1990年高考全国卷数学试题及标准答案
1990年高考全国卷数学试题及答案
1990年高考试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.【】【】(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】(5)【】【】(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么【】(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】(11)如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于【】(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么【】(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有【】(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有【】(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是【】(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于.(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝.三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.1990年试题（理工农医类）答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A(2)B(3)D(4)C(5)C(6)B (7)A(8)D(9)B(10)D(11)C(12)B (13)B(14)C(15)D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是(26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1),x≠0.。
1990年全国普通高等学校招生统一考试数学文.pdf
1990年(文史类) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. (2)cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于 ?(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 (6)已知上图是函数y=2sin(ωx+ψ)(│ψ│<)的图象,那么 ? (7)设命题甲为:0<x<5;命题乙为:│x-2│0,a≠1,解不等式loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)>loga2. (25)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│=a. ? 1990年试题(文史类)答案 ? 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. (1)A (2)C (3)D (4)B (5)D (6)C (7)A (8)B (9)A (10)C (11)B? (12)D? (13)A? (14)C? (15)B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算. 三、解答题. (21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力. 依题意有 由②式得 d=12-2a.? ③ 整理得 a2-13a+36=0. 解得? a1=4, a2=9. 代入③式得 d1=4,? d2=-6. 从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x. 依题意,有 由①式得 x=3y-12.? ③ 将③式代入②式得? y(16-3y+12)=(12-y)2, 整理得 y2-13y+36=0. 解得? y1=4,y2=9. 代入③式得 x1=0,x2=15. 从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力. 解法一:由已知得 两式相除得 解法二:如图,不妨设0≤α≤βloga2(2x-1). ① 当01时,①式等价于 (25)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力. 解法一:设z=x+yi,代入原方程得 于是原方程等价于方程组 由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数或为纯虚数.下面分别加以讨论. 情形1. 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a. ③ (Ⅰ)令x>0,方程③变为x2+2x=a.? ④ 由此可知:当a=0时,方程④无正根; (Ⅱ)令x0时,方程⑥无零解. 所以,原方程的实数解是: 当a=0时,z=0; 情形2. 若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a. ⑦ (Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a. ⑧ 由此可知:当a>1时,方程⑧无实根. 从而,? 当a=0时,方程⑧有正根 y=2; (Ⅱ)令y1时,方程⑨无实根. 从而,? 当a=0时,方程⑨有负根 y=-2; 所以,原方程的纯虚数解是: 当a=0时,z=±2i; 而当a>1时,原方程无纯虚数解. 解法二:设z=x+yi,代入原方程得 于是原方程等价于方程组 由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论. 情形1. 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a. 情形2. 若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a. 当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2, 即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i. 即当01时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解. 解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0). 情形1. 若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1. 情形2. 若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2. 解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ0时,方程③无解. 所以,? 当a=0时,原方程有解z=0; 当a>0时,原方程无零解. (Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为 r2+2r=a.? ④ 由此可知:当a=0时,方程④无正根; (Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为 -r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,? ⑤ 由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根; 从而,? 当a=0时,方程⑤有正根 r=2; 所以,? 当a=o时,原方程有解z=±2i; 当01时,原方程无纯虚数解.。
1990年全国高考试题
1990年全国高考试题姓名______________ 得分_____________一、选择题(本题共有5小题,每小题3分,共15分。
