一元二次不等式恒成立问题专项练习
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
一元二次不等式综合.含参恒成立问题(经典集锦)
一元二次不等式综合题型一.求定义域问题：求下列函数的定义域：1.)10(log 322≠>=--a a y x x a 且 2.942+-=x x y 3.181222-+-=x x y二.一元二次不等式变形问题:解下列不等式：1.⎩⎨⎧<->+0203x x2.⎩⎨⎧≥-->-+0620622x x x x3.⎩⎨⎧<-≥--0304322x x x4.4202≤--≤x x5.设集合S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |x 2＋4x －21<0}，则S ∩T三.含参数的一元二次不等式问题：解下列不等式1.02≤-a x()0>a 2.()R a a x ∈≤-02 3.)(022R a a ax x ∈<--4.()012<++-a x a x5.)(222R a ax x ax ∈-≥-6.()()R a a x a ax∈<++-0122 7.()()110122<<-<++-a a x a ax四.不等式“有根”，“没根”，“恒成立”问题：1.不等式02>++c bx ax 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：(1)当0,00>==c b a 时，(2)当⎩⎨⎧<∆>≠000a a 时， 2.不等式02>++c bx ax 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：（1）当0,00>==c b a 时，（2）当⎩⎨⎧<∆<≠000a a 时， 3.a x f ≤)(恒成立⇔[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-a x f a x f max )(0)(选择一种方法；a x f ≥)(恒成立⇔[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≥-a x f a x f min )(0)(选择一种方法 含参数a 不等式，求参数a 的取值范围：已知()x a →例1.当m 为什么实数时，关于x 的一元二次方程()01=+--m x m mx ，没有实根。
高考数学一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型(解析版)
一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型命题趋势不等式是高考数学的重要内容。
其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐。
另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维灵活性、创造性都有这独到的作用。
一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用。
满分技巧一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1.不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔a=b=0c>0或a>0△<02.不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔a=b=0c<0或a<0△<0【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若f x >0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f x >0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数f x 的值域为m,n，则f x ≥a恒成立⇒f x min≥a，即m ≥a；f x ≤a恒成立⇒f x min≤a，即n≤a.三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：1.对任意的x∈m,n，a>f x 恒成立⇒a>f x max；若存在x∈m,n，a>f x 有解⇒a>f x min；公众号：高中数学最新试题若对任意x∈m,n，a>f x 无解⇒a≤f x min.2.对任意的x∈m,n，a<f x 恒成立⇒a<f x min；若存在x∈m,n，a<f x 有解⇒a<f x max；若对任意x∈m,n，a<f x 无解⇒a≥f x max.热点题型解读【题型1一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】【例1】(2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测)使得不等式x2-ax+1>0对∀x∈R恒成立的一个充分不必要条件是()A.0<a<2B.0<a≤2C.a<2D.a>-2【答案】A【解析】由不等式x2-ax+1>0对∀x∈R恒成立，得Δ<0，即-a2-4<0，解得-2<a<2， 从选项可知0<a<2是-2<a<2的充分不必要条件，故选：A.【变式1-1】(2022秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习)已知命题“∃x∈R，使4x2+a-1x+ 1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3)B.(-5,3)C.(5,+∞)D.(-3,5)【答案】D【解析】因为命题“∃x∈R，使4x2+a-1x+1≤0”是假命题，所以，命题“∀x∈R，4x2+a-1x+1>0”是真命题，所以，Δ=(a-1)2-16<0，解得-3<a<5，故实数a的取值范围是(-3,5)．故选：D.【变式1-2】(2023·全国·高三专题练习)若命题“关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立”是假命题，则实数m 的取值范围是____________．【答案】m ≤-1或m >0【解析】若命题是真命题：当m =0时，2mx 2+4mx +m -1<0，可化为-1<0，成立；当m ≠0时，m <0Δ=16m 2-8m m -1 <0 ，解得-1<m <0综合得当-1<m ≤0时，关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立是真命题，若命题“关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立”是假命题则m ≤-1或m >0【变式1-3】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)已知关于x 的不等式x +kx-k >0恒成立，则实数k 的取值范围是_____________．【答案】[0,4)【解析】x +kx -k >0，即x -k x +k >0(x >0)，令t =x >0，则t 2-kt +k >0(t >0)恒成立．所以k 2≤002-k ×0+k ≥0或k 2>0Δ=-k 2-4k <0,解得0≤k <4，故实数k 的取值范围是[0,4)．【变式1-4】(2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末)关于x 的不等式a 2-16 x 2-(a -4)x -1≥0的解集为∅，则实数a 的取值范围为_________．【答案】a ∣-125<a ≤4 【解析】当a =4时，不等式可化为-1≥0，无解，满足题意；当a =-4时，不等式化为8x -1≥0，解得x ≥18，不符合题意，舍去；当a ≠±4时，要使得不等式a 2-16 x 2-(a -4)x -1≥0的解集为∅，则a 2-16<0,Δ=a -4 2+4a 2-16 <0, 解得-125<a <4．综上，实数a 的取值范围是a ∣-125<a ≤4 ．【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】公众号：高中数学最新试题【例2】(2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第三十一中学校考开学考试)已知不等式-2x 2+bx +c >0的解集x -1<x <3 ，若对任意-1≤x ≤0，不等式-2x 2+bx +c +t ≤4恒成立．则t 的取值范围是__________．【答案】t ≤-2【解析】由题设，b 2=2且-c 2=-3，可得b =4,c =6，所以-2x 2+4x +2+t ≤0在-1≤x ≤0上恒成立，而f (x )=-2x 2+4x +2+t 在(-∞,1)上递增，故只需f (0)=2+t ≤0即可，所以t ≤-2.【变式2-1】(2022秋·山东青岛·高三统考期中)已知关于x 的不等式ax 2+(1-3a )x +2≥0的解集为A ，设B ={-1,1}，B ⊆A ，则实数a 的取值范围为()A.-32≤a ≤14B.-14≤a ≤32C.a ≤-14D.a ≥32【答案】B【解析】由题意，a (x 2-3x )+x +2≥0在B ={-1,1}上恒成立，所以4a +1≥03-2a ≥0，可得-14≤a ≤32.故选：B【变式2-2】(2022秋·河南·高三期末)已知a >0，b ∈R ，若x >0时，关于x 的不等式ax -2 x2+bx -5 ≥0恒成立，则b +4a的最小值为()A.2B.25C.43D.32【答案】B【解析】设y =ax -2(x >0)，y =x 2+bx -5(x >0)，因为a >0，所以当0<x <2a时，y =ax -2<0；当x =2a时，y =ax -2=0；当x >2a时，y =ax -2>0；由不等式(ax -2)x 2+bx -5 ≥0恒成立，得：ax -2≤0x 2+bx -5≤0 或ax -2≥0x 2+bx -5≥0 ，即当0<x ≤2a时，x 2+bx -5≤0恒成立，当x ≥2a时，x 2+bx -5≥0恒成立，所以当x =2a 时，y =x 2+bx -5=0，则4a2+2b a -5=0，即b =5a 2-2a ，则当a>0时，b+4a=5a2-2a+4a=5a2+2a≥25a2×2a=25，当且仅当5a2=2a，即a=255时等号成立，所以b+4a的最小值为2 5.故选：B.【变式2-3】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)已知函数f x =ax2+x+a，不等式f x <5的解集为-3 2，1．(1)求a的值；(2)若f x >mx在x∈0,5上恒成立，求m的取值范围．【答案】(1)a=2；(2){m|m<5}．【解析】(1)f x =ax2+x+a<5的解集为-3 2，1，即ax2+x+a-5<0的解集为-3 2，1，∴a>0-32+1=-1a-32×1=a-5a，解得a=2；(2)由(Ⅰ)可得f x =2x2+x+2，∵f x >mx在x∈0，5上恒成立，即2x2+1-mx+2>0恒成立，令h x =2x2+1-mx+2，则h x >0在0，5上恒成立，有m-14≤0h0 =2>0或0<m-14≤5m-12-2×2×4<0或m-14>5h5 =52+51-m>0，解得m≤1或1<m<5或m∈∅，综上可得m的范围为{m|m<5}．【变式2-4】(2021秋·陕西西安·高三校考阶段练习)已知二次函数f x 满足f2 =-1，f-1=-1，且f x 的最大值是8.(1)试确定该二次函数的解析式；(2)f x >2x+k在区间-3,1上恒成立，试求k的取值范围.【答案】(1)f x =-4x2+4x+7；(2)k的取值范围为-∞,-35.【解析】(1)由f(2)=f(-1)，得x=2-12=12为二次函数的对称轴，因函数f(x)的最大值为8，所以可设f x =a x-1 22+8 ，公众号：高中数学最新试题又因f (2)=94a +8=-1，所以a =-4，因此f x =-4x 2+4x +7.(2)由(1)不等式f x >2x +k ，可化为-4x 2+4x +7>2x +k ，所以k <-4x 2+2x +7，因为f x >2x +k 在区间-3,1 上恒成立，所以k <-4x 2+2x +7在区间-3,1 上恒成立，故k <-4x 2+2x +7 min ，其中x ∈-3,1 ，又函数y =-4x 2+2x +7=-4x -142+294，又当x =-3时，y =-35，当x =1时，y =5，所以函数y =-4x 2+2x +7在-3,1 上的最小值为-35，所以k <-35，所以k 的取值范围为-∞,-35 .【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】(2021·吉林松原·校考三模)若不等式x 2-ax ≥16-3x -4a 对任意a ∈-2,4 成立，则x 的取值范围为()A.-∞,-8 ∪3,+∞B.-∞,0 ∪1,+∞C.-8,6D.0,3【答案】A【解析】由题得不等式(x -4)a -x 2-3x +16≤0对任意a ∈-2,4 成立，所以(x -4)(-2)-x 2-3x +16≤0(x -4)4-x 2-3x +16≤0 ，即-x 2-5x +24≤0-x 2+x ≤0，解之得x ≥3或x ≤-8.故选：A【变式3-1】(2022秋·湖北襄阳·高三校考阶段练习)若命题“∃a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a <0”为假命题，则实数x 的取值范围为()A.-1,4B.0,53C.-1,0 ∪53,4D.-1,0 ∪53,4【答案】C【解析】命题“∃a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a <0”为假命题，其否定为真命题，即“∀a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a ≥0”为真命题．令g (a )=ax 2-2ax +x +3-a =(x 2-2x -1)a +x +3≥0，则g (-1)≥0g (3)≥0 ，即-x 2+3x +4≥03x 2-5x ≥0 ，解得-1≤x ≤4x ≥53或x ≤0 ，所以实数x 的取值范围为-1,0 ∪53,4.故选：C 【变式3-2】(2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习)已知当-1≤a ≤1时，x 2+a -4 x +4-2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是()A.-∞,3B.-∞,1∪ 3,+∞C.-∞,1D.-∞,1 ∪3,+∞【答案】D【解析】x 2+a -4 x +4-2a >0恒成立，即x -2 a +x 2-4x +4>0，对任意得a ∈-1,1 恒成立，令f a =x -2 a +x 2-4x +4，a ∈-1,1 ，当x =2时，f a =0，不符题意，故x ≠2，当x >2时，函数f a 在a ∈-1,1 上递增，则f a min =f -1 =-x +2+x 2-4x +4>0，解得x >3或x <2(舍去)，当x <2时，函数f a 在a ∈-1,1 上递减，则f a min =f 1 =x -2+x 2-4x +4>0，解得x <1或x >2(舍去)，综上所述，实数x 的取值范围是-∞,1 ∪3,+∞ .故选：D .【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)当a ∈2,3 时，不等式ax 2-x +1-a ≤0恒成立，求x 的取值范围．【答案】-12,1 ．【解析】由题意不等式ax 2-x +1-a ≤0对a ∈2,3 恒成立，可设f (a )=(x 2-1)a +(-x +1)，a ∈2,3 ，则f (a )是关于a 的一次函数，要使题意成立只需f (2)≤0f (3)≤0，即2x 2-x -1≤03x 2-x -2≤0 ，解2x 2-x -1≤0，即2x +1 x -1 ≤0得-12≤x ≤1，解3x 2-x -2≤0，即3x +2 x -1 ≤0得-23≤x ≤1，所以原不等式的解集为-12,1 ，所以x 的取值范围是-12,1．【变式3-4】(2021·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试)设函数f x =mx 2-mx -1．(1)若对于x ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于m ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，求x 的取值范围．【答案】(1)-∞,67；(2)-1,2 【解析】(1)若对于x ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，即mx 2-mx +m -6<0对于x ∈-2,2 恒成立，即m <6x 2-x +1对于x ∈-2,2 恒成立．公众号：高中数学最新试题令h x =6x 2-x +1=6x -12 2+34，x ∈-2,2 ，则h x min =h (-2)=6254+34=67，故m <67，所以m 的取值范围为-∞,67．(2)对于m ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，即mx 2-mx -1<-m +5恒成立，故m x 2-x +1 -6<0恒成立，令g m =m x 2-x +1 -6，则g -2 =-2x 2-x +1 -6<0g 2 =2x 2-x +1 -6<0 ，解得-1<x <2，所以x 的取值范围为-1,2 ．【题型4一元二次不等式在实数集上的有解问题】【例4】(2023·全国·高三专题练习)若存在实数x ，使得mx 2-m -2 x +m <0成立，则实数m 的取值范围为()A.-∞,2B.-∞,0 ∪13,32C.-∞,23D.-∞,1 【答案】C【解析】①当m =0时，不等式化为2x <0，解得：x <0，符合题意；②当m >0时，y =mx 2-m -2 x +m 为开口方向向上的二次函数，只需Δ=m -2 2-4m 2=-3m 2-4m +4>0，即0<m <23；③当m <0时，y =mx 2-m -2 x +m 为开口方向向下的二次函数，则必存在实数x ，使得mx 2-m -2 x +m <0成立；综上所述：实数m 的取值范围为-∞,23.故选：C .【变式4-1】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)若关于x 的不等式a 2-4 x 2+a +2 x -1≥0的解集不为空集，则实数a 的取值范围为()A.-2,65B.-2,65C.(-∞,-2)∪65,+∞ D.(-∞,-2]∪65,+∞【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：①当a 2-4=0时，即a =±2，若a=2时，原不等式为4x-1≥0，解可得：x≥1 4，则不等式的解集为x x≥1 4，不是空集；若a=-2时，原不等式为-1≥0，无解，不符合题意；②当a2-4≠0时，即a≠±2，若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集，则有a2-4<0Δ=(a+2)2+4(a2-4)<0，解得-2<a<65，则当不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集时，有a<-2或a≥65且a≠2，综合可得：实数a的取值范围为(-∞,-2)∪65,+∞；故选：C．【变式4-2】(2023·全国·高三专题练习)若关于x的不等式ax2-(a+2)x+94<0有解，则实数a的取值范围是____．【答案】(-∞,1)∪(4,+∞)【解答】当a=0时，不等式为-2x+94<0有解，故a=0，满足题意；当a>0时，若不等式ax2-(a+2)x+94<0有解，则满足Δ=(a+2)2-4a⋅94>0，解得a<1或a>4；当a<0时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式ax2-(a+2)x+94<0总是有解，所以a<0，综上可得，实数a的取值范围是(-∞,1)∪(4,+∞).【变式4-3】(2022·全国·高三专题练习)若关于x的不等式ax2+2x+1<0有实数解，则a的取值范围是_____．【答案】-∞,1【解析】当a=0时，不等式为2x+1<0有实数解，所以a=0符合题意；当a<0时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式ax2+2x+1<0有实数解，符合题意；当a>0时，要使不等式ax2+2x+1<0有实数解，则需满足Δ=4-4a>0，可得a<1，所以0<a<1，综上所述：a的取值范围是-∞,1，公众号：高中数学最新试题【题型5一元二次不等式在某区间上的有解问题】【例5】(2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)若关于x 的不等式x 2-6x +2-a >0在区间0,5 内有解，则实数a 的取值范围是()．A.2,+∞B.-∞,5C.-∞,-3D.-∞,2【答案】D【解析】不等式x 2-6x +2-a >0在区间0,5 内有解，仅需(x 2-6x +2)max >a 即可，令f (x )=x 2-6x +2，因为f (x )的对称轴为x =--62×1=3，f (0)=2，f (5)=-3，所以由一元二次函数的图像和性质的得(x 2-6x +2)max =2，所以a <2，故选：D【变式5-1】(2023·全国·高三专题练习)已知关于x 的不等式mx 2-6x +3m <0在0，2 上有解，则实数m 的取值范围是()A.-∞，3B.-∞，127C.3，+∞D.127，+∞ 【答案】A【解析】由题意得，mx 2-6x +3m <0，x ∈0，2 ，即m <6xx 2+3，故问题转化为m <6xx 2+3在0，2 上有解，设g (x )=6x x 2+3，则g (x )=6x x 2+3=6x +3x ，x ∈0，2 ，对于x +3x≥23，当且仅当x =3∈(0,2]时取等号，则g (x )max =623=3，故m <3，故选：A【变式5-2】(2022·全国·高三专题练习)命题p :∃x ∈{x |1≤x ≤9}，x 2-ax +36≤0，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为()A.a ≥37 B.a ≥13C.a ≥12D.a ≤13【答案】C【解析】∵命题p :∃x ∈{x |1≤x ≤9}，使x 2-ax +36≤0为真命题，即∃x ∈{x |1≤x ≤9}，使x 2-ax +36≤0成立，即a ≥x +36x能成立设f (x )=x +36x ，则f (x )=x +36x≥2x ⋅36x =12，当且仅当x =36x，即x =6时，取等号，即f (x )min =12，∴a ≥12，故a的取值范围是a≥12．故选：C．【变式5-3】(2022秋·北京·高三统考阶段练习)若存在x∈[0,1]，有x2+(1-a)x+3-a>0成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】-∞,3【解析】将原不等式参数分离可得a<x2+x+3x+1，设f x =x2+x+3x+1，已知存在x∈[0,1]，有x2+(1-a)x+3-a>0成立，则a<f x max，令t=x+1，则f x =t-12+t-1+3t=t2-t+3t=t+3t-1，t∈1,2，由对勾函数知f x 在1,3上单调递减，在3,2上单调递增，f1 =1+31-1=3，f2 =2+32-1=52，所以f x max=f1 =3，即a<3.【变式5-4】(2023·全国·高三专题练习)已知命题“∃x∈[-1,1]，-x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a 的取值范围是______．【答案】-2,+∞【解析】因为命题“∃x∈[-1,1]，-x02+3x0+a>0”为真命题则∃x∈[-1,1]，a>x2-3x有解，设f(x)=x2-3x，则f(x)=x2-3x=x-3 22-94，当x∈[-1,1]时，f(x)单调递减，所以-2≤f(x)≤4，所以a>-2.【变式5-5】(2022·全国·高三专题练习)设f x 为奇函数，g x 为偶函数，对于任意x∈R均有f x + 2g x =mx-4.若f x -x2+2g x ≥0在x∈0,+∞上有解，则实数m的取值范围是_____ _.【答案】m≥4【解析】由题设，f x -x2+2g x =mx-4-x2≥0，即x2-mx+4≤0在x∈0,+∞上有解，对于y=x2-mx+4，开口向上且对称轴为x=m2，Δ=m2-16，y|x=0=4，∴Δ≥0m2>0，可得m≥4.公众号：高中数学最新试题限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)已知命题P:∀x∈R，x2-2x+m>0，则满足命题P为真命题的一个充分条件是()A.m>2B.m<0C.m<1D.m≥1【答案】A【解析】∵命题P为真命题，∴不等式x2-2x+m>0在R上恒成立，∴△=4-4m<0，解得m>1，对于A，m>2⇒m>1，∴m>2 是m>1的充分条件，∴m>2 是命题P为真命题的充分条件，选项A正确；对于B，m<0推不出m>1，∴m<0不是m>1的充分条件，∴m<0不是命题P为真命题的充分条件，选项B不正确；对于C，m<1推不出m>1，∴m<1不是m>1的充分条件，∴m<1不是命题P为真命题的充分条件，选项C不正确对于D，m≥1推不出m>1，∴m≥1不是m>1的充分条件，∴m≥1不是命题P为真命题的充分条件，选项D不正确.