一元二次不等式的恒成立问题
含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a Θ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ； 3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R) 二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题
2含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按X 2项的系数a 的符号分类，即a 0,a 0,a 0;例1解不等式：ax 2系数进行分类讨论。
例2解不等式ax 2 5ax 6a 0 a 0分析因为a 0 , 0, 所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 a(x 2 5x 6)a x 2 x 3 0当a时,解集为 x | x 2或x 3 ; 当a0时，解集为x | 2 x 3变式：解关于 x 的不等式1、(x 2)(ax 2) 0 ；32、ax -(a + 1)x + 1<0(a € R)二、按判别式的符号分类，即0,0, 0；例3解不等式x 2 ax 4 0分析 本题中由于x 2的系数大于0,故只需考虑 与根的情况。
解：T a 2 16当a 4即厶=0时，解集为 xx R 且x —分析：本题二次项系数含有参数,2a 2 4a a 24 0，故只需对二次项解:4aa 2解得方程 ax 2a 2 a 22a4 —,X 2 2a 2 a 42a 0时，不等式为 2x 10时，解集为 x|「— 或 x2aa 2 a 242a2..a 24x2a 2 2a、a 2 4 •••当 a 4,4 即0时，解集为R ；< 23 m 2m 21当m ...3或m 3，即 0时，解集为R变式：解关于x 的不等式：ax 2 x 1三、按方程ax bx c 0的根x 1, x 2的大小来分类，即 x 1 x 2 ,x 1 x 2, x 1 x 2 ；例5解不等式x 2 (a 1)x 1 0 (a 0)a1分析：此不等式可以分解为： x a (x ) 0，故对应的方程必有两解。
本题a只需讨论两根的大小即可。
11 解：原不等式可化为： x a (x ) 0，令a，可得：a 1aa11•••当a 1或0 a 1时，a，故原不等式的解集为x | a xaa1当a 1或a 1时，a -,可得其解集为a当1 a 0或a1时， a 1,解集为a.1x | x a 。
与一元二次不等式有关的恒成立问题
与一元二次不等式有关的恒成立问题在数学的世界里，一元二次不等式就像一位神秘的魔法师，总是藏着一些不为人知的秘密。
说到一元二次不等式，大家可能会皱起眉头，想：这又是个什么鬼？其实它就是形如ax² + bx + c > 0 或者ax² + bx + c < 0 的数学表达式。
别急，让我们慢慢来，数学其实也可以很有趣。
想象一下，你在一个阳光明媚的下午，和朋友们围坐在草地上，大家闲聊着，突然有个朋友问：如果一元二次不等式总是成立，那我们应该怎么处理呢？哎呀，这问题就像一个热锅上的蚂蚁，坐立不安。
咱们得搞清楚，这个不等式到底要怎么解决。
你知道的，数学里有个定理叫“判别式”，就是个小精灵，能告诉我们一元二次方程的根的情况。
当我们算出判别式的时候，它就像一张明信片，告诉我们方程的世界。
若判别式大于零，说明有两个不同的实根，嘿，那就是不等式有可能成立，也有可能不成立，像是在玩俄罗斯方块。
若判别式等于零，那就意味着有一个重复的实根，简直是静止不动的状态，感觉就像是“无根的花”一样，哎，这样的情况很尴尬哦。
若判别式小于零，那恭喜你，这个不等式是恒成立的，简直就像中了彩票，心里美滋滋的。
因为这意味着图像是一个“向上开的抛物线”，永远在 x 轴的上面，根本就碰不到，真是让人忍不住想给它点个赞。
这时候，我们就要看看a 的符号。
如果a 是正数，那这条抛物线就一直在阳光下自由地舞动，真是活泼可爱。
如果 a 是负数，那就意味着它在阴暗的地方蜷缩着，永远与光明无缘，感觉有点悲伤呢。
再说说实际应用，日常生活中其实也可以找到一元二次不等式的影子。
比如说，咱们在购物的时候，常常会遇到折扣。
这时候，假如商品价格的变化可以用一元二次不等式来表示，那我们就能算出最佳购买时机。
想象一下，买一件衣服，原价 200 元，打七折后是 140 元，哎呀，这个折扣真是让人心花怒放，想立马入手。
可若是折扣少于七折，那就要考虑清楚了，是继续等还是立即行动，毕竟，买买买也是门学问呢。
一元二次不等式恒成立问题
则有 在(1，4)上恒成立.
