1核心素养【教学设计】《负数》(人教)
初中数学教学课例《正数和负数》课程思政核心素养教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《正数和负数》
称
1、本节课初中数学教学的第一课，学生认识的第
一步。它是在小学学过的数的基础上，从表示具有相反
意义的量引入的负数，进而理解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数的意义和重新认识 教材分析
零的意义。
2、通过本课的学习帮助学生理解引入负数的必要
性，了解正数和负数是从实际需要产生的。
集合，也可以用大括号表示集合课堂练习
任意写出 6 个正数与 6 个负数，并分别把它们填入
相应的大括号里：正数集合：｛…｝，负数集合：｛…｝
（四）、课堂小结
由于实际生活中存着许多具有相反意义的量，因此
产生了正数与负数正数是大于 0 的数，负数就是在正数
前面加上“-”号的数 0 既不是正数，也不是负数，0
可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如
0℃
1、负数的产生主要是因为原有的数不能正确简洁
地表示数量，书本的例子或图片中出现的负数就是让学
课例研究综 生去感受和体验这一点。使学生接受生活生产实际中确
述
实存在着两种相反意义的量是本课的教学难点，所以在
教学中可以多举几个这方面的例子，并且所举的例子又
2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合 力分析
作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，充分调
动学生的积极性。
教学策略选
本节课主要采取教师讲授、举例子、师生共同协作
择与设计 的教学策略。 在课程的设计中，教师为引导作用，以学生为主体，
在课堂上主要以激励的话语来进行，以提高学生学习兴 趣，激发学生的学习激情。
1、知识与技能:：巩固学生小学所学整数、分数（包
人教版数学六下第一单元《负数》全单元教案
人教版数学六下第一单元《负数》全单元教案一、教学目标1.知识与能力–掌握正、负数的基本概念及运算法则。
–熟练进行正、负数的混合运算。
–理解负数在生活中的应用。
2.过程与方法–通过实际生活中的案例，引导学生思考，激发学习兴趣。
–打破传统教学模式，采用任务型教学，培养学生合作意识和解决问题的能力。
3.情感态度价值观–培养学生正确的学习态度，勇于面对困难，乐于思考。
–培养学生认真对待数学学习的态度，了解数学在现实生活中的实际意义。
二、教学重点和难点1. 重点•掌握正、负数的概念及运算法则。
•熟练进行正、负数的混合运算。
2. 难点•理解负数在生活中的应用。
•解决实际问题中的负数运算。
三、教学过程安排1. 导入（5分钟）通过一个简单的问题导入，让学生思考正数、负数的概念，并引出本节课的主题：负数。
2. 概念讲解（15分钟）1.正数、负数的概念及表示法。
2.正数、负数的大小比较。
3.正数、负数的运算规则。
3. 练习与讲解（20分钟）1.给学生一些简单的正、负数运算练习题，让学生巩固概念。
2.学生完成练习后，老师进行讲解并纠正错误。
4. 拓展应用（20分钟）结合生活中的案例，让学生进行负数运用，如欠债、海拔等。
5. 合作探究（20分钟）学生分组，完成一些实际问题的解决，鼓励学生合作讨论，培养团队合作精神。
6. 总结与展望（10分钟）复习本节课内容，让学生自主总结，并展望下节课内容。
四、教学辅助工具•教材《人教版数学六年级下册》•黑板、彩色粉笔•教学PPT五、板书设计•正数、负数的概念•正数、负数的大小比较•正数、负数的运算法则六、教学反思本节课采用了大量的实例分析和任务型学习，激发了学生的兴趣，但在教学过程中，发现学生对负数的应用理解还不够深刻，因此需要在后续教学中加强实际案例的讲解，帮助学生更好地掌握负数在生活中的应用。
以上是本节课的教学内容，希朋友们可以按照此教案进行教学实施。
人教版数学六年级下册《认识负数》教案
人教版数学六年级下册《认识负数》教案一、教学目标1.知道负数的概念和表示方法。
2.能够正确读写有关负数的数学表达式。
3.能够在实际问题中运用负数进行运算。
4.能够正确运用负数对温度、高度等概念进行描述。
二、教学重点和难点1. 教学重点•掌握负数的概念及表示方法。
•运用负数进行计算。
•实际问题中应用负数进行描述。
2. 教学难点•引导学生正确理解负数的概念。
•帮助学生熟练掌握负数的运算规则。
三、教学准备1.课件、黑板、粉笔等教学工具。
2.相关练习题及教学素材。
四、教学过程1. 导入教师通过引导学生回顾正数的概念，引导学生思考“什么是负数？”来引入本课内容。
2. 概念讲解1.通过示例向学生介绍负数的概念，例如负气温表示。
2.讲解负数的取值范围以及表示方法。
3. 运算练习1.进行基础的负数加减法练习。
2.帮助学生理解负数的运算规则。
4. 实际问题应用教师设计一些涉及负数的实际问题，让学生运用所学知识进行解答，并引导学生讨论如何用负数描述温度、高度等概念。
五、课堂小结1.对本节课所学的负数概念及运用进行概括总结。
2.引导学生对课堂内容进行回顾，并梳理主要内容。
六、作业布置布置相关练习题目，强化学生对负数的掌握。
七、教学反思1.教学中学生是否能够积极参与讨论。
2.学生对负数概念及运算是否掌握良好。
通过本节课的教学，学生应该能够基本理解负数的概念，掌握负数的运算规则，并能在实际问题中应用负数进行描述。
人教版数学六年级下册核心素养教案
人教版数学六年级下册核心素养教案基于核心素养的人教版数学六年级下册教案一、教学目标1. 知识目标：学生掌握数学六年级下册教材中的核心概念和知识点。
2. 能力目标：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学思维和创新能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和热爱，形成积极的学习态度和价值观。
二、教学内容与过程1. 教学内容：按照人教版数学六年级下册教材的安排，进行教学。
主要内容包括：负数、圆柱与圆锥、比例等。
2. 教学过程：（1）导入：通过实际生活中的例子，引导学生认识负数、圆柱与圆锥、比例等概念，激发学生的学习兴趣。
（2）新课：通过讲解、示范、讨论等方式，让学生掌握这些概念的本质属性，理解其意义和应用。
（3）巩固练习：设计具有层次性的练习题，让学生逐步掌握所学内容，提高解题能力和思维品质。
（4）总结与反思：引导学生总结所学内容，反思学习过程中的不足和问题，为今后的学习打下基础。
三、教学评价与反馈1. 评价方式：采用多种评价方式，包括口头测试、作业、课堂表现等，全面了解学生的学习情况。
2. 反馈：针对学生的表现，及时给予反馈和指导，帮助学生纠正错误，提高学习效果。
四、教学资源与环境1. 教学资源：利用多媒体课件、教具、教材等资源，丰富教学内容和形式，提高教学效果。
2. 教学环境：营造良好的教学氛围，让学生在一个轻松、愉悦的环境中学习。
五、教师专业素养与自我发展1. 教师专业素养：教师需具备扎实的数学专业知识和丰富的教学经验，能够灵活应对各种教学情况。
2. 自我发展：不断更新教学理念和方法，提升自己的教学水平和专业素养，为学生提供更好的教学服务。
1.1正数和负数(1) 教学设计2024-2025学年人教版数学七年级上册
-数学竞赛：参加一些与正数和负数相关的数学竞赛，如数学奥林匹克竞赛中的正数和负数题目。
-在线论坛：参与一些在线论坛或数学社区，与其他学生交流正数和负数的问题，互相学习和分享经验。
2.拓展要求
-鼓励学生利用课后时间进行自主学习和拓展，选择适合自己的拓展内容，提高对正数和负数概念和运算的理解。
-数学游戏：设计一些与正数和负数相关的数学游戏，如数独、接龙等，让学生在游戏中巩固知识。
-数学竞赛：推荐一些正数和负数相关的数学竞赛，鼓励学生参加，提高解决问题的能力。
-在线论坛：提供一些在线论坛或数学社区，让学生可以与其他学生交流正数和负数的问题，互相学习。
2.拓展建议
-让学生阅读数学故事，了解正数和负数的起源和发展，增强对数学的兴趣。
回顾本节课的教学过程，我对教学方法和教学效果进行了思考。首先，我在课前通过在线平台和微信群发布了预习资料和问题，引导学生自主学习，这有助于培养学生的自主学习能力和独立思考能力。然而，在监控学生的预习进度时，我发现部分学生对预习问题的理解和回答不够深入，这可能是因为预习问题的设计不够具体和明确。在未来的教学中，我需要进一步优化预习问题的设计，以提高学生的预习效果。
