一元二次不等式恒成立问题
含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题
2含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按X 2项的系数a 的符号分类，即a 0,a 0,a 0;例1解不等式：ax 2系数进行分类讨论。
例2解不等式ax 2 5ax 6a 0 a 0分析因为a 0 , 0, 所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 a(x 2 5x 6)a x 2 x 3 0当a时,解集为 x | x 2或x 3 ; 当a0时，解集为x | 2 x 3变式：解关于 x 的不等式1、(x 2)(ax 2) 0 ；32、ax -(a + 1)x + 1<0(a € R)二、按判别式的符号分类，即0,0, 0；例3解不等式x 2 ax 4 0分析 本题中由于x 2的系数大于0,故只需考虑 与根的情况。
解：T a 2 16当a 4即厶=0时，解集为 xx R 且x —分析：本题二次项系数含有参数,2a 2 4a a 24 0，故只需对二次项解:4aa 2解得方程 ax 2a 2 a 22a4 —,X 2 2a 2 a 42a 0时，不等式为 2x 10时，解集为 x|「— 或 x2aa 2 a 242a2..a 24x2a 2 2a、a 2 4 •••当 a 4,4 即0时，解集为R ；< 23 m 2m 21当m ...3或m 3，即 0时，解集为R变式：解关于x 的不等式：ax 2 x 1三、按方程ax bx c 0的根x 1, x 2的大小来分类，即 x 1 x 2 ,x 1 x 2, x 1 x 2 ；例5解不等式x 2 (a 1)x 1 0 (a 0)a1分析：此不等式可以分解为： x a (x ) 0，故对应的方程必有两解。
本题a只需讨论两根的大小即可。
11 解：原不等式可化为： x a (x ) 0，令a，可得：a 1aa11•••当a 1或0 a 1时，a，故原不等式的解集为x | a xaa1当a 1或a 1时，a -,可得其解集为a当1 a 0或a1时， a 1,解集为a.1x | x a 。
1.一元二次不等式恒成立问题
1一元二次不等式专题辅导“含参不等式恒成立问题”是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题.含参不等式恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，成为考试的一个热点.题型一 定义域为R 时即恒成立问题 设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a （注意：若二次项系数含参时，要讨论为0的情况） 例1已知不等式02>++k x x 对任意的R x ∈恒成立，求k 的取值范围.解：判别式△<0，即可. 例2.若不等式232kx +k 08x -<对任意实数x 恒成立，求k 取值范围.解：若2k=0，则不等式等价为083<-恒成立，满足条件. 若2k ≠0,要使不等式恒成立，则⎪⎩⎪⎨⎧<+=-⋅-=∆<03)83(240222k k k k k ，即⎩⎨⎧<<-<030k k ， 得03-<<k ，综上03-≤<k .变式1：设a 是常数，对任意2,10,x R ax ax ∈++>则a 的取值范围是（ ）变式2：若关于x 的不等式221)(1)20m x m x -+-+<（解集为∅，求实数m 的取值范围.解：不等式的解集为∅，等价为221)(1)20m x m x -+-+≥（恒成立， 当012=-m ，即m=1或m=-1, 当m=1时，不等式等价为2≥0恒成立，满足条件. 当m=-1时，不等式等价为-2x+2≥0,即x ≤1，不满足恒成立，当012≠-m 时，要使221)(1)20m x m x -+-+≥（恒成立，则满足⎪⎩⎪⎨⎧≤---=∆>-0)1(8)1(01222m m m ， 即⎩⎨⎧≥+--<>0)97(111m m m m ）（或，得⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<>79-111m m m m 或或， 得m>1或m ≤-79，综上m ≥1或m ≤-79.题型二 定义域不为R 时 策略1. 参变分离策略将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题 例2 若不等式02>++k x x 对任意21≤≤x 恒成立， 求k 的取值范围.解：不等式02>++k x x 对任意21≤≤x 恒成立，等价为不等式x x k --2>对任意21≤≤x 恒成立， 设x x x --)g(2=，对称轴为21)1(21-=-⨯--=x ，则当x=1时，g(x)取得最大值，g(1)=-1-1=-2,则k>-2.练习：012>+-ax x 在对任意0>x 恒成立， 则实数a 的取值范围是 解：由012>+-ax x 得12+<x ax ，即xx a 12+<对对任意0>x 恒成立，∵x x x x 112+=+212=⋅≥x x ，当且仅当xx 1=即12=x ，即1=x 时，取等号，∴2<a .[)()().(0,4)A ∞∞ Ｂ.0,4 Ｃ.0,+ Ｄ.－，４2策略2. 函数最值策略对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )( 例2若不等式02>++k x x 对任意21≤≤x 恒成立， 求k 的取值范围.解：设kx x x f ++=2)(，对称轴为21121-=⨯-=x ， 则当x=1时，f(x)取得最小值，f(1)=1+1+k=2+k ，则由2+k>0得k>-2. 策略3.零点分布策略对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 例 2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1. 若对于[]1,3x ∈，0)(<x f 恒成立，求m 的取值范围解：当m=0时，f(x)=-1<0，恒成立，满足条件， 当m ≠0时，函数的对称轴为x=21, 当m>0时，f(x)在[1,3]上为增函数，则只需要f(3)<0,即可， 则f(3)=9m-3m-1=6m-1<0,得m<61，此时0<m<61. 当m<0时，f(x)在[1,3]上为减函数，则只需要f(1)<0,即可，则f(1)=m-m-1=-1<0,此时不等式恒成立，综上得m<61.题型三 给定参数范围的恒成立问题策略 变换主元 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围.确定主元的原则：已知谁的范围，谁就是主元； 求谁的范围，谁就是参数.例3 若任意[1,1]k ∈-，函数2()4)42（f x x k x k =+-+-的值恒大于0，则x 的取值范围是解：f(x)=k x kx x 2442-+-+=)2(-x k +442+-x x ， 设g(k)=)2(-x k +442+-x x要使f(x)>0恒成立，等价为g(k)>0恒成立，即⎩⎨⎧>->0)1(0)1(g g ，得⎪⎩⎪⎨⎧>+-=->+-=065)1(023)1(22x x g x x g ，得⎩⎨⎧<><>2312x x x x 或或，得3>x 或1<x ，即x 的取值范围是（-∞，1）∪（3，+∞).变式 若不等式221(1)x m x ->-对 []2,2m ∀∈- 恒成立，求x 的范围.巩固练习1.不等式2230mx mx +-≤对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()30-， B.(]30-，C ．[)30-， D ．[]30-，2.对任意的实数x ，不等式30x x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）().-0A ∞， ().0,3B ().-3C ∞， ().-3+D ∞，3.若不等式290x tx -+≥对于任意()0.x ∈+∞都成立，则t 的最大值是 .4.若关于x 的不等式2(2)120x a x a +--->对任意的[]2,2a ∈-均成立，则x 的取值范围是 .。
一元二次不等式恒成立问题专项练习