每小题只有一个．．．．选项符合题意)1.通常用来衡量一个国家的石油化学工业发展水平的标志是(A)石油的产量(B)乙烯的产量(C)合成纤维的产量(D)硫酸的产量2.设N A代表阿佛加德罗常数,下列说法正确的是(A)2.3克金属钠变为钠离子时失去的电子数目为0.1N A(B)18克水所含的电子数目为N A(C)在常温常压下11.2升氯气所含的原子数目为N A(D)32克氧气所含的原子数目为N A3.道尔顿的原子学说曾经起了很大作用.他的学说中，包含有下述三个论点:①原子是不能再分的粒子;②同种元素的原子的各种性质和质量都相同；③原子是微小的实心球体。
从现代观点看，你认为这三个论点中不确切的(A)只有③(B)只有①③(C)只有②③(D)有①②③4.下列四种物质,只能跟NaOH溶液作用,不能跟盐酸作用的是(A)NaHS(B)NaAlO2(C)KHSO4(D)CH3COONH45.以下贮存物质的方法正确的是(A)少量白磷贮存在二硫化碳中(B)水玻璃贮存在带玻璃塞的玻璃瓶中(C)少量钠贮存在酒精中(D)少量钠贮存在煤油中二、选择题(本题共有20小题,每小题3分,共60分。
每小题有一个或两个．．．．．．选项符合题意)6.X、Y、Z分别代表3种不同的短周期元素.X元素的原子最外层有1个电子;Y元素原子的M电子层中有4或者6个电子;Z元素原子的L电子层有6个电子.由这3种元素组成的化合物的分子式可能是(A)X3YZ4(B)X4YZ4(C)XYZ2 (D)X2YZ47.某元素X的核外电子数等于核内中子数.取该元素单质2.8克与氧气充分作用,可得到6克化合物XO2.该元素在周期表中的位置是(A)第三周期(B)第二周期(C)第Ⅳ主族(D)第Ⅴ主族8.下列说法正确的是(A)可逆反应的特征是正反应速度总是和逆反应速度相等(B)在其它条件不变时,使用催化剂只能改变反应速度,而不能改变化学平衡状态(C)在其它条件不变时,升高温度可以使化学平衡向吸热反应的方向移动(D)在其它条件不变时,增大压强一定会破坏气体反应的平衡状态9.下列说法正确的是(A)酸式盐的溶液一定显碱性(B)只要酸与碱的摩尔浓度和体积分别相等,它们反应后的溶液就呈中性(C)纯水呈中性是因为水中氢离子摩尔浓度和氢氧根离子摩尔浓度相等(D)碳酸溶液中氢离子摩尔浓度是碳酸根离子摩尔浓度的二倍10.把0.05摩NaOH固体分别加入下列100毫升液体中,溶液导电能力变化不大．．．．的：(A)自来水(B)0.5摩/升盐酸(C)0.5摩/升醋酸(D)0.5摩/升氯化铵溶液11.已知:①2FeCl3+2Kl=2FeCl2+2KCl+I2②2FeCl2+Cl2=2FeCl3判断下列物质的氧化能力由大到小的顺序是(A)Fe3+>Cl2> I2(B) Cl2> Fe3+> I2(C) I2> Cl2> Fe3+(D) Cl2> I2> Fe3+12.下列各组物质气化或熔化时,所克服的微粒间的作用(力),属同种类型的是(A)碘和干冰的升华(B)二氧化硅和生石灰的熔化(C)氯化钠和铁的熔化(D)苯和已烷的蒸发13．下列反应的离子方程式不正确．．．的是：(B)铜片插入硝酸银溶液:Cu+Ag+=Cu2++Ag(D)硫氰化钾溶液加入三氯化铁溶液:Fe3++SCN-=[Fe(SCN)]2+14.下列各组离子中,在碱性溶液里能大量共存,且溶液为无色透明的是15.分别由下列四组物质制取气体:①浓盐酸和MnO2;②(NH4)2SO4和Ca(OH)2;③NaCl和H2SO4(浓);④FeS和H2SO4(稀).所产生的气体在同温同压下的密度,由小到大的排列顺序为(A)②<④<③<①（B）②<④<①<③(C)③<①<④<②（D）①<③<④<②16.某无色混和气体可能含有CO2、CO、H2O(水蒸气)、H2中的一种或几种依次．．进行如下处理（假定每次处理都反应完全）：①通过碱石灰时，气体体积变小;②通过赤热的氧化铜时,固体变为红色;③通过白色硫酸铜粉末时,粉末变为蓝色;④通过澄清的石灰水时,溶液变得浑浊.由此可以确定原混和气体中(A)一定含有CO2、H2O,可能含有H2、CO(B)一定含有H2O、CO,可能含有CO2、H2(C)一定含有CO、CO2,可能含有H2O、H2 (D)一定含有CO、H2,可能含有H2O、CO217.关于实验室制备乙烯的实验,下列说法正确的是(A)反应物是乙醇和过量的3摩/升硫酸的混和液(B)温度计插入反应溶液液面以下,以便控制温度在140℃(C)反应容器(烧瓶)中应加入少许瓷片(D)反应完毕先灭火再从水中取出导管18.烯烃在一定条件下发生氧化反应时,C=C双键发生断裂,RCH=CHR'可以氧化成RCHO和R'CHO.在该条件下,下列烯烃分别被氧化后,产物中可能有乙醛的是(A)CH3CH=CH(CH2)2CH3 (B)CH2=CH(CH2)3CH3(C)CH3CH=CHCH=CHCH3(D)CH3CH2CH=CHCH2CH319.10毫升某种气态烃,在50毫升氧气里充分燃烧,得到液态水和体积为35毫升的混和气体(所有气体体积都是在同温同压下测定的),则该气态烃可能是(A)甲烷(B)乙烷(C)丙烷(D)丙烯20.下图表示蛋白质分子结构的一部分,图中(A)、(B)、(C)、(D)标出了分子中不同的键,当蛋白质发生水解反应时,断裂的键是21.p克某结晶水合物A·nH2O,受热失去全部结晶水后,质量变为q克,由此可以得知该结晶水合物的分子量为22.分别加热下列三种物质各100克:①KMnO4、②KClO3(另加少量MnO2)、③HgO.完全反应后,所放出的氧气量由多到少的顺序是(A)①>②>③(B)②>①>③(C)①>③>②(D)②>③>①23.今有H2和CO(体积比为1:2)的混和气体V升,当其完全燃烧时,所需O2的体积为(A)3V升(B)2V升(C)V升(D)0.5V升24.把100克10%KNO3溶液的浓度增加到20%,可以采用的方法是A、蒸发掉45克水B、蒸发掉50克水C、加入10克KNO3固体D、加入15克KNO3固体三、选择题(本题共有5小题,每小题5分,共25分。
高考理科数学试题及答案1990
高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1990年全国高考理科数学试题
一九九０年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
把所选项前的字母填在题后的圆括号内。
（1）方程412x3log =的解是 （A ）91x =（B ）33x = （C ）3x = （D ）9x =（2）把复数1+i 对应的向量按顺时针方向旋转32π，所得到的向量对应的复数是 （A ）i 231231+-+- （B ）i 231231--++- （C ）i 231231-++- （D ）i 231231--+- （３）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于 （A ）S 2S （B ）πS 2S （C ）S 4S（D ）πS 4S （4）方程x sin x 2sin =在区间)2,0(π内的解的个数 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（5）已知右图是函 数 )2|)(|x sin(2y π<ϕϕ+ω=图像，那么（A ）6,1110π=ϕ=ω （B ）6,1110π-=ϕ=ω（C ）6,2π=ϕ=ω （D ）6,2π-=ϕ=ω（6）函数ctgx|ctgx ||tgx |tgx x cos |x cos ||x sin |x sin y +++=的值域是（A ）{-2,4} (B){-2,0,4} (C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4}（7）如果直线y=ax+2与直线y=3x-b 关于y=x 对称，那么 （A ）6b ,31a == （B ） 6b ,31a -== （C ）2b ,3a -== （D ） 6b ,3a ==Y（8）极坐标方程52sin42=θρ表示的曲线是 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线（9）设全集}R y ,x |)y ,x {(I ∈=，集合}12x 3y |)y ,x {(M =--=， }1x y |)y ,x {(N +≠=那么M N 等于（A ）φ （B ）{(2,3)} （C ）（2，3） （D ）{(x,y)|y=x+1} （10）如果实数x,y 满足等式（x-2)2+y 2=3，那么xy的最大值是 (A)21(B)33 (C) 23 (D)3（11）如图，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成角等于(A)900 (B)600 (C)450 (D)300（12）已知h ＞0，设命题甲为：两个实数a,b 满足|a-b|＜2h ；命题乙为： 两个实数a,b 满足 |a-1|＜h 且|b-1|＜h.那么 （A ）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 （B ）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 （C ）甲是乙的充要条件（D ）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（13）A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A ，B 可以不相邻），那么不同的排法共有（A ）24种 （B ）60种 （C ）90种 （D ）120种（14）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 （A ）70个 （B ）64个 （C ）58个 （D ）52个（15）设函数arctgx y =的图像沿x 轴正方向平移2个单位所得到图象为C 。
