠=∠，BAE CEF∴∆∆，::AB CE BE CF∴=，E是BC的中点，6BC=，3BE CE∴==，4AB=，4:33:CF∴=，解得94CF=，97444DF CD DF∴=-=-=．故选：7 4．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF∆∆是解题的关键．15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．【解答】32【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有AP AMBP BN=，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和8BN≥即可求出AM的最小值．【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∴△APM∽△BPN；∴APBP＝AMBN，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴AMBN＝41，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压32cm ． 故答案为：32．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．如图，已知,20,60AB BC ACBAD DAE AD DE AE ︒︒==∠=∠=，则DAC ∠的度数为_________．【解答】40°【提示】由AB BC ACAD DE AE ==可判定△ABC ∽△ADE ，得到∠BAC=∠DAE ，再根据20BAD ︒∠=，60DAE ︒∠=，可得出∠DAC 的度数.【详解】解：∵AB BC ACAD DE AE ==， ∴~ABC ADE ， ∴60BAC DAE ︒∠=∠=， 又∵20BAD ︒∠=， ∴40DAC ︒∠=． 故答案为：40°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据AB BC ACAD DE AE ==判定出△ABC ∽△ADE.17．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【解答】207【提示】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF ∽△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案． 【详解】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∴设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k ）2＋k2，解得：k ＝25， ∴BC ＝25，AC ＝45， ∴CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于△ABC ， ∴GF ＝EF ＝MN ，GF ∥AB ， ∴△CGF ∽△CAB ，∴CN GF =CM AB ，即4EF EF410-=， 解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．【解答】 234【提示】如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，由面积和差关系可求3BCF S ∆=，通过证明ABE CBF ∆∆∽，可得2()ABE BCF S AB S BC∆∆=，可求2EH =，由勾股定理可求AE ，BE ，EF 的长，通过证明BEH EFQ ∆∆∽，可得2BE EH BH EF QF EQ ===，可求22EQ =，2QF =，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，90ACB ∠=︒，AC BC =，2AB BC ∴，=6AB ，32AC BC ∴==四边形ABFC 的面积为12，12ABC BCF S S ∆∆∴+=， 3BCF S ∆∴=，等腰Rt BEF ∆，2BE BF ∴，45EBF∠=︒，=45ABC ∠︒，ABE CBF ∴∠=∠，2AB BE BC FB == ABE CBF ∴∆∆∽，∴2()ABE BCF S AB S BC ∆∆=， 326ABE S ∆∴=⨯=，∴162AB EH ⨯=，2EH ∴=，45CAB ∠=︒，EH AB ⊥，45CAB AEH ∴∠=∠=︒，2AH EH ∴==，222AE EH ==，4BH ∴=，2CE =，2221825BE CE BC ∴=+=+=，10EF ∴=，180AEH BEH FEB QEF ∠+∠+∠+∠=︒， 90BEH FEQ ∴∠+∠=︒，且90BEH EBH ∠+∠=︒EBH QEF ∴∠=∠，且90Q BHE ∠=∠=︒，BEH EFQ ∴∆∆∽， ∴2BE EH BHEF QF EQ ===， 22EQ ∴=，2QF =， 42AQ ∴=，2232234AF AQ QF ∴=+=+=，故答案为：22，34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH 的长是本题的关键．三、解答题19．如图，在ABP 中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1)求证：ABP DCP ∽△△； (2)求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)AB＝8【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，∴54PDPC=，10584APBP==，∴PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；（2）解：∵△ABP∽△DCP，∴AB PBCD PC=，即844AB=，∴AB＝8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【解答】(1)见解析(2)1：3【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴AE ABAB BC=，即2AE xx x=，∴AE=12x，∴DE=AD-AE=32x，∴AE：DE=13:22x x=1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM PN=，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP==米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直与河面EP，求河宽EP是多少米？【解答】河宽为12米【提示】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．【详解】解：如图，连接DF ，∵点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， ∴四边形DEPF 为矩形， ∴DF EP =，∴ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=， ∴ 5.250.756FN PN FP =+=+=， ∵AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ， ∴90ABD NFD ∠=∠=︒， ∵ADB NDF ∠=∠， ∴ADB NDF ∽△△； ∴AB NFBD DF =， ∵ 1.6AB =， 3.2BD =， ∴1.663.2DF =，∴12DF =， ∴12EP =（米）． 答：河宽EP 是12米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．如图，已知AD ，BC 相交于点E ，且△AEB ∽△DEC ，CD ＝2AB ，延长DC 到点G ，使CG ＝12CD ，连接AG ．(1)求证：四边形ABCG 是平行四边形；(2)若∠GAD ＝90°，AE ＝2，CG ＝3，求AG 的长． 