一元二次不等式恒成立问题专项练习 例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎨⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立.令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3].当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. (3) 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5，m (x 2－x ＋1)－6<0.设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.则g (m )是关于m 的一次函数且斜率x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0.∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0， 即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52， ∴x 2－x －1<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52， 即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52. 练习：1. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________. 解析： 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2).由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.则有⎩⎨⎧ f 1≤0，f 2≤0，即⎩⎨⎧ 1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得⎩⎨⎧ m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.2.若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A.m ≥2B.m ≤－2C.m ≤－2或m ≥2D.－2≤m ≤2答案 D解析 由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.3.当不等式x 2＋x ＋k >0恒成立时，k 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 由题意知Δ<0，即1－4k <0，得k >14，即k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.3.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( )A.1B.－1C.－3D.3答案 C解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3，∴m 的最大值为－3.4.对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A.1<x <3B.x <1或x >3C.1<x <2D.x <1或x >2答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎨⎧ g 1＝x 2－3x ＋2>0，g －1＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎨⎧ x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3.5.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2,2)D.(－2,2]答案 D 解析 当a －2≠0时，⎩⎨⎧ a －2<0，4a －22－4a －2·－4<0，即⎩⎨⎧ a <2，a 2<4， 解得－2<a <2.当a －2＝0时，－4<0恒成立，综上所述，－2<a ≤2.6.若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1 解析 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或a ＝－1.若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意.若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不合题意，舍去. ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎨⎧ a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0，解得－35<a <1. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1. 7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2，∴a 的取值范围为[－6,2]．(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a 24.①当－a 2<－2，即a >4时， f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，由－2a ＋7≥a ，得a ≤73，∴a 不存在； ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24， 由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2，∴－4≤a ≤2； ③当－a 2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，a 的取值范围为[－7,2]．。
必修五含参一元二次不等式恒成立问题学生版
微专题 含参不等式恒成立问题类型一：一次函数型例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 都成立，求x 的范围。
变式.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
类型二：二次函数型①利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
变式：若R x ∈,不等式0322≥-+-m x x 恒成立,求m 的取值范围.①利用函数的最值（或值域）（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。
简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。
由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例3. 设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
变式（补充）：求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
①利用换元法例4. 已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。
变式：124()lg ,3x xa f x ++=如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的范围。
①数形结合法例5.当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围。
变式：对⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀210x ，，x a x log 4<恒成立，a 的取值范围________【课后反馈训练】1. 若关于x 的一元二次方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，求m的取值范围.2. m 为什么实数，关于x 的一元二次方程0)1(2=+--m x m mx 没有实数根？3. 当k 为何值时，一元二次不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立？ 4. []1,1m -∈,不等式032≥+-m mx x 恒成立,求x 的取值范围.5. 若关于x 的不等式mx x x >+-2212的解集为{}20|<<x x ，求m 的值.6. 不等式0422≥++ax ax 对一切x 的值恒成立,求a 的取值范围7. 不等式022<+-a x ax 的解集为φ,求a 的取值范围8. 已知函数)..(22)(2R a ax x x f ∈+-=，当[)+∞-∈,1x 时，a x f ≥)(恒成立，求实数a 取值范围9. 已知a∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，2)∈(3，＋∞)B ．(－∞，1)∈(2，＋∞)C ．(－∞，1)∈(3，＋∞)D ．(1,3)10．已知函数f(x)＝x 2＋ax －1在区间[0,3]上最小值－2，则实数a 的值为_______。
一元二次不等式恒成立问题
