圆锥曲线的焦半径(角度式)
圆锥曲线二级常用焦半径定理
圆锥曲线二级常用焦半径定理圆锥曲线是数学中的一类重要曲线，它在几何学、物理学和工程学中有着广泛的应用。
在研究圆锥曲线的性质时，我们经常会遇到焦半径及其相关定理的概念。
本文将介绍圆锥曲线二级常用焦半径定理，希望能为读者提供一些指导意义。
圆锥曲线是由一个移动的直线在平面上绕着一个固定点旋转而形成的。
这个固定点被称为焦点，而直线称为准线。
根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆是一种封闭曲线，它的特点是离焦点距离之和是一个常数。
关于椭圆的焦半径定理如下：椭圆上的任意一条切线与准线和焦点之间的连线构成一个直角三角形，且这个直角三角形的两条直角边的长度之和等于椭圆的焦半径。
具体来说，我们可以以椭圆的准线上一点为起点，任意作一条切线与椭圆相交于另一点，然后将这两个点与椭圆焦点连线，我们可以发现这个三角形的两条直角边之和是一个定值，即椭圆的焦半径。
双曲线是一种开口的曲线，它的特点是离焦点距离之差是一个常数。
关于双曲线的焦半径定理如下：双曲线上的任意一条切线与准线和焦点之间的连线构成一个直角三角形，且这个直角三角形的两条直角边的长度之差等于双曲线的焦半径。
与椭圆相似，我们以双曲线的准线上一点为起点，任意作一条切线与双曲线相交于另一点，然后连结这两个点与双曲线的焦点，我们可以发现这个三角形的两条直角边之差是一个常量，即双曲线的焦半径。
抛物线是一种开口向上或向下的曲线，它的特点是离焦点距离等于焦准距的一半。
因此，抛物线的焦半径定理可以简单地表述为：抛物线上的任意一条切线与准线和焦点之间的连线构成一个等腰三角形，且这个等腰三角形的底边长度等于焦准距的一半。
同样，我们以抛物线的准线上一点为起点，任意作一条切线与抛物线相交于另一点，然后连结这两个点与抛物线的焦点，我们可以发现这个三角形的底边长度正好是焦准距的一半。
通过了解圆锥曲线二级常用焦半径定理，我们可以更好地理解圆锥曲线的性质和特点。
焦半径坐标公式
焦半径坐标公式嘿，咱们今天来聊聊焦半径坐标公式。
对于很多同学来说，一听到这个名词，可能脑袋都大了。
但别慌，其实它并没有那么可怕。
先来说说什么是焦半径。
简单来讲，焦半径就是圆锥曲线上的点到焦点的距离。
那焦半径坐标公式呢，就是用来计算这个距离的公式。
咱们以椭圆为例啊。
椭圆方程咱都知道，是 x²/a² + y²/b² = 1 。
假设点 P(x₀, y₀) 在椭圆上，焦点是 F(c, 0) ，那焦半径 PF 的长度就可以用公式 |PF| = a ± ex₀来计算。
这里的 e 是椭圆的离心率。
给大家举个例子吧，就说有个椭圆方程是 x²/9 + y²/5 = 1 ，一个点 P 的坐标是 (2, 1) ，那它到焦点的距离咋算呢？先算出 a = 3 ，b = √5 ，c = 2 ，离心率 e = 2/3 。
然后把 x₀ = 2 代入焦半径公式，就能算出距离啦。
我记得之前给一个学生讲这个的时候，那孩子一脸懵，怎么都理解不了。
我就一点点引导他，从最基础的椭圆定义开始，一步一步地推导这个公式。
最后这孩子恍然大悟，那种成就感，真的让人特别开心。
再说说双曲线，它的焦半径公式稍微复杂一点，但道理是一样的。
对于抛物线，也有相应的焦半径公式。
在学习焦半径坐标公式的过程中，大家可别死记硬背，要理解它背后的原理。
多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢地就掌握啦。
总之，焦半径坐标公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，就一定能拿下它！相信大家在学习的道路上都能越走越顺，加油！。
关于圆锥曲线焦半径的两类公式
∵线段 Q F2 交双曲线于点 P , 即 P 在
Q F2 上 , 于是 Q P∶ PF2 = | Q P | ∶ | PF2 | = 2 ,
由定比分点公式得点 P (
点 , F 是焦点 , 若 PF 或 PF 的延长线交 y 轴 于点 Q , 有向线段 PQ ∶ Q F = λ, 则 | PF | =
求.
3 ) P ( x 0 , y 0 ) 是抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 )
4
= 1 上 一 点 , F1 , F2 是 两 焦 点 , 当
∠F1 PF2 为钝角时 , 点 P 横坐标的取值范围 是
.
上任一点 , F 为抛物线的焦点 , 则抛物线的 焦半径公式为| PF| = x 0 +
p
2
(1 - λ ).
2 21 c, c) . 3 6 11 c 5c ∴ | PF1 | = , | PF2 | = , 故有 6 6 2 | PF2 | 1 +λ e a +λ ce 5 = = . 2 = | PF1 | a-λ 11 ce 1-λ e
证 1) ①当 E 为左焦点时 , x E = - c , 又 ∵ x Q = 0 , ∴λ = PQ ∶ Q E = ( x Q - x P) ∶
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②当 E 为右焦点时 , x E = c , 仿 ①的方 法可得 x P = - λ c , 代入椭圆焦半径公式即可 得证 . 2 ) , 3) 的证明与 1) 相仿 , 从略 .