【解答】(1)证明见解析； (2)35AG =【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB ∥CD ，再由CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，可得AB ＝CG ，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG ∥BC ，可得∠AEB ＝90°，再由CG ＝3可得AB ＝3，利用勾股定理可得BE ，再由相似三角形的性质可得CE ，从而得出BC ，即可求解． （1）证明：∵△AEB ∽△DEC ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ， 即AB ∥CG ，∵CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，∴AB ＝CG ，∴四边形ABCG 是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCG 是平行四边形，AE ＝2，CG ＝3， ∴AG ∥BC ，AG ＝BC ，AB ＝CG ＝3， ∵∠GAD ＝90°， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得：BE 22AB AE -即BE ＝22325-=，∵△AEB ∽△DEC ， ∴12BE AB CE CD ==， ∴CE ＝25，∴BC ＝BE+CE ＝35， ∴AG ＝BC ＝35．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．23．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 是边AC 上一点，且满足ADE B ∠=∠．(1)证明：ADB AED ∆∆；(2)若3AE =，5AD =，求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)253【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD ．根据相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD =，则可得出答案． （1）∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD ． ∵∠ADE=∠B ， ∴△ADB ∽△AED ． （2）∵△ADB ∽△AED ， ∴AD ABAE AD =，∵AE=3，AD=5， ∴535AB =， ∴253AB =． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：2CF GF EF =⋅．【解答】见解析【提示】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，AB CD ∥，得到△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AB CD ∥，∴△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ∴GF DF CF BF =，CF DFEF BF =， ∴GF CFCF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，已知cm,cm,23,36,117AD a AC b BC AC B D ===∠∠=︒=︒，ABC DAC △∽△．（1）求AB 的长；（2）求DC 的长； （3）求BAD ∠的度数．【解答】（1）32cm a ；（2）2cm3b ；（3）153︒【提示】（1）由ABC DAC △∽△，可得：,AB BCAD AC =再代入数据可得答案；（2）由ABC DAC △∽△，可得：,AC BCDC AC =再代入数据可得答案；（3）由ABC DAC △∽△，可得：117,36,BAC D B DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒再利用角的和差可得答案； 【详解】解：（1）23,,BC AC AD a ==3,2BC AC ∴= ABC DAC △∽△，,AB BCAD AC ∴= 3,2AB a ∴= 3.2AB a ∴=（2） ABC DAC △∽△，,AC BCDC AC ∴= 而3,,2BC AC b AC == 3,2b DC ∴=2.3DC b ∴=（3） ABC DAC △∽△，36,117,B D ∠=︒∠=︒117,36,BAC D B DAC ∴∠=∠=︒∠=∠=︒11736153.BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.26．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD =．(1)求证：ABC AED ∽△△． (2)若20BAE ∠=︒，求∠CBD 的度数． 【解答】(1)证明见解析 (2)20︒【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．（2）根据（1）中ABC AED ∽△△，得出ADB ACB ∠=∠，再根据对顶角相等，AFD BFC ∠=∠，证得AFD BFC ∽△△，得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠，即可求解． （1）∵BAE CAD ∠=∠∴BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠， AB ACAE AD =，∵在ABC 和AED △中， AB ACAE AD BAC DAE ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC AED ∽△△． （2）∵ABC AED ∽△△， ∴ADB ACB ∠=∠，又∵AFD BFC ∠=∠，对顶角相等，∴AFD BFC ∽△△， ∴CBD CAD ∠=∠，∵BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，∴20CAD ∠=︒， 故答案为：20︒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ⊥DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：△BGC ∽△DGF ； (2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； (3)若点G 是DC 中点，求GFCE 的值．【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3)5GF CE=【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC ∽△DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出△BGC ≌△DEC ，进而根据第一问结论可得△BGC ∽△DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GFCE 的值．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90BCD ADC ∠=∠=︒ ∵BF DE ⊥ ∴90GFD ∠=︒ ∴BCD GFD ∠=∠，又∵BGC DGF ∠=∠， ∴△BGC ∽△DCF ． （2）证明：由（1）知△BGC ∽△DGF ， ∴BG BCDG DF =， ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅． （3）解：由（1）知△BCC ∽△DGF ， ∴FDG CBG ∠=∠，在△BGC 与△DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠ ∴△BGC ≌△DEC （ASA ） ∴CG EC = ∵G 是CD 中点 ∴CG DG = ∴::GF CE CF DC = ∵△BGC ∽△DGF ∴::GF DG CG BG =在Rt △BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∴CG BG =∴GF CE=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．