高中数学证明线面平行的方法
高中数学证明几何的题的知识点总结 线面垂直线面平行点面面面的证明
高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，证明几何是一个重要的部分，特别是涉及到线面垂直、线面平行、点面面面的证明。
这些知识点是我们理解几何学的基础，掌握了这些知识点，可以更好地应用几何学的相关定理解决问题。
下面我们来总结一下关于这些知识点的证明方法。
首先是线面垂直的证明，线面垂直是指一条直线与一个平面相交成直角。
在证明线面垂直的过程中，常常使用垂直于平面的直线与这条直线的夹角为90度，并结合相关的几何定理来进行证明。
在证明直线与平面的垂直时，可以利用平行线的性质来证明。
其次是线面平行的证明，线面平行是指一条直线与一个平面平行。
在证明线面平行的过程中，常常使用有平行性质的几何图形，比如平行线、平行四边形等。
通过利用这些性质，可以简单明了地证明线面平行的关系。
在证明这些知识点的时候，我们需要注意一些技巧和方法。
首先要善于利用已知条件，根据题目中给出的条件来进行推理。
其次要善于利用几何图形的性质，结合相关定理来进行推理。
最后要善于应用代数方法，通过代数运算来证明一些几何关系。
证明几何是高中数学中非常重要的内容，能够帮助我们更好地理解几何学的相关定理和性质。
通过掌握线面垂直、线面平行、点面面面的证明方法，我们可以更好地解决各种几何问题，并提高数学解题能力。
希望以上总结对大家有所帮助，让我们共同努力，提高数学水平！第二篇示例：在高中数学中，证明几何是一个非常重要的部分，它不仅考察了学生对数学知识的掌握程度，还培养了学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
线面垂直、线面平行、点面、面面等几何关系的证明是学习数学证明的一个重要内容。
下面我们就来看一下关于这些几何关系的证明的知识点总结。
我们来介绍线面垂直的证明。
在线面垂直的证明中，一般需要用到的有以下几个重要的定理：1. 垂直平分线定理：在一个平面内，若一条线段垂直于一条线段的中点，那么这条线段垂直于这条线段。
平行线的六个判定
平行线的六个判定平行线是高中数学中的一个重要概念，也是几何学的基本定理之一。
平行线的概念最早由古希腊数学家欧几里得提出，并在《几何原本》一书中给出了平行线的六个判定。
六个判定分别是：同位角、内错角、同旁内角、同旁外角、平行线错角定理以及平行线夹角定理。
首先，同位角判定，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角之和为180°，则这两条直线是平行线。
也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的同位角之和为180°，那么这两条直线就是平行的。
这个判定可以通过实际的图形来演示和证明。
其次，内错角判定，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且内错角互补，则这两条直线是平行线。
也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的内错角（一个在两直线之间，一个在两直线之外）互为补角，那么这两条直线就是平行的。
这个判定同样可以通过实际的图形来演示和证明。
接下来是同旁内角判定，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且同旁内角之和为180°，则这两条直线是平行线。
也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的同旁内角之和为180°，那么这两条直线就是平行的。
同样地，这个判定可以通过实际的图形来演示和证明。
然后是同旁外角判定，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且同旁外角互补，则这两条直线是平行线。
也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的同旁外角（一个在两直线之外，一个在两直线之间）互为补角，那么这两条直线就是平行的。
同样地，这个判定可以通过实际的图形来演示和证明。
接下来是平行线错角定理，其原理是：如果两条直线被一条横截线所切，且错角互补，则这两条直线是平行线。
也就是说，如果有一个横截线切过两条直线，使得这两条直线上的错角（一个在两直线之间，一个在两直线之外）互为补角，那么这两条直线就是平行的。
同样地，这个判定可以通过实际的图形来演示和证明。
高中数学直线平面平行的性质及判定
一、空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5 球的表面积24R S π=二、空间几何体的体积1柱体的体积 hS V ⨯=底2锥体的体积 hS V ⨯=底313台体的体积 hS S S S V ⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积 334R V π=三、直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行， 用符号表示为a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α。
(1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件： ①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行．(2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想．(3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理.【例1】 如右图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心．求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.证：如右图，取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连结PE 、QF 、EF ， ∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点， ∴PE12A 1B 1.同理QF 12AB .又A 1B 1AB ，∴PE QF .∴四边形PEFQ 是平行四边形． ∴PQ ∥EF .又PQ ⊄平面BCC 1B 1，EF ⊂平面BCC 1B 1， ∴PQ ∥平面BCC 1B 1.222r rl S ππ+=2、平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面相交直线，则这两个平面平行．用符号表示为：a ⊂β，b ⊂β，a∩b＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α(1)运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立．