数学人教版八年级上册三角形的重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
初中数学 如何计算三角形的点到重心的距离
初中数学如何计算三角形的点到重心的距离
要计算一个三角形的点到重心的距离，可以使用以下方法：
1. 重心的概念：在一个三角形中，重心是三条中线的交点，即通过每个顶点与对边中点作的直线的交点，它们的交点称为重心。
2. 重心的性质：在一个三角形中，重心有以下性质：
a) 重心到三个顶点的距离成比例，比例系数为2:1。
b) 重心到三条边的距离之和是最小的。
3. 计算三角形的点到重心的距离：对于一个三角形ABC，我们可以计算点P 到三个顶点的距离，然后用重心到顶点的距离来计算点到重心的距离。
a) 假设点P 的坐标为(x, y)。
b) 计算点到顶点的距离：使用点到点的距离公式，将点P 的坐标和三个顶点的坐标分别代入公式中，计算点到顶点的距离。
c) 计算重心到顶点的距离：由于重心到三个顶点的距离成比例，可以选择其中一个顶点到重心的距离来计算。
可以使用点到点的距离公式，将重心的坐标和一个顶点的坐标代入公式中，计算重心到顶点的距离。
d) 计算点到重心的距离：将点到顶点的距离减去重心到顶点的距离乘以2/3，即可得到点到重心的距离。
需要注意的是，这个方法适用于任意三角形。
总结起来，要计算一个三角形的点到重心的距离，可以通过计算点到顶点的距离，并减去重心到顶点的距离乘以2/3来实现。
这个方法可以在计算机程序中实现，并用于几何计算、模型建立等问题。
三角形重心性质定理.
三角形重心性质定理1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的重要方法之一。
6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
八年级(上册)数学《全等三角形》全等三角形的判定-知识点整理
三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心〞。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。
∠1=∠2=∠BAC.要区分三角形的“角平分线〞与“角的平分线〞，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。
三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心〞。
要求会的题型：①三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度“等积法〞，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。
三角形的稳定性1. 三角形具有稳定性2. 四边形及多边形不具有稳定性三角形的内角1. 三角形的内角和定理三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。
2. 直角三角形两个锐角的关系直角三角形的两个锐角互余〔相加为90°〕。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
三角形的外角1. 三角形外角的意义三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
2. 三角形外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
多边形1. 多边形的概念在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为〔n－3〕条，其所有的对角线条数为.3. 正多边形各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。
〔两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为假设三角形的三内角相等，那么必有三边相等，反过来也成立〕要求会的题型：①告诉多边形的边数，求多边形过一个顶点的对角线条数或求多边形全部对角线的条数n边形从一个顶点出发的对角线的条数为〔n－3〕条，其所有的对角线条数为.将边数带入公式即可。
多边形的内角和1. n边形的内角和定理n边形的内角和为2. n边形的外角和定理多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
中考数学知识点：三角形的重心
中考数学知识点：三角形的重心为了能更好更全面的做好复习和迎考准备，确保将所涉及的2019中考考点全面复习到位，让孩子们充满信心的步入考场，现特准备了2019中考数学知识点。
三角形的重心：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB中点。
证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
2.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
3.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X 3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
4重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
中考数学--三角形中心、外心、内心、重心、旁心的知识
三角形五心定理三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
八年级上册数学第十一章 三角形 知识点总结
八年级数学上册知识点总结第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. （钝角三角形三条高的交点在三角形外，直角三角形的三条高的交点在三角形上，锐角三角形的三条高在三角形内）4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三条中线的交点叫重心）5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.（例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性）7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(n - 2) ·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(n - 3) 条对角线，把多边形分成(n - 2) 个三角形.② n 边形共有n(n - 3)条对角线.2。
人教版八年级上册数学内容
人教版八年级上册数学内容一、三角形。
1. 三角形的边。
- 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。
例如，已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边x的取值范围是2 < x <8。
2. 三角形的高、中线与角平分线。
- 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高为直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
- 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。
中线将三角形分成面积相等的两个部分。
- 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的三条角平分线相交于一点。
3. 三角形的稳定性。
- 三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性。
例如，自行车的车架做成三角形形状就是利用了三角形的稳定性。
4. 三角形的内角。
- 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
可以通过多种方法证明，如剪拼法、作平行线法等。
- 直角三角形的两个锐角互余。
5. 三角形的外角。
- 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
- 三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
二、全等三角形。
1. 全等三角形的概念和性质。
- 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
- 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2. 全等三角形的判定。
- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
- SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
三角形的重心
三角形的重心三角形几心R：实数集Q：有理数集Z：整数集N：自然数集在这些字母后面加+的表示正的部分N+：正自然数集即正整数集Z+：正整数集R+：正实数集在字母右面加*的表示除0以外的部分N*：除了0的自然数集即正整数集Z*：非零整数集R*：非零实数集集合通常表示为大写字母A，B，C……。
而元素通常表示为小写字母a,b,c……。
重心、垂心、内心和外心。
正心是只有等边三角形才具有的，此时这四心合一。
一、重心是三角形三边中线的交点重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
证明：刚才证明三线交一时已证。