28．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MNPM 的值；（3）在（2）的条件下，若2BC =PMN 面积的最大值．【解答】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；=2MN PM 3）14 【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MNPM 的比值转换为AFCE 的比值即可求得.（3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当2CE BC == 【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴2AB BC =,45ABC BAC ∠=∠= ∵BE 垂直于射线CD , ∴90,BEF ∠= 又∵EF BE =∴2FB EB =,45FBE EFB ∠=∠= ∵+ABC ABE ABE FBE ∠∠=∠+∠ 即：ABF CBE ∠=∠又∵2AB BFCB BE == ∴ABF CBE ∽（2）解：∵点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点∴//PM CN ，//MN AF ，11,22PM CE MN AF== ∴MPN CNP ∠=∠,CNM EFA ∠=∠∴+MPN MNP CNP MNP CNM EFA ∠∠=∠+∠=∠=∠ 又∵ABF CBE ∽ ∴90AFB CEB ∠=∠= 又∵45EFB ∠=∴904545EFA AFB BFE ∠=∠-∠=-= ∴+45MPN MNP ∠∠=又∵++180MPN MNP PMN ∠∠∠= ∴18045135PMN ∠=-=又∵12=12AFMN AFPM CECE = 又∵ABF CBE ∽ ∴=2AF AB CE CB = ∴=2MNPM（3）如下图：过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q , 135,PMN ∠=︒ 45,PMQ MPQ ∴∠=︒=∠,PQ ∴= 111221222228216PMNS MN PQ AF PM AF CE AF CE ==⨯⨯==△又∵BC =∴AF =∴221168PMN S CE ==△∴当CE 取得最大值时，PMN 取得最大值， ,BE CE ⊥E ∴在以BC 的中点为圆心，BC 为直径的圆上运动，∴当CE CB ==CE 最大，∴11=2=84S ⨯， 【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．。
相似三角形的判定讲义
相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应例1 （11A 、1对2A C 例2 1A 、∠2∽△MCP 例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ） 变式练习：1、在△ABC和△A＇B＇C＇中，AB=3cm，BC=6cm，CA=5cm，A＇B＇=3cm，B＇C＇=2.5cm，A＇C＇=1.5cm，则下列说法中，错误的是（）A、△ABC与△A＇B＇C＇相似B、AB与A＇B＇是对应边C、相似比为2：1D、AB与A＇C＇是对应边2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格点，试证明：△ABC∽△DEF。
（二）判定定理的运用例4 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接EC，过点E作直线EF交AB于点F。
当EF 与CE满足什么条件时，△AEF与△DCE相似？并说明理由。
变式练习：1、如图，在△ABC中，∠ADE=∠C，则下列等式成立的是（）ADAB23。
求证：FD2=FG1是（A、1个2点E，则3BCD；②AB：）A、1个4A、∠5A、△6A、∠B、∠C、∠C=∠E=30°，AB=8cm，BC=4cm；DF=6cm，FE=3cmD、∠A=∠A＇，且AB·A＇C＇=AC·A＇B＇7、如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1,BD=4，那么AB= 。
8、如图，在□ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形。
第7题第8题第9题第10题第11题9、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为。
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是指具有相等对应角度的三角形，它们的对应边长之比也相等。
相似三角形不仅在几何学中具有重要意义，而且在实际生活中应用广泛。
本文将介绍相似三角形的性质及其判定方法。
一、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角度相等：对于两个三角形ABC和DEF，若∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，则可以判断这两个三角形相似。
2. 相似三角形的对应边长比相等：对于两个相似三角形ABC与DEF，若AB/DE = AC/DF = BC/EF，则可以判断这两个三角形相似。
二、判定相似三角形的方法1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别对应相等（即两个角的对应边平行），则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，∠C = ∠F，并且∠B与∠E不相等，但∠B与∠E之间没有已知的关系。
根据AA判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
2. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，并且AB/DE = AC/DF。
根据SAS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
3. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三条边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知AB/DE = BC/EF =AC/DF。
根据SSS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
4. RHS判定法（直角边-斜边-直角边判定法）：如果两个直角三角形的一个直角边和斜边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个直角三角形ABC与DEF，已知∠C = ∠F = 90°，并且AB/DE = AC/DF。
根据RHS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
三、实际应用相似三角形的性质及判定方法在实际生活中有广泛的应用。
相似三角形的判定及性质 课件
AC＝BD∶AD，转证 BD∶AD＝DF∶
AF ， 变 为 证 △ FAD ∽ △ FDB. 其 中
BD∶AD 正是两对相似三角形的中
间比．
图 1－3－3
【自主解答】 ∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠C＝∠BAD，Rt△ADB∽Rt△CDA. ∴AB∶AC＝BD∶AD. 又∵E 是 AC 的中点， ∴AE＝DE＝EC， ∴∠DAE＝∠ADE，
如图 1－3－5，D 为△ABC 的边 AB 上一点，过 D 点作 DE∥BC，DF∥AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H， 连接 GH.