学生活动：
-自主阅读预习资料：学生按照预习要求，自主阅读预习资料，理解正数和负数的基本概念。
-思考预习问题：学生针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。
-提交预习成果：学生将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。
教学方法/手段/资源：
-自主学习法：教师引导学生自主思考，培养自主学习能力。
3.随堂测试：随堂测试是检测学生学习效果的有效手段。通过设计针对正数和负数概念和运算规则的题目，可以了解学生对知识的掌握程度和应用能力。
第一单元《负数》(大单元教学设计)-2023-2024学年六年级下册数学人教版
-在数轴的教学中，使用教具或动画，展示负数在数轴上的移动，帮助学生形象化理解。
-对于相反数和绝对值，可以通过画数轴和标记正负数，让学生通过观察和操作来理解相反数的关系和绝对值的几何意义。
-在实际问题应用中，设计贴近学生生活的情境题，如购物时花费和找零的负数表示，帮助学生将理论知识转化为实际解决问题的能力。
2.教学难点
-负数的抽象概念理解：六年级学生初次接触负数，难以理解抽象的负数概念，需要通过具体实例和直观教具帮助学生形成概念。
-负数的运算规则：特别是减法运算中的借位，学生容易混淆，需要通过反复练习和讲解来巩固。
-数轴上的负数表示：学生可能会对数轴上的负数位置产生困惑，需要通过动态演示和实际操作来加深理解。
-相反数和绝对值的理解：学生可能难以理解相反数的概念，以及负数绝对值的意义，需要通过具体例子和实际应用来解释。
-负数在实际问题中的应用：将负数应用于实际问题，如计算银行存款与支出、温度变化等，学生可能难以将理论知识与实际情境结合，需要教师引导和示范。
举例说明：
（1）教学重点举例：
-在讲解负数的概念时，可以通过温度计为例，讲解0℃以下表示的负温度意义。
-负数的读写与表示：掌握负数的读写方法，正确使用负号“-”表示负数。
-负数的运算规则：熟练掌握负数与正数的加减乘除运算，特别是减法运算中借位的概念。
-负数与数轴的关系：理解负数在数轴上的位置，能够通过数轴进行负数的直观表示。
-负数的相反数和绝对值：掌握相反数的概念，理解任何数的相反数性质，以及负数绝对值的计算和应用。
1.讨论主题：学生将围绕“负数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
六年级下册数学教案-《负数》人教版
一、教学内容
《负数》是六年级下册数学人教版教材第四章的内容，主要包括以下知识点：
1.负数的概念与意义：引导学生理解负数表示的意义，掌握正负数的表示方法。
2.负数的运算：学习负数的加、减、乘、除运算规则，并能熟练进行计算。
3.正负数的大小比较：掌握正数、负数及零的大小比较方法，能解决实际问题。
实践活动环节，分组讨论和实验操作让同学们积极参与，但我注意到有些小组在讨论过程中偏离了主题。为了提高讨论的效率，我应该在活动前给出更明确的讨论要求和指导，确保学生们能够围绕主题展开讨论。
学生小组讨论环节，我发现同学们对负数在实际生活中的应用有了更深入的理解，但也有一些同学在分享成果时表达不够清晰。针对这个问题，我计划在今后的教学中加强学生的表达和沟通能力训练，提高他们陈述观点的能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了负数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对负数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在本次负数的教学中，我发现学生们对负数的概念和运算规则的理解存在一定难度。在导入新课环节，通过提问同学们在日常生活中遇到的负数情境，我发现大部分同学能够积极参与，但仍有部分同学对负数的概念感到困惑。因此，在接下来的教学中，我需要更加注重对负数概概念和运算规则，并通过案例分析来加深同学们的理解。从学生的反馈来看，这种方法有一定的效果，但我觉得还可以进一步优化。例如，在讲解负数运算时，我可以增加更多实际例题，让学生在实际操作中掌握运算规则。
【核心素养目标】人教版数学七年级上册1.1 正数和负数 教案(表格式)
1.1 正数和负数一、创设情境，导入新知观看下面的视频，体会数的产生过程.师生活动：老师点击视频让学生观看，体会数的产生过程.回忆自然数的研究过程，探讨我们该如何研究数.师生活动：老师引导学生根据自然数的研究过程，说出有理数接下来研究的过程.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：正数和负数数的产生：点击红包封口查看你所扮演的角色，说说你会遇见什么样的数据.第一个红包：某天天气预报截图：第二个红包：商店销售额统计表：第三个红包：银行存款流水：师生活动：学生上台点击红包，说出红包中所观察的数字.观察同学们提到的部分数，你能找到什么规律吗？师生活动：学生思考，师生共同归纳同，老师给出定义：正数：大于0 的数.负数：在正数前面加上符号“－”(负)的数.例如：7、3、6453、1549、1864.例如：－6、－9、－10、－585.8、－293.师追问：特殊的0 呢？师生活动：学生观察分析得出：数0既不是正数，也不是负数.练一练：1.请将下列各数进行分类.正数：____________________________；负数：____________________________.知识点二：具有相反意义的量合作探究：分组讨论下列数表示的含义，并说说这样表示的意义.典例精析：例1 (1)一个月内，小明体重增加了2 kg，小华体重减少了1 kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；(2)某年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少 6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%，英国减少3.5%，意大利增长0.2%，中国增长7.5%.写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率.师生活动：让学生尝试解答，并互相交流，教师结合学生的具体活动，加以指导.师说明：在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义写出体重的增长值和进出口的增长率就暗示着用正数来表示增长的量类似的还有水位上升收入等等. 我们要在解决问题时注意体会这些指明方向的量，正确用正负数表示它们.师强调：用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，如向东或向西，收入与支出；二是它们都是数量，而且是同类的量.归纳总结：如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数来表示它们.练一练：2. 下列各对关系中，不具有相反意义的量的是( )A. 运进货物3 吨与运出货物2 吨B. 升温3℃ 与降温3℃C. 增加货物100 吨与减少货物2000 吨D. 胜3 局与亏本400 元合作探究：在温度、盈利亏损、存入和支出的数中，0 有什么特殊含义，请分组思考并举例.三、当堂练习，巩固所学1. 下列说法，正确的是( )A. 加正号的数是正数，加负号的数是负数B. 0是最小的正数C. 字母a既可为正数，也可为负数，还可为0D. 任意一个数，不是正数就是负数2.下列关于“0”的说法中，正确的有.(填序号)①0是正数与负数的分界；②0是正数；③0是自然数；④0不是整数.3.某老师要测量全班学生的身高，他以1.60米为基准，将某一小组5名学生的身高(单位：米) 简记为：﹢0.12，－0.05，0，﹢0.07，－0.02.这里的正数、负数分别表示什么意义？这5名学生的实际身高分别为多少？教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.。
初中数学《相反数》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
基于学科核心素养的教学设计
课程名称：《相反数》
姓名
教师姓名
任教学科
数学
学校
学校名称
教龄
7年
教学内容分析
教学内容