圆锥曲线焦点弦长角度式
圆锥曲线焦半径角度式一、椭圆焦半径（角度式）设P 是椭圆22221x y a b +=上任意一点，F 为它的一个焦点，∠PFO=θ，则2||cos b PF a c θ=-注：上述公式定义∠PFO=θ, P 为圆锥曲线上的点,F 为焦点,O 为圆点.主要优点为焦点在左右上下均适合，无需再单独讨论。
证明：设||PF m =，另一个焦点为'F , 则''PF FF FP =-，所以222''2'PF FF FF FP FP =-⋅+，即222(2)44cos a m c cm m θ-=-+，由此得2||cos b PF a c θ=-.如果在解答题上用公式，需要写上述的证明，其实证明也就是几行字的事。
例1 如图F 是椭圆22143x y +=的右焦点，过点F 作一条与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于点A 、B ，线段AB 的中垂线l 交x 轴于点M ，则||||AB FM 的值为 . 解析：设∠AFO=α，则BFO πα∠=-，则由椭圆的焦半径公式可知23||cos 2cos b AF a c αα==--23||cos()2cos b BF a c παα==--+ 从而23312||||||2cos 2cos 4cos AB AF FB ααα=+=+=-+-设AB 的中点为N ，则2336cos 2||||||2cos 2cos 4cos FN AF FB αααα=-=-=-+-即23cos ||4cos FN αα=-在Rt △MNF 中，2||3||cos 4cos NF MF αα==- 于是||4||AB FM = 例 2 如图，过椭圆22143x y +=的左焦点F 任作一直线交椭圆于点A ，B ，若||||||||AF FB AF FB λ+=⋅，则λ的值为解析：设BFO α∠=，则∠AFO=πα-，则23||cos 2cos b AF a c αα==-- 23||cos()2cos b BF a c παα==--+ 从而2223312||||42cos 2cos 4cos 99||||34cos 4cos AF FB AF FB αααλαα++-+-====⋅--注：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值2112||||aAF BF b+= 例3 已知椭圆22132x y +=的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于B ， D 两点，过F 2的直线交椭圆于A, C 两点，且AC ⊥BD ，求四边形ABCD 的面积的最小值.解析：设1BFO θ∠=，则1DFO πθ∠=- 又因为AC ⊥BD ，所以22,22AF O AF O ππθθ∠=-∠=+21||cos b BF a c θ=-221||cos()cos b b DF a c a c πθθ==--+ 2112222||||||cos ab BD BF DF a c θ=+=- 同理22222||sin ab AC a c θ=- 所以四边形ABCD 的面积22242222224224211222||||122cos sin c sin 24ab ab a b S AC BD a c a c a a c θθθ=⋅=⋅⋅=⋅---+又2223,2,1,a b c ===则22416sin 24S θ=+因为20sin 21θ≤≤，所以2sin 21θ=时，四边形ABCD 的面积取得最小值9625例4 已知过椭圆221259x y +=左焦点F 1的弦（非长轴）交椭圆于A, B 两点，F 2为右焦点，求使△F 2AB 的面积最大时直线AB 的方程.解析：AFO α∠=， 2||cos b AF a c α=- 22||cos()cos b b BF a c a c παα==--+ 则22222||||||cos ab AB AF BF a c α=+=-=2290902516cos 16sin 9αα=-+依题意， F 1(－4, 0), F 2(4, 0), 当2πα≠时，直线AB 的方程为tan (4)y x α=⋅+即tan 4tan 0x y αα-+= 所以F 2到直线AB 的距离28|sin |tan 1d αα==+221190||8|sin |2216sin 9F AB S AB d αα∆=⨯⋅=⨯⨯+=360916|sin ||sin |αα+因为|sin |0α>，所以916|sin ||sin |αα=即3|sin |4α=时，等号成立;当2πα=时，2218||5b AB a ==， 12||8d F F == 211182||814152255F AB S AB d ∆=⨯⋅=⨯⨯=<故2F AB S ∆的面积最大值为15，此时37tan k α==±所以直线AB 的方程为y=37(4)x ±+ 例5 （2012江苏） 如图，已知椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，A, B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行.解析：直线AF1O 的倾斜角为θ，因为2121AF F F F A =-所以2222112112AF F F F F F A F A =-⋅+即222111(2||)44||cos ||a AF c c AF AF θ-==+解得21||cos b AF a c θ=- （注：解答题任何二级结论需要推导，小题随意）所以12|||AF BF ==-=cos θ= 所以直线AF 1的斜率为tan k θ==（2）所以AF 1∥BF 2 所以11112||||||||||PF AF BF AF BF =+即11212||||||)||||AF PF BF AF BF =⋅+同理22112||||||)||||BF PF AF AF BF =⋅+所以1212122||||||||||||AF BF PF PF AF BF ⋅+=+代入上式得12||||22PF PF +===因此12||||PF PF +二、双曲线半径（角度式）设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点，F 为它的一个焦点，PFO θ∠=，即2||cos b PF c aθ=±式中“±”的记忆规律：同正异负.即当P 与F 位于y 轴的同侧时取正，否则取负.取∠PFO=θ，无需讨论焦点位置，上述公式均适合。
圆锥曲线的焦半径公式推导
圆锥曲线的焦半径公式推导如下：圆锥曲线的焦半径公式是解决与圆锥曲线相关问题的重要工具。
对于椭圆来说，如果焦点在x轴上，且设点A(x_1, y_1)在椭圆上，那么点A到左焦点F_1的焦半径为a + ex_1，到右焦点F_2的焦半径为a - ex_1。
推导过程可以基于椭圆的标准方程和定义来进行：1. 椭圆的标准方程：对于中心在原点，半长轴为a，半短轴为b的椭圆，其标准方程通常写作：x²/(a²) + y²/(b²) = 1 (其中a > b > 0)2. 离心率：离心率e是描述椭圆形状的一个参数，定义为c/a，其中c是椭圆的焦距。
3. 焦半径的定义：对于椭圆上的任意一点P(x, y)，到焦点的距离称为焦半径。
4. 使用相似三角形：根据圆锥曲线的第二定义，从椭圆的一个焦点出发到椭圆上一点的射线，与从另一焦点出发到同一点的射线以及与主轴的夹角θ之间存在关系。
通过构建相似三角形，可以得到焦半径的计算公式。
5. 坐标式：当焦点在x轴上时，若已知椭圆上一点的横坐标x_1，则到左焦点F_1的焦半径长度可以用a + ex_1来计算，到右焦点F_2的焦半径长度用a - ex_1来计算。
这里的e是椭圆的离心率。
6. 倾斜角式：利用焦半径与主轴正方向的夹角θ，可以得到更为通用的焦半径表达式，尤其适用于焦点不在坐标轴上的情况。
在这种情况下，焦半径的长度与夹角θ有关，表达式为r = b²/(a±ccosθ)，这里±的选择取决于焦点的位置。
综上所述，圆锥曲线的焦半径公式有多种表达形式，可以根据具体问题的需要选择合适的公式进行计算。
这些公式不仅在理论研究中有着重要作用，在解题和实际应用中也极其重要。
圆锥曲线的焦半径公式
圆锥曲线上任意一点到核心的间隔叫做圆锥曲线关于该点的焦半径.操纵圆锥曲线的第二定义很容易)为椭圆 + =1(a>b>0)上任意一点，F 、F 分别为椭圆的左、右核心，则 =a+e x , =a-e x .