1990年全国高考数学试题
1990年全国高考数学试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.[Key]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A【】[Key] (2)B(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】[Key] (3)D(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】[Key] (4)C(5)【】[Key] (5)C(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}【】[Key] (6)B(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】[Key] (7)A(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】[Key] (8)D(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】[Key] (9)B【】[Key] (10)D(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°【】[Key] (11)C(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (12)B(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种【】[Key] (13)B(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个【】[Key] (14)C(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)【】[Key] (15)D二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于.(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝.[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.[Key] 三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.[Key] (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.[Key] (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.[Key] (24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.[Key] (25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.[Key] (26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2²2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2²1²(k+1)x a+2²2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.。
超级经典1990年全国高考数学试题
选校网 高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库1990年全国高考数学试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.[Key]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A【】[Key] (2)B(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】[Key] (3)D(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】[Key] (4)C(5)【】[Key] (5)C(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}【】[Key] (6)B(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】[Key] (7)A(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】[Key] (8)D(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】[Key] (9)B【】[Key] (10)D(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°【】[Key] (11)C(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (12)B(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种【】[Key] (13)B(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个【】[Key] (14)C(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)【】[Key] (15)D二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于.(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝.[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.[Key] 三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.[Key] (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA ＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.[Key] (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.[Key] (24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.[Key] (25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.[Key] (26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.选校网 高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试90