(2)证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面．(3)证明平面与平面平行的方法有：判定定理、线面垂直的性质定理、定义． (4)平面与平面的平行也具有传递性.【例2】 如右图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各棱长为4，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、A 1C 1、A 1B 1的中点， 求证：平面A 1EF ∥平面BCGH .思晨分析：本题证面面平行，可证明平面A 1EF 内的两条相交直线分别与平面BCGH 平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明． 证明：△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC .又∵EF ⊄ 平面BCGH ，BC ⊂平面BCGH ， ∴EF ∥平面BCGH .又∵G 、F 分别为A 1C 1，AC 的中点，∴A 1G FC .∴四边形A 1FCG 为平行四边形． ∴A 1F ∥GC .又∵A 1F ⊄平面BCGH ，CG ⊂平面BCGH ， ∴A 1F ∥平面BCGH . 又∵A 1F ∩EF ＝F ，∴平面A 1EF ∥平面BCGH .3、直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线 与该直线平行。
高中数学证明几何的题的知识点总结 线面垂直线面平行点面面面的证明
高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明几何证明是高中数学中的重要组成部分，它不仅锻炼了学生的逻辑思维能力，还培养了严密的数学推理能力。
本文针对高中数学中常见的线面垂直、线面平行以及点面、面面关系证明的知识点进行总结，以帮助学生更好地掌握几何证明的技巧和方法。
一、线面垂直的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。
2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直。
3.证明方法：（1）利用垂直的定义，找出直线与平面内任意一条直线垂直的关系。
（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条相交直线垂直的关系。
二、线面平行的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都没有公共点，则这条直线与该平面平行。
2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条平行直线都平行，则这条直线与该平面平行。
3.证明方法：（1）利用平行的定义，找出直线与平面内任意一条直线没有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条平行直线都平行的关系。
三、点面关系的证明1.定义：如果一点在一个平面内，则这个点与该平面有公共点。
2.判定定理：如果一点与一个平面内的任意一条直线都有且只有一个公共点，则这个点在该平面内。
3.证明方法：（1）利用定义，找出点与平面内任意一条直线有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出点与平面内任意一条直线有且只有一个公共点的关系。
四、面面关系的证明1.定义：如果两个平面有公共点，则这两个平面相交。
2.判定定理：如果两个平面内分别有两条相交直线互相平行，则这两个平面平行。
3.证明方法：（1）利用定义，找出两个平面有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出两个平面内分别有两条相交直线互相平行的关系。
通过以上对高中数学几何证明知识点的总结，相信同学们在解决相关问题时会更加得心应手。
2020年高中数学03 立体几何大题解题模板(原卷版)
专题03 立体几何大题解题模板一、证明平行或垂直的主要方法：1、证明线线平行的方法：(1)利用直线平行的传递性：31//l l ，32//l l ⇒21//l l ；(2)利用垂直于同一平面的两条直线平行：α⊥1l ，α⊥2l ⇒21//l l ；(3)中位线法：选中点，连接形成中位线；(4)平行四边形法：构造平行四边形；(5)利用线面平行推线线平行：2l =βα ，β⊂1l ，α//1l ⇒21//l l ；(6)建系：),,(1111z y x l =，),,(2222z y x l =，21l l λ=⇒21//l l 。
2、证明线面平行的方法：(1)利用线面平行的判定定理(主要方法)：α⊄1l ，α⊂2l ，21//l l ⇒α//1l ；(2)利用面面平行的性质定理：βα//，β⊂1l ⇒α//1l ；(3)利用面面平行的性质：βα//，α⊄1l ，β//1l ⇒α//1l 。
(4)建系：),,(1111z y x l =，平面α的法向量),,(222z y x n =，01=⋅n l ⇒α//1l 。
3、证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的判定定理(主要方法：证明两个平面内的两组相交直线相互平行)：31//l l ，42//l l ，A l l =21 ，B l l =43 ，α⊂21l l 、，β⊂43l l 、⇒βα//；(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)：α⊥1l ，β⊥1l ⇒βα//；(3)利用平面平行的传递性：γα//，γβ//⇒βα//。
(4)建系：平面α的法向量),,(1111z y x n =，平面α的法向量),,(2222z y x n =，21n n λ=⇒βα//。
4、证明线线垂直的方法：(1)利用平行直线的性质：31l l ⊥，32//l l ⇒21l l ⊥；(2)利用直面垂直的推理：α⊥1l ，α⊂2l ⇒21l l ⊥；(3)中线法：等腰三角形中选中点，三线合一；(4)利用勾股定理的逆定理：若222c b a +=，则ABC ∆是直角三角形；(5)建系：),,(1111z y x l =，),,(2222z y x l =，021=⋅l l ⇒21l l ⊥。
高中证明线线平行的方法
高中证明线线平行的方法
在高中数学中，证明两条直线平行的方法有多种，主要包括以下几种：
1. 定义法：在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线。
2. 同位角相等法：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
3. 内错角相等法：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相同，这两条直线平行。