(2)若P(x ,y )为椭圆 + =1(a>b>0)上任意一点，F 、F 分别为椭圆的上、下核心，则 =a+e y , =a-e y .
(4)若P(x ,y )为抛物线x =-2py(p>0)上任意一点，则 = -y +
不克不及，请说明来由.(答案：点P不存在)
(1)若P(x ,y )为双曲线 - =1(a>0，b>0)上任意一点，F 、F 分别为双曲线的左、右核心，则
①当点P在双曲线的左支上时， =-e x -a, =-e x +a.
②当点P在双曲线的右支上时， =e x +a, = e x -a.
(2)若P(x ,y )为双曲线 - =1(a>0，b>0)上任意一点，F 、F 分别为双曲线的上、下核心，则
①当点P在双曲线的下支上时， =-e y -a, = -ey +a.
②当点P在双曲线的上支上时， =ey +a, = ey -a.
(1)若P(x ,y )为抛物线y =2px(p>0)上任意一点，则 = x +
(2)若P(x ,y )为抛物线y =-2px(p>0)上任意一点，则 = -x +
(3)若P(x ,y )为抛物线x =2py(p>0)上任意一点，则 = y +
圆锥曲线综合1：焦半径与焦点弦的三角形式
圆锥曲线综合1：焦半径与焦点弦的三角形式圆锥曲线焦半径和焦点弦的三角形式及其性质(以焦点在x 轴上的曲线为例)设圆锥曲线的焦点弦AB 所在直线的倾斜角为θ，斜率为k ，离心率为e ，焦准距为p (抛物线只需令e=1)性质1：焦半径AF=|cos ||cos 1|2θθc a b e ep -=-，BF=|cos ||cos 1|2θθc a b e ep +=+抛物线：AF=|cos 1|θ-p ，BF=|cos 1|θ-p 性质2：焦点弦AB=|cos 2||cos 12|222222θθc a ab e ep -=-，抛物线：AB=|sin 2|2θp 性质3：222BF 1AF 1b a ep ==+；抛物线：p2BF 1AF 1=+性质4：若→→=FB AF λ，则有|11|12+-+=λλk e ，|11||cos |+-=λλθe 典型例题例1：过椭圆1222=+y x 的左焦点作倾斜角为60°的直互，直线和椭圆交于A 、B 两点，则AB=____例2：已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1和l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与D 、E 交于两点，则AB+DE 的最小值为_______例3：已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若→→=FB 4AF ，则C 的离心率为______.例4：已知F 是抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点，设FA>FB ，则FA 与FB 的比值等于___________例5:已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A 、B 两点，若AF 2=2F 2B ，AB=BF 1，则C 的方程为________例6设圆的圆心为A ，直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合，l 交圆于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.(1)证明EA+EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M 、N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P 、Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.练习题1.设F 1、F 2分别是C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N(1)若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN=5F 1N ，求a 、b2.中心在原点O 的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l 的方程为：x =12(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同点P 1、P 2、P 3，使得∠P 1FP 2=∠P 2FP 3=∠P 3FP 1，证明:321FP 1FP 1FP 1=+为定值，并求此定值.。
巧用圆锥曲线的焦半径
巧用圆锥曲线的焦半径圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q到焦点的距离.圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念.许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机.因此，掌握它是非常重要的.圆焦半径：R f=" + xe, R，-; = a- xe,右支双曲线焦半径：R t =xe + th R = x e■- </ (x > 0),左支双曲线焦半径：R t = - (x e + a), R 6 = - (x e- a) (x <0),抛物线焦半径：Rw + f .art对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得.如对双曲线而言：当P(xo,yo)是双曲线屁2_巧2 =局2(“>0">0)右支上的一点，Fl,F2是其左右焦点.则有左准线方程为.丫 =-必.C由双曲线的第二怎义得，左焦半径为IPF] 1=&(心+・)=5+^；c由IPFiF IPF2I =2r/,得IPF2I = IPF2I - 2a = ex0 - ・(IPF2I亦可由第二定义求得).例1已知Fi，F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线C以Fi为顶点，F?为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E的离心率e满足IPF,l = elPF2l.贝9 e的值为()(A)苹(C)斗(D)2-j2解法1 设F,(-c,0), F2(C,0), P(A O,yo),于是，抛物线的方程为^=2(4c)(x + c),抛物线的准线/： x=-3c,椭圆的准线m： x = - —, c设点P到两条准线的距离分別为d 1, di.于是，由抛物线定义,得J1 = IPF2I, ................ ①又由椭圆的定义得IPFil = ed2,而IPFil = elPF2l, ..................... ②由①②得t/2 = IPF2l,故山=鸟,从而两条准线重合.・•・—3c = _Xne2=_lne =週.故选(C).c 3 3解法2 由椭圆定义得IPF1l + IPF2l = 2a,又IPF|l = elPF2l, A I PF2I (l+e) = 2a, .. ①又由抛物线定义得IPF2I= AO +3C,即XO =IPF2I-3C,.......................... ②由椭圆定义得IPF2l = “—exo, ............................. ③由②③得IPF2l = "—elPF2l + 3ec,即I PF?I (1+e ) = “ + 3ec, ......... ④由①④得2a = a + 3ec,解得e =斗,故选(C).点评结合椭圆、抛物线的泄义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想.例2设椭圆E：+ (a> b> 0),的左、右焦点分别为Fi,氏，右顶点为A.如果点M为椭圆E上的任意一点，且IMF.I - IMF2I的最小值为4(1)求椭圆的离心率e：(2)设双曲线Q：是以椭圆E的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q上一点P,试问是否存在常数X(X>0),使得ZPAF> = X ZPF>A成立？试证明你的结论.分析对于(1)可利用焦半径公式直接求解.而(2)是一探索型的命题，解题应注重探索.由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率.而ZPFiA显然是一锐角，又易知ZPAFi是(0. 123)内的角，且90。