高考数学普通高等学校招生全国统一考试90本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页：第Ⅱ卷3至4页：共150分．第I 卷注意事项：1．答题前：考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上：考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后：用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动：用橡皮擦干净后：再选涂其他答案标号：第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答：在试题卷上作答：答案无效．3．考试结束：临考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥：那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立：那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ：那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分．在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的． 1．设集合⋃--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{（ B ）= （ ）A ．{1}B ．{1：2}C ．{2}D ．{0：1：2} 2．已知==ααcos ,32tan 则（ ） A ．54 B ．－54 C ．154 D ．－533．123)(x x +的展开式中：含x 的正整数次幂的项共有 （ ）A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项 4．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ）IA ．（1：2）∪（2：3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1：3）D ．[1：3]5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ ）A ．周期函数：最小正周期为32πB ．周期函数：最小正周期为3πC ．周期函数：数小正周期为π2D ．非周期函数6．已知向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--= （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．将9个（含甲、乙）平均分成三组：甲、乙分在同一组：则不同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 8．在△ABC 中：设命题,sin sin sin :AcC b B a p ==命题q:△ABC 是等边三角形：那么命题p 是命题q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．矩形ABCD 中：AB=4：BC=3：沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ：则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ）A ．π12125B ．π9125 C ．π6125D ．π312510．已知实数a 、b 满足等式,)31()21(ba =下列五个关系式：①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△OAB 中：O 为坐标原点：]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ：则当△OAB 的面积达最大值时：=θ（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π12．为了解某校高三学生的视力情况：随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况：得到频率分布直方图：如右：由于不慎将部分数据丢失：但知道前4组的频数成等比数列：后6组的频数成等差数列：设最大频率为a ：视力在到之间的学生数为b ：则a , b 的值分别为（ ） A ．0,27,78 B ．0,27,83 C ．2.7,78 D ．2.7,83第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷2页：须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答：在试题卷上作答：答案无效。
【高考数学试题】1990年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试卷及答案
【高考数学试题】1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3 (D)4(5)(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝三、解答题.7(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.。
1990年全国高考数学(理科)试题
1990年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.1.方程3log 124x =的解是 A.19x =B.3x =C.x =9x = 2. 把复数1i +对应的向量按顺时针方向旋转23π，所得到的向量对应的复数是A.1122i -++B.1122i --+C.1122i -+D.1122i -+ 3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于4.方程sin 2sin x x =在区间(0,2)π内的解的个数是5.已知如图是函数2sin() ()2y x πωϕϕ=+<的图象,A.10116πωϕ==， B.10116πωϕ==-， C.26πωϕ==， D.26πωϕ==-， 6.函数cos cot sin tan sin cos tan cot x x x x y x x x x=+++的值域是 A.{}2,4- B.{}2,0,4- C.{}2,0,24-， D.{}4,2,0,4--7.如果直线2y ax =+与直线3y x b =+关于直线y x =对称,那么A.1,63a b ==B.1,63a b ==- C.3,2a b ==- D.3,6a b == 8.极坐标方程24sin 52θρ=表示对曲线是1 11A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线9.设全集{}(,),I x y x y R =∈，集合3(,)12y M x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)1N x y y x =≠+，那么M N =A.∅B.{}(2,3)C.(2,3)D.{}(,)1x y y x =+10.如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么y x的最大值是 . A.1211.如图,正三棱锥S ABC -的侧棱与底面边长相等, 如果,E F 分别为SC 、AB 的中点,那么异面直线EF 与 SA 所成的角等于A.090B.060C.045 D.030 12.已知0h >，设命题甲为：两个实数,a b 满足2a b h -<；命题乙为：两个实数,a b 满足1a h -<且1b h -<.那么A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件.B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.C.甲是乙的充要条件.D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.13.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻） 那么不同的排法共有A.24种B.60种C.90种D.120种14.以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有A.70个B.64个C.58个D.52个15.将函数y arctgx =的图像沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图像位C ，又设图像与C '与C 关于原点对称，那么C '所对的函数是A.(2)y arctg x =--B.(2)y arctg x =-C.(2)y arctg x =-+D.