求证：GH∥AB.
图 1－3－5
【思路探究】 结合图形的特点可以先证比例式EEGD＝ EEHB成立，再证△EGH∽△EDB，由此得∠EHG＝∠1
判定 定理 2
判定 定理 3
定理内容
简述
对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等 ，那么这两个三角形相似.
两角对应相等，两三 角形相似
对于任意两个三角形，如果一个三角形 两边对应成比例且夹
的两边和另一个三角形的两
角相等，两三角形相
边对应成比例，并且夹角相等，那么这 似．
2．判定两个三角形相似时，关键是分析已知哪些边对 应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似的判定定理， 还缺少什么条件就推导出这些条件．
如图 1－3－3，已知△ABC 中，∠BAC＝90°，
AD⊥BC 于 D，E 是 AC 的中点，连接 ED 并延长与 AB 的延
长线交于 F.求证：AACB＝DAFF. 【思路探究】 由条件知：AB∶
所 以 ∠ BAC ＝ ∠ EAD ， ∠ BAC － ∠ DAC ＝ ∠ EAD － ∠ DAC，即∠DAB＝∠EAC.
相似三角形的性质与判定讲义)讲解学习
相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． EDCBA(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形的性质一课件
角边相似
如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的一对对应角相等，并且这两个 角的夹边成比例，则这两个三角形相 似。
如果两个三角形的三组对应边成比例 ，则这两个三角形相似。
性质与定理
对应角相等
相似三角形对应角相等，即 $angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$。
对应边成比例
如果两个三角形相似，则它们的对应边长之间存在一定的比例关系。
这个比例称为相似比，是判定两个三角形是否相似的重要依据。
对应边之间的比例关系可以用数学公式表示，即 a/b = c/d = ... = k，其中 a, b, c, d, ... 是对应边的长度，k 是相似比。
面积比等于相似比的平方
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相似三角形的性质一ppt课
件
• 相似三角形的定义 • 相似三角形的性质 • 相似三角形的应用 • 相似三角形的判定定理 • 相似三角形的性质定理 • 相似三角形的综合应用
目录
CONTENTS
01
相似三角形的定义
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应用。
在数学竞赛中的应用
相似三角形是数学竞赛中常见的知识点之一，对于提高学生的数学竞赛 成绩有着重要的作用。
在数学竞赛中，相似三角形常常与其它知识点结合，形成综合性题目， 考察学生的数学综合素质。
掌握相似三角形的性质和判定方法，对于解决数学竞赛中的难题和压轴 题至关重要。
THANKS
感谢观看
04
相似三角形的判定定理
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相似三角形的判定、性质及应用（讲义及答案）
相似三⾓形的判定、性质及应⽤（讲义及答案）相似三⾓形的判定、性质及应⽤（讲义）课前预习⼀、回顾下列知识，再将各选项填到对应横线上：A．能够完全重合的两个图形称为全等图形B．全等图形的形状和⼤⼩都相同C.全等三⾓形的对应边相等，对应⾓相等D.三边分别相等的两个三⾓形全等，简写为“SSS”E.两⾓及其夹边分别相等的两个三⾓形全等，简写为“ASA”F．两⾓分别相等且其中⼀组等⾓的对边相等的两个三⾓形全等，简写为“AAS”G．两边及其夹⾓分别相等的两个三⾓形全等，简写为“SAS”定义：判定：全等图形全等三⾓形应⽤性质：性质：⼆、读⼀读，想⼀想太阳光线可以看成平⾏光线．早在约公元前600 年前，就有⼈利⽤平⾏光线去解决实际⽣活当中的问题了．他就是泰勒斯——古希腊第⼀位享有世界声誉，有“科学之⽗”和“希腊数学的⿐祖”美称的伟⼤学者．泰勒斯已经观察⾦字塔很久了：底部是正⽅形，四个侧⾯都是相同的等腰三⾓形．要测量出底部正⽅形的边长并不困难，但仅仅知道这⼀点还⽆法解决问题．他苦苦思索着．当他看到⾦字塔在阳光下的影⼦时，他突然想到办法了．这⼀天，阳光的⾓度很合适，把所有东西都拖出⼀条长长的影⼦．泰勒斯仔细地观察着影⼦的变化，找出⾦字塔底⾯正⽅形的⼀边的中点（这个点到边的两端的距离相等），并作了标记．然后他笔直地站⽴在沙地上，并请⼈不断测量他的影⼦的长度．当影⼦的长度和他的⾝⾼相等时，他⽴即跑过去测量⾦字塔影⼦的顶点到做标记的中点的距离．他稍做计算，就得出了这座⾦字塔的⾼度．当他算出⾦字塔⾼度时，围观的⼈⼗分惊讶，纷纷问他是怎样算出⾦字塔的⾼度的．泰勒斯⼀边在沙地上画图⽰意，⼀边解释说：“当我笔直地站⽴在沙地上时，我和我的影⼦构成了⼀个直⾓三⾓形．当我的影⼦和我的⾝⾼相等时，就构成了⼀个等腰直⾓三⾓形．⽽这时⾦字塔的⾼（⾦字塔顶点到底⾯正⽅形中⼼的连线）和⾦字塔影⼦的顶点到底⾯正⽅形中⼼的连线也构成了⼀个等腰直⾓三⾓形．所以这个巨⼤的直⾓三⾓形的两条直⾓边也相等．”他停顿了⼀下，⼜说：“刚才⾦字塔的影⼦的顶点与我做标记的中⼼的连线，恰好与这个中点所在的边垂直，这时就很容易计算出⾦字塔影⼦的顶点与底⾯正⽅形中⼼的距离了．它等于底⾯正⽅形边长的⼀半加上我刚才测量的距离，算出来的数值也就是⾦字塔的⾼度了．想⼀想：为什么⾦字塔的⾼（⾦字塔顶点到底⾯正⽅形中⼼的连线）和⾦字塔影⼦的顶点到底⾯正⽅形中⼼的连线也构成了⼀个等腰直⾓三⾓形呢？知识点睛1.相似三⾓形的判定：；；；．2.相似三⾓形的性质：①相似三⾓形，，都等于相似⽐；②相似三⾓形的周长⽐等于，⾯积⽐等于．3.