故选：A.2.(2022秋·北京大兴·高三统考期中)若命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是真命题，则实数m的取值范围是()A.m<1B.m≤1C.m>1D.m≥1【答案】B【解析】由题可知，不等式x2+2x+m≤0在实数范围内有解，等价于方程x2+2x+m=0有实数解，即△=4-4m≥0，解得m≤1.故选：B.3.(2022秋·全国·高三校联考阶段练习)设m∈R，则“m>-34”是“不等式x2-x+m+1≥0在R上恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由不等式x2-x+m+1≥0在R上恒成立，得△=-1 2-4m +1 ≤0，解得m ≥-34．所以“m >-34”是“不等式x 2-x +m +1≥0在R 上恒成立”的充分不必要条件．故选：A 4.(2022秋·宁夏银川·高三校考期中)已知命题P :∀x ∈R ，x 2-x +a >0，若-P 是假命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞,14B.14,12C.14,+∞D.12,+∞【答案】C【解析】已知命题P :∀x ∈R ，x 2-x +a >0，若-P 是假命题，则不等式x 2-x +a >0在R 上恒成立，∴△=1-4m <0，解得a >14.因此，实数a 的取值范围是14,+∞.故选：C .5.(2022秋·河南·高三校联考阶段练习)设函数f x =2ax 2-ax ，命题“∃x ∈0,1 ，f x ≤-a +3”是假命题，则实数a 的取值范围为()A.-∞,3B.3,+∞C.247,+∞D.32,+∞【答案】C【解析】因为命题“∃x ∈0,1 ，f x ≤-a +3”是假命题，所以∃x ∈0,1 ，f x >-a +3是真命题，又f x >-a +3可化为2ax 2-ax >-a +3，即a 2x 2-x +1 >3，当x ∈0,1 时，2x 2-x +1∈78,2，所以m >32x 2-x +1在x ∈0,1 上恒成立，所以m >32x 2-x +1 max其中,x ∈0,1 ，当x =14时2x 2-x +1有最小值为78，此时32x 2-x +1有最大值为247，所以m >247，故实数m 的取值范围是247,+∞ ，故选：C 6.(2023·全国·高三专题练习)若对任意的x ∈-1,0 ,-2x 2+4x +2+m ≥0恒成立，则m 的取值范围是()A.4,+∞B.2,+∞C.-∞,4D.-∞,2【答案】A【解析】因为对任意的x ∈-1,0 ,-2x 2+4x +2+m ≥0恒成立，所以对任意的x ∈-1,0 ,m ≥2x 2-4x -2恒成立，公众号：高中数学最新试题因为当x ∈-1,0 ，y =2x -1 2-4∈-2,4 ，所以m ≥2x 2-4x -2 max =4，x ∈-1,0 ，即m 的取值范围是4,+∞ ，故选：A7.(2021秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习)设函数f x =mx 2-mx -1，若对于任意的x ∈x |1≤x ≤3 ，f x <-m +4恒成立，则实数m 的取值范围为()A.m <57B.0≤m <57C.m <0或0<m <57D.m ≤0【答案】A【解析】若对于任意的x ∈x |1≤x ≤3 ，f x <-m +4恒成立,即可知：mx 2-mx +m -5<0在x ∈x |1≤x ≤3 上恒成立,令g x =mx 2-mx +m -5，对称轴为x =12.当m =0时，-5<0恒成立，当m <0时，有g x 开口向下且在1,3 上单调递减，在1,3 上g x max =g 1 =m -5<0，得m <5，故有m <0.当m >0时，有g x 开口向上且在1,3 上单调递增在1,3 上g x max =g 3 =7m -5<0，∴0<m <57综上，实数m 的取值范围为m <57，故选：A .8.(2022秋·湖南邵阳·高三统考期中)设函数f x =x 2+2ax +a 2-2a +3，若对于任意的x ∈R ，不等式f f x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是()A.a ≥32B.a ≤2C.32<a ≤2 D.a ≤32【答案】B【解析】∵f x =x 2+2ax +a 2-2a +3=x +a 2-2a +3，即开口向上且f x ∈-2a +3,+∞ ，由f f x ≥0恒成立，即f x ≥0在-2a +3,+∞ 上恒成立，∴当-2a +3≥0时，即a ≤32，由二次函数的性质，f x ≥0显然成立；当a >32时，y =f x 有两个零点，则只需满足-a ≤-2a +3f -2a +3 ≥0，解得a ≤2，故32<a ≤2；综上，a 的取值范围是a ≤2.故选：B9.(2022秋·辽宁鞍山·高三校联考期中)设a ∈R ，，若关于x 的不等式x 2-ax +1≥0在1≤x ≤2上有解，则()A.a ≤2B.a ≥2C.a ≤52D.a ≥52【答案】C【解析】由x 2-ax +1≥0在1≤x ≤2上有解，得x 2+1x≥a 在1≤x ≤2上有解，则a ≤x 2+1x max ，由于x 2+1x =x +1x ，而x +1x 在1≤x ≤2单调递增，故当x =2时，x +1x 取最大值为52，故a ≤52，故选：C 10.(2023·全国·高三专题练习)已知命题“∃x 0∈R ，4x 02+a -2 x 0+14≤0”是真命题，则实数a 的取值范围()A.-∞,0B.0,4C.4,+∞D.-∞,0 ⋃4,+∞【答案】D【解析】由题意，命题∃x 0∈R ，4x 02+a -2 x 0+14≤”是真命题故△=a -2 2-4×4×14=a 2-4a ≥0，解得a ≥4或a ≤0.则实数a 的取值范围是-∞,0 ⋃4,+∞ 故选：D .11.(2022·全国·高三专题练习)已知关于x 的不等式-x 2+4x ≥a 2-3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是()A.a |-1≤a ≤4B.a |-1<a <4C.a |a ≥4或a ≤-1D.a |-4≤a ≤1【答案】A【解析】因为关于x 的不等式-x 2+4x ≥a 2-3a 在R 上有解，即x 2-4x +a 2-3a ≤0在R 上有解，只需y =x 2-4x +a 2-3a 的图象与x 轴有公共点，所以△=-4 2-4×a 2-3a ≥0，即a 2-3a -4≤0，所以a -4 a +1 ≤0，解得：-1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围是a |-1≤a ≤4 ，故选：A .12.(2022·全国·高三专题练习)若关于x 的不等式x 2+ax -2>0在区间1,5 上有解，则实数a 的取值范围为()A.-235,+∞ B.-235,1C.1,+∞D.-∞,-235公众号：高中数学最新试题【答案】A【解析】关于x的不等式x2+ax-2>0在区间1,5上有解，ax>2-x2在x∈1,5上有解，即a>2x-x在x∈1,5上成立；设函数f x =2x-x，x∈1,5，∴f x 在x∈1,5上是单调减函数，又f1 =2-1=1，f5 =25-5=-235所以f x 的值域为-23 5,1，要a>2x-x在x∈1,5上有解，则a>-235，即实数a的取值范围为-235,+∞．故选：A．13.(2021秋·江苏徐州·高三统考阶段练习)若存在实数x，使得关于x的不等式ax2-4x+a-3<0成立，则实数a的取值范围是______.【答案】a<4【解析】a<3时，若x=0，则不等式为a-3<0，不等式成立，满足题意，a≥3时，在在x使得不等式ax2-4x+a-3<0成立，则△=16-4a a-3>0，∴3≤a<4．综上，a<4．14.(2021·全国·高三专题练习)已知函数x2-x,x≤02x,x>0.若存在x∈R使得关于x的不等式f x ≤ax-1成立，则实数a的取值范围是________.【答案】-∞,-3⋃-1,+∞【解析】由题意，当x=0时，不等式f x ≤ax-1可化为0≤-1显然不成立；当x<0时，不等式f x ≤ax-1可化为x2-x+1≤ax，所以a≤x+1x-1，又当x<0时，x+1x=--x+-1x≤-2，当且仅当-x=-1x，即x=-1时，等号成立；当x>0时，不等式f x ≤ax-1可化为2x+1≤ax，即a≥1x+2x=1x+12-1≥-1；因为存在x∈R使得关于x的不等式f x ≤ax-1成立，所以，只需a≤-2-1=-3或a≥-1.15.(2020·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)若命题：“存在整数x使不等式kx-k2-4x-4<0成立”是假命题，则实数k 的取值范围是____________.【答案】1,4【解析】设不等式kx -k 2-4 x -4 <0的解集为A，当k =0时，不等式kx -k 2-4 x -4 <0化为x >4，存在整数x 使不等式成立，所以此时不满足题意，所以k ≠0；当k >0时，原不等式化为x -k +4kx -4 <0，因为k +4k ≥2k ⋅4k =4,当且仅当k =4k即k =2时取等号，所以A =x |4<x <k +4k ，要使命题：“存在整数x 使不等式kx -k 2-4 x -4 <0成立”是假命题，则需4≤k +4k≤5，解得1≤k ≤4；当k <0时，原不等式化为x -k +4kx -4 >0，而k +4k =--k +4-k ≤-2-k ⋅4-k =-4，当且仅当-k =4-k即k =-2时取等号，所以A =-∞,k +4k∪4,+∞ ,所以存在整数x 使不等式kx -k 2-4 x -4 <0成立，所以k <0不合题意.综上可知，实数k 的取值范围是1,4 .16.(2022秋·江苏连云港·高三校考开学考试)ax 2-2x +1≥0,∀x >0恒成立，则实数a 的取值范围是_________ .【答案】1,+∞【解析】由ax 2-2x +1≥0,∀x >0恒成立，可得，a ≥2x -1x2对∀x >0恒成立，令y =2x -1x2，则y =1-1x -1 2,1x >0 当1x=1时，y max =1，所以a ≥y max =1.17.(2021·全国·高三专题练习)若不等式x 2-2>mx 对满足m ≤1的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________【答案】x <-2或x >2【解析】因为x 2-2>mx ，所以mx -x 2+2<0令f m =mx -x 2+2，即f m <0在m ≤1恒成立，即-1≤m ≤1时f m <0恒成立，公众号：高中数学最新试题所以f1 <0f-1<0，即x-x2+2<0-x-x2+2<0，解x-x2+2<0得x>2或x<-1；解-x-x2+2<0得x>1或x<-2，所以原不等式组的解集为x∈-∞,-2∪2,+∞18.(2023·全国·高三专题练习)若不等式-x2+t2-2at+1≥0对任意x∈-1,1及a∈-1,1恒成立，则实数t的取值范围是__________．【答案】-∞,-2∪0 ∪2,+∞【解析】由题意得t2-2at+1≥x2对任意x∈-1,1及a∈-1,1恒成立，所以t2-2at+1≥1对任意a∈-1,1恒成立，即t2-2at≥0对a∈-1,1恒成立，令g a =t2-2at=-2at+t2，则g a 是关于a的一次函数，所以只需g1 ≥0g-1≥0，即t2-2t≥0t2+2t≥0，解得t≥2或t≤-2或t=0，所以实数t的取值范围是-∞,-2∪0 ∪2,+∞。
一元二次不等式恒成立问题检测-2025届高三数学一轮复习
课时跟踪检测(六) 一元二次不等式恒成立问题一、强基训练，提高自信心1．若不等式kx 2＋kx －34<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]2．关于x 的不等式mx 2＋2mx ＋1<0的解集为空集，则m 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[0,1)3．设a ∈R ，若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≥0在1≤x ≤2上有解，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D.⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 4．若存在实数x ，使得mx 2－(m －2)x ＋m <0成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫13，32 C.⎝⎛⎭⎫－∞，23 D ．(－∞，1)5．若关于x 的不等式x 2－6x ＋11－a ≤0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(6，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)6．对于所有的正实数x ，y ，都有x ＋3xy ≤a (x ＋y )成立，则整数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知命题p ：任意1≤x ≤2，x 2－a ≥0，命题q ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋2－a ≤0有解，若命题p 、命题q 一真一假，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．(－2,1)∪(1，＋∞)8．(2024·芜湖模拟)不等式mx 2＋mx ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________．9．(2024·合肥模拟)若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈[1,3]恒成立，则a 的最小值为________．10．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋3>0都成立，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围是________．11．已知函数f(x)＝x2－3x＋a.(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；(2)若f(x)<0在x∈(－1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．12.关于x的不等式－x2＋(a＋3)x－3a>0，a∈R.(1)若a＝2，求不等式的解集．(2)若∃x∈(3，＋∞)时，不等式－x2＋(a＋3)x－3a≥4有解，求实数a的取值范围．二、创优训练，冲刺“双一流”13．若不等式10xy ≤ax 2＋2y 2对任意的1≤x ≤2及2≤y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8，＋∞)B ．[12，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫212，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫252，＋∞14．已知0<θ<π2，若cos 2θ＋2m sin θ－2m －2<0恒成立，则实数m 应满足的条件是________． 15．已知函数f (x )＝x 2－(a ＋6)x ＋6(a ∈R )．(1)若∀x ∈[1,4]，f (x )＋a ＋8≥0恒成立，求a 的取值范围；(2)已知g (x )＝mx ＋7－3m ，当a ＝1时，若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．。
(完整版)一元二次不等式练习题(完)
一、一元二次不等式及其解法1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax1、把二次项的系数变为正的。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。
（根据一元二次方程的根及不等式的方向）不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2)x 2-4x+13x 2-7x+2≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.2-4-5(2)变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为 {x |x< 1 3 或 12≤x ≤1或x>2}.巩固练习一、解下列一元二次不等式：1、0652>++x x2、0652≤--x x3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x 12、071522≤++x x13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x19、2230x x --+≥ 20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x 24、03442>-+x x25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x31、03282>--x x 32、031082≥-+x x 33、041542<--x x34、02122>--x x 35、021842>-+x x 36、05842<--x x37、0121752≤-+x x 38、0611102>--x x 39、038162>--x x40、038162<-+x x 41、0127102≥--x x 42、02102>-+x x43、0242942≤--x x 44、0182142>--x x 45、08692>-+x x46、0316122>-+x x 47、0942<-x 48、0320122>+-x x49、0142562≤++x x 50、0941202≤+-x x 51、(2)(3)6x x +-<二填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ；2．不等式2654x x +<的解集为____________.3、不等式2310x x -++>的解集是 ；4、不等式2210x x -+≤的解集是 ；5、不等式245x x -<的解集是 ； 9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合MN = ；10、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；11、不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题二、热点命题——悟通考点1 形如f(x)≥0(x∈R)例1、若关于x 的不等式ax 2＋x －1≤0的解集为R ，则常数a 的取值范围是________________．[解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝1＋4a ≤0，解得a ≤－14.例2、不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，4]B ．(－∞ ，－2]∪ [5，＋∞)C ．(－∞ ，－1]∪ [4，＋∞)D ．[－2，5][解析] [思路点拨] 由一元二次不等式大于0恒成立，得相应的二次函数的图像开口向上，且与x 轴没有交点；方法一：原不等式可化为x 2－2x －a 2＋3a ＋5≥0，要使不等式对任意实数x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4(－a 2＋3a ＋5)≤0，即a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4，故选A .方法二：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A .考点2 形如f(x)≥0(x∈[a，b])例3、设对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞0B ．a ＞12C ．a ＞14D ．a ＞0或a ＜－12 [解析] [思路点拨]由二次不等式在给定区间上恒成立，转化为其相应的二次函数在给定区间上恒小于0。
设f(x)＝x 2＋ax －3a.因为对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）<0，f （1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2－a －3a<0，12＋a －3a<0， 解得a>12，即实数a 的取值范围是a>12，故选B . [考点3 形如f(x)≥0(参数m ∈[a ，b])例4、已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，求x 的取值范围．[思路点拨] 可把x 当作a 的系数，把原不等式化为关于a 的不等式，则原问题转化为一次函数在区间[－1，1]恒成立问题．解：把原不等式化为 (x －2)a ＋x 2－4x ＋4＞0，设 f(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f(a)可看成为关于a 的函数．由f(a)>0对于任意的a ∈ [－1，1]恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0， 解得x<1或x>3， 即x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．考点4 一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题例5、若关于x 的不等式ax 2＋3x ＋c ≥0的解集为[1，2]，则a ＝________，c ＝________．解析：由题意得方程ax 2＋3x ＋c ＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，由根与系数的关系可得1＋2＝－3a ，1×2＝c a，解得a ＝－1，c ＝－2. 例6、 设a>1，若x>0时，[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0恒成立，则a ＝________．思路 本题若直接求解，需分类讨论，过程较复杂．可考虑根据不等式对应的函数f(x)、方程f(x)＝0和不等式f(x)≥0的关系，再构造两个函数，把不等式转化为两个函数图像在区间(0，＋∞)上的关系.解析 设函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝ x 2－ax －1，则这两个函数图像都过定点P(0，－1)，问题可转化为两个函数在区间(0，＋∞)上的符号相同．在函数y 1＝(a －1)x －1中，令y 1＝0，得x ＝1a －1>0， 即函数y 1的图像与x 轴的交点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0， 而函数y 2＝ x 2－ax －1的图像过点M ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0，解得a ＝0或a ＝32. 又a>1，所以a ＝32. 三、迁移应用——练透1．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，∴Δ＝a 2－4×2a <0，解得0<a <8.2．函数f (x )＝ln(3x 2＋ax ＋1)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________[解析]依题意，知3x 2＋ax ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝a 2－4×3×1<0，解得－23<a <2 3.3．设a 为常数，∀x ∈R ，f (x )＝ax 2＋ax ＋1＞0，则a 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．[0，4)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4)[解析]先分类讨论二次项系数，再由f(x)＞0恒成立，得出相应的判别式应小于0.当a ＝0时，f(x)＝1>0对∀x ∈R 成立；当a ≠0时，要使∀x ∈R ，f (x )＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4. 