令 ， ，
所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要 即可.故a的取值范围为 .
例3.已知不等式 －2x－m＋1<0.
(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
(1) (x+1)2(x-2)3＜0(2) (x+2)3(x-2)2(x+2)＞0 (3) (x+1)4(x(1) (2) (3)
题型四.解含参数的一元二次不等式（分类讨论）
1.解关于 的不等式
数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学思想方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、明显的综合性、明显的探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类讨论思想，贯穿于整个高中数学的全部内容。应用分类讨论，往往能够使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性能力，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力，这是素质教育的本质所在。
个性化教案
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难点
(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.
(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.
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内容
复习引入：
题型一.解一元二次不等式
(1) (2) (3)
题型二.解高次不等式（方法：穿针引线法）
的图像
Ⅰ. ， Ⅱ. ， Ⅲ. ，
的图像
Ⅳ. ， Ⅴ. ， Ⅵ. ，
一元二次不等式恒成立问题(上课用)
一元二次不等式恒成立问题热点命题——悟通考点1 形如f(x)≥0(x∈R)例1、若关于x 的不等式ax 2＋x －1≤0的解集为R ，则常数a 的取值范围是例2、不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，4]B ．(－∞ ，－2]∪ [5，＋∞)C ．(－∞ ，－1]∪ [4，＋∞)D ．[－2，5]考点2 形如f(x)≥0(x∈[a，b])例3、设对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞0B ．a ＞12C ．a ＞14D ．a ＞0或a ＜－12 [考点3 形如f(x)≥0(参数m ∈[a ，b])例4、已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，求x 的取值范围．考点4 一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题例5、若关于x 的不等式ax 2＋3x ＋c ≥0的解集为[1，2]，则a ＝________，c ＝________．例6、 设a>1，若x>0时，[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0恒成立，则a ＝________．迁移应用——练透1．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．2．函数f (x )＝ln(3x 2＋ax ＋1)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________3．设a 为常数，∀x ∈R ，f (x )＝ax 2＋ax ＋1＞0，则a 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．[0，4)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4)4．已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(0，1)5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－235 6．若关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2，0)C ．(－2，1)D ．(0，1)7． 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为( )A ．0B ．3C ．6D ．98．若不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．9．已知f(x)＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．10设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围.例1 [解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝1＋4a ≤0，解得a ≤－14. 例2 方法一：原不等式可化为x 2－2x －a 2＋3a ＋5≥0，要使不等式对任意实数x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4(－a 2＋3a ＋5)≤0，即a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4，故选A .方法二：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A .例3设f(x)＝x 2＋ax －3a.因为对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）<0，f （1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2－a －3a<0，12＋a －3a<0， 解得a>12，即实数a 的取值范围是a>12，故选B . 例4解：把原不等式化为 (x －2)a ＋x 2－4x ＋4＞0，设 f(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f(a)可看成为关于a 的函数．由f(a)>0对于任意的a ∈ [－1，1]恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0， 解得x<1或x>3， 即x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．例5解析：由题意得方程ax 2＋3x ＋c ＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，由根与系数的关系可得1＋2＝－3a ，1×2＝c a，解得a ＝－1，c ＝－2. 例6解析 设函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝ x 2－ax －1，则这两个函数图像都过定点P(0，－1)，问题可转化为两个函数在区间(0，＋∞)上的符号相同．在函数y 1＝(a －1)x －1中，令y 1＝0，得x ＝1a －1>0， 即函数y 1的图像与x 轴的交点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0， 而函数y 2＝ x 2－ax －1的图像过点M ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0，解得a ＝0或a ＝32.又a>1，所以a ＝32. 迁移应用——练透1[解析] (1)∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，∴Δ＝a 2－4×2a <0，解得0<a <8.2 [解析]依题意，知3x 2＋ax ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝a 2－4×3×1<0，解得－23<a <2 3.3[解析]先分类讨论二次项系数，再由f(x)＞0恒成立，得出相应的判别式应小于0.当a ＝0时，f(x)＝1>0对∀x ∈R 成立；当a ≠0时，要使∀x ∈R ，f (x )＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4. 综上，a 的取值范围是[0，4)，故选B.4[解析] (1)∵f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．又f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，∴f(－2)f(－1)<0，即(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a<－56. 又a ∈Z ，∴a ＝－1，∴不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，解得－1<x <0，故选C.5[解析]由Δ＝a 2＋8>0，知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞，故选A. 6 [解析] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，由关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，得f (1)＜0，即12＋(m －1)＋m 2－2＜0，化简得m 2＋m －2＜0，解得－2＜m ＜1，即实数m 的取值范围是(－2，1).7 [解析] 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22， ∴f (x )<c ，即⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ，解得－a 2－c <x <－a 2＋c ，∴⎩⎨⎧－a 2－c ＝m ，－a 2＋c ＝m ＋6，得2c ＝6，∴c ＝9. 8 [解析] ∵x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1，∴由不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，得|a －2|＜1，解得1＜a ＜3，∴实数a 的取值范围是(1，3)．9解：方法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为直线x ＝a .①当a ∈(－∞ ，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，且f (－1)＝2a ＋3，所以要使f (x )≥a ，x ∈[－1，＋∞)恒成立，只需2a ＋3≥a 即可，故－3≤a ＜－1.②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，所以只需2－a 2≥a 即可，故－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围是[－3，1]．方法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g （－1）≥0，解得－3≤a ≤1.故所求a 的取值范围是[－3，1]．10解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意； 若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0. (2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3].当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.。
不等式恒成立
不等式恒成立
不等式恒成立,就是一边的式子结果,无论里面的变量如何,一定符合要求.