圆锥曲线的焦半径角度式
圆锥曲线的焦半径——角度式一 椭圆的焦半径设P 是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上任意一点，F 为它的一个焦点，则PFO θ∠=，则2cos b PF a c θ=- 上述公式定义PFO θ∠=，P 是椭圆上的点，F 是焦点，O 为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论证明：设PF m =，另一个焦点为F '，则PF FF FP ''=- 两边平方得：2222PF FF FF FP FP '''=-⋅+ 即：222(2)44cos a m c cm m θ-=++得：2cos b PF a c θ=-1 过椭圆22143x y +=的右焦点F 任作一直线交椭圆于A 、B 两点，若AF BF +=AF BF λ，则λ的值为2 （2002全国理）设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一个焦点F ，过F 作一条直线交椭圆于P 、Q 两点，求证：11PF QF+为定值，并求这个定值结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即2112a AF BF b+=3（2007重庆理）在椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上任取三个不同的点1P ，2P ，3P ，使122223321PF P P F P P F P ∠=∠=∠，2F 为右焦点，证明122232111PF P F P F ++为定值，并求此定值结论：若过F 作n 条夹角相等的射线交椭圆于1P ，2P ，，n P ，则212111n naPF P F P F b+++= 4 F 是椭圆2212x y +=的右焦点，由F 引出两条相互垂直的直线a ，b ，直线a 与椭圆交于点A 、C ，直线b 与椭圆交于B 、D ，若1FA r =，2FB r =， 3FC r =，4FD r =，则下列结论一定成立的是（ ）A 1234r r r r +++=1234r r r r+++=C12341111r r rr +++=12341111r r r r +++=5 F 是椭圆22143x y +=的右焦点，过点F 作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A 、B ，线段AB 的中垂线l 交x 轴于点M ，则ABFM的值为6（2010辽宁理）设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，2AF FB =（1） 求椭圆C 的离心率 （2） 如果154AB =，求椭圆C 的方程7（2010全国Ⅱ理）已知椭圆C ：22221x y a b+=的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，则k =（ ）8 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于A ，B 两点，若2BF AF =，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B 0,2⎛ ⎝⎦C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D 1,13⎛⎫⎪⎝⎭9（2007全国Ⅰ理）已知椭圆22132x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积的最小值10（2005全国卷Ⅱ理）P ，Q ，M ，N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PQMN 面积的最大值和最小值11 已知过椭圆221259x y +=左焦点1F 的弦（非长轴）交椭圆于A ，B 两点，2F 为右焦点，求使2F AB ∆的面积最大时直线AB 的方程二 双曲线的焦半径设P 是椭圆22221x y a b -=（0a >，0b >）上任意一点，F 为它的一个焦点，则PFO θ∠=，则2cos b PF c aθ=±式中“±”记忆规律，同正异负，即当P 与F 位于轴的同侧时取正，否则取负，取PFO θ∠=，无需讨论焦点位置，上式公式均适用1（2009全国Ⅱ理）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过F C 于A ，B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（ ） A 65 B 75 C 58 D 952 （2007重庆理）过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，则FP FQ ⋅的值为三 抛物线的焦半径已知A 是抛物线C ：22y px =（0p >）上任意一点，F 为焦点，AFO θ∠=，则1cos pAF θ=+证明：PN 为准线，于是AF AN =，其中PF p =，cos FM AF θ=⋅ 于是cos AN PF FM P AF θ=-=- 所以cos AF P AF θ=- 故1cos pAF θ=+1 过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若111AF BF-=，则直线l 的倾斜角θ（02πθ<≤）等于（ ）A 2πB 3πC 4πD 6π2（2008江西）过抛物线22x py =（0p >）的焦点F 作倾斜角为30°的直线与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧），则AFFB= 3（2008全国理）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于4（2010重庆理）已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A ，B 满足3AF FB =,，则弦AB 的中点到准线的距离为5 已知抛物线24y x =，准线与x 轴交于E 点，过点E 的直线(1)y k x =+交抛物线于A ，B 两点，F 是焦点，且满足060AFB ∠=，求AB6 已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为7 抛物线1C ：22y px =和圆2C ：222()24p p x y -+=，直线l 经过1C 的焦点，与1C 交于A 、D ，与2C 交于B 、C ，则AB CD ⋅的值为（ ）A 24pB 23pC 22p D 2p。
圆锥曲线焦半径公式推导
圆锥曲线焦半径公式推导
圆锥曲线是指在平面上的点到一定点（焦点）和一条直线（准线）的距离比例等于一个常数的点的轨迹。
设圆锥曲线的焦点为F，准线上一点为P，焦半径为r，则有以下公式推导：
首先，根据圆锥曲线的定义，可以得到FP/PM=k（k为常数）。
设直角坐标系下焦点F(-c,0)和准线为x轴的方程为y=0，点P在
准线上，坐标为(x,0)，则有FP的长度为
√((x+c)^2+y^2)=√((x+c)^2)，PM的长度为x，所以有：
√((x+c)^2)/x=k
(x+c)^2/x^2=k^2
x^2+2cx+c^2=k^2x^2
(c^2-k^2)x^2-2cx+c^2=0
(c^2-k^2)x^2-2cx+c^2=0
所以焦半径r为：
r= c^2/(k^2-1)
这就是圆锥曲线焦半径的公式推导过程。
除了推导公式，圆锥曲线还有圆锥抛物线、圆锥双曲线等不同类型，它们的焦半径公式也各有不同。
深入学习圆锥曲线的不同类型和性质，可以帮助我们更好地理解和应用这些曲线。
圆锥曲线的焦半径(角度式)