综上，a 的取值范围是[0，4)，故选B.4．已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(0，1)[解析] (1)∵f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．又f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，∴f(－2)f(－1)<0，即(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a<－56. 又a ∈Z ，∴a ＝－1，∴不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，解得－1<x <0，故选C.5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－235 [解析]由Δ＝a 2＋8>0，知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235， 故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞，故选A.6．若关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2，0)C ．(－2，1)D ．(0，1)[解析] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，由关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，得f (1)＜0，即12＋(m －1)＋m 2－2＜0，化简得m 2＋m －2＜0，解得－2＜m ＜1，即实数m 的取值范围是(－2，1).7． 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为( )A ．0B ．3C ．6D ．9[解析] 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24， ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22，∴f (x )<c ，即⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ，解得－a 2－c <x <－a 2＋c ， ∴⎩⎨⎧－a 2－c ＝m ，－a 2＋c ＝m ＋6，得2c ＝6，∴c ＝9.8．若不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] ∵x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1，∴由不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，得|a －2|＜1，解得1＜a ＜3，∴实数a 的取值范围是(1，3)．9．已知f(x)＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：方法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为直线x ＝a .①当a ∈(－∞ ，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，且f (－1)＝2a ＋3，所以要使f (x )≥a ，x ∈[－1，＋∞)恒成立，只需2a ＋3≥a 即可，故－3≤a ＜－1.②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，所以只需2－a 2≥a 即可，故－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3，1]．方法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g （－1）≥0，解得－3≤a ≤1.故所求a 的取值范围是[－3，1]．例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎨⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]. 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.。
一元二次不等式恒成立问题例题
一元二次不等式恒成立问题例题摘要：一、一元二次不等式恒成立问题的背景和意义1.一元二次不等式的基本概念2.恒成立问题的提出和解决方法二、一元二次不等式恒成立问题的例题解析1.例题一：基础一元二次不等式恒成立问题2.例题二：复杂一元二次不等式恒成立问题3.例题三：特殊条件下的一元二次不等式恒成立问题三、解决一元二次不等式恒成立问题的方法和技巧1.基本解法：利用判别式和顶点公式2.进阶解法：换元法、参数分离法等3.常见错误和难点解析四、总结与展望1.一元二次不等式恒成立问题的解题思路总结2.提高解题能力的建议和展望正文：一、一元二次不等式恒成立问题的背景和意义一元二次不等式是中学数学中的一个基本概念，它涉及到许多实际问题，如几何、物理、化学等领域的许多问题都可以通过一元二次不等式来描述。
在数学问题中，一元二次不等式恒成立问题是指给定一元二次不等式，要求证明该不等式对于所有满足条件的变量值都成立。
解决这类问题需要运用一元二次不等式的基本概念和性质，同时也需要一定的逻辑推理能力。
二、一元二次不等式恒成立问题的例题解析1.例题一：基础一元二次不等式恒成立问题已知一元二次不等式：ax^2 + bx + c > 0，求证该不等式对于所有x 都成立。
解析：首先根据判别式Δ= b^2 - 4ac，判断a 的符号。
当a > 0 时，Δ < 0，原不等式恒成立；当a < 0 时，Δ > 0，原不等式不恒成立。
因此，只需证明a > 0 且Δ < 0 即可。
2.例题二：复杂一元二次不等式恒成立问题已知一元二次不等式：|x - 1| + |x - 3| + |x - 5| > 6，求证该不等式对于所有x 都成立。
解析：通过绝对值不等式的性质，可以将原不等式转化为三个一元一次不等式。
然后分别求解这三个不等式，得到它们的解集，最后证明原不等式的解集包含在三个一次不等式的解集中。
3.例题三：特殊条件下的一元二次不等式恒成立问题已知一元二次不等式：ax^2 + bx + c > 0，其中a < 0，求证该不等式对于所有x 都成立。
一元二次不等式经典练习及答案详解
[基础巩固]1．不等式x －2x －1≥0的解集是( ) A ．{x |x ≥2}B ．{x |x ≤1或x ＞2}C ．{x |x ＜1}D ．{x |x ＜1或x ≥2}解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －1)≥0，x －1≠0， ∴x ≥2或x ＜1，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ≥2}．答案 D2．若x 2－2ax ＋2≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－2＜a ≤ 2B ．－2＜a ＜ 2C ．－2≤a ＜ 2D ．－2≤a ≤ 2解析 Δ＝(－2a )2－4×1×2≤0，∴－2≤a ≤ 2.答案 D3．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析 3000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. 答案 C4．不等式1x －1≥－1的解集是________． 解析 1x －1≥－1⇔1x －1＋1≥0⇔x x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x －1≠0， ∴不等式的解集是{x |x ≤0或x ＞1}．答案 {x |x ≤0或x ＞1}5．若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．解析 由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43. 答案 m ≥436．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件．(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值？(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值？解析 税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6. 故P 的范围为2≤P ≤6.(2)设销售金额为S ，则S ＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数，∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额为4800万元．(3)∵0<P <8，设税收金额为G ，则G ＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．[能力提升]7．(多选)若命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则实数a 可以是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则其否定为“∀实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0成立”是真命题，当a ＝2时，原不等式化为－4＜0恒成立；当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0， 解得－2＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围是－2＜a ≤2.故选B 、C 、D.答案 BCD8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．{x |15≤x ≤30}B ．{x |12≤x ≤25}C ．{x |10≤x ≤30}D ．{x |20≤x ≤30} 解析 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y 40， ∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.答案 C9．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合为________．解析 (1)当a ＝0时，满足题意．(2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0， 解得0<a ≤4.综上可知，a 值的集合为{a |0≤a ≤4}．答案 {a |0≤a ≤4}10．关于x 的方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0.(1)m 为何实数时，方程有两正实数根？(2)m 为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？解析 解法一 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ＝4(m ＋2)2－4(m 2－1)≥0，x 1＋x 2＝2(m ＋2)>0，x 1x 2＝m 2－1>0，解得－54≤m ＜－1或m >1， 即m 的取值范围是－54≤m ＜－1或m >1. (2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1x 2＝m 2－1<0， 解得－1<m <1.所以m 的取值范围是－1<m <1.解法二 (1)设y ＝x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1，因为方程有两正实数根，所以函数图象如图甲所示，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－b 2a ＝m ＋2>0，m 2－1>0，解得m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－54≤m ＜－1，或m >1.甲 乙(2)因为方程有一正实数根、一负实数根，则函数图象如图乙，由题意知，满足f (0)<0⇒m 的取值范围是{m |－1＜m ＜1}．[探索创新]11．某热带风暴中心B 位于海港城市A 南偏东60°的方向，与A 市相距400 km ，该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解析 如图，以A 市为原点，正东方向为x 轴建立直角坐标系．∵AB ＝400，∠BAx ＝30°，∴台风中心B 的坐标为(2003，－200)，x h 后台风中心B 到达点P (2003，40x －200)处．由已知，A 市受台风影响时，有AP ≤350，即(2003)2＋(40x －200)2≤3502，整理得16x 2－160x ＋375≤0，解这个不等式得，3.75≤x ≤6.25，A 市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)．故在3.75 h 后，A 市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.。
2025高考数学一轮总复习第1章第4讲一元二次不等式及其解法考点3一元二次不等式恒成立问题(含答案)
高考数学一轮总复习考点突破：一元二次不等式恒成立问题[解析] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以m 的取值范围为(－4,0]．(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，只需mx 2－mx ＋m <6恒成立(x ∈[1,3])， 又因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 所以m <6x 2－x ＋1. 令y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34. 因为t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数，所以y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数．因此函数的最小值y min ＝67.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.(3)将不等式f (x )<0整理成关于m 的不等式为(x 2－x )m －1<0.令g (m )＝(x 2－x )m －1，m ∈[－1,1]．则⎩⎪⎨⎪⎧ g－1<0，g 1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x －1<0，x 2－x －1<0， 解得1－52<x <1＋52，即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.名师点拨：一元二次不等式恒成立问题1．在R 上恒成立(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0或≤0. (2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(或≤0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ＝b 2－4ac <0或≤0.2．在给定某区间上恒成立(1)当x ∈[m ，n ]，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立，结合图象，只需f (x )min ≥0即可．(2)当x ∈[m ，n ]，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≤0恒成立，只需f (x )max ≤0即可．3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．“不等式f (x )≥0有解(或解集不空)的参数m 的取值集合”是“f (x )<0恒成立的参数m 取值集合”的补集；“f (x )>0的解集为∅”即“f (x )≤0恒成立．”注意：ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0； ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0. 【变式训练】1．若不等式(a －3)x 2＋2(a －3)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 取值的集合为( D )A ．(－∞，3)B ．(－1,3)C ．[－1,3]D ．(－1,3] [解析] 当a ＝3时，－4<0恒成立；当a ≠3时，⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，Δ＝4a －32＋16a －3<0，解得－1<a <3.所以－1<a ≤3.故选D.2．(2024·山西忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意的x ∈(0,1]恒成立，则有( A )A ．m ≤－3B ．m ≥－3C ．－3≤m <0D ．m ≥－4 [解析] 令f (x )＝x 2－4x ，x ∈(0,1]，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值－3，∴m ≤－3，故选A.3．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( B )A ．{x |1<x <3}B ．{x |x <1或x >3}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2} [解析] 记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1,1]，依题意，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g 1>0，g －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0⇒x <1或x >3，故选B.。
不等式恒成立、能成立问题【七大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
不等式恒成立、能成立问题【七大题型】【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 (2)【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 (3)【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 (5)【题型4 基本不等式求解恒成立问题】 (7)【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】 (10)【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】 (11)【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】 (13)1、不等式恒成立、能成立问题一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力都起到很好的作用.【知识点1 不等式恒成立、能成立问题】1．一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为{a>0，Δ＝b2－4ac<0；一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为{a>0，Δ＝b2－4ac≤0；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为{a<0，Δ≤0.2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max；若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min；若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min.(2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min；若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max；若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max.【例1】（2023·福建厦门·二模）“b∈(0,4)”是“∀x∈R，bx2―bx+1>0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】由∀x∈R，bx2―bx+1>0成立求出b的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解答过程】由∀x∈R，bx2―bx+1>0成立，则当b=0时，1>0恒成立，即b=0，当b≠0时，b>0b2―4b<0，解得0<b<4，因此∀x∈R，bx2―bx+1>0成立时，0≤b<4，因为(0,4)[0,4)，所以“b∈(0,4)”是“∀x∈R，bx2―bx+1>0成立”的充分不必要条件.故选：A.【变式1-1】（2023·江西九江·模拟预测）无论x取何值时，不等式x2―2kx+4>0恒成立，则k的取值范围是（）A．(―∞,―2)B．(―∞,―4)C．(―4,4)D．(―2,2)【解题思路】由题知4k2―16<0，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论x取何值时，不等式x2―2kx+4>0恒成立，所以，4k2―16<0，解得―2<k<2，所以，k的取值范围是(―2,2)故选：D.【变式1-2】（2023·福建厦门·二模）不等式ax2―2x+1>0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是（）A．a>2B．a≥1C．a>1D．0<a<12【解题思路】分a=0和a≠0两种情况讨论求出a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a=0时，―2x+1>0，得x<12，与题意矛盾，当a≠0时，则a>0Δ=4―4a<0，解得a>1，综上所述，a>1，所以不等式ax2―2x+1>0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是A选项.故选：A.【变式1-3】（2023·四川德阳·模拟预测）已知p:0≤a≤2，q：任意x∈R,ax2―ax+1≥0，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式恒成立解得q：0≤a≤4，结合充分、必要条件的概念即可求解.【解答过程】命题q：一元二次不等式ax2―ax+1≥0对一切实数x都成立，当a=0时，1>0,符合题意；当a≠0时，有a>0Δ≤0，即a>0a2―4a≤0，解为a∈(0,4]，∴q：0≤a≤4．又p：0≤a≤2，设A=[0,2],B=[0,4]，则A是B的真子集，所以p是q成立的充分非必要条件，故选：A．【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】【例2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当x >0时，不等式：x 2―mx +16>0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(―8,8)B ．(―∞,8]C ．(―∞,8)D ．(8,+∞)【解题思路】先由x 2―mx +16>0得m <x +16x，由基本不等式得x +16x≥8，故m <8.【解答过程】当x >0时，由x 2―mx +16>0得m <x +16x，因x >0，故x +16x≥=8，当且仅当x =16x即x =4时等号成立，因当x >0时，m <x +16x恒成立，得m <8，故选：C.【变式2-1】（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当x ∈(―1,1)时，不等式2kx 2―kx ―38<0恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．(―3,0)B ．[―3,0)C ．―D ．