如：绝对值的（X-2）大于等于0 就不管X取何值,永远成立
主要判断定一边一定是某种结果,另一边符合大于或小于的特征对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．
典例分析
例1：对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为．
答案(－2，2)
解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，
只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.
例2：对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值
恒大于零，则x的取值范围是( )
A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3
C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2
答案 B
解析f(x)＞0，∴x2＋(a－4)x＋4－2a＞0，
即(x－2)a＋(x2＋4－4x)＞0，设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)
总结：有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；
(2)若参变量不能分离，可以考虑转换主元，构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解．。
解决一元二次不等式的恒成立问题 高中数学教案
教师姓名韩贺凤单位名称巴州第一中学填写时间2020·8·15学科数学年级/册高一年级教材版本人教A版课题名称必修五第三章第二节3.2 解决一元二次不等式的恒成立问题难点名称根据实物，概括棱柱、棱椎、棱台的结构特征难点分析从知识角度分析为什么难对一元二次不等式恒成立的理解与一元二次不等式的解集二者之间的关联性。
从学生角度分析为什么难1、一元二次不等式的解法在教材中是利用二次函数的图像分析出来的，学生往往只重视结果，而忽视了它的形成过程。
2、一元二次不等式恒成立的理解不能与解法有机结合。
难点教学方法数形结合的思想方法教学环节教学过程导入从教材的一道例题的解法作为本节课的导入复习一元二次不等式的解法，教材例2：求不等式-x2+2x-3>0的解集知识讲解（难点突破）通过由简入难的螺旋思维形成过程，设计三道例题例1：已知关于x的不等式x2-x+a>0的解集是R，求a的取值范围。
分析：不等式的解集是R，意思是x取任何实数，都能使不等式成立，因此，二次函数y=x2-x+a的图像就要保证x为任何实数时，都要使y>0，所以，∆=1-4a<0,从而得到a>¼例2：已知关于x的不等式x2-ax+4≥0的解集是R，求a的取值范围分析：同样不等式的解集为R，意思是x取任何实数不等式都成立，因此，二次函数y=x2-ax+4的图像也就要保证x取任何实数都要使y≥0，所以，∆≤0，即：a2-16≤0,从而得到-4≤a≤4例3：已知关于x的不等式2ax2+ax-83<0对一切实数x都成立，求a的取值范围。
分析：不等式对一切实数x都成立，意思是不等式的解集为R，也就是实数x取任何值，不等式都成立，因此二次函数y=2ax2+ax- （a≠0)的图像就要保证x取任何实数都要使y<0，从而得到-3<a<0我们可以发现,题中并没有告诉a≠0，所以需检验a=0的情况，看是否也能保证题意成立。
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是实数，且a不等于零。
在解一元二次不等式时，我们经常使用判别式和一元二次函数的图像来帮助我们找到解集。
要判断一元二次不等式的解集，我们首先需要找到一元二次不等式的根。
一元二次不等式的根可以通过求解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到。
一元二次方程的解可以使用求根公式：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)来计算。
如果一元二次方程的判别式b^2 -4ac大于零，那么方程就有两个不同的实根。
如果判别式等于零，那么方程有一个实根。
如果判别式小于零，那么方程没有实根。
接下来，我们可以使用一元二次函数的图像来帮助我们找到一元二次不等式的解集。
一元二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向取决于a的正负。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
根据抛物线与x轴的交点的情况，我们可以判断出一元二次不等式的解集。
如果一元二次不等式的a大于零，表示抛物线开口向上。
如果判别式大于零，则抛物线和x轴有两个交点，表示一元二次不等式有两个解。
如果判别式等于零，则抛物线和x轴有一个交点，表示一元二次不等式有一个解。
