数学函数解析式
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.x ≥0， x ＜0. 四、消去法例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 五、特殊值法例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-xx x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.。
高中数学：函数解析式的十一种方法
高中数学：函数解析式的十一种方法一、定义法 二、待定系数法 三、换元（或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法一、定义法：【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2++-+x x 65)(2+-=∴x x x f【例2】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 【解析】设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([xx f +=∴11)(【例3】设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .【解析】2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.【解析】)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ.二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .【解析】显然，)(x f 是一个一元二次函数。
函数的解析式
2-x 1-x
③,
解由 ①, ②, ③ 组成的方程组,
得:
f(x)=
x3-x2-1 2x(x-1)
.
评注:
把
f(x),
f(
x-1 x
),
f(
1 1-x
)
都看作“未x). 又如: 已知 af(x)+b1xf( )=cx, 其
中, |a|≠|b|, 求 f(x).
恨恨地说，怎么着？这评书我是每天都听的，莫非今天拉了你，就得坏了我的规矩，让我不知道肖飞是怎么从鬼子眼皮底下逃出去的？你这个女人脑子有毛病！ 我虽从感情上向着艨，但司机的话也不无道理. 别说肖飞还是有趣的故事，赶上毛头司机让你听汗毛都炸起的摇滚，不也 得忍了吗？我忙打圆场说，师傅，我这位朋友爱静，就请您把喇叭声拧小点，大家将就一下吧. 没想到首先反对我的是艨. 她说，这不是可以将就的事. 师傅愿意听《肖飞买药》，可以. 您把车停了，自个儿坐在树荫下，爱怎么听就怎么听，那是你的自由 .既然您是在从事服务性的 工作，就得以顾客为上帝. 司机故意让车颠簸起来，冷笑着说，怎么着？我就是听，你能把我如何？说完把声音扩到震耳欲聋. 艨毫不示弱地说，那你把车停下. 我们下车！ 司机说，我就不停，你有什么办法？莫非你还敢跳车？！ 艨坚定地说，我为什么要跳车？我坐 车，就是为了寻求便利. 我付了钱，就该得到相应的待遇，你无法提供合乎质量的服务，我就不付你报酬. 天经地义的事情，走遍天下我也有理. 我以为司机一定会大怒，把我们抛在公路上. 没想到在艨的逻辑面前，他真的把收音机关了，虽然脸色黑得好似被微波炉烘烤过度的虾饼. 司机终于把我们平安拉到了目的地. 下车后，我心有余悸. 艨却说，这个司机肯定会记住这件事的，以后也许会懂得尊重乘客. 吃饭时落座艨挑选的小馆，她很熟练地点了招牌菜. 艨说此次回国，除了见老朋友，最重要的是让自己的胃享享福，它被洋餐折磨得太久太痛苦了. 菜上得 很快，好像是自己的厨艺，艨一个劲地劝我品尝. 我一吃，果然不错，轮到艨笑眯眯地动了筷子，入了口，脸上却变了颜色，招来小姐. 你们掌勺的大厨，是不是得了重感冒？不舒服，休息就是，不宜再给客人做饭的. 艨很严肃地说. 小姐一路小跑去了操作间，很快回来报告说， 掌勺的人很健康，没有病的. 她一边说着，一边脸上露出嫌艨多此一举的神色. 我也有些怪艨，你也不是防疫站的官员，管得真宽. 忙说，快吃快吃，要不菜就凉了. 艨又夹了一筷子菜，仔细尝尝，然后说，既然大厨没生病，那就一定是换了厨师. 这菜的味道和往日不一样，盐 搁得尤其多. 我原以为是厨师生了感冒，舌苔黄厚，辨不出咸淡，现在可确定是换了人. 对吗？她征询地望着小姐. 小姐一下子萎靡起来，又有几分佩服地说，你的舌头真是神. 大厨今天有急事没来，菜果真是二厨代炒的. 真对不起. 小姐的态度亲切可人，我觉得大可到此为止. 不想艨根本不吃这一套，缓缓地说，在饭店里，是不应该说“对不起”这几个字的. 艨说，如果我享受了你的服务，出门的时候，不付钱，只说一声“对不起”，行吗？ 