高二数学必修四课件：《平面向量的数量积》
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高中数学 2.4.2平面向量的数量积(一)课件 新人教A版必修4
2.4.2平面向量的数量积
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1
设计问题 创设情境
平面向量的数量积
学生探索 尝ห้องสมุดไป่ตู้解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
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2
设计问题 创设情境
平面向量的数量积
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
信息交流 运用规律
变式演练
揭示规律 解决问题
深化提高
反思小结 观点提炼
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10
设计问题 创设情境
学生探索 尝试解决
平面向量的数量积
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
请同学们想一想，本节课我们学习了哪些知识？ 用到了什么思想方法？你还有其他什么收获？
⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的运算；
⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内 两点间的距离公式；
⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式； ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断
两个平面向量的垂直关系；
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11
[作业精选，巩固提高]
• P108习题2.4 A组：9，10，11.
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12
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3
设计问题 创设情境
平面向量的数量积
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
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4
设计问题 创设情境
学生探索 尝试解决
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1
设计问题 创设情境
平面向量的数量积
学生探索 尝ห้องสมุดไป่ตู้解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
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设计问题 创设情境
平面向量的数量积
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信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
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反思小结 观点提炼
信息交流 运用规律
变式演练
揭示规律 解决问题
深化提高
反思小结 观点提炼
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10
设计问题 创设情境
学生探索 尝试解决
平面向量的数量积
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
请同学们想一想，本节课我们学习了哪些知识？ 用到了什么思想方法？你还有其他什么收获？
⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的运算；
⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内 两点间的距离公式；
⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式； ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断
两个平面向量的垂直关系；
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11
[作业精选，巩固提高]
• P108习题2.4 A组：9，10，11.
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12
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3
设计问题 创设情境
平面向量的数量积
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
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4
设计问题 创设情境
学生探索 尝试解决
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积PPT课件
【答案】
5 4
(2)△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D 是 边 BC 上一点，DC＝2BD，则A→D·B→C＝________.
【思路分析】 考查平面向量的基本定理及向量数量 积运算．
【解析】 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→C＋23A→B， 又∵B→C＝A→C－A→B，A→C2＝1，A→B2＝4， ∴A→B·A→C＝2×1×cos120°＝－1，
3．注意 ①两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0. ②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)． ③a·b 中的“·”不能省略．
1．关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： ①若 a·b＝a·c，则 b＝c. ②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b. ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由 a·(2a －b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得 k＝ 12.
5．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1 ＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
【思路分析】 根据非零向量数量积的定义直接求解即 可，只需确定其夹角 θ.
【解析】 ①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的 夹角为 0°，
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180°， ∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当 a⊥b 时，它们的夹角为 90°， ∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0. ③当 a 与 b 的夹角为 30°时， a·b＝|a||b|cos30°＝2×5× 23＝5 3.
平面向量的数量积(PPT)4-2
5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，怎样 表示向量 AB
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
y a
（x，y）叫做向量a的坐标，记作
即
a + b (x1 x2 , y1 y2 )
同理可得 a - b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差
弊病，所储氢在温和条件下加催化剂释放后即可使用。储氢材料的技术性能指标超过了美国能源部颁布的车用储氢材料标准。 [] 实验室