圆锥曲线的焦半径——角度式一 椭圆的焦半径设P 是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上任意一点，F 为它的一个焦点，则PFO θ∠=，则2cos b PF a c θ=- 上述公式定义PFO θ∠=，P 是椭圆上的点，F 是焦点，O 为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论证明：设PF m =，另一个焦点为F '，则PF FF FP ''=-u u u u r u u u u r u u u r两边平方得：2222PF FF FF FP FP '''=-⋅+u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r即：222(2)44cos a m c cm m θ-=++得：2cos b PF a c θ=-1 过椭圆22143x y +=的右焦点F 任作一直线交椭圆于A 、B 两点，若AF BF +=AF BF λ，则λ的值为2 （2002全国理）设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一个焦点F ，过F 作一条直线交椭圆于P 、Q 两点，求证：11PF QF+为定值，并求这个定值结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即2112a AF BF b+=3（2007重庆理）在椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上任取三个不同的点1P ，2P ，3P ，使122223321PF P P F P P F P ∠=∠=∠，2F 为右焦点，证明122232111PF P F P F ++为定值，并求此定值结论：若过F 作n 条夹角相等的射线交椭圆于1P ，2P ，L ，n P ，则212111n naPF P F P F b +++=L 4 F 是椭圆2212x y +=的右焦点，由F 引出两条相互垂直的直线a ，b ，直线a 与椭圆交于点A 、C ，直线b 与椭圆交于B 、D ，若1FA r =u u u r ，2FB r =u u u r ， 3FC r =u u u r，4FD r =u u u r，则下列结论一定成立的是（ ）A1234r r r r +++= B1234r r r r +++=C12341111r r r r +++= D12341111r r r r +++=5 F 是椭圆22143x y +=的右焦点，过点F 作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A 、B ，线段AB 的中垂线l 交x 轴于点M ，则ABFM的值为6（2010辽宁理）设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，2AF FB =u u u r u u u r（1） 求椭圆C 的离心率 （2） 如果154AB =，求椭圆C 的方程7（2010全国Ⅱ理）已知椭圆C ：22221x y a b+=的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =u u u r u u u r，则k =（ ）A 1BCD 28 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于A ，B 两点，若2BF AF =u u u r u u u r，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B 0,2⎛ ⎝⎦C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D 1,13⎛⎫⎪⎝⎭9（2007全国Ⅰ理）已知椭圆22132x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积的最小值10（2005全国卷Ⅱ理）P ，Q ，M ，N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF u u u r 与FQ uuu r 共线，MF u u u r 与FN u u ur 共线，且0PF MF ⋅=u u u r u u u r ，求四边形PQMN 面积的最大值和最小值11 已知过椭圆221259x y +=左焦点1F 的弦（非长轴）交椭圆于A ，B 两点，2F 为右焦点，求使2F AB ∆的面积最大时直线AB 的方程二 双曲线的焦半径设P 是椭圆22221x y a b -=（0a >，0b >）上任意一点，F 为它的一个焦点，则PFO θ∠=，则2cos b PF c aθ=±式中“±”记忆规律，同正异负，即当P 与F 位于轴的同侧时取正，否则取负，取PFO θ∠=，无需讨论焦点位置，上式公式均适用1（2009全国Ⅱ理）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过F 且斜率为的直线交C 于A ，B 两点，若4AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率为（ ） A 65 B 75 C 58 D 952 （2007重庆理）过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，则FP FQ ⋅的值为三 抛物线的焦半径已知A 是抛物线C ：22y px =（0p >）上任意一点，F 为焦点，AFO θ∠=，则1cos pAF θ=+证明：PN 为准线，于是AF AN =，其中PF p =，cos FM AF θ=⋅ 于是cos AN PF FM P AF θ=-=- 所以cos AF P AF θ=- 故1cos pAF θ=+1 过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若111AF BF-=，则直线l 的倾斜角θ（02πθ<≤）等于（ ）A 2πB 3πC 4πD 6π2（2008江西）过抛物线22x py =（0p >）的焦点F 作倾斜角为30°的直线与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧），则AFFB= 3（2008全国理）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于4（2010重庆理）已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A ，B 满足3AF FB =u u u r u u u r,，则弦AB 的中点到准线的距离为5 已知抛物线24y x =，准线与x 轴交于E 点，过点E 的直线(1)y k x =+交抛物线于A ，B 两点，F 是焦点，且满足060AFB ∠=，求AB6 已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为7 抛物线1C ：22y px =和圆2C ：222()24p p x y -+=，直线l 经过1C 的焦点，与1C 交于A 、D ，与2C 交于B 、C ，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A 24pB 23pC 22p D 2p。
圆锥曲线焦点公式
圆锥曲线焦点公式
圆锥曲线焦点公式可用于确定圆锥曲线上任意一点到焦点的距离。
根据圆锥曲
线的类型，焦点公式会有所不同。
对于椭圆、抛物线和双曲线，其焦点公式可分别表示为：
椭圆的焦点公式：c = √(a² - b²)
其中，c表示焦距，a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
抛物线的焦点公式：焦点为(x = h + p, y = k)，其中(h, k)为抛物线的顶点，p为
焦半径。
双曲线的焦点公式：c = √(a² + b²)
双曲线有两个焦点，分别位于双曲线的主轴上，c表示焦距，a和b分别表示
双曲线的长半轴和短半轴。
这些焦点公式有助于我们确定圆锥曲线上各个点与其对应焦点之间的距离，从
而更好地理解和分析圆锥曲线的性质和特点。
需要注意的是，焦点公式仅适用于标准形式的圆锥曲线，在一些特殊的情况下，可能需要根据具体曲线方程进行推导和计算。
焦半径公式的三角形式及其应用
焦半径公式的三角形式及其应用重庆清华中学张忠焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新, 故值得我们进一步总结与研究。
焦半径公式的代数形式：设F I,F2是曲线的左、右焦点，点P(X o,y。
)在曲线上，记r1PF1、r2PF2为左、右焦半径。
则在椭圆中：r i a ex o, r2 a ex o ；在双曲2 p线中：r1ex0a, r2ex0a ；在抛物线y 2px(p 0)中：r x0专。
若焦点在y轴上时，则把相应的X。
改为y o即可。
因应用情形比较常见，不再叙述。
，本文介绍它的三角形式及其应用。