小姐不语，答案显然是否定的. 艨循循善诱地说，在你这里，我所要的一切都是付费的. 用“对不起” 这种话安慰客人，不做实质的解决，往轻点说是搪塞，重说就是巧取豪夺. 这时一个胖胖的男人走过来，和气地说，我是这里的老板，你们的谈话我都听到了，有什么要求，就同我说吧. 是菜不够热，还是原料不新鲜？您要是觉得口感太咸的话，我这就叫厨房再烧一盘，您以为如何？ 我想，艨总该借坡下驴了吧. 没想到艨说，我想要少付你钱. 老板压着怒火说，菜的价钱是在菜谱上明码标了的，你点了这道菜，就是认可了它的价钱，怎么能吃了之后杀价呢？看来您是常客，若还看得起小店，这道菜我可以无偿奉送，少收钱却是不能开例的. 艨不慌不忙地说， 菜谱上是有价钱不假，可你那是根据大厨的手艺定的单，现在换了二厨，他的手艺的确不如大厨，你就不能按照原来的定价收费. 因为你付给大厨的工钱和付给二厨的工钱是不一样的. 既然你按他们的手艺论价，为什么到了我这里，就行不通了呢？ 话被艨这样掰开揉碎一说，理就 是很分明的事了. 于是艨达到了目的. 和艨进街上的公共厕所，艨感叹地说，真豪华啊，厕所像宫殿，这好像是中国改变最大的地方. 女厕所里每一扇洗手间的门都禁闭着，女人们站在白瓷砖地上，看守着那些门，等待轮到自己的时刻. 我和艨各选了一列队伍，耐心等待. 我的那扇门还好，不断地开启关闭，不一会就轮到了我. 艨可惨了，像阿里巴巴不曾说出“芝麻开门”的口诀，那门总是庄严地紧闭着. 我受不了气味，对艨说了声，我到外面去等你啊，便撤了出去. 等了许久，许多比艨晚进去的女人，都出来了，艨还在等待……等艨终于解决问题了以 后，我对艨说，可惜你站错了队啊. 艨嘻嘻笑着说，烦你陪我去找一下公共厕所的负责人. 我说，就是门口发手纸的老大妈. 艨说，你别欺我出国多年，这点规矩还是记得的. 她管不了事. 我要找一位负责公共设施的官员. 我表示爱莫能助，不知道这类官司是找环保局还是 园林局（因为那厕所在一处公园内）. 艨思索了片刻. 找来报纸，毫不犹豫地拨打了上面刊登的市长电话. 我吓得用手压住电话叉簧，说艨你疯了，太不注意国情！ 艨说，我正是相信政府是为人民办事的啊. 我说，一个厕所，哪里值得如此兴师动众？ 艨说，不单单是 厕所. 还有邮局、银行、售票处等等，中国凡是有窗口和门口的地方，只要排队，都存在这个问题. 每个工作人员速度不同，需要服务的人耗时也不同，后面等待的人不能预先获知准确信息. 如果听天由命，随便等候，就会造成不合理、不平等、不公正……关于这种机遇的分配问题，作 为个人调查起来很困难，甚至无能为力. 比如我刚才不能一个个地问排在前面的女人，你是解大手还是解小手，以确定我该排在哪一队后…… 我说，艨你把一个简单的问题说得很复杂，简明扼要地告诉我，你打算在厕所里搞一场什么样的革命？ 艨说，要求市长在厕所里设条一 米线，等候的人都在线外，这样就避免了排错队的问题，提高效率，大家心情愉快. 北美就是这样的. 我说，艨，你在国内还会上几次厕所？还会给谁寄钱或取邮件？我们浸泡其中都置若惘闻，你又何必这样不依不饶？你已是一个北美人，马上就要回北美去，还是到那里安稳享受你 的厕所一米线吧. 艨说，这些年，我在国外，没有什么本事，就是买买东西上上街. 我不像别的留学生回国，有很多报效国家的能力. 我只是一个家庭妇女，觉得那里有些比咱高明的地方，就想让这边学了来. 这几天我让你们陪我，是想让你们明白我的心. 我不是英雄，没法振臂一 呼，宣传我的主张；也不是作家，不会写了文章，让更多的人知道我的想法. 我只有让你们从我看似乖张的举动里，感觉到这世上有一个更合理的标准存在着，可以学习借鉴. 我为艨的苦心感动，但还是说，就算你说的有理，这些事也太小了. 要知道中国有些地方连温饱都没有解决 啊. 艨说，我对中国充满信心. 温饱解决之后，马上就会遭遇这些问题. 对于普通人来说，我们流泪，有多少是为了远方的难民？基本上都是因为眼睛里进了沙子. 身边的琐事标志着文明的水准. 现代化不是一个空壳，它是一种更公正更美好的社会. 我把压在电话叉簧之上的手 指松开了，让艨去完成找市长的计划. 那个电话打了很长，艨讲了许多她以为中国可以改进的地方，十分动情. 分手的时候，艨说，有些中国人入了外国籍以后，标榜自己是个“香蕉人”，意思是自己除了外皮是黄色的，内心已变得雪白. 而我是一个“芒果人”. 我说“芒果 人”，好新鲜. 怎么讲？ 艨说，芒果皮是黄的，瓤也是黄的. 我永远爱我的祖国。 名家散文汇编：毕淑敏 风的青睐 ? 400年前的法国人蒙田，说过这样一句话——风不会对漫无目的者有所青睐…… 青睐是指一个人用黑眼珠子看着你。这是一句反话。意思是假如你有了坚定的 目的，整个大自然将帮助你。 风是什么呢？风是一股看不见摸不着的力量。风吹的时候，影响着我们，逆风或是顺风，对我们的速度和方向都强有力地制约着。就连飞机的钢铁巨翅，也不敢对风等闲置之。 人生的目的很重要。这个目的，是谁给我们预定的呢？没有人。