精品八年级下数学讲义+练习题--分式

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八年级数学下册第五章分式与分式方程教材习题课件新版北师大版

x3 3 x
解：(1) c - a c2 - a2 = c2 a2 . ab bc abc abc abc
(2) 1 - 1 x 3 x 3 x 3 3 x ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3)
x3 x3 6
( x 3)( x 3)
x2
. 9
(3)
a a2
(3) 2 x 1 1 . 3 x 2 x3
(3)方程两边都乘2(x+3)，得2(2－x)=(x+3)+2.
解这个方程，得x= 1 .
经检验，x=
1
3 是原方程的根.
3
5.
(1)已知 m n
5，求 3
m m
n
m m
n
n2 m2
n2
的值；
解：(1)
m m
n
m m
n
n2 m2
n2
m(m n) m(m n) n2
＞
a b
.
b3 b
(5)m
1
2m m2
6 9
2m 2 m3
m
1
2m m2
6 9
m3 2m 2
m 1 2(m 3)
m3 m1 1
(m 3)(m 3) 2(m 1)
m1
(m+1)(m 1) 1 m2 1 1 m2 .
m1 m1 m1 m1
(6)
2 m
1 n
m2 n
n2
5n
m 2n
2n m
2 .
(6)
2 m
1 n
即
a b
1＞a 1b
.
(2)将分式 a 的分子、分母都加2，结果又怎样呢？ b

初中数学-八年级--分式习题(附答案)

分式1、（1）当x 为何值时,分式2122---x x x 有意义? (2）当x 为何值时，分式2122---x x x 的值为零? 2、计算:(1）()212242-⨯-÷+-a a a a （2）222---x x x （3)x x x x x x 2421212-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+（4)x y x y x x y x y x x -÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-3232 （５)4214121111x x x x ++++++-３、计算（1)已知211222-=-x x ,求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x x 111112的值。

(2)当()00130sin 4--=x 、060tan =y 时，求y x y xy x y x x 3322122++-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-222y x xy x -++ 的值。

（3）已知02322=-+y xy x （x ≠0，y ≠０)，求xy y x x y y x 22+--的值。

(4)已知0132=+-a a ,求142+a a 的值。

4、已知a 、b 、c 为实数，且满足()()02)3(432222=---+-+-c b c b a ，求cb b a -+-11的值。

５、解下列分式方程：（1)xx x x --=-+222; （2)41)1(31122=+++++x x x x（3）1131222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x （4)3124122=---x x x x6、解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-92113111y x y x7、已知方程11122-+=---x x x m x x ，是否存在m 的值使得方程无解?若存在,求出满足条件的m 的值；若不存在,请说明理由。

8、某商店在“端午节”到来之际,以２400元购进一批盒装粽子,节日期间每盒按进价增加２0%作为售价,售出了5０盒;节日过后每盒以低于进价５元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元,求每盒粽子的进价.9、某书店老板去图书批发市场购买某种图书.第一次用1200元购书若干本,并按该书定价7元出售，很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次提高了2０%，他用15００元所购该书数量比第一次多１0本．当按定价售出２０0本时，出现滞销，便以定价的４折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其它因素）?若赔钱,赔多少？若赚钱,赚多少?10、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固.该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务.这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:11、建筑学要求，家用住宅房间窗户的面积m 必须小于房间地面的面积n,但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好。

八年级下(初二数学)分式(分式的方程及应用题)

八年级下(初二数学)分式(分式的方程及应用题)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN分式基础练习三（分式方程及应用题）专题一：分式方程1. 下列方程是分式方程的是（）Ａ．2513x x =+- Ｂ．315226y y -+=-Ｃ．212302x x +-= Ｄ．81257x x +-=2. 若3x =-是分式方程312axx=-的解，则a 的值为（）Ａ．95- Ｂ． 95Ｃ．59Ｄ． 59-3. 用换元法把方程222(1)6(1)711x x x x +++=++化为关于y 的方程627y y+=，那么下列换元正确的是（）Ａ．11y x =+ Ｂ．211yx =+ Ｃ．211x y x +=+Ｄ．211x y x +=+ 4. 满足方程：1212x x =--的x 值为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．没有 5. 若关于x 的方程1011m xx x --=--有增根，则m 的值是（）Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．1- 6. 当x = 时，分式32xx -的值是1-； 7. 若关于x 的分式方程4155x ax x=---的增根，那么增根是，这时a = ． 8. m 时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根．9. 用换元法解方程2()5()4011x x x x -+=++时，可设1xy x =+，则原方程可化为． 10. 解方程．215x x =+ 13244x x x -=+--3212x x =+-232x x =+ 12433x x x -=---21233x x x -=---243111x x x -+=-- 133211x x x x +--=-+ 2213211x x x x --=--专题二：分式方程的应用题1．某饭馆用320元钱到商场去购买“白猫”洗洁精，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价买多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x 元，则可列出方程为（）Ａ．320320200.5x x -=- Ｂ．320320200.5x x-=- Ｃ．3203200.520x x -=- Ｄ． 3203200.520x x-=- 2．“五一”期间，东方中学“动感数学”活动小组的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“动感数学”活动小组有x 人，则所列方程为（）Ａ．18018032x x -=- Ｂ．18018032x x -=+ Ｃ．18018032x x-=+ Ｄ．18018032x x-=- 3．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务．设原计划每天固沙造林x 公顷，根据题意列方程正确的是（）Ａ．24024054x x +=+ Ｂ．24024054x x -=+ Ｃ．24024054x x +=- Ｄ．24024054x x -=-4．一项工程，甲. 乙两人合做需m小时完成，甲独做需n小时完成，那么乙独做需_____小时完成．5．甲. 乙制作某种零配件，甲每天比乙多做5个，甲制作75个零件所用的天数与乙制作50个零件的天数相等，则甲. 乙每天制作的零件数分别为________________．6．某工厂计划x天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产3件，因此提前2天完成计划，列方程为________________．7．为改善居住环境，柳村拟在村后荒山上种植720棵树，由于共青团员的支持，实际每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x棵，根据题意得方程______ __．8．新农村，新气象，农作物播种全部实现机械化．已知一台甲型播种机4天播完一块地的一半，后来又加入一台乙型播种，两台合播，1天播完这块地的另一半．求乙型播种单独播完这块地需要几天？设乙型播种单独播完这块地需要x天，根据题意可列方程．9．小王做90个零件所需要的时间和小李做120个零件所用的时间相同，又知每小时小王与小李两人共做35个机器零件．求小王. 小李每小时各做多少个零件？设小王每小时做x个零件，根据题意可列方程．10．甲队单独做一项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比预期多用3天．若甲. 乙两队合作2天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，则规定的工期是多少天？11．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．12．2001年底，我国加入WTO，从2002年起，部分汽车的价格便开始大幅度下调．现某种型号的小汽车热销，为了增加产量，某汽车生产厂增加了设备，同时改进了技术，使该厂每小时装配的车辆数比原来提高2，这样装3配40辆汽车所用时间比技术改造前装配30辆汽车所用时间还少2h，那么该厂技术改造后每小时装配多少辆汽车？13．甲. 乙两种涂料的单价比为5:4，将价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料，这种涂料的单价为17元．求甲. 乙两种涂料的单价．14. 甲. 乙两打字员，甲每分钟打字数比乙少10个．两人分别打同一份搞件，结果乙完成所需的时间是甲的5，那么甲. 乙两人每分钟打字数分别6是多少？15. 某房地产开发公司原计划建商业场所50000m2，住宅100000m2，由于销售市场发生变化，就将一部分商业场所改建为住宅销售，使两部分面积之比为1:3．那么该公司将多少面积的商业场所改建为住宅销售？请分析题中的等量关系，并列出符合题意的方程．16. 有一项工程，如果甲队单独做，正好在规定日期完工；如果乙队单独做，则比现定日期要多3天才能完成，现在甲. 乙两队合做2天后，再由乙队单独做，正好在规定日期完工，问规定日期是多少天？17. 为了过一个有意义的“六. 一”儿童节，实验小学发起了向某希望小学捐赠图书的活动．在活动中，五年级一班捐赠图书100册，五年级二班捐赠图书180册，二班的人数是一班人数的1.2倍，二班平均每人比一班多捐1本书，求两个班各有多少名同学？。