―【解题思路】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【解答过程】当x ∈(―1,1)时，不等式2kx 2―kx ―38<0恒成立，当k =0时，满足不等式恒成立；当k ≠0时，令f (x )=2kx 2―kx ―38，则f (x )<0在(―1,1)上恒成立，函数f (x )的图像抛物线对称轴为x =14，k >0时，f (x )在―,1上单调递增，则有f (―1)=2k +k ―38≤0f (1)=2k ―k ―38≤0，解得0<k ≤18；k <0时，f (x )在―,1上单调递减，则有=2k 16―k 4―38<0，解得―3<k <0.综上可知，k的取值范围是―故选：D.【变式2-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意x ∈[m,m +1]，都有x 2+mx ―1<0成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．―23,0B ．―,0C ．―23,0D ．,0【解题思路】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【解答过程】由题意，对于∀x ∈[m,m +1]都有f(x)=x 2+mx ―1<0成立，∴f (m )=m 2+m 2―1<0f (m +1)=(m +1)2+m (m +1)―1<0，解得：―<m <0，即实数m 的取值范围是―,0.故选：B.【变式2-3】（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切x ∈[2,3]，y ∈[3,6]，不等式mx 2―xy +y 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≤6B ．―6≤m ≤0C ．m ≥0D ．0≤m ≤6【解题思路】令t =yx ，分析可得原题意等价于对一切t ∈[1,3]，m ≥t ―t 2恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.【解答过程】∵x ∈[2,3]，y ∈[3,6]，则1x ∈[13,12]，∴yx ∈[1,3]，又∵mx 2―xy +y 2≥0，且x ∈[2,3],x 2>0，可得m ≥y x―，令t =yx ∈[1,3]，则原题意等价于对一切t ∈[1,3]，m ≥t ―t 2恒成立，∵y =t ―t 2的开口向下，对称轴t =12，则当t =1时，y =t ―t 2取到最大值y max =1―12=0，故实数m 的取值范围是m ≥0.故选：C.【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“∃―1≤a ≤3，ax 2―(2a ―1)x +3―a <0”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．{x |―1≤x ≤4 }B ．x |0≤xC ．x |―1≤x ≤0或53≤x ≤4D ．x |―1≤x <0或53<x ≤4【解题思路】由题意可得：命题“∀―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a ≥0”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解.【解答过程】由题意可得：命题“∀―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a ≥0”为真命题，即ax 2―(2a ―1)x +3―a =(x 2―2x ―1)a +x +3≥0对a ∈[―1,3]恒成立，则―(x 2―2x ―1)+x +3≥03(x 2―2x ―1)+x +3≥0，解得―1≤x ≤0或53≤x ≤4，即实数x 的取值范围为x |―1≤x ≤0或53≤x ≤4.故选：C.【变式3-1】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）当1≤m ≤2时，mx 2―mx ―1<0恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A<x <B<x <C <x<D <x <【解题思路】将不等式整理成关于m 的一次函数，利用一次函数性质解不等式即可求得结果.【解答过程】根据题意可将不等式整理成关于m 的一次函数(x 2―x )m ―1<0，由一次函数性质可知(x 2―x )×1―1<0(x 2―x )×2―1<0 ，即x 2―x ―1<02x 2―2x ―1<0；<x <<x <<x <故选：B.【变式3-2】（23-24高一下·河南濮阳·期中）已知当―1≤a ≤1时，x 2+(a ―4)x +4―2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(―∞,3)B ．(―∞,1]∪[3,+∞)C ．(―∞,1)D ．(―∞,1)∪(3,+∞)【解题思路】将x2+(a―4)x+4―2a>0化为(x―2)a+x2―4x+4>0，将a看成主元，令f(a)=(x―2) a+x2―4x+4，分x=2，x>2和x<2三种情况讨论，从而可得出答案.【解答过程】解：x2+(a―4)x+4―2a>0恒成立，即(x―2)a+x2―4x+4>0，对任意得a∈[―1,1]恒成立，令f(a)=(x―2)a+x2―4x+4，a∈[―1,1]，当x=2时，f(a)=0，不符题意，故x≠2，当x>2时，函数f(a)在a∈[―1,1]上递增，则f(a)min=f(―1)=―x+2+x2―4x+4>0，解得x>3或x<2（舍去），当x<2时，函数f(a)在a∈[―1,1]上递减，则f(a)min=f(1)=x―2+x2―4x+4>0，解得x<1或x>2（舍去），综上所述，实数x的取值范围是(―∞,1)∪(3,+∞).故选：D.【变式3-3】（2008·宁夏·高考真题）已知a1>a2>a3>0，则使得(1―a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是（ ）A．B．0,C．D．(a i>0)，【解题思路】由(1―a i x)2<1可求得0<x<2a i【解答过程】由(1―a i x)2<1，得：1―2a i x+a2i x2<1，(a i>0)，即x(a2i x―2a i)<0，解之得0<x<2a i因为a1>a2>a3>0，使得(1―a i x)2<1(i=1,2,3)都成立，；所以0<x<2a1故选：B.【题型4 基本不等式求解恒成立问题】【例4】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的x∈(0,+∞)，x2―2mx+1>0恒成立，则m的取值范围为（）A．[1,+∞)B．(―1,1)C．(―∞,1]D．(―∞,1)【解题思路】参变分离可得2m <x +1x 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，利用基本不等式求出x +1x 的最小值，即可求出参数的取值范围.【解答过程】因为对任意的x ∈(0,+∞)，x 2―2mx +1>0恒成立，所以对任意的x ∈(0,+∞)，2m <x 2+1x=x +1x 恒成立，又x +1x ≥=2，当且仅当x =1x ，即x =1时取等号，所以2m <2，解得m <1，即m 的取值范围为(―∞,1).故选：D.【变式4-1】（22-23高三上·河南·期末）已知a >0，b ∈R ，若x >0时，关于x 的不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0恒成立，则b +4a 的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．【解题思路】根据题意设y =ax ―2，y =x 2+bx ―5，由一次函数以及不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0分析得x =2a 时，y =x 2+bx ―5=0，变形后代入b +4a ，然后利用基本不等式求解.【解答过程】设y =ax ―2（x >0），y =x 2+bx ―5（x >0），因为a >0，所以当0<x <2a 时，y =ax ―2<0；当x =2a 时，y =ax ―2=0；当x >2a 时，y =ax ―2>0；由不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0恒成立，得：ax ―2≤0x 2+bx ―5≤0 或ax ―2≥0x 2+bx ―5≥0 ，即当0<x ≤2a 时，x 2+bx ―5≤0恒成立，当x ≥2a 时，x 2+bx ―5≥0恒成立，所以当x =2a 时，y =x 2+bx ―5=0，则4a 2+2b a―5=0，即b =5a 2―2a ，则当a >0时，b +4a =5a 2―2a +4a =5a 2+2a ≥=当且仅当5a2=2a ，即a =所以b +4a 的最小值为故选：B.【变式4-2】（23-24高三上·山东威海·期中）关于x 的不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞)，则实数a 的取值范围为（ ）A +∞B ．―∞C ．―D ．―∞,∪+∞【解题思路】不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2―|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，分x =0和a ≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.【解答过程】解：不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2―|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，当x =0时，a ≥0，当a ≠0时，a ≥|x |x 2+2=1|x |+2|x |，因为1|x |+2|x |≤=所以a ≥综上所述a ∈+∞.故选：A.【变式4-3】（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知x >0,y >0，且1x+2+1y =27，若x +2+y >m 2+5m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(―4,7)B ．(―2,7)C ．(―4,2)D ．(―7,2)【解题思路】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧最小值，结合x +2+y >m 2+5m 恒成立得到不等式，解一元二次不等式求参数范围【解答过程】因为x >0,y >0，且1x+2+1y =27，所以x +2+y =72×(x +2+y =72×1+1+y x+2+≥72×2+=14，当且仅当y =x +2=7时取等号，又因为x +2+y >m 2+5m 恒成立，所以14>m 2+5m ，解得―7<m <2.所以实数m的取值范围是(―7,2).故选：D.【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】【例5】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数x，使得mx2―(m―2)x+m<0成立，则实数m的取值范围为（）A．(―∞,2)B．(―∞,0]∪C．―∞D．(―∞,1)【解题思路】分别在m=0、m>0和m<0的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.【解答过程】①当m=0时，不等式化为2x<0，解得：x<0，符合题意；②当m>0时，y=mx2―(m―2)x+m为开口方向向上的二次函数，；只需Δ=(m―2)2―4m2=―3m2―4m+4>0，即0<m<23③当m<0时，y=mx2―(m―2)x+m为开口方向向下的二次函数，则必存在实数x，使得mx2―(m―2)x+m<0成立；综上所述：实数m的取值范围为―∞故选：C.【变式5-1】（22-23高一上··阶段练习）若关于x的不等式x2―4x―2―a≤0有解，则实数a 的取值范围是（）A．{a|a≥―2 }B．{a|a≤―2 }C．{a|a≥―6 }D．{a|a≤―6 }【解题思路】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.【解答过程】若关于x的不等式x2―4x―2―a≤0有解,则Δ=16+4(2+a)≥0，解得a≥―6.故选：C.【变式5-2】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若不等式―x2+ax―1>0有解，则实数a的取值范围为（）A．a<―2或a>2B．―2<a<2C．a≠±2D．1<a<3【解题思路】根据一元二次不等式有实数解的充要条件列式求解作答.【解答过程】不等式―x2+ax―1>0有解，即不等式x2―ax+1<0有解，因此Δ=a2―4>0，解得a<―2或a>2，所以实数a的取值范围为a<―2或a>2.故选：A.【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知关于x的不等式―x2+4x≥a2―3a在R上有解，则实数a 的取值范围是（）A．{a|―1≤a≤4 }B．{a|―1<a<4 }C．{a|a≥4 或a≤―1}D．{a|―4≤a≤1 }【解题思路】由题意知x2―4x+a2―3a≤0在R上有解，等价于Δ≥0，解不等式即可求实数a的取值范围.【解答过程】因为关于x的不等式―x2+4x≥a2―3a在R上有解，即x2―4x+a2―3a≤0在R上有解，只需y=x2―4x+a2―3a的图象与x轴有公共点，所以Δ=(―4)2―4×(a2―3a)≥0，即a2―3a―4≤0，所以(a―4)(a+1)≤0，解得：―1≤a≤4，所以实数a的取值范围是{a|―1≤a≤4 }，故选：A.【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】【例6】（2023·福建宁德·模拟预测）命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥1B．a≥4C．a≥―2D．a≤4【解题思路】根据能成立问题求a的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x∈[1,2],x2≤a，则(x2)min≤a，即a≥1，∴a的取值范围[1,+∞)由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为[1,+∞)的真子集，结合选项可知B对应的集合为[4,+∞)为[1,+∞)的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B，故选：B.【变式6-1】（22-23高二上·河南·开学考试）设a为实数，若关于x的不等式x2―ax+7≥0在区间(2,7)上有实数解，则a的取值范围是（）A．(―∞,8)B．(―∞,8]C．(―∞D．―∞【解题思路】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.【解答过程】由题意，因为x ∈(2,7)，故a ≤x +7x 在区间(2,7)上有实数解，则a <x +，又g (x )=x +7x在上单调递减，在上单调递增，且g (2)=2+72=112，g (7)=7+77=8>g (2)，故x +<8.故a ≤x +7x 在区间(2,7)上有实数解则a <8.故选：A.【变式6-2】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3―|3x ―a |>x 2+2x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．―374,3B ．―C ．―374D ．(―3,3)【解题思路】化简不等式3―|3x ―a |>x 2+2x ，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意，至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3―|3x ―a |>x 2+2x 成立，即至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式―x 2―2x +3>|3x ―a |成立，画出y =―x 2―2x +3(x <0)以及y =|3x ―a |的图象如下图所示，其中―x 2―2x +3>0.当y =3x ―a 与y =―x 2―2x +3(x <0)相切时，由y =3x ―ay =―x 2―2x +3消去y 并化简得x 2+5x ―a ―3=0，Δ=25+4a +12=0,a =―374.当y =―3x +a 与y =―x 2―2x +3(x <0)相切时，由y =―3x +ay =―x 2―2x +3消去y 并化简得x 2―x +a ―3=0①，由Δ=1―4a +12=0解得a =134，代入①得x 2―x +14=x=0，解得x =12，不符合题意.当y =―3x +a 过(0,3)时，a =3.结合图象可知a 的取值范围是―374,3.故选：A.【变式6-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若命题“∀x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3≥0”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,―2),(6,+∞)B ．(―∞,―2)C ．[―2,6]D ．[2+【解题思路】根据题意可知“∃x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3<0”为真命题，然后参变分离，将问题转化为最值问题，利用基本不等式可解.【解答过程】因为“∀x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3≥0”为假命题，所以“∃x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3<0”为真命题，即a <―x 20+3x 0+1在(0,+∞)内有解，即a <―.因为―x 20+3x 0+1=―(x 0+1)2―2(x 0+1)+4x 0+1=―x 0+1―2≤―2，当且仅当x 0=1时等号成立，所以=―2，所以实数a 的取值范围为(―∞,―2).故选：B.【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】【例7】（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于x 的不等式2x ―1>m(x 2―1).(1)是否存在实数m ，使不等式对任意x ∈R 恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于m ∈[―2,2]恒成立，求实数x 的取值范围；(3)若不等式对x ∈[2,+∞)有解，求m 的取值范围.【解题思路】将2x ―1>m(x 2―1)转化为mx 2―2x +(1―m)<0，（1）讨论m =0和m ≠0时的情况；（2）f(m)=(x 2―1)m ―(2x ―1)，显然该函数单调，所以只需f(2)<0f(―2)<0即可.（3）讨论当m =0时，当m <0时，当m >0时，如何对x ∈[2,+∞)有解，其中m <0，m >0，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可.【解答过程】（1）原不等式等价于mx2―2x+(1―m)<0，当m=0时，―2x+1<0，即x>12，不恒成立；当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，则m<0且Δ=4―4m(1―m)<0，无解；综上，不存在实数m，使不等式恒成立.（2）设f(m)=(x2―1)m―(2x―1)，当m∈[―2,2]时，f(m)<0恒成立，当且仅当f(2)<0f(―2)<0，即2x2―2x―1<0―2x2―2x+3<0，解得<x<x<x><x<所以x的取值范围是.（3）若不等式对x∈[2,+∞)有解，等价于x∈[2,+∞)时，mx2―2x―m)<0有解.令g(x)=mx2―2x+(1―m)，当m=0时，―2x+1<0即x>12，此时显然在x∈[2,+∞)有解；当m<0时，x∈[2,+∞)时，结合一元二次函数图象，mx2―2x+(1―m)<0显然有解；当m>0时，y=g(x)对称轴为x=1m，Δ=4―4m(1―m)=4m2―4m+4=(2m―1)2+3>0，∵x∈[2,+∞)时，mx2―2x+(1―m)<0有解，∴结合一元二次函数图象，易得：g(2)<0或g(2)≥01m>2，解得m<1或m≥1m<12（无解），又∵m>0，∴0<m<1;综上所述，m的取值范围为(―∞,1).【变式7-1】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）设函数y=ax2―(2a+3)x+6,a∈R．(1)若y+2>0恒成立，求实数a的取值范围：(2)当a=1时，∀t>―2，关于x的不等式y≤―3x+3+m在[―2,t]有解，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解；（2）根据已知条件及二次函数的性质即可求解.【解答过程】（1）y+2>0恒成立，即ax2―(2a+3)x+8>0恒成立，当a=0时，―3x+8>0，解得x<83，舍去；当a≠0时，a>04a2―20a+9<0，解得12<a<92所以实数a（2）当a=1时，∀t>―2，关于x的不等式y≤―3x+3+m在[―2,t]有解，则―2是x2―2x+3―m≤0的解，因为抛物线y=x2―2x+3开口向上，对称轴x=1，所以11―m≤0，解得m≥11，所以m的取值范围为[11,+∞)．【变式7-2】（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数f(x)=2x2―ax+a2―4，g(x)=x2―x+a2―314，(a∈R)(1)当a=1时，解不等式f(x)>g(x)；(2)若任意x>0，都有f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围；(3)若∀x1∈[0,1]，∃x2∈[0,1]，使得不等式f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）作差后解一元二次不等式即可.（2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可；解法二：分离参数，构造函数k=x+154x，利用基本不等式求解最值即可求解；（3）把问题转化为f(x)min>g(x)min，利用动轴定区间分类讨论即可求解.【解答过程】（1）当a=1时，f(x)=2x2―x―3，g(x)=x2―x―274所以f(x)―g(x)=x2+154>0，所以f(x)>g(x)，所以f(x)>g(x)的解集为R.（2）若对任意x>0，都有f(x)>g(x)成立，即x2+(1―a)x+154>0在x>0恒成立，解法一：设ℎ(x )=x 2+(1―a )x +154，x >0，对称轴x =a―12，由题意，只须ℎ(x )min >0，①当a―12≤0，即a ≤1时，ℎ(x )在0，+∞上单调递增，所以ℎ(x )>ℎ(0)=154，符合题意，所以a ≤1；②当a―12>0，即a >1时，ℎ(x )在+∞单调递增，所以ℎ(x )>=―(a―1)24+154>0，解得1<a <1+a >1，所以1<a <1+综上，a <1+解法二：不等式可化为(a ―1)x <x 2+154，即a ―1<x +154x ，设k =x +154x ，x >0，由题意，只须a ―1<k (x )min ，k =x +154x ≥=当且仅当x =154x 即x =k min =所以a ―1<a <1+（3）若对任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[0,1]，使得不等式f (x 1)>g (x 2)成立，即只需满足f (x )min >g (x )min ，x ∈[0,1]，g (x )=x 2―x +a 2―314，对称轴x =12，g (x )在0,递增，g (x )min ==a 2―8，f (x )=2x 2―ax +a 2―4，x ∈[0,1]，对称轴x =a4，①a4≤0即a ≤0时，f (x )在[0,1]递增，f (x )min =f (0)=a 2―4>g (x )min =a 2―8恒成立；②0<a4<1即0<a <4时，f (x )在0,,1递增，f (x )min ==78a 2―4，g (x )min =a 2―8，所以78a 2―4>a 2―8，故0<a <4；③a4≥1即a ≥4时，f (x )在[0,1]递减，f (x )min =f (1)=a 2―a ―2，g (x )min =a 2―8，所以a 2―a ―2>a 2―8，解得4≤a <6，综上：a ∈(―∞,6).