教学设计一元二次不等式恒成立问题似曾相识燕归来（认真听讲，做好笔记，就不会似曾相识）无可奈何花落去（大而化之，步步紧逼，就不会无可奈何）大而化之，步步紧逼（化，分解讨论的意思）【师】好，我们今天来继续研究一元二次不等式问题.对于一元二次不等式，通过三四天的学习，想必大家已经非常熟悉了，对于一般的一元二次不等式，大家都能熟练的掌握.那么对于一元二次不等式的综合问题，大家可能还没有头绪，一拿到这种题，都可能头晕脑涨了.这不禁令我想起了古人的一句诗（师板书）：似曾相识燕归来无可奈何花落去【生】（笑，课堂气氛活跃）：老师，写反了！应该是：无可奈何花落去，似曾相识燕归来！【师】（故作严肃）：我为什么写反啊？因为我们学数学需要逆向思维啊！…那么我们大家对于一元二次不等式的综合问题可能就是这个感觉.一接触到题就“似曾相识”，但一下笔就“无可奈何”了.（师在两句诗内相对应的词下加下划线）这就要求我们平时听课的时候要认真听讲，做好笔记，这样一来我们做题的时候就不会似曾相似了，即使我们做不出来，我们也能够翻开笔记找到类似的题.（师在副标题相对应的位置后面加认真听讲等语）.（生思考，拿出笔记本）而即使做到记笔记了，认真听讲了，有些同学做这类综合题的时候也会觉得“无可奈何”，这是什么原因呢？这就要求我们多做多练，练熟了，遇到这类题时就不会是“无可奈何”了，而是“下笔千言”了.（生笑，认真听讲）那么对于这个类题，我们通常采用的是“大而化之，步步紧逼”的方法来解决.大家注意，这个“化”的意思是分解讨论的意思.（师在副标题下加上“大而化之，步步紧逼”8个字）它既然是个大难题，那么我们就把它化为几个容易的步骤，再依次的讨论，这类题就做出来了.好，我们今天就通过一个典型例题来研究不等式的恒成立问题.（师板书）一、典例例：关于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【师】一拿到这类题，同学们可能都傻眼了，题目中好像什么都没给啊，这个题怎么做啊？大家不用怕，看上面（师示意学生看题目下的“大而化之”四个字），既然它是以大题的形式出现了，那么咱们就用做大题的方法去对付它，“大而化之”，咱们一步步的来分解它.那么大家看这个题它是个什么不等式啊？一元二次不等式吗？（师设下陷阱）【生】是！（绝绝大部分学生说是，只有一小部分说不一定，但声音小，底气缺乏）【师】（继续暗示）是吗？你敢肯定么？【生】（绝绝大部分反应过来）不一定！【师】为什么不一定啊？【生】因为)2(-m 的值不定！【师】（即时插入话）对！它的值不定，那么它的值不定我们该怎么做啊？【生】讨论！（因为前几节课都在培育学生具有讨论思想，所以学生能一口答出来）【师】对，它的值不定我们就要讨论它，这是我们学习数学必备的思想，大家一定要具备这个基本素质.下面我们来分类讨论这个不等式的系数()2-m ，看看它的庐山真面目到底是什么.（一）（准备工作）：讨论系数（师边写边说：那么它的二次项系数分几种情况啊？生回答：两种.师问：是什么啊？生回答：等于零或不等于零两种.师板书并言语：那么我们来讨论这两种情况.）︒1当()02=-m 即2=m 时，那么原不等式变成了常数不等式︒2当()02≠-m 时，原不等式是一元二次不等式.【师】（板完后说）那么这是我们每个人脑海中都要具备最基本的东西，一遇到这类题，我们脑海中立马要想到讨论它的二次项系数，这个步你写出来了，高考时两分就拿到手了.（二）（具体步骤）：分类讨论1当02=-m ，即2=m 时，原不等式可化为：04002<-⋅+⋅x x【师】那么这个不等式是不是最终成了04<-，它是不是无论x 取何值时不等式都恒成立成立啊？【生】是！∴ 2=m 时，不等式恒成立【师】那么我们来讨论第二步.2当02≠-m ，即2≠m 时，不等式()()042222<--+-x m x m 是一个一元二次不等式.【师】那么我们说解一元二次不等式分四个步骤.第一步是化为标准形式，也就是二次项系数大于零的形式.那么这个不等式好不好化啊？因为我们不知道()2-m 的正负，这样的话就需要讨论，而讨论起来又很麻烦，那么我们怎么做啊？那么大家回忆一下，学习数学最重要的两个思想是什么啊？【生】分类讨论和数形结合的思想！【师】对！那么这类题我们用数形结合的思想来做是很容易理解的.那么既然是数形结合，我们就先画出()()42222--+-=x m x m y 的图像.然后再在图像上找出0<y 时x 的取值是什么就能够了.那么它的图像有几种情况啊？无非就有两种.()02>-m 或()02<-m .那么我们就先画出()02>-m ，即开口向上时的情况.那么开口向上又分三种情况.那么这个图像又是经过），（40-的这个点的，那么我们先抛开这个条件，来根据与x 轴交点 是两个一个还是没有的情况做出开口向上时函数的图像.如以下图：【师】那么当02>-m 时，图像就是这三种情况.那么大家看，不等式的对应方程()()042222=--+-x m x m 的根的情况对应图像上就分别是两个、一个或无.那么它的判别式依次是：0>∆、0=∆或0<∆.()1 0)2>-m （的图像）（102>-m 0>∆ )2( 02>-m 0=∆ )3( 02=-m 0<∆【师】好，那么我们把0)2(<-m 的情况也画出来，也是三个图像.)2( 0)2(<-m 的图像）（402<-m 0>∆ )5( 02<-m 0=∆ )6( 02<-m 0<∆【师】好，到此为止，体力活已经做完了，该做脑力活了.大家观察一以下图像，再看一下题目，看哪个图像适合题目的条件啊？（念题目：不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围）.（到此，基本上所有的同学已经能顺利的指出第6个图像适合题目的要求，老师再逐个的分析，然后得出结论）（此时有一部分同学瞌睡，老师观察到这个现象后说道：同学们注意了，关键时刻到了.比方说我们看NBA 比赛，火箭队正和湖人队比赛，比赛已经到了第四节了，剩下十几秒的时间了，科比或者姚明再投进去一个球，胜负都出来了，可不要错过精彩啊！生笑，注意力重新集中起来.课堂气氛活跃）【生】第6个图像满足！【师】对！第6个图像满足.那么不等式的对应方程()()042222=--+-x m x m应满足什么条件啊？【生】（能迅速回答出来）02<-m 且0<∆！【师】对！所以立马我们就能得出两个联立的不等式[]⎩⎨⎧<----=∆<-0)4)(24)2(2022m m m （解之得：22<<-m综上所述，当22≤<-m 时，关于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立.（师强调：我们第一步做的等于2的那个值一定不要忘记）【师】好了这道题我们基本上做完了.那么我把原不等式变为()()042222≤--+-x m x m （≤<变为）那么哪一个图像满足条件啊？对应方程()()042222=--+-x m x m 要满足什么条件啊？【生】（基本上所有的同学都能回出来）第5个！对应方程要满足02<-m 且0=∆.【师】对！那么我这样变，变为()()042222>--+-x m x m ，哪一个图像满足条件？对应方程()()042222=--+-x m x m 应满足什么条件啊？ 【生】（争先恐后的回答）第三个！对应方程要满足02=-m 且0<∆【师】那么变为()()042222≥--+-x m x m 呢？ 【生】第2个！对应方程要满足02>-m 且0=∆.【师】非常好！那么大家在学习的时候要学会总结，学会举一反三.今天的课就讲到这里。
一元二次不等式的恒成立的基本类型与解题技巧
ʏ孙新晓一元二次不等式的恒成立及综合应用问题,是高考中比较常见的热点题型之一㊂解决这类问题,可以合理联系一元二次不等式㊁一元二次方程和二次函数这三个 二次 问题,实现三个 二次 问题之间的相互转化㊂下面就一元二次不等式的恒成立问题中最常见的三种基本类型,结合实例加以剖析,意在总结解题技巧与应试策略,探索解题规律与解题方法㊂一㊁一元二次不等式在R 上的恒成立问题涉及一元二次不等式在R 上的恒成立问题,可将一元二次不等式问题转化为相应的二次函数的图像问题,利用不等式与二次函数图像的开口情况,并结合判别式的取值进行转化求解㊂例1 若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对一切x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围是( )㊂A .{a |a ɤ2}B .{a |-2ɤa ɤ2}C .{a |-2<a ɤ2}D .{a |a <-2}分析:在解决一元二次不等式在R 上恒成立时,将一元二次不等式转化为相应的二次函数的图像问题,通过二次函数图像的开口情况与判别式的取值范围进行合理转化,列出不等式来确定参数的取值范围㊂解:当a -2=0,即a =2时,原不等式可化为-4<0,显然对一切x ɪR 恒成立;当a ʂ2时,则a -2<0,Δ=4(a -2)2+16(a -2)<0,整理得a -2<0,a 2<4,解得-2<a <2㊂综上可得,实数a 的取值范围是{a |-2<a ɤ2}㊂应选C㊂ 在解决一元二次不等式在R 上恒成立问题时,往往涉及以下两种情况:一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a ʂ0)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a >0,Δ<0;一元二次不等式a x 2+b x +c <0(a ʂ)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a <0,Δ<0㊂需要特别注意的是,只要二次项系数含参数,必须分类讨论二次项系数是否为零的情况㊂二㊁一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,可转化为二次函数在给定自变量范围上的最值问题来处理㊂在实际解题时,要注意自变量范围对二次函数图像的影响,可结合分类讨论思想㊁数形结合思想进行直观处理,凸显数学的内在联系和知识的综合运用㊂例2 已知函数f (x )=m x 2-m x -1,若对于任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3},f (x )<5-m 恒成立,则实数m 的取值范围是㊂分析:利用所给不等式对应的二次函数,结合二次函数在给定自变量范围上的图像与性质的特征,确定相应参数的取值范围㊂解:要使不等式f (x )<-m +5对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,只需不等式m x -122+34m -6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立㊂解决此题有下面两种方法㊂(函数法)令函数g (x )=m x -122+34m -6,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂当m =0时,显然-6<0恒成立;当m >0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是增函数,所以g (x )m a x =g (3),则g (3)=41 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.7m -6<0,解得m <67,这时0<m <67;当m <0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是减函数,所以g (x )m a x =g (1),则g (1)=m -6<0,解得m <6,这时m <0㊂综上所述,所求实数m 的取值范围是m m <67㊂(分离参数法)若使不等式m (x 2-x +1)-6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,而x 2-x +1=x -122+34>0,则只需满足m <6x 2-x +1,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂因为函数y =6x 2-x +1=6x -122+34在x ɪ{x |1ɤx ɤ3}上的最小值为67,所以只需满足m <67,即所求实数m的取值范围是m m <67㊂解决一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,有两种常见的求解方法:函数法,若f (x )>0在给定自变量范围上恒成立,可利用一元二次函数的图像转化为不等式(组)求范围;分离参数法,即转化为函数值域问题,已知函数f (x )的值域为{y |m ɤy ɤn },则f (x )ȡa 恒成立,可得f (x )m i n ȡa ,即m ȡa ;f (x )ɤa 恒成立,可得f (x )m a x ɤa ,即n ɤa ㊂三㊁一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,可通过变换自变量与参数之间的关系,结合主元的变换,利用函数的图像与性质求解㊂例3 若不等式x 2+p x >4x +p -3,当0ɤp ɤ4时恒成立,则实数x 的取值范围是( )㊂A .{x |-1ɤx ɤ3}B .{x |x ɤ-1}C .{x |x ȡ3}D .{x |x <-1}ɣ{x |x >3}分析:利用参数的取值范围,变换主元,构建相应的不等式,进而转化为一次函数的图像问题求解;也可借助特殊值法来处理,即通过端点的选取,实现巧妙排除,即可得解㊂解:(变换主元法)原不等式变换主元可得(x -1)p +x 2-4x +3>0,当0ɤp ɤ4时恒成立㊂结合一次函数的图像与性质得x 2-4x +3>0,4(x -1)+x 2-4x +3>0,据此整理可得x 2-4x +3>0,x 2-1>0,解得x <1或x >3,x <-1或x >1,则x <-1或x >3㊂应选D ㊂(特殊值法)当x =-1时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p <4,即x =-1不符合条件,排除A ㊁B ㊂当x =3时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p >0,即x =3不符合条件,排除C ㊂应选D㊂解决一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,一定要清楚区分主元与参数㊂一般情况下,知道参数范围的,就选为主元,求参数范围的,就选为参数㊂在实际解题过程中,就是把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,变换主元后得到一次函数或二次函数,进而根据原变量的取值范围求解㊂若不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,则实数k 的取值范围是( )㊂A .0ɤk ɤ1 B .0<k ɤ1C .k <0或k >1D .k ɤ0或k ȡ1提示:由于不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,分以下两种情况讨论:①当k =0时,则8ȡ0,符合题意;②当k ʂ0时,则k >0,Δ=36k 2-4k (k +8)=32k (k -1)ɤ0,解得0<k ɤ1㊂综上所述,0ɤk ɤ1㊂应选A ㊂作者单位:江苏省靖江高级中学(责任编辑 郭正华)51知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一元二次不等式的参数问题(含答案)
一元二次不等式的应用———不等式中的参数问题200000a b a ax bx c x c ==>⎧⎧++>⇔⎨⎨><⎩⎩ 不等式对任意实数恒成立或 200000a b a ax bx c x c ==<⎧⎧++<⇔⎨⎨<<⎩⎩不等式对任意实数恒成立或 1．（1）若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.（2）若不等式13642222<++++x x mmx x 的解集为R ，求实数m 的取值范围.答案：（1）()2,2a ∈- （2） 1<m<32．已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ，①若A B ，求实数a 的取值范围.；②若A B ⊆，求实数a 的取值范围.；③若B A 为仅含有一个元素的集合，求a 的值.① a>2 ② 1≤a ≤2 ③ a ≤1答案：13,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2210{|2},30ax bx c x x cx bx a ++≥-≤≤++<3.若不等式的解集是 求不等式的解集.答案：10a c +=对于含参数的不等式恒成立问题的处理方法：方法1：将不等式化为f(x)>0(<0)的形式，构造函数y=f(x), 求函数的最小值（最大值），再令(fmin(x)> 0(fmax(x)<0)通过解不等式求得。
方法2：分离参数法:分离参数，构造函数y=f(x), 求函数的最小值（最大值），使参数t<fmin(x)(参数t>fmax(x))。
21. 10(0,]2x ax x a ++≥∈5不等式对于一切恒成立，求的最小值。
答案：min 52a =-6．已知函数3()f x x x =+，对任意的m ∈[-2,2]，(2)()0f mx f x -+<恒成立， 则x 的取值范围为＿＿＿＿.223x -<<7．2lg()R,y x bx b b =++若函数的定义域为求实数的取值范围。
一元二次不等式恒成立
一元二次不等式恒成立一元二次不等式是数学中一个重要的概念，它与一元二次方程有很多相似之处，但也有许多不同点。
在求解一元二次不等式时，我们常常需要先确定其解集，即满足不等式的所有可能的实数解，这样可以更好地描述出不等式所代表的区间。
但有时，我们也会遇到一些特殊的情况，即一元二次不等式恒成立。
那么，在本文中，我们将详细讨论什么是“一元二次不等式恒成立”，其表现形式以及应用场景。
一、一元二次不等式恒成立的定义所谓“一元二次不等式恒成立”，是指该不等式对于任何实数值均成立，也就是说，在该不等式中，不存在任何一组实数代入使得不等式不成立。
这时，我们称该不等式为“恒成立的一元二次不等式”。
二、一元二次不等式恒成立的表现形式一元二次不等式恒成立的条件是：当一元二次不等式中的二次项系数a大于0时，该不等式恒成立；当二次项系数a小于0时，该不等式恒不成立。
具体来说，当二次项系数a>0时，该一元二次不等式的重要特征是开口向上，其图像形状类似于一个“U”型，因此，当代入任何实数值时，都会有y>=c的情况，其中“c”为不等式的常数项。
因此，这样的一元二次不等式恒成立。
反之，当二次项系数a<0时，该一元二次不等式的图像形状类似于一个倒置的“U”型，也就是开口向下。
此时，即使我们代入无限接近于正无穷或负无穷的实数值，其结果仍然无法满足不等式。
这时，该不等式恒不成立。
三、一元二次不等式恒成立的应用在实际的数学问题中，一元二次不等式恒成立的应用场景比较千变万化。
下面，我们将列举一些常见的应用场景：1、优化问题：当一元二次不等式恒成立时，我们可以通过求该不等式中的“a”系数来确定解的最值，以便优化算法的效率和准确率。
2、数学模型问题：在一些数学模型问题中，由于需要满足某些物理定律或约束条件，我们需要列出一系列一元二次不等式，以确定解的取值范围。
如果其中任一不等式恒成立，则意味着该模型在所有实数条件下都能够满足预期的物理特性。
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式指的是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。
针对一元二次不等式恒成立的问题，我们可以通过判别式来进行分析。
判别式的计算公式为Δ = b^2 - 4ac，其中Δ表示判别式的值。
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，当判别式Δ大于零时，即Δ > 0，该不等式恒成立；当判别式Δ等于零时，即Δ = 0，该不等式恒不成立；当判别式Δ小于零时，即Δ < 0，该不等式存在实数解，但不恒成立。
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c < 0，同样地，当判别式Δ大于零时，即Δ > 0，该不等式存在实数解，但不恒成立；当判别式Δ等于零时，即Δ = 0，该不等式恒不成立；当判别式Δ小于零时，即Δ < 0，该不等式恒成立。
综上所述，一元二次不等式恒成立的条件是：当不等式为大于号时，判别式Δ小于零；当不等式为小于号时，判别式Δ大于零。
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题是高中数学中的一个重要知识点，它涉及到一元二次不等式的求解和区间的概念。