专题5.16 分式与分式方程(全章复习与巩固)(知识讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题5.16分式与分式方程（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.特别说明：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±=；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算a c acb d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算a c a d adb d bc bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.特别说明：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式➽➼分式的意义✭✭分式的基本性质1．已知分式2x nx m+-（m ，n 为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误．．的是（）x 的取值－22pq分式的值无意义012A ．2n =B ．2m =-C ．6p =D ．q 的值不存在【答案】A【分析】根据分式有意义的条件可得m ，n 的值，进而可知p ，q 的值，选出符合要求的选项即可．解：∵x 为﹣2时方程无意义，∴x －m =0，解得：m =﹣2，故B 正确，故分式为：22x n x ++，当x =2时，分式的值为0，故2×2＋n =0，n =﹣4，故A 错误，故分式为：242x x -+，当分式值为1时，2x －4=x +2，解得：x =6，故6p =，故C 正确，当2422x x -=+时，2x －4=2x ＋4，此等式不成立，则q 的值不存在，故D 正确，故选：A ．【点拨】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键．举一反三：【变式1】若不论x 取何实数时，分式22ax x a-+总有意义，则a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a >且0a ≠C ．1a >D ．1a <【答案】C 【分析】分式22ax x a-+总有意义，则分母永远不等于0，即22x x a -+的最小值大于0，据此解题即可．解：∵分式22ax x a-+总有意义，∴()22211x x a x a -+=-+-的最小值10a ->，解得1a >．【点拨】本题主要考查分式有意义的条件及二次函数的最值问题，能够熟练利用条件列不等式是解题关键．【变式2】若分式||3(3)(2)a a a --+的值为0，则a 满足的条件是（）A ．3a =B ．3a =-C ．3a =±D ．3a =或2a =-【答案】B【分析】由分式的值为0的条件可得：()()30320a a a ì-=ïí-+¹ïî①②，再解方程与不等式即可．解：∵分式||3(3)(2)a a a --+的值为0，()()30320a a a ì-=ï\í-+¹ïî①②由①得：3,a =±由②得：3a ≠且2,a ≠-∴ 3.a =-故选B【点拨】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0，则分子为0，而分母不为0”是解本题的关键．2．不改变分式的值，下列各式变形正确的是（）A ．11x x y y +=+B ．1x yx y-+=--C ．22x y x y x y-=++D ．22233x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据分式的基本性质即可一一判定．解：A.11x x y y ++≠，故该选项错误，不符合题意；B.()1x y x y x y x y---+==---，故该选项正确，符合题意；C.22x y x y x y-=-+，故该选项错误，不符合题意；D.22239x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故该选项错误，不符合题意；【点拨】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．举一反三：【变式1】下列各式从左边到右边的变形正确的是（）A ．22x y y xx y x y--=++B ．a b a bc c-+-=-C ．0.220.22a b a ba b a b++=++D ．1x yx y--=+【答案】B【分析】根据分式的基本性质作答．解：A 、22x y y xx y x y--=-++，此选项变形错误；B 、a b a bc c -+-=-，此选项变形正确；C 、0.22100.2102a b a ba b a b++=++，此选项变形错误；D 、1x yx y--=-+，此选项变形错误；故选B ．【点拨】本题主要考查了分式的变形，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．【变式2】如果把分式xyx y+中的x 和y 都扩大10倍，则分式的值（）A ．扩大20倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小10倍【答案】B【分析】根据分式的基本性质即可求出答案；解：()x y xy xyx y x y x y==+++101010010101010 故选：B ．【点拨】本题考查了分式的基本性质；解题的关键是熟练运用分式的基本性质进行化简比较．类型二、分式➽➼相关概念➽➼最简分式✭✭约分✭✭最简公分母✭✭通分3．分式122m +与11m +的最简公分母是（）A ．22m +B ．2m +C ．1m +D ．21m -【答案】A【分析】根据最简公分母的概念，求解即可．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．解：分式122m +与11m +的最简公分母22m +，故选：A【点拨】此题考查了最简公分母的概念，解题的关键是熟练掌握最简公分母的概念．举一反三：【变式】分式212x y 和216xy 的最简公分母是（）A ．2xyB ．222x y C ．226x y D ．336x y 【答案】C【分析】根据最简公分母的确定方法解答即可．解：分式212x y 和216xy的最简公分母是226x y ．故选：C ．【点拨】本题主要考查了最简公分母的确定方法，确定最简公分母的一般方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．4．下列分式中，属于最简分式的是（）A ．2xB ．22x x C ．42xD ．11x x --【答案】A【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可．解：A.2x，是最简分式，符合题意；B.22x x =12x，不是最简分式，不合题意；C.422x x=，不是最简分式，不合题意；D.111xx -=--，不是最简分式，不合题意，故选：A ．【点拨】本题考查最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式．举一反三：【变式】下列分式中是最简分式的是（）A ．224x x B ．22x y x y++C ．2211x x x +++D ．242x x -+【答案】B【分析】分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果．解：A 选项22142x x x=，故不是最简分式；B 选项不能再化简，故是最简分式；C 选项()22121111x x x x x x +++==+++，故不是最简分式；D 选项()()2224222x x x x x x +--==-++，故不是最简分式．故选：B ．【点拨】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式．类型三、解分式方程➽➼根的情况➽➼增根✭✭无解5．（1）通分：()22xyx y +和22x x y -；（2）约分：22416m mm --．【答案】（1）()()()()2222xy x y xyx y x y x y -=++-，()()()222x x y x x y x y x y +=-+-；（2）4m m +【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；（2）原式变形后，约分即可得到结果．解：（1）()()()()2222xy x y xyx y x y x y -=++-，()()()222x x y xx y x y x y +=-+-；（2）()()()224416444m m m m m m m m m --==-+-+．【点拨】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．举一反三：【变式】（1）约分：236a bab；（2）通分：223b a 与abc 【答案】（1）2a ；（2）2223b c a bc 与3233a a bc【分析】（1）直接利用分式的性质化简，进而得出答案；（2）首先得出最简公分母，进而得出答案．解：（1）2336322a b ab a aab ab ⨯==⨯；（2）223b a与abc 最简公分母为：23a bc ，则：2222222333b b bc b ca a bc a bc ⨯==⨯，23223333a a a a bc bc a a bc⨯==⨯．【点拨】本题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键．6．若分式方程1x aa x -=+有增根，则a 的值为________．【答案】1-【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母10x +=，得到=1x -，然后代入整式方程算出a 的值即可．解：方程两边同时乘以1x +得，()1x a a x -=+，∵方程有增根，∴10x +=，解得=1x -．∴10a --=，解得1a =-．故答案为：1-．【点拨】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x 的值是解答此题的关键．举一反三：【变式】如果关于x 的方程2133mx x =---有增根，那么m 的值为________．【答案】2-【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x 的值，最后代入整式方程求出k 的值即可．解：分式方程去分母得：23x m =--，由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程得：2m =-．故答案为：2-．【点拨】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．类型四、解分式方程➽➼根的情况➽➼正（负）数解✭✭非负（正）数解7．若关于x的不等式组341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩无解，且关于y的分式方程3122y a yy y+=---的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为______．【答案】16【分析】首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为非负整数得出a为整数，23a+为非负整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案．