【变式7-3】（23-24高一上·山东威海·期中）已知函数f(x)=x 2―(a +3)x +6(a ∈R)(1)解关于x 的不等式f(x)≤6―3a ；(2)若对任意的x ∈[1,4]，f(x)+a +5≥0恒成立，求实数a 的取值范围(3)已知g(x)=mx +7―3m ，当a =1时，若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【解题思路】（1）由不等式f(x)≤6―3a 转化为(x ―3)(x ―a)≤0，分a <3，a =3，a >3讨论求解；（2）将对任意的x ∈[1,4]，f(x)+a +5≥0恒成立，转化为对任意的x ∈[1,4]，a(x ―1)≤x 2―3x +11恒成立，当x =1，恒成立，当x ∈(1,4]时，a ≤(x ―1)+9x―1―1恒成立，利用基本不等式求解；（3）分析可知函数f (x )在区间[1,4]上的值域是函数g (x )在区间[1,4]上的值域的子集，分m =0、m <0、m >0三种情况讨论，求出两个函数的值域，可得出关于实数m 的不等式组，综合可得出实数m 的取值范围.【解答过程】（1）因为函数f(x)=x 2―(a +3)x +6(a ∈R)，所以f(x)≤6―3a ，即为x 2―(a +3)x +3a ≤0，所以(x ―3)(x ―a)≤0，当a <3时，解得a ≤x ≤3，当a =3时，解得x =3，当a >3时，解得3≤x ≤a ， 综上，当a <3时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤3}，当a ≥3时，不等式的解集为{x |3≤x ≤a }（2）因为对任意的x ∈[1,4],f(x)+a +5≥0恒成立，所以对任意的x ∈[1,4]，a(x ―1)≤x 2―3x +11恒成立，当x =1时，0≤9恒成立，所以对任意的x ∈(1,4]时，a ≤(x ―1)+9x―1―1恒成立， 令(x ―1)+9x―1―1≥1=5，当且仅当x ―1=9x―1，即x =4时取等号，所以a ≤5，所以实数a 的取值范围是(―∞,5]（3）当a =1时，f(x)=x 2―4x +6，因为x ∈[1,4]，所以函数f(x)的值域是[2,6]，因为对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2[1,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，所以f(x)的值域是g(x)的值域的子集，当m >0时，g(x)∈[7―2m,m +7]，则m >07―2m ≤2m +7≥6，解得m ≥52当m <0时，g(x)∈[m +7,7―2m]，则m <07―2m ≥6m +7≤2，解得m ≤―5，当m =0时，g(x)∈{7}，不成立；综上，实数m 的取值范围(―∞,―5]∪+∞.一、单选题1．（2023·河南·模拟预测）已知命题“∃x 0∈[―1,1]，―x 20+3x0+a >0”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,―2)B ．(―∞,4)C ．(―2,+∞)D ．(4,+∞)【解题思路】由题知x 0∈[―1,1]时，a >x 20―3x 0min ，再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解：因为命题“∃x 0∈[―1,1]，―x 20+3x 0+a >0”为真命题，所以，命题“∃x 0∈[―1,1]，a >x 20―3x 0”为真命题，所以，x 0∈[―1,1]时，a >x 20―3x 0min ，因为，y =x 2―3x =x―94，所以，当x ∈[―1,1]时，y min =―2，当且仅当x =1时取得等号.所以，x 0∈[―1,1]时，a >x 20―3x 0min=―2，即实数a 的取值范围是(―2,+∞)故选：C.2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx 2+(k ―6)x +2>0的解为全体实数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2≤k ≤18B ．―18<k <―2C ．2<k <18D ．0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时，不等式kx 2+(k ―6)x +2>0可化为―6x +2>0，显然不合题意；当k ≠0时，因为kx 2+(k ―6)x +2>0的解为全体实数，所以k >0Δ=(k ―6)2―4k ×2<0，解得2<k <18；综上：2<k <18.故选：C.3．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的x ∈(0,+∞),x 2―mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(―2,2)B ．(2,+∞)C ．(―∞,2)D ．(―∞,2]【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2―mx +1>0⇔m <x +1x ，而当x >0时，x +1x ≥=2，当且仅当x =1x ，即x =1时取等号，则m <2，所以m 的取值范围是(―∞,2).故选：C.4．（2023·宁夏中卫·二模）已知点A(1,4)在直线x +y=1(a >0,b >0)上，若关于t 的不等式a +b ≥t 2+5t +3恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[―6,1]B ．[―1,6]C ．(―∞,―1]∪[6,+∞)D ．(―∞,―6]∪[1,+∞)【解题思路】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得a +b 的最小值，从而将问题转化9≥t 2+5t +3，解之即可.【解答过程】因为点A(1,4)在直线xa +yb =1(a >0,b >0)上，所以1a +4b =1，故a +b =(a +b +=ba +4a b+5≥=9，当且仅当ba =4a b且1a +4b =1，即a =3,b =6时等号成立，因为关于t 的不等式a +b ≥t 2+5t +3恒成立，所以9≥t 2+5t +3，解得―6≤t ≤1，所以t ∈[―6,1].故选：A.5．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）若两个正实数x ，y 满足1x +4y =2，且不等式x +y4<m 2―m 有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(―1,2)B ．(―∞,―2)∪(1,+∞)C ．(―2,1)D ．(―∞,―1)∪(2,+∞)【解题思路】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.【解答过程】x +y4=+=+1+y 4x≥12(1+1+2)=2，要使得不等式x +y4<m 2―m 有解，只需m 2―m >2有解即可，解得m >2或者m <―1，故选：D.6．（23-24高一上·全国·单元测试）不等式2x 2―axy +y 2≥0，对于任意1≤x ≤2及1≤y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a|a ≤B ．a|a ≥C ．a|a ≤D ．a|a【解题思路】由于在不等式2x 2―axy +y 2≥0中出现两个变量，对其进行变形令t =xy 则转化为含参数t 的不等式2t 2―at +1≥0，在t ∈,2上恒成立的问题，然后进行分离参数求最值即可.【解答过程】由y ∈[1,3]，则不等式2x 2―axy +y 2≥0两边同时乘以1y 2不等式可化为：+1≥0，令t =xy ，则不等式转化为：2t 2―at +1≥0，在t ∈,2上恒成立，由2t 2―at +1≥0可得a ≤2t 2+1t即a ≤2t +，又2t +1t ≥=t =t =2t +1t 取得最小值故可得a ≤故选：A ．7．（2023·江西九江·二模）已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2―a <0，若p 为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,+∞)B ．[1,+∞)C ．(―∞,1)D ．(―∞,1]【解题思路】首先由p 为假命题，得出¬p 为真命题，即∀x ∈R ，x 2+2x +2―a ≥0恒成立，由Δ≤0，即可求出实数a 的取值范围．【解答过程】因为命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2―a <0，所以¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +2―a ≥0，又因为p 为假命题，所以¬p 即∀x ∈R ，x 2+2x +2―a ≥0恒成立，所以Δ≤0，即22―4(2―a)≤0，解得a ≤1，故选：D ．8．（2024·上海黄浦·模拟预测）已知不等式ρ：ax 2+bx +c <0(a ≠0)有实数解．结论（1）：设x 1，x 2是ρ的两个解，则对于任意的x 1，x 2，不等式x 1+x 2<―ba 和x 1⋅x 2<ca 恒成立；结论（2）：设x 0是ρ的一个解，若总存在x 0，使得ax 02―bx 0+c <0，则c <0，下列说法正确的是（ ）A ．结论①、②都成立B ．结论①、②都不成立C ．结论①成立，结论②不成立D ．结论①不成立，结论②成立【解题思路】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.【解答过程】当a<0且Δ=b2―4ac<0时，ρ：ax2+bx+c<0(a≠0)的解为全体实数，故对任意的x1，x2，x1+x2与―ba的关系不确定，例如：ρ：―x2+2x―2<0,取x1=1，x2=4,而―ba =2，所以x1⋅x2=4>ca=2，故结论①不成立.当a<0且Δ=b2―4ac>0时，ρ：ax2+bx+c<0的解为x|x<p或x>q，其中p,q是ax2+bx+c=0的两个根.当x0<p,―x0>q此时ax02―bx0+c<0，但c值不确定，比如：ρ：―x2+x+2<0，取x0 =―3，则―x02―x0+2<0，但c>0，故结论②不成立.故选：B.二、多选题9．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式(a―1)x2―2(a―1)x―4<0恒成立，则实数a可能是（）A．―2B．0C．―4D．1【解题思路】首先当a=1，不等式为―4<0恒成立，故满足题意；其次a≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a―1<0Δ<0，解不等式组即可.【解答过程】当a=1时，不等式为―4<0恒成立，故满足题意；当a≠1时，要满足a―1<0Δ<0，而Δ=4(a―1)2+16(a―1)=4(―1)(a+3)，所以解得―3<a<1；综上，实数a的取值范围是(―3,1]；所以对比选项得，实数a可能是―2，0，1.故选：ABD.10．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（）A．不等式4x2―5x+1>0的解集是x|x>14或x<1B．不等式2x2―x―6≤0的解集是x|x≤―32或x≥2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则a的取值范围是∅D．若关于x的不等式2x2+px―3<0的解集是(q,1)，则p+q的值为―12【解题思路】对于AB ，直接解一元二次不等式即可判断；对于C ，对a 分类讨论即可判断；对于D ，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p,q ，然后即可判断.【解答过程】对于A ，4x 2―5x +1>0⇔(x ―1)(4x ―1)>0⇔x <14或x >1，故A 错误；对于B ，2x 2―x ―6≤0⇔(x ―2)(2x +3)≤0⇔―32≤x ≤2，故B 错误；若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，当a =0时，21<0是不可能成立的，所以只能a <0Δ=64a 2―84a <0 ，而该不等式组无解，综上，故C 正确；对于D ，由题意得q,1是一元二次方程2x 2+px ―3=0的两根，从而q ×1=―322+p ―3=0，解得p =1,q =―32，而当p =1,q =―32时，一元二次不等式2x 2+x ―3<0⇔(x ―1)(2x +3)<0⇔―32<x <1满足题意，所以p +q 的值为―12，故D 正确.故选：CD.11．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若(ax -4)(x 2+b )≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立，其中a ，b 是整数，则a +b 的可能取值为（ ）A ．-7B ．-5C ．-6D ．-17【解题思路】对b 分类讨论，当b≥0由(ax -4)(x 2+b )≥0可得ax -4≥0，由一次函数的图象知不存在；当b <0时，由(ax -4)(x 2+b )≥0，利用数形结合的思想可得出a ,b 的整数解.【解答过程】当b≥0时，由(ax -4)(x 2+b )≥0可得ax -4≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立，即a≤4x 对任意x∈(-∞,0]恒成立，此时a 不存在；当b <0时，由(ax -4)(x 2+b )≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立，可设f (x )=ax -4，g (x )=x 2+b ，作出f (x ),g (x )的图象如下，aa，b是整数可得a=-1b=-16或a=-4b=-1或a=-2b=-4所以a+b的可能取值为-17或-5或-6故选：BCD.三、填空题12．（2024·陕西渭南·模拟预测）若∀x∈R,a<x2+1，则实数a的取值范围是(―∞,1).（用区间表示）【解题思路】利用二次函数的性质计算即可.【解答过程】由题得a<(x2+1)min=1，即实数a的取值范围为(―∞,1).故答案为：(―∞,1).13．（2024·辽宁·三模）若“∃x∈(0,+∞)，使x2―ax+4<0”是假命题，则实数a的取值范围为(―∞,4].【解题思路】将问题转化为“a≤x+4x在(0,+∞)上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.【解答过程】因为“∃x∈(0,+∞)，使x2―ax+4<0”是假命题，所以“∀x∈(0,+∞)，x2―ax+4≥0”为真命题，其等价于a≤x+4x在(0,+∞)上恒成立，又因为对勾函数f(x)=x+4x在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(2)=4，所以a≤4，即实数a∞,4].故答案为：(―∞,4].14．（2023·河北·模拟预测）若∃x∈R，ax2+ax+a―3<0，则a的一个可取的正整数值为1（或2，3）.【解题思路】由判别式大于0求解.【解答过程】由题意Δ=a2―4a(a―3)>0，解得0<a<4，a的正整数值为1或2或3，故答案为：1（也可取2，3）．四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=|2x―a|，且f(x)≤b的解集为[―1,3]．(1)求a和b的值；(2)若f(x)≤|x―t|在[―1,0]上恒成立，求实数t的取值范围．【解题思路】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解，（2）将问题转化为3x2+(2t―8)x+4―t2≤0在[―1,0]上恒成立，即可利用二次函数零点分布求解.【解答过程】（1）由f(x)≤b得|2x―a|≤b，易知b≥0，则―b≤2x―a≤b，解得a―b2≤x≤b+a2，由于f(x)≤b的解集为[―1,3]，则b+a2=3,a―b2=―1，解得a=2,b=4．（2）由（1）知f(x)=|2x―2|，由f(x)≤|x―t|得|2x―2|≤|x―t|，得3x2+(2t―8)x+4―t2≤0在[―1,0]上恒成立，Δ=(2t―8)2―4×3×(4―t2)=16(t―1)2>0，故t≠1．令g(x)=3x2+(2t―8)x+4―t2，若g(x)≤0在[―1,0]上恒成立，则g(―1)≤0g(0)≤0，即―t2―2t+15≤04―t2≤0，解得t≤―5或t≥3，故实数t的取值范围为(―∞,―5]∪[3,+∞)．16．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数f(x)=|x―1|+|x+2|.（1）求不等式f(x)≤5的解集；（2）若不等式f(x)≥x2―ax+1的解集包含[―1,1]，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【解答过程】（1）当x≤―2时，f(x)≤5等价于―2x―1≤5，解得x∈[―3,―2]；当―2<x<1时，f(x)≤5≤5，恒成立，解得x∈(―2,1)；当x≥1时，f(x)≤5等价于2x+1≤5，解得x∈[1,2]；综上所述，不等式的解集为[―3,2].（2）不等式f(x)≥x2―ax+1的解集包含[―1,1]，等价于f(x)≥x2―ax+1在区间[―1,1]上恒成立，也等价于x2―ax―2≤0在区间[―1,1]恒成立.则只需g(x)=x2―ax―2满足：g(―1)≤0且g(1)≤0即可.即1+a―2≤0,1―a―2≤0，解得a∈[―1,1].。
高中数学必修第一册 《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练(学生版+解析版)
高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练一、单选题l. (2022·四川绵阳·高一期末〉下列结论正确的是（〉A.若的b，则。
c>bc c.若。
＞b，则。
＋c>b+cl I B.若α＞b，则－〉－a D D.着。
＞b，则。
2> b22.(2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末〉已知α＜b<O，则（〉A.a2 <abB.ab<b2C.a1 <b1D.a2 >b i3.(2022·陕西汉中·高一期末〉若关于工的不等式，咐2+2x+m>O的解集是R，则m的取值范围是（〉A.(I, +oo)B.(0, I〕C.( -J, I)D.(J, +oo)4.(2022·广东珠海高一期末〉不等式。
＋l)(x+3)<0的解集是（〉A.RB.②c.｛对－3<x<-I} D.{xi x<-3，或x>-l}5. (2022·四川甘孜·高一期末〉若不等式似2+bx-2<0的解集为｛xl-2<x<I｝，则。
÷b=( )A.-2B.OC.ID.26. (2022·湖北黄石·商一期末〉若关于X的不等式x2-ax’＋7＞。
在（2,7）上有实数解，则α的取值范围是（〉A.（唱，8)B.（叫8] c.（叫2./7) D.（斗）7.(2022·新疆乌市一中高一期末〉已知y=(x-m)(x-n)+2022(n> m），且α，β（α〈别是方程y=O的两实数根，则α，β，111,n的大小关系是（〉A.α＜m<n＜βC.m＜α〈β＜nB.m＜α＜n＜βD.α＜m＜β＜n8.(2022·浙江·杭州四中高一期末〉已失11函数y＝κ－4+...2....(x>-1），当x=a时，y取得最小值b，则。
高一数学痛点大揭秘专题3 一元二次不等式恒成立问题(解析版)
一元二次函数、方程和不等式 专题3 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考的一个难点问题。
含参一元二次不等式恒成立问题设计二次函数的性质和图象，渗透着换元、划归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力。
【题型导图】类型一 实数集R 上的不等式恒成立问题例1：若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数 x 恒成立，则 k 的取值范围是（ ） A ．3,0B ．(]3,0-C ．(,3]-∞-D ．(0,)+∞【答案】A 【详解】解：由已知可知0k ≠，所以要一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数 x 恒成立，则200k <⎧⎨∆<⎩， 即220342()08k k k <⎧⎪⎨-⋅⋅-<⎪⎩，解得30k -<<， 所以k 的取值范围为3,0，故选：A【变式1】“0a >”是“一元二次不等式20ax bx c ++>恒成立”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】由一元二次不等式20ax bx c ++>恒成立，则0a >且240b ac =-<， 反之，0a >时，如：2320x x ++>不恒成立， 故选B.【变式2】设a 为实数，若关于x 的一元二次不等式20x x a ++>恒成立，则a 的取值范围是_____. 【答案】1(,)4+∞【详解】一元二次不等式20x x a ++>恒成立，∴140a ∆=-<，解得14a >． a ∴的取值范围是1(,)4+∞．故答案为：1(,)4+∞．【变式3】若不等式()270x mx m -++>在实数集R 上恒成立，求m 的取值范围.【答案】(2-+. 【详解】解：一元二次不等式()270x mx m -++>在实数集R 上恒成立，则∆<0，即()24170m m -⨯⨯+<，整理得24280m m --<，解得22m -<+，所以m 的取值范围是(2-+.【痛点直击】一元二次不等式在实数集R 上的恒成立问题，可结合图象，考虑图象的开口方向以及图象与x 轴的交点个数判断即可，可从二次项系数的正负和判别式两个方面来考虑。
【高中数学过关练习】过关练08 一元二次不等式恒成立和有解问题