5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )，b (x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
j
a=(x , y)
Oi
x
那么i =（1 ，0 ） j =（ 0 ，1 ） 0 =（ 0 ，0）
定 [>.× 年] /+ . (7) . ～. 74 H .4777(4) 稳定 + .(7) .～.4 H .4 777() .() 年 /+ 4H 4.7() . ()×- s [4.( ) MeV] - H 4 .() > .×- s (/+) H .44 4() . (7)×- s [.(4) MeV] -# 7H 7.7()# .()×-# s [()# MeV] /+# 备注：画上#号的数据代表没有经过实验的证明，只是理论推测而已，而用括号括起来的代 表数据不确定性氢是一种能量密度很高的清洁可再生能源，但其特； 少儿英语加盟 少儿英语加盟 ；殊性质导致难以常温常压 储存，泄漏后有爆炸危险。若能突破储存技术便可以广泛用于各种动力设备。中国利用特殊溶液大量吸收氢气，一立方米可以吸收超过公斤，平常可以稳定 储存，加入催化剂便可释放氢气，储氢材料可重复使用次。该技术国际领先，或引发氢能利用革命。 [] 保存氢气方法很多，但是高效的储氢方法主要有：液
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，怎样 表示向量 AB
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
y a
（x，y）叫做向量a的坐标，记作
即
a + b (x1 x2 , y1 y2 )
同理可得 a - b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差
弊病，所储氢在温和条件下加催化剂释放后即可使用。储氢材料的技术性能指标超过了美国能源部颁布的车用储氢材料标准。 [] 实验室
5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )，b (x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
j
a=(x , y)
Oi
x
那么i =（1 ，0 ） j =（ 0 ，1 ） 0 =（ 0 ，0）
定 [>.× 年] /+ . (7) . ～. 74 H .4777(4) 稳定 + .(7) .～.4 H .4 777() .() 年 /+ 4H 4.7() . ()×- s [4.( ) MeV] - H 4 .() > .×- s (/+) H .44 4() . (7)×- s [.(4) MeV] -# 7H 7.7()# .()×-# s [()# MeV] /+# 备注：画上#号的数据代表没有经过实验的证明，只是理论推测而已，而用括号括起来的代 表数据不确定性氢是一种能量密度很高的清洁可再生能源，但其特； 少儿英语加盟 少儿英语加盟 ；殊性质导致难以常温常压 储存，泄漏后有爆炸危险。若能突破储存技术便可以广泛用于各种动力设备。中国利用特殊溶液大量吸收氢气，一立方米可以吸收超过公斤，平常可以稳定 储存，加入催化剂便可释放氢气，储氢材料可重复使用次。该技术国际领先，或引发氢能利用革命。 [] 保存氢气方法很多，但是高效的储氢方法主要有：液
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
新人教A版必修四2.4《平面向量的数量积》ppt课件1
当a,b同向，a b 2; 当a,b反向，a b 2。
（2）a b 1 2 cos 3 1
4
例33. 设 | a | 12，| b | 9，a b 54 2，求a 与b 的夹角 .
解：
cos
ab
54
2
| a || b | 12 9
2 2
又 0 180，
135 .
a与 b 垂直： a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a
b
ab
0
x1x2
y1 y2
0
练习：a (3,4), b
终点坐标为( x, 3x),
a,
则
b
且 b起点坐标为( （__1_45_，15_）_
1,
2)
例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4), 求证：(a＋b)⊥b .
(4) cos a b
ab
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的 夹角θ=120°，求a·b。
解： a ·b = |a | |b |cosθ
5 4 cos120
54( 1) 2
10 .
例2：已知 a 1, b 2
(1)a // b,求a b; (2) 3 ,求a b
4
解：（1）由a // b，分两种情况：
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
例 1:已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ),
求a与b的夹角θ.
cosθ ＝ a·b ab
＝
4 2×4
＝1 2
,
∴ θ ＝60º
4、两向量垂直的坐标表示
垂直 a b a b 0
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则 a b x1x2 y1 y2 0
（2）a b 1 2 cos 3 1
4
例33. 设 | a | 12，| b | 9，a b 54 2，求a 与b 的夹角 .
解：
cos
ab
54
2
| a || b | 12 9
2 2
又 0 180，
135 .
a与 b 垂直： a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a
b
ab
0
x1x2
y1 y2
0
练习：a (3,4), b
终点坐标为( x, 3x),
a,
则
b
且 b起点坐标为( （__1_45_，15_）_
1,
2)
例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4), 求证：(a＋b)⊥b .
(4) cos a b
ab
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的 夹角θ=120°，求a·b。
解： a ·b = |a | |b |cosθ
5 4 cos120
54( 1) 2
10 .
例2：已知 a 1, b 2
(1)a // b,求a b; (2) 3 ,求a b
4
解：（1）由a // b，分两种情况：
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
例 1:已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ),
求a与b的夹角θ.
cosθ ＝ a·b ab
＝
4 2×4
＝1 2
,
∴ θ ＝60º
4、两向量垂直的坐标表示
垂直 a b a b 0
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则 a b x1x2 y1 y2 0
人教A版数学必修四.1《平面向量数量积的应用》课件
22
2
(1)若mn,求tanx的值； 1
（2）若m与n的夹角为 ，求x的值。 5
3
12
• 小结：复习了数量积的有关概念和公式， 希望同学们达到熟练能解决投影，垂直， 夹角，模等有关习题
•
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
7、 (20年 15陕西)咸 平阳 面a与 一 向 b夹模 量 角 60为 ， 0
a(2,0)b , 1,则 a2b （ C ） No
A. 5
Image
B . 10
C .2 3
No
D . 10
Image
8、 (201重 2 庆 6， 5分)设x,yR,向量 a（x,1） , b（1，y） ,c（2， -4），a且 c,b//c,
•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
•
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
•
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
4.数量积的主要性质：
设非a 零 x1,y1 向 ,bx 量 2,y2,
1、 a b ab0x1x2y1y20
2、c osθ a b
x1x2 y1y2
ab
x12 y12 x22 y22
3 、 a
2
a aa
x12y12
xx yy |A| B
人教A版高中数学必修四课件2.4.2《平面向量的数量积》(第2课时)
2
2
2
( 2) ( a b ) ( a b ) a b .