定理1：若椭圆的离心角为贝U (1)|PF i| = a + ccos 0; (2)|PF 2| = a —ccos 0.证明：•••椭圆的离心角为0,由椭圆参数方程知点P的横坐标为acos0，依焦半径的代数形式知：|PF i| = a+ex p= a + ea • cos 0= a + c • cos 0 ,|PF 2| = a—ex p= a —c • cos 0.例1. F i、F2是椭圆+ y2= 1的左右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1| • |PF2|的最大值是_______ ,最小值是__________ .(1996年第七届“希望杯”赛)解：设椭圆的离心角为0,又知a= 2, c2= 3，由定理1得2 2 2 2|PF 1|c • |PF 2| = a —c cos 0 = 4 —3cos 0•/0< cos 0W1 故知|PF1|c • |PF 2| max= 4—3 • 0= 4|PF1| • |PF2| min= 4 —3 • 1= 1例2.椭圆的左右焦点为F1、F2,试问此椭圆的离心率e在什么值范围内，椭圆上恒存在点P,使得PF i ± PR。
解：2 2 2 2 2 2设椭圆方程为b x + a y = a b (a > b> 0)，离心角为B,依题设、定理1及勾股定理得(2 c) 2= (a —ccos 0) 2+ (a + ccos 0) 2化简得cos20 =2O w cos20<1 , ••• 0W2<1结合0 v e v 1PFeFH 1 ecos ep 1 ecos，这里p 为焦准距，在椭圆和双曲线中,b 2W e v 1为所求。
焦半径公式的三角形式及其应用
焦半径公式的三角形式及其应用重庆清华中学张忠焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新, 故值得我们进一步总结与研究。
焦半径公式的代数形式：设F I,F2是曲线的左、右焦点，点P(X o,y。
)在曲线上，记r1PF1、r2PF2为左、右焦半径。
则在椭圆中：r i a ex o, r2 a ex o ；在双曲2 p线中：r1ex0a, r2ex0a ；在抛物线y 2px(p 0)中：r x0专。
若焦点在y轴上时，则把相应的X。
改为y o即可。
因应用情形比较常见，不再叙述。
，本文介绍它的三角形式及其应用。
定理1：若椭圆的离心角为贝U (1)|PF i| = a + ccos 0; (2)|PF 2| = a —ccos 0.证明：•••椭圆的离心角为0,由椭圆参数方程知点P的横坐标为acos0，依焦半径的代数形式知：|PF i| = a+ex p= a + ea • cos 0= a + c • cos 0 ,|PF 2| = a—ex p= a —c • cos 0.例1. F i、F2是椭圆+ y2= 1的左右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1| • |PF2|的最大值是_______ ,最小值是__________ .(1996年第七届“希望杯”赛)解：设椭圆的离心角为0,又知a= 2, c2= 3，由定理1得2 2 2 2|PF 1|c • |PF 2| = a —c cos 0 = 4 —3cos 0•/0< cos 0W1 故知|PF1|c • |PF 2| max= 4—3 • 0= 4|PF1| • |PF2| min= 4 —3 • 1= 1例2.椭圆的左右焦点为F1、F2,试问此椭圆的离心率e在什么值范围内，椭圆上恒存在点P,使得PF i ± PR。
解：2 2 2 2 2 2设椭圆方程为b x + a y = a b (a > b> 0)，离心角为B,依题设、定理1及勾股定理得(2 c) 2= (a —ccos 0) 2+ (a + ccos 0) 2化简得cos20 =2O w cos20<1 , ••• 0W2<1结合0 v e v 1PFeFH 1 ecos ep 1 ecos，这里p 为焦准距，在椭圆和双曲线中,b 2W e v 1为所求。
圆锥曲线的极坐标方程 焦半径公式 焦点弦公式
椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为
ρ = ep . 1 − e cosθ
其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞0 ．
当 0 e 1 时，方程表示椭圆
当 e＞1 时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允
许ρ 0，方程就表示整个 曲线
当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
推论 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，则有 1 + 1 = 2 . MF NF ep
、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，
1、椭圆中， p = a 2 − c = b2 ， MN = ep +
ep
= 2ab2 .
c
c
1− ecosθ 1− ecos(π −θ) a2 − c2 cos2 θ
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
湖北省天门中学 薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定
直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相
应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．
3、抛物线中， MN = p +
p
= 2p .
1 − cosθ 1 − cos(π − θ ) sin 2 θ
四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P x,y 是圆锥曲线 的点，
1、若 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 = a + ex ，、 F2 分别是 曲线的左、右焦点，
设 F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线 的右支、抛物线) 任一点，则
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K，以FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为 θρcos 1e ep −=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p＞0 ．当0 e 1时，方程表示椭圆当e＞1时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允许ρ 0，方程就表示整个 曲线当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线的右支、抛物线) 任一点，则 PQ e PF =， )cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ x 轴，FP 焦半径θcos 1e ep PF −=． 当P 在 曲线的左支 时，θcos 1e ep PF +−=. 推论 若圆锥曲线的弦MN 过焦点F，则有epNF MF 211=+.、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 过焦点F， 1、椭圆中，cb c c a p 22=−=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−=. 2、 曲线中，若M、N 在 曲线同一支 ，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−= 若M、N 在 曲线 同支 ，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN −=−−+−=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =−−+−=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P x,y 是圆锥曲线 的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF −=22、若1F 、2F 分别是 曲线的左、右焦点，当点P 在 曲线右支 时，a ex PF +=1，a ex PF −=2 当点P 在 曲线左支 时，ex a PF −−=1，ex a PF −=23、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