测量旗杆⾼度的⽅法：①利⽤阳光下的影⼦②利⽤标杆③利⽤镜⼦的反射（太阳光是平⾏光）（同位⾓相等）（借助反射⾓、⼊射⾓相等）4.位似：①如果两个图形不仅，⽽且，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做．位似图形上等于相似⽐．②在平⾯直⾓坐标系中，将⼀个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同⼀个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中⼼是，它们的相似⽐为．34DE EF DF∴△ABC∽△DEFACBCAB③ ==BCAB②∵=，∠B=∠EDE EF∴△ABC∽△DEF①∵∠A=∠D，∠B=∠E∴△ABC∽△DEF例：精讲精练1.如图，线段AB，CD 相交于点O，连接AC，BD．给出下列条件，判断并写出对应的相似三⾓形．①若∠A =∠D ，则∽；②若∠A =∠B ，则∽；③若OA=OC，则∽；OD OB④若AC∥BD，则∽．2.如图，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上．给出下列条件：①∠AED=∠B；②∠ADE=∠C；③∠ADE=∠B；④ AD=AC；⑤AD．其中能判断△ABC∽△AED 的AE AB AB AC有（填序号）．3.如图，⼩正⽅形的边长均为1，则下列图中的三⾓形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A.B．C．D．4.如图，AB∥CD，AD，BC 交于点E，过E 作EF∥AB 交BD于点F，则图中相似的三⾓形有对．5.如图，在正⽅形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC =1BC，则图中相似三⾓形共有（）4A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对6.如图，线段AE，BD 相交于点C，连接AB，DE，其中AB:DE=1:2，AC=2，BC=3．若AB∥DE，则CE= ，CD= ；若∠A=∠D，则CE= ，CD= ．7.如图，若AB⊥BD，ED⊥BD，C 是线段BD 的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，则AB= ．第7 题图第8 题图8.如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂⾜为D，其中AD2 =BD ?DC ，则∠BAC= ；当AD:DC=1:2，AD=4 时，BC= ．9.如图，在△ABC 中，AB=AC，点E，F 分别是边AB，AC 上⼀点，点D 是边BC 上⼀点（不与B，C 重合）．若∠EDF= ∠B，BE=2，BD=3，BC=6，则FC 的长为．10.如图，点M，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三⾓形．（1）若AM·BN=PN·PM，求∠APB 的度数．（2）若∠APB=120°，求证：△AMP∽△PNB．11.如图，l1，l2，…l6 是⼀组等距的平⾏线，过直线l1 上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E，C，F．若BC=2，则EF 的长是．部分的⾯积是△ABC ⾯积的⼀半．已知BC=2，求△ABC 平移的距离．13.相似三⾓形的实际应⽤①如图，在同⼀时刻，⼩明测得他的影长为 1 m，距他不远处的⼀棵槟榔树的影长为5 m，若⼩明的⾝⾼为1.5 m，则这棵槟榔树的⾼度是．②如图，若标杆⾼度CD=3 m，标杆与旗杆的⽔平距离BD=15 m，⼈的眼睛与地⾯的⾼度EF=1.6 m，⼈与标杆CD的⽔平距离DF=2 m，则旗杆的⾼度AB= ．③如图，把⼀⾯很⼩的镜⼦放在离树底（B）8.4 m 的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜⼦⾥看到树梢顶点A，再⽤⽪尺量得DE=2.4 m，观察者⽬⾼CD=1.6 m，则树的⾼度AB= ．④如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定⼀个⽬标点P，在近岸取点Q 和S，使点P，Q，S 在⼀条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T，PT 与过点Q且与PS 垂直的直线b 的交点为R．若QS=60 m，ST=120 m，QR=80 m，则河的宽度PQ 为．⑤如图，⼩明同学⽤⾃制的直⾓三⾓形纸板EFG 测量树的⾼度AB，他调整⾃⼰的位置，设法使斜边EG 保持⽔平，并且边EF 所在的直线经过点A，已知纸板的两条直⾓边EF=60 cm，FG=30 cm，测得⼩刚与树的⽔平距离BD=8 m，边EG 离地⾯的⾼度DE=1.6 m，则树⾼为．(6，-1)，B 点坐标为(5，3)，C 点坐标为(3，-2)，以O 为位似中⼼，将△ABC 缩⼩为原来的12，则缩⼩后的△ABC 的三个顶点坐标是多少？15.如图，已知△ABC 在平⾯直⾓坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，若以点C 为位似中⼼，在平⾯直⾓坐标系内画出△A′B′C，使得△A′B′C与△ABC 位似，且相似⽐为2:1，则点B′的坐标为．【参考答案】 ? 课前预习⼀、ADEFGBC⼆、由于太阳光是平⾏光线，因此同⼀时刻，太阳光与地⾯所成夹⾓相等，结合直⾓，构成了⼀组相似三⾓形知识点睛1. ①两⾓对应相等的两个三⾓形相似②两边对应成⽐例且夹⾓相等的两个三⾓形相似③三边对应成⽐例的两个三⾓形相似④平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（的延长线）相交，所构成的三⾓形与原三⾓形相似．2. ①对应⾼的⽐，对应⾓平分线的⽐，对应中线的⽐；②相似⽐，相似⽐的平⽅．4. ①相似，每组对应顶点所在的直线都经过同⼀个点，位似中1. △AOC △DOB ；②△AOC △BOD ；③△AOC △DOB ；④△AOC △BOD ． 2. ①②④ 3. C 4. 3 5. C6. 4，6；6，47. 48.90°；10 9. 9210. （1）∠APB =120°；（2）证明略 11. 512. 2 - 213. ①7.5 m ；②13.5 m ；③5.6 m ；④120 m ；⑤5.6 m ．14. A (3，- 1 ) ，B ( 5 3 ) ，C ( 3 ，-1) 或 A (-3 1 ) ，B (- 5 ，- 3 ) ，， 1 2 1 2 2 12 2 ， 2 2 2 2C (-3，1)2 215. (4 ，6)或(0 ，- 2)。
