§4.4各向同性弹性体
材料力学 第四章 本构关系
W t
ijij
(9)
其中 ij 为应变张量对时间的变化率，称为应变率张量。
§4-1 热力学定律与应变能
令初始状态的应变能W=0，则
W Wdt d t
ij (t )
t0
ij (t0 ) ij ij
(10)
W
ij
ij
(11)
此式给出了弹性物质的应力-应变关系，称之为格林公式。
§4-2 各向异性材料的本构关系
y C12 x C22 y C23 z
具有这种应力-应变关系的 材料称为正交各向异性弹
z C13 x C23 y C33 z
性材料，这时独立的弹性 常数只有9个。
yz C44 yz zx C55 zx
xy C66 xy
(17)
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
x ' y, y ' x, z ' z
由应力分量和应变分量之间的坐标变换得 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（四）完全弹性对称与各向同性材料
其中kk xx yy zz ， 和 称为拉梅系数。
（20）称为各向同性线性弹性介质的广义胡克定律。 各向同性线性弹性材料只有2个独立的弹性常数； 伴随正应变只有正应力，同时伴随切应变也只有切 应力。 由（20）可得
第四章 本构关系
静力学问题和运动学问题是通过物体的材 料性质联系起来的。力学量（应力，应力 速率等）和运动学量（应变，应变速率等） 之间的关系式称之为本构关系或本构方程。 本章仅讨论不考虑热效应的线弹性本构关 系——广义胡克定律。
各向同性、各向异性
各向同性、各向异性理解1、orthotropic和anisotropic的区别isotropic各向同性orthotropic正交各向异性的anisotropic各向异性的uniaxial单轴的我只说一下orthotropic和anisotropic的区别:orthotropic主要是材料在不同垂直方向上有着不同的物理性质和参数,意思就是如果处在同一个角度的平面上,那么同平面的材料是具有着相同的物理性质的.anisotropic则是完全有方向角度决定的物理参数,只要方向有不同,物理性质则完全不同.2、各向同性和各向异性物理性质可以在不同的方向进行测量。
如果各个方向的测量结果是相同的,说明其物理性质与取向无关,就称为各向同性。
如果物理性质和取向密切相关，不同取向的测量结果迥异，就称为各向异性。
造成这种差别的内在因素是材料结构的对称性。
在气体、液体或非晶态固体中，原子排列是混乱的,因而就各个方向而言,统计结果是等同的，所以其物理性质必然是各向同性的。
而晶体中原子具有规则排列，结构上等同的方向只限于晶体对称性所决定的某些特定方向。
所以一般而言，物理性质是各向异性的。
例如，α－铁的磁化难易方向如图所示。
铁的弹性模量沿[111]最大(7700kgf/mm),沿[100]最小(6400kgf/mm)。
对称性较低的晶体（如水晶、方解石）沿空间不同方向有不同的折射率。
而非晶体(过冷液体)，其折射率和弹性模量则是各向同性的。
晶体的对称性很高时，某些物理性质(例如电导率等)会转变成各向同性。
当物体是由许多位向紊乱无章的小单晶组成时，其表观物理性质是各向同性的。
一般合金的强度就利用了这一点。
倘若由于特殊加工使多晶体中的小单晶沿特定位向排列（例如金属的形变“织构”、定向生长的两相晶体混合物等），则虽然是多晶体其性能也会呈现各向异性。
硅钢片就是这种性质的具体应用。
介于液体和固体之间的液晶，有的虽然分子的位置是无序的，但分子取向却是有序的。
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
横观各向同性的半无限弹性体的若干问题
横观各向同性的半无限弹性体的若干问题
各向同性的半无限弹性体作为力学领域中不可置疑的重要结构，对于研究人员提出了许多挑战。
首先，从结构层面来说，将涉及半无限弹性体的非线性弹性方程转换成微分方程，然后采用有损和无损的办法成功地推导出其非线性形式，这是衡量半无限弹性体的基础的前提条件。
其次，从解的递推性质上来看，研究人员有责任追求对半无限弹性体形状和构造，尤其是其他条件保持不变的情况下建立解的递推性质。
此外，从计算角度来看，要求为半无限弹性体而开发的相关计算方法必须具有高效、精确、稳定的特性，以此保证半无限体的有效分析与应用。
最终，由于半无限弹性体的宽广领域，可见各向同性的半无限弹性体涉及的研究内容多样化。
在结构设计、控制策略、分析理论、计算方法、数值模拟等方面，积极搜索出更为高效、精确、安全的解决方案，以促进各向同性半无限弹性体向着解决工程实际应用的目标不断前进。
弹塑性力学——精选推荐
弹塑性⼒学应⼒应变关系应⼒应变都是物体受到外界载荷产⽣的响应。
物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产⽣互相之间的⼒的作⽤，由于受到⼒的作⽤就会产⽣相应的变形；或者由于变形引起相应的⼒的作⽤。
则⼀定材料的物体其产⽣的应⼒和应变也必然存在⼀定的关系。
在⼒学上由于平衡⽅程仅建⽴了⼒学参数（应⼒分量与外⼒分量）之间的关系，⽽⼏何⽅程也仅建⽴了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。