你的父 母你的师长你的朋友，都可能参与你的目的的制定，但他们不是决定的力量。最后的赞成或是否决票，在你手里。如果你对自己说，我才不要什么人生的目的这种奇怪的东西，那么，你也是有一个目的了，那就是“虚无”。 一个没有方向感的人，如何行走呢？看看醉汉就明白了。 踉踉跄跄，东倒西歪，昏乱地嘟囔着，没有人知道他要到哪里去，更不知道他的归宿在何方……这种精神的吉普赛人，终生流浪在灵魂的荒原。 还有一些人，把某种流行的腐朽说法或是沉沦的误区，当成了自己的目的。这种镜花水月的伪目的，只能引诱感官的沉没和本能的麻痹。 目的的特征：通常是阔大的，依稀的，但它确实存在着，一如晨曦。你从未摸到晨曦，但你每天都可以看到它。即使乌云蔽日的时候，你也坚韧不拔地确信，在高远之处，晨曦依然发出红色温暖的光芒。 一个有目的的人，走路的姿势是向前的。他们通常不会在跌到之后，太长地抚 摸伤痛，短暂的昏厥之后迅速地清醒，用身边的树枝或是草叶，捆扎好伤口，蹒跚着上路了。他们走得慢，但很坚定，不会因为风险而避开既定的方向，也不会为路边一些小的花果而长期间地流连忘返。当然也有痴迷和混沌的时候，但他们能够重新恢复思考的冷静，从容向前…… 风的 青睐，是无价的礼物。只要你坚定地确立了自己的目标，努力下去，就会发现天地万物都来帮你了。 每天都冒一点险 一 ? ?"衰老很重要的标志，就是求稳怕变。所以，你想保持年轻吗？你希望自己有活力吗？你期待着清晨能在新生活的憧憬中醒来吗？有一个好办法——每天都冒一点 险。" ? ?以上这段话，见于一本国外的心理学小册子。像给某种青春大力丸做广告。本待一笑了之，但结尾的那句话吸引了我——每天都冒一点险。 ? ? "险"有灾难狠毒之意。如果把它比成一种处境一种状态，你说是现代人碰到它的时候多呢，还是古代甚至原始时代碰到的多呢？粗粗 一想，好像是古代多吧。茹毛饮血刀耕火种时，危机四伏。细一想，不一定。那时的险多属自然灾害，虽然凶残，但比较单纯。现代了，天然险这种东西，也跟热
求函数解析式及值域的基本方法
求函数解析(jiě xī)式的基本方法求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。
本文给出求函数解析式的基本方法，供广大(guǎngdà)师生参考。
一、定义(dìngyì)法根据函数的定义(dìngyì)求其解析式的方法。
例1. 已知，求。
解：因为(yīn wèi)二、换元法已知看成一个整体t，进行换元，从而求出)x(f的方法。
例2. 同例1。
解：令，所以，所以。
评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即)x(f的定义域。
三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
例3. 已知定义在R上的函数)x(f满足，求)x(f的解析式。
解：，①②得，所以。
评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
四、特殊化法通过对某变量取特殊(tèshū)值求函数解析式的方法。
例4. 已知函数(hánshù))x(f的定义域为R，并对一切(yīqiè)实数x，y都有，求)x(f的解析(jiě xī)式。
解：令，令，所以(suǒyǐ)，所以五、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。
例5. 已知二次函数)x(f的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3），方程有两个相等的实根，求)x(f的解析式。
解：因为解集为（1，3），设，所以①由方程0a 6)x (f =+ 得②因为方程②有两个相等的实根， 所以，即解得又，将①得。
六、函数(h ánsh ù)性质法利用函数的性质如奇偶性、单调(d āndi ào)性、周期性等求函数解析式的方法。
例6. 已知函数(h ánsh ù)是R 上的奇函数，当的解析(ji ě x ī)式。
解析(ji ě x ī)：因为)x (f 是R 上的奇函数， 所以，当，所以函数值域的八大求法方法一：观察法例1. 求函数的值域。
高中数学必修一人教版课件：2.1.1函数的解析式 (共11张PPT)
解：设 f (x) = kx + b
则 f [ f (x) ] = f ( kx + b ) = k ( kx + b ) + b
= k 2 x + kb + b = 4x －1
则有k
k2 b
4 b 1
2b
k
2 b
1或
k 2b
2 b
1
bfk(x2)13或2xkb112或f ( x) 2x 1
2.1.1函数的解析式
函数解析式的求法 （1）代入法 （2）换元法 （3）待定系数法 （4）解方程组法 （5）配凑法
(1)代入法
例1：已知f (x) x2,求f (3), f (a), f (x 1), f [ f (3)].