在解决这类问题时，我们需要灵活运用一元二次不等式的性质和求解方法，并结合区间的特性进行分析。
本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法，帮助读者更深入地理解这一知识点。
1. 一元二次不等式的基本形式在开始讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法之前，我们先来回顾一下一元二次不等式的基本形式。
一元二次不等式通常可以写成以下形式：ax^2 + bx + c > 0其中，a、b、c为实数且a ≠ 0，x为变量。
在求解一元二次不等式时，我们通常需要先将不等式化为标准形式，再根据不等式的性质和判定条件进行求解。
2. 一元二次不等式的解题思路对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，我们首先需要确定该区间，并根据不等式的特性进行分析。
在求解过程中，我们需要考虑以下几点：（1）对一元二次不等式进行因式分解，寻找合适的解题方法；（2）利用一元二次不等式的图象和判定条件，确定不等式在给定区间上的变化趋势；（3）结合区间的特性，分析不等式在给定区间上的取值范围；（4）判断一元二次不等式在给定区间上是否恒成立，给出相应的解法。
3. 求解方法举例接下来，我们通过一个具体的例子来演示一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法。
例题：求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0在区间(1, 3)上是否恒成立。
解：我们对不等式x^2 - 4x + 3 > 0进行因式分解，得到(x - 1)(x - 3) > 0。
我们可以利用一元二次不等式的图象和判定条件来分析不等式在区间(1, 3)上的变化趋势。
当x属于区间(1, 3)时，(x - 1)和(x - 3)的取值分别为正和负，或者为负和正。
高一数学痛点大揭秘专题3 一元二次不等式恒成立问题(解析版)
一元二次函数、方程和不等式 专题3 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考的一个难点问题。
含参一元二次不等式恒成立问题设计二次函数的性质和图象，渗透着换元、划归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力。
【题型导图】类型一 实数集R 上的不等式恒成立问题例1：若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数 x 恒成立，则 k 的取值范围是（ ） A ．3,0B ．(]3,0-C ．(,3]-∞-D ．(0,)+∞【答案】A 【详解】解：由已知可知0k ≠，所以要一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数 x 恒成立，则200k <⎧⎨∆<⎩， 即220342()08k k k <⎧⎪⎨-⋅⋅-<⎪⎩，解得30k -<<， 所以k 的取值范围为3,0，故选：A【变式1】“0a >”是“一元二次不等式20ax bx c ++>恒成立”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】由一元二次不等式20ax bx c ++>恒成立，则0a >且240b ac =-<， 反之，0a >时，如：2320x x ++>不恒成立， 故选B.【变式2】设a 为实数，若关于x 的一元二次不等式20x x a ++>恒成立，则a 的取值范围是_____. 【答案】1(,)4+∞【详解】一元二次不等式20x x a ++>恒成立，∴140a ∆=-<，解得14a >． a ∴的取值范围是1(,)4+∞．故答案为：1(,)4+∞．【变式3】若不等式()270x mx m -++>在实数集R 上恒成立，求m 的取值范围.【答案】(2-+. 【详解】解：一元二次不等式()270x mx m -++>在实数集R 上恒成立，则∆<0，即()24170m m -⨯⨯+<，整理得24280m m --<，解得22m -<+，所以m 的取值范围是(2-+.【痛点直击】一元二次不等式在实数集R 上的恒成立问题，可结合图象，考虑图象的开口方向以及图象与x 轴的交点个数判断即可，可从二次项系数的正负和判别式两个方面来考虑。
一元二次不等式恒成立问题的求解策略
一元二次不等式恒成立问题的求解策略许昌县二高 杨怀民含参数的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单、最常见的恒成立问题，是研究恒成立问题的典型素材，也是近几年高考考查的热点之一.下面结合例子，介绍几种常用的求解策略.1.利用一元二次不等式的判别式求解代数式ax 2＋bx ＋c >0的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0. 例1 已知不等式kx 2＋kx ＋6x 2＋x ＋2>2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围. 解 ∵x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74>0. ∴原不等式等价于kx 2＋kx ＋6>2x 2＋2x ＋4， 即(k －2)x 2＋(k －2)x ＋2>0.当k ＝2时，2>0，结论显然成立；当k ≠2时，k 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，Δ＝(k －2)2－4×2(k －2)<0，解得2<k <10. 综上所述，k 的取值范围是2≤k <10.2.转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解一般地，f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立；f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立.例2 已知不等式sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2>0对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 解 设f (x )＝sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2，则f (x )＝(sin x －a )2＋2－2a .当a <－1时，f (x )在sin x ＝－1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2＋3，a 2＋3>0显然成立∴a <－1. 当－1≤a ≤1时，f (x )在sin x ＝a 时取到最小值，且f (x )min ＝2－2a ，由2－2a >0，解得a <1， ∵－1≤a ≤1，∴－1≤a <1.当a >1时，f (x )在sin x ＝1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2－4a ＋3，由a 2－4a ＋3>0，解得a <1或a >3，∵a >1，∴a >3.综上所述，a 的取值范围为a <1或a >3.3.利用直线型函数图象的保号性求解函数f (x )＝kx ＋b ，x ∈[α，β]的图象是一条线段，此线段恒在x 轴上方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧ f (α)>0，f (β)>0；此线段恒在x 轴下方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (α)<0，f (β)<0；此线段与x 轴有交点的等价条件是f (α)·f (β)≤0.例3 已知当x ∈[0,1]时，不等式2m －1<x (m 2－1)恒成立，试求m 的取值范围.解 设f (x )＝(m 2－1)x ＋(1－2m )，则原不等式恒成立⇔f (x )>0，x ∈[0,1]恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－2m >0，m 2－2m >0⇔m <0. 4.分离参数后，利用基本不等式求解如果直接求参数的范围比较困难，而且参数容易从式子中分离出来，可以考虑分离参数后，再利用等价条件f (x )≥a ⇔a ≤f (x )min 或f (x )≤a ⇔a ≥f (x )max 求解.例4 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围. 解 不等式f (x )>a ⇔x 2＋ax ＋3>a⇔x 2＋3>a (1－x )，x ∈[－1,1].∵－1≤x ≤1，∴0≤1－x ≤2.当x ＝1时，1－x ＝0，x 2＋3>a (1－x )对一切a ∈R 恒成立；当x ≠1时，0<1－x ≤2，则a <x 2＋31－x. ∵x 2＋31－x ＝(1－x )2－2(1－x )＋41－x＝(1－x )＋41－x －2≥2(1－x )·41－x－2＝2. 当且仅当1－x ＝41－x，即x ＝－1时，取到等号. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋31－x min＝2.从而a <2. 综上所述，a 的取值范围为a <2.。
一元二次不等式恒成立问题的解法
一元二次不等式恒成立问题的解法哎呀，这一元二次不等式恒成立问题可真是个让人头疼的家伙！但别怕，我这个小学生今天就来和你好好说道说道。