如果判别式小于零，则抛物线和x轴没有交点，表示一元二次不等式没有解。
如果一元二次不等式的a小于零，表示抛物线开口向下。
如果判别式大于零，则抛物线和x轴没有交点，表示一元二次不等式没有解。
如果判别式等于零，则抛物线和x轴有一个交点，表示一元二次不等式有一个解。
如果判别式小于零，则抛物线和x轴有两个交点，表示一元二次不等式有两个解。
通过以上的分析，我们可以总结出一元二次不等式恒成立的条件。
一元二次不等式恒成立，有以下两个条件：1. a不等于零；2.一元二次不等式对所有实数x都成立。
如果a等于零，那么不等式就变成了一次不等式，而不是二次不等式。
一元二次不等式恒成立问题解题策略
２０２３年９月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀一元二次不等式恒成立问题解题策略◉甘肃省卓尼县柳林中学㊀马永福㊀㊀摘要:利用函数思想解决不等式的取值范围问题是高考的热点．解决一元二次不等式恒成立问题的基础是三个 二次 的相互转化,本文中主要通过数形结合思想,从三个类型入手讲解一元二次不等式恒成立的解题策略,旨在培养学生利用化归㊁数形结合㊁函数和分类讨论思想进行解题的意识．关键词:函数;不等式;恒成立㊀㊀由一元二次方程㊁一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤:(１)化不等式为标准形式a x２＋b x＋c＞０(或a x２＋b x＋c＜０)(a＞０);(２)求方程a x２＋b x＋c＝０(a＞０)的根,并画出对应函数f(x)＝a x２＋b x＋c的图象简图;(３)由图象得出不等式的解集．(如表１)表１Δ＞０Δ＝０Δ＜０方程a x２＋b x＋c＝０(a＞０)的根有两个相异的实数根x１＝－b－b２－４a c２ax２＝－b＋b２－４a c２a有两个相等的实数根x１＝x２＝－b２a没有实数根二次函数y＝a x２＋b x＋c(a＞０)的图象二次函数y＝a x２＋b x＋c(a＞０)的零点有两个零点x１,x２(x１＜x２)有一个零点x＝－b２a无零点a x２＋b x＋c＞０(a＞０)的解集(－ɕ,x１)ɣ(x２,＋ɕ)(－ɕ,－b２a)ɣ(－b２a,＋ɕ)Ra x２＋b x＋c＜０(a＞０)的解集(x１,x２)⌀⌀１类型１:在R上恒成立,求参数取值范围(１)若a x２＋b x＋c＞０(aʂ０)恒成立,需要满足两个条件:①a＞０,②Δ＜０．(２)若a x２＋b x＋c＜０(aʂ０)恒成立,需要满足两个条件:①a＜０,②Δ＜０．例１㊀设a为常数,∀xɪR,a x２＋a x＋１＞０,求a的取值范围．解析:当aʂ０时,根据类型１可知,只需满足a＞０,Δ＝(a)２－４a＜０,即０＜a＜４;当a＝０时,１＞０恒成立．所以a的取值范围是[０,４)．例２若存在实数x,使得x２－４b x＋３b＜０成立,则b的取值范围是㊀㊀㊀㊀．解析:该题型的关键词为 存在实数x ,数形结合,可知函数f(x)＝x２－４b x＋３b在x轴下方有图象,即对应方程x２－４b x＋３b＝０有两个不等实数根,所以解题关键是Δ＝(－４b)２－１２b＞０．故b的取值范围是b b＞３４,或b＜０{}．点评:一元二次不等式a x２＋b x＋c＞０或a x２＋b x＋c＜０对 任意 的x在R上恒成立,结合对应函数图象可知,图象与x轴没有交点,转化为对应方程没有实数根即Δ＜０是解题的桥梁,特别注意开口方向的确定;当条件变为 存在 时,要注意桥梁的转化作用．３５Copyright©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月上半月㊀㊀㊀２类型２:在某区间上恒成立,求参数取值范围(１)若a x ２＋b x ＋c ＞０(a ＞０)在[m ,n ]上恒成立,需要考虑函数图象的对称轴x ＝－b２a的位置:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (m )＞０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (n )＞０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,只需f (－b２a)＞０．(２)若a x ２＋b x ＋c ＜０(a ＞０)在[m ,n ]上恒成立:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (n )＜０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (m )＜０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,需f (m )＜０且f (n )＜０．(３)若a x ２＋b x ＋c ＞０(a ＜０)在[m ,n ]上恒成立:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (n )＞０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (m )＞０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,需f (m )＞０且f (n )＞０．