变式习12：：f (x) 3x 1, g(x) 2x 3,求f [g(x)], g[ f (x)].
变式习12：：已知f (x) 2 f (x) 2x，求f (x).
（5）配凑法
例：fx－1x＝x2＋x12＋1，求 f(x)．
解：fx－1x＝x－1x2＋1＋2＝x－1x2＋3， ∴f(x)＝x2＋3.
习：已知f (x 1) (x 1)2,求f (x).
x≠0，a 为常数，且 a≠±1，则 f(x)＝________.
习2：一次函数 f (x), 使f { f [ f (x)]} 27 x 65. 习3、已知 f ( 4x + 1 ) = 4 x 6 ，求 f (x)
16x2 1
习4、已知 f ( x + 1 ) = x + 2 x ， 求 f (x)
（2）换元法
例2：f (x 1) x2,求f (x).
数学人教版九年级下册函数解析式
函数解析式（Analytic function）函数解析式与函数式相类似都是求出函数x与y的函数关系。
在一次函数中就是求K 值也就是它俩的关系。
常用函数的解析式:一次函数y=kx+b正比例函数（也是特殊的一次函数）y=kx反比例函数y=k/x二次函数y=a*x^2+b*x+c注意：通俗地讲，函数反映的是两个变量直接的（变化）关系，严格地说，函数是两个数集之间的一种对应关系（映射）。
而“规律”首先是一个（真）“命题”，而“命题”，在逻辑学指表达判断的语言形式，由系词把主词和宾词联系而成。
例如：‘北京是中国的首都’，这个句子就是一个命题。
在现代哲学、逻辑学、语言学中，命题是指一个判断（陈述）的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。
命题不是指判断（陈述）本身。
更进一步，“规律”是事物、现象和过程内在的、本质的必然的联系。
定律(Laws) 研究宇宙间不变的事实规律所归纳出的结论，不同于理论、假设、定义、定理，是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实经验累积归纳而成的结论。
与“函数”概念相去甚远，不应混淆。
另外，函数的“表达式”最好不要笼统的称为为“解析式”。
因为很多函数并不解析（解析的概念在大学“复变函数”等课程中学习），为避免误用，最好成为“表达式”，这样更为妥当。
2构成编辑主要有两部分构成：1、表达式；2、自变量的表达范围。
例如：（1）y=2x-5(x>0) (2)y=2x-5(-3我们默认在实数范围内讨论，下同）；（4）的自变量范围是：x>=2.5；（5）·的自变量范围是：x≠2.5。
3概念思路编辑解释函数概念；函数就是根据运算规则，“算式中最少有两个互相影响的数值”，这两个数值称为(变量)。
其中一个是“自变量”（X），为什么叫“自变量”呢？因为这个数值可控，我们通过改变它来改变另一个变量（Y），另一个变量（Y）由于是受这个自变量（X）改变而得到的，所以另一个变量(Y)称为这个自变量(X)的函数（在初中旧版教材中称Y为因变量）！为什么叫“函数”？看这个词的构成，“函”的意思是什么？“函是不相隶属机关之间相互商洽工作、询问和答复问题”这个解释正好又能解释到“映射”，“不相隶属机关”就是指这两个变量，它们两个之间相互工作，相互影响。
求函数解析式的几种方法
求函数解析式的几种方法函数的表示方法有三种:解析式法、图像法、列表法,其中最常用的是解析式法,下面介绍几种求函数解析式的方法。
一、利用换元法求函数的解析式。
例1、已知函数f(ex)=x2+1,求函数f(x)的解析式。
解:设ex=t,t>0,则x=㏑t, f(t)=㏑2t+1.则f(x)=㏑2x+1 (x>0).注:已知f[g(x)]是关于x的函数即f[g(x)]=F(x) 求函数f(x)的解析式。
通常令g(x)=t,解出x=φ将x=φ代入f[g(x)]=F(x)中,求得f(t) 的解析式,再用x替换t便得f(x) 的解析式。
用换元法求函数解析式时,如果所求函数的定义域不是全体实数,需要根据实际情况标明函数的定义域.二、根据函数的奇偶性求函数的解析式。
例2、设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,﹢∞)时f(x)=x2+lg(1+x), 求函数f(x)的解析式。
解:设x∈(-∞,0),则-x∈(0,﹢∞)。
f(x)=-f(-x)=-x-lg(1-x)则当x∈(0,﹢∞),f(x)=x2+lg(1+x),x=0时,f(x)=0 x∈(-∞,0),f(x)=-x2-lg(1-x)三、消元法求函数的解析式。
例3、已知函数f(x)满足3f(x)+2f()=4x, 求函数f(x)的解析式.解:用代换x,列方程组解f(x)3f(x)+2f()=4x, 3f()+2f(x)=解得f(x)=x- 。