相反数是人教版七年级数学上册第一章第二节内容，主要介绍相反数的定义及符号的确定。
教学目标
（一）知识技能
1．了解相反数的概念。
2．能在数轴上表示出两个互为相反数的数，并且发现表示互为相反数的两点在原点的两侧，到原点的距离相等。
教学重点与难点
1．相反数的概念及其表示方法，理解相反数的代数定义和几何定义的一致性。
2．能准确写出任意数的相反数，对简化符号能正确应用。
教学难点
负数的相反数的表示方法，化简多重符号。
学科核心素养分析
1、加强数学思维、方法训练，形成学生数学探究能力；
2、培养转变能力；
3、注重学生的动手操作能力。
学生学情分析
通过做题，了解学生对知识的掌握程度
练习反馈
让学生通过观察发现规律，总结归纳出相反数的概念：一般地，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.目的是为培养学生的观察分析能力。
让学生理解相反数表示的是两个数的关系，不能单独存在，目的是加深学生对概念的理解与记忆。
分别对整数，分数，小数，零求相反数，进一步加深学生对相反数概念的认识与理解。
相反数的学习是学生在学习整数和分数的基础上来学习的，学生已经很熟悉整数和分数了，上节课学习了正数和负数，因此学习相反数对于学生来说简单，就是一个符号的转变问题，只要符号不会弄错，学习相反数基本没有问题，学生大脑思维比较广阔，易理解，也为后面的学习奠定的基础。
教学过程设计
认识负数说课稿(优秀4篇)
认识负数说课稿(优秀4篇)《认识负数》说课稿篇一一、教材分析1、教材的地位与作用初中七年级《数学》的第1章第1节人民教育出版社《正数与负数》是在学生对温度有一定的认识，对负数有了初步感知的基础上进行教学的。
下面我将确定教学目标。
2、教学目标教学本节课内容主要是让学生知道什么是正数和负数，它们是怎样产生的，数0表示着怎样的意义及能初步会用正、负数表示具有相反意义的量。
因为授课的对象是初中七年级的学生，他们对数学有了一定的概念，但因每个学生接受知识的能力不同，我将本节课的教学目标分为三类：①认知目标：在熟悉的生活情景中，了解负数的意义，学会用正、负数表示日常生活中具有相反意义的量，会正确地读、写负数。
②能力目标：感受正、负数和生活的密切联系，享受创造性学习的乐趣。
③情感目标：通过实际问题的解决和从不同角度对有理数分类，可提高学生应用数学能力和培养学生的分类。
3、教学重点和难点本着新课标，在吃透教材的基础上，我确立了如下的教学重点、难点。
①教学重点：了解负数的意义，学会用正、负数表示日常生活中具有相反意义的量。
②教学难点：了解负数的意义及0的内涵。
二、教学对象分析对象：初中七年级学生学生特点：学生刚刚升初中，基础不一，为了能让学生都吸收本节课的知识，我采取了以下教法与学法三、教法、学法分析1、教学方法：在本节课的讲解中，我采用了讲授法与发现法，主要包括以下方法：情境创设法：通过情境创设，引起学生注意，激发学生的学习兴趣。
案例分析法：通过对实例的分析，帮助学生更好地理解所学内容。
2、学习方法：自主探究法：研究实际问题→认识负数→负数在实际中的应用四、教学过程根据本节课教学内容及数学的学科特点，结合学生的认知水平，我设计了如下教学流程：（1）引入课题（2）新课讲解（3）课堂练习（4）知识（5）布置作业下面进行详细阐述：1、引入课题（3min、创设情境，兴趣导入p 首先展示一张标有气温的地图，同时说“同学们有没有看过天气预报呢？”学生回答后，教师就接着说，“那你们看看这张地图上的数字，它们有着怎样的区别呢？”让学生通过观察去发现其特点，根据学生的回答，我及时提出：“那你们知道它表示什么意义吗？”观察学生的反应，引入本节课所要讲解的课题。
教案：小学六年级数学《负数》教案范文三篇
近日，本站收到了三篇关于小学六年级数学《负数》教案的范文，经过认真阅读分析，笔者发现这三篇教案无论是在教学理念、教学方式还是教学内容方面都充分考虑了学生的学习特点和需求，有效地提高了学生的学习水平和兴趣。
接下来，我将分别对三篇教案进行述评，供广大教师参考借鉴。
教案一：教学目标：1.掌握正数和负数的概念和基本性质；2.掌握加减正负数的方法；3.培养学生的逻辑思维和推理能力；4.提高学生的数学综合素养。
教学重点难点：正数和负数的概念及其性质；加减正负数的方法。
教学方法：讲授、互动、小组合作。
教学步骤：一、导入环节（5分钟）通过生动有趣的负数世界故事引入“负数”概念，激发学生学习兴趣。
二、知识讲解（25分钟）1、什么是正负数；2、正负数的符号；3、正负数的大小关系；4、零的处理方法；5、加减正负数的方法。
三、小组合作（15分钟）将学生分成小组，让他们通过小组互动，共同解决实际问题。
例如让他们通过运用所学知识，在地图上寻找某个位置，根据正负数的加减处理方式，计算出两点间的距离等。
四、知识总结（5分钟）通过问答的形式将所学知识进行总结和回归，确保学生掌握所学知识点。
教案二：教学目标：1.掌握正负数的概念和运算方法；2.了解正负数的初步应用；3.培养学生的逻辑思维和推理能力；4.提高学生的数学素养和综合能力。
教学重点难点：正负数的概念和运算方法；正负数的初步应用。
教学方法：讲授、互动、实践。
教学步骤：一、导入环节（5分钟）通过学生生活中经常会遇到的场景，引入“正负数”概念。
二、知识讲解（25分钟）1、正负数的定义；2、正负数的运算法则；3、正负数的应用：例如海拔、温度、钱数等。
三、互动实践（15分钟）让学生到操场上进行游戏，例如让学生按照规定的步数行走，再让学生根据正负数的运算法则来计算他们所到达的位置。
四、知识总结（5分钟）通过问答的形式将所学知识进行总结和回归，确保学生掌握所学知识点。
教案三：教学目标：1.了解正负数的概念，初步掌握正负数；2.掌握正负数的表示方法；3.熟练掌握正负数的加减法；4.培养学生的逻辑思维和推理能力；5.提高学生的数学素养和综合能力。
六年级下册数学《负数》教案
五年级下册数学《负数》教案一、教学目标：1. 知识与技能：①学生能够理解负数的概念，掌握负数的表示方法。
②学生能够正确读写负数，并了解负数在数轴上的位置。
2. 过程与方法：①通过实际情境的引入，帮助学生感知和理解负数的意义。
②通过比较和分类的活动，引导学生归纳出正数与负数的区别。
3. 情感态度与价值观：①培养学生对数学学习的兴趣和好奇心。
②让学生认识到数学在日常生活中的应用价值。
二、教学重难点：重点：负数的概念及表示方法。
难点：理解负数的意义及其在数轴上的位置。
三、教学准备：1、多媒体课件（包含数轴的动画演示）。
2、实物温度计或其他可以表示正负数的教具。
3、练习题材料。
四、教学过程：1. 导入新课①通过提问已知的关于数的知识，为引入负数做铺垫。
你知道0℃表示什么意思吗?-6℃和6℃又分别表示什么意思?②利用多媒体展示实际情境（如温度计），引出负数的必要性。
2. 新课讲解①使用数轴模型，结合实物温度计等教具，直观展示负数的位置和意义。
②讨论正数与负数的关系，并通过举例加深理解。
③指导学生正确读写负数，并进行练习。
3. 巩固练习①分组讨论，解决一些生活中的实际问题，如计算海拔高度、账户余额等。
②完成课本或教师准备的习题，加强对负数的理解和应用能力。
4. 小结反馈①总结本节课所学内容，强调负数的重要性和应用场合。
②对学生进行提问，检查学习效果，及时给予反馈。
5. 作业布置布置适量的练习题，要求学生在家中继续巩固对负数的认识。
五、板书设计：《负数的认识》1、数轴上的负数2、负数的读法与写法3、生活中的负数应用六、教学反思（课后）：1、分析教学过程中的有效环节和需要改进的地方。
2、根据学生的反馈调整后续的教学计划。
人教课标版高中数学选修2-2《数系的扩充与复数的概念》名师教案