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
二、垂心是三角形的三条高的交点垂心的性质：设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
八年级数学上册《找重心》教案、教学设计
（2）设计具有梯度的问题，引导学生逐步深入地理解重心的性质和求解方法。
4.实践应用，拓展延伸
（1）设计具有现实背景的问题，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的实践能力。
（2）拓展延伸，引导学生探索其他图形的重心性质，培养学生的探究精神。
（2）讨论如何将所学知识应用于解决实际问题。
3.教师指导
在学生讨论过程中，教师巡回指导，给予适当的提示和建议，帮助学生解决问题。
（四）课堂练习
1.练习设计
设计具有梯度、层次的练习题，让学生运用所学知识求解不同图形的重心。
2.学生练习
学生在规定时间内完成练习题，巩固所学知识。
3.答疑解惑
针对学生在练习中遇到的问题，教师进行解答，帮助学生理解难点。
1.基础巩固题
完成课本第十五章第二节后的练习题，包括：
（1）求解给定三角形的重心坐标。
（2）利用向量法求解四边形的重心。
（3）找出生活中具有平衡美的实例，并尝试画出其重心位置。
2.拓展提高题
（1）探索并证明：三角形三条中线交于一点，该点即为三角形的重心。
（2）求解不规则四边形的重心，并与同学交流求解方法。
（1）总结三角形和四边形重心的求解方法，形成一份学习笔记。
（2）制作一份关于重心的科普宣传海报，内容包括：定义、性质、求解方法及其在生活中的应用。
5.反思与总结
完成一篇关于本节课学习心得的反思，内容包括：
（1）对重心概念的理解和感悟。
（2）在求解重心过程中遇到的困难和解决方法。
（3）对本节课教学活动的评价和建议。
（五）总结归纳
1.学生总结
人教版八年级数学上册(RJ) 期末复习专题：三角形及其性质
专题三角形及其性质☞解读考点☞2年中考【题组】（崇左）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（）1．A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C．【解析】试题分析：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故选C．考点：三角形三边关系．（来宾）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，2．则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C．【解析】试题分析：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．考点：三角形的外角性质．3．（柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D．考点：三角形的外角性质．4．（南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a （a＞0）【答案】A．【解析】试题分析：A．∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；B．∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C．∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D．∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A．考点：三角形三边关系．5．（宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C． 7或9 D．9或12【答案】B．【解析】试题分析：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；所以这个三角形的周长是12．故选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．10【答案】B．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．7．（绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118° B．119° C．120° D．121°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C 的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=∠BCA，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C．考点：三角形内角和定理．8．（广州）已知2是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10【答案】B．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．9．（北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（）A．内心 B．外心 C．中心 D．重心【答案】D．【解析】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D．考点：三角形的重心．10．（百色）下列图形中具有稳定性的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形【答案】A．【解析】试题分析：∵三角形具有稳定性，∴A正确，B．C、D错误．故选A．考点：三角形的稳定性．11．（百色）△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A．4 B．4或5 C．5或6 D．6【答案】B．【解析】试题分析：设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么a=，b=，c=，又∵a﹣b＜c＜a+b，∴，即，解得3＜h＜6，∴h=4或h=5，故选B．考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．三角形的面积；3．三角形三边关系；4．综合题．12．（广安）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A． B．C．D．【答案】D．考点：三角形的角平分线、中线和高．13．（宜昌）下列图形具有稳定性的是（）A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．直角三角形【答案】D．【解析】试题分析：直角三角形具有稳定性．故选D．考点：1．三角形的稳定性；2．多边形．14．（长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．考点：三角形的角平分线、中线和高．15．（鄂尔多斯）如图，A．B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是（）A． B． C． D．【答案】A．考点：1．概率公式；2．三角形的面积．16．（淄博）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）A． B． C． D．【答案】C．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的面积；3．三角形中位线定理；4．综合题．17．（淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．【答案】75°．【解析】试题分析：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB∥CD，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．18．（宜宾）如图，AB∥CD，AD与BC交于点E．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC= ．【答案】80°．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．19．（巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，则第三边c的取值范围是．【答案】1＜c＜5．【解析】试题分析：由题意得，，，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．（南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，20．∠B=40°，则∠ACE的大小是度．【答案】60．【解析】试题分析：∵∠ACD=∠B+∠A，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=60°，故答案为：60．考点：三角形的外角性质．21．（佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．【答案】10．【解析】试题分析：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．故答案为：10．考点：三角形三边关系．（广东省）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若，22．则图中阴影部分的面积是．【答案】4．