4. 垂直于同一条直线的两条直线平行：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
5. 平行定理：两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
6. 平行四边形的对边平行：如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边平行。
7. 梯形的两底平行：梯形的两底是平行的。
8. 三角形（或梯形）的中位线平行与第三边（或两底）：三角形（或梯形）的中位线平行于第三边（或两底）。
9. 线段比例法：一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。
这些方法在实际证明过程中可以灵活应用，需根据具体的几何图形和条件选择最适合的方法进行证明。
高中面面平行的判定方法
高中面面平行的判定方法一、什么是面面平行？面面平行是高中数学中一个重要的概念，它指的是两个或多个平面在空间中没有交点，且平面之间的距离保持不变。
在几何学中，面面平行是一个基础的概念，对于理解和解决相关问题具有重要意义。
二、判定面面平行的方法1. 点法向量法点法向量法是判定面面平行的常用方法之一。
如果两个平面的法向量平行或共线，那么这两个平面就是面面平行的。
步骤：1.确定两个平面的法向量；2.比较两个法向量的方向是否相同或相反；3.如果方向相同或相反，则两个平面是面面平行的。
2. 平行线法平行线法是另一种常用的判定面面平行的方法。
如果两个平面上的平行线在空间中没有交点，那么这两个平面就是面面平行的。
步骤：1.在两个平面上选择一条平行线；2.判断这条平行线是否与另一个平面上的任意一条线相交；3.如果没有交点，则两个平面是面面平行的。
3. 距离法距离法是判定面面平行的另一种方法。
如果两个平面之间的距离保持不变，那么这两个平面就是面面平行的。
步骤：1.计算两个平面之间的距离；2.如果距离保持不变，则两个平面是面面平行的。
三、面面平行的性质面面平行具有以下性质：1. 平行平面的法向量平行或共线如果两个平面是面面平行的，则它们的法向量平行或共线。
2. 平行平面之间的距离相等如果两个平面是面面平行的，则它们之间的距离保持不变。
3. 平行平面上的平行线不相交如果两个平面是面面平行的，则平行于一个平面的线与另一个平面上的线不相交。
4. 平行平面的交线与平行平面平行如果两个平面是面面平行的，则它们的交线与这两个平面平行。
四、面面平行的应用面面平行在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
1. 几何学中的应用在几何学中，面面平行的概念是研究平面和立体图形的基础。
通过判定面面平行，可以解决很多与平面和立体图形相关的问题，如求解平行线的性质、判断平面是否垂直等。
2. 工程中的应用在工程中，面面平行的概念常常被用于设计和建造。
例如，在建筑设计中，需要确保墙面平行，地面平行等，以保证建筑结构的稳定性和美观性。
高中数学高考总复习---直线、平面平行的判定和性质知识讲解及考点梳理
例 1、【高清课堂：直线、平面平行的判定与性质例 1】 如图所示，已知 P、Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心。 证明：PQ//平面 BCC1B1
【证明】方法一：如图，取 B1B 中点 E,BC 中点 F，连接 PE、QF、EF， 因为在三角形 A1B1B 中，P、E 分别是 A1B 和 B1B 的中点，
举一反三： 【变式】（2015 春 澄城县期末）如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形， ED⊥面 ABCD，连结 AC，AC∩BD=O， （Ⅰ）求证：面 BCF∥面 AED； （Ⅱ）求证：AO 是四棱锥 A﹣BDEF 的高．
【证明】（Ⅰ）在矩形 BDEF 中，FB∥ED， ∵FB 不包含于平面 AED，ED 平面 AED， ∴FB∥平面 AED， 同理，BC∥平面 AED， 又 FB∩BC=B， ∴平面 FBC∥平面 EDA． （Ⅱ）解：∵ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， ∵ED⊥面 ABCD，AC 面 ABCD，
2
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
2、 符号语言： 3、 面面平行的另一性质： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
符号语言：
．
要点诠释：
平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化
归的思想。三种平行关系如图：
性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行 化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。 【典型例题】
。
考点四、平面与平面平行的性质 4、 平行平面的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。
巧用4种方法判定空间直线与平面平行
第38卷第4期 2019年7月数学教学研究35巧用4种方法判定空间直线与平面平行张元国（甘肃省临泽县第一中学734200）空间直线与平面的平行问题，是近年高考命题经久不衰的热点.如何巧妙迅捷的判定空间直线与平面平行，如何在平面内寻找一条直线，以静制动，探索该直线与平面平行，本文给 出两种常见类型的4种推证策略.1判定空间直线与平面平行1.1做平行平面例1三棱柱ABC-A.BjCx 中，侧棱AA, 丄平面ABC,D,E,F 分别为棱AC,AA, ,CC 】的中点.求证:B|F 〃平面BDE.分析 如图1,取中点D ，则BQ 】//BD.又 D 1F//A l C,DE//A l C,知 D.F//DE.从而平面BD 】F 〃平面BDE,又B 】F0平 面BDE,故BiF 〃平面BDE.评注判定直线与平面平行时，若能找到 一个平行平面，则可利用面面平行迅捷推证线面平行.1.2做三角形截面例2 四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为 菱形，E,F 分别是AB,PD 的中点.求证：AF〃平面PEC.分析 如图2,过5点A,F,P,E,C 外的一点D,连DA,DF 分别交平面PEC 于点P与M,延长DA,CE 相交于点M.下面只需证图2依E 是AB 的中点，知AE = ~CD,MA= j MD,B 卩A 是MD 的中点.又F 是PD 的中点，故AF//PM,又AF0平面PEC.从而AF 〃平面PEC.评注判定直线与平面平行，关键是在平面内找一直线与平面外的直线平行.