注:此题是利用消元法和函数奇偶性求函数的解析式.四、根据对称性求函数的解析式。
例4、已知函数f(x)=x2-2x, x∈[2,3],且f(x)关于(2,0)中心对称,求x∈[1,2]上的解析式。
解:设p(x,y)是x∈[1,2]图像上的点,则其关于(2,0)的对称点为Q(4-x,-y),则-f(x)=(4-x)2-2(4-x) f(x)=-(4-x)2+2(4-x)。
五、利用赋值法求函数的解析式。
例5、已知函数y= f(x)对任意实数x. y均满足f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)且f(0)=1,求函数y= f(x)的解析式。
高一数学求函数解析式方法总结
y fx 3 (x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
PPT课件
8
方法二：令tx1,则 xt1
f tf x1x22x2 t122t12t21，
f xx21. f 3 10. y fx 3 ( x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
换元法
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围.
解得： f x 11 x
22
PPT课件
17
解方程组法
例3 已知 f(x)+f( x-1 )=1+x (x≠0, 1), 求 f(x).
x
解: 记题中式子为①式,
用
x-1 x
代替①中的
x,
整理得:
f(
x-1 x
)+f(
1 1-x
)=
2x-1 x
②,
再用
1 代替①中的 x, 1-x
整理得:
f(
1 1-x
求函数的解析式
PPT课件
1
一.配凑法
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析 式的右端整理成只含有g(x)的形式，再 把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公 式。
已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解 析式,
PPT课件
2
已知 f(x1)x22x2，求
f(3)及 fx,fx3
PPT课件
11
例2 已知f(x)是二次函数，且
f(x 1 )f(x 1 ) 2 x 2 4 x 4 求 f (x).
解：设 f(x)a2xb xc(a 0)
f( x 1 ) f( x 1 ) 2 a 2 x 2 b 2 x a 2 c 2x24x4
a1,b2,c1
高一数学求函数解析式方法
f x x 1 2 2 y f x 3 ( x 3) 1 x 6x 10
换元法
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的 取值范围
例2.已知函数f(x)是一次函数，且经过 （1，2），（2，5）求函数y=f(x)的解析 式 分析：与上一题不同的是这一题已知函数
1 3x x 1 3 x
(1)
(2) 2 x x 0 x
x
再
见
； 彩票群 彩票群 ；
受确定：天上地下唯我独尊/它确定天地唯有の神剑/唯有の锋芒/即使确定至尊/都无法触其锋芒/ 这种感知让冰凌王难以置信/无法想象马开居然敢凝聚出这样の法则の/太过惊世骇俗咯/最让它震撼の确定/凝聚成功咯/ 敢凝聚和凝聚成功确定两佫概念/要成功凝聚这样の法则/马开の信念要多么坚定/对 天地の感悟何其之神/自己の元灵和身体要共振到何种地步/ 这吃要超出至尊の感悟/超出至尊の元灵/说说容易/但要做到/难比登天/ 马开身居至尊法/也拥有抪少圣法/更确定有无穷の法则/要从至尊法/圣法/法则中超脱出来/这几乎确定抪可能の/可确定马开做到咯/ 正如冰凌王想の那样/马开走到这壹 步十分抪易/抪只确定把自己の气海化作元气海/抪只确定凝聚无数法则/更确定抪断感悟自身/感悟天地/感悟各种法/才走到这壹步/而且十分侥幸/ 马开差壹点点就失败咯/可幸好の确定/它终于走到咯这壹步/ 此刻の马开/站到那里/所有の壹切都黯然失色/它就如同天地仅有の至尊般/立到那里锋芒毕露/ "怎么会这样/荒地二皇也心悸/这样の剧变让它们此刻还接受抪咯/雷电和地狱火还到轰击马开/但此刻效果已经有限咯/ 为咯（正文第壹壹六八部分超脱而出） 第壹壹六九部分惊世战意 终于走到咯夺天地造化の境界/马开觉得自己真の蜕变咯/血液都烙印咯自己の道和法/气海力量滂
1.2.2 函数解析式的求法
解析： (1)设f(x)＝ax＋b，则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b ＝ax＋b＋5a＝2x＋17， ∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.
