用空间向量解决立体几何中的平行问题

§3.2 立体几何中的向量方法

第1课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题

学习目标 1.了解空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．

知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 (1)用向量表示直线的位置

(2)用向量表示平面的位置

①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b 来确定：

②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：

(3)直线的方向向量和平面的法向量

知识点二 平面的法向量及其求法

在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；

(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)；

(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

n ·

a ＝0，n ·

b ＝0；

(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量． 知识点三 用空间向量处理平行关系

设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则

.

(1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√)

(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×) (3)若向量n 1，n 2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×) (4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√) (5)若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则l 1⊥l 2.(√)

类型一 求平面的法向量

例1 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．

考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量

解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC →

＝(1，－1,0)．

则有⎩⎪⎨⎪⎧

n ·AB →＝0，n ·

BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

－2x ＋y ＋3z ＝0，

x －y ＝0，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3z ，

x ＝y .令z ＝1，则x ＝y ＝3.

故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)．

反思与感悟 利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的．

跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的

空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量

解 以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ， 则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)， 则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS →

＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 向量AD →

＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的一个法向量，

则⎩⎨⎧

n ·DC →＝12

x ＋y ＝0，

n ·DS →

＝－12x ＋z ＝0，

即⎩⎨⎧

y ＝－12

x ，

z ＝1

2x .

取x ＝2，得y ＝－1，z ＝1，

故平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．

类型二 利用空间向量证明平行问题

例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .

考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量

证明 (1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1-→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →

＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →

，

即⎩⎪⎨⎪⎧

n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·

AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＝0，z 1＝－2y 1，

令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1-→·n 1＝－2＋2＝0， 所以FC 1-→

⊥n 1.

又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .

(2)因为C 1B 1-→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1-→，n 2⊥C 1B 1-→

， 得⎩⎪⎨⎪⎧

n 2·FC 1-→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·

C 1B 1-→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＝0，z 2＝－2y 2.

令z 2＝2，得y 2＝－1， 所以n 2＝(0，－1,2)，