证明： (1) (a b ) (a b ) (a b )
2
2
2
aa ab ba bb
a 2a b b ；
( 2) ( a b ) ( a b ) a a a b b a b b
1.会算一个向量在另一个向量上的投影,会运用平面向量数量积 的性质、运算律和几何意义. 2.以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方 面引导学生对向量数量积定义进行探究.通过作图分析,使学生明
确向量的数量积与数的乘法的联系与区别.
3.由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量 积,使学生学习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会 数形结合思想、类比思想,体验法则学习研究的过程,培养学生学 习数学的兴趣及良好的学习习惯.
| a | | a || b | cos 6 | b |
2
2
6 6 4 cos 60 6 4
2
2
72 .
a | a |
2
2
可用来求向量的模
0 的夹角为 已知 a 6， b 4，a与b 60 ，
求:| a b | 和 | a b | .
错误
(2)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是钝角。
正确
(3)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是直角。 正确
课本P 121 A组6 ~ 9
敬请指导
.
（3）（） | a b || a | | b | （4）（） a b 0 a b
√
√
2
2
( 2) ( a b ) ( a b ) a b .
证明： (1) (a b ) (a b ) (a b )
2
2
2
aa ab ba bb
a 2a b b ；
( 2) ( a b ) ( a b ) a a a b b a b b
1.会算一个向量在另一个向量上的投影,会运用平面向量数量积 的性质、运算律和几何意义. 2.以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方 面引导学生对向量数量积定义进行探究.通过作图分析,使学生明
确向量的数量积与数的乘法的联系与区别.
3.由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量 积,使学生学习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会 数形结合思想、类比思想,体验法则学习研究的过程,培养学生学 习数学的兴趣及良好的学习习惯.
| a | | a || b | cos 6 | b |
2
2
6 6 4 cos 60 6 4
2
2
72 .
a | a |
2
2
可用来求向量的模
0 的夹角为 已知 a 6， b 4，a与b 60 ，
求:| a b | 和 | a b | .
错误
(2)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是钝角。
正确
(3)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是直角。 正确
课本P 121 A组6 ~ 9
敬请指导
.
（3）（） | a b || a | | b | （4）（） a b 0 a b
√
√
高二数学 平面向量数量积课件
ab
12 a在b方向上的投影是 | a | cos 5
b在a方向上的投影是 | b | cos 4
再接再厉 如图，△ABC为等腰直角三角形，且直角
边AB=1，求 AB BC BC CA CA BA
解： AB BC, AB BC 0
BC 1, CA 2, 且 BC与CA 的夹角是135
B b B b b B
O
a
A
B1 当为锐角时，
b cos 0
B1
O
a A
O( B1 ) a
A
当 为钝角时， b cos 0
当 为直角时， b cos 0
当 0时， b cos b
当 180时， b cos b
F
F S =| F || S | cos
所以a·b=2×3 ×(－0.5)= －3.
(2) a⊥b, 所以 a·b=0. (3) a//b, 所以 a·b=6或－6.
例4. 如图，△ABC为等腰直角三角形，且
直角边AB=1，求 AB BC BC CA CA BA
解： AB BC, AB BC 0 又 | BC | 1,| CA | 2, BC, CA 135
３ 判断正误：
已知a,b是实数 ,且a 0,若a b 0，则b 0 正确 已知a,b是向量,且a 0,若a b 0，则b 0 错误
想一想
已知 a 5, b 4 (1)若a与b的夹角 =120, 求a b;
解： 1 （1） a b a b cos 5 4 cos120 5 4 ( ) 10 2
BC CA 1 2 cos135 1
高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
平面向量数量积PPT教学课件_1
胚胎干细胞应用 （1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官： 解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
变式：已知 a 6, b =4, a 2b a 3b
72
求 a与b的夹角 .
例4.已知 a 3, b 4，a b 5,求 2a b 的值.