考点：1．三角形的面积；2．综合题．23．（长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．【答案】5．【解析】试题分析：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．考点：1．正方形的性质；2．三角形的面积；3．勾股定理．24．（昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．【答案】．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．25．（临沂）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD 与CE相交于点O，则= ．【答案】2．【解析】试题分析：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，∴点O是△ABC的重心，∴=2．故答案为：2．考点：1．三角形的重心；2．相似三角形的判定与性质．26．（六盘水）如图，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．【答案】理由见试题解析．考点：1．平行线之间的距离；2．三角形的面积．27．（达州）化简，并求值，其中a与2、3构成△ABC 的三边，且a为整数．【答案】，1．【解析】试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a的值代入计算即可求出值．考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．28．（青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．综上所述，可得：表①【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）表②你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③【问题应用】：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型．【题组】1.（福建南平）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4 【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可：A、1+1=2，不能组成三角形，故此选项错误；B、1+2＞2，能组成三角形，故此选项正确；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、1+2＜4，能组成三角形，故此选项正确．故选B．考点：三角形的三边关系．2.（浙江台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm【答案】D．考点：三角形的中位线．3．（•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C．【解析】试题分析：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×5=10．故选C．考点：三角形中位线定理．4.（•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145° B．152° C．158° D．160°【答案】B．考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．5.（•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB 再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．试题解析：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=（180°-60°）=60°，∴∠BDC=180°-85°-60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=（180°-70°）=55°，故D选项正确．故选B．考点：角平分线的性质；三角形内角和定理．6.（江苏淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）【答案】4（答案不唯一）．考点：三角形的三边关系．7、（广东广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是___________°．【答案】140．．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．考点：三角形的外角的性质．8.（湖北随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．【答案】75．【解析】试题分析：如答图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角的性质．☞考点归纳归纳 1：三角形的有关线段基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB ＝4，BC＝6，则DF＝_____．【答案】1．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．归纳 2：三角形的三边关系基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．【例2】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．12【答案】B．考点：三角形三边关系．归纳 3：内角和定理基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．【例3】如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC 于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．归纳 4：三角形的外角基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．【例4】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠B=30°，∠D=40°，则∠AOC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．☞1年模拟1．（北京市平谷区中考二模）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】D．【解析】试题分析：根据平行线的性质及三角形的内角和定理，有图像可知∠1与∠2互余，因此∠2=90°-65°=25°．故选D．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．2．（安徽省安庆市中考二模）如图所示，AB∥CD，∠D=26°，∠E=35°，则∠ABE的度数是（）A．61° B．71° C．109° D．119°【答案】A ．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．3．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．30° D．25°【答案】A．【解析】试题分析：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选A．考点：1．三角形的外角性质；2．平行线的性质．4．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）A．120° B．135° C．150° D．180°【答案】D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．三角形内角和定理．5．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（）A． B． C． D．【答案】A．【解析】试题分析：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，∵AE=2，BE=，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA=，故选A．考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型．6．（山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．【答案】4．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．三角形的面积．7．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）长为1、2、3、4、5的线段各一条，从这5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是．【答案】．【解析】试题分析：从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条，所有的情况共有10种，其中，取出的三边能构成钝角三角形时，必须最大边的余弦值小于零，即：较小的两个边的平方和小于第三边的平方，故满足构成钝角三角形的取法只有：2、3、4 和2、4、5 两种，故取出的三条线段为边能构成钝角三角形的概率是．考点：1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系．8．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=度．【答案】220．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．9．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于的阴影三角形共有__________个．【答案】；6．【解析】试题分析：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，因此可知==，==，再由考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．三角形的面积；4．规律型．。