解：341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩①②，解不等式①得：3x≥，解不等式②得：7x a<-，∵不等式组341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩无解，∴73a-≤，∴10a≤，分式方程3122y a yy y+=---去分母，得32y y a y-=---，∴23ay+=，∵分式方程3122y a yy y+=---的解为非负整数，∴0y≥且20y-≠，∴203a+≥且4a≠，∵a为整数，23a+为非负整数，∴2a=-，1，7，10，∴整数a的和为2171016-+++=．故答案为：16．【点拨】此题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解决此题关键．举一反三：【变式】若关于x 的方程301ax x+=-无解，则a 的值为______．【答案】0或-3【分析】先去分母化为整式方程，根据分式方程无解得到x =0或x =1或3+a =0，将解代入整式方程求出a 即可．解：去分母，得3x +a （x -1）=0，∴（3+a ）x-a =0，∵原分式方程无解，∴x =0或x =1或3+a =0，当x =0时，a =0；当x =1时，3+0=0，无解；∴a =0，当3+a =0时，解得a =-3，故答案为：0或-3．【点拨】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，正确掌握解分式方程的解法是解题的关键．8．若关于x 的分式方程3121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是____．【答案】4m ≥-且3m ≠-【分析】先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m 的取值范围．解：去分母得，m +3＝2x ﹣1，∴x ＝42+m ，∵方程的解是非负数，∴m +4≥0即m ≥﹣4，又因为2x ﹣1≠0，∴x ≠12，∴42+m ≠12，∴m ≠-3，则m 的取值范围是m ≥﹣4且m ≠-3．故答案为：m ≥﹣4且m ≠-3．【点拨】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解即可．举一反三：【变式】关于x 的方程1233x m x x -=+--有正数解，则m 取值范围是______．【答案】5m <且2m ≠【分析】先解分式方程求出方程的解，再根据这个方程有正数解和3x ≠建立不等式，由此即可得．解：1233x m x x -=+--，方程两边同乘以()3x -，得()123x m x -=+-，去括号，得126x m x -=+-，移项、合并同类项，得5x m -=-，系数化为1，得5=-+x m ，关于x 的方程1233x m x x -=+--有正数解，50m ∴-+>，且53m -+≠，解得：5m <且2m ≠，故答案为：5m <且2m ≠．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键，需注意的是，分式方程有正数解隐含方程不能有增根．类型五、分式➽➼化简✭✭求值9．关于x 的分式方程334111ax x x x +-+=--的解为正整数，则满足条件的整数a 的值为____________．【答案】-3【分析】求得分式方程的解，利用方程的解的特征确定整数a 的值．解：分式方程334111ax x x x +-+=--的解为：24x a =+，∵分式方程有可能产生增根1，又∵关于x 的分式方程334111ax x x x +-+=--的解为正整数，且24x a =+≠1，∴满足条件的所有整数a 的值为：-3，∴a 的值为：-3，故答案为：-3．【点拨】本题主要考查了分式方程的解，方程的整数解，考虑分式方程可能产生增根的情况是解题的关键．举一反三：【变式】对于关于x 的分式方程()2141111k k x x x +=≠-+--①若k ＝1，则方程的解为________；②若方程有增根且无解，则k 的值为________；③若方程的解为负数，请你写出符合条件的且互为相反数的两个k 的值________．【答案】2x =k ＝2|k|>5即可，如6±【分析】①若k ＝1，得到分式方程为2114111x x x +=+--，解分式方程即可求解；②根据方程有增根且无解，可得x =±1，然后把x 的值代入整式方程中进行计算即可解答；③根据题意可得51k x k -=+，利用方程的解为负数求出k 的取值范围，再求出互为相反的两个k 值．解：①若k ＝1，得到分式方程为2114111x x x +=+--，去分母得114x x -++=，解得2x =．故答案为：2x =；②将()2141111k k x x x +=≠-+--去分母得()114x k x -++=，解得51k x k-=+．∵方程有增根且无解，∴210x -=，解得1x =±，当x =1时，511k k-=+，解得：2k =，当x =-1时，511k k -=-+无解，∴k 的值为2．故答案为：2k =；③∵方程的解为负数，∴x ＜0且x ≠±1，∴501k k-<+且511k k -≠±+，解得5k <-或5k >，∴符合条件的且互为相反数的两个k 的值可以是±6．故答案为：5k <-或5k >，如±6．【点拨】本题考查了分式方程的增根，分式方程的解法，根据题意求出x 的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．10．计算：(1)211a a a ---；（2）4222⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭a a a a 【答案】(1)11a -(2)a 【分析】（1）先对原式通分变为同分母的分式，再相减即可解答本题；（2）先将括号内的进行计算，再将除法转换为乘法后，再约分即可得到答案．解：（1）211a a a ---=2(1)(1)11a a a a a +----=2(1)(1)1a a a a -+--=22(1)1a a a ---=22+11a a a --=11a -（2）4222⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭a a a a =4222a a a a ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=24422a a a a -+⎛⎫÷ ⎪--⎝⎭=222a a a a-⨯-=a【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．举一反三：【变式】计算：(1)22122x x x x-+÷；（2）2126339x x x x --++--．（3）22241123x x x x x ---÷+--．（4）2443111m m m m m -+⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭．【答案】(1)12x -；(2)2239x x --；(3)52x +；(4)22m m --+．【分析】（1）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（3）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（4）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算．解：（1）22122x x x x-+÷解：原式()()()1121x x x x x +-=⋅+12x -=；（2）2126339x x x x --++--解：原式()()1263333x x x x x -=+++-+-()()()()()()()()2336333333x x x x x x x x x -+-=+++--++-()()236633x x x x x -++-+=+-22239x x x +-=-()()()()3133x x x x +-=+-13x x -=-；（3）22241123x x x x x ---÷+--解：原式()()()()3121122x x x x x x -+-=-⋅+-+2322x x x x +-=-++()232x x x +--=++（4）2443111m m m m m -+⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭解：原式()()()22113111m m m m m m -+-⎡⎤=÷-⎢⎥---⎣⎦()()2231211m m m m ⎡⎤---⎢⎥=÷--⎢⎥⎣⎦()222411m m m m -⎡⎤-=-÷⎢⎥--⎣⎦()()()221122m m m m m --=-⋅--+22m m -=-+．【点拨】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．类型五、解分式方程➽➼运算✭✭化简✭✭求值11．先化简，再求值：2224124421x x x x x x x x ⎛⎫-+-÷--- ⎪-+--⎝⎭，然后从1-，0，1，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】21--x x，1x =-时，12-【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后从所给数中取一个使分式有意义的数代入计算．解：原式()()()22222412212x x x x x x x x x ⎛⎫+--+-=÷- ⎪----⎝⎭()22224412212x x x x x x x x ⎛⎫-+--=÷-- ⎪----⎝⎭()2222441212x x x x x x x -+--+=÷----12121x x x x -=⋅---111x x =---21x x =--20x -≠ ，且10x -≠，且0x ≠2x ∴≠，且1x ≠，且0x ≠取=1x -时，原式12=-【点拨】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分；关键是掌握分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分，同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．举一反三：【变式】先化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，从不等式组()3421213212x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩的整数解中，选取一个你最喜欢的x 的值代入求值．【答案】82x +，1x =时，83【分析】根据分式的乘除法法则和约分法则把原式化简，根据解一元一次不等式组的步骤解出不等式组，从解集中选取使分式有意义的值代入计算即可．解：22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭22(2)22(2)(2)x x x x x x x ⎡⎤-=+÷⎢⎥-⎣⎦-++-22(2)(2)(2)(2)(2)2(2)x x x x x x x x ⎡⎤-=-÷⎢⎥-+-+-⎣⎦+2428x x x x =÷--2482x x x x -=⋅-82x =+，由()34212x x -≤-，2863x x -≤-，解得：54x ≥-；由13212x x +-<，4132x x --<，解得：3x <，故不等式组的解集为：534x -≤<，0,2,2x ≠- 当1x =时，原式83=．【点拨】本题考查的是分式的化简求值和一元一次不等式组的解法，掌握分式的乘除法法则和约分法则是解题的关键．12．解分式方程．