教案：一元二次不等式恒成立的问题

一元二次不等式恒成立的问题

教学目标

1. 会解决一元二次不等式恒成立的问题。

2. 进一步掌握一元二次不等式的解法。

3. 培养学生的分类讨论思想和数形结合思想。

教学重点：加强学生的分类讨论思想意识

教学难点：提高学生利用数形结合的方法解决问题的能力

教学过程：

一、复习

1．回顾一元二次不等式的解法，即“三个二次”之间的联系。

2．解一元二次不等式的步骤：一看（看是否标准型，非标准型须转化为标准型），二算（计算判别式及对应方程的解），三写（写出不等式的解集）。

3．解不等式(1)03532-2<-+x x (2)03-2<-+x x

二、新授

前面我们已经学习了一元二次不等式的解法，那现在看看一元二次不等式的 综合问题。今天，我们就通过一个典型例题来研究不等式恒成立的问题。 典例：

例、 关于的x 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围。

分析：（一）讨论系数

① 当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式变成常数不等式 。

② 当0)2(≠-a 时，原不等式是一元二次不等式。

（二）分类讨论

①当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式可化为04<-，∴2=a 时，不等式恒成立。

② 当0)2(≠-a 时，不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 是一个一元二次

不等式，此时对应方程04)2(2)2(2=--+-x a x a 应满足⎩⎨⎧<∆<-0

02a （这

一充要条件是通过借助函数4)2(2)2(y 2--+-=x a x a 的图像，在图像上找出x 时0y <取什么值，而得到的。强调数形结合思想。）

练习：不等式012<--kx kx 的解集为全体实数，求k 的取值范围。 举一反三：（提问，学生思考）

1. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≤--+-x a x a 呢？

2. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2>--+-x a x a 呢？

3. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≥--+-x a x a 呢？ （以上三个问题由学生来完成）

三、小结

通过典例，得到以下结论：不等式02<++c bx ax 对一切实数恒成立（解集为

R ），则系数应满足的条件：⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==0

0c b a （其他三种形式的不等式所得结论由学生自己归纳）。