第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念一、教学目标1.核心素养：通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.（2）理解复数的基本概念，复代数形式及复数相等的充要条件.（3）复数的向量表示.3.学习重点：复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示.4.学习难点：复数相等的条件，复数的向量表示.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务x+=在实数集中无解.联系从自然数系任务1、阅读教材P102，思考：方程210到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？任务2、阅读教材P103，思考：复数集C和实数集R有什么关系？任务3、阅读教材P104-P105,思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？2.预习自测1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i答案：C解析：略2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，1答案：C解析：略3、如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )A.1B.0C.－1D.－1或1答案：B解析：略（二）课堂设计1.知识回顾（1）对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2.问题探究问题探究一：数系的扩充x+=，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，对于实系数一元二次方程210使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？●活动一：回顾旧知，回顾数集的扩充过程对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数（教师引导）●活动二：类比旧知，探究数系的扩充.对于实系数一元二次方程210x +=，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？我们说，实系数一元二次方程210x +=没有实数根.实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？最根本的问题是要解决－1的开平方问题.即一个什么样的数，它的平方会等于－1.我们引入一个新数i ，它的平方等于－1 ●活动三：类比探究，研究新数i 的运算性质把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定： ①虚数单位i 的平方等于-1，即21i =-②i 的周期性：41n ii +=,421n i +=-43n +4n ③实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立.有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事.这样，就可以解决前面提出的问题（1-可以开平方，而且1-的平方根是i ±）.问题探究二：复数的概念 ●活动一：理解概念，复数的代数形式 怎样表示一个复数？根据虚数单位i 的第③条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加.由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a bi +这样，数的范围又扩充了，出现了形如(,)a bi a b R +∈的数，我们把它们叫做复数.复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋bi ，(其中a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部.复数的实部、虚部满足什么条件表示实数？ 对于复数a +bi (a,b ∈R ),当且仅当b =0时,它是实数; 当且仅当a =0且b =0时,它是实数0; 当b ≠0时,叫做虚数;当a =0且b ≠0时，叫做纯虚数; ●活动二：剖析概念复数m ＋ni 的实部、虚部一定是m 、n 吗？不一定，只有当m ∈R ，n ∈R ，则m 、n 才是该复数的实部、虚部. 对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R )，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？（a =c 且b =d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等.） 任意两个实数可以比较大小，复数呢？如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小. ●活动三：完善知识体系复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系是怎样的？复数z =(,)a bi a b R +∈包括：0,0)0)0,0)a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b●活动四：复数基本概念、复数的代数形式、复数充要条件的应用 例1、实数m 为什么值时()11z m m i=++-是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数答案：见解析解析：（1）当10m -=，即1m =时，复数z 是实数； (2)当10m -≠即1m ≠时，复数z 是虚数；(3)当10,10m m +=-≠即m 1=-时，复数z 是纯虚数.点拨：本题是对实数、虚数、纯虚数概念的考察.因为m R ∈,所以()()1,1m R m R +∈-∈.由z a bi =+是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定m 的值.例2、已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i (x ∈R )，求x 的值.答案：见解析解析：由复数相等的定义得⎩⎨⎧x 2－x －6x ＋1＝0.x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3，所以x ＝3为所求.点拨：本题考察复数相等的充要条件.对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R )当且仅当a =c 且b =d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等例3、设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1＜z 2，求实数m 的取值范围. 答案：见解析解析：由于z 1＜z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0， m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1＜z 2. ∴z 1＜z 2时，实数m 的取值为m ＝1.点拨：本题考察对复数概念的理解.如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.●活动一 类比实数的几何意义，探究复数的几何意义若把a,b 看成有序实数对（a,b ），则（a,b ）与复数a +bi 是怎样的对应关系？有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系） 实数可以用数轴上的点来表示实数 一一对应实数轴上的点（几何模型）任何一个复数z =a +bi,都可以由一个有序实数对（a,b ）唯一确定.因为有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ，b )；如图：复数z =a +bi 可以用点Z （a,b ）（复数的几何形式）来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点（除了原点）都表示纯虚数例4、实数m 取什么值时，复平面内表示复数()()22815514m m m m i -++--的点（1）位于第四象限；（2）位于y =x 上. 答案：见解析解析：(1)由()22815,514m m m m -+--位于第四象限，得2281505140m m m m ⎧-+>⎨--<⎩，解得，2357m m -<<<<或(2)由()22815,514m m m m -+--位于直线y =x 上，得22815=514m m m m -+--即293m =点拨：本题考察复数的几何意义即复数z =a +bi,与点Z （a,b ）一一对应.