(1)33122x x x-+=--；（2）214111x x x -+=+-【答案】(1)1x =(2)无解【分析】（1）分式方程两边同乘以(2)x -去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程两边同乘以(1)(1)x x +-去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：（1）33122x x x-+=--323x x -+-=-3+23x x +=-22x =解得，1x =经检验，1x =是原方程的解，所以，原方程的解为：1x =（2）214111x x x-+=+-2(1)4(1)(1)x x x --=+-222141x x x -+-=-22x -==1x -经检验，=1x -是增根，原方程无解．【点拨】此题主要考查了解分式方程，正确找出分式方程的最简公分母是解答本题的关键．举一反三：【变式】解分式方程(1)432x x =+；（2）217133x x x+=---【答案】(1)6x =(2)无解【分析】（1）等号两边同时乘以(2)x x +将原方程转换为整式方程，然后求解验根即可；（2）等号两边同时乘以(3)x -将原方程转换为整式方程，然后求解验根即可．（1）解：432x x=+，去分母得：43(2)x x =+，解得：6x =，经检验6x =是原方程的解；（2）217133x x x+=---去分母得：2137x x +=-+，解得：3x =，经检验3x =是原方程的增根，故原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解本题的关键，注意解分式方程需要验根．类型五、分式方程的应用➽➼列方程✭✭解方程✭✭求值13．（1）解方程：411233x x x -=+--；（2）先化简，再求值：222(2)5242x x x x x x ++-÷---+，其中x 从2-，2和3中选一个合适的值．【答案】（1）2x =-（2）72x +，75【分析】（1）将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最检验整式方程的解是不是分式方程的解即可；（2）根据分式的运算法则化简，再代入一个使原方式有意义的值求解即可．（1）解：411233x x x -=+--，方程两边同乘3x -，得()41231x x -=-+，解得2x =-，检验：当2x =-时，30x -≠，∴原分式方程的解是2x =-；（2）解：222(2)5242x x x x x x ++-÷---+()()222252(2)2x x x x x x x +-+-=⋅--++512x x -=-+252x x x +-+=+72x =+，2x =- 或2时，原分式无意义，3x ∴=，当3x =时，原式77325==+．【点拨】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题的关键．举一反三：【变式】解方程：(1)2232122x x x x x --+=--（2）()32011x x x x +-=--【答案】(1)1x =(2)无解【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；（2）根据解分式方程的步骤求解即可．解：（1）2232122x x x x x--+=--去分母，得()22322x x x x ---=-，解得1x =，经检验，1x =是原方程的根，∴原方程的解为：1x =；（2）()32011x x x x +-=--去分母，得()320x x -+=，解得1x =，经检验，1x =是原方程的增根，∴原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．14．小状元书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、15元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.5倍，若用1800元在该店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（假设购进的两种图书全部销售完）【答案】(1)甲种图书售价每本30元，乙种图书售价每本20元(2)甲种图书进货400本，乙种图书进货800本时利润最大【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可；（2）先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可．（1）解：设乙种图书售价每本x 元，则甲种图书售价为每本1.5x 元，,由题意得：14001800101.5x x-=，解得：20x =，经检验，20x =是原方程的解，∴甲种图书售价为每本1.52030⨯=元，答：甲种图书售价每本30元，乙种图书售价每本20元；（2）设甲种图书进货a 本，总利润W 元，则(30203)(20152)(1200)48400W a a a =--+---=+∵2015(1200)20000a a +⨯-≤，解得400a ≤，∵W 随a 的增大而增大，∴当a 最大时W 最大，∴当400a =本时，W 最大，此时，乙种图书进货本数为1200400800-=（本），答：甲种图书进货400本，乙种图书进货800本时利润最大．【点拨】本题分别考查了分式方程和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值．举一反三：【变式1】为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多5元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元?(2)由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共100桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的12，由于是第二次购买，商家给予八折优惠．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少最少总金额是多少元?【答案】(1)甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶(2)当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为()+5x 元/桶，结合该单位分别用900元和720元采购相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可列出关于x 的分式方程，进而求解即可．（2）设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液为()100m -桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数的12，即可得出关于m 的一元一次不等式，解得m 的取值范围，然后设所需资金总额为w 元，根据题意列出函数关系式，再利用函数性质即可解决最值．（1）解：设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为()5+x 元/桶，依题意得：9007205x x =+，解得：=20x ，经检验，=20x 是原方程的解，且符合题意，525x ∴+=．答：甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶：（2）解：设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液()100m -桶，依题意得：()11002m m ≥-，解得：1003m ≥，设所需资金总额为w 元，则()250.8201000.841600w m m m =+-=+ ，40> ，w ∴随m 的增大而增大，∴当34m =时，w 取得最小值，最小值43416001736=⨯+=，答：当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元．【点拨】此题考查了分式方程的运用、一元一次不等式以及一次函数运用，解题关键是找准等量关系，正确列出方程．【变式2】某水果店一次购进了若干箱水蜜桃和李子，已知购进水蜜桃花费800元，购进李子花费1680元，所购李子比水蜜桃多10箱，李子每箱的进价是水蜜桃每箱进价的1.4倍．(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为多少元？水蜜桃和李子各多少箱？(2)根据市场情况，每箱李子可以比每箱水蜜桃的利润多5元，这批水果全部售完后，店家若想获得不少于800元的利润，应该如何确定每箱水蜜桃和李子的售价？【答案】(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱(2)每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元【分析】（1）设水蜜桃每箱x 元，则李子每箱1.4x 元，由题意列出分式方程，解之，再根据进货费用算出多少箱即可；（2）设水蜜桃每箱利润y 元，则李子每箱利润(5)y +元，由题意列出不等式，解不等式即可．（1）解：设水蜜桃每箱x 元，则李子每箱1.4x 元，根据题意得：1680800101.4x x -=，解得：40x =，经检验40x =是原方程的解，则1.4 1.44056x =⨯=，8004020÷=，16805630÷=，答：水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱；（2）设水蜜桃每箱利润y 元，则李子每箱利润(5)y +元，根据题意得：8001680(5)8004056y y ++≥，解得：13y ≥，134053+=，1355674++=，答：每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元．【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；理解题意，列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．【变式3】为预防新冠疫情的反弹，桐君阁大药房派采购员到厂家去购买了一批A 、B 两种品牌的医用外科口罩．已知每个B 品牌口罩的进价比A 品牌口罩的进价多0.7元，采购员用7200元购进A 品牌口罩的数量为用5000元购进B 品牌数量的2倍．(1)求A 、B 两种品牌每个口罩的进价分别为多少元？(2)若B 品牌口罩的售价是A 品牌口罩的售价的1.5倍，要使桐君阁大药房销售这批A 、B 两种品牌口罩的利润不低于8800元，则A 品牌口罩每个的售价至少定为多少元？【答案】(1)A 品牌每个口罩的进价为1.8元，则B 品牌每个口罩的进价为2.5元(2)3元【分析】（1）设A 品牌每个口罩的进价为x 元，则B 品牌每个口罩的进价为()0.7x +元，根据用7200元购进A 品牌口罩的数量为用5000元购进B 品牌数量的2倍列分式方程解答；（2）先求出两种品牌口罩购买的数量，设每个A 品牌口罩的售价定为y 元，则每个B 品牌口罩的定价为1.5y 元，列不等式求解即可．（1）解：设A 品牌每个口罩的进价为x 元，则B 品牌每个口罩的进价为()0.7x +元，720050020.7x x =⨯+，解得 1.8x =，经检验， 1.8x =是原方程的解，且符合题意，∴0.7 2.5x +=，答：A 品牌每个口罩的进价为1.8元，则B 品牌每个口罩的进价为2.5元；（2）购进B 品牌口罩的数量为5000 2.52000÷=（个），购进A 品牌口罩的数量为200024000⨯=（个），设每个A 品牌口罩的售价定为y 元，则每个B 品牌口罩的定价为1.5y 元，依题意得：()()4000 1.82000 1.5 2.58800y y ⨯-+⨯-≥，解得3y ≥，答：A 品牌口罩每个的售价至少定为3元．【点拨】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列得方程或不等式是解题的关键．。