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
5
相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之 比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
2024/1/27
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。
6
02
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
1
目 录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
2
01
相似三角形基本概念及性质
2024/1/27
判定方法一：两边成比例且夹角 相等
2024/1/27
7
定理内容阐述
01
02
03
定理描述
如果两个三角形有两边成 比例，并且夹角相等，则 这两个三角形相似。
2024/1/27
定理条件
两个三角形中，任意两边 长度之比等于另两边长度 之比，且这两边所夹的角 相等。
定理
8
18
05
综合运用及拓展延伸
2024/1/27
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不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相 似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角 形相似。此方法结合了边的长度和角 的大小，较为常用。
《相似三角形的性质和判定》PPT课件
全等三角形是特殊的相似三角形，当相似比为1时性质探究
对应角相等
01
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似
。
02
性质
相似三角形的对应角相等，即 如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，
则∠C = ∠C'。
03
示例
通过测量和比较两个三角形的 对应角度，可以判断它们是否
相似。
对应边成比例
03
定义
性质
示例
两个三角形如果它们的对应边成比例，则 称这两个三角形相似。
相似三角形的对应边成比例，即如果 AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则△ABC ∽ △A'B'C'。
通过测量和比较两个三角形的对应边长， 可以判断它们是否相似。
面积比与边长比关系
01
平行线截割定理证明
平行线截割定理应用
在解决相似三角形问题时，可以利用 平行线截割定理来寻找相似三角形的 对应边。
通过相似三角形的性质，可以证明对 应线段之间的比例关系。
三角形中位线定理
三角形中位线定理内容
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
三角形中位线定理证明
通过相似三角形的性质和平行线截割定理，可以证明三角形中位线 与第三边的关系。
01
更高层次相似三角形知识
02
相似多边形的性质和判定方 法
03
相似三角形与相似多边形之 间的关系和联系
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识
• 相似三角形在几何变换中的应用，如平移、旋转、对 称等
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识
相似三角形的性质和定义
相似三角形的性质和定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它们具有一些特定的性质和定义。
本文将介绍相似三角形的性质和定义，以及一些相关的应用。
一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，并且对应的边长成比例。
具体来说，如果两个三角形的角对应相等，而且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角度相等。
即如果两个三角形的某一角相等，那么它们的对应角也相等。
2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边成比例。
即如果两个三角形的一对对应边的比例相等，那么它们是相似的。
3. 对角比例性质：相似三角形的两个对应角的正弦值、余弦值或正切值的比例相等。
三、相似三角形的判定方法在实际应用中，为了判断两个三角形是否相似，我们可以使用以下的判定方法：1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
2. SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
3. SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例，并且夹角相等，那么它们是相似的。