三角形的重心知识点详解2024人教版
三角形的重心知识点详解2024人教版三角形的重心是几何学中的一个重要概念，它不仅在理论上有着丰富的性质和应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
本文将详细介绍三角形重心的定义、性质、计算方法及其应用，帮助读者全面理解这一重要知识点。
一、三角形重心的定义三角形的重心是指三角形三条中线的交点。
中线是从一个顶点到对边中点的线段。
重心具有以下几个重要特点：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这意味着重心将每条中线分成两部分，其中靠近顶点的部分是靠近对边中点部分的两倍。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这表明重心将三角形分成了三个面积相等的小三角形。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这意味着重心是三角形内到三个顶点距离的平方和最小的点。
二、三角形重心的性质三角形重心具有许多重要的性质，这些性质在几何学中有着广泛的应用。
以下是一些主要性质：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这一性质可以通过中线定理证明。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这一性质可以通过面积公式证明。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这一性质可以通过向量法或解析几何的方法证明。
4. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
这一性质可以通过均值不等式证明。
5. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
这一性质可以通过坐标几何的方法证明。
三、三角形重心的计算方法计算三角形重心的方法有很多种，以下是几种常见的方法：1. 坐标法：在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点坐标分别为((x_1, y_1))、((x_2, y_2))和((x_3, y_3))，则重心的坐标为：这一公式表明重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均。
2. 向量法：设三角形的三个顶点分别为(mathbf{A})、(mathbf{B})和(mathbf{C})，则重心(mathbf{G})的向量表示为：这一公式表明重心的向量是三个顶点向量的算术平均。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心：ABC 中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：ABC 中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC 中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）；外心：ABC 中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。
一、重心1、 O 是 ABC 的重心OA OB OC 0若 O 是 ABC 的重心，则BOC AOC AOB 1 ABC 故 OA OB OC 0 ,1 (PA 3PG PB PC) G 为 ABC 的重心 .3、 P 是△ ABC所在平面内任一点. G是△ ABC的重心 1 (PA) .2 PG PB PC3证明：PG PA AG PB BG PC CG 3PG ( AG BG CG) (PA PB PC) ∵ G是△ ABC的重心∴ GA GB GC 0 AG BG CG 0，即 3PG PA PB PC由此可得 PG 1 (PA PB PC ) . （反之亦然（证略））33、已知 O 是平面上一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP OA ( AB AC) ，(0，) ，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的重心 .例 1 若 O 为ABC 内一点， OA OB OC 0 ，则 O 是ABC 的（）A．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心第 1 页共 10 页二、垂心1、 O 是 ABC 的垂心OA OB OB OC OA OC若 O 是 ABC ( 非直角三角形 ) 的垂心，则故 tan AOA tan BOB tanCOC 02、H是面内任一点，HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ ABC的垂心 .由 HA HB HB HC HB ( HC HA) 0 HB AC 0 HB AC ,同理 HC AB ， HA BC . 故 H 是 ABC 的垂心 . （反之亦然（证略））3、 P 是△ ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ ABC 的垂心．由 PA PB PB PC ，得 PB (PA PC ) 0 ，即 PB CA 0 ，所以 PB⊥ CA ．同理可证 PC ⊥ AB ， PA ⊥ BC ．∴ P 是△ ABC 的垂心．如图 1.A CCB PEMHPA FB图 1 O 图⑷4、已知 O 是平面上一定点，A， B， C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC，(0，) ，则动点 P 的轨迹一定通过OP OAAC cos CAB cos B△ ABC 的垂心．例 2 P 是△ ABC所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ ABC 的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心第 2 页共 10 页三、内心1、 O 是ABC 的内心的充要条件是OA AB ACOBBA BC CA CBOCAB AC BA BC CA CB Ae1e2B引进单位向量，使条件变得更简洁。
人教版八年级上册第十一章 三角形知识点复习及习题练习
第十一章三角形知识框架【三角形的概念】1、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
要点：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相连。
2、基本概念：三角形有三条边，三个内角，三个顶点。
边：组成三角形的线段，表示方法：AB(c)、BC(a)、AC(b)内角：相邻两边所组成的角，表示方法：∠A、∠B、∠C顶点：相邻两边的公共端点，表示方法：A、B、C三角形ABC用符号表示为△ABC。
夹边、夹角、对边、对角3、数三角形个数技巧1）按组成三角形的图形个数来数（如单个三角形、由2个图形组成的三角形……最后求和）2）从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出能组成三角形的另外两条边；3）先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有多少组。
练：1、下列说法中正确的是（）A、由三个角组成的图形叫三角形B、由三条直线组成图形叫三角形C、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形D、由三条线段组成的图形叫三角形2、右图中三角形的个数是（）A、6B、7C、8D、93、如右图所示：（1）图中有几个三角形？把它们一一写出来。
（2）写出△ABD的三个内角。
（3）以∠C为内角的三角形有哪些？（4）以AB为边的三角形有哪些？【分类】在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
练：1、如果三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A、锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法判断2、若△ABC三边长分别为m，n，p，且| m - n |+( n - p)2= 0 ，则这个三角形为（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形3、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形4、根据下列所给条件，判断△ABC的形状（若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断）（1）∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°；（2）∠C=90°；（3）∠C=120°；（4）AB=BC=4，AC=5.【三边的关系】①三角形任意两边之和大于第三边，b + c > a；②三角形任意两边之差小于第三边，b - c < a。