若能在确定该平面的点与确定该直线的点外再找到一个点，并过该点做一个三角形截面，则可巧妙地找 到与平面外的直线平行的平面内直线，然后利 用线段成比例，就能巧证线面平行.3做平行四边形截面例3 四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，E,F 分别是AB,PD 的中点.求证：AF〃平面PEC.分析 如图3,过A,F 两点作两平行线均与平面PEC 相交即可.收稿日期:2019-04-08作者简介：张元国（1962—）,男，甘肃张掖人，中学高级教师，研究方向：高中数学教法.E-mail ：wzq3619503@ 163.com因AE=jCD，只需取PC中点M.依FM^jCD,知AE^FM.即四边形AFME为平行四边形.从而EM//AF,又AF0平面PEC,iAAF 〃平面PEC.评注判定直线与平面平行时，若能经过平面外的直线上两点作一个与该平面都相交的平行线，就可巧妙地找到与平面外的直线平行的平面内的直线.然后通过推证该平面四边形是平行四边形，就能巧证直线与平面平行.1.4利用平面向量基本定理例4在三棱柱ABC-A1BI1中，D,E 分别为AAi，B|C的中点.求证:DE//平面ABC.分析如图4,因为DE=-DA+AC+CE—►A A i CB i—>BB?CB?"C-亍+专=—CA4-CB依平面向量基本定理，对于基底CA,CB,因DE0平面ABC,故DE〃平面ABC.评注判定直线与平面平行时，若能利用平面向量基本定理，选择基底，进行向量分解,就可利用代数方法巧证直线与平面平行.2探索直线与平面平行2.1做三角形截面例5四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形,AB//DC,AB=3DC=3,在棱PB 上确定一点E,使得CE〃平面PAD.分析如图5,延长BC与AD相交于M.过C作CE〃MP交PB于E,CE0平面PAD,则CE〃平面PAD.此时，依AB=3DC=3,知MC=jMB.评注探索直线与平面平行，若能在确定该平面的点与确定该直线的点外再找到一个点，并过该点做一个三角形截面，则可巧妙地找到与平面外的直线平行的平面内的直线，迅捷推证.2.2做平行平面例6四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA=3,F在棱PA上，AF=1,E在棱PD上.若CE〃平面BDF.求PE：ED的值.分析如图6,设AC与BD交于O,过点E作EG//FD交PA于G.又CE〃平面BDF，知平面CEG〃平面BDF,得CG〃平面BDF.又平面CGA仃平面BDF=OF，知CG// OF.依O为AC中点，知G为AP中点，从而E为PD中点，即PE>ED=1■ 1.评注探索直线与平面平行，若能找到一个平行平面，则可利用面面平行迅捷得到线面平行.2.3做平行四边形截面例7几何体EFG-ABCD的底面ABCD（下转第62页）一题多解触及了一类问题的基本活动经验和解题思想方法的联想.数学解题的综合和分析过程是以联想为中介展开的，一题多解的思考、探究、联想，有利于帮助学生积累解题经验和丰富解题方法，体现了数学知识的前后连贯性和数学思想方法的深刻性.从条件出发展开数学联想，从结论分析结（上接第36页）是平行四边形,EF//AB,FG//BC,EG//AC, AB=2EF.在线段AD上是否存在一点M,使GM〃平面ABFE.分析如图7,过两点G,M作两平行线均与平面ABFE相交.依FG//BC,AD//BC,知FG//AD，只需取AD中点M,则由CM//MA知四边形AMGF是平行四边形.从而GM//AF.又GM（t平面ABFE,故GM〃平面ABEF.因此M为AD中点.评注探索直线与平面平行，若能经过平面外的直线上两点作一个与该平面都相交的平行线，就可迅捷找到与平面外的直线平行的平面内的直线.2.4利用平面向量基本定理例8四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB〃DC,AB=3DC=3,在棱PB 上确定一点E,使得CE〃平面PAD.分析如图8,过D作DM〃CB交AB于则DM=CB.合图形特征开始联想，联想指引了解题朝合情推理方向发展，一题多解寓意引导学生对探究过程中所涉及的知识、思想方法进行梳理，多渠道、多层次寻求知识与方法之间的内在联系，在联想中寻求解题途径，学会数学思考，在联想反思中产生顿悟，愿大家多实践，多尝试，让数学解题与联想同栖同飞.设BE=XBP,^CE=CB+BE=DM+ABP=DM+X(.AP-AB)=xap-xab+1dm因CE〃平面PAD,依平面向量基本定理,对于基底方，恥，必有CE=XAP~^XAM-MD即-（令誠+加）=“命.而AM+MD=AD,Q2从而/z=1,yA=1,即入・即在棱PB上确定一点E,使BE=jBP.评注探索宜线与平面平行时，若能利用平面向量基本定理，选择基底，进行向量分解,就可利用代数方法巧证线面平行.。
证明面面平行的常用方法有哪些
证明面面平行的常用方法有哪些证明面面平行的常用方法有哪些面面平行要证明的方法是的呢?面面平行该怎么证明呢?下面就是店铺给大家整理的证明面面平行的方法内容，希望大家喜欢。
证明面面平行的方法利用向量方法判断空间位置关系,其难点是线面平行与面面垂直关系问题.应用下面的两个定理,将可建立一种简单的程序化的解题模式.定理1设MA→、MB→不共线,PQ→=xMA→+yMB→(x,y∈R),则①P∈平面MAB PQ平面MAB;②P平面MAB PQ∥平面MAB.定理2设向量AB→、AC→不共线,DE→、DF→垂直于同一平面的两个平面互相平行这个是错误的，比如立方体相邻三个面，两两垂直，显然不符合你说的平行条件，证明面面平行可以用垂直于同一直线来证，但垂直于同一平面是错的1,线面垂直到面面垂直，直线a垂直于平面1，直线a平行与或包含于平面2，所以平面1垂直于平面22，(最白痴的一个)平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面23，通过2面角的夹角，如果2面角的夹角是90度，那么两个平面也是垂直的这些方法前面都要通过方法证明，一步步才能证到这儿，譬如方法1，要先证明线面垂直，所以你也得知道线面垂直的证法有哪些。
学立体几何，重要的是空间感，没事多揣摩揣摩比划比划，把每个定理的内容用图形表示出来，并记在脑子中，这样考试的时候才能看到图和题就会知道用定理了，熟记并熟练掌握哪些定理的运用才行。
还有像这样比较好，证明每个东西都有哪些方法，有几种途径，那么做题的时候想不起来用哪个就可以根据题目条件一步步排除，并选择对的方法，一般老师上课都会总结的。
还是好好听课吧~~判定：平面平行的判定一如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
平面平行的判定二垂直于同一条直线的两个平面平行。
性质：平面平行的性质一如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
平面平行的性质二如果一条直线在一个平面内，那么与此平面平行的平面与该直线平行。
高中数学证明线面平行方法
高中数学证明线面平行方法高中数学证明线面平行方法在高中数学学习中，我们经常会遇到证明线面平行的问题。
线面平行是指直线和面两者位于同一平面内，且不相交的情况。
证明线面平行，是数学中的一种基本证明方法，需要学生掌握这种证明方法。