(2)2f(x)＋f1x＝3x①
把①中的 x 换成1x，得 2f1x＋f(x)＝3x②
①×2－②得 3f(x)＝6x－3x，∴f(x)＝2x－1x.
五、迭代法（解放战争的三大战役）
例6 已知 f{f[f(x)]}=27x+13, 且 f(x) 是一次式, 求 f(x). 解: 由已知可设 f(x)=ax+b, 则: f[f(x)]=a2x+ab+b.
∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b. 由题意知: a3x+a2b+ab+b≡27x+13. 比较系数得: a=3, b=1. 故 f(x)=3x+1. 评注: 本题的解法除了用迭代法, 还用了待定系数法.
① ②
②×2－①得 f(x)＝2－3xx2.
四、待定系数法（对称理论）
例5 设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 求 f(x). 解: 由原式可知 f[g(x)] 中的 g(x) 一个是 2x, 另一个是 3x+1, 都是一次式. 而右端是二次式，故 f(x) 是一个二次式, 则可设:
六、数学归纳法（不懈的努力）
例7
已知
f(n+1)=2+
1 2
f(n)(n∈N+),
且 f(1)=a,
求 f(n).
解: f(1)=a =4-22+20a,
f(2)=2+
函数解析式(附答案)
3.解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程
4.定理（柯西函数方程的解）
若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x＋y)=f(x)＋f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1)
∴f(x)=ex㏑f(1)=f(1)x
令f(1)=a，则f(x)=ax(a＞0)
类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：
（1）若f(xy)=f(x)＋f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=㏒ax
（2）若f(xy)=f(x)f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=x2
f((x-1)/x)+f(1/(1-x))=1+(x-1)/x②
用(x-1)/x取代②中的所有x得
f(1/(1-x))+f(x)=1+1/(1-x)③
①+③-②得f(x)=(x^2-x^3+1)/[2x(1-x)]
简单的函数方程（一）
函数方程的概念：
1.函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x＋1)=x、f(－x)=f(x)、f(－x)=－f(x)、f(x＋2)=f(x)等。其中f(x)是未知函数
故f(x)= x2＋x＋
(2)已知f( ＋1)=x＋2 ，那麽f(x)=____________。
略解：f( ＋1)=( ＋1)2－1，故f(x)=x2－1 (x≥1)
(3)已知f(x＋ )=x2＋ ，那麽f(x)=_______________。
略解：f(x＋ )=(x＋ )2－2，故f(x)=x2－2 (|x|≥2)
对a1具体给出一个这样的非常数的函数fxxfff?fx?其中n是正整数x叫做函数fx的n次迭代函数迭代是一种特殊的函数复合形式在现代数学中占有很重要的地位尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现成为热点问题之一以引起广在数学爱好者x的表达式穿上或脱去n1个函数符号得出f程序化穿脱穿脱函数符号是一种有序的过程由内至外一层层穿上f或从外至内一层层脱去f往往是一种程序化的模式例19已知fx实验法穿脱许多情况下求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性实验是发现的源泉是发现规律的金钥匙
求函数解析式的几种方法及题型
求函数解析式的几种方法及题型【最新版3篇】篇1 目录一、引言二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法2.交点式3.顶点式4.换元法5.归纳法三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式2.已知顶点求解析式3.已知交点求解析式4.抽象复杂函数问题四、结论篇1正文一、引言求函数解析式是高中数学中的常见问题，也是高考的常规题型之一。
解决这类问题需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍几种常用的求函数解析式的方法及题型，帮助同学们更好地理解和应用这些方法。
二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法待定系数法是一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。
2.交点式交点式适用于已知抛物线与 x 轴的两个交点的情况。
通过已知的交点，我们可以得到两个方程，解这两个方程可以求得抛物线的解析式。
3.顶点式顶点式适用于已知抛物线的顶点的情况。
通过已知的顶点，我们可以得到一个方程，这个方程包含了抛物线的顶点坐标和抛物线的解析式中的待定系数。
解这个方程可以求得抛物线的解析式。
4.换元法换元法是一种通用的求函数解析式的方法，适用于各种复杂的函数问题。
通过换元，我们可以将复杂的函数问题转化为简单的函数问题，从而求得函数的解析式。
5.归纳法归纳法适用于具有一定规律的函数问题。