例5.已知 a 3, b 4，且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
胚胎工程专题复习
胚胎工程
胚胎工程指对动物早期胚胎或配子所进行 的多种显微操作和处理技术，如胚胎移植、体 外受精、胚胎分割、胚胎干细胞培养等技术。 经过处理后获得的胚胎，还需要移植到雌性动 物体内生产后代，以满足人类的各种需求。
a b a b cos
其中θ是 a 与b 的夹角.规定，零向量与任一向量的数量积为零，
即a 0 0。 b cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影. B
OB1 b cos
b
θ O
aA
B1
例1.已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，求a b
变式：已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，
桑椹胚 ：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，
排列紧密，形似桑椹
囊胚（内含囊胚腔） 内细胞团：发育成胎儿各组织
滋养层细胞：发育成胎膜和胎盘
原肠胚（内含原肠腔）
胎儿形成
体外受精和早期胚胎培养
一、试管动物技术 1．试管动物技术是指：通过_人__工__操__作____使卵子和精子 在体__外__条__件__下___成熟和受精，并通过培养发育为早__期__胚__胎后 再经移植产生后代的技术。 2．这项技术的前期工作包括_体__外__受__精____和_早__期__胚__胎____。
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的数量积
探究
面向量数量积的坐标表示
4. 若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),则a·b＝x1x2＋y1y2 ，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文 字描述这一结论吗？
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
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2020年12月27日星期日
探究
面向量数量积的坐标表示
5. 如何利用数量积的坐标表示证明 (a＋b)·c＝a·c＋b·c？
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高中数学人教A版必修4PPT课件：平面 向量的 数量积
探究
平面向量数量积的运算性质
2. 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向 时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|； a·a＝a2＝|a|2 或 |a|＝ a a .
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小结
2. 实数的运算性质与向量的运算性质不 完全一致，应用时不要似是而非.
3. 利用︱a︱＝ a可 a以求向量的模，在 字符运算中是一种常用方法.
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小结
4. 利用向量的数量积可以解决有关平行、 垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是 一个工具性知识点，具有很强的功能作用.
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高中数学人教A版必修4PPT课件：平面 向量的 数量积
探究
平面向量数量积的背景与含义
7. 对于两个非零向量a与b，设其夹角为 θ，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那 么该投影一定是正数吗？向量b在a方向 上的投影是什么？
高中数学复习平面向量的数量积人教版必修4ppt课件
C→B＝(1，－1)，cos∠ACB＝|CC→→AA|·|CC→→BB|＝－417
17 .
【互动探究】
列向量的数量积中最大的是( A )
→→
A.AB·AC →→
→→ B.AB·AD 图 8－2－1 → →
1．如图 8－2－1，在边长为 1 的D.正AB六·A边F形 ABCDEF 中，下 C.AB·AE
例 4：已知 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中 0<α<β<π. (1)求证：a＋b 与 a－b 互相垂直； (2)若 ka＋b 与 a－kb 的长度相等，求 β－α 的值(k 为非零的 常数)．
解题思路：本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充
要条件 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 与三角函数的综合运用．
正解：点 P 在直线 y＝2x 上，所以点 P 坐标为(a,2a)，P→A＝ (－1－a,1－2a)，P→B＝(3－a,3－2a)，向量P→A与P→B夹角为钝角的 充要条件是P→A·P→B<0，并且 P、A、B 三点不共线.P→A·P→B＝(－1 －a)(3－a)＋(1－2a)(3－2a)＝5a2－10a，
【互动探究】 4．已知 AD 是△ABC 的中线，A→D＝λA→B＋μA→C(λ、μ∈R)． (1)求 λ＋μ 的值； (2)若∠A＝120°，A→B·A→C＝－2，求|A→D|的最小值．
解：(1)∵B、D、C 三点共线，∴λ＋μ＝1. (2)∵A→D＝12(A→B＋A→C)，∴|A→D|2＝14|A→B＋A→C|2＝14(|A→B|2＋|A→C|2 ＋2A→B·A→C)＝14(|A→B|2＋|A→C|2－4)． ∵A→B·A→C＝－2，∴|A→B|·|A→C|＝4，∴14(|A→B|2＋|A→C|2－4)≥14 (2|A→B|·|A→C|－4)＝14(2×4－4)＝1. ∴|A→D|的最小值是 1.
《平面向量的数量积》课件315张PPT人教A版必修4
θ为锐角时， | b | cosθ＞0
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
平面向量数量积 a ·b的几何意义
向量 a 与b 的数量积等于a 的长度 |a| 与 b 在a 的方向上的投影| b | cosθ的积.