四、相似三角形的应用1. 测量高大物体的高度：通过相似三角形的性质，可以利用地面上的影子和物体的影子长度来计算物体的高度。
其中一个三角形由物体本身的高度和物体的影子长度构成，另一个三角形由地面上的影子长度和地面距离构成。
2.导弹拦截系统：相似三角形的性质也可以应用于导弹拦截系统中。
通过拦截系统中摄像头的角度和距离的变化，可以计算导弹的运动轨迹和速度，从而进行拦截。
3. 针孔成像原理：在相机的针孔孔径足够小的情况下，光线会通过孔径进入相机，形成在胶片或传感器上的成像。
这个过程可以利用相似三角形的性质进行描述，通过长焦距与短焦距的比例来计算成像的大小和位置。
4. 美术设计：相似三角形的概念可以应用于美术设计中，通过描绘不同大小但相似形状的三角形来表达透视感和远近距离。
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相似三角形的判定、性质及应用（讲义）➢ 课前预习一、回顾下列知识，再将各选项填到对应横线上：A ．能够完全重合的两个图形称为全等图形B ．全等图形的形状和大小都相同C ．全等三角形的对应边相等，对应角相等D ．三边分别相等的两个三角形全等，简写为“SSS ”E ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ASA ”F ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“AAS ”G ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“SAS ”二、读一读，想一想太阳光线可以看成平行光线．早在约公元前600年前，就有人利用平行光线去解决实际生活当中的问题了．他就是泰勒斯——古希腊第一位享有世界声誉，有“科学之父”和“希腊数学的鼻祖”美称的伟大学者．泰勒斯已经观察金字塔很久了：底部是正方形，四个侧面都是相同的等腰三角形．要测量出底部正方形的边长并不困难，但仅仅知道这一点还无法解决问题．他苦苦思索着．当他看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到办法了．这一天，阳光的角度很合适，把所有东西都拖出一条长长的影子．泰勒斯仔细地观察着影子的变化，找出金字塔底面正方形的一边的中点（这个点到边的两端的距离相等），并作了标记．然后他笔直地站立在沙地上，并请人不断测量他的影子的长度．当影子的长度和他的身高相等时，他立即跑过去测量金字塔影子的顶点到做标记的中点的距离．他稍做计算，就得出了这座金字塔的高度．当他算出金字塔高度时，围观的人十分惊讶，纷纷问他是怎样算出金字塔的高度的．泰勒斯一边在沙地上画图示意，一边解释说：“当我笔直地站立在沙地上时，我和我的影子构成了一个直角三角形．当我的影子和我的身高相等时，就构成了一个等腰直角三角形．而这时金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形．所以这个巨大的直角三角形的两条直角边也相等．”他停顿了一下，又说：“刚才金字塔的影子的顶点与我做标记的中心的连线，恰好与这个中点所在的边垂直，这时就很容易计算出金字塔影子的顶点与底面正方形中心的距离了．它等于底面正方形边长的一半加上我刚才测量的距离，算出来的数值也就是金字塔的高度了．想一想：为什么金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形呢？➢ 知识点睛1. 相似三角形的判定：① ________________________________________________；② ________________________________________________；③ ________________________________________________；④ _______________________________________________________________________________________．2.相似三角形的性质：①相似三角形___________，_______________，___________都等于相似比；②相似三角形的周长比等于_______，面积比等于_________．3.测量旗杆高度的方法：①利用阳光下的影子②利用标杆③利用镜子的反射（太阳光是平行光）（同位角相等）（借助反射角、入射角相等）4.位似：①如果两个图形不仅________，而且_________________________________________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_________．位似图形上__________________________________等于相似比．②在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是_______，它们的相似比为________．➢精讲精练1.如图，线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD．给出下列条件，判断并写出对应的相似三角形．①若∠A=∠D，则_______∽______；②若∠A=∠B，则_______∽______；③若OA OCOD OB，则______∽______；DCABO④若AC ∥BD ，则______∽______．2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上．给出下列条件：①∠AED =∠B ；②∠ADE =∠C ；③∠ADE =∠B ；④AD AC AE AB =；⑤AD AEAB AC=．其中能判断△ABC ∽△AED 的有_______________（填序号）．3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）ABCD4. 