通过观察函数的规律，我们可以猜测函数的解析式，然后通过数学归纳法证明我们的猜测是正确的。
三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式已知函数上的三个点，我们可以通过待定系数法求解函数的解析式。
设定函数的形式为 y=ax^2+bx+c，然后将三个点的坐标代入方程，得到三个方程组成的线性方程组，解这个方程组可以求得函数的解析式。
2.已知顶点求解析式已知抛物线的顶点，我们可以通过顶点式求解抛物线的解析式。
高中数学：求函数解析式的10种常见方法
高中数学：求函数解析式的10种常见方法一、配凑法：给定$f(x+1)=x-3x+2$，求$f(x)$。
练1：设函数$f(x)=2x+3$，$g(x+2)=f(x)$，求$g(x)$。
练2：设$f(f(x))=x^2+2$，求$f(x)$。
练3：设$f(x+2)+f(x)=x^3+x$，求$f(x)$。
二、待定系数法：例1：如果反比例函数的图像经过点$(1,-2)$，那么这个反比例函数的解析式为$\frac{-2}{x-1}$，求$f(x)$。
练1：在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上有一点P，它的横坐标$m$与纵坐标$n$是方程$t^2-4t-2=0$的两个根，求$k$。
练2：已知二次函数$f(x)$满足$f(x+1)=f(x)+2x+8$，求$f(x)$的解析式。
练3：已知$f(x-2)=2x-9x+13$，求$f(x)$。
三、换元（或代换）法：例1：已知函数$f(\frac{1-x}{1+x})=\frac{1+x}{1-x}$，求：（1）$f(2)$的值；（2）$f(x)$的表达式。
练1：已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$及$f(x^2)$；练2：已知$f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{x}$，求$f(x+1)$．四、消去法：例1：设函数$f(x)$满足$f(x)+2f(\frac{1}{x})=x$，求$f(x)$．练1：已知$f(x)-2f(-x)=3x+2$，求$f(x)$．练2：已知定义在R上的函数$f(x)$满足$f(-x)+2f(x)=x+1$，求$f(x)$．练3：已知$f(x)+3f(-x)=2x+1$，求$f(x)$.练4：设函数$f(x)$满足$af(x)+bf(\frac{1}{x})=cx$（其中$a,b,c$均不为$0$，且$a\neq\pm b$），求$f(x)$．五、反函数法：例1：已知$f(a^2-x^2)=x$，求$f(x)$。
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
高中数学-求函数解析式的六种常用方法求函数解析式是高中数学中的重要内容之一，常用的方法有六种。
下面分别介绍这六种方法。
一、换元法如果已知复合函数$f[g(x)]$的解析式，要求原函数$f(x)$的解析式，可以令$g(x)=t$，求$f(t)$的解析式，再把$t$换为$x$即可。
例如，已知$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$，要求$f(x)$的解析式。
设$g(x)=\frac{1}{x}$，则$x=\frac{1}{g(x)}$，代入$f(x)$得$f(g(x))=\frac{g(x)^2+11g(x)+1}{g(x)+1}$，再令$t=g(x)$，则$f(t)=\frac{t^2+11t+1}{t+1}$，最后把$t$换为$x$，得到$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$。
二、配凑法如果已知$f(x+1)=x+2x^2$，要求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。
首先，把$x+1$视为自变量$x$，则有$f(x)=x^2-1$，但要注意函数的定义域的变化，即$x+1\geq 1$，即$x\geq 0$。
三、待定系数法如果已知函数类型，可以使用待定系数法求函数的解析式。
例如，已知二次函数$f(x)$满足$f(0)=0$，$f(x+1)=f(x)+2x+8$，要求$f(x)$的解析式。
设$f(x)=ax^2+bx+c$，代入已知条件得到$c=0$，$a+b=8$，$2a+b=0$，解得$a=1$，$b=7$，$c=0$，所以$f(x)=x^2+7x$。
四、消去法如果已知$f(x)+2f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，要求$f(x)$的解析式，可以使用消去法。
把已知中的$f(\frac{1}{x})$用$f(x)$表示出来，得到$2f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，再把$x$换成$\frac{1}{x}$，得到$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x-1}$，解得$f(x)=-\frac{x}{3(x-1)}$。
高考数学函数 解析式的求解基础知识与典型例题讲解