(完整版)八年级下册数学第十六章分式方程知识点与练习题,推荐文档

页眉内容16.3分式方程一、基础知识：1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程。

下列关于x 的方程哪1900015003004801232,,4,20,,,45030002321x x x x x x x x x x x x-+==-=-===-=+-些是整式方程，哪些是分式方程？2、分式方程的解法：（1）去分母，方程两边乘最简公分母，化成整式方程。

（2）解整式方程。

（3）检验：把解带入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是方程的解，否则原分式方程无解。

例一、解分式方程：（1）（2）30048042x x -=21233x x x-=---（3）（4）2236111x x x +=+--32322x x x +=+-3、分式方程的应用。

（列方程解应用题）（1）关于工程问题。

某工程，原计划由52人在一定时间内完成，后来决定自开工之日起采用新技术，工作效率提高，现只派40人去工作，结果比原计划提前6天完成，求50%采用新技术后完成这项工程所需的天数。

（2）关于行程问题从甲地到乙地共50千米，其中开始的10千米是平路，中间的20千米是上坡路，余下的20千米又是平路，小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲乙两地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度。

（假设小明在平路上和上坡路上均保持匀速）练习：一、选择题1.方程=的解为（）23+x 11+x A ．x=B ．x= － C ．x=－2 D ．无解54212.(2009·山西中考)解分式方程11222x x x-+=--，可知方程（）A ．解为2x = B ．解为4x = C ．解为3x = D ．无解3.关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（）.A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a≠0 C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a≠－2 4.用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方13101x x x x --+=-1x y x -=y 程，那么这个整式方程是（）A ．B ．C ．D ．230y y +-=2310y y -+=2310y y -+=2310y y --=二、填空题5．方程 = 的解是1x –22x 6．当x ＝___________时，分式的值等于2．x ＋3x －17.分式方程的解为。

初二下册分式练习题及答案

初二下册分式练习题及答案分式在初中数学中是一个重要的知识点，对于学习代数和解方程式都有很大帮助。

为了帮助同学们更好地掌握分式的相关知识，下面给出一些初二下册分式练习题及答案，供大家参考。

一、基础练习题1. 计算下列分式的值:a) 2/3 + 4/5b) 3/4 × 1/6c) 5/6 ÷ 2/3d) 7/8 - 1/92. 将下列分式化简到最简形式:a) 15/20b) 18/54c) 24/36d) 36/723. 计算下列各组分式的和:a) 1/3 + 2/3 + 1/6b) 2/5 + 1/10 + 3/44. 计算下列各组分式的差:a) 1/3 - 1/4 - 1/6b) 3/8 - 1/2 - 2/55. 计算下列各组分式的积:a) 2/3 × 4/5b) 3/4 × 2/3 × 5/66. 计算下列各组分式的商:a) 3/4 ÷ 2/5b) 5/6 ÷ 2/3 ÷ 4/5二、应用题1. 饭店每天会发放100份早餐，已知早餐中的糕点每份需用2/5千克的面粉制作。

那么，10天的总需面粉量是多少千克？答案：10 × 100 × 2/5 = 40千克2. 热气球上升2/5公里后，又上升3/4公里。

那么，热气球总共上升了多少公里？答案：2/5 + 3/4 = 8/20 + 15/20 = 23/20公里3. 小明拿到了一罐装有1/2千克爆米花。

他和小红一起分享，小明吃了其中的2/5千克。

那么，小红吃了多少千克？答案：1/2 - 2/5 = 5/10 - 4/10 = 1/10千克4. 一桶油装有3/4升汽油，小华用了其中的2/3升，并向里面又加入了1/2升。

那么，桶中还剩下多少升汽油？答案：3/4 - 2/3 + 1/2 = 9/12 - 8/12 + 6/12 = 7/12升5. 甲、乙、丙三个煮粥的锅炉同时开始工作。

精品教学八年级数学分式的基本性质讲义及练习题分析

整式： 3a , m n , x 5 4 3 4 分式：
4 8a x 2 , , 3a m n x
判定分式的着重点是：看分式的分母是否有未知数。
分式是否有意义的识别方法：
分式无意义的条件：分式有意义的条件：
B0 B0
；；
分式值为1的条件：
AB0
；
分式值为-1的条件： A B 0 ；
分式为零的条件： A 0且B 0；
例题：当x取什么值时，下列分式有意义：
2x （ 1 ） x 3
x 1 （2） 4x 1
（ 1）x 3 0 x 3
1 4
（2） 4x 1 0 x
2x （3） 2 x 4
x 1 （4） 2 x 2x 1
（3）x为任意实数
A
x+y y-x x-y A
B
<5
任意实数
分式基本性质课堂练习题
<8 >1
m 2 m 2 0 (m 1)( m 2) 0 m 1 0或m 2 0
2
m 1 0, 所以m 2
x0
5 x 3 1 x2 x 4 5
x ( x 1) （3） 2 x 2x 1
x2 9 （4） x3
x 2 9 0 x 3 （4） x3 x 3 x 3 0
2 x 3x 2 0 ( x 1)( x 2) 0 x 1或x 2 （5） x2 2 ( x 1 )( x 2 ) 0 x 1 且 x 2 x x 2 0
3x 4 y （1） 3x 4 y
分子分母同乘以6

2021年北师大版八年级下册第五章分式与分式方程讲义及中考题

第五章分式与分式方程一认识分式知识点一分式的概念1、分式的概念从形式上来看，它应满足两个条件:（1）写成的形式(A、B 表示两个整式) （2）分母中含有这两个条件缺一不可2、分式的意义（1）要使一个分式有意义，需具备的条件是（2）要使一个分式无意义，需具备的条件是（3）要使分式的值为0，需具备的条件是知识点二、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个分式的值不变用字母表示为AB=,A M A A MB M B B M⨯÷=⨯÷(其中M是不等于零的整式)知识点三、分式的约分1、概念:把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形称为分式的约分2、依据:分式的基本性质注意:(1)约分的关键是正确找出分子与分母的公因式(2)当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。

(3)要会把互为相反数的因式进行变形，如:(x--y)2=(y--2)2二、分式的乘除法【巩固训练】1、(2013四川成都)要使分式51x-有意义，则x的取值范围是( )(A)x≠1 (B)x＞1 (C)x＜1 (D)x≠－12、(2013深圳)分式242xx-+的值为0，则x的取值是A．2x=-B．2x=±C．2x=D．0x=3、(2013湖南郴州)函数y=中自变量x的取值范围是()A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣3 4．(2013湖南娄底，7，3分)式子有意义的x的取值范围是()A ． x ≥﹣ 且x ≠1B ． x ≠1C ．5．(2013贵州省黔西南州，2，4分)分式的值为零，则x 的值为( ) A ． ﹣1B ． 0C ． ±1D ． 1 6．(2013广西钦州)当x= 时，分式无意义．7、(2013江苏南京)使式子1+1 x -1有意义的x 的取值范围是。

8、(2013黑龙江省哈尔滨市)在函数3xy x =+中，自变量x 的取值范围是．9、 (2013江苏扬州)已知关于x 的方程123++x nx =2的解是负数，则n 的取值范围为． 10、(2013湖南益阳)化简:111x x x ---= ． 11、(2013山东临沂，6，3分)化简212(1)211a a a a +÷+-+-的结果是( )A ．11a -B ．11a +C ．211a -D ．211a +12、 (2013湖南益阳)化简:111x x x ---= ． 13、(2013湖南郴州)化简的结果为( )A ． ﹣1B ． 1C ．D ．14、(2013湖北省咸宁市)化简+的结果为 x ．15、(2013·泰安)化简分式的结果是( )A ．2B ．C ．D ．－2考点:分式的混合运算．分析:这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的加法，此时要先确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．16(2021年四川乐山)．若m 为正实数，且13m m -=，221m m-则= 17(2013重庆市(A ))分式方程2102x x-=-的根是( ) A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－218、(2013湖南益阳)分式方程xx 325=-的解是( )A ．x =3B ．x =3-C ．x =34D ．x =34- 19、(2013白银)分式方程的解是( )A ． x =﹣2B ． x =1C ． x =2D ． x =320、(2013江苏扬州)已知关于x 的方程123++x nx =2的解是负数，则n 的取值范围为．【答案】2<n 且 1.5n ≠． 21．(2013山东临沂)分式方程21311x x x+=--的解是_________________． 22. (2013广东省)从三个代数式:①222b ab a +-，②b a 33-，③22b a -中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a =6，b =3时该分式的值．23、(2013湖北孝感，19，6分)先化简，再求值:，其中，．考点: 分式的化简求值；二次根式的化简求值．24．(2013江苏苏州，21，5分)先化简，再求值:23111x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中x 32． 25．(2013贵州安顺，20，10分)先化简，再求值:12a)111(2++÷+-a a a ，其中a=3－1.6．(2013山东德州,18,6分)先化简，再求值:244412222+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+-a a a a a a a a ，其中a=2－1.26、．(2013湖南永州，19，6分)先化简，再求值:22111121x x x x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪---+⎝⎭， 2.x =其中【思路分析】先化简，再求值。