过关练08 一元二次不等式恒成立和有解问题一、单选题1．（2022·河北廊坊·高一期末）关于x 的一元二次不等式23208x kx -+>对于一切实数x 都成立，则实数k 满足（ ）A ．{}3k kB ．{}3k k <C ．{}33k k <<D ．{}3k k【解析】由题意()234208k ∆=--⨯⨯<，解得3x 3-故选：C.2．（2022·云南丽江·高一期末）对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．024k << B ．240k -<≤ C ．024k <≤D ．24k ≥【解析】当k ＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当0k ≠时，若不等式恒成立，则20240Δ240k k k k <⎧⇒-<<⎨=+<⎩，于是240k -<≤. 故选：B ．3．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）不等式()()22210a x a x -+--<对一切x ∈R恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2-B ．(]2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()[),22,-∞-⋃+∞【解析】由题意，不等式2(2)(2)10a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立， 当20a -=时，即2a =时，不等式10-<恒成立，符合题意； 当20a -≠时，即2a ≠时，要使得不等式2(2)(2)10a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立， 则满足()()220Δ2420a a a -<⎧⎪⎨=-+-<⎪⎩，解得22a -<<， 综上，实数a 的取值范围是(2,2]-. 故选：B.4．（2022·广东揭阳·高一期末）对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．(],1-∞D ．(),1-∞【解析】当()0,x ∈+∞时，由2210x mx -+>得：12m x x<+，12x x+≥（当且仅当1x x =，即1x =时取等号），22m ∴<，解得：1m <，即m 的取值范围为(),1-∞. 故选：D.5．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一期末）若∃x ∈[0，3]，使得不等式x 2﹣2x +a ≥0成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤a ≤0B ．a ≥0C ．a ≥1D ．a ≥﹣3【解析】设2()2,[0,3]f x x x a x =-+∈， [0,3]x ∃∈，使得不等式220x x a -+≥成立，须max ()0f x ≥，即(0)0f a =≥，或(3)30f a =+≥， 解得3a ≥-. 故选:D6．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，则m 的取值范围为（ ） A ．(,1][0,)-∞-+∞ B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．[0,1]D ．(0,1)【解析】令22()(1)f x x m x m =-+-，其对称轴为202m x =≥， 关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解， 当(1,1)x ∈-时，有()(1)f x f <-，(1)0f ∴->，即20m m +>，可得0m >或1m <-．故选：B ．7．（2022·全国·高一课时练习）若不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．()1,-+∞ C ．34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,∞+【解析】因为不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以不等式22m x x >-在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令()22211t x x x =-=--，则min 1t =-，所以1m >-，所以实数m 的取值范围是()1,-+∞ 故选：B8．（2022·北京师大附中高一期末）关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,3- B ．(],3-∞ C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈； 当0x ≠时，不等式可化为：11a x x≤++， 0x >，12x x∴+≥（当且仅当1x x =，即1x =±时取等号），3a ∴≤；综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞. 故选：B.9．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期末（文））已知不等式()()2244120x ax x x a ++++>对于一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．18aa ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣ B ．118a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ C ．112a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ D ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】因为222221144141,22248a x ax x a x x a x a ⎛⎫⎛⎫++=++-++=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令210a ->，即11a -<<，此时24410x ax ++>对于一切实数x 恒成立， 因此220x x a ++>对于一切实数x 恒成立， 所以108a ->，即18a >，故118a <<；当210a -时，关于x 的方程24410x ax ++=有实数解，即存在实数x 使得()()224412xax x x a ++++=0，不满足题意.故选：B10．（2021·全国·高一课时练习）对任意的[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值总大于0，则x 的取值范围为（ ） A ．(1,3)B ．(,1)(3,)-∞+∞C ．(,1)-∞D ．(3,)+∞【解析】对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零 设()()2244g a x a x x =-+-+，即()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立.()g a 在[]1,1a ∈-上是关于a 的一次函数或常数函数，其图象为一条线段，则只需线段的两个端点在x 轴上方，即()()2215601320g x x g x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得3x >或1x < 故选：B11．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12【解析】∵(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1，即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立， 所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， 解得1322a -<<，故选:C.12．（2022·全国·高一单元测试）在R 上定义运算：a ⊕b ＝(a ＋1)b .已知1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．{m |－2<m <2} B ．{m |－1<m <2} C ．{m |－3<m <2}D ．{m |1<m <2}【解析】依题意得(m －x )⊕(m ＋x )＝(m －x ＋1)(m ＋x )＝m 2－x 2＋m ＋x ， 因为1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立， 所以存在1≤x ≤2，使不等式m 2＋m <x 2－x ＋4成立， 即当1≤x ≤2时，m 2＋m <(x 2－x ＋4)max .因为1≤x ≤2，所以当x ＝2时，x 2－x ＋4取最大值6， 所以m 2＋m <6，解得－3<m <2. 故选：C ．二、多选题13．（2022·湖北黄冈·高一期末）已知x R ∃∈，不等式2410x x a ---<不成立，则下列a 的取值不正确的是（ ） A ．(,5]-∞-B ．(,2]-∞-C ．(,3]-∞-D ．(,1]-∞-【解析】已知x R ∃∈，不等式2410x x a ---<不成立，等价于x R ∀∈，不等式2410x x a ---≥恒成立，164(1)05a a ∆=++≤⇒≤-.只要a 的取值是{|5}a a ≤-的子集就正确.则选项BCD 都不正确. 故选：BCD.三、填空题14．（2022·湖南·高一课时练习）设二次函数234y kx kx =-+． （1）若方程0y =有实根，则实数k 的取值范围是______； （2）若不等式0y >的解集为∅，则实数k 的取值范围是______； （3）若不等式0y >的解集为R ，则实数k 的取值范围是______．【解析】对于（1），因为方程0y =有实根，故2030k k k ≠⎧⎨-≥⎩，解得0k <或3k ≥.对于（2），因为不等式0y >的解集为∅，故2030k k k <⎧⎨-≤⎩，解得k ∈∅.对于（3），不等式0y >的解集为R ，故2030k k k >⎧⎨-<⎩，故03k <<.15．（2022·江西抚州·高一期末）已知命题p ：x ∃∈R ，使20x ax a ++<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是______.【解析】因为命题2:,0p x R x ax a ∃∈++<， 所以2:,0p x R x ax a ⌝∀∈++≥，若命题p 是假命题，则p ⌝是真命题，所以0∆≤，即240a a -≤，解得04a ≤≤， 故答案为：[]0,416．（2022·河北廊坊·高一期末）若[]221,5,8,252x R a x ax a x am ∀∈∃∈+++-，则m 的取值范围为___________.【解析】由221252x ax a x am +++-，得()2212502x a x a am +-+-+.由题意可得[5a ∃∈，2218],(2)4502a a am ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，即[]45,8,14a a m a ∃∈++.因为[]5,8a ∈，所以48454482a a++=，故72m .故答案为：72⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，17．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，则实数a 的取值范围是__________．【解析】因为关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解， ()22424y x x x =-+=--+的最大值为4所以234a a -≤，解得14a -≤≤ 故答案为：[]1,4-18．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()2211x m x ->-对满足22m -≤≤的所有m 都成立，则x 的取值范围是_________.【解析】不等式化为：()21(21)0m x x ---<，令()2()1(21)f m m x x =---，则22m -≤≤时，()0f m <恒成立，所以只需(2)0(2)0f f -<⎧⎨<⎩，即()()2221(21)021(21)0x x x x ⎧----<⎪⎨---<⎪⎩， 所以x 的范围是1713x -++∈⎝⎭， 故答案为：1713-++⎝⎭. 19．（2022·江苏南通·高一期末）不等式22)8(x y y x y λ+≥+对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．【解析】因为22)8(x y y x y λ+≥+对于任意的x ，y ∈R 恒成立，于是得关于x 的一元二次不等式228()0x yx y λλ-+-≥对于任意的x ，y ∈R 恒成立， 因此，22222(48(0)4)32y y y λλλλ∆=+-=+-≤对于任意的y ∈R 恒成立， 故有4)80()(λλ+-≤，解得84λ-≤≤， 所以实数k 的取值范围为84λ-≤≤. 故答案为：84λ-≤≤四、解答题20．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一期末）命题 p ：方程x 2+x +m =0有两个负数根；命题q ：任意实数x ∈R ， mx 2－2mx ＋1>0成立；若p 与q 都是真命题，求m 取值范围. 【解析】对于20x x m ++= 有两个负数根（可以为重根），即1140,4m m ∆=-≥≤， 并且由韦达定理120x x m => ，∴10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；对于2210mx mx -+>恒成立，当=0m 时，符合题意；当0m ≠时，则必定有0m >且2440m m ∆=-<，得0<1m <， 所以01m ≤<；若p 与q 都是真命题，则10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.21．（2022·全国·高一课时练习）若0a >，且关于x 的不等式22334ax ax a -+-<在R 上有解，求实数a 的取值范围．【解析】方法一（判别式法）关于x 的不等式22334ax ax a -+-<可变形为22370ax ax a -+-<,由题可得()()223470a a a ∆=--->，解得744a -<<,又0a >，所以实数a 的取值范围为()0,4；方法二（分离变量法）因为0a >，所以关于x 的不等式22334ax ax a -+-<可变形为2273a x x a--<，因为223993244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，所以2974a a--<，解得744a -<<，又0a >，所以实数a 的取值范围为()0,4．22．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知函数2()4f x x bx =++，且关于x 的不等式()0f x <的解集为(1,)m ． (1)求实数b ，m 的值；(2)当,()0x ∈+∞时，()0f x kx ->恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(1)由题意得：m ，1是方程240x bx ++=的根，由韦达定理得14m ⨯=， 所以4m =，又1m b +=-，解得5b =-． 所以4m =，5b =-．(2)由题意得，254x x k x -+<在,()0x ∈+∞上恒成立，令254()x x g x x-+=，只需min ()k g x <即可，由均值不等式得4()52451g x x x =+-≥=-，当且仅当4x x=，即2x =时等号成立．所以1k <-，则k 的取值范围是(),1-∞-．23．（2022·北京东城·高一期末）已知函数2()4()=++∈f x x ax a R ．(1)若(1)0f =，求不等式()0f x ≤的解集；(2)若(1)2f =，求()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x 值；(3)若对任意,()0x ∈+∞，不等式()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)因为2()4()=++∈f x x ax a R 且(1)0f =，所以2140a ++=，解得5a =-，所以2()54f x x x =-+，解()0f x ≤，即2540x x -+≤，即()()410x x --≤，解得14x ≤≤，即原不等式的解集为[]1,4；(2)因为(1)2f =，所以2142a ++=，所以3a =-，所以2237()3424f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[2,2]x ∈-，所以函数在32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以当32x =时函数取得最小值()min 3724f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当2x =-时函数取得最大值()()max 214f x f =-=；(3)解：因为对任意,()0x ∈+∞，不等式()0f x >恒成立，即对任意,()0x ∈+∞，不等式240x ax ++>恒成立，即4a x x -<+对任意,()0x ∈+∞恒成立，因为4424x x x x+≥⋅=当且仅当4x x=，即2x =时取等号； 所以4a -<，即4a >-，所以()4,a ∈-+∞24．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x 的不等式220ax ax ++>的解集为R ，记实数a 的所有取值构成的集合为M . (1)求M ；(2)若0t >，对a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，求t 的最小值. 【解析】(1)当0a =时，20>满足题意；当0a ≠时，要使不等式220ax ax ++>的解集为R ，必须2080a a a >⎧⎨-<⎩，解得08a <<，综上可知08a ≤<，所以{08}M a a =≤<∣ (2)∵08a ≤<，∴119a ≤+<， ∴441141311a a a a +=++-≥-=++，（当且仅当1a =时取“=”） ∴4521a a --≤+，∵a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，∴2322t t +-≥， ∴2340t t +-≥，∴1t ≥或4t ≤-， 又0t >，∴1t ≥，∴ t 的最小值为1.25．（2022·甘肃张掖·高一期末）设函数2()f x x ax b =+-．(1)若不等式()0f x <的解集是{}23x x <<，求不等式210bx ax -+≤的解集； (2)当3a b +=时，()0f x ≥在]0,1x ⎡∈⎣上恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)因为不等式20x ax b +-<的解集是{}|23x x <<，所以122 3x x ==，是方程20x ax b +-=的解 由韦达定理1212x x ax x b +=-⎧⎨=-⎩ 解得 5 6，-=-=a b 故不等式210bx ax -+≤为26510＋-+≤x x ， 即26510(61)(1)0x x x x --≥⇔+-≥解得16x ≤-或1≥x故不等式26510x x -+>得其解集为1{|6x x ≤-或1}x ≥(2)当3a b +=时3b a =-，()22()+3=++30=---≥f x x ax a x ax a 在]0,1x ⎡∈⎣上恒成立，所以23+1-≥x a x令()]23,0,1+1x g x x x -⎡=∈⎣，则()max a g x ≥ 令]+1,1,2t x t ⎡=∈⎣，则1x t =-，()22232212++---=+=+-=t t y t t tt t由于2,y t y t=-=均为(0,)+∞的减函数 故22++=-y t t在]1,2⎡⎣上为减函数 所以当1t =时，22++=-y t t取最大值，且最大值为3 所以()max 3g x = 所以3a ≥所以实数a 的取值范围为[)3,+∞.26．（2022·湖南湘西·高一期末）已知函数()()21f x x a x a =-++.(1)当2a =时，求关于x 的不等式()0f x >的解集；(2)若()20f x x +≥在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)当2a =时，则2()32f x x x =-+，由()0f x >，得2320x x -+>， 令2320x x -+=，解得1x =，或2x =， ∴原不等式的解集为(-∞，1）（2，)∞+；(2)由()20f x x +≥即20x ax x a -++≥在(1,)+∞上恒成立，从而有：21x xa x +≤-， 令1(0)t x t =->，则22(1)123321x x t t t x t t++++==++≥+-2t =时取等号，∴322a ≤+故实数a 的取值范围是(,223⎤-∞⎦.27．（2022·重庆巫山·高一期末）关于x 的不等式20x ax b -++≥的解集为[1,2]-， (1)求a ，b 的值；(2)当0,0x y >>，且满足1a bx y +=时，有226x y k k +≥++恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(1)因为关于x 的不等式20x ax b -++≥的解集为[1,2]-，所以1-和2是方程20x ax b -++=的两个实数根，可得1212a b -+=⎧⎨-⨯=-⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，经检验12a b =⎧⎨=⎩满足条件，所以1,2a b ==.(2)由（1）知12a b =⎧⎨=⎩，可得121x y +=，则()1244224428y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当24x y =⎧⎨=⎩时，等号成立，因为226x y k k +≥++恒成立，所以2min (2)6x y k k +≥++，即286k k ≥++，可得220k k +-≤，解得21k -≤≤，所以k 的取值范围为[2,1]-．28．（2022·全国·高一期末）（1）若不等式2(1)460a x x 的解集是{}31x x -<<，解不等式22(2)0x a x a ；（2）b 为何值时，2330x bx ++≥的解集为R ?（3）当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，求m 的取值范围.【解析】（1）由题意知10a -<，且3-和1是方程2(1)460a x x 的两根， 10,42,163,1a a a⎧⎪-<⎪⎪∴=-⎨-⎪⎪=-⎪-⎩解得3a =. ∴不等式22(2)0x a x a ，即为2230x x -->，解得1x <-或32x >， ∴所求不等式的解集为{|1x <-或3}2x >. （2）2330x bx ++≥，即2330x bx ++≥，若此不等式解集为R ，则24330b ∆=-⨯⨯≤，66b ∴-≤≤.（3）设2()4f x x mx =++，要使(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立.则有(1)0,(2)0,f f ≤⎧⎨≤⎩即140,4240,m m ++≤⎧⎨++≤⎩解得 5.m ≤- 29．（2022·河北·武安市第一中学高一期末）已知函数()()2240f x ax x a a =++-≠，且对任意的x ∈R ，()2f x x ≥恒成立．（1）若()()f x g x x=，0x >，求函数()g x 的最小值； （2）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()2x f x t f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围． 【解析】（1）对任意的x ∈R ，()2f x x ≥恒成立，2240ax x a ∴-+-≥对x ∈R 恒成立，()014240a a a >⎧∴⎨∆=--≤⎩，即()20410a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得：14a =，()2114f x x x ∴=++； ()()1114f x g x x x x==++，0x >， 又1112144x x x x+≥⋅=（当且仅当14x x =，即2x =时取等号），()min 112g x ∴=+=. （2）由()2x f x t f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭得：()()2211114422x x x t x t ⎛⎫++++<⨯++ ⎪⎝⎭， 即()223884160x t x t t ++++<， ∴对任意的[]1,1x ∈-，不等式()223884160x t x t t ++++<恒成立．令()()22388416m x x t x t t =++++，则()()22148501424110m t t m t t ⎧-=+-<⎪⎨=++<⎪⎩，解得：5122t -<<-， ∴实数t 的取值范围为51,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 30．（2022·全国·高一期末）已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式220x x m --=成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()()20x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.【解析】（1）由题意，方程22m x x =-在(1,1)-上有解令2()2f x x x =-(11)x -<<.只需m 在()f x 值域内易知()f x 值域为1,38⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.m ∴的取值集合1,38M ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭ （2）由题意，M N ⊆，显然N 不为空集.①当2a a >-即1a >时，(2,)N a a =-.12831a a a ⎧-<-⎪⎪∴≥⎨⎪>⎪⎩3a ∴≥ ②当2a a <-即1a <时，(,2)N a a =-.23181a a a -≥⎧⎪⎪∴<-⎨⎪<⎪⎩1a ∴≤-. 综合：3a ∴≥或1a ≤-31．（2022·湖南湖南·高一期末）设函数()()212f x ax b x =+-+.(1)若不等式()0f x <的解集为()1,2，求实数a ，b 的值；(2)若()15f -=，且存在x ∈R ，使()1f x <成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)因为()()2120f x ax b x =+-+<的解集为1,2，所以01322a b a a ⎧⎪>⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得1,2a b ==-；(2)因为()15f -=，所以2a b -=，因为存在x ∈R ，()()2121f x ax b x =+-+<成立，即存在x ∈R ，()2310ax a x +-+<成立，当0a =时，13x >，成立； 当0a <时，函数()231y ax a x =+-+图象开口向下，成立；当0a >时，()2340a a ∆=-->，即21090a a -+>，解得9a >或1a <，此时，9a >或01a <<，综上：实数a 的取值范围9a >或1a <.32．