如图，AB ∥CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ，则图中相似的三角形有______对．F EDCBA图25.图中相似三角形共有（ ） A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对CBAF ECA B DE D C B A6. 如图，线段AE ，BD 相交于点C ，连接AB ，DE ，其中AB :DE =1:2，AC =2，BC =3．若AB ∥DE ，则CE =________，CD =________；若∠A =∠D ，则CE =_______，CD =_______．E DCBAE DC BA 7. 如图，若AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED =1，BD =4，则AB =_______．EBCD AB ACD第7题图 第8题图8. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，其中2AD BD DC =⋅，则∠BAC =______；当AD :DC =1:2，AD =4时，BC =_______．9. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别是边AB ，AC 上一点，点D 是边BC上一点（不与B ，C 重合）．若∠EDF =∠B ，BE =2，BD =3，BC =6，则FC 的长为______________．10. 如图，点M ，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三角形．（1）若AM ·BN =PN ·PM ，求∠APB 的度数． （2）若∠APB =120°，求证：△AMP ∽△PNB ．21NMPFE DCBA11. 如图，l 1，l 2，…，l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3和l 6相交于点B ，E ，C ，F ．若BC =2，则EF 的长是________．F ECB A l 6l 5l 4l 2l 3l 112. 将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积是△ABC面积的一半．已知BC =2，求△ABC 平移的距离．GFE DC B A13. 相似三角形的实际应用①如图，在同一时刻，小明测得他的影长 为1 m ，距他不远处的一棵槟榔树的影长 为5 m ，若小明的身高为1.5 m ，则这棵 槟榔树的高度是_________． ②如图，若标杆高度CD =3 m ，标杆与旗杆的水平距离BD =15 m ，人的眼睛与地面的高度EF =1.6 m ，人与标杆CD 的水平距离DF =2 m ，则旗杆的高度AB =_________．③如图，把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4 m 的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE =2.4 m ，观察者目高CD =1.6 m ，则A树的高度AB =_______．④如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．若 QS =60 m ，ST =120 m ，QR =80 m ，则 河的宽度PQ 为_________．⑤如图，小明同学用自制的直角三角形纸板EFG 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边EG 保持水平，并且边EF 所在的直线经过点A ，已知纸板的两条直角边EF =60 cm ，FG =30 cm ，测得小明与树的水平距离BD =8 m ，边EG 离地面的高度DE =1.6 m ，则树高为_________．AB CDE F G14. 如图，若以O 为原点构造平面直角坐标系，其中A 点坐标为(6，-1)，B 点坐标为(5，3)，C 点坐标为(3，-2)，以O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，则缩小后的△ABC 的三个顶点坐标是多少？ba15.如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，若以点C为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′B′C，使得△A′B′C与△ABC位似，且相似比为2:1，则点B′的坐标为__________________．【参考答案】➢课前预习一、A；DEFG；B；C二、由于太阳光是平行光线，因此同一时刻，太阳光与地面所成夹角相等，结合直角，构成了一组相似三角形➢知识点睛1.①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似；④平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似2.①对应高的比；对应角平分线的比；对应中线的比．②相似比；相似比的平方4.①相似；每组对应顶点所在的直线都经过同一个点；位似中心；任意一对对应点到位似中心的距离之比②原点；|k|➢精讲精练1.△AOC；△DOB；②△AOC；△BOD；③△AOC；△DOB；④△AOC；△BOD2.①②④3. C4. 35. C6.4；6；6；47. 48.90°；109.9 210.（1）∠APB=120°；（2）证明略．11.512.213.①7.5 m；②13.5 m；③5.6 m；④120 m；⑤5.6 m14.11 (3)2A-，，153 () 22B，，13 (1) 2C-，或21 (3)2A-，，253 ()22B--，，23 (1)2C-，15.(4，6)或(0，-2)。