北师大版初二数学下册《分式的概念和性质》知识讲解及例题演练

北师大版初二数学下册《分式的概念和性质》知识讲解及例题演练【学习目的】1. 了解分式的概念，能求出使分式有意义、分式有意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能应用分式的基本性质将分式恒等变形，进而停止条件计算. 【要点梳理】要点一、分式的概念普通地，假设A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：〔1〕分式的方式和分数相似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.〔2〕分式与分数是相互联络的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有普通性；分数是分式中字母取特定值后的特殊状况.〔3〕分母中的〝字母〞是表示不同数的〝字母〞，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如aπ是整式而不能当作分式.〔4〕分母中含有字母是分式的一个重要标志，判别一个代数式能否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看方式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，有意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式有意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：〔1〕分式有有意义与分母有关但与分子有关，分式要明白其能否有意义，就必需剖析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以防止分母的值为零.〔2〕本章中假设没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.〔3〕必需在分式有意义的前提下，才干讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这特性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，〔其中M是不等于零的整式〕.要点诠释：〔1〕基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是条件中隐含着的条件，普通在解题进程中不另强调；M≠0是在解题进程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必需重点强调M≠0这个前提条件.〔2〕在运用分式的基本性质停止分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有能够发作变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法那么关于分式中的分子、分母与分式自身的符号，改动其中任何两个，分式的值不变；改动其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：依据分式的基本性质有b b a a -=-，b ba a-=-.依据有理数除法的符号法那么有b b b a a a -==--.分式a b 与ab-互为相反数.分式的符号法那么在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分相似，应用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改动分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.假设一个分式的分子与分母没有相反的因式〔1除外〕，那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：〔1〕约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.〔2〕约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大条约数与相反因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的方式，然后再停止约分. 【典型例题】类型一、分式的概念1、指出以下各式中的整式与分式：1x ，1x y +，2a b +，x π，231x -，23-，232y -+，2x x，24y ．【答案与解析】解：整式有：2a b +，x π，23-，232y -+，24y ；分式有：1x ，1x y +，231x -，2x x ．【总结升华】判别分式的依据是看分母中能否含有字母．此题判别容易出错的中央有两处：一个是把π也看作字母来判别，没有弄清π是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后再判别，如x 和2x x，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相反的．类型二、分式有意义，分式值为02、当x 取什么数时，以下分式有意义？当x 取什么数时，以下分式的值为零？〔1〕21x x +；〔2〕25x x -；〔3〕2105x x --．【答案与解析】解：〔1〕当210x +≠，即21x ≠-时，分式有意义．∵ 2x 为非正数，不能够等于－1， ∴ 关于恣意实数x ，分式都有意义；事先0x =，分式的值为零．〔2〕当20x ≠即0x ≠时，分式有意义；当0,50,x x ≠⎧⎨-=⎩即5x =时，分式的值为零〔3〕当50x -≠，即5x ≠时，分式有意义；事先50,2100x x -≠⎧⎨-=⎩①②，分式的值为零，由①得5x ≠时，由②得5x =，相互矛盾． ∴ 不论x 取什么值，分式2105x x --的值都不等于零．【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零．举一反三：【变式1】假定分式6522+--x x x 的值为0，那么x 的值为___________________.【答案】－2；提示：由题意2||20560x x x -=⎧⎨-+≠⎩，()()||20320x x x -=⎧⎪⎨--≠⎪⎩，所以2x =-.【变式2】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为正数？【答案】解：由题意可知20,260,x x ->⎧⎨+<⎩或20,260.x x -<⎧⎨+>⎩解不等式组20,260,x x ->⎧⎨+<⎩该不等式组无解．解不等式组20,260.x x -<⎧⎨+>⎩得32x -<<．所以事先32x -<<，分式226x x -+的值恒为正数．类型三、分式的基本性质3、不改动分式的值，使以下分式的分子与分母的最高次项的系数是正数. (1) ； (2)； (3).【答案与解析】解：(1)；(2)()221122a a a a -++==---； (3).【总结升华】(1)、依据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用；(2)、添括号法那么：当括号前添〝＋〞号，括号内各项的符号不变；当括号前添〝—〞号，括号内各项都变号. 举一反三：【变式】以下分式变形正确的选项是〔〕A ．22x x y y =B ．2222()()()()m n m n m n m n m n m n m n ---==++--C ．211211x x x x -=-+- D ．2b aba a= 【答案】D ；提示：将分式变形时，留意将分子、分母同乘〔或除以〕同一个不为0的整式这一条件．其中A 项分子、分母乘的不是同一整式，B 项中0m n -≠这一条件不知能否成立，故A 、B 两项均是错的．C 项左边可化为：2111(1)11x x x x -=≠---，故C 项亦错，只要D 项的变形是正确的．类型四、分式的约分4、以下约分正确的选项是〔〕A ．326x x x = B ．0=++yx y xC ．xxy x y x 12=++ D ．212222=y x xy 答案：C ．【总结升华】此题主要考察了约分，用到的知识点是分式的性质，留意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相反时约分结果应是1，而不是0．类型五、分式条件求值5、假定2xy=-，求22222367x xy y x xy y ----的值．【答案与解析】解法一：由于2xy=-，可知0y ≠，所以22222222221(23)23167(67)x xy y x xy y y x xy y x xy y y ----=----222367x x y y x x y y⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭解法二：由于2xy=-，所以2x y =-，且0y ≠，所以222223(3)()323567(7)()7279x xy y x y x y x y y y x xy y x y x y x y y y ---+---====---+---．【总结升华】此题的全体代入思想是数学中一种十分重要的思想．普通状况下，在条件中含有不定量时，不需求其详细值，只需将其作为一个〝全体〞代入停止运算，就可以到达化简的目的．。

八年级下册第五章第01讲认识分式(13类热点题型讲练)(解析版)

第01讲认识分式(15类热点题型讲练)1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、无意义、分式值为零、分式值为正（负）、分式值为整数的条件；2.了解分式的基本性质，掌握分式的约分、最简分式的概念知识点01分式的意义1.分式的意义ABA BBA BBAABB有意义无意义概念：两个整式A、B相除，则叫做分式；分式；分式的意义：分式＝；＝值为零分式的知识点02分式的值为正或为负（1）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0（2）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0知识点03分式的基本性质3.分式的基本性质(0,0,0)A A M A NB M NB B M B N分子分母都是单项式：约去它们系数的最大公因数，相同因式最低次幂.基本性质：＝＝：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程.：分式的分子与分母没有相同的因式（1除外）.化简分约分最简分式最简分式整式式：分子分母是多项式：先分解因式，再约分.化简分式时要将分式化成或.题型01分式的识别【例题】（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）在1x，3a b+，32πx，22a ba b，15π ，2aa中分式的个数有（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：在1x，3a b+，32πx，22a ba b，15π ，2aa中，1x，22a ba b，2aa中分母是字母，属于分式，共3个，故选：A．1．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）下列各式中，是分式的是（）A．6B．223xC．4aD．23y【答案】B题型02分式有意义的条件则字母题型03分式无意义的条件x ，∴30x ，∴3．故答案为：3【点睛】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分式中的分母为0时，分式无意义是解题的关键．【变式训练】题型04分式值为零的条件【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．题型05分式的值【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．题型06求使分式为正(负)数时未知数的取值范围的取值范围是题型07求使分式值为整数时未知数的整数值题型08判断分式变形是否正确题型09利用分式的基本性质判断分式值的变化不变．题型10将分式的分子分母的最高次项化为正数【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．题型11将分式的分子分母各项系数化为整数题型12最简分式【例题】（2023春·山东济南·八年级统考期中）下列分式是最简分式的是（）ab b题型13约分一、单选题所以分式的值不变，无意义，则八年级统考期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：。

(精华讲义教学)数学北师大版八年级下册分式和分式方程

分式1．分式的概念：形如BA(A,B 是整式，且B 中含有字母)。

要使分式有意义，作为分母的整式B 的值不能为0，即B ≠0。

要使分式的值为0，只能分子的值为0，同时保证分母的值不为0，即A=0，且B ≠0。

1、式子①x 2 ②5y x + ③a -21 ④1-πx 中，是分式的有（） A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④2、分式13-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若31≠a 时,分式的值为零 3. 若分式1-x x 无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1±4.如果分式x211-的值为负数,则的x 取值范围是( ) A.21≤x B.21<x C.21≥x D.21>x2．分式的基本性质：分式的分子，分母同时乘以，或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