你想想，一元二次不等式就像是一个调皮的小怪兽，总是变着法儿地给我们出难题。
比如说，它会变成ax² + bx + c > 0 这样的模样，然后问我们啥时候它能一直成立。
我们先来看，如果这个不等式是大于0 恒成立的情况。
这就好比我们要找一个超级强壮的大力士，不管什么时候都能打败对手。
那这个大力士得有什么条件呢？首先，a 得大于0 呀，这就像是大力士要有坚定的决心，要是a 小于0 ，那不就像没了斗志，还怎么赢？然后，判别式b² - 4ac 得小于0 ，这就好像是大力士不能有弱点，一旦有了弱点，就可能被对手抓住打败啦。
再说说小于0 恒成立的情况，这就好像是要找一个永远都输不了的弱小选手，那a 就得小于0 ，判别式b² - 4ac 还是小于0 。
举个例子吧，假如有个不等式x² + 2x + 3 > 0 ，这里a = 1 大于0 ，b = 2 ，c = 3 ，判别式b² - 4ac = 2² - 4×1×3 = 4 - 12 = -8 ，小于0 ，所以这个不等式就恒大于0 。
你说，这一元二次不等式恒成立问题是不是很像一场和小怪兽的战斗？我们得找到它的弱点，才能战胜它！
总之，解决一元二次不等式恒成立问题，关键就是看a 的正负和判别式的大小。
只要我们掌握了这个秘诀，再调皮的小怪兽也难不倒我们！。
教案：一元二次不等式恒成立的问题
一元二次不等式恒成立的问题教学目标1. 会解决一元二次不等式恒成立的问题。
2. 进一步掌握一元二次不等式的解法。
3. 培养学生的分类讨论思想和数形结合思想。
教学重点：加强学生的分类讨论思想意识教学难点：提高学生利用数形结合的方法解决问题的能力教学过程：一、复习1．回顾一元二次不等式的解法，即“三个二次”之间的联系。
2．解一元二次不等式的步骤：一看（看是否标准型，非标准型须转化为标准型），二算（计算判别式及对应方程的解），三写（写出不等式的解集）。
3．解不等式(1)03532-2<-+x x (2)03-2<-+x x二、新授前面我们已经学习了一元二次不等式的解法，那现在看看一元二次不等式的 综合问题。
今天，我们就通过一个典型例题来研究不等式恒成立的问题。
典例：例、 关于的x 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：（一）讨论系数① 当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式变成常数不等式 。
② 当0)2(≠-a 时，原不等式是一元二次不等式。
（二）分类讨论①当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式可化为04<-，∴2=a 时，不等式恒成立。
② 当0)2(≠-a 时，不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 是一个一元二次不等式，此时对应方程04)2(2)2(2=--+-x a x a 应满足⎩⎨⎧<∆<-002a （这一充要条件是通过借助函数4)2(2)2(y 2--+-=x a x a 的图像，在图像上找出x 时0y <取什么值，而得到的。
强调数形结合思想。
）练习：不等式012<--kx kx 的解集为全体实数，求k 的取值范围。
举一反三：（提问，学生思考）1. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≤--+-x a x a 呢？2. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2>--+-x a x a 呢？3. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≥--+-x a x a 呢？ （以上三个问题由学生来完成）三、小结通过典例，得到以下结论：不等式02<++c bx ax 对一切实数恒成立（解集为R ），则系数应满足的条件：⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a （其他三种形式的不等式所得结论由学生自己归纳）。
不等式专题：一元二次不等式恒成立和有解问题-【题型分类归纳】(解析版)
一元二次不等式恒成立和有解问题一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式20ax bx c >＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨>⎩a b c 或0Δ<0>⎧⎨⎩a2、不等式20ax bx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨<⎩a b c 或0Δ<0<⎧⎨⎩a【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若()0>f x 在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式()0>f x 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数()f x 的值域为[,]m n ，则()≥f x a 恒成立⇒min ()≥f x a ，即≥m a ；()≤f x a 恒成立⇒max ()≤f x a ，即≤n a .三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的[,]∈x m n ，()>a f x 恒成立⇒max ()>a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()>a f x 有解⇒min ()>a f x ；若对任意[,]∈x m n ，()>a f x 无解⇒min ()≤a f x .2、对任意的[,]∈x m n ，()<a f x 恒成立⇒min ()<a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()<a f x 有解⇒max ()<a f x ； 若对任意[,]∈x m n ，()<a f x 无解⇒max ()≥a f x .题型一 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题【例1】若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0- D ．()(),20,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】当0=a 时，不等式成立；当0≠a 时，不等式2220--<ax ax 恒成立，等价于()()20,2420,<⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩a a a 20∴-<<a ． 综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．【变式1-1】“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14>m B ．14<m C ．1<mD ．1>m 【答案】A【解析】∵不等式20-+>x x m 在R 上恒成立，∴2(1)40∆--<＝m ，解得14>m ， 又∵14>m ，∴140∆=-<m ，则不等式20-+>x x m 在R 上恒成立， ∴“14>m ”是“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件，故选：A.【变式1-2】已知关于x 的不等式2680-++>kx kx k 对任意∈x R 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．01k ≤≤B ．01k ≤< C ．0k <或1k > D ．0k ≤或1k > 【答案】B【解析】当0=k 时，80>恒成立，符合题意；当0≠k 时，由题意有()()2Δ6480>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩k k k k ，解得01<<k ， 综上，01≤<k .故选：B.【变式1-3】已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（ ）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110ax a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B【变式1-4】关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞ 【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x ≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤； 综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞.故选：B.题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例2】若14x <≤时，不等式()2241x a x a -++≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(,4]-∞.