（2021·全国·高一）已知不等式210mx mx --<．（1）若[]1,3x ∈时不等式恒成立，求实数m 的取值范围．（2）若对满足2m ≤的一切m 的值不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【解析】（1）令()21f x mx mx =--， ①当0m =时，()10f x =-<，显然恒成立．②当0m >时，若对于[]1,3x ∈时不等式恒成立，则()()10,30,f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩∴()()110,39310,f f m m ⎧=-<⎪⎨=--<⎪⎩解得16m <，∴106m <<． ③当0m <时，函数()f x 的图象开口向下，对称轴为直线12x =， 若[]1,3x ∈时不等式恒成立，结合函数图象知只需()10f <即可，解得m ∈R ，∴0m <符合题意．综上所述，实数m 的取值范围是1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． （2）令()()2211g m mx mx x x m =--=--，若对满足2m ≤的一切m 的值不等式恒成立，则()()20,20,g g ⎧-<⎪⎨<⎪⎩即()()22210,210,x x x x ⎧---<⎪⎨--<⎪⎩1313x -+<<， ∴实数x 的取值范围是1313-+⎝⎭．33．（2022·四川自贡·高一期末（文））已知函数()228f x x x =--，(1)求不等式()0f x <的解集；(2)()()215f x m x m ≥+--恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）()0f x <即2280x x --<，整理得(4)(2)0x x -+<，解得：24x -<<，∴()0f x <的解集为{}|24x x -<<.（2）∵()()215f x m x m ≥+--，即228(2)150x x m x m ---+++≥恒成立，2(4)70x m x m -+++≥恒成立，只需2(4)4(7)0m m ∆=+-+≤，即2412(6)(2)0m m m m +-=+-≤，解得：62m -≤≤，所以m 的取值范围为{}62m m -≤≤34．（2022·北京朝阳·高一期末）已知函数()2f x x =-，2()4g x x mx =-+（m R ∈）．(1)当4m =时，求不等式()()g x f x >的解集；(2)若对任意x ∈R ，不等式()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围；(3)若对任意1[1,2]x ∈，存在[]24,5x ∈，使得12()()g x f x =，求m 的取值范围．【解析】(1)当4m =时，由2442x x x -+>-得2560x x -+>，即(3)(2)0x x -->，解得2x <或3x >．所以不等式()()g x f x >的解集为{2|x x <或3}x >．(2)由()()g x f x >得242x mx x -+>-，即不等式2(1)60x m x -++>的解集是R ．所以2(1)240m +-<，解得61261m -<<．所以m 的取值范围是(61,61)-． (3)当[]24,5x ∈时，()[]2222,3f x x =-∈．又222()4()424m m g x x mx x =-+=-+-． ①当12m ≤，即2m ≤时， 对任意1[1,2]x ∈，1()[5,82][2,3]g x m m ∈--⊆．所以252823m m m ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，此时不等式组无解，②当3122m <≤，即23m <≤时， 对任意1[1,2]x ∈，21()[4,82][2,3]4m g x m ∈--⊆． 所以解得5222m ≤≤ ③当3222m <<，即34m <<时， 对任意1[1,2]x ∈，21()[4,5][2,3]4m g x m ∈--⊆． 所以234,42,453,m m m <<⎧⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≤⎩此时不等式组无解， ④当22m ≥，即4m ≥时， 对任意1[1,2]x ∈，1()[82,5][2,3]g x m m ∈--⊆．所以482253m m m ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩此时不等式组无解．综上，实数m 的取值范围是5,222⎡⎢⎣．。
一元二次不等式恒成立问题
⑵集合 A={x|10+3x-x2≥0}，B={x|m+1≤x≤2m+1}， 当 A∩B=φ时，m 的取值范围是________．
m＜0 或 m＞4
2022年12月11日4时52
3
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练习1：若y lg( x2 5x b) 的定义域为R,求
b范围。
b ( , 25 ) 4
练习2 ：若y lg( x2 5x b) 的值域为R,求b
范围。
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4
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三、课堂小结
一、内容分析
已知不等式的解集，求参数的值或范围
1函数 不等式中的恒成立问题 2分离参数后用最值
3用图象
二、运用的数学思想
数形结合的思想
2022年12月11日4时52
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作业：73页 第1、2题
思考题：
1、若方程x2 +mx+n=0无实数根，则不等式x2 +mx+n>0的
解集是 R
.
2、若不等式x2 ax (a 3) 0的解集是，则实数
a的取值范围是 -2≤a≤6 .
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一元二次不等式及其解法（4）
与一元二次不等式 有关恒成立的问题
1
2022年12月11日4时52 分
与一元二次不等式有关恒成立的问题
知识概要
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0
b2
4acΒιβλιοθήκη 0（2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立
一元二次不等式恒成立问题例题
一元二次不等式恒成立问题例题
例题1：求解不等式 $x^2-4x+4\geq 0$。
解法：首先，将不等式左边的二次项 $x^2-4x+4$ 因式分解为$(x-2)^2$。
则原不等式可以转化为 $(x-2)^2\geq 0$。
由于平方数不小于0，即 $(x-2)^2\geq 0$ 恒成立。
因此，不等
式 $x^2-4x+4\geq 0$ 恒成立的解集为全体实数集。
例题2：求解不等式 $3x^2-6x+3> 0$。
解法：首先，将不等式左边的二次项 $3x^2-6x+3$ 因式分解为$3(x-1)^2$。
则原不等式可以转化为 $3(x-1)^2> 0$。
由于平方数大于0，而系数3大于0，即 $3(x-1)^2> 0$ 恒成立。
因此，不等式 $3x^2-6x+3> 0$ 恒成立的解集为全体实数集。
例题3：求解不等式 $2x^2-4x-6< 0$。
解法：首先，将不等式左边的二次项 $2x^2-4x-6$ 因式分解为$2(x+1)(x-3)$。
则原不等式可以转化为 $2(x+1)(x-3)< 0$。
考虑一元二次函数的图像，我们可以得出以下结论：
- 当 $x<-1$ 时，$2(x+1)(x-3)< 0$
- 当 $-1<x<3$ 时，$2(x+1)(x-3)> 0$
- 当 $x>3$ 时，$2(x+1)(x-3)< 0$
因此，不等式 $2x^2-4x-6< 0$ 的解集为 $(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$。
必修五含参一元二次不等式恒成立问题教师版
微专题 含参不等式恒成立问题类型一：一次函数型例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
变式.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
解：原不等式可化为 (x -1)p+x 2-2x+1>0,令 f(p)= (x -1)p+x 2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∈x<-1或x>3. 类型二：二次函数型∈利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m -1是否是0。
（1）当m -1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。
一元二次不等式恒成立问题专项练习
一元二次不等式恒成立问题专项练习一元二次不等式恒成立问题专项练习例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则 m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<0.∴－4<="">(2)方法一要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ? ????x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立.令g (x )＝m ? ????x －122＋34m －6，x ∈[1,3].当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<67；<="" p="">当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是? ????－∞，67.方法二当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝? ????x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6? ????x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可.综上所述，m 的取值范围是?－∞，67. (3) 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5，m (x 2－x ＋1)－6<0.设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.则g (m )是关于m 的一次函数且斜率x 2－x ＋1＝? ????x －122＋34＞0.∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0，即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52，∴x 2－x －1<0的解集为? ????1－52，1＋52，即x 的取值范围为? ????1－52，1＋52. 练习：1. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________. 解析：构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2).由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.则有 f 1 ≤0，f 2 ≤0，即 1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得 m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.2.若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A.m ≥2B.m ≤－2C.m ≤－2或m ≥2D.－2≤m ≤2答案 D解析由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.3.当不等式x 2＋x ＋k >0恒成立时，k 的取值范围为________.答案 ? ??14，＋∞ 解析由题意知Δ<0，即1－4k <0，得k >14，即k ∈? ??14，＋∞.3.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( )A.1B.－1C.－3D.3答案 C解析由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3，∴m 的最大值为－3.4.对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A.1<3<="" p="">B.x <1或x >3C.1<2<="" p="">D.x <1或x >2答案 B解析设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]g 1 ＝x 2－3x ＋2>0，g －1 ＝x 2－5x ＋6>0x <1或x >2，x <2或x >3?x <1或x >3.5.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.(－∞，2]。
含参一元二次不等式恒成立问题专项练习
含参一元二次不等式恒成立问题专项练习1．设函数2()f x x ax b =-+.（1）若不等式()0f x <的解集是{}23x x <<，求a 及b 的值； （2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 2．已知()()21f x ax a x =-+，()13g x a x =-+其中a R ∈.（1）当0a <时，解关于x 的不等式()0f x <；（2）若()()f x g x <在[]2,3x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围. 3．设m R ∈，二次函数25y x x m =-+（1）若该二次函数的两个零点都在区间(1,)+∞内，求m 的取值范围；（2）若对任意[]1,2x ∈，不等式22252x x m x mx m -+≤++恒成立，求m 的取值范围4．若二次函数()f x 满足()1()2f x f x x +-=，且()02f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若不等式2()0f x mx mx -+>对于x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.5．（1）若不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.（2）已知[]1,1a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围. 6．已知函数()()224y x a x a R =-++∈（1）解关于x 的不等式42y a ≤-的解集中仅有2个整数，求实数a 的取值范围； （2）若对任意的[]1,4x ∈，10y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 7．已知函数f (x )＝mx 2－mx －2x ＋2.（1）若f (x )≥0在m ∈[－1，1]时恒成立，求x 的取值范围； （2）解关于x 的不等式f (x )≤0.8．已知二次函数2()(1)(0)f x mx m x m m =--+≠. （1）若2m =，解不等式：()3f x <；（2）求使不等式()0f x >的解集为R 的实数m 的取值范围.9．已知2,()23a f x ax x ∈=+-R ．（Ⅰ）关于x 的方程()0f x =有且只有正根，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若()30f x a -≥对[1,0]a ∈-恒成立，求实数x 的取值范围．10．已知函数()2f x x bx c =++(,b c ∈R )．（1）若()0f x <的解集为()-1,3，求,b c 的值；（2）当()-1,3x ∈时，不等式()0f x <恒成立，求3b c +的取值范围． 11．已知关于x 的不等式210ax x a -+-≤. （1）当a R ∈时，解关于x 的不等式；（2）当[]2,3x ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求a 的取值范围. 12．已知关于x 的不等式2260kx x k -+<. （1）若不等式的解集为()2,3，求实数k 的值；（2）若0k >，且不等式对()1,3x ∀∈都成立，求实数k 的取值范围.参考答案1．（1）5,6a b ==；（2）62a -≤≤. 【分析】（1）先由一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系即得结果； （2）开口向上的二次函数大于等于恒成立，只需限定判别式0∆≤，即解得参数范围. 【详解】解：（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}23x x <<， 所以2，3是方程20x ax b -+=的根. 由根与系数的关系得a =5，b =6；（2）据题意2()30f x x ax a =-+-恒成立则2Δ4(3)0a a =--≤，即24120a a +-≤，解得62a -≤≤，所以实数a 的取值范围为62a -≤≤. 【点睛】二次函数2()f x ax bx c =++的恒成立问题的解决方法：（1）0a >时()0f x ≥在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立； （2）0a <时()0f x ≤在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立. 2．（1）见解析；（2）6a ≤. 【分析】（1）因式分解确定对应二次方程的解，然后写出不等式的解集； （2）不等式转化为21414111x a x x x x ≤=-++-，利用函数的单调性求出1411x x+-在[2,3]上最小值最小值即可得结论． 【详解】（1）∵()()21f x ax a x =-+，∴()()21010ax a x ax a x -+<⇔--<，∵0a <，∴当01a >>-时，()0f x <的解集为()1,0,a a ⎛⎫-∞+∞ +⎪⎝⎭当1a =-时，()0f x <的解集为()(),00,-∞+∞当1a <-时，()0f x <的解集为(),0,1a a ⎛⎫-∞+∞+ ⎪⎝⎭（2）根据题意得，()2113ax a x a x -+<-+在[]2,3x ∈时恒成立，即()2140ax a x a -++<在[]2,3x ∈时恒成立，即()2114a x x x -+≤在[]2,3x ∈时恒成立，即21414111x a x x x x≤=-++-在[]2,3x ∈时恒成立即min 1411a x x ⎛⎫ ⎪≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭ ∵11y x x =+-在[]2,3x ∈，单调递增，∴max 173133y =+-=，∴14673a ≤=，∴实数a的取值范围是6a ≤． 【点睛】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，考查不等式恒成立问题，解决不等式恒成立的方法是用分离参数法转化为求函数的最值，这是恒成立问题的常用方法． 3．（1）254,4⎛⎫⎪⎝⎭；（2）R 【分析】（1）由题意可得()()254011510m f m ⎧∆=-->⎪⎨=-⨯+>⎪⎩，即可求解，（2）原不等式可转化为()2250m m x x m +++-≥对于任意[]1,2x ∈恒成立，设()()225g x x m m m x =++-+，对称轴为52m x +=-，只需要()min 0g x ≥，由于对称轴不固定，所以分三种情况讨论对称轴和区间的关系，满足最小值大于或等于0，再求并集即可. 【详解】（1）25y x x m =-+的对称轴为52x =， 由题意可得()()254011510m f m ⎧∆=-->⎪⎨=-⨯+>⎪⎩，解得2544m m ⎧<⎪⎨⎪>⎩，所以2544m <<，（2）不等式22252x x m x mx m -+≤++对于任意[]1,2x ∈恒成立， 即()2250m m x x m +++-≥对于任意[]1,2x ∈恒成立，设()()225g x x m m m x =++-+，开口向上的抛物线对称轴为52m x +=-， 只需要()min 0g x ≥，所以()()min 52220m g x g +⎧-≥⎪⎨⎪=≥⎩或()()min 51210m g x g +⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或()min 5122502m m g x g +⎧<-<⎪⎪⎨+⎛⎫⎪=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩解得：29140m m m ≤-⎧⎨++≥⎩ 或2760m m ≥-⎧⎨+≥⎩或297314250m m m -<<-⎧⎨--≥⎩，所以9m ≤-或7m ≥-或97m -<<-， 故m 的取值范围是R . 【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法 （1）分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题. （3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.4．（1）2()2f x x x =-+；（2）(]7,1-.【分析】（1）设()2()0f x ax bx c a =++≠，由()02f =，求出c ，即可求出()1f x +，再根据()1()2f x f x x +-=，计算可得；（2）依题意2(1)(1)20m x m x -+-+>对于x ∈R 恒成立，对二次项系数为零与否分类讨论，分别求出参数的取值范围最后取并集即可； 【详解】解：（1）设()2()0f x ax bx c a =++≠，∵()02f =，∴2c =，∴2()2f x ax bx =++.∵()()12f x f x x +-=， ∴22ax a b x ++=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，∴2()2f x x x =-+.（2）2()0f x mx mx -+>即2(1)(1)20m x m x -+-+>对于x ∈R 恒成立，当1m =时，20>恒成立， 当1m ≠时，则210(1)8(1)0m m m ->⎧⎨∆=---<⎩，解得71m -<<. 综上：m 的取值范围为(]7,1-. 【点睛】求函数解析式常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f (x )与1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 5．（1）[]1,4-；（2）(),1(3,)-∞+∞.【分析】（1）令2()25f x x x =-+，求出()f x 的最小值，然后将问题转化为2min ()3f x a a ≥-，从而可求出实数a 的取值范围；（2）把a 看成自变量，令22()(4)42(2)44g a x a x a x a x x =+-+-=-+-+，则问题转化为(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩，从而可求出实数x 的取值范围【详解】解：（1）令2()25f x x x =-+，则22()25(1)4f x x x x =-+=-+，所以()4min f x =，因为不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立， 所以243a a ≥-，解得14a -≤≤， 所以实数a 的取值范围[]1,4-，（2）令22()(4)42(2)44g a x a x a x a x x =+-+-=-+-+，因为[]1,1a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立， 所以(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩，即22560320x x x x ⎧-+>⎪⎨-+>⎪⎩，解得1x <或3x >，所以实数x 的取值范围为(),1(3,)-∞+∞【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式恒成立问题，对于第（2）题解题的关键是把a 看成自变量，构造关于a 的函数22()(4)42(2)44g a x a x a x a x x =+-+-=-+-+，把此函数看成关于a 的一次函数，所以要[]1,1a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，只要满足(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩即可，考查数学转化思想，属于中档题6．