(４)若a x ２＋b x ＋c ＜０(a ＜０)在[m ,n ]上恒成立:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (m )＜０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (n )＜０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,只需f (－b２a)＜０．例３㊀关于x 的函数f (x )＝m x ２－m x －１,对于x ɪ[１,３],f (x )＜－m ＋５恒成立,求m 的取值范围．分析:由题意可知m x ２－m x ＋m －６＜０在x ɪ[１,３]上恒成立．当m ʂ０时,二次函数图象的对称轴为x ＝１２,函数在区间[１,３]上单调,则分类讨论可得m 的取值范围．还要考虑m ＝０的情况．解:根据题意f (x )＜－m ＋５,得m x ２－m x ＋m －６＜０．令g (x )＝m x ２－m x ＋m －６,当m ʂ０时,g (x )的对称轴为x ＝１２,g (x )在[１,３]上单调．①当m ＞０时,g (x )在x ɪ[１,３]上单调递增,若在x ɪ[１,３]上f (x )＜－m ＋５恒成立,则g (x )＜０,即只需g (３)＜０,解得m ＜６７,故０＜m ＜６７．②当m ＜０时,g (x )在x ɪ[１,３]上单调递减,若在x ɪ[１,３]上f (x )＜－m ＋５恒成立,则g (x )＜０,即只需g (１)＜０,解得m ＜６,故m ＜０．③当m ＝０时,－６＜０恒成立．综上,实数m 的取值范围为(－ɕ,６７)．点评:一元二次不等式在某个区间上恒成立问题,首先要将不等式化成g (x )＞０或者g (x )＜０的标准形式,然后结合对应函数图象及对称轴的位置,求得参数的取值范围．例４㊀函数f (x )＝x ２＋m x －１,若对于任意x ɪ[m ,m ＋１]都有f (x )＜０成立,求实数m 的取值范围．分析:本题属于类型２中的第(２)种情况,只需满足f (m )＜０且f (m ＋１)＜０即可,解:根据题意,对于任意x ɪ[m ,m ＋１]都有f (x )＜０成立,则f (m )＜０且f (m ＋１)＜０．即２m ２－１＜０,且２m ２＋３m ＜０．解得－２２＜m ＜０．所以,实数m 的取值范围为(－２２,０)．点评:当二次函数在对应区间上单调,但对称轴位置不好确定时,可将区间两个端点函数值符号的确定作为突破口,进行解答．３类型３:给出参数的范围,求不等式的解集例５㊀对于任意k ɪ[－１,１],关于x 的函数f (x )＝x ２＋(k －４)x ＋４－２k ＞０恒成立,求x 的取值范围．分析:该题型是开口向上的二次函数f (x )＞０恒成立问题,给出参数取值范围,求自变量x 的取值范围,直接求解很麻烦,所以可变换主元进行转化,把k 当作主元,把x 当作参数利用函数的性质求解其范围．解:f (x )＝x ２＋(k －４)x ＋４－２k 换元得g (k )＝(x －２)k ＋x ２－４x ＋４,此时原函数f (x )变成关于k 的一次函数g (k )．一次函数g (k )在其定义域[－１,１]上单调,要使g (k )＞０恒成立,则只需g (１)＞０,g (－１)＞０,{即x ２－５x ＋６＞０,x ２－３x ＋２＞０,{解得x ＞３,或x ＜１．所以x 的取值范围是(－ɕ,１)ɣ(３,＋ɕ)．点评:此类问题的求解有两种方法．(１)直接求解,利用分类讨论思想;(２)应用函数思想,以参数为主元,构造关于参数的函数求解．根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,是解决一元二次不等式恒成立问题的基本思路．解题方法有函数法㊁最值法㊁分离参数法㊁数形结合法等．一元二次不等式恒成立问题的解题过程渗透着换元㊁化归㊁数形结合㊁函数与方程等思想方法,解决问题的过程也是培养学生核心素养的过程．Z４５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一元二次不等式的恒成立的基本类型与解题技巧
ʏ孙新晓一元二次不等式的恒成立及综合应用问题,是高考中比较常见的热点题型之一㊂解决这类问题,可以合理联系一元二次不等式㊁一元二次方程和二次函数这三个 二次 问题,实现三个 二次 问题之间的相互转化㊂下面就一元二次不等式的恒成立问题中最常见的三种基本类型,结合实例加以剖析,意在总结解题技巧与应试策略,探索解题规律与解题方法㊂一㊁一元二次不等式在R 上的恒成立问题涉及一元二次不等式在R 上的恒成立问题,可将一元二次不等式问题转化为相应的二次函数的图像问题,利用不等式与二次函数图像的开口情况,并结合判别式的取值进行转化求解㊂例1 若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对一切x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围是( )㊂A .