本篇文档将详细介绍高中数学证明线面平行的方法。
一、三视图法三视图法是通过三维图形的不同投影方式来确定直线和面是否平行的一种方法。
具体操作如下：1、确定图形的三个视图：前视图、俯视图和左视图。
2、在三个视图中，确定直线的投影，判断直线在俯视图和左视图上是否平行。
3、在三个视图中，确定面的投影，判断面在俯视图和左视图上是否平行。
4、比较直线和面的平行关系，即可确定线面是否平行。
下面通过一个例子来具体说明三视图法的具体操作：例：已知平行六面体ABCD-EFGH，其中EF与GH之间有点P，连接AP，PD。
证明AP⊥(EFGH)解：如图所示，平行六面体ABCD-EFGH的三视图如下：在俯视图中，AP和PD的投影分别为A′P′和D′P′，根据前视图可知，A′P′和D′P′是平行的。
在左视图中，EFGH的投影为E′F′G′H′，根据前视图可知，E′F′和G′H′是平行的。
由于A′P′和D′P′是平行的，所以A′P′和E′F′的夹角等于D′P′和G′H′的夹角，即L1=L3。
同时，E′F′与GH在同一平面上，所以可以通过后面的知识推理得出AP⊥(EFGH)，证毕。
二、截距法截距法是通过平面与坐标轴的截距关系来判断线面是否平行的方法。
具体操作如下：1、根据坐标轴构造出平面的方程，例如，平面的方程为ax+by+cz=d。
2、计算直线的截距，例如，直线的方程为x/a+y/b+z/c=1，截距为1/a、1/b和1/c。
3、将计算出来的直线截距代入平面方程中，得到截距关系，例如，1/a×a+1/b×b+1/c×c=d/c，可以转化为a/b+c/a=d/bc。
4、比较得到的截距关系，判断线面是否平行。
高中数学 线面、面面平行的判定与性质(教师版)
线面、面面平行的判定与性质（教师版）知识回顾1．线面平行的判定（1）直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 用符号表示为：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α． 2．线面平行的性质直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言描述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b ． 3. 面面平行的判定（1）平面α与平面β平行的定义：两平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理：下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m ，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为m ，n 相交．⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂αm ∥βn ∥β⇒α∥β 4．面面平行的性质平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ． 题型讲解题型一 利用三角形中位线证明线面平行例1、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点.求证：SA∥平面MDB.答案:证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.例2、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，求证：MN∥平面PB1C.答案证明：如图，连结AC，则P为AC的中点，连结AB1，∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，∴MN∥AB1.又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C.例3、如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．证明连接AF延长交BC于G，连接PG．在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA．∴GFFA＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG．而EF⊄平面PBC，PG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC．练习在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______．答案：平行题型二利用平行四边形证明线面平行例1、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．证明：取D1B1的中点O，连接OF，OB．∵OF 12B1C1，BE12B1C1，∴OF BE．∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO．∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1．例2、如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．证明方法一过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD．题型三利用面面平行证明线面平行例. 如图，在四棱锥中，是平行四边形，，分别是，的中点．求证：平面．答案：证明：如图，取的中点，连接，，分别是，的中点，，，P ABCDABCD M N AB PCMN//PADCD E NE ME∵M N AB PCNE PD∴//ME AD//可证明平面，平面．又，平面平面，又平面，平面．题型四面面平行的证明例1、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．题型五平行性质NE//PAD ME//PADNE ME E=∴MNE//PADMN⊂MNE∴MN//PAD例1、如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行和异面答案：A例2、ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．证明如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴AP∥GH．练习、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．跟踪训练1．如右图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能 答案：B[解析] ∵A 1B 1∥AB ，AB ⊂平面ABC ，A 1B 1⊄平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC.又A 1B 1⊂平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED∩平面ABC ＝DE ，∴DE ∥A 1B 1. 又AB ∥A 1B 1，∴DE ∥AB.2．已知直线l ，m ，平面α，β，下列命题正确的是( ) A ．l ∥β，l ⊂α⇒α∥βB ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α⇒α∥βC ．l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β⇒α∥βD ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝M ⇒α∥β 答案：D3、直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( )A．至少有一条 B．至多有一条C．有且只有一条 D．没有答案：B4、给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：B5．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案：A6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案：平行四边形[解析]∵平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH的形状是平行四边形．7. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D.证明：如图所示，连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O是AC1的中点．∵点D是AB的中点，∴OD∥BC1.又∵OD⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD 1B1．证明如图所示，连接SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．9．（本小题满分12分）在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形， M、N分别为AB、SC的中点，SA⊥底面ABCD．求证：//MN平面SAD；答案．证明（Ⅰ）： E 为SD 中点，连接AE ，NE ，因为M 、N 分别为AB 、SC 的中点，所以AM//EN ，AM=EN ，即四边形AMNE 是平行四边形，所以MN//AE ，可得//MN 平面SAD ；10. 一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；(2)求多面体A －CDEF 的体积．答案 由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且AB =BC =BF=2，DE =CF=2，∴∠CBF =. (1)证明：取BF 的中点G ，连结MG 、NG ，由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面CDEF .(2)取DE 的中点H .∵AD =AE ，∴AH ⊥DE ， 在直三棱柱ADE-BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面A DE ∩平面CDEF=DE .∴AH ⊥平面CDEF.∴多面体A-CDEF 是以AH 为高，以矩形CDE F 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH =. S 矩形CDEF =DE ·EF =4，∴棱锥A-CDEF 的体积为2222V=·S 矩形CDEF ·AH =×4×= 解法2：13218222323A CDEF AED BFC A BFCAED V V V S AB S AB ---=-=⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△△BFC 11如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．答案 存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F 为AB的中点，证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ∥CF ，又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1，∴CF ∥平面ADD 1A 1.又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1，DD 1⊂平面ADD 1A 1，∴CC 1∥平面ADD 1A 1，又CC 1、CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ，∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1.12. 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．答案 存在．证明如下：取棱PC 的中点F ，线段PE 的中点M ，连接BD .设BD ∩AC ＝O .连接BF ，MF ，BM ，OE .13132283∵PE ∶ED ＝2∶1，F 为PC 的中点，M 是PE 的中点，E 是MD的中点，∴MF ∥EC ，BM ∥OE .∵MF ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴MF ∥平面AEC ，BM ∥平面AEC .∵MF ∩BM ＝M ，∴平面BMF ∥平面AEC .又BF ⊂平面BMF ，∴BF ∥平面AEC .13. (北京)如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ；(2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由．答案 (1)证明：因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE ∥PC .又因为DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ，所以DE ∥平面BCP .(2)证明：因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点所以DE ∥PC ∥FG ，DG ∥AB ∥EF ，所以四边形DEFG 为平行四边形．又因为PC ⊥AB ，所以DE ⊥DG ，所以四边形DEFG 为矩形．(3)存在点Q 满足条件，理由如下：连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点．由(2)知，DF ∩EG ＝Q ，且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN .与(2)同理可证四边形MENG 为矩形，其对象线交点为EG 的中点Q ，且QM ＝QN ＝12EG ，所以EG 的中点Q 是满足条件的点．。