复数z a bi =+表示的点坐标为(),a b ，分别由条件，点()22815,514m m m m -+--位于第四象限、y =x 上可得●活动二：类比探究复数的另外一个几何意义除了用平面里的点表示复数，还可以用什么表示复数？还可以用向量！ 设复平面内的点Z （相对于原点来说）也可以由向量OZ 唯一确定.反之，也成立.因此，复数z =a +bi 与OZ 也是一一对应的（实数0与零向量对应），这是复数的另一种几何意义.复数z ，点Z (a,b ),OZ 三者关系如下：复数z a bi =+复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ . 复数的向量形式.以原点O 为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数. ●活动三：探究复数的模的几何意义向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +. 由模的定义知:22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈例5、已知复数z ＝3＋ai ，且|z |<4，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：方法一：∵z ＝3＋ai (a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7).方法二：利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋ai 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合. 由图可知：－7<a <7点拨：本题考察复数的几何意义即复数的模及考察数形结合思想.例6、设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形.(1)|z |＝2；(2)1≤|z |≤2. 答案：见解析解析：(1)方法一：|z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2， 这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.方法二：设z ＝a ＋bi ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.(2)不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.点拨：解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z |表示点Z 到原点的距离，可依据|z |满足的条件判断点Z 的集合表示的图形； 二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决 3.课堂总结 【知识梳理】(1)复数的分类：复数(z =a ＋bi ，a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎨⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋bi ＝c ＋di ⇔ a ＝c 且b ＝d . (3)复数与点、向量间的对应①复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ，b )； ②复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,平面向量OZ →＝(a ，b ).(4)复数的模复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2. 【重难点突破】（1）对于复数概念，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部、虚部，然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程（或不等式）的方法求出相应参数的取值(或取值范围)（2）对于复数相等的问题.必须保证实部和虚部都分别相等.（3）对于复数的向量表示，一定先准确找出复数所表示的向量是关键. 4.随堂检测1.若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i (a ∈R )不是纯虚数，则( ) A.a ＝－1 B.a ≠－1且a ≠2 C.a ≠－1 D.a ≠2 答案：C.解析：若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数.当a 2－a －2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a ≠－1且a ≠2；当a 2－a －2＝0且|a －1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a ＝2.综上所述，当a ≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数.点拨：纯虚数的概念、复数的代数形式2.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.1 B.0 C.－1 D.－1或1 答案：B解析：由题意知⎩⎨⎧m （m ＋1）＝0m 2－1≠0∴m ＝0.点拨：复数的概念、复数的代数形式3.在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案：B解析：∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限点拨：复数几何意义4.在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A.－2－iB.－2＋iC.1＋2iD.－1＋2i 答案：B解析：∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i点拨：复数几何意义 （三）课后作业 基础型自主突破1.说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部.答案：见解析解析： 复数2+3i 的实部是2，虚部是3；-5的实部是-5，虚部是0；i 31-的实部是0，虚部是31-点拨：复数的概念、复数的代数形式2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？72+，618.0，i 72，0，i ，2i ，85+i ，i 293-实数： 虚数： 纯虚数： 答案：实数有：72+，618.0，0，2i虚数有：i 72，i ，85+i ，i 293-纯虚数有：i 72，i 解析：略点拨：复数的概念、复数的代数形式3.设O 是原点，向量,OA OB →→对应的复数分别为23,32i i --+，那么向量BA →对应的复数是（ ）.55A i -+.55B i --.55C i +.55D i -答案：B解析：BA OA OB →→→=-(23)(32)i i =---+55i =-点拨：复数的概念、复数的几何意义4.下列n 的取值中，使n i =1(i 是虚数单位）的是（ ）A.n =2B .n =3C .n =4D .n =5答案：C.解析：因为41i =,点拨：复数的概念、复数的代数形式5.设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =（）A.8B.6C.4D.2答案：C解析：()a i =1=n i ，则最小正整数n 为4，点拨：复数的概念、复数的代数形式6.若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，试求实数m 的值.答案：见解析解析：若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，则⎪⎩⎪⎨⎧≠-=+-0306522m m m m ∴2=m 点拨：复数的概念、复数的代数形式能力型师生共研7.若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B.