所以平衡⽅程与⼏何⽅程是两类完全相互独⽴的⽅程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应⼒和应变之间的关系。
有了可变形材料应⼒和应变之间关系和⼒学参数及运动学参数即可分析具体的⼒学问题。
由平衡⽅程和⼏何⽅程加上⼀组反映材料应⼒和应变之间关系的⽅程就可求解具体的⼒学问题。
这样的⼀组⽅程即所谓的本构⽅程。
讨论应⼒和应变之间的关系即可变为⼀定的材料建⽴合适的本构⽅程。
⼀．典型应⼒-应变关系图1-1 典型应⼒-应变曲线1）弹性阶段（OC段）该弹性阶段为初始弹性阶段OC（严格讲应该为CA’）,包括：线性弹性分阶段OA段，⾮线性弹性阶段AB段和初始屈服阶段BC 段。
该阶段应⼒和应变满⾜线性关系，⽐例常数即弹性模量或杨⽒模量，记作：εσE =，即在应⼒-应变曲线的初始部分（⼩应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。
2）塑性阶段（CDEF 段）CDE 段为强化阶段，在此阶段如图1中所⽰，应⼒超过屈服极限，应变超过⽐例极限后，要使应变再增加，所需的应⼒必须在超出⽐例极限后继续增加，这⼀现象称为应变硬化。
CDE 段的强化阶段在E 点达到应⼒的最⾼点，荷载达到最⼤值，相应的应⼒值称为材料的强度极限（ultimate strength ），并⽤σb 表⽰。
超过强度极限后应变变⼤应⼒却下降，直到最后试件断裂。
这⼀阶段试件截⾯积的减⼩不是在整个试件长度范围发⽣，⽽是试件的⼀个局部区域截⾯积急剧减⼩。
这⼀现象称为“颈缩”（necking ）。
弹性力学第四章应力应变PPT
x C11x C12y C13z C14 yz C15xz C16xy y C21x C22y C23z C24 yz C25xz C26xy z C31x C32y C33z C34 yz C35xz C36xy yz C41x C42y C43z C44 yz C45xz C46xy xz C51x C52y C53z C54 yz C55xz C56xy xy C61x C62y C63z C64 yz C65xz C66xy
4
当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
x (f1 ) 0 f x 1 0x f y 1 0y f z 1 0z f y 1 z 0y z f x 1 z 0x z f x 1 y 0xy y (f2 ) 0 fx 2 0x fy 2 0y fz 2 0z f y 2 z 0y z f x 2 z 0x z f x 2 y 0xy z (f3 ) 0 fx 3 0x fy 3 0y fz 3 0z f y 3 z 0y z f x 3 z 0x z f x 3 y 0xy
等温过程：利用热力学第二定律
x v F x , y v F y , z v F z , x y v x F ,y y z v F y,z x z v F xz
9
统一的形式：
x v x , y v y , z v z , x y v x ,y y z v y,z x z v x z
5
由没有初应力的基本假设，上式可表示为
x C 1x 1 C 1y 2 C 1z 3 C 1y 4 z C 1x 5 z C 1x 6 y y C 2x 1 C 2y 2 C 2z 3 C 2y 4 z C 2x 5 z C 2x 6 y z C 3x 1 C 3y 2 C 3z 3 C 3y 4 z C 3x 5 z C 3x 6 y
弹性力学基本方程和一般原理
小结
➢ 一般说，位移场 ui 和 ui 之间还可能差一个刚体位移，
但是绝大多数弹性力学问题都给定足以限制刚体运动 的位移约束条件，因而位移场的解也是唯一的。
➢ 以上证明的前提是叠加原理、应变能正定性和应力张 量对称性。线弹性理论能自动满足这些条件，因为线 弹性问题的解是唯一的。
ji j Xi on S
不能消除刚体位移； 要满足整体平衡条件。
V
SSt
X3
X2 X1
SSuU Chapter 6.1
分量形式为：
x l yx m zx n X
xy
l
y
m
zy
n
Y
xz
l
yz
m
z
n
Z
◎ 当 X Y Z 0 时称为自由表面，是力边界的特殊情况。 ◎ 集中力可化为静力等效的在微小面积上的均布表面力。 ◎ 集中力矩化为静力等效的非均布（线性）表面力。
（3）在部分边界S 上给定外力，部分边界Su上给定 位移的混合边界S。这时要求
S Su S S Su
对于弹性动力学问题，还应给定 初始条件：初始位移和初始速度。
V
SSt
X3
X2 X1
SS uU
Chapter 6.1
2. 界面条件：
• 界面： 如果弹性体由两种以上材料组成，则不同材 料间的交界面称为界面。有时，物体虽由同样材料 的两部分组成，两者的连接面也称为界面。
如对集中力、集中力矩分别可以看作应力的合 力、合力矩处理。
利用圣维南原理可将位移边界转化为等效的力 边界,如图所示:
P l 位移边界
P M=Pl
w εz z ,
弹塑性力学第四章 弹性本构关系
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