中考数学知识点：三角形的重心
中考数学知识点：三角形的重心为了能更好更全面的做好复习和迎考预备，确保将所涉及的2021中考考点全面复习到位，让小孩们充满信心的步入考场，现特预备了2021中考数学知识点。
三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB中点。
证明：依照燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
2.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
3.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X 3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我专门重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清晰，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，如此能引起幼儿的注意。
当我发觉有的幼儿不用心听别人发言时，就随时夸奖那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们用心听，用心记。
平常我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，如此幼儿学得生动爽朗，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了经历，又进展了思维，为说打下了基础。
4重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。
初中数学竞赛专题-第十四章三角形重心的性质及应用
第十四章 三角形重心的性质及应用【基础知识】三角形三条中线的交点称为三角形的重心,三角形的重心有下列有趣的性质: 性质1设G 为ABC △的重心,连AG 并延长交BC 于D ,则D 为BC 的中点,()22221124AD AB AC BC =+-,且21AG GD =∶∶． 性质2设G 为ABC △的重心,过G 作DE BC ∥交AB 于D ,交AC 于E ,过G 作PF AC ∥交AB 于P ,交BC 于F ,过G 作KH AB ∥交AC 于K ,交BC 于H ,则（1）23DE FP KH BC CA AB ===；（2）2DE FD KHBC CA AB++=．性质3设G 为ABC △的重心,P 为ABC △内任一点,则 （1）22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++；（2）()2222213z GA GB GC AB BC CA ++++=．证明（1）设D 为BC 边上的中点,则对APG △和DPG △分别应用余弦定理,有2222AP AG PG AG PG cos AGP =+⋅⋅∠-,2222cos PD DG PG DG PG DGP =+-⋅⋅∠, 而2AG DG =,cos cos AGP DGP ∠=-∠,于是,有22222223AP PD AG DG PG +=++．又PD ,DG 分别是BPC △的BC 边,BGC △的BC 边上的中线,有2222122PD PB PC BC +-=,2222122DG BG CG BC =+-,从而22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++．（2）由性质1,有()2222911424AG AB AC BC =+-,()2222911424BC AB BC AC =+-, ()2222911424CG BC AC AB =+-,此三式相加,整理即得 ()22222213AG BG CG AB BC CA ++=++． 注由此性质即得到三角形中的莱布尼兹公式: ()2222222133AP BP CP PG AB BC CA ++=+++． 性质4设G 为ABC △内一点,G 为ABC △的重心的充要条件是下列条件之一: （1）13GBC GCA GAB ABC S S S S ===△△△△；（2）当点G 在三边BC ,CA ,AB 上的射影分别为D ,E ,F 时,GD GE GF ⋅⋅值最大； （3）当AG ,BG ,CG 的延长线交三边于D ,E ,F 时,AFG BDG CEG S G S ==△△△； （4）过G 的直线交AB 于P ,交AC 于Q 时,3AB ACAP AQ+=； （5）222222333BC GA CA GB AB GC ++=+=．证明（1）必要性:延长AG 交BC 于D ,则D 为BC 中点,有BDA CDA S S =△△,BDG CDG S S =△△,故AGB AGC S S =△△．同理,AGB BGC S S =△△,故13GAB GBC GCA ABC S S S S ===△△△△．充分性:如图14-1,令G 为ABC △内一点,连AG 并延长交BC 于D ,连BG 并延长交AC 于E ．记GAB GBC GCA S S S S ===△△△,BC a =,CA b =,AB c =,1BDG S S =△,2CDG S S =△,BD x =,DG y =．由11sin 2S xy BDG =⋅∠, ()()()()2111sin sin 180sin 222S a x y CDG a x y BDG a x y BDG =-⋅∠=-⋅⋅︒-∠=-⋅⋅∠,故211S a S x =-． 即2211111S S S a S x S S S +=+==,亦即1S S a =,()2SS a x a=-． 又()11sin 2ABD SS cx B S S a x a =⋅∠=+=+△．()()21sin 22ACD SS b a x C S S a x a=-⋅∠=+=-△．再由正弦定理,得sin 1sin c B b C ⋅∠=⋅∠,于是,由上述两式,有2x a x a x a x +=--,于是2ax =,即 AD 为ABC △的边BC 上的中线．同理,可证BE 为ABC △边AC 上的中线． 故G 为ABC △的重心．注由此性质即可推知三角形的重心到各边的垂线段长与边长成反比． （2）充分性与必要性合起来证．设三角形三内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ．记GD x =,GE y =,GF z =,由 12GBC S ax =△,12GAC S by =△,12GAB S cz =△,知2ABC ax by cz S ++=△为定值．由三个正数的平均值不等式,有338327ABC ax by cz ax by cz S ++⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭△≤,即3827ABCS xyz abc △≤．此式当且仅当ax by cz ==时,即GBC GAC GAB S S S ==△△△时等号取得,即G 为ABC △的重心时,结论成立．（3）仅证充公性:如图14-2,设1APF BPD CPE S S S ===△△△,APE S x =△,BPF S y =△,CPD S z =△．图14-2111yx z F EDABCP由111AP y x PD z ++==,111BP z y PE x ++==,111CP x z PFy ++==,有 1yz z x +=+,①1zx x y +=+,②1xy y z +=+．③由①-②得()z y x z x x y -+-=-,即 ()()1z x x y z -=-+．④同理()()1x y y z x -=-+,⑤()()1y z z x y -=-+．⑥若x y =代入④得z x =．即有x y z ==,再代入①得1x =,故1x y z ===． 若x y ≠,则y x ≠,z x ≠,由④×⑤×⑥得()()()111z 1x y +++=,⑦而x ,y ,z 为正数,则11x +>,11y +>,11z +>,等式⑦无正数解, 故只有正数解1x y z ===,即证．（4）必要性:如图14-3,设M 为ABC △的边BC 上任一点,直线PQ 分别交AB ,AM ,AC 于P ,N ,Q ,连PM ,QM ．图14-3AB CPQMN则APQ MPQ APM AQMAPQABCS S S S AM AN NM AP AQ AN AN S S AB AC+++===⋅⋅⋅△△△△△△ ABM ACMABC AP AQ S S AB CM AC BM AB AC AP AQ AP BC AQ BC S AB AC⋅+⋅==⋅+⋅⋅⋅△△△．当N 为ABC △的重心时,M 为BC 中点,有BM MC =,且32AM AN =∶∶,由此即证得结论3AB ACAP AQ+=． 充分性:设ABC △的一边AB 上有1P ,2P 两点,在另一边AC 上有1Q ,2Q 两点．若11223AB AC AB ACAP AQ AP AQ +=+=,则可证得11PQ 与22P Q 的交点G 是ABC △的重心． 事实上,如图14-4,连AG 并延长交BC 于M ,过B ,C 分别作AM 的平行线交直线11PQ ,22P Q 分别于1X ,1Y ,2X ,2Y ,于是,图14-4MY 1Y 2X 1X 2P 1P 2Q 1Q 2ABC G由111111311BP CQ AB AC AP AQ AP AQ ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 有1111111BP CQ BX CY AP AQ AG AG =+=+,即11BX CY AG +=． 