§4.4各向同性弹性体

§4.4 各向同性弹性体

学习思路:

各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。

对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。

各向同性材料的本构关系可以通过拉梅(Lamé)弹性常数λ，μ 表示；也可以通过工程弹性常数E, n, G 表示。

各弹性常数可由实验的方法测定。

学习要点：

1. 各向同性弹性体；

2. 各向同性弹性体的应力和应变关系；

3. 应变表示的本构关系；

4. 弹性常数与应力表示的本构关系。

各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。

本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应力和应变关系。对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关，任意一个平面都是弹性对称面。因此

C11=C22=C33, C12=C23=C31,C44=C55=C66

于是其应力应变关系简化为

其独立的弹性常数仅为C11，C12和C44。

但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。为了简化分析，将坐标系沿z 轴旋转任一角度ϕ。新旧坐标系之间的关系如下所示：

x y z

x'l1=cosϕm1=sinϕn1=0

y' l2=-sinϕm2=cos ϕn2=0

z'l3=0m3=0n3=1

根据应力分量转轴公式，可得

根据应变分量转轴公式

将以上两式代入应力应变关系公式的第四式,则

因为，所以。

根据应力应变表达式，可得。

比较上述两个公式，可得，2C44 = C11-C12。所以各向同性弹性体的弹性常数只有两个。其应力和应变关系为

其中，。

为了使得各向同性材料的本构关系公式表达简洁，令

则同性材料的本构关系公式可以简化为

或写作张量表达式

上述公式即为各向同性弹性材料的广义胡克（Hooke）定理，λ，μ称为拉梅（Lamé）弹性常数。

如果将坐标轴选取的与弹性体内某点的应力主方向重合，则对应的切应力分量均应为零。根据各向同性材料的本构关系的后三式可见，此时所有的切应变分量也为零。

根据上述分析，对于各向同性弹性体内的任一点，应力主方向和应变主方向是一致的。因此这三个坐标轴，即应力主轴同时又是应变主轴方向，对于各向同性弹性体，应力主方向和应变主方向二者是重合的。

设体积应力为, 将拉梅公式的前三式相加，可得

上式称为体积应变的胡克定理。

如果各向同性材料的本构关系用应力表示，一般用工程弹性常数E，ν，G表示胡克定律，有

这里E为弹性模量，又称为杨氏模量；G为切变弹性模量；v为横向变形系数，简称泊松比。

工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为，

由于各向同性弹性体仅有两个独立的弹性常数，因此

各个弹性常数可由实验的方法测定，通常应用材料的单向拉伸实验可以测出弹性模量E，利用薄壁管的扭转实验可以测定剪切弹性模量G。其余的弹性常数可以通过上述公式计算得到。

4.5 各向同性弹性体的应变能

学习思路:

本节介绍各向同性材料的应变能函数表达形式。

如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。将本构关系表达式代入应变能函数公式，则可以写出应变分量或者应力分量表达的应变能函数。

由于泊松比 恒小于1，所以应变能函数是恒大于零的。这就是说，单位体积的应变能总是正的。

学习要点：

1. 各向同性弹性体应变能。

弹性体单位体积的应变能的表达式已经作过讨论。如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。

根据应变能函数表达式，

对于各向同性弹性体，可以使用应力分量或应变分量表达单位体积的应变能。

将本构关系表达式代入上式，则可以写作应变分量表达的应变能函数

或者利用本构方程，写作应力分量表达的应变能函数

由于 恒小于1，所以，根据应变能函数表达式可知U0恒大于零。这就是说，单位体积的应变能总是正的。