解析：∵θ∈(3π4，5π4)，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.点拨：复数的几何意义8.复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则有（ ）.0A a ≠.2B a ≠.02C a a ≠≠且.1D a =-答案：C 解析：需要110a --≠，即02a a ≠≠且.点拨：复数的概念、复数的代数形式9.集合｛Z ︱Z ＝Z n i i n n ∈+-,｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ）A.｛0，2，－2｝B.｛0，2｝C.｛0，2，－2，2i｝D.｛0，2，－2，2i，－2i｝答案：A解析：略点拨：根据n i成周期性变化可知.10.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解析：略点拨：复数的几何意义探究型多维突破11、复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A､B､C，若∠BAC是钝角，求实数c的取值范围.答案：见解析解析：在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC是钝角得AB AC<0,且B､A､C不共线,由(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0解得c>49,11其中当c=9时,(6,8)2AC AB==-,三点共线,故c≠9.∴c的取值范围是c>4911且c≠9.点拨：复数的几何意义，代数形式12、在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？（1）|z-1-i|=|z+2+i|（2）|z+i|+|z-i|=4（3）|z+2|-|z-2|=1（4）若将（2）中的等于改为小于呢？答案：（1）直线；（2）椭圆；（3）双曲线延伸：（4）椭圆及其内部解析：略点拨；复数四则运算及复数几何意义自助餐1.已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（）A.0B.﹣1C.1D.﹣i答案：D解析：略点拨：复数的乘法运算2.设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（）A.﹣2﹣6iB.﹣2+2iC.4+2iD.4﹣6i答案：B解析：略点拨：复数的乘法运算3.实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（）A.2B.1C.﹣1D.﹣2答案：B解析：略点拨：复数的运算、复数相等的概念4.设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A.B.C.±1D.答案：D解析：略点拨：复数的概念、复数的代数形式、复数的模5.2＋7，27i,0,8＋5i，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案：C.解析：27i，(1－3)i是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i是虚数.点拨：复数的概念、复数的代数形式6.已知复数z＝1a－1＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )A.1或－1B.1C.－1D.0或－1 答案：C.解析：因为复数z＝1a－1＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则⎩⎨⎧a2－1＝0，a－1≠0，解得a ＝－1点拨：复数的概念、复数的代数形式7.复数z ＝i cos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A.虚轴B.虚轴除去原点C.线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D.C 中线段PQ ，但应除去原点答案：C解析：略点拨：复数的几何意义8.已知(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.答案：－10解析：根据复数相等的充要条件可知：⎩⎨⎧ 2m －5n ＝3n ，3＝－(m ＋5)，解得⎩⎨⎧m ＝－8，n ＝－2.所以m ＋n ＝－10.点拨：复数的概念、复数的代数形式9.若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足________.答案：m ≠－1且m ≠6解析：m ≠－1且m ≠6. 因为m 2－3m －4＋(m 2－5m －6)i 是虚数，所以m 2－5m －6≠0，所以m ≠－1且m ≠6.点拨：复数的概念、复数的代数形式10、如果12log (m ＋n )－(m 2－3m )i >－1，如何求自然数m ，n 的值？答案：m ＝0，n ＝1 解析：因为12log (m ＋n )－(m 2－3m )i >－1，所以12log (m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数， 从而有21230log (m n)1m m ⎧-=⎪⎨+>-⎪⎩ 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾，综上可得m ＝0，n ＝1.点拨：复数的概念、复数的代数形式11.设复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i ，(1)当实数m 为何值时，z 是纯虚数？(2)当实数m 为何值时，z 是实数？答案：见解析解析：(1)因为复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧ m 2－2m －3＞0，lg(m 2－2m －3)＝0，m 2＋3m ＋2≠0.解得m ＝1±5，所以当m ＝1±5时，z 是纯虚数.(2)因为复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i 是实数，所以⎩⎨⎧m 2－2m －3＞0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2，所以当m ＝－2时，z 是实数.点拨：复数的概念、复数的代数形式12.已知复数|z |＝1，求复数3＋4i ＋z 的模的最大值及最小值.答案：见解析解析：令ω＝3＋4i ＋z ，则z ＝ω－(3＋4i ).∵|z |＝1，∴|ω－(3＋4i )|＝1，∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆， 如图，容易看出，圆上的点A 所对应的复数ωA 的模最大，为＋1＝6；圆上的点B 所对应的复数ωB 的模最小，为－1＝4，∴复数3＋4i ＋z 的模的最大值和最小值分别为6和4.点拨：复数的几何意义数学视野自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个自然数，后来随着生产力的发展和记数方法的改进，逐步认识越来越多的自然数..从某种意义上说，幼儿认识自然数的过程，就是人类祖先认识自然数的过程的再现.随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测量.在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地度量下去，就必然产生自然数不够用的矛盾.这样，分数就应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于分数的问题.引进分数,这是数的概念的第一次扩展.最初人们在记数时，没有“零” 的概念.后来，在生产实践中,需要记录和计算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法，零的产生就不可避免的了.我国古代筹算中，利用“空位”表示零.公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是，把“0”作为一个数是很迟的事.引进数0，这是数的概念的第二次扩充.以后,为了表示具有相反意义的量,负数概念就出现了.