同理,22BX CY AG +=．从而1122BX CY BX CY +=+,即1221BX BX CY CY -=-． 亦即1212X X YY =．而1212X X YY ∥,从而易判断1212GX X GYY △≌△．所以11GX GY =．推知BM MC =,即AM 为ABC △的BC 边上的中线,亦即GM 为梯形11BCY X 的中位线． 此时112BX CY GM +=．由11BX CY AG +=,故2AG GM =．由此即知G 点为ABC △之重心．即满足3AB ACAP AQ+=的直线PQ 过其重心．（5）必要性:设AD 为BC 边上的中线,G 为ABC △的重心时,由中线长公式（即性质1）,有()()222222AD AB CA BC =+-,从而()()222222222212332333BC GA BC AD BC AD AB BC CA ⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭．同理,()22222222333CA GB AB BC CA AB GC +=++=+． 充分性:注意到结论,给定ABC △后,若点G 满足()222213GA GB CA BC -=-为常数,则点G 的轨迹是垂直于直线AB 的一条直线,并且这条直线过ABC △的重心．事实上,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立坐标系,设(),G x y ,则222AG x y =+,()222BG x c y =-+,其中AB c =．因此,由()22222123GA GB cx c CA BC -=-=-,得G 的坐标为2223,6CA BC AB y AB ⎛⎫-+⎪⎝⎭,即证得前一断言,后一断言可由性质4（4）推证:由AB 上的点P 2223,06CA BC AB AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭知AP 的长度,可求得AC 上的线段AQ的长度为()()2222223cos 3AC CA BC AB APBAC AB AC BC -+=∠+-,故3AB AC AP AQ +=,即证． 性质5设P 是锐角ABC △内一点,射线AP 、BP 、CP 分别交边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,则P 为ABC △重心的充分必要条件是DEF ABC △∽△．证明充分性:如图14-5,设PEF α∠=,CPE β∠=,CPD γ∠=,EBC α'∠=,并分别用A 、B 、C 表示BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠．图14-5α'γβαFEDABC在DEF △中,对点P 应用角元形式的塞瓦定理,有sin sin sin 1sin sin sin PEF PDE PFDPED PDF PFE ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠,即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβαπ---+-+⋅⋅=--π+++--．在ABC △中,对点P 应用角元形式的塞瓦定理,有sin sin sin 1sin sin sin PBC BAP ACPPBA CAP PCB∠∠∠⋅⋅=∠∠∠,即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβα''π---+-+'⋅⋅='''--π+++--． 设()()()()()()sin sin sin sin sin sin B x C x x f x x A B x x βγβββγβπ---+-+=⋅⋅--π+++--．由x ,B x -,B x βγπ---+,A B x βγ-π+++-,C x β-+,0,2x βπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,易知()f x 递增,于是由()()f f αα'=可得αα'=,所以EF BC ∥．同理可得DF AC ∥,DE AB ∥．从而有AF AE FB EC =,AF DC FB BD =,DC ECBD AE=． 所以AF FB =,BD DC =,EC AE =．故P 为ABC △的重心． 必要性:显然（略）．故命题获证,性质6三角形重心G 到任一条直线l 的距离,等于三个顶点到同一条直线的距离的代数和的三分之一． 事实上,若设三顶点A ,B ,C ,重心G ,BC 边的中点M 到直线l 的距离分别为A d ,B d ,C d ,G d ,M d ,则()23G A M G d d d d =+-,()12M B C d d d =+．两式相加,即有 ()13G A B C d d d d =++． 注由此性质可推知:设作一直线使三角形三个顶点到它的距离的代数和为零,则它通过重心．所以这种和为定值的直线与一个以G 为圆心的圆相切．性质7设G 为ABC △的重心,若222AG BG CG +=,则两中线AD 和BE 垂直；反之,若两中线AD ,BE 垂直,则222AG BG CG +=． 【典型例题与基本方法】例1如图14-6,在ABC △中,G 为重心,P 为形内一点,直线PG 交直线BC ,CA ,AB 于A ',B ',C '．求证:3A P B P C PA GB GC G'''++='''． 图14-6G 'P'C 'B'A'ABCGP证明连BG ,GC ,PB ,PC ,分别过G ,P 作GG BC '⊥于G ',作PP BC '⊥于P ',则PP GG ''∥,PP A PGG A G''=''． 又PBC GBC S PP S GG '='△△,有PBC GBC S A P S A G '='△△． 同理PCA GCA S B P S B G '='△△,PAB GAB S C PS C G'='△△． 因G 为重心,有13GAB GBC GBC GCA ABC S S S S S ====△△△△△．故3333PBC PCA PABABC ABC ABCS S S A P B P C P A G B G C G S S S '''++=++='''△△△△△△．例2如图147-,设ABC △的重心为G ,AG ,BG ,CG 分别交对边于D ,E ,F ,交ABC △的外接圆于A ',B ',C '．求证:1A D B E C FDA EB FC'''++≥． 图14-7C 'B 'A 'GF ED AB C证明设BC a =,CA b =,AB c =,这三边上的中线分别记为a m ,b m ,c m ,应用相交弦定理,有22224a A D A D DA BD DC a DA DA DA m ''⋅⋅===． 同理224b B E b EB m '=,224c C F C FC m '=． 则所证不等式等价于2222224a b ca b c m m m ++≥．应用三角形中线公式222222a m b c a =+-等三式,可求出2a ,2b ,2c ,即()22224229b c a a m m m =+-等三式．将其代入上式左边,即证得结论成立．3A D B E C FDA EB FC'''． 例3如图14-8,过ABC △的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分,试证:这两部分面积之差不大于整个三角形面积的19．（1979年安徽省竞赛题）图14-8AB CEFG证明把三角形的每条边三等分,过每一分点作平行于其他两边的直线,这些直线把ABC △分成9个面积相等的小三角形．内部那个交点正好是这个三角形的重心G ．过G 的任一直线把三角形分成两部分,观察这两部分面积之差,显然不超过BEF △的面积,即ABC △面积的19．例4如图14-9,已知P 为ABCD 内一点,O 为AC 与BD 的交点,M ,N 分别为PB ,PC 的中点,Q 为AN 与DM 的交点,求证:（1）P ,Q ,O 三点在一直线上；（2）2PQ OQ =．图14-9Q P MN DOABC证明连PO ,设PO 与AN ,DM 分别交于点Q ',Q ''．在PAC △中,AO OC =,PN NC =,则Q '为其重心,且2PQ OQ ''=． 在PDB △中,DO BO =,BM M P =,则Q ''为其重心,且2PQ OQ ''''=．这样,Q Q '''≡,并且Q ',Q ''就是AN ,DM 的交点Q ．故P ,Q ,O 在一条直线上,且2PQ OQ =． 例5如图14-10,已知CA AB BD ==,AB 为O 的直径,CT 切O 于P ．求证:APC DPT ∠=∠． 证明连PO 并延长交O 于E ,则PE PC ⊥．连EC ,ED ,并延长PA 交CE 于F ．图14-10DC在Rt CPE △中,CO 为PE 边上的中线,且2CA AO =,即知A 为CPE △的重心,则PF 为CE 边上的中线,从而CF PF =,FCP FPC ∠=∠．又PE 与CD 互相平分,则CPDE 为平行四边形,即有FCP DPT ∠∠=．故CPA FCP DPT ∠=∠=∠． 例6试证:以锐角三角形各边为直径作圆,从相对顶点作切线,得到的六个切点共圆．证明如图14-11,设ABC △的三边分别为a ,b ,c ,O 是以BC a =为直径的圆,AT 切O 于T 点． 连AO ,在AO 上取点G 使2AG GO =,则G 为ABC △的重心．连OT ,GT ,图14-11AB由AO ,2222cos TG OT OG OT OG TOA =+-⋅⋅∠及cos OT TOA OA ∠=,12OT a =,13OG OA =,有()2222118TG a b c =++为定值．同理,其他五个切点如T 等到重心G 的距离的平方均为()222118a b c ++,由此即证． 