(2)y arctg x =+二、填空题: 本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上.16.双曲线221169y x -=的准线方程是 . 17.2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中，2x 的系数等于 .18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是数列{}n a 的前项的和，那么lim n n n na S →∞= . 19.函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值为.20.如图,三棱柱111ABC A B C -中,若,E F 分别为,AB AC的中点,平面11EB C F 将三棱柱分成体积为1V 、2V 的两部分,那么1V :2V = .三、解答题. 本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.22.已知1sin sin 4αβ+=，1cos cos 3αβ+=，求tan()αβ+的值. 23.如图,在三棱锥S ABC -中, SA ⊥底面ABC , AB BC ⊥.DE 垂直平分SC ,且分别交AC 、SC于,D E .又SA AB =,SB BC =.求以BD 为棱,以 BDE 与BDC 为面的二面角的度数. 24.设0a ≥,在复数集C 中解方程22z z a +=.25.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率2e =，已知点3(0,)2P .求这个椭圆的方程.并求椭圆上到点P 的点的坐标.26.设函数12(1)()lg x x x n n a f x n+++-+=.其中a 是实数，n 为任意给定的自然A A B D C ES数，且2n ≥.（1）如果()f x 当(],1x ∈-∞时有意义，求a 的取值范围；（2）如果(]0,1a ∈，证明：2()(2)f x f x <， 0x ≠时成立.。
1990高考数学全国卷及答案理
1990高考数学全国卷及答案理1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3 (D)4(5)(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2三、解答题.7(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C(6)B (7)A(8)D (9)B (10)D(11)C(12)B (13)B(14)C（15)D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是(26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.。
高考理科数学试题及答案1990
高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1990年全国高考数学试题
年全国高考数学试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.[]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.()【】[] ()()如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是,那么圆柱的体积等于【】[] ()()方程在区间(π)内的解的个数是()()()()【】[] ()()【】[] ()(){}(){}(){}(){}【】[] ()()如果直线＋与直线－关于直线＝对称,那么()()【】[] ()()圆()椭圆()双曲线的一支()抛物线【】[] ()(){()}()()(){()│}【】[] ()【】[] ()()如图,正三棱锥的侧棱与底面边长相等,如果、分别为、的中点,那么异面直线与所成的角等于()°()°()°()°【】[] ()()已知>.设命题甲为:两个实数满足│－│<;命题乙为:两个实数满足│－│<且││<.那么()甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件()甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件()甲是乙的充分条件()甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[] ()()五人并排站成一排,如果必须站在的右边（可以不相邻）,那么不同的排法共有()种()种()种()种【】[] ()()以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()个()个()个()个【】[] ()()设函数的图象沿轴正方向平移个单位所得到的图象为.又设图象＇与关于原点对称,那么＇所对应的函数是()()()()()()()()【】[] ()二、填空题:把答案填在题中横线上.()()()()()()的展开式中的系数等于.()已知{}是公差不为零的等差数列,如果是{}的前项的和,那()函数的最大值是.()如图,三棱柱－中,若、分别为、的中点,平面将三棱柱分成体积为、的两部分,那么＝.[] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.()有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是,第二个数与第三个数的和是.求这四个数.[] 三、解答题.()本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得.③整理得解得.代入③式得.从而得所求四个数为或.解法二:设四个数依次为①由①式得.③将③式代入②式得()(),整理得.解得.代入③式得.从而得所求四个数为或.[] ()本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设≤α≤β＜π,且点的坐标是（α,α）,点的坐标是（ββ）,则点在单位圆上.连结连结,于是⊥,若设点的坐标是（）,再连结,则有解法三:由题设得(αβ)(αβ).将②式代入①式,可得(α)(β).于是α－＝()π(β)(∈),或απ(β)(∈).若α()π(β)(∈),则α＝β＋()π(∈).于是αβ,即αβ.由此可知απ(β)(∈),即α＋β＝π(∈).所以()如图,在三棱锥中⊥底面⊥．垂直平分,且分别交、于、.又＝＝.求以为棱,以与为面的二面角的度数.[] ()本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于＝,且是的中点,因此是等腰三角形的底边的中线,所以⊥.又已知⊥∩＝,∴⊥面,∴⊥.又∵⊥底面在底面上,∴⊥.而∩＝,∴⊥面.∵＝面∩面＝面∩面,∴⊥⊥.∴∠是所求的二面角的平面角.∵⊥底面,∴⊥⊥.设＝,又因为⊥,∴∠＝°.又已知⊥,所以∠＝°,即所求的二面角等于°.解法二:由于＝,且是的中点,因此是等腰三角形的底边的中线,所以⊥.又已知⊥∩＝∴⊥面,∴⊥.由于⊥底面,且是垂足,所以是在平面上的射影.由三垂线定理的逆定理得⊥;又因∈是在平面上的射影,所以在平面上的射影在上,由于∈,所以在平面上的射影也在上,根据三垂线定理又得⊥.∵面面,∴∠是所求的二面角的平面角.以下同解法一.()设≥,在复数集中解方程││＝.[] ()本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设＝,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得或.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形.若,即求原方程的实数解.此时,①式化为││.③(Ⅰ)令>,方程③变为＋.④.由此可知:当时,方程④无正根;(Ⅱ)令<,方程③变为.⑤.由此可知:当时,方程⑤无负根;当>时,方程⑤有负根.(Ⅲ)令,方程③变为.由此可知:当时,方程⑥有零解;当>时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当时;.情形.若,由于的情形前已讨论,现在只需考查≠的情形,即求原方程的纯虚数解(≠).此时,①式化为││.⑦(Ⅰ)令>,方程⑦变为,即().⑧由此可知:当>时,方程⑧无实根.当≤时解方程⑧得±,从而,当时,方程⑧有正根;当<≤时,方程⑧有正根±.(Ⅱ)令<,方程⑦变为,即().⑨由此可知:当>时,方程⑨无实根.