高考数学函数()sin y A x ωϕ=+解析式的求解基础知识与典型例题讲解在有关三角函数的解答题中，凡涉及到()()sin f x A x ωϕ=+的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得,,A ωϕ得到，本讲主要介绍求解()sin y A x ωϕ=+解析式的一些技巧和方法一、基础知识：（一）表达式的化简：1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础） （1）降幂公式：221cos21cos2cos,sin 22αααα+−==（2）2sin cos sin2ααα=（3）两角和差的正余弦公式()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα−=− ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=− ()cos cos cos sin sin αβαβαβ−=+（4）合角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan baϕ=（这是本讲的主角，也是化简的终结技）2、关于合角公式：()sin cos a b αααϕ+=+的说明书：（1）使用范围：三个特点：① 同角（均为α），②齐一次，③正余全（2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为()()sin f x A x ωϕ=+的形式了，通过以下三步：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭② 二找：由221⎛⎫⎛⎫+=，故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角），如cos ϕϕ==，可得：)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+（3）举例说明：sin y x x =+① 12sin 22y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭②1cos sin 2cos sin sin cos 23333y x x ππππ⎛⎫==⇒=+ ⎪⎝⎭③ 2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（4）注意事项：① 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角② 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子：12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可视为1sin cos 266ππ==，那么此时表达式就变为： 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式。
函数解析式练习题
函数解析式练习题函数解析式练习题函数是数学中的重要概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
函数解析式是一种用来表示函数的数学表达式。
通过练习解析式的编写和应用，我们可以更好地理解函数的性质和应用。
本文将介绍一些函数解析式练习题，帮助读者巩固对函数解析式的理解。
1. 线性函数解析式线性函数是最简单的函数之一，它的解析式可以表示为y = ax + b，其中a和b 为常数。
通过给定的a和b，我们可以画出线性函数的图像，进一步理解函数的特性。
例如，当a为正数时，函数呈现上升趋势；当a为负数时，函数呈现下降趋势。
b表示函数在y轴上的截距，即当x为0时，函数的值为b。
2. 二次函数解析式二次函数是一种常见的函数类型，它的解析式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
二次函数的图像通常呈现抛物线的形状。
通过调整a、b和c的值，我们可以观察到抛物线的开口方向、顶点位置以及对称轴的位置。
例如，当a为正数时，抛物线开口向上；当a为负数时，抛物线开口向下。
顶点的横坐标为x = -b/2a。
3. 指数函数解析式指数函数是一种以指数为自变量的函数，它的解析式可以表示为y = a^x，其中a为常数。
指数函数的图像通常呈现出递增或递减的特性。
当a大于1时，函数呈现递增趋势；当0 < a < 1时，函数呈现递减趋势。
指数函数的特点是在x轴上有一个水平渐近线，y = 0。
4. 对数函数解析式对数函数是指数函数的反函数，它的解析式可以表示为y = loga(x)，其中a为常数。
对数函数的图像通常呈现出递增或递减的特性。
当a大于1时，函数呈现递增趋势；当0 < a < 1时，函数呈现递减趋势。
对数函数的特点是在y轴上有一个垂直渐近线，x = 0。
5. 三角函数解析式三角函数是以角度为自变量的函数，它的解析式包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的解析式可以表示为y = sin(x)，余弦函数的解析式可以表示为y = cos(x)，正切函数的解析式可以表示为y = tan(x)。
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数学函数解析式
数学函数解析式是一种用于描述数学函数的表达式。
解析式通常由变量、常数、运算符和函数组成，用于表示函数的输入和输出之间的关系。
例如，线性函数的解析式可以表示为：f(x) = mx + b，其中m 和b是常数。
二次函数的解析式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b和c都是常数。
三角函数的解析式包括正弦函数f(x) = sin(x)，余弦函数f(x) = cos(x)，和正切函数f(x) = tan(x)，其中x是变量。
解析式对于研究和解决各种数学问题非常有用。
它们可以用于求解方程、计算导数和积分、进行函数图像的分析等。