【解析】对于任意的14x <≤，不等式()22241(1)25x a x a x a x x -++≥--⇔-≤-+，即2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--， 因此，对于任意的14x <≤，2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--恒成立， 当14x <≤时，013x <-≤，44(1)(1)411x x x x -+≥-⋅=--， 当且仅当411x x -=-，即3x =时取“=”，即当3x =时，4(1)1x x -+-取得最小值4，则4a ≤， 所以实数a 的取值范围是(,4]-∞.【变式2-1】已知2(2)420+-+-x a x a对[)2,∀∈+∞x 恒成立，则实数a 的取值范围________. 【答案】(],3-∞【解析】因为2(2)420x a x a +-+-对[)2,x ∀∈+∞恒成立，即4222x a x ++-≥+在[)2,x ∀∈+∞时恒成立，令2,4x t t +=≥， 则4222x x ++-+代换为42t t +-，令4()2g t t t=+-， 由对勾函数可知，()g t 在[)4,t ∈+∞上单增，所以min ()(4)3g t g ==， 所以(],3a ∈-∞.故答案为：(],3-∞【变式2-2】已知二次函数222y x ax =++.若15x ≤≤时，不等式3y ax >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】22<a .【解析】不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，当[]1,5x ∈时，可变形为：222x a x x x+<=+，即min 2()a x x <+. 又2222x x x x+≥+= 当且仅当2x x=，即[]21,5x =时，等号成立，min 2()22x x∴+=22a <故实数a 的取值范围是：22a <【变式2-3】若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则a 的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．222-D ．5- 【答案】D【解析】记22()(1)11f x x a x x ax a =+-+=++-，要使不等式()2110x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则：12(1)20a f ⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或2122()1024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩或22(2)50a f a ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩ 解得2a ≥-或42a -<<-或54a -≤≤-，即5a ≥-.故选：D【变式2-4】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ， 解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥，故选：A.题型三 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题【例3】当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求的取值范围．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意不等式210ax x a -+-≤对[]2,3a ∈恒成立，可设2()(1)(1)f a x a x =-+-+，[]2,3a ∈，则()f a 是关于a 的一次函数，要使题意成立只需(2)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即22210320x x x x ⎧--≤⎨--≤⎩，解2210x x --≤，即()()2110x x +-≤得112x -≤≤，解2320x x --≤，即()()3210x x +-≤得213x -≤≤，所以原不等式的解集为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【变式3-1】若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦.故选：C【变式3-2】已知[]1,1∈-a ，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．()()3,,2∞-∞+ B ．()()2,,1∞-∞+ C ．()()3,,1∞-∞+D ．()1,3 【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．∴x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．【变式3-3】已知当11a -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞B ．][(),13,∞∞-⋃+C ．(),1-∞D ．()(),13,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】()24420x a x a +-+->恒成立，即()22440x a x x -+-+>，对任意得[]1,1a ∈-恒成立， 令()()2244f a x a x x =-+-+，[]1,1a ∈-，当2x =时，()0f a =，不符题意，故2x ≠， 当2x >时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递增，则()()2min 12440f a f x x x =-=-++-+>，解得3x >或2x <（舍去），当2x <时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递减，则()()2min 12440f a f x x x ==-+-+>，解得1x <或2x >（舍去），综上所述，实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.故选：D.【变式3-3】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ， 或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x = 综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥.故选：A.题型四 一元二次不等式在实数集上的有解问题【例4】已知不等式20kx x k -+<有解，则实数k 的取值范围为__________. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】当0k =时，0x -<，符合题意当0k >时，令2y kx x k =-+，由不等式20kx x k -+<有解，即2140k ∆=->，得102k <<当0k <时， 2y kx x k =-+开口向下，满足20kx x k -+<有解，符合题意综上，实数k 的取值范围为1,2k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭【变式4-1】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____． 【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下， 所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意； 当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解， 则需满足440∆=->a ，可得1a <，所以01a <<， 综上所述：a 的取值范围是(),1-∞.【变式4-2】x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立，则m 的取值范围是___________.【答案】11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()22111313612f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()min 1112f x =，因为x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立， 所以1112m >， 则m 的取值范围是11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【变式4-3】若关于x 的不等式29(2)04ax a x -++<有解，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】当0a =时，不等式为9204x -+<有解，故0a =，满足题意；当0a >时，若不等式29(2)04ax a x -++<有解， 则满足29(2)404a a ∆=+-⋅>，解得1a <或4a >；当0a <时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式29(2)04ax a x -++<总是有解，所以0a <，综上可得，实数a 的取值范围是(,1)(4,)-∞+∞.