圆锥曲线焦半径(角度式)
圆锥曲线的焦半径——角度式一椭圆的焦半径设 P 是椭圆x2y2 1 〔a b0 〕上任意一点，F 为它的一个焦点，那么a2b2PFO，那么PFb2a c cos上述公式定义PFO， P 是椭圆上的点， F 是焦点， O 为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论uuuur uuuur uuur证明：设 PF m ，另一个焦点为 F ，那么PF FF FPuuuur 2uuuur 2uuuur uuur uuur 2两边平方得： PF FF2FF FP FP即： (2 a m) 24c24cm cos m2得： PFb2a c cos1 过椭圆x2y21 的右焦点F任作一直线交椭圆于A、B两点，假设AFBF43AF BF ，那么的值为2 〔 2002 全国理〕设椭圆x2y21〔a b 0 〕的一个焦点 F ，过 F 作一条直a2b2线交椭圆于 P 、Q两点，求证：11为定值，并求这个定值PF QF结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即112aAF BF b23〔2007 重庆理〕在椭圆x2y21〔a b 0 〕上任取三个不同的点P1，P2，P3，a2b2使 PF1 2 P2111P2F2 P3P3 F2 P1， F2为右焦点，证明P2 F2为定值，PF1 2P3F2并求此定值结论：假设过 F 作n条夹角相等的射线交椭圆于P1， P2，L， P n，那么11L1naPF1P2 F b2P n F4 F 是椭圆x2y21的右焦点，由F引出两条相互垂直的直线 a ，b，直线 a 与2uuur uuur uuur椭圆交于点 A 、 C ，直线 b 与椭圆交于 B 、 D ，假设FA r1， FB r2， FC r3，uuurFD r4，那么以下结论一定成立的是〔〕A r1r2r3r4 3 2B r1r2r3r4 4 2C 11113 2D11114 2 r1r2r3r4r1r2r3r45 F 是椭圆x2y21的右焦点，过点F作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于43A 、B ，线段 AB 的中垂线 l 交x轴于点 M ，那么AB 的值为FM6〔2021 辽宁理〕设椭圆C ： x2y21〔a b 0 〕的左焦点为 F ，过点 F 的a2b2uuur uuur直线与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，直线 l 的倾斜角为 60°，AF2FB〔 1〕 求椭圆 C 的离心率〔 2〕 如果 AB15，求椭圆 C 的方程47〔2021 全国Ⅱ理〕椭圆 C ：x2 y 23，过右焦点 F 且斜 22 1的离心率为a b 2率为 k 〔 kuuur uuur0〕的直线与 C 相交于 A ， B 两点，假设 AF 3FB ，那么k 〔 〕A 1B 2C 3D 28 椭圆 C ：x 2y 2 1〔 a b 0 〕的右焦点为 F ，过点 F 的直线与椭圆 C a 2b 2uuur uuur相交于 A ， B 两点，假设BF2 AF ，那么椭圆的离心率 e 的取值范围是〔〕A 0,1B0, 2C1,1D2221,139〔2007 全国Ⅰ理〕椭圆x 2y 2 1 的左右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，过 F 1 的直线 32交椭圆于 B ， D 两点，过 F 2 的直线交椭圆于 A ， C 两点，且 AC BD ，求四边形 ABCD 的面积的最小值2 10〔2005 全国卷Ⅱ理〕 P ， Q ， M ， N 四点都在椭圆 x2y1上， F 为椭圆2uuur uuur uuur uuur uuur uuur0 ，在 y 轴正半轴上的焦点，PF与 FQ 共线， MF与 FN共线，且 PF MF求四边形 PQMN 面积的最大值和最小值11 过椭圆x2y2 1 左焦点 F1的弦〔非长轴〕交椭圆于 A ， B 两点，F2为259右焦点，求使F2 AB 的面积最大时直线AB的方程二双曲线的焦半径设 P 是椭圆x2y 2 1 〔a0 ， b 0 〕上任意一点， F 为它的一个焦点，a2b2那么PFO，那么PFb2c cos a式中“〞记忆规律，同正异负，即当 P 与 F 位于轴的同侧时取正，否那么取负，取PFO，无需讨论焦点位置，上式公式均适用1〔2021 全国Ⅱ理〕双曲线 C ：x2y2221〔a0， b0 〕的右焦点为 F ，a b过 F 且斜率为uuur uuur3 的直线交C于A，B两点，假设 AF4FB ，那么C的离心率为〔〕A 67C59 5B8D552 〔 2007 重庆理〕过双曲线x2y2 4 的右焦点F作倾斜角为105°的直线交双曲线于 P 、Q两点，那么 FP FQ 的值为三抛物线的焦半径A 是抛物线 C ：y2 2 px〔 p 0 〕上任意一点，F为焦点，AFO，那么AFp 1 cos证明： PN 为准线，于是 AF AN ，其中 PF p ， FMAF cos于是 AN PF FM P AF cos所以 AF P AF cosp故 AF1cos1 过抛物线y22x 的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，假设111，AF BF那么直线 l 的倾斜角〔 0〕等于〔〕2A B3C D6242〔2021 江西〕过抛物线x2 2 py 〔 p 0 〕的焦点F作倾斜角为30°的直线与抛物线分别交于 A ， B 两点〔点 A 在 y 轴左侧〕，那么AFFB3〔2021 全国理〕 F 为抛物线 C ：y24x 的焦点，过F且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 A ， B 两点，设 FA FB ，那么 FA 与 FB 的比值等于4 〔 2021重庆理〕以 F 为焦点的抛物线y24x 上的两点A，B满足uuur uuurAF3FB ,，那么弦AB的中点到准线的距离为5抛物线 y 2 4x ，准线与 x 轴交于E点，过点E的直线 y k ( x 1) 交抛物线于 A ， B 两点， F 是焦点，且满足AFB600，求AB6 F 为抛物线 C ：y24x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l1， l2，直AB DE的最小值线 l1与C交于 A ，B 两点，直线l2与C交于D ， E 两点，那么为7抛物线 C1： y2 2 px 和圆 C2： ( x p)2y2p2，直线 l 经过C1的焦点，与C124uuur uuur交于 A 、 D ，与C2交于 B 、 C ，那么AB CD 的值为〔〕A p2B p2C p2D p2432。
(高中数理化2008)圆锥曲线的焦半径公式及其应用
圆锥曲线的焦半径公式及其应用浙江省东阳市横店高级中学（322118）刘光红（本文发表在《高中数理化》2008-2上）连接圆锥曲线的焦点与曲线上任意一点的线段统称为它的焦半径，根据圆锥曲线的统一定义，很容易推导出圆锥曲线的焦半径公式，下面是用处较多的椭圆、双曲线、抛物线的焦半径公式：（1）对于椭圆而言，焦半径公式为：，.（2）对于双曲线而言，焦半径公式为：当点P在双曲线的左支时：，，当点P在双曲线的右支时：，.（3）对于抛物线而言，焦半径公式为：以上各式中，P（x,y）是曲线上的一点，是椭圆、双曲线的左右焦点，F是抛物线的焦点，在这里特别强调的是：随着曲线方程的不同，焦半径公式也有不同，对于焦点在y轴上的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程对应的焦半径公式请同学们自己给出。
下面介绍焦半径公式在解题中的应用。
1求比值例1 设为椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的一个点，已知点P，是一个直角三角形的顶点，且，求的值。
解：由椭圆方程可知，并求得，离心率，由椭圆的对称性，不妨设是椭圆上的任意一点，则由题意知分别为其左焦半径和右焦半径，由焦半径公式得，。
（1）若为直角，则，代入化简得，故=。
（2）若为直角，即可求得，故=。
2解是否存在的问题例2 已知椭圆，是否在椭圆位于y轴左侧部分上存在一点M，使点M到左准线l的距离为点M到两个焦点的距离的比例中项？并说明理由。