5.6 平面向量的数量积及运算律
设a ,b都是非零向量, e是与b方向相同的单位向量,
是a与e的夹角,则
数 量 积 的 性 质 （1）e · a=a · e=| a | cos （ 2 ） a⊥ b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |， 当a 与b 反向时, a · b = −| a | · | b |.
2 2 a | a | 7．对任意向量 a 有
√
5.6 平面向量的数量积及运算律
小结:
(1)向量的数量积的物理模型是力的做功. (2) a · b 的结果是个数量. (3)利用数量积可以求两向量的夹角,特别是可以判定垂直. (4)二向量的夹角范围 [0,п]. (5)五条性质要掌握.
5.6 平面向量的数量积及运算律
a a | a |2 或 | a | a a(用于计算向量的模) ab (用于计算向量的夹角) （4）cos | a || b | （5）| a · b| ≤| a | · |b|
特别地
5.6 平面向量的数量积及运算律
1．若a =0，则对任一向量b ，有 a · b = 0． √ × × × ×
5.6 平面向量的数量积及运算律
复习思考:
运算结果 向量的加法 向量的减法 实数与向量的乘法 两个向量的数量积 向量 向量 向量
最新高中数学课件高二数学必修4 平面向量数量积的含义 ppt1
A 2
| c || a b | cos | c || a | cos1 | c || b | cos2
c (a b) c a c b
a
bB
即 (a b) c a c b c
1
O
A1 c B1 C
例1：判断正误，说明理由。
①、a 0 0
②、0 a 0
③、a b a b
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
( x1 x2 , y1 y2 )
我们得到a b 的几何意义：
数量积a b等于a 的长度 a与b在 a 的方向上的投影b cos
的乘积。
三、典型例题分析
例1、如图,在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60,
求 : 1.AD BC 2.ABCD 3.AB DA
解: 1因为AD与BC平行且方向相同,
注意：数量积不满足结合律
即: (a b)c a (bc)
（3）(a b) c a c b c
证明：在平面内取一点 O ，作OA a , AB b，OC c
a b （即 OB ）在 c 方向上的投影等于
a, b 在 c 方向上的投影的和，
即 | a b | cos | a | cos1 | b | cos2
3.性质:
a ·b =| a || b |cos
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单
位向量，是a与e的夹角,则 a⊥b=/2cos=0
人教A版高中数学必修4 精选优课课件 2.4 平面向量的数量积(共21张PPT)
: 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单
位向量，是a与e的夹角,则 a⊥b=/2cos=0
(1) e ·a = a ·e=| a |cos.
| a || b |cos=0
(2)a⊥b a ·b =0.
a ·b =0
(3)当a与b同向时,a ·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
3.如图，ABC为等腰三角形，且直角边
AB=1，求 AB • BC BC • CA CA • BA
A
B
C`
第十六页，编辑于星期日：四点 十八分。
小结：
一、知识： 1、两个向量的夹角
2、向量在轴上的正射影及正射影的数量
3、向量数量积的定义及性质
二、能力： 1、运用数量积的定义及性质解决问题 2、探究问题的能力、合作交流的意识
向量与三角的联系；
（4）建立了向量与不等式之间的联系.
第十三页，编辑于星期日：四点 十八分。
课堂练习：
(一)、判断下列命题是否正确
1.若a=0,则对任意向量b，有a ·b=0.
()
2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a ·b≠0.
(×)
3.若a≠0,且a ·b=0,则b=0.
(×)
4.若a·b=0，则a=0或b=0.
也不能用 ×代替
B A
第五页，编辑于星期日：四点 十八分。
小组活动
思考：向量的数量积运算与线性运算的结 果有什么不同？影响数量积大小的因素有 哪些？
注意 两个向量的数量积是一个数量，而不是向
量. 讨论，并完成下表：
的范围 0°≤ <90° =90° 0°< ≤180°
a ·b 的符 号
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高二数学必修四课件：《平面向量的数量积》学习，学习，再学习！学，然后知不足。
读书忌死读，死读钻牛角。
下面为您推荐高二数学必修四课件：《平面向量的数量积》。
教学准备
教学目标
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重难点
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程
1.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，
则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cosq，（0）.
并规定0向量与任何向量的数量积为0.
探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负?
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，
而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用代替.
（3）在实数中，若a?0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.教案【二】教学准备教学目标
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重难点
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学工具
投影仪
教学过程
复习引入：
.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=
五，课堂小结
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
六、课后作业
P107习题2.4A组2、7题
课后小结
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
课后习题
作业
P107习题2.4A组2、7题
板书略。