一元二次不等式恒成立问题专项练习
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一元二次不等式恒成立问题专项练习 例题:设函数f (x )=mx 2-mx -1.
(1)若对于一切实数x ,f (x )<0恒成立,求m 的取值范围;
(2)对于x ∈[1,3],f (x )<-m +5恒成立,求m 的取值范围.
(3)对于任意m ∈[1,3],f (x )<-m +5恒成立,求实数x 的取值范围. 解: (1)要使mx 2-mx -1<0恒成立,
若m =0,显然-1<0,满足题意;
若m ≠0,则⎩⎨⎧ m <0,
Δ=m 2+4m <0,即-4 (2)方法一 要使f (x )<-m +5在x ∈[1,3]上恒成立, 就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫ x -122 +34m -6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 令g (x )=m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122 +34m -6,x ∈[1,3]. 当m >0时,g (x )在[1,3]上是增函数, ∴g (x )max =g (3)=7m -6<0,∴0 当m =0时,-6<0恒成立; 当m <0时,g (x )在[1,3]上是减函数, ∴g (x )max =g (1)=m -6<0,得m <6,∴m <0. 综上所述,m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫ -∞,67. 方法二 当x ∈[1,3]时,f (x )<-m +5恒成立, 即当x ∈[1,3]时,m (x 2-x +1)-6<0恒成立. ∵x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫ x -122 +34>0, 又m (x 2-x +1)-6<0,∴m <6 x 2-x +1. ∵函数y =6x 2-x +1=6⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34 在[1,3]上的最小值为67 ,∴只需 m <67即可. 综上所述,m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,67. (3) 解 f (x )<-m +5,即mx 2-mx -1<-m +5, m (x 2-x +1)-6<0. 设g (m )=m (x 2-x +1)-6. 则g (m )是关于m 的一次函数且斜率 x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34 >0. ∴g (m )在[1,3]上为增函数,要使g (m )<0在[1,3]上恒成立,只需g (m )max =g (3)<0, 即3(x 2-x +1)-6<0,x 2-x -1<0, 方程x 2-x -1=0的两根为x 1=1-52,x 2=1+52, ∴x 2-x -1<0的解集为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1-52,1+52, 即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1-52 ,1+52. 练习: 1. 当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx +4<0恒成立,则m 的取值范围是________. 解析: 构造函数f (x )=x 2+mx +4,x ∈[1,2], 则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2). 由于当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx +4<0恒成立. 则有⎩⎨⎧ f 1≤0,f 2≤0,即⎩⎨⎧ 1+m +4≤0,4+2m +4≤0, 可得⎩⎨⎧ m ≤-5,m ≤-4,所以m ≤-5. 2.若不等式x 2+mx +1≥0的解集为R ,则实数m 的取值范围是( ) A.m ≥2 B.m ≤-2 C.m ≤-2或m ≥2 D.-2≤m ≤2 答案 D 解析 由题意,得Δ=m 2-4≤0,∴-2≤m ≤2. 3.当不等式x 2+x +k >0恒成立时,k 的取值范围为________. 答案 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫14,+∞ 解析 由题意知Δ<0,即1-4k <0, 得k >14,即k ∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫14,+∞. 3.若关于x 的不等式x 2-4x -m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立,则m 的最大值为 ( ) A.1 B.-1 C.-3 D.3 答案 C 解析 由已知可得m ≤x 2-4x 对一切x ∈(0,1]恒成立, 又f (x )=x 2-4x 在(0,1]上为减函数, ∴f (x )min =f (1)=-3, ∴m ≤-3, ∴m 的最大值为-3. 4.对任意a ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(a -4)x +4-2a 的值恒大于零,则x 的取值范围是( ) A.1 B.x <1或x >3 C.1 D.x <1或x >2 答案 B 解析 设g (a )=(x -2)a +(x 2-4x +4), g (a )>0恒成立且a ∈[-1,1] ⇔⎩⎨⎧ g 1=x 2-3x +2>0,g -1=x 2-5x +6>0 ⇔⎩⎨⎧ x <1或x >2,x <2或x >3⇔x <1或x >3. 5.对于任意实数x ,不等式(a -2)x 2-2(a -2)x -4<0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2] 答案 D 解析 当a -2≠0时, ⎩⎨⎧ a -2<0,4a -22-4 a -2·-4<0,即⎩⎨⎧ a <2,a 2<4, 解得-2 当a -2=0时,-4<0恒成立,