当≤时解方程⑨得±,从而,当时,方程⑨有负根;当<≤时,方程⑨有负根±所以,原方程的纯虚数解是:当时±;当<≤时,±()±().而当>时,原方程无纯虚数解.解法二:设代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得或.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形.若,即求原方程的实数解.此时,①式化为││.即││.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形.若,由于的情形前已讨论,现在只需考查≠的情形,即求原方程的纯虚数解(≠).此时,①式化为││.即││││.④当时,因≠,解方程④得││,即当时,原方程的纯虚数解是±.当<≤时,解方程④得,即当<≤时,原方程的纯虚数解是.而当>时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为││是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即或(≠).情形.若.以下同解法一或解法二中的情形.情形.若(≠).以下同解法一或解法二中的情形.解法四:设(θθ),其中≥≤θ<π.代入原方程得θ＋θ＝.于是原方程等价于方程组情形.若.①式变成.③由此可知:当时是方程③的解.当>时,方程③无解.所以,当时,原方程有解;当>时,原方程无零解.考查>的情形.(Ⅰ)当时,对应的复数是±.因θ,故①式化为.④.由此可知:当时,方程④无正根;当>时,方程④有正根.所以,当>时,原方程有解.(Ⅱ)当时,对应的复数是±.因θ,故①式化为,即(),⑤由此可知:当>时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当时,方程⑤有正根;.所以,当时,原方程有解±;当<≤时,原方程有解当>时,原方程无纯虚数解.[] ()本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中>>待定≤θ<π.设椭圆上的点()到点的距离为,则大值,由题设得,因此必有,由此可得.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中>>待定.,设椭圆上的点()到点的距离为,则其中.由此得,由此可得.所求椭圆的直角坐标方程是≥.(Ⅰ)如果()当∈(∞]时有意义,求的取值范围;(Ⅱ)如果∈(],证明()<()当≠时成立.[] ()本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解()当∈(∞]时有意义的条件是…()>∈(∞]≥,上都是增函数,在(∞]上也是增函数,从而它在时取得最大值也就是的取值范围为(Ⅱ)证法一()<()∈(]≠.即[…()]<[…()]∈(]≠.②现用数学归纳法证明②式.（）先证明当时②式成立.假如<<≠,则()·≤()<().假如≠,因为≠,所以因而当时②式成立.（）假如当(≥)时②式成立,即有[…()]<[…()] ∈(]≠,那么,当∈(]≠时[(…)()](…)(…)()()<(…)(…)()()(…)[··()·()…()]()<(…){[()][()]…[()]}()]()[…()]≤()[…()],这就是说,当时②式也成立.根据(),()可知,②式对任何≥(∈)都成立.即有()<()∈(]≠.证法二:只需证明≥时因为其中等号当且仅当…时成立.利用上面结果知,当≠时,因≠,所以有[…()]<[…()].当<<≠时,因<,所以有[…()]≤[…()]<[…()].即有()<()∈(]≠.。
高考数学全国卷及答案理
1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4(5)(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h。
命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝三、解答题.7(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
1990年全国高考数学(文科)试题
1990年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题:本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.1.方程3log 124x=的解是A.19x=B.3x=C.x=9x=2. 202000cos75cos15cos75cos15++的值等于A.232C.54D.14+3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于4.把复数1i+对应的向量按顺时针方向旋转23π，所得到的向量对应的复数是A.1122i-++B.1122i--+5.双曲线221169y x-=的准线方程是A.y=x=165x=± D.165y=±6.已知如图是函数2sin() ()2y xπωϕϕ=+<的图象,A.10116πωϕ==， B.10116πωϕ==-，C.26πωϕ==， D.26πωϕ==-，7.设命题甲为: 05x<<；命题乙为: 23x-<.那么A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件.111B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.C.甲是乙的充要条件.D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.8.函数cos cot sin tan sin cos tan cot x x x x y x x x x=+++的值域是 A.{}2,4- B.{}2,0,4- C.{}2,0,24-， D.{}4,2,0,4--9.如果直线2y ax =+与直线3y x b =+关于直线y x =对称,那么 A.1,63a b == B.1,63a b ==- C.3,2a b ==- D.3,6a b == 10.如果抛物线2(1)y a x =+的准线方程是3x =-,那么这条抛物线的焦点坐标是A.(3,0)B.(2,0)C.(1,0)D.(1,0)-11.设全集{}(,),I x y x y R =∈，集合3(,)12y M x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)1N x y y x =≠+，那么M N =A.∅B.{}(2,3)C.(2,3)D.{}(,)1x y y x =+ 12.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法共有A.60种B.48种C.36种D.24种13.已知53()8f x x ax bx =++-,且(2)10f -=,那么(2)f 等于A.26B.18-C.10-D.18-14.如图,正三棱锥S ABC -的侧棱与底面边长相等,如果,E F 分别为SC 、AB 的中点,那么异面直线EF 与SA 所成的角等于A.090B.060C.045D.03015.以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有A.6个B.12个C.18个D.30个AB C S E F二、填空题: 本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上.16.已知3sin 5α=，(,)2παπ∈，那么sin 2α的值等于 . 17.2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中, 2x 的系数等于 .18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是数列{}n a 的前项的和，那么lim n n n na S →∞= . 19.如图,三棱柱111ABC A B C -中,若,E F 分别为,AB AC 的中点,平面11EB C F 将三棱柱分成体积为1V 、2V那么1V :2V = .20.如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么y x的最大值是 . 三、解答题. 本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.22.已知1sin sin 4αβ+=，1cos cos 3αβ+=，求tan()αβ+的值. 23.如图,在三棱锥S ABC -中, SA ⊥底面ABC ,AB BC ⊥.DE 垂直平分SC ,且分别交AC 、SC 于,D E .又SA AB =,SB BC =.求以BD 为棱,以BDE 与BDC 为面的二面角的度数.24.已知0a >,1a ≠,解不等式2log (43)log (21)log 2a a a x x x +--->. 25.设0a ≥,在复数集C 中解方程22z z a +=.26.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上， 离心率e =3(0,)2P 。