（整理）弹性力学第四章应力和应变关系
（整理）弹性⼒学第四章应⼒和应变关系第四章应⼒和应变关系知识点应变能原理应⼒应变关系的⼀般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式⼴义胡克定理⼀个弹性对称⾯的弹性体本构关系各向同性弹性体的应⼒和应变关系应变表⽰的各向同性本构关系⼀、内容介绍前两章分别从静⼒学和运动学的⾓度推导了静⼒平衡⽅程，⼏何⽅程和变形协调⽅程。
由于弹性体的静⼒平衡和⼏何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建⽴了材料的应⼒和应变的内在联系。
应⼒和应变是相辅相成的，有应⼒就有应变；反之，有应变则必有应⼒。
对于每⼀种材料，在⼀定的温度下，应⼒和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理⽅程或者本构关系。
对于复杂应⼒状态，应⼒应变关系的实验测试是有困难的，因此本章⾸先通过能量法讨论本构关系的⼀般形式。
分别讨论⼴义胡克定理；具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系⼀般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建⽴弹性变形阶段的应⼒应变关系。
⼆、重点1、应变能函数和格林公式；2、⼴义胡克定律的⼀般表达式；3、具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外⼒作⽤下产⽣变形，因此外⼒在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发⽣变化。
借助于能量关系，可以使得弹性⼒学问题的求解⽅法和思路简化，因此能量原理是⼀个有效的分析⼯具。
本节根据热⼒学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建⽴应变能函数表达的材料本构⽅程。
根据能量关系，容易得到由于变形⽽存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应⼒应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐⼆次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到⽤应变或者应⼒表⽰的应变能函数。
弹性力学-本构关系
如，c22 c2222 ， c56 c2331
广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性质，但未能描述物体 外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。
根据热力学第一定律和相应数学推导，
ij f ij 有势，
其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
线性关系。
称为广义胡克定律的一般形式
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
即
z c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx
y
c22
c23
c24
c25
c26
y
xzy
对
c33
c34 c44
c35 c45
c36 c46
xzy
yz
zx
称
c55
c56
yz
c66 zx
弹性矩阵为对称矩 阵，共有21个独立的弹 性常数
广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。
如果材料具有弹性对称面，则本构关系 还可简化，使弹性常数进一步缩减。
mij
ij
2G
E
ij
1
2
3E
ij
1 2G
ij
1
3E
ij
所以 当 i j 时，因
1 2G
ij
1 2G
mij
1 2G
ij mij
1 2G
sij
eij
1 2G
sij
第09讲各向同性弹性体
§4.4各向同性弹性体学习思路：各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。
该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。
各向同性材料的本构关系可以通过拉梅（Lam© ）弹性常数4表示；也可以通过工程弹性常数E, n, G表示。
各弹性常数可由实验的方法测定。
学习要点：1.各向同性弹性体；2.各向同性弹性体的应力和应变关系；3.应变表示的本构关系；4.弹性常数与应力表示的本构关系。
各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。
这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应力和应变关系。
对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关, 任意一个平面都是弹性对称面。