我国是认识正、负数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载.在欧洲，直到17世纪才对负数有一个完整的认识.引进负数，这是数的概念的第三次扩充.数的概念的又一次扩充渊源于古希腊.公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras，约公元前580～前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的，为了得到不可公度线段比的精确数值，导致了无理数的产生.当时只是用几何的形象来说明无理数的存在，至于严格的实数理论，直到19世纪70年代才建立起来.引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次扩充.数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾.16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案.由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用,成功地经受了理论和实践的检验，最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位.引进虚数，形成复数系，这是数的概念的第五次扩充.上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须指出，数的概念的产生，实际上是交错进行的.例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在；在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了.直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过.后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构.从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G.Peano，1855～1939)、康托尔(G.Cantor，1845～1918)、戴德金(R.Dedekind，1831～1916)、外尔斯特拉斯(K.Weierstrass，1815～1897)等数学家的努力，完成了建立整个数系的逻辑工作.近代数学关于数的理论，是在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而建立起来的.作为数的理论系统的基础，首先要建立自然数系，然后逐步加以扩展.一般采用的扩展过程是N--------→Z--------→Q--------→R--------→C(自然数集) (整数集) (有理数集) (实数集) (复数集)科学的数集扩充，通常采用两种方法：一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的数集中去；二是构造法,即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的.中、小学数学教学中，为了适应学生的年龄特征和接受能力,关于数系的扩充，主要是渗透近代数学观点，采用添加元素并强调运算的方法来进行的.其扩充过程是:自然数集(添零)→扩大的自然数集(添正分数)→算术数集(添负有理数) →有理数集(添无理数)→实数集(添虚数)→复数集数系的每一次扩充，都解决了一定的矛盾，从而扩大了数的应用范围.但是，数系的每一次扩充也会失去某些性质.例如，从自然数系N扩充到整数系Z后，Z 对减法具有封闭性，但失去N的良序性质，即N中任何非空子集都有最小元素.又如，由实数系R扩充到复数系C后，C是代数闭域，即任何代数方程必有根,但失去了R的顺序性，C中元素已无大小可言.数系扩充到复数系后，能否继续扩充?这个问题的答案是有条件的.如果要求完全满足复数系的全部运算性质,那么任何扩充都是难以成功的.如果放弃某些要求，那么进一步的扩充是可能的.比如，放弃乘法交换律，复数系C可以扩充为四元数系H,如果再适当改变对乘法结合律的要求，四元数系H又可扩充为八元数系Ca等等.当然,在现代数学中，通常总是把“数”理解为复数或实数，只有在个别情况，经特别指出，才用到四元数.至于八元数的使用就更罕见了.。
初中数学《正数和负数》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
教师提出问题后学生会非常积极地回忆、回答，这时教师注意理清学生的思路，点出小学学过的数的精华部分。教师利用问题制造悬念，并且这时学生有一种急需知道结果的要求。
重点：会判断正数、负数，运用正负数表示具有相反意义的量。
难点：负数的引入。
学科核心素养分析
教师通过投影给出实际问题，学生研究讨论，认识负数，教师再给出投影，学生练习反馈。
学生学情分析
这节课是在小学里学过的数的基础上，从表示具有相反意义的量引进负数的．从内容上讲，负数比非负数要抽象、难理解．因此在教学方法和教学语言的选择上，尽可能注意中小学的衔接，既不违反科学性，又符合可接受性原则。在讲解有理数的概念时，让学生清楚地认识有理数与算术数的根本区别，在理解算术数和负数的基础上，对有理数的概念的理解就简便多了。
初中数学《正数和负数》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
基于学科核心素养的教学设计
课程名称：《正数和负数》
姓名
教师姓名
任教学科
数学
学校
学校名称
教龄
19年
教学内容分析
教学内容
七年级数学上册《正数和负数》
教学目标
1．会判断一个数是正数还是负数
2．能用正、负数表示生活中具有相反意义的量
教学重点与难点
板书设计
1.1正数前面加上负号“_”的数叫负数
(2)一般情况下正数前面的“+”省略不写，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《负数》教学模式介绍：核心素养下的培养是需要正确的教学模式作为载体的，对于以往的课堂来说是一种全新的转型。
核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的核心素质，激发和推动学生主体活动、能整合教材中内容并与学生生活实际相关联。
在这个课堂教学活动中，教师要以问题及其解决方式为主线的，整体设计思路是在教师的策划、指导和支持下，学生积极主动地参与问题的发现、提出与解决，在探索问题解决的过程中获得新知，构建新知。
老师作为学习共同体的一员，和学生共同为问题的解决，开展合作学习、共同探究，让学生在学习活动中解决问题、培养核心素养。
核心素养教学设计的课程环节：讲什么——为何讲——怎么讲——讲怎样设计思路说明：本节课是在学生认识了自然数，分数和小数的基础上初步认识负数。
教学开始，充分应用多媒体课件，以课本主题图引入新课；教学中，通过多处实例，结合学生生活经验，在展示与交流中加深对负数的认识，让学生充分理解正、负数的意义。
第一课时一、讲什么1．教学内容（1）概念原理：正号和负号，正负数的意义，正负数的读法、写法；（2）思想方法：数形结合；（3）能力素养：数学化、符号化、。
2．内容解析：在前面的学习中学生认识了自然数、分数和小数，并且在生活中已经对负数有了一定的认识，也积累了一定的经验。
学生对温度的认识并不陌生，许多学生不仅能用温度计测量温度，还能描述温度。
本课是《负数》这一单元的起始课，学生们将迈出认识负数的第一步，负数的初步认识将充分利用生活经验帮助学生理解抽象的负数，从而建立起正确的、相对完整的数的概念。
二、为何讲1、教学目标：（1）在现实情境中初步认识负数和理解负数的意义，了解负数的产生与作用，会正确地读、写正、负数，知道0既不是正数，也不是负数。
（2）让学生经历创造符号表示相反意义量的过程，经历数学化的过程，享受创造性学习的乐趣，相机发展学生的符号感。
（3）使学生体验数学和生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学的意识。
2、目标解析：（1）通过具体的生活情景使学生认识负数，理解负数的意义，学会正确地读、写正数和负数。
熟记0既不是正数，也不是负数。
（2）在表示温度变化、收支出等相反意义的量中，使学生亲身经历数学化和符号化的过程，给学生带来探索知识的乐趣。