1990年试题全国高考数学试题及参考答案
1990年试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.[Key]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A【】[Key] (2)B(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】[Key] (3)D(A)1(B)2(C)3(D)4【】[Key] (4)C(5)【】[Key] (5)C(A){－2,4}(B){－2,0,4}(C){－2,0,2,4}(D){－4,－2,0,4}【】[Key] (6)B(7)如果直线y＝ax＋2与直线y＝3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a＝3,b＝－2(D)a＝3,b＝6【】[Key] (7)A(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】[Key] (8)D(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y＝x＋1}【】[Key] (9)B【】[Key] (10)D(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°【】[Key] (11)C(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│＜2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│＜h且│b－1│＜h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (12)B(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种【】[Key] (13)B(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个【】[Key] (14)C(15)设函数y＝arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y＝－arctg(x－2)(B)y＝arctg(x－2)(C)y＝－arctg(x＋2)(D)y＝arctg(x＋2)【】[Key] (15)D二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中,x2的系数等于.(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最大值是.(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝.[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.7(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.[Key] 三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d＝12－2a.③整理得a2－13a＋36＝0解得a1＝4,a2＝9.代入③式得d1＝4,d2＝－6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12－y,16－x①由①式得x＝3y－12.③将③式代入②式得y(16－3y＋12)＝(12－y)2,整理得y2－13y＋36＝0.解得y1＝4,y2＝9.代入③式得x1＝0,x2＝15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.[Key] (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2＋y2＝1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα＋sinβ)＝3(cosα＋cosβ).将②式代入①式,可得sin(α－)＝sin(－β).于是α－＝(2k＋1)π－(－β)(k∈Z),若α－＝(2k＋1)π－(－β)(k∈Z),则α＝β＋(2k＋1)π(k∈Z).于是sinα＝－sinβ,即sinα＋sinβ＝0.由此可知α－＝2kπ＋(－β)(k∈Z),即α＋β＝2＋2kπ(k∈Z).所以(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.[Key] (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2＋2│z│＝a.[Key] (24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x＋yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y＝0或x＝0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y＝0,即求原方程的实数解z＝x.此时,①式化为x2＋2│x│＝a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x＝a.④.由此可知:当a＝0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x＜0,方程③变为x2－2x＝a.⑤.由此可知:当a＝0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x＝1－.(Ⅲ)令x＝0,方程③变为0＝a.由此可知:当a＝0时,方程⑥有零解x＝0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a＝0时,z＝0;.情形2.若x＝0,由于y＝0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z ＝yi(y≠0).此时,①式化为－y2＋2│y│＝a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为－y2＋2y＝a,即(y－1)2＝1－a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y＝1±,从而,当a＝0时,方程⑧有正根y＝2;当0＜a≤1时,方程⑧有正根y＝1±.(Ⅱ)令y＜0,方程⑦变为－y2－2y＝a,即(y＋1)2＝1－a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y＝－1±,从而,当a＝0时,方程⑨有负根y＝－2;当0＜a≤1时,方程⑨有负根y＝－1±所以,原方程的纯虚数解是:当a＝0时,z＝±2i;当0＜a≤1时,z＝±(1＋)i,z＝±(1－)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z＝x＋yi代入原方程得于是原方程等价于方程组论.情形1.若y＝0,即求原方程的实数解z＝x.此时,①式化为x2＋2│x│＝a.即| x |2＋2│x│＝a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x＝0,由于y＝0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z ＝yi(y≠0).此时,①式化为－y2＋2│y│＝a.即－│y│2 ＋2│y│＝a.④当a＝0时,因y≠0,解方程④得│y│＝2,即当a＝0时,原方程的纯虚数解是z＝±2i.当0＜a≤1时,解方程④得,即当0＜a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2＝－2│z│＋a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z＝x或z＝yi(y≠0).