高中数学专题-直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面平行的判定及其性质一、线线平行的证明方法（一）利用平行四边形；（二）利用三角形或梯形的中位线或平移；（三）如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行；（线面平行的性质定理）（四）如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行；（面面平行的性质定理）（五）如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行；（线面垂直的性质定理）（六）平行于同一条直线的两条直线平行；（七）夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
（需证明）二、线面平行的证明方法（一）定义法：直线与平面没有公共点；（二）如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行；（线面平行的判定定理）（三）两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。
三、面面平行的证明方法（一）定义法：两平面没有公共点；（二）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行；（面面平行的判定定理）（三）平行于同一平面的两个平面平行；（四）经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行；（五）垂直于同一直线的两个平面平行。
相关例题1．通过“平移”再利用平行四边形的性质① 如图,四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；② 如图,已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB ＝1,BC ＝2,CD ＝1＋3,过A 作AE ⊥CD,垂足为E,G 、F分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；③ 已知直三棱柱ABC －A1B1C1中,D, E, F 分别为AA1, CC1, AB 的中点, M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C1D ⊥BC ； （Ⅱ）C1D ∥平面B1FM.DA 1AF（第1题图）④如图所示, 四棱锥P-ABCD底面是直角梯形,,,ADCDADBA⊥⊥CD=2AB, E为PC的中点, 证明://EB PAD平面;【相关点拨】①取PC的中点G,连EG.,FG,则易证AEGF是平行四边形；②取DB的中点H,连GH,HC则易证FGHC是平行四边形；③连EA,易证C1EAD是平行四边形,于是MF//EA；④取PD的中点F,连EF,AF则易证ABEF是平行四边形2．利用三角形、梯形中位线的性质①如图,已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点,求证：AM∥平面EFG。
高中数学直线、平面平行的判定与性质
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1 的中点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形; (2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
1 (1)在△B1D1C1中得EF∥B1D1且EF= 2 B1D1 在正方体中得 1 BD������ B1D1 EF∥BD且EF= BD 四边形BDFE为梯形 2
证明 证法一:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接 MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD. 又AP=DQ,∴PE=QB, 又PM∥AB∥QN, ∴ = = = ,∴ = , 又AB=DC, ∴PM������ QN,∴四边形PMNQ为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE.§8Leabharlann 4直线、平面平行的判定与性质
知识清单
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.判定直线与直线平行的方法
(1)平行公理:a∥b,b∥c⇒① a∥c ; (2)线面平行的性质定理:a∥β,a⊂α,α∩β=b⇒② a∥b ;
(3)面面平行的性质定理:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒③ a∥b ;
(4)垂直于同一个平面的两条直线④ 平行 ; (5)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交 线平行.
∴ = ,
∴MQ∥AD,又AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面BCE,又PM∩MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
又PQ⊂平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.
方法 2 判定或证明面面平行的方法
1.利用面面平行的定义(此法一般伴随反证法证明). 2.利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面,那么这两个平面平行. 3.证明两个平面都垂直于同一条直线. 4.证明两个平面同时平行于第三个平面.
高中数学证明线面平行方法
高中数学证明线面平行方法一.线面平行判断方法(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
>>>二.证明线面平行的方法一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内版二，面外一直线上不同两点到面的权距离相等，强调面外三，证明线面无交点四，反证法(线与面相交，再推翻)五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)>>>三.高中数学必考知识点必修一：1、集合与函数的概念 (这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解)首先，在高中必考数学知识点归纳整理，集合的初步知识与其他知识点密切联系。