（1）(][)0,13,4⋃；（2）4a ≤. 【分析】（1）将不等式()24f x a ≤-+转化为()()20x a x --≤，分2a <，2a =，2a >三种情况讨论解不等式，然后再根据解集中仅有2个整数，求实数a 的取值范围；（2）将任意的[]14x ∈，，()10f x a ++≥恒成立，转化为对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.当1x =时，不等式为04≤恒成立，当(]1,4x ∈时，转化为2254111x x a x x x -+≤=-+--，再利用解不等式求得411x x -+-最小值即可. 【详解】（1）∵()24f x a ≤-+即()2220x a x a -++≤，∴()()20x a x --≤，（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； （ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}2x x =； （ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤，综上所述：(][)0,13,4a ∈⋃（2）对任意的[]14x ∈，，()10f x a ++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立， 即对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；②当(]1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--， ∵14x <≤，∴013x <-≤， ∴()4411411x x x x -+≥-⋅=--， 当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=”，∴4a ≤. 综上4a ≤. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<； 7．（1）21x -≤≤；（2）答案见解析. 【分析】（1）转化为()2()220g m x x m x =--+≥在1,1m ∈-（）时恒成立，根据(1)0(1)0g g -≥⎧⎨≥⎩解得结果即可得解；（2）对m 分4类讨论可解得结果. 【详解】（1）()22()2222f x mx mx x x x m x =--+=--+，令()2()22g m x x m x =--+，要使()0f x ≥在1,1m ∈-（）时恒成立，即使()2()220g m x x m x =--+≥在1,1m ∈-（）时恒成立，只需(1)0(1)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即：22220220x x x x x x ⎧-+-+≥⎨--+≥⎩，解得21x -≤≤，故x 的取值范围是21x -≤≤.（2）2()22(2)(1)f x mx mx x mx x =--+=--0≤①当0m <时，不等式化为1()(1)0x x m --≥，解得2x m≤或1≥x ； ②当0m =时，不等式化为10x -≥，解得1≥x ；③当02m <≤时，不等式化为1()(1)0x x m --≤，解得21x m ≤≤， ④当2m >时，不等式化为1()(1)0x x m --≤，解得21x m≤≤，综上所述：当0m <时，不等式的解集为：2{|x x m≤或1}x ≥；当0m =时，不等式的解集为：{}1x x ≥； 当02m <≤时，不等式的解集为：21x x m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；当2m >时，不等式的解集为：21x x m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 【点睛】关键点点睛：第一问变更主元，化为关于m 的不等式恒成立是解题关键，第二问对m 进行分类讨论是解题关键. 8．（1）112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）利用开口方向和判别式列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】（1）当2m =时，不等式()3f x <即2223x x ++<，即2210x x +-<，()()2110x x -+<，解得112x -<<.所以不等式的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）依条件知：要满足不等式()0f x >的解集为R ，则函数()y f x =的图象开口向上且与x 轴没有交点，满足：0m >⎧⎨∆<⎩，即2222000(1)4032103210m m m m m m m m m ⎧>>>⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨--<--+<+->⎩⎩⎩ ()()03110m m m >⎧⇒⎨-+>⎩13m ⇒>.所以m 的取值范围是1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭.【点睛】一元二次不等式恒成立问题，主要是根据开口方向和判别式来求解. 9．（Ⅰ）103a -≤≤；（Ⅱ）[]0,3． 【分析】（Ⅰ）讨论0a =和0a ≠两类，当0a ≠时，利用韦达定理列出不等式解出实数a 的取值范围；（Ⅱ）构造()()232g a a x x =-+，[1,0]a ∈-，则()()1000g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，解不等式可得实数x 的取值范围．（Ⅰ）当0a =时，()230f x x =-=，解得32x =，符合题意； 当0a ≠时，()0f x =即2230ax x +-=， 121241202030a x x a x x a ⎧⎪∆=+≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪=->⎪⎩，解得103a -≤< 综上可得：实数a 的取值范围是103a -≤≤． （Ⅱ）()30f x a -≥即22330ax x a +--≥，构造()()232g a a x x =-+，[1,0]a ∈- 则有()()1000g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，即223020x x x ⎧-++≥⎨≥⎩，解得03x ≤≤ 实数x 的取值范围是[]0,3．【点睛】方法点睛：本题考查一元二次方程根的问题，考查不等式的恒成立问题，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下：1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．10．（1）23b c =-=-，；（2）311b c +<-．【分析】（1）由一元二次不等式的性质可得方程20x bx c ++=的两根为-1，3，由韦达定理可得结果；（2）易得()10(3)0f f ⎧-<⎨<⎩，即求出b c -+和3b c +的范围，结合()()323b c b c b c +=-+++【详解】（1）()0f x <的解集为()1,3-20x bx c ∴++=的两根为-1，313,13b c ∴-+=--⨯=，2,3b c ∴=-=-.（2）()-1,3x ∈时，不等式()0f x <恒成立()110(3)930f b c f b c ⎧-=-+<∴⎨=++<⎩，139b c b c -+<-⎧⎨+<-⎩ ()()32311b c b c b c +=-+++<-11．（1）答案见详解；（2）14a ≤. 【分析】（1）不等式210ax x a -+-≤可化为()()110ax a x ---≤⎡⎤⎣⎦，然后讨论开口方向及根的大小关系，分类讨论求解不等式；（2）利用参变分离法求解.【详解】解：（1）不等式210ax x a -+-≤可化为()()110ax a x ---≤⎡⎤⎣⎦，①当0a =时，原不等式可化为10x -+≤，则1x ≥； ②当102a <<时，则 11a a ->，解得：11a x a -≤≤ ； ③当12a =时，原不等式可化为()21102x -≤，解得：1x =； ④当12a >时，则11a a -<，解得：11a x a -≤≤； ⑤当0a <时，则11a a -<，解得：1≥x 或1a x a-≤； 综上所述：当0a =时，解集为[)1,+∞；当102a <<时，解集为11,a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当12a =时，解集为{}1；当12a >时，1,1a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当0a <时，解集为[)1,1,a a -⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦. （2）当[]2,3x ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，则有21111x a x x -≤=-+在[]2,3x ∈恒成立， 又函数11y x =+在[]2,3x ∈上递减，所以当3x =时取得最小值14， 所以14a ≤. 【点睛】利用分类讨论法解答含参二次不等式时，易错点如下：（1）二次项系数为零的情况要先讨论；（2）当二次方程有根时，要讨论根的大小关系，根据根的大小关系及开口方向确定不等式的解集.利用不等式恒成立求参数的取值范围时，一般方法如下：（1）利用参变分离法，然后转化为求解函数的最值问题；（2）分类讨论二次函数在某固定区间上的最值，利用最大值或最小值解决问题.12．（1）25k =；（2）20,7⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）由于不等式2260kx x k -+<的解集为()2,3，所以2和3是方程2260kx x k -+=的两根且0k >，再利用根与系数的关系可求出实数k 的值； （2）令()226f x kx x k =-+，则原问题等价于()()1030f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解不等式组可求得结果 【详解】（1）∵不等式2260kx x k -+<的解集为()2,3，∴2和3是方程2260kx x k -+=的两根且0k >， 由根与系数的关系得：223k +=，解得：25k =. （2）令()226f x kx x k =-+，则原问题等价于()()1030f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即44609660k k k k -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得：27k ≤. 又0k >，∴实数k 的取值范围是20,7⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
一元二次不等式练习题含答案
一元二次不等式练习一、选择题1．设集合S＝{x|－5<x<5},T＝{x|x2＋4x－21<0},则S∩T＝A．{x|－7<x<－5} B．{x|3<x<5}C．{x|－5<x<3} D．{x|－7<x<5}2．已知函数y＝错误!的定义域为R,则实数a的取值范围是A．a>0 B．a≥错误! C．a≤错误! D．0<a≤错误!3．不等式错误!≥0的解集是A．{x|x≤－1或x≥2} B．{x|x≤－1或x>2}C．{x|－1≤x≤2} D．{x|－1≤x<2}4．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为错误!,则a,b的值分别是A．a＝－8,b＝－10 B．a＝－1,b＝9C．a＝－4,b＝－9 D．a＝－1,b＝25．不等式xx－a＋1>a的解集是错误!,则A．a≥1 B．a<－1C．a>－1 D．a∈R6．已知函数fx＝ax2＋bx＋c,不等式fx>0的解集为错误!,则函数y＝f－x的图象为7．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b,则满足x⊙x－2<0的实数x的取值范围是A．0,2 B．－2,1C．－∞,－2∪1,＋∞ D．－1,2二、填空题8．若不等式2x2－3x＋a<0的解集为m,1,则实数m的值为________．9．若关于x的不等式ax－b>0的解集是1,＋∞,则关于x的不等式错误!>0的解集是________．10．若关于x的方程9x＋4＋a3x＋4＝0有解,则实数a的取值范围是________．三、解答题11．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－axa<0．.12．设函数fx＝mx2－mx－1.1若对于一切实数x,fx<0恒成立,求m的取值范围；2若对于x∈1,3,fx<－m＋5恒成立,求m的取值范围．答案1.解析∵S＝{x|－5<x<5},T＝{x|－7<x<3},∴S∩T＝{x|－5<x<3}．答案C2.解析函数定义域满足ax2＋2x＋3≥0,若其解集为R,则应错误!即错误!∴a≥错误!.答案B3.解析错误!≥0错误!x>2或x≤－1.答案B4.解析依题意,方程ax2＋bx－2＝0的两根为－2,－错误!,∴错误!即错误!答案C5.解析xx－a＋1>ax＋1x－a>0,∵解集为错误!,∴a>－1.答案C.6. 解析由题意可知,函数fx＝ax2＋bx＋c为二次函数,其图象为开口向下的抛物线,与x轴的交点是－3,0,1,0,又y＝f－x的图象与fx的图象关于y轴对称,故只有B符合．7.解析∵a⊙b＝ab＋2a＋b,∴x⊙x－2＝xx－2＋2x＋x－2＝x2＋x－2,原不等式化为x2＋x－2<0－2<x<1.答案B8. 解析∵方程2x2－3x＋a＝0的两根为m,1,∴错误!∴m＝错误!.答案错误!9.解析由于ax>b的解集为1,＋∞,故有a>0且错误!＝1.又错误!>0ax＋bx－2＝ax＋1x－2>0x＋1x－2>0,即x<－1或x>2.答案－∞,－1∪2,＋∞10.解析方程9x＋4＋a3x＋4＝0化为：4＋a＝－错误!＝－错误!≤－4,当且仅当3x＝2时取“＝”,∴a≤－8.答案－∞,－811.解析原不等式化为ax2＋a－2x－2≥0x＋1ax－2≥0.①若－2<a<0,错误!<－1,则错误!≤x≤－1；②若a＝－2,则x＝－1；③若a<－2,则－1≤x≤错误!.综上所述,当－2<a<0时,不等式解集为错误!；当a＝－2时,不等式解集为{x|x＝－1}；当a<－2时,不等式解集为错误!.12.解析1要使mx2－mx－1<0,x∈R恒成立．若m＝0,－1<0,显然成立；若m≠0,则应错误!－4<m<0.综上得,－4<m≤0.2∵x∈1,3,fx<－m＋5恒成立,即mx2－mx－1<－m＋5恒成立；即mx2－x＋1<6恒成立,而x2－x＋1>0,∴m<错误!.∵错误!＝错误!,∴当x∈1,3时,错误!min＝错误!,∴m的取值范围是m<错误!.。
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一元二次不等式恒成立问题专项练习 例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1.
(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；
(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.
(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，
若m ＝0，显然－1<0，满足题意；
若m ≠0，则⎩⎨⎧ m <0，
Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.
(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，
就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －122
＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立.
令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋34m －6，x ∈[1,3].
当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，
∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；
当m ＝0时，－6<0恒成立；
当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，
∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.
综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
－∞，67.
方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，
即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.
∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －122
＋34>0，
又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6
x 2－x ＋1.
∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34
在[1,3]上的最小值为67
，∴只需
m <67即可.
综上所述，m 的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，67. (3) 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5，
m (x 2－x ＋1)－6<0.
设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.
则g (m )是关于m 的一次函数且斜率
x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34
＞0.
∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0， 即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，
方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52， ∴x 2－x －1<0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－52，1＋52， 即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52
，1＋52. 练习：
1. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________. 解析： 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，
则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2).
由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.
则有⎩⎨⎧ f 1≤0，f 2≤0，即⎩⎨⎧ 1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，
可得⎩⎨⎧ m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.
2.若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )
A.m ≥2
B.m ≤－2
C.m ≤－2或m ≥2
D.－2≤m ≤2
答案 D
解析 由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.
3.当不等式x 2＋x ＋k >0恒成立时，k 的取值范围为________.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，＋∞ 解析 由题意知Δ<0，即1－4k <0，
得k >14，即k ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，＋∞.
3.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为
( )
A.1
B.－1
C.－3
D.3
答案 C
解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，
又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，
∴f (x )min ＝f (1)＝－3，
∴m ≤－3，
∴m 的最大值为－3.
4.对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )
A.1<x <3
B.x <1或x >3
C.1<x <2
D.x <1或x >2
答案 B
解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]
⇔⎩⎨⎧ g 1＝x 2－3x ＋2>0，g －1＝x 2－5x ＋6>0
⇔⎩⎨⎧ x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3.
5.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A.(－∞，2)
B.(－∞，2]
C.(－2,2)
D.(－2,2]
答案 D 解析 当a －2≠0时，
⎩⎨⎧ a －2<0，4a －22－4
a －2·－4<0，即⎩⎨⎧ a <2，a 2<4， 解得－2<a <2.
当a －2＝0时，－4<0恒成立，
综上所述，－2<a ≤2.
6.若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________.
答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤－35，1 解析 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或a ＝－1.
若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意.
若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，
即x <12
，不合题意，舍去. ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，
原不等式的解集为R 的条件是
⎩⎨⎧ a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0，解得－35
<a <1. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－35，1. 7．已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋3.
(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；
(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，
∴－6≤a ≤2，∴a 的取值范围为[－6,2]．
(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a 2
4.
①当－a 2<－2，即a >4时， f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，
由－2a ＋7≥a ，得a ≤73
，∴a 不存在； ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24， 由3－a 24
≥a ，得－6≤a ≤2，∴－4≤a ≤2； ③当－a 2
>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，a 的取值范围为[－7,2]．。