即B A =C B C A ⋅⋅ ，B A =CB C A ÷÷ （C ≠0） 1．不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．902．①()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a b c +;④m n m --=-m n m-中,成立的是（） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④3．不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ） A ．2332523x x x x +++- B ．2332523x x x x -++- C ．2332523x x x x +--+ D ．2332523x x x x ---+ 4．对于分式11-x ，永远成立的是（） A ．1211+=-x x B. 11112-+=-x x x C. 2)1(111--=-x x x D. 3111--=-x x5．下列各分式正确的是( ) A.22a b a b = B. b a b a b a +=++22 C. a a a a -=-+-11122 D. xx xy y x 2168432=--3．最简分式及分式的约分与通分：1）最简分式:分子分母没有公因式的分式称之为最简分式。

精品八年级下数学讲义+练习题-- 分式方程及应用

B．解为 x 4
A．解为 x 2
C．解为 x 3
D．无解
3.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前 3 天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ A．8 4.用换元法解分式方程） B.7 C．6 D．5
11.已知
x 1
2 3
2 x 3

4 , 则 x=________ 9
M 2 xy y 2 x y ，则 M= x2 y 2 x2 y 2 x y
12.（1）已知 x
x2 1 4 ，则 4 x x2 1 x
．
（2）若
1 x2 x 3, 则 4 __________。 x x x2 1 1 x x 3, 则 2 ________ x x 1
八年级下数学讲义
5.某服装厂准备加工 400 套运动装，在加工完 160 套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工 x 套，则根据题意可得方程为
160 400 18 x (1 20%) x 160 400 160 （C） 18 x 20% x
（3）若
x xa 有增根，则 a 的值可能是 x 5 x 6 3 2 14.若方程有负数根,则 k 的取值范围是_______ x3 xk
13.若方程 15.解分式方程：
5x 4 4x 10 1 x 2 3x 6
16.解方程：
课堂练习：
1.学完分式运算后，老师出了一道题“化简：
x3 2 x ” x 2 x2 4

八年级数学下-第五章分式与分式方程知识点归纳与练习

八年级数学下-第五章分式与分式方程知识点归纳与练习1、分式：一般地，用,A B 表示两个整式，A B ÷可以表示成A B 的形式，如果B 中含有字母，那么称A B为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零. 练习1、下列各式中哪些是整式？哪些是分式？ 211(1);;(3);(4);2242b a b x xy x y a x ++-+- (2) 2、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值保持不变.这一性质可以用式子表示为：,(0)b b m b b m m a a m a a m ⋅÷==≠⋅÷. 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.练习2、化简下列分式2225(1);;20xy a ab x y b ab++ (2)最简分式：在化简的结果中，如果分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或是整式.3、分式的乘除法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后在与被除式相乘.这一法则可以用式子表示为：;b d bd b d b c bc a c ac a c a d ad⋅=÷=⋅= . 练习3、计算2222244(1);(4);2x xy xy x xy y x y x y x y x y+-+÷÷---+ (2)4、分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 这一法则可以用式子表示为：b c b c a a a±±=.练习4，计算222(1);(2);(3);22a b x y m n n n a b b a x y y x n m n m n m++++-------- 通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分，为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（最简公分母）作为它们的共同分母. 异分母分式的加减法法则是：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.这一法则可以用式子表示为：;b d bc ad bc ad a c ac ac ac±±=±= 练习5，计算22111(1);(2);(3);423332a b a a a x x a b--+---+ 5、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就好了，如果使原方程中分式的分母的值等于零，则舍去此根. 练习6、解方程653121(1);(2)1;(3)2;1(1)4433x x y x x x x x y y+--=+==-++---- 巩固练习：。

北师大版数学八年级下册《分式及分式方程》单元复习讲义

B C ，填空：（1）aby a xy =不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含1、分式的乘法公式：da cb dc a b ⨯⨯=⨯。

2、分式的除法公式：d a c b d c a b c d a b ⨯⨯=⨯=÷。

例2、计算：（1）22442bc a a b -⋅；（2）2222412144m m m m m m ---+++；（3）2226934x x x x x +-+⋅--例3、计算：（1）；（2）xyx xy xy y x y x ++÷++-22222224；（3）（a 2－a ）÷1-a a练习2、(1)、)4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅ (2)、2216168m m m -++÷428m m -+·22m m -+练习3、（1）2223x y mn ·2254m n xy ÷53xym n（2）222212111a a a a a a a a --÷++++ （3）通分和分式的加减知识点一：分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式值相等的同分母的分式. 分式通分时，要注意几点：必须舍去。

例1、下列方程是分式方程的是______________。

①2513x x =+-； ②315226y y -+=-； ③212302x x +-=； ④81257x x +-=例2、解方程：（1）232x x =+ （2）21233x x x-=--- （3）114112=---+x x x练习1、解方程：（1）13244x x x -=+-- （2）1052112x x+--=2 （3）例3、若关于x 的分式方程4155x ax x=---的增根，求增根及a 的值．例4、已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，求m 的取值范围.例5、若方程322x mx x-=--无解,求m 的值.练习2、关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根，求m 的值．。

八年级下册分式总结及练习

八年级下册第十六章分式1、分式及其相关概念⑴形如()中含有字母B BA 的式子，就叫分式。

()0≠B⑵最简分式：分子、分母中没有公因式的分式。

分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 2、分式的值：经分式的通分和约分求得（关键先是分解因式） 3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：MB M A BA ⨯⨯=，MB M A BA ÷÷=（其中M 是不等于零的整式．）4、分式的加减法、乘除法：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

5、任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，nn aa 1=-（)0≠a6、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂。

(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=⋅；（2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方：n n n b a ab =)(；（4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)；（5）商的乘方：nnnba b a=)(；(b ≠0)7、分式方程分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤：(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程；(4)验根：分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

新版八年级下册数学讲义一《分式及其基本性质》及习题练习

1讲义一《分式及其基本性质》一、知识回顾：1.分式概念：形如A B（A 、B 是整式，且B 中含有______，B ≠0）的式子，叫做分式。

_____和_____通称为有理式。

2.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值________。

3.分式的约分：根据分式的基本性质把分子、分母中的公因式约去，这种变形称为分式约分。

4.最简分式：分子、分母中没有公因式的分式。

5.分式的通分：将异分母化为同分母的变形。

关健：确定最简公分母。

最简公分母：①系数取；②所有字母的；③若分式的分母是多项式时，应先将各分母，再确定。

6.若分式有意义，则分母；若分无意义，则为零；若分式的值为零，则为零，同时不能为零。

二、例题讲解例1 、分别指出下列各式中的整式和分式。

①－3a 2 ；②0；③2x ；④4ab ；⑤312y x+；⑥－m m n +；⑦132a -；⑧21π；例2、下列各式中x 取何值时，分式有意义？ ①12x x -+, ②211x -; ③ 11x +例3、当x 取何值时，分式5127x x --无意义？例4、下列各式中，x 取何值时，分式的值为零？①11x x -+； ②239x x +- 例5 、在下列括号内填上适当的式子。

①11x -= ()1x +； ②232xyx x -= ()2x -； ③a b c d ---= ()a b +例6 、将下列各式约分。

①221632a bab -； ②233()18()m n n m --例7、将下列各式通分。

①26x ab ，29y a bc ； ②245a b c , 2310c a b , 252b ac -； ③2121a a a -++,251a -例8、下列分式中最简分式有（）个。

①3x a ；②22x y x y +-；③a ba b+-；④22()x y xy y ++；⑤42x b -；A.1B.2C.3D.4例9、当x 取何值时，分式1010x x -+的值为0？例10、下列各式从左到右的变形是否正确？(1) m m n --=-m m n -；（） (2) 11x y =1.1.xx y y=1；（）(3) a x b x ++=11a b ++（）例11、不改变分式的值，把下列各式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小。