例7如图14-12,AD ,BE ,CF 是ABC △的三条中线,P 是任意一点．证明:在PAD △,PBE △,PCF △中,其中一个面积等于另外两个面积的和．（第26届莫斯科奥林匹克题） 图14-12G F'E'DFEDABCD 'C 'A '证明设G 为ABC △的重心,直线PG 与AB ,BC 相交,从A ,C ,D ,E ,F 分别作该直线的垂线,垂足为A ',C ',D ',E ',F ',易证2AA DD ''=,2CC FF ''=,2EE AA CC '''+=,从而EE DD FF '''=+,故PGE PGD PGF S S S =+△△△．【解题思维策略分析】1．注意中线长公式、莱布尼兹公式的应用例8已知ABC △的三边BC a =,CA b =,AB c =,DEF △是ABC △的任意内接三角形,试以a ,b ,c 表示DEF △的三边平方和的最小值．解首先,证明如下结论:若G 为ABC △内的任意一点,G 到三边BC ,CA ,AB 的距离分别为x ,y ,z ,则当x y z a b c =∶∶∶∶时,222x y z ++的最小值为22224ABCS a b c ++△． 事实上,由柯西不等式()()()222222224ABC a b c xy z ax by cz S ++++++=△≥,当且仅当x y z a b c =∶∶∶∶时取等号,由此即证．如图14-13,设G 为DEF △的重心,则由中线长公式或重心性质3（2）,图14-13D 0F 0E 0F EDGABC有()2222129GD DE DF EF ⎡⎤=+-⎣⎦, ()2222129GE DF EF DF ⎡⎤=+-⎣⎦, ()2222129GF EF DF DE ⎡⎤=+-⎣⎦．三式相加,得()2222223DE EF FD GD GE GF ++=++．从G 点向ABC △的三边BC ,AC ,AB 引垂线,垂足分别为0D ,0E ,0F , 则()()()2222222222222022212333ABCS DE EF FD GD GE GF DD EE FF GD GE GF a b c ++=+++++++++△≥≥． 下证等号能够取到,设G 为ABC △内一点,G 到BC ,CA ,AB 的距离依次为x ,y ,z ,且满足x y z a b c =∶∶∶∶．过G 分别向三边作垂线,垂足为0D ,0E ,0F ,由0D ,C ,0E ,G 共圆,知00180D GE C ∠+∠=︒,于是00001sin 21sin 2GD E ABCxy D GE S xy S ab ab C ⋅∠==⋅∠△△． 同理,00GE F ABCS yz S bc =△△,00GF D ABC S zxS ca=△△．因x y z a b c =∶∶∶∶,则xy yz zxab bc ca==,故000000GD E GE F GF D S S S ==△△△,由重心性质4（1）,知G 为000D E F △的重心．由此可见,对ABC △的内接000D E F △而言,222200000022212ABCS D E E F F D a b c ++=++△． 因此,所求最小值为222212ABCS a b c ++△． 例9如图14-14,设G 为ABC △的重心,AG ,BG ,CG 的延长线分别交ABC △的外接圆于A ',B ',C '．图14-14'求证:（1）3AG BG CGGA GB GC ++='''； （2）3GA GB GC GA BG CG'''++≥； （3）GA GA '或GB GB '或1GCGC '≤． 证明（1）证法1:设AA '交BC 于D ,则D 为BC 的中点． 由13ABC ABGGBA GBA S S AG GA S S ''=='△△△△,13ABC GAB S BG GB S '='△△,13ABC GAC SCG GC S '='△△,及AGB BGA ''△∽△, AGC CGA ''△∽△,有22GAB GBA S AG S BG ''=△△,22GAC GAC GBA GCA S S AG S S CG ''''==△△△△,从而22222211133ABCABC BGA BGA S S AG BG CG BG CG AG BG CG GA GB GC S AG AG S AG ''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△． 由BDA ADC'△∽△,得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△,所以222222113BGA ABC BGA BGA S S BG CG AG BG CG S AG AG S AG '''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△． 由BDA ADC '△∽△得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△, 所以2222111361818BGA BGD BDA ABC ABC ABC S S S BC AG BC S S S AG AG ''⎛⎫+⎛⎫=+=+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△△△． 中线长公式或重心性质3（2）,有()2222223AG BG CG AB BC CA ++=++ ．从而()()222222222323AG BC AB BC CA AG BG CG +⋅++=++=．故22222211833AG BG CG AG AG BG CG GA GB GC AG BC AG ⋅++++=⋅⋅'''+ ()()222222221832AG AG BG CG AG BG CG AG⋅⋅++=⋅++⋅3=．证法2:令O 为ABC △的外心,由莱布尼兹公式,则()2222219OG R a b c =-++（其中R ,a ,b ,c 分别 ABC △的外接圆半径及三边之长）．注意到()2222219GA GA GB GB GC GC R OG a b c '''⋅=⋅=⋅=-=++, 于是222AG BG CG AG BG CG GA GB GC GA GA BG GB CG GC ++=++''''''⋅⋅⋅ ()()2222222222213319a b c AG BG CGR OG a b c ++++===-++． （2）2113333GA GB GC GA GB GC AG BG CG GA GB GC GA GB GC GA GB GC ''''''⎛⎫⎛⎫++=++⋅++⋅= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭≥ （3）由（2）,知A G AG '或B G BG '或1C G CG '≥,由此即AG GA '或BG GB '或1CGGC '≤,或由（1）也可推得结论成立． 2．证明线共点的一条途径例10如图14-15,设O 是ABC △的内切圆,BC ,CA ,AB 上的切点各是D ,E ,F ．射线DO 交EF 于A ',同样可得B ',C '．试证:直线AA ',BB ',CC '共点．图14-15证明连A B ',A C '．易知B ,D ,O ,F 及C ,D ,O ,E 分别共圆,得A OF B '∠=∠,A OE C '∠=∠． 在A OF '△及A OE '△中应用正弦定理,有'sin sin sin sin A F OA OA A EA OF OFA OEA A OE '''===''''∠∠∠∠, 有sin sin sin sin A F A OF B AC A E A OE C AB ''∠∠===''∠∠．从而AB A F AC A E ''⋅=⋅． 又AFE AEF ∠=∠,故有11sin sin 22ABA ACA S AFE A F AEF AC A E S ''''=∠⋅=∠⋅⋅=△△．由此式可知直线AA '必平分BC 边,即AA '必过ABC △的重心,同样可证BB ',CC ',也都过ABC △的重心．故由重心的唯一性,知AA ',BB ',CC '三直线共点于ABC △的重心． 【模拟实战】习题A 1．如图14-16,点O 在锐角ABC △内,过O 作EF BC ∥,PQ CA ∥,HG AB ∥,若EF PQ HGBC CA AB==试问O 为ABC △的什么心？图14-16OABCEFGHPQ2．如图14-17,M 、N 、P 分别为正ABC △、DCE △、mBEF 的重心．求证:MNP △为正三角形．图14-17FEA BC M NP3．已知ABC △的重心G 和内心I 的连线GI BC ∥．求证:2AB AC BC +=．4．设O 为ABC △的外心,AB AC =,D 是AB 的中点,G 是ACD △的重心．求证:OG CD ⊥． 5．设M 为ABC △的重心,且3AM =,4BM =,5CM =,求ABC △的面积．（1991年上海市初中竞赛题）6．设D 是ABC △的边BC 上的一点,点E ,F 分别是ABD △和ACD △的重心,连接EF 交AD 于点G ,则DGGA 的值是多少？ （1991～1992年度广州等五市竞赛题） 7．给定任意ABC △,作这样的直线与三角形相交,使得由A 点到直线的距离等于由B ,C 点到直线的距离的和．证明:所有这样的直线相交于一点．习题B1．如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似,其逆亦真． 2．在ABC △中,G 为重心,I 为内心,试证:AGI △,BGI △,CGI △中,最大的一个的面积等于其余两介面积的和．3．在锐角ABC △中,O ,G 分别为其外心和重心．若OG AC ∥,求证:tan A ,tan B ,tan C 成等差数列, 4．试证:任意三角形的重心到三边距离之和不小于其内心到三边距离之和．第十四章 三角形重心的性质及应用习题A1．