解：由已知方程得，左准线l：。
设椭圆上位于y轴左侧部分存在的点M()，满足(*)由椭圆的焦半径公式知：，，又，代入（*）式解得或，与矛盾，故这样的点M不存在。
3求弦长例3 过双曲线的右焦点F作倾斜角为的弦AB，求的值。
解：由双曲线的方程知：，所以，所以，右焦点F(5，0)，设，，则AB的方程为，代入双曲线的方程，消去y，整理得，所以。
所以==。
4求最值例4 给定椭圆，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得与它们的交点为顶点的四边形面积最大。
解：设双曲线的方程为，上焦点为，设A为两曲线在第一象限的交点，由焦半径公式得：，将解得的代入椭圆（双曲线）方程得，由对称性，以交点为顶点的四边形为矩形，其面积为：，当且仅当时，，故所求的曲线方程为。
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圆锥曲线的焦半径——角度式
一 椭圆的焦半径
设P 是椭圆22
221x y a b +=（0a b >>）上任意一点，F 为它的一个焦点，则
PFO θ∠=，则2
cos b PF a c θ
=
- 上述公式定义PFO θ∠=，P 是椭圆上的点，F 是焦点，O 为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论
证明：设PF m =，另一个焦点为F '，则PF FF FP ''=- 两边平方得：2
2
2
2PF FF FF FP FP '''=-⋅+ 即：222(2)44cos a m c cm m θ-=++
得：2
cos b PF a c θ
=-
1 过椭圆22
143
x y +=的右焦点F 任作一直线交椭圆于A 、B 两点，若AF BF +=
AF BF λ，则λ的值为
2 （2002全国理）设椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的一个焦点F ，过F 作一条直
线交椭圆于P 、Q 两点，求证：11
PF QF
+为定值，并求这个定值
结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即
2112a AF BF b
+=
3（2007重庆理）在椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）上任取三个不同的点1P ，2P ，3P ，
使122223321PF P P F P P F P ∠=∠=∠，2F 为右焦点，证明12
2232111
PF P F P F ++为定值，并求此定值
结论：若过F 作n 条夹角相等的射线交椭圆于1P ，2P ，
，n P ，则
21
211
1n na
PF P F P F b
+++
= 4 F 是椭圆2
212
x y +=的右焦点，由F 引出两条相互垂直的直线a ，b ，直线a 与
椭圆交于点A 、C ，直线b 与椭圆交于B 、D ，若1FA r =，2FB r =， 3FC r =，
4
FD r =，则下列结论一定成立的是（ ）
A 1234
r r r r +++=1234r r r r
+++=C
1234
1111r r r
r +++=12341111
r r r r +++=5 F 是椭圆22
143
x y +=的右焦点，过点F 作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于
A 、
B ，线段AB 的中垂线l 交x 轴于点M ，则AB
FM
的值为
6（2010辽宁理）设椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左焦点为F ，过点F 的
直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，2AF FB =
（1） 求椭圆C 的离心率 （2） 如果15
4
AB =，求椭圆C 的方程
7（2010全国Ⅱ理）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=的离心率为2，过右焦点F 且斜
率为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，则k =（ ）
8 已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C
相交于A ，B 两点，若2BF AF =，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）
A 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B 0,2⎛ ⎝⎦
C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D 1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
9（2007全国Ⅰ理）已知椭圆22
132
x y +
=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积的最小值
10（2005全国卷Ⅱ理）P ，Q ，M ，N 四点都在椭圆2
2
12
y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，
求四边形PQMN 面积的最大值和最小值
11 已知过椭圆22
1259
x y +
=左焦点1F 的弦（非长轴）交椭圆于A ，B 两点，2F 为右焦点，求使2F AB ∆的面积最大时直线AB 的方程
二 双曲线的焦半径
设P 是椭圆22
221x y a b -=（0a >，0b >）上任意一点，F 为它的一个焦点，
则PFO θ∠=，则2
cos b PF c a
θ=±
式中“±”记忆规律，同正异负，即当P 与F 位于轴的同侧时取正，否则取负，取PFO θ∠=，无需讨论焦点位置，上式公式均适用
1（2009全国Ⅱ理）已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，
过F C 于A ，B 两点，
若4AF FB =，则C 的离心率为（ ） A 65 B 75 C 58 D 95
2 （2007重庆理）过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，则FP FQ ⋅的值为
三 抛物线的焦半径
已知A 是抛物线C ：22y px =（0p >）上任意一点，F 为焦点，AFO θ∠=，则1cos p
AF θ
=
+
证明：PN 为准线，于是AF AN =，其中PF p =，cos FM AF θ=⋅ 于是cos AN PF FM P AF θ=-=- 所以cos AF P AF θ=- 故1cos p
AF θ
=+
1 过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若11
1AF BF
-=，则直线l 的倾斜角θ（02
π
θ<≤）等于（ ）
A 2π
B 3π
C 4π
D 6
π
2（2008江西）过抛物线22x py =（0p >）的焦点F 作倾斜角为30°的直线与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧），则
AF
FB
= 3（2008全国理）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于
4（2010重庆理）已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A ，B 满足
3AF FB =,，则弦AB 的中点到准线的距离为
5 已知抛物线24y x =，准线与x 轴交于E 点，过点E 的直线(1)y k x =+交抛物线于A ，B 两点，F 是焦点，且满足060AFB ∠=，求AB
6 已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线
1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为
7 抛物线1C ：2
2y px =和圆2C ：222()24
p p x y -+=，直线l 经过1C 的焦点，与1
C 交于A 、
D ，与2C 交于B 、C ，则AB CD ⋅的值为（ ）
A 24p
B 23p
C 2
2
p D 2p。