（3）让学生感受正负数与生活的密切联系，增强学习数学的兴趣，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。
【教学重点】理解正、负数的意义，会用正、负数表示生活中具有相反意义的量。
三、怎样讲（一）教学准备1、教学问题：（1）虽然学生在前面已经认识了自然数、分数和小数，并且在日常生活中已经接触了一些负数，有了初步认识负数的基础。
但是，开始学习这一节课的内容还是不容易接受和理解。
（2）学生容易对原来学过的正数与负数产生混淆，难以理解正、负数可以表示两种相反意义的量。
【教学难点】在用正、负数表示相反意义的量时，规定哪一个量为正或负不是固定不变的，可以根据实际情况而定。
2、教学支持条件：（1）学生在学习本节课的内容之前，在日常生活中已经接触了一些负数，有了初步认识负数的基础，为这节课的学习打下了基础。
（2）科大讯飞“智慧课堂”，PowerPoint多媒体投影。
（二）教学过程情景导入下面是中央气象台2012年1月21日下午发布的六个城市的气温预报（2012年1月21日20时—2012年1月22日20时）。
【问题1】观察上图，你能发现什么？设计意图：让学生了解同一时间不同地区的温度有高有低，并观察到温度的表示中出现了负号。
预设师生活动：（1）教师引导学生观察图片，说出图中内容。
（2）教师引出课题并板书：负数的初步认识。
探究新知【问题2】（1）0℃代表什么意思？（2）3℃和-3℃表示的意思一样吗？（3）3℃表示什么意思？-3℃表示什么意思？设计意图：第（1）问：让学生明确0℃是零上温度和零下温度的分界点。
第（2）、（3）问：让学生理解3℃和-3℃的实际含义及正、负数可以表示两种相反意义的量。
预设师生活动：（1）在温度计上分别表示出3℃和-3℃。
（教师用课件进行展示，让学生观察对比）（2）组织学生们分组讨论，交流汇报。
预设：①0℃表示淡水开始结冰的温度，不是指没有温度。
②3℃和-3℃表示的意思不一样。
③﹣3℃表示零下3 摄氏度，3℃表示零上3 摄氏度。
【问题3】根据上图中（教材第2页主题图）的信息填写下表，并说一说各数表示什么意思。
设计意图：巩固整数、负数的读写法，理解其实际含义。
预设师生活动：（1）先让学生以小组为单位共同讨论，然后教师找各个小组的代表进行回答，并共同完成。
（2）全班同学汇报交流，教师总结：从表中我们看到北京的最高气温是－4℃，读作负四摄氏度；上海的最高气温是4℃。
读作四摄氏度。
（3）课堂小结比0℃低的温度叫零下温度，通常在数字前加“﹣”（负号）。
比0℃高的温度叫零上温度，在数字前加“﹢”（正号），通常“﹢”可以省略不写。
教师出示存折明细示意图。
（教材第3页的主题图）【问题4】（1）同学们能说一说“支出（-）或存入（+）”这一栏的这些数各表示什么？500.00和-500.00有什么区别呢？（2）怎样表示像这样两种相反意义的量呢？（3）那么0应该归为哪一类呢？（4）你在什么地方见过负数？教师鼓励学生注意联系实际举出更多的例子。
设计意图：第（1）问：通过呈现存折上的收支明细，让学生了解生活中另一类常见的用正、负数表示相反意义量的实例，帮助学生们理解和掌握负数的意义。
第（2）问：帮助学生们掌握正数和负数的读法与表示方法。
第（3）问：正确认识正数与负数的关系。
第（4）问：丰富学生们对正、负数表示相反意义的量的生活经验，让学生们感受负数在生活中的广泛应用。
预设师生活动：（1）教师引导学生探究存折中的奥秘。
预设：“2000.00”表示存入2000元。
“﹣500.00”表示支出500元。
“500.00”和“﹣500.00”正好相反，一个是存入，一个是支出。
（2）让学生通过小组讨论怎样的数是正数、负数，然后教师进行总结。
师：为了表示两种相反意义的量，如零上温度和零下温度、收入与支出等，需要用两种数。
一种是我们以前学过的数，如3、500、4.7、38，这些数是正数；另一种是在这些数的前面添上负号“-”的数，如-3、-500、-4.7、- 38等，这些数是负数。
（3）师生共同讨论0的特殊性，然后全班汇报交流。
预设：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。
（4）组织学生分组讨论、交流生活中见过的负数，然后全班汇报。
预设：①我在妈妈的家庭收支账本上见过负数。
②我在冰箱上见过负数，冷冻室的温度是﹣18℃。
（5）先让学生说一说自己的收获，然后教师引导学生进行课堂总结。
正数前面可以写“+”，但通常不写，而负数前面的“－”必须写。
正数前面可以读“正”，但通常不读（如果有“+”号必须读），而负数前面的“负”必须读。
四、讲怎样（一）课后检测1、你会表示温度吗？设计意图：检测学生对“正负数的写法”的掌握情况，并学会用正负数表示生活中的问题。
2、读出下面各数，并指出哪些是正数？哪些是负数？设计意图：检测学生对“正负数的意义”的掌握情况，并学会利用正负数的意义解决实际问题。
3、我能辩（1）任何一个负数都比正数小。
（）（2）一个数不是正数就是负数。
（）（3）因为“4”前面没有“+”号，所以“4”不是正数。
（）（4）上车5人记作“+5人”，则下车4人记作“-4人”。
（）（5）正数都比0大，负数都比0小。
（）（6）5゜C和+5゜C所表示的气温一样高。
（）设计意图：综合检测学生对“正负数的写法和正负数的意义”的掌握情况，并且能够灵活加以运用。
（二）教学反思本节课通过温度的表示、存折中的负数等引出生活中的负数。
教学中，力求从学生的生活实际出发，引导学生在熟悉的情境中加深对正负数的理解。
练习中，结合呈现大量生活中相反意义的量，让学生用正、负数表示，使学生感悟到数学知识在现实生活中的广泛应用，体会数学的作用和价值。
第二课时一、讲什么1．教学内容（1）概念原理：正号和负号，正负数的意义，正负数的读法、写法；（2）思想方法：数形结合；（3）能力素养：数学化、符号化、。
2．内容解析：在前面的学习中学生认识了自然数、分数和小数，并且已经学习了负数的初步认识，也积累了一定的经验。
本课是《负数》这一单元的第二课，学生们将迈出认识负数的重要一步，直线上的负数充分利用生活经验帮助学生理解起点、行走方向、行走距离等生活概念与数轴上的点以及相应数之间建立一一对应关系。
二、为何讲1、教学目标：（1）能够在直线上表示正数、0和负数，体会0是正、负数的分界点。
（2）使学生通过情景迁移学习知识，掌握数形结合的解题方法。
（3）形成数的比较完整的结构，渗透数形结合的思想。
2、目标解析：（1）经历在直线上表示行走距离和方向的过程，体会直线上正负数的排列规律，逐步建构数的比较完整的认知结构。
（2）在活动中探究直线上表示正负数的方法，学会用正负数表示相反意义的量解决实际问题。
（3）把一个实际问题抽象成一个数学直观模型，再把这个直观模型“还原”为实际问题。
在这一过程中，学生明确直线上正、负数的排列规律，完成对数的结构的初步构建，体会数形结合思想和一一对应思想。
【教学重点】能在直线上表示正数、0和负数，体会0是正、负数的分界点。
三、怎样讲（一）教学准备1、教学问题：（1）虽然学生在前面已经认识了自然数、分数和小数，并且已经学习了负数的初步认识，有了一定的学习基础。
但是，开始学习这一节课的内容还是不容易接受和理解。
（2）学生对用数轴表示距离与相反方向不能够理解。
【教学难点】能通过直线判断数的大小，建立实际问题的数轴模型。
2、教学支持条件：（1）学生在学习本节课的内容之前，在日常生活中已经接触了起点、行走方向、行走距离等生活概念，有了初步认识负数的基础，为这节课的学习打下了基础。
（2）科大讯飞“智慧课堂”，PowerPoint多媒体投影。
（二）教学过程复习导入【问题1】（1）一辆公共汽车经过某站台时有12人上车，记作（）人；7人下车，记作（）人。
（2）阳光小学今年招收新300人，记作+300人，那么-420人表示（）。
（2）升降机上升3.5米，记作+3.5米；-4米表示（）。
设计意图：通过回顾旧知，唤醒学生已有的在直线上表示数的经验为学习在直线上表示负数打下基础。
预设师生活动：（1）学生自己完成，然后全班汇报交流。
（2）教师引出课题并板书：直线上的负数。
探究新知【问题2】（1）上图中的四个同学以大树为起点，分别向东、西两个相反的方向走。
如何在一条直线上表示它们行走的距离和方向呢？（2）从图中你能知道哪些信息？要解决的问题是什么？（3）你能试着在一条直线上表示他们行走后的情况吗？设计意图：让学生在实践活动中自主探索在直线上表示行走距离和方向的方法，初步认识直线上的负数，培养独立思考习惯与实践操作力。