因此C l1=C 22=C33, C l2=C23=C 31, C44=C 55=C 66于是其应力应变关系简化为其独立的弹性常数仅为C l1，C12和C44但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
为了简化分析，将坐标系沿z轴旋转任一角度「。
新旧坐标系之间的关系如下所示：根据应力分量转轴公式，可得=^（＜r? -cyjsin2^ + ^ cos2^根据应变分量转轴公式5* 二（亏「耳）晶2卩+ cos2^将以上两式代入应力应变关系公式的第四式」L 11 ^ ■■,则cos2p = q斗[（為-^）sin2^+ cos2^] 因为住厂G馮，所以= 孔）。
根据应力应变表达式，可得J- " H -1一丄"： '1O比较上述两个公式，可得，2C44 = C l1-C l2o所以各向同性弹性体的弹性常数只有两个。
弹性力学第四章 本构关系
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
0K ; ij 2G ij
第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起
的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)
第二式说明弹性体的形状畸变 ij 是由应力偏量 ij
引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状
变化)
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
1 E
x
ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z
ν
x y
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为
G
=
E 2(1 +
ν)
将弹性本构关系写成指标形式为
ij 1Eij Ekkij
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
GE 3
对实际工程材料的测定值，一般都在 00.5
的范围内。
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-2 广义胡克定律
各向同性本构关系
ij 2Gij kkij
1Eij 1E12kkij
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引
由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性 材料，独立的弹性常数共有21个。
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
(1) 一般各向异性线弹性 ： 无弹性对称面
21
11 c11 c12 c13 c14 c15
弹性力学 第04章应力和应变关系
第四章应力与应变关系§4-1 应力和应变的最一般关系式§4-2 弹性体变形过程中的功和能§4-3 各向异性弹性体§4-4 各向同性弹性体§4-5 弹性常数的测定§4-6 各向同性体应变能密度的表达式显然有5225C C =同理可证nmmn C C =这样就证明了极端各向异性体，只有6+30/2=21个独立的弹性常数。
⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ66564636266156554535255146454434244 136353433233 126252423222 16 15 14 13 12 111②具有一个弹性对称面的各向异性弹性体如果物体内的每一点都具有这样一个平面，关于该平面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方向。
这样，物体的弹性常数从21个变为13个。
若Oyz 为弹性对称面，则（可用坐标变换公式得到）⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ665656554434244 13433233 1242322214 13 1211100000000000000如果互相垂直的3个平面中有2个式弹性对称面，则第3个平面必然也是弹性对称面。
弹性力学 本构关系
其中 c i j k l ——称为弹性常数，共81个系数，因 ij 、 ij 各 六个独立， c i j k l 缩减为36个独立的常数。
cmn和cijkl 的下标对应关系：
m、n 1
2
3
4
5
6
ij、kl 11 22 33 12 23 31
如，c22 c2222 ， c56 c2331
广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性 质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。
x y
xzy
yz
zx
c11
c12 c11
对
c13
0
c13
0
c33
0
1 2
c11
c12
称
0 0 0
0
c55
0 0 0
0
0 c55
x
y
xzy
yz
zx