八年级数学下册分式例题精讲与同步训练北师大版

《分式》例题精讲与同步训练【基础知识精讲】1.分式的概念一般地，用A ，B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式.其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 因为零不能作除数，所以分式的分母不能为零.2.有理式的概念整式和分式统称为有理式有理式的分类：有理式⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧分式多项式单项式整式3. 分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零；分式的值等于零的条件是分子等于零且分母不等于零.【重点难点解析】1.重点难点分析重点：掌握分式的概念，采用与分数类比引出概念，且注意强调分母必须含有字母，这是分式与整式的最大区别.难点：分数的分母是具体的不为0的数，而分式的分母则随字母取值发生变化的.若字母所取的值使分母的值为0，则分式无意义，因此分式分母的值不为0是分式概念的组成部分.“分式的值为0”和“分式无意义”有根本不同.2．典型例题解析例1 下列各式中，哪些是整式，哪些是分式？2b a -，x x 3+，πx +5，b a b a -+，m 1(x-y)，43(x 2+1).解因为2b a -,πx +5，43(x 2+1)x x 3+，b a b a -+，m1(x-y)的分母中含有字母，所以它们是分式. 点评πx +5中的分母π，它表示圆周率，是一个常数，不能看成为字母，因此，它是整式。

例2 x 取何值时，分式7215--x x 无意义？分析当分母为零时，分式无意义.解当2x-7=0，即x=27时，分式7215--x x 无意义. 例3 x 为何值时，下列分式的值为零？ (1)232+-x x x (2)222---x x x (3)431622+--x x x 分析当分子为零且分母不为零时，分式的值为零.解 (1)由分子x=0，而当x=0时，分母x 2-3x+2=02-3×2+2=2≠0.∴当x=0时，分式232+-x x x 的值为零. (2)由分子x-2=0，得x=2.而x=2时，分母x 2-x-2=22-2-2=0.∴当x=2时，分式的分子、分母同时为零，因此分式的值不能为零.(3)由分子x 2-16=0,得x=±4,而x=4时，分母x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=(4-4)×(4+1)=0,分式无意义；当x=-4时，分母x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=(-4-4)(-4+1)=24≠0. ∴当x=-4时，分式431622+--x x x 的值为零. 例4 下列分式何时有意义？ (1)1222--x x (2)122--x x (3)1222+--x x x 解 (1)由x 2-1=0得x=±1,∴当x ≠±1时，分式1222--x x 有意义.(2)由x -1=0得x=±1,∴x ≠±1时，分式122--x x 有意义. (3)由于x 2-x+1=(x-21)2+43＞0, ∴无论x 取何值，分式1222+--x x x 均有意义.【难题巧解点拨】例5 当x 为何值时，分式12+-x x x x 有意义？分析因为分式为繁分式，有多层分母，每层分母必须都不为零，繁分式才有意义. 解 1122+-=+-x x x x x x x x ∴⎩⎨⎧≠-≠+0012x x x 即⎩⎨⎧≠≠-≠101x x x 且∴当x ≠±1且x ≠0时，原分式有意义.例6 若2413321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--y y x x =0,求代数式132123--+y x 的值. 解 ∵0413,03212≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥--y y x x 又2413321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--y y x x =0 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=--04130321y y x x 即⎪⎩⎪⎨⎧-==311y x 当x=1，y=-31时,123+x -132-y =22211)31(331123=--=--⨯-+⨯【课本难题解答】课本P114，复习题九A 组1组.3，x 1，3+x 1，222y x -,π1(x+y),y 1(z+x),11+x ,x x 212+,32122+++x x x 解整式：3，222y x -， π1(x+y), 分式：x 1，3+x 1，y 1(z+x)，11+x ，x x 212+，32122+++x x x 注：π是一个确定的实数，因此π1(x+y)为整式，π与2、3等一样是一个具体的实数，不要与表示数的字母x 、y 混淆。

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B.
1 或0 3
C. 2或0
D. 或0
1 5
8.甲乙两人相距 k 千米，他们同时乘摩托车出发。若同向而行，则 r 小时后并行；若相向而行，则 t 小时后相遇，则较快者的速度与较慢者速度之比是（） D.
r t r t 二、填空题：
A.
B.
r r t
C.
rk rk
rk rk
八年级下数学讲义
20.已知 a、b、c 为实数，
ab 1 bc 1 ca 1 abc 的值。，，，求分式 a b 6 b c 8 c a 10 ab bc ca
1 1 1 b a 21.已知 a、b 均为正数，且，求的值。 a b ab a b
2
1 12 1 f( ) ； 2 2 11 2
( ) 1 1 1 1 1 2 表示当 x= 时 y 的值，即 f( )= ； ……那么 f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+… 5 2 2 1 ( 1 )2 2 3 2
1 )= n 三、综合题：
+f(n)+f(
（结果用含 n 的代数式表示）．
9.当 x＝__________时，分式 10.若
x2－x－6 的值为零．（1－x）（x－3）
1 1 3 的值为，则 2 的值为 6 2 x 3x 5 4x 6x 3 2x 2 11.若分式 2 的值为正整数，则整数 x 的值为 x 1
2
1
八年级下数学讲义
12.如果分式
八年级下数学讲义
讲义 01 分式及分式方程
一、选择题： xa 1.分式中，当 x a 时，下列结论正确的是（ 3x 1
A．分式的值为零 C. 若 a 时,分式的值为零）
B.分式无意义 D. 若 a
1 3
1 时,分式的值为零 3
) D. x 2且x 3
2.如果分式 23x 9 的值恒为正数,则的 x 取值范围是( x x6 A. x -2 3.已知 B. x 3 ) C.2
2 2
C. x 3
ab 1 1 1 的值是( ，则 ab a b 2
A.
2
1 2
B.－
1 2
D.－2 ）
4.已知 x －5x－1997＝0，则代数式
（x－2）－（x－1）＋1 的值为（ x－2 C. 2001 ) D. 3 ） D. －2
A. 1999
2 2
B. 2000
5.设 m＞n＞0，m ＋n ＝4mn，则 A.2 3 6.已知 B. 3
2
2
22.已知 a+b+c=0，求 a ( ) b(
1 b
1 c
1 1 1 1 ) c( ) 的值。 a c a b
23.某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用 20 天， 2 而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的，公司需付甲工厂加工费用每天 80 元， 3 需付乙工厂加工费用每天 120 元．（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 10 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
2 2
8.当 m 为何值时，方程
-
=
会产生增根？
9.已知方程
2 xm 1 ，是否存在 m 的值使得方程无解？若存在，求出满足条件的 m 的值； 2 1 x x x x 1
若不存在，请说明理由。
10.A、B 两地路程为 150 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，2 小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达 B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的 2 倍，结果甲、乙两车同时到达 A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度．
3
八年级下数学讲义
课堂小练--分式及分式方程姓名：ຫໍສະໝຸດ 1.化简，其结果是(
)
A．
B．
C．
D．
2.计算：
3.化简：
4.解分式方程：
5.分式
中 x 取什么值时，分式的值为 0？x 取什么值时，分式无意义？
6.先化简，再求值：
，其中
.
4
八年级下数学讲义
x y x2 y2 7.已知 3 x xy 2 y 0 （ x ≠0， y ≠0），求的值。 y x xy
1 1 (1 x) 2 1 3 （2） 1 4
（3）
m n 0(m n, mn 0) x x 1
4 2 2 18.已知 a 2 b2 2b 1 0，求 a a b 的值。 2 a ab
19.如果 x -3x+1=0，求 x
2
2
1 的值。 x2
2
5
八年级下数学讲义
11.某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用 1200 元购书若干本，并按该书定价 7 元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了 20%，他用 1500 元所购该书数量比第一次多 10 本．当按定价售出 200 本时，出现滞销，便以定价的 4 折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
m2 n2 的值等于( mn
C. 6
a b c k ，则直线 y kx 2k 一定经过（ bc ac ab
B.第二、三象限 C.第三、四象限）
A.第一、二象限
D.第一、四象限
2 7.若 a 使分式 a 4 没有意义，那么 a 的值为（ 1 3a 1 2a
A.0
1 不论 x 取何值都有意义，那么 m 的取值范围是 x - 4x m
2
13.已知 3 a 1 ，化简分式
a 1 a 3 a 2 2a 1
的结果为
14. 15.如果记 y
x2 1 x2
=f(x)，并且 f(1)表示当 x=1 时 y 的值，即 f(1)=
1
a 2 6a 9 3 a a 2 16.化简：（1） 2 b 3a 9 4 b2
2 x 2 18 （2） 4 4x x 2
3 x 2 x
3
17.解分式方程：（1）
1 a 1 b ( a b) a x b a