易知2EF PQ HG EF BP GC BC AC AB BC BC BC ++=++=,则2EF PQ HGBC CA AB===,故O 为ABC △的重心． 2．先证BD AE CF ==,再由△BMP ∽△BCF ,得MP BM CF BC ==,同理PN BD =,MN AE =,则MP PN MN ==．3．易知G 到BC 的距离等于ABC △内切圆的半径r ,则BC 边上的高为3r ,再利用面积法证明．4．证明△ODG 与ABC △的重心重合．5．由3AM =,4BM =,5CM =,有222AM BM CM +=,知两中线AD ,BE 垂直．于是3182ABC S AM BM =⋅⋅=△．6．连BE ,CF ,并延长相交于M ,则M 为AD 的中点．由E ,F 分别是ABD △和△ACD 的重心,则13ME MF MB MC ==．于是EF BC ∥,EG BD ∥．从而13MG ME DM MB ==,23DG BE DM BM ==,13MG DM =,23DG DM =,1433AG AM MG DM DM DM =+=+=,故241233DG GA DM DM ==∶∶∶．7．由题设及梯形的中位线性质及三角形重心性质,推知所有这些直线都经过ABC △的重心,即共点于重心．习题B1．设G 为ABC △的重心,连DE 并延长到H 使EH DE =,连HC ,HF ,则以三条中线AD ,BE ,CF 围成的三角形就是△HCF ．当22BC a =,22CA b =,22AB c =成等差数列时,若ABC △为正三角形,易证ABC HCF △∽△．若a b c ≥≥,有2221222CF a b c =+-2221222BE c a b =+-2221222AD b c a =+-2222a c b +=分别代入以上三式,得3CF =,3BE =,3AD =,从而CF BE AD a b c =∶∶∶∶,故有ABC △∽△HCF ．反之,若有ABC △∽△HCF ,当ABC △中a b c ≥≥时,△HCF 中CF BE AD ≥≥,且2()ABC HCF S S CF a =△△∶∶．据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积伯34”,有2234CF a =∶∶,即222223422a CF a b c ==+-,故22a c += 22b ．2．分两种情况讨论．①若G ,I 两点重合,易断ABC △为正三角形,此时0AGI BGI CGI S S S ===△△△,结论显然成立．②若G ,I 两点互异,过G ,I 作直线l ．若l 通过ABC △的一个顶点,易推知ABC △为等腰三角形,此时AGI S △,BGI S △,CGI S △中一个为零,其余两个相等,结论亦成立；若l 与ABC △的两边相交,不妨设l 与AB ,AC 相交．延长AG 交BC 于E ,E 必为BC 的中点,连EI ．过B ,E ,C 分别作到直线l 的距离BB ',EE ',CC ',易证2BB CC EE '''+=,从而2BGI CGI EGI S S S +=△△△．又由重心性质知2AG GE =,从而2AGI EGI S S =△△,故AGI BGI CGI S S S =+△△△．3．要证tan A ,tan B ,tan C 成等差数列,只需证2tan tan tan B A C =+,又在ABC △中,由tan B = tan tan 1tan tan A C A C+--⋅,有tan tan tan tan tan tan A C B A B C +=-+⋅⋅．故只需证2tan tan tan tan tan B B A B C =-+⋅⋅,亦即tan tan 3A B ⋅=．因O 为外心,有2AOC B =∠∠,221sin sin cos 2AOC S R AOC R B B =⋅=⋅⋅△∠．又由G 是重心,有2112sin sin sin 33AGC ABC S S R A B C ==⋅⋅⋅△△．注意到OG AC ∥,有AOC AGC S S =△△,故2sin cos R B B ⋅⋅=22sin sin sin 3R A B C ⋅⋅⋅,从而3cos 2sin sin B A C =⋅,即由cos cos cos sin sin B A C A C =-+⋅,有sin A ⋅ sin 3cos cos C A C =⋅,由此即证．4．ABC △中,重心G 到三边距离之和为123GG GG GG ++,ABC △内切圆半径为r ,内心I 到三边距离之和为1233II II II r ++=．记BC a =,CA b =,AB c =,射线AG 交BC 于D ,连GB ,GC ．则由 13GCA GAB ABCS S S ==△△△知,1123132ABCABC S S GG a a ==△△．同理,223ABC S GG b =△,323ABC S GG C =△．于是1232ABC GG GG GG S ++=⋅⋅△211111111()3333333r a b c r a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++=⋅++++⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥,即证．。
三角形重心性质拾趣——兼谈类比方法在初等数学研究中的运用
三角形重心性质拾趣——兼谈类比方法在初等数学研究中的运用三角形重心是一种重要的概念，它是三角形内三条边的重心，具有很多有趣的性质。
在本文中，我们将介绍一些三角形重心的性质，并讨论类比方法在初等数学研究中的运用。
三角形重心的性质有很多，其中一些最著名的包括：它是三角形内三条边的重心，它是三角形内质心，它是三角形内垂心，它是三角形内垂心的垂足，它是三角形内角平分线的交点等。
这些性质都可以通过类比方法来证明，并且这些性质都是通过一些更简单的图形的性质来类比得出的。
类比方法是一种常用的数学研究方法，它是通过比较两个或多个相似的图形或问题，并从中得出结论的方法。
在初等数学研究中，类比方法常常被用来证明一些复杂的定理1. 三角形重心的概念三角形重心是指三角形内各边与其他两边所成的角所对的高的交点。
在平面几何中，一个三角形的重心是一个特殊的点，它分别与三角形的三条内角垂直的线段的交点。
三角形的重心有许多有趣的性质，这些性质有助于我们理解和掌握平面几何的基本概念和方法。
2. 三角形重心的性质三角形重心是三角形内三角形内角所在的平分线的交点，又称三角形内心。
三角形重心具有许多性质，其中常见的有：1. 三角形重心是三角形的平衡点，即在三角形重心处放置的物体不会因为重力而摆动。
2. 三角形重心和三角形的每条中线都有关系，即三角形的任意一条中线都经过三角形重心。
3. 三角形重心是三角形的所有边的等价中点，即对于三角形的任意两条边，连接它们的中线都经过三角形重心。
4. 三角形重心与三角形的面积有关，即在三角形重心处切割三角形，得到的两个三角形的面积之和等于原三角形的面积。
5. 三角形重心与三角形的周长有关，3. 类比方法的基本概念三角形重心的性质是指，在一个三角形中，三条垂线的交点称为三角形重心。
三角形重心具有以下几个性质：1. 三角形重心是三角形内部的点。
2. 三角形重心是三角形内每条边的重心。
3. 三角形重心是三角形内所有重心的比例平分线。
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通过视频观察发现在三角形中也存在这样一个点，通过这个点可以把三角形平衡支撑起来，这个点就是三角形的重心。那么确定质地均匀的三角形硬纸片的重心，可以用的方法有很多种，本节课就给大家介绍一种常见的方法：悬挂法，那么悬挂法是如何实施的呢？请同学们认真看视频。
播放视频33.mp4
师：好，接下来请同学们思考一下几个问题？
质量均匀分布的物体（均匀物体），重心的位置只跟物体的形状有关。有规则形状的物体，它的重心就在几何重心上，例如，均匀细直棒的中心在棒的中点，均匀物体的重心在球心，均匀圆柱的重心在轴线的中点。
质量分布不均匀的物体，重心的位置除跟物体的形状有关外，还跟物体内质量的分布有关。载重汽车的重心随着装货多少和装载位置而变化，起重机的重心随着提升物体的重量和高度而变化。
课题
寻找三角形的重心
课时数
1
教学目的
1.了解寻找三角形重心的方法
2.理解三角形重心是三边中线的交点
教
具
三角形纸片
教学重难点
三角形重心是三边中线的交点
一、复习引入
我们首先看一段高难度的杂技视频，看的过程中思考为什么他们可以完成难度如此大的动作
播放视频11.mkv
视频中杂技演员之所以不会掉下来，是因为有一个特殊的支撑点让上面的演员保持着平衡，那么在三角形中是否也存在这样一个特殊的点，我们一起来做一个小实验
（3）三条铅垂线和对边的交点D、E、F分别在对边的什么位置?
师：在二问中我们已经证得了D在BC的中点位置，同理可以得出E,分别在AC,AB的中点位置。
师：好了，通过刚才的视频演示和问题探讨可以得出三角形的重心就是三条边中线得交点
接下来我们就来一起验证一下三角形三边中线的交点是否是三角形的重心？
播放视频44.mp4
任何一个物体都有重心，寻找物体重心的方法除了本节课我们给大家介绍的支撑法和悬挂法以外还有很多种，同学们课后可以去查阅了解一下
Байду номын сангаас教学后记
在力学上,“重心”指物体各部分所受重力的合力的作用点,被视为该物体的总重量的集中点。
任何物体都有重心，重心可以在物体上，也可以在物体外，重心不是真实存在的，只是把物体的重力看成集中于一点，是为了便于分析。
（1）通过悬挂的质地均匀三角形纸板顶点的铅垂线将三角形纸板分成的两部分面积的关系如何？
师：因为我们所用的三角板质地均匀，那么当三角形处于平衡状态时，铅垂线所分得的两个三角形的面积相等
（2）过悬挂的质地均匀的三角形纸板顶点的铅垂线与对边的交点在什么位置？
师：通过1问的解答，我们知道，铅垂线痕迹所分得的两个三角形的面积相等，即 ，因为S ，S ，所以可以很快地得出BD=CD,由此可以得到铅垂线与对边的交点在什么位置在BC边的中点上。