横观各向同性材料，其独立的弹性常数为5个；
工程上一般用两个弹性模量（Exy、 Ez ），两个泊松比
z
P (x, y, z)
O
y
x
将 x 轴反向，仿前分析步骤可得
c 1 4 c 1 6 c 2 4 c 2 6 c 3 4 c 3 6 c 4 6 c 5 6 0
将 y 轴反向，不产生新的结果。
综合之，正交各向异性材料的广义胡克定律可表示为
x c11 c12 c13 0 0 0 x
由 同理
x y
U0
xy
c12
y x
U0
xy
c21
c13 c31 c14 c41
c15 c51
c12 c21 LL c56 c65
即
cmn cnm
弹性定理知识点总结
弹性定理知识点总结1. 弹性定理的基本概念弹性定理是固体力学中的一个基本原理，描述了弹性体在受力时的变形规律。
弹性体是指在外力作用下发生变形，但在去除外力后能够完全恢复原状的物质。
弹性定理认为，当一个弹性体受到力F时，它的变形量x与力F成正比，即弹性体的变形量是力的函数。
这种描述可以用数学公式表示为F=kx，其中F是受力，k是弹性系数，x是变形量。
弹性定理的基本概念可以用一个简单的例子来说明。
当我们拉动一个弹簧时，弹簧的长度会发生变化，而这种变化的大小与我们施加的力的大小成正比。
这种变化的规律可以用弹性定理来描述，即拉伸力F与弹簧的伸长量x成正比，其比例系数就是弹簧的弹性系数k。
2. 弹性定理的数学表示弹性定理可以用数学公式F=kx来表示，其中F是受力，k是弹性系数，x是变形量。
这个数学公式揭示了弹性体的变形规律，即受力与变形量成正比。
F=kx的数学表示也可以通过微积分的方法推导出来，在初等数学中我们学到了弹性势能函数的求导和积分，这就是用来解释弹性定理的数学工具。
弹性定理的数学表示可以进一步扩展到三维空间中，即一个弹性体受到外力时，在各个方向上的变形与受力也成正比。
这时公式可以表示为F=K∆L，其中K是弹性系数矩阵，∆L是位置矢量的变化量。
弹性系数矩阵K描述了弹性体在各个方向上的变形规律，它是一个对称矩阵，反映了弹性体的各向同性。
弹性系数矩阵K的具体含义可以通过广义胡克定律来解释，这是根据矩阵代数的理论推导出来的。
3. 弹性定理的应用范围弹性定理的应用范围非常广泛，包括弹簧、橡胶、金属等材料的弹性变形，以及地震波的传播等。
弹性定理可以用来解释各种物体受力时的变形规律，也可以用来计算物体在受力时的变形量。
在工程领域中，弹性定理的应用非常普遍，例如在建筑结构设计、材料强度分析、机械设计等方面都会用到弹性定理。
弹性定理还可以用来解释弹性体在受力时的振动特性。
当一个弹性体受到外力时，它会产生振动，这种振动的频率和幅度可以通过弹性定理来计算。
在体积力作用下横观各向同性弹性体的平衡问题
在体积力作用下橫觀各向同性弹性体的平衡问题以《在体积力作用下各向同性弹性体的平衡问题》为标题，本文旨在讨论各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题。
首先，我们应先了解各向同性弹性体的数学定义及概念。
弹性体是一种能够在承受外力后保持原状态的介质，可分为各向异性弹性体和各向同性弹性体。
各向同性弹性体是指材料在经历各向同性变形后所具有的特性，其刚度系数均为常数，在任一方向上都具有相同的抗变形能力，而不会发生任何各向异性的变形。
其次，我们要讨论的是各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题。
体积力（Volume Force）是指一种封闭体系内的内力，受到体积力作用的弹性体需要满足一定的条件来维持它的平衡状态。
通常将体积力分为外力和内力，外力来源于外界，而内力来源于内部。
当各向同性弹性体受到最小量内力和外力作用时，它会达到平衡，它的状态不会变得更加复杂。
再次，我们来分析下体积力作用下各向同性弹性体的平衡问题。
在一个各向同性的弹性体中，其力的平衡可以由以下公式表示：σi = o + p i，其中σi为外力在某一方向i上的应力，σo为内力，pi为体积力。
当外力和体积力之和等于内力时，各向同性弹性体将达到平衡状态。
此外，为了维持平衡，受到其他任何形式的外力或体积力作用时，弹性体都应该满足σi = o + p i，即弹性体内外力之和必须等于体积力。
最后，我们来总结。
本文讨论了体积力作用下的各向同性弹性体的平衡问题。
其中，各向同性弹性体的数学定义及概念被先容，体积力的分类、各向同性弹性体在其作用下的平衡条件及其分析被介绍。
经过讨论，体积力作用的各向同性弹性体的平衡问题，可以由σi = o + p i来表示，弹性体内外力之和必须等于体积力，才能维持其平衡状态。
因此，在理解和认识各向同性弹性体及体积力作用下的平衡问题，有助于我们更好地掌握理论，从而为未来运用和改善弹性体提供参考和建议。
在体积力作用下横观各向同性弹性体的平衡问题
在体积力作用下橫觀各向同性弹性体的平衡问题近年来，各向同性弹性体的平衡问题受到越来越多的关注。
这是因为各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题是一个具有挑战性的研究领域，也是当今社会发展和科学研究进步的重要组成部分。
本文将探讨各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题，以期为后续研究和应用提供参考。