它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。
所以同学在集合与函数的概念一定要学扎实。
同学们应该知道，函数在高中是最重要的基本概念之一，老师运用有关的概念和函数的性质，培养学生的思维能力。
必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
立体几何这部分对高一同学是难点，因为需要同学立体意识较强。
在学习立体几何证明：垂直(多考查面面垂直)、平行在学习空间几何体、点、直线、平面之间的位置关系时，重点要帮助学生逐步形，逐步掌握解决立体几何的相关问题。
必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容。
在学习算法初步、统计等内容的时候，要注意顺序渐进，不可追求一步到位，特别要注意其思想的重要性。
必修四：1、基本初等函数(三角函数：图像、性质、高中重难点)这个是高考中占分最多的题目。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
高中线面平行的判定方法(一)
高中线面平行的判定方法(一)高中线面平行的判定方法在几何学中，平行是一个基本的概念，可以被应用于许多场景之中。
高中线面平行的判定是其中的一个重要主题。
在本篇文章中，我们将会介绍三种判定高中线面平行的方法。
方法一：使用定理在几何学中，我们学过许多重要的定理，它们可以被应用于不同的场景之中。
以下是一些可以用于判定高中线面平行的定理：•平行线的交角相等定理•平行面的截线平行定理•平面平行定理使用这些定理，我们可以判断高中线面是否平行。
方法二：使用公式在高中数学中，我们学过许多不同的公式，其中一些可以用于判定高中线面是否平行。
下面是其中一些公式：•高中线的斜率公式•平面的法向量公式•高中线和面的向量公式使用这些公式，我们可以计算出高中线和面的斜率、法向量和向量，进而判断它们是否平行。
方法三：使用实例在实际的学习和工作中，我们可能需要判断高中线面是否平行，这时我们可以使用实例来进行判断。
例如，在平面几何中，我们可以画出一条高中线和一个面，并通过目测来判断它们是否平行。
总结在本篇文章中，我们介绍了三种判定高中线面平行的方法：使用定理、使用公式和使用实例。
每种方法都有其各自的优点和限制，我们可以根据具体的情况选择其中的一种方法来进行判断。
但无论使用哪种方法，我们都需要在精确计算的同时，注重形象化的理解和实际应用。
附加内容除了以上三种方法外，还有其他一些可以判定高中线面平行的方法，包括：•面的三点共线定理•面的平行四边形法则•点的坐标公式这些方法也可以被用于判断高中线面是否平行。
然而，它们通常需要更多的计算和判断，因此我们在实际应用中需要谨慎使用。
需要注意的是，这些判定方法仅适用于高中线和面在三维空间中的情况。
如果涉及到其他维度的空间或更高级别的数学领域，我们可能需要使用更加复杂的方法来判断高中线面是否平行。
总结在本篇文章中，我们介绍了几种判定高中线面平行的方法，包括使用定理、公式、实例以及其他方法。
这些方法可以帮助我们判断高中线面是否平行，而不必通过猜测或估算的方式来得到答案。
线面平行的判定方法
线面平行的判定方法哎呀，说到线面平行的判定方法，这可真是个技术活儿，不过别担心，咱们今天就用大白话聊聊这个事儿，保证不会让你头大。
记得那是一个阳光明媚的下午，我在公园里溜达，突然就看到一群小朋友在玩滑梯。
那个滑梯啊，就是那种直上直下的，两边有扶手，中间是滑道。
我看着小朋友们一个个滑下来，心里突然冒出个想法：这滑梯的扶手和滑道，不就是线面平行的最好例子吗？你看，滑梯的扶手是两条直线，而滑道呢，就是一个平面。
这两条直线，不管小朋友怎么滑，它们都不会相交，始终保持着一定的距离。
这就是线面平行的判定方法之一，直线和平面不相交。
但是，光说不练假把式，咱们还得来点实际的。
比如说，你手里拿着一根直尺，然后你把直尺放在桌面上，直尺和桌面之间没有交点，这就是线面平行的另一个例子。
你再试试，把直尺转动一下，如果它始终不和桌面相交，那它就是和桌面平行的。
说到这儿，我突然想起了高中时候的数学课。
那时候，老师教我们用向量的方法来判断线面平行。
简单来说，就是如果你能找到一个向量，它既在直线上，也在平面上，那么这条直线就和这个平面平行。
这就好比你找到了一个既能在滑梯扶手上，也能在滑道上的小朋友，那这个小朋友就证明了扶手和滑道是平行的。
但是，现实生活中，我们不可能总是这么理想化。
有时候，我们得用一些小技巧来判断线面是否平行。
比如，你可以用一条细线，把它拉直，然后放在直线和平面之间，看看它们之间有没有空隙。
如果没有，那基本上就是平行的。
最后，咱们再回到那个公园的滑梯。
你看，那些小朋友玩得多开心，他们可能并不知道，他们每天玩耍的滑梯，其实就蕴含着线面平行的数学原理。
而我们，通过观察生活中的这些小细节，就能学到很多知识，这也许就是生活给我们的最好教育吧。
好了，关于线面平行的判定方法，咱们就聊到这儿。
希望我的这些大白话，能让你对这个问题有更深的理解。
下次再看到滑梯，别忘了，那可是线面平行的活教材哦！。
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高中数学证明线面平行的方法
在高中数学学习中，证明线面平行是一个常见的问题。
这个问题需要我们运用一定的数学知识和技巧，来证明两条线段或两个平面之间的平行关系。
下面介绍一些证明线面平行的方法：
1. 向量法
向量法是证明线面平行的常见方法。
我们可以用向量来表示线段和平面的方向，然后通过向量的内积来判断它们是否平行。
具体来说，如果两个向量的内积为0，那么它们就是垂直的；如果内积不为0，那么它们就是平行的。
例如，如果要证明直线AB与平面P平行，则可以假设向量AB和平面P的法向量n不平行。
然后计算向量AB和n的内积，如果结果为0，则AB与P垂直；如果结果不为0，则AB与P平行。
2. 三角形相似法
如果两个平行线段或两个平面之间的平行关系不容易用向量法证明，可以使用三角形相似法。
具体来说，我们可以选择一个三角形，在两个平行线段或平面上各取一个点，然后通过证明两个三角形相似来证明它们平行。
例如，如果要证明平面P和平面Q平行，则可以选择一个三角形ABC，在平面P上取点A和B，在平面Q上取点C，然后证明三角形ABC和三角形ACB相似，从而得出平面P和平面Q平行的结论。
3. 平行四边形法
平行四边形法是证明线段平行或平面平行的一种简单方法。
具体来说，我们可以找到一个平行四边形，其中两条边分别是要证明平行的线段或平面，然后证明它的另外两条边也平行，从而得出结论。
例如，如果要证明线段AB与线段CD平行，则可以找到一个平行四边形ABCD，其中AB和CD是相邻的两条边，AC和BD是另外两条边，然后证明AC和BD也平行，从而得出线段AB与线段CD平行的结论。
综上所述，证明线面平行的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
除了上述方法，还有投影法、反证法等方法。
大家可以尝试学习和运用这些方法，提高数学证明的能力。