情形1.若z＝x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z＝yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z＝r(cosθ＋isinθ),其中r≥0,0≤θ＜2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r＋ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r＝0.①式变成0＝a.③由此可知:当a＝0时,r＝0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a＝0时,原方程有解z＝0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k＝0,2时,对应的复数是z＝±r.因cos2θ＝1,故①式化为r2＋2r＝a.④.由此可知:当a＝0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k＝1,3时,对应的复数是z＝±ri.因cos2θ＝－1,故①式化为－r2＋2r＝a,即(r－1)2＝1－a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a＝0时,方程⑤有正根r＝2;.所以,当a＝0时,原方程有解z＝±2i;当0＜a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.[Key] (25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ＜2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b＝1,a＝2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中－byb.由此得,由此可得b＝1,a＝2.所求椭圆的直角坐标方程是n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(－∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)＜f(2x)当x≠0时成立.[Key] (26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(－∞,1]时有意义的条件是1＋2x＋…(n－1)x＋n x a>0x∈(－∞,1],n≥2,上都是增函数,在(－∞,1]上也是增函数,从而它在x＝1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)＜f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1＋2x＋…＋(n－1)x＋n x a]2＜n[1＋22x＋…＋(n－1)2x＋n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n＝2时②式成立.假如0＜a＜1,x≠0,则(1＋2x a)2＝1＋2·2x a＋22x a2≤2(1＋22x)＜2(1＋22x a).假如a＝1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n＝2时②式成立.（B）假如当n＝k(k≥2)时②式成立,即有[1＋2x＋…＋(k－1)x＋k x a]2＜k[1＋22x＋…＋(k－1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1＋2x＋…＋k x)＋(k＋1)xa]2＝(1＋2x＋…＋k x)2＋2(1＋2x＋…＋k x)(k＋1)x a＋(k＋1)2x a2＜k(1＋22x＋…＋k2x)＋2(1＋2x＋…＋k x)(k＋1)x a＋(k＋1)2x a2＝k(1＋22x＋…＋k2x)＋[2·1·(k＋1)x a＋2·2x(k＋1)x a＋…＋2k x(k＋1)x a]＋(k＋1)2x a2＜k(1＋22x＋…＋k2x)＋{[1＋(k＋1)2x a2]＋[22x＋(k＋1)2x a2]＋…＋[k2x＋(k＋1)2x a2]}＋(k＋1)2x a2]＝(k＋1)[1＋22x＋…＋k2x＋(k＋1)2x a2]≤(k＋1)[1＋22x＋…＋k2x＋(k＋1)2x a],这就是说,当n＝k＋1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)＜f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1＝a2＝…＝a n时成立.利用上面结果知,当a＝1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1＋2x＋…＋(n－1)x＋n x]2＜n[1＋22x＋…＋(n－1)2x＋n2x].当0＜a＜1,x≠0时,因a2＜a,所以有[1＋2x＋…＋(n－1)x＋n x a]2≤n[1＋22x＋…＋(n－1)2x＋n2x a2]＜n[1＋22x＋…＋(n－1)2x＋n2x a].即有2f(x)＜f(2x)a∈(0,1),x≠0.。
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1９90年高考试题
(理工农医类)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.
【】
【】
（3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于
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(４)方程sin2x=siｎx在区间(０,2π)内的解的个数是
(A)1ﻩ(Ｂ）２ﻩ(C)3ﻩ（D)４【】
(５)【】
ﻩ
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(A){-2,4}ﻩ（Ｂ）{-２,0,４｝
（C)｛-2,0,２,4}ﻩ(D){-４,-２,0,４}ﻩ
(7)如果直线y=ax+2与直线y=３x－b关于直线y＝ｘ对称，那么【】
(Ｃ)a=3，b=－2ﻩ(D)a=3,b=6
【】
(A)圆ﻩﻩﻩ(Ｂ）椭圆
（Ｃ)双曲线的一支ﻩ(D）抛物线
【】
ﻩ(B)｛（2，3)}
(C）(2，３）(D){(ｘ,y)│ｙ＝x＋１}ﻩ
【】
ﻩ
(11)如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、
F分别为SＣ、AＢ的中点,那么异面直线EF与SＡ所成的角
等于【】
(Ａ)90°(B)６0°ﻩ(Ｃ)4５°ﻩ（D）３0°ﻩ
(１2)已知h>０.设命题甲为:两个实数ａ,ｂ满足│a-b│<2
ｈ;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那
么【】
(A）甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件
（Ｂ）甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件
（C）甲是乙的充分条件
(D）甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
(13)Ａ,B，C，D，Ｅ五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（Ａ,B可以不相邻)，那么不同的排法共有【】
（A)24种(B)60种(C)90种(D)120种ﻩ
(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有【】
(A)7０个ﻩ（B)64个ﻩ(C)58个(Ｄ)5２个
(１5）设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C．又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是【】
(A)y=－arctg(ｘ-2）ﻩﻩ(Ｂ）y=aｒctg(ｘ-２)
(C)y=－arｃtg(ｘ+2）ﻩ(D）y＝arctg(x＋２）
二、填空题:把答案填在题中横线上.
(17)（ｘ-1)－（x-１)2+(x－1）3－(ｘ－１)4+(x－１)５的展开式中,x2的系数等。