首先，让我们了解一下各向同性弹性体的基本概念。
弹性体是指任何在承受外力作用时具有可逆力学性质的物体结构，而各向同性弹性体则是指任何在任何方向上具有相同弹性变形特性的弹性体，其扩张系数和拉伸系数相等。
各向同性弹性体存在于大多数机械和航空构件中，是结构力学中重要的一类物体。
其次，让我们来研究各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题。
体积力是通过外界外力或材料内部的变形力等造成的某种力的作用，其中可能包括快速运动或静止时的惯性力、湿度变化和温度变化等，都会影响各向同性弹性体的平衡。
通常情况下，当各向同性弹性体的体积受到影响时，物体的平衡会发生变化，而各向同性弹性体在体积力作用下的平衡也随之而变化。
第三，我们将讨论各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题的测量方法。
常见的测量方法有动态测量和静态测量，其中动态测量主要通过对弹性体的振动来探测它的体积变形情况，而静态测量则是通过体积变形LED灯来检测它的体积变形情况。
此外，能够准确测量弹性体体积变形的还有一种新技术，即电容测量技术。
最后，我们将讨论各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题的应用。
由于各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题，其广泛应用于社会发展和科学研究，特别是在航空航天、石油天然气处理、矿物加工、汽车制造、核能发电等行业中，都能看到其广泛而重要的应用，这些应用的成功完全依赖于对各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题的精确掌握和理解。
综上所述，各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题是当今社会发展和科学研究进步的重要组成部分，本文讨论并总结了各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题，相关技术和应用，为后续研究和应用提供了参考。
在体积力作用下横观各向同性弹性体的平衡问题
在体积力作用下橫觀各向同性弹性体的平衡问题以《在体积力作用下各向同性弹性体的平衡问题》为标题，本文首先介绍了体积力的概念，然后探讨了弹性体的特性和性质，并重点介绍了在体积力作用下各向同性弹性体的平衡问题。
体积力，也称为压强力或吸引力，是指通过对物质分子施加一定的力量和压强，使其从表面排斥变为吸引的过程中作用的力。
它包括恒定体积弹性、弹性比和弹性模量，能够使物体压缩或延展，保持物质表面的稳定性。
此外，体积力还可以将物体的有效横截面变为较小的值，以达到均衡的效果。
弹性体的特性和性质可以分为两大类：各向同性弹性体和各向异性弹性体。
各向同性弹性体的特性在全向中是可以均衡的，它们可以使物体在外力作用下保持均衡，物体的压缩和拉伸均能够保持均衡。
而各向异性弹性体则容易随外力作用方向出现不平衡，比如在弹性体表面的欠宁和撞击都可能导致物体的不平衡。
在体积力作用下各向同性弹性体的平衡问题是一个复杂的且具有重要意义的物理问题。
其中，体积力作用的程度有助于物体的均衡：当体积越大，则物体的均衡性越显著，而当体积减小，则物体的均衡性越弱。
因此，在体积力作用下实现各向同性弹性体的均衡，可以采取减少体积、增加弹性模量、减小弹性比等措施来降低物体的不平衡程度。
此外，在体积力下实现各向同性弹性体的均衡，还可以通过使物体表面拥有特殊状态，如弹性状态、动力状态以及弹性屈曲状态，来实现稳定的均衡。
例如，当物体的外力适时的给予，可以使物体的弹性稳定在一定的位置；而当物体的动力量足够大时，物体就能够实现自动均衡；而当物体的弹性模量发生变化时，它的弹性屈曲的效果也可以使物体处于动态的均衡状态。
总之，在体积力作用下各向同性弹性体的平衡问题是一个具有重要意义的物理问题，通过减小体积、增加弹性模量、减小弹性比以及使物体表面拥有特殊状态，不仅能实现物体的均衡，而且还能有效地提高物体的稳定性和弹性性。
该问题的研究将有助于更好地理解物质的机理，为物理研究者们提供一个很好的参考。
§4.4各向同性弹性体
§4.4 各向同性弹性体学习思路:各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。
该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。
各向同性材料的本构关系可以通过拉梅(Lamé)弹性常数λ，μ 表示；也可以通过工程弹性常数E, n, G 表示。
各弹性常数可由实验的方法测定。
学习要点：1. 各向同性弹性体；2. 各向同性弹性体的应力和应变关系；3. 应变表示的本构关系；4. 弹性常数与应力表示的本构关系。
各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。
这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应力和应变关系。