题型五 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例5】已知关于x 的不等式2630mx x m -+<在(]02，上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-∞，B ．127⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．()3+∞， D ．127⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【解析】由题意得，2630mx x m -+<，(]02x ∈，，即263xm x <+ ， 故问题转化为263xm x <+在(]02，上有解， 设26()3x g x x =+，则266()33x g x x x x==++，(]02x ∈，， 对于323x x+≥，当且仅当3(0,2]x =时取等号， 则max ()323g x ==3m <，故选：A【变式5-1】已知命题p ：“15∃≤≤x ，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a <B ．4aC ．4a >D ．4a >-【答案】A 【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集 若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题， 需满足25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥． 因此p 命题成立时a 的范围时4a <，故选：A ．【变式5-2】若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，则m 的取值范围为（ ）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．[0,1] D ．(0,1) 【答案】B【解析】令22()(1)f x x m x m =-+-，其对称轴为202m x =≥， 关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解， 当(1,1)x ∈-时，有()(1)f x f <-，(1)0f ∴->，即20m m +>，可得0m >或1m <-．故选：B ．【变式5-3】已知当12x ≤≤时，存在x 使不等式()()14m x m x -++<成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m <<【答案】C【解析】由()()14m x m x -++<可得224m m x x +<-+，由题意可得()22max 4m m x x +<-+，且12x ≤≤，令()24f x x x =-+对称轴为12x =，开口向上，所以()24f x x x =-+在[]1,2上单调递增， 所以2x =时，()()2max 22246f x f ==-+=，所以26m m +<，解得：32m -<<， 所以实数m 的取值范围为{}32m m -<<，故选：C.【变式5-4】关于x 的不等式2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，则a 的取值范围为________．【答案】[]2,6-【解析】2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，()22max 44a a x x ∴-≤-，其中[]1,6x ∈；设()2416y x x x =-≤≤， 则当6x =时，max 362412y =-=， 2412a a ∴-≤，解得：26a -≤≤，a ∴的取值范围为[]2,6-.。
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解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g(x) 2x2 9x, x [2,3],
则问题转化为 m≤g(x)min
Q gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9.
分离参数法
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题．
例2. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f ( x) 2x2 9x m, x [2, 3],
问题等价于f(x)max≤0,
y
Q f ( x) 2( x 9)2 m 81 , x [2, 3],
练习：若关于x的不等式：ax2 2ax+2 0的解集为R,
求实数a的取值范围。
题型一方法小结
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0
b2
4ac
0
（2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立
a 0 b2 4ac 0
练习1：若不等式 x2-2x+m>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习2：若不等式 mx2-2x+1>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习3：若不等式 x2-mx+4>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
（3）二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立 a 0
b2 4ac 0
（4）二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立
a 0 b2 4ac 0
题型二 定义域不为R时
例2. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2, 3]
练习：若不等式 x2+ (a-4)x+4-2a>0 对于
a ∈[-1,1]恒成立,则实数x 的取值范围是_______. x 1或x 3
g(a) x2 (a 4)x 4 2a
(x 2)a x2 4x 4
g(1) 0 g(1) 0
题型二方法小结
(1)与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最 值，也可通过分离参数，再求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地， 知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
(3)对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数 的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二 次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．
则
f (2) ≤ 0
f
(3)
≤
0
y
10 m ≤ 0 9 m ≤ 0
m ≤ 9.
o
. 2
3x
.
（３）数形结合思想
4
8
fmax( x) f (3) m 9 ≤ 0, o
m ≤ 9.
（2）转换求函数的最值
. 2
3x
.
例2. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f (x) 2x2 9x m, x [2,3],
有两相等实根 x1=x2= b 2a
{x|x<x1,或 x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
题型一 定义域为R时
例1：若不等式 x2 2x m 0
对任意实数x恒成立，求m取值范围。
分析：函数f (x) x2 2x m开口向上 f (x) 0恒成立需 0
变式：若对于任意 a [1,1] ，函数 f ( x) x2 ax 2 的值恒小
于 0，则 x 的取值范围是_______1____x____1_________．
g(a)
xa
x2
2
g(1) g(1) 0
此题若把它看成关于x的二次函数,由于a, x都要 变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元, 则给解题带来转机.
求实数m的取值范围。
变式 4.设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围；
规范解答 解 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
m<0， 若 m≠0，则
Δ＝m2＋4m<0 所以－4<m≤0.
⇒－4<m<0.
一元二次不等式应用 恒成立问题
判别式 △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
△>0 y
△=0 y
x1 O x2 x
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
=（-2）2 -4m 0，解得m 1
变式1：若函数 f (x) x2 2x m 的定义域为R， 则m的取值范围是__________。
变式2.若不等式x2 2x m 0的解集为空集,则实数 m的取值范围是 ____ .
变式3若关于x的不等式：x2 mx 1 0的解集为R,