对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关，任意一个平面都是弹性对称面。
因此C11=C22=C33, C12=C23=C31,C44=C55=C66于是其应力应变关系简化为其独立的弹性常数仅为C11，C12和C44。
但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
为了简化分析，将坐标系沿z 轴旋转任一角度ϕ。
新旧坐标系之间的关系如下所示：x y zx'l1=cosϕm1=sinϕn1=0y' l2=-sinϕm2=cos ϕn2=0z'l3=0m3=0n3=1根据应力分量转轴公式，可得根据应变分量转轴公式将以上两式代入应力应变关系公式的第四式,则因为，所以。
根据应力应变表达式，可得。
比较上述两个公式，可得，2C44 = C11-C12。
所以各向同性弹性体的弹性常数只有两个。
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§4.4 各向同性弹性体
学习思路:
各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。
该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。
各向同性材料的本构关系可以通过拉梅(Lamé)弹性常数λ，μ 表示；也可以通过工程弹性常数E, n, G 表示。
各弹性常数可由实验的方法测定。
学习要点：
1. 各向同性弹性体；
2. 各向同性弹性体的应力和应变关系；
3. 应变表示的本构关系；
4. 弹性常数与应力表示的本构关系。
各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。
这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应力和应变关系。
对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关，任意一个平面都是弹性对称面。
因此
C11=C22=C33, C12=C23=C31,C44=C55=C66
于是其应力应变关系简化为
其独立的弹性常数仅为C11，C12和C44。
但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
为了简化分析，将坐标系沿z 轴旋转任一角度ϕ。
新旧坐标系之间的关系如下所示：
x y z
x'l1=cosϕm1=sinϕn1=0
y' l2=-sinϕm2=cos ϕn2=0
z'l3=0m3=0n3=1
根据应力分量转轴公式，可得
根据应变分量转轴公式
将以上两式代入应力应变关系公式的第四式,则
因为，所以。
根据应力应变表达式，可得。
比较上述两个公式，可得，2C44 = C11-C12。
所以各向同性弹性体的弹性常数只有两个。
其应力和应变关系为
其中，。
为了使得各向同性材料的本构关系公式表达简洁，令
则同性材料的本构关系公式可以简化为
或写作张量表达式
上述公式即为各向同性弹性材料的广义胡克（Hooke）定理，λ，μ称为拉梅（Lamé）弹性常数。
如果将坐标轴选取的与弹性体内某点的应力主方向重合，则对应的切应力分量均应为零。
根据各向同性材料的本构关系的后三式可见，此时所有的切应变分量也为零。
根据上述分析，对于各向同性弹性体内的任一点，应力主方向和应变主方向是一致的。
因此这三个坐标轴，即应力主轴同时又是应变主轴方向，对于各向同性弹性体，应力主方向和应变主方向二者是重合的。
设体积应力为, 将拉梅公式的前三式相加，可得
上式称为体积应变的胡克定理。
如果各向同性材料的本构关系用应力表示，一般用工程弹性常数E，ν，G表示胡克定律，有
这里E为弹性模量，又称为杨氏模量；G为切变弹性模量；v为横向变形系数，简称泊松比。
工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为，
由于各向同性弹性体仅有两个独立的弹性常数，因此
各个弹性常数可由实验的方法测定，通常应用材料的单向拉伸实验可以测出弹性模量E，利用薄壁管的扭转实验可以测定剪切弹性模量G。
其余的弹性常数可以通过上述公式计算得到。
4.5 各向同性弹性体的应变能
学习思路:
本节介绍各向同性材料的应变能函数表达形式。
如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。
将本构关系表达式代入应变能函数公式，则可以写出应变分量或者应力分量表达的应变能函数。
由于泊松比 恒小于1，所以应变能函数是恒大于零的。
这就是说，单位体积的应变能总是正的。
学习要点：
1. 各向同性弹性体应变能。
弹性体单位体积的应变能的表达式已经作过讨论。
如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。
根据应变能函数表达式，
对于各向同性弹性体，可以使用应力分量或应变分量表达单位体积的应变能。
将本构关系表达式代入上式，则可以写作应变分量表达的应变能函数
或者利用本构方程，写作应力分量表达的应变能函数
由于 恒小于1，所以，根据应变能函数表达式可知U0恒大于零。
这就是说，单位体积的应变能总是正的。