{a |a ɤ2}B .{a |-2ɤa ɤ2}C .{a |-2<a ɤ2}D .{a |a <-2}分析:在解决一元二次不等式在R 上恒成立时,将一元二次不等式转化为相应的二次函数的图像问题,通过二次函数图像的开口情况与判别式的取值范围进行合理转化,列出不等式来确定参数的取值范围㊂解:当a -2=0,即a =2时,原不等式可化为-4<0,显然对一切x ɪR 恒成立;当a ʂ2时,则a -2<0,Δ=4(a -2)2+16(a -2)<0,整理得a -2<0,a 2<4,解得-2<a <2㊂综上可得,实数a 的取值范围是{a |-2<a ɤ2}㊂应选C㊂ 在解决一元二次不等式在R 上恒成立问题时,往往涉及以下两种情况:一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a ʂ0)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a >0,Δ<0;一元二次不等式a x 2+b x +c <0(a ʂ)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a <0,Δ<0㊂需要特别注意的是,只要二次项系数含参数,必须分类讨论二次项系数是否为零的情况㊂二㊁一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,可转化为二次函数在给定自变量范围上的最值问题来处理㊂在实际解题时,要注意自变量范围对二次函数图像的影响,可结合分类讨论思想㊁数形结合思想进行直观处理,凸显数学的内在联系和知识的综合运用㊂例2 已知函数f (x )=m x 2-m x -1,若对于任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3},f (x )<5-m 恒成立,则实数m 的取值范围是㊂分析:利用所给不等式对应的二次函数,结合二次函数在给定自变量范围上的图像与性质的特征,确定相应参数的取值范围㊂解:要使不等式f (x )<-m +5对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,只需不等式m x -122+34m -6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立㊂解决此题有下面两种方法㊂(函数法)令函数g (x )=m x -122+34m -6,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂当m =0时,显然-6<0恒成立;当m >0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是增函数,所以g (x )m a x =g (3),则g (3)=41 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.7m -6<0,解得m <67,这时0<m <67;当m <0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是减函数,所以g (x )m a x =g (1),则g (1)=m -6<0,解得m <6,这时m <0㊂综上所述,所求实数m 的取值范围是m m <67㊂(分离参数法)若使不等式m (x 2-x +1)-6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,而x 2-x +1=x -122+34>0,则只需满足m <6x 2-x +1,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂因为函数y =6x 2-x +1=6x -122+34在x ɪ{x |1ɤx ɤ3}上的最小值为67,所以只需满足m <67,即所求实数m的取值范围是m m <67㊂解决一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,有两种常见的求解方法:函数法,若f (x )>0在给定自变量范围上恒成立,可利用一元二次函数的图像转化为不等式(组)求范围;分离参数法,即转化为函数值域问题,已知函数f (x )的值域为{y |m ɤy ɤn },则f (x )ȡa 恒成立,可得f (x )m i n ȡa ,即m ȡa ;f (x )ɤa 恒成立,可得f (x )m a x ɤa ,即n ɤa ㊂三㊁一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,可通过变换自变量与参数之间的关系,结合主元的变换,利用函数的图像与性质求解㊂例3 若不等式x 2+p x >4x +p -3,当0ɤp ɤ4时恒成立,则实数x 的取值范围是( )㊂A .{x |-1ɤx ɤ3}B .{x |x ɤ-1}C .{x |x ȡ3}D .{x |x <-1}ɣ{x |x >3}分析:利用参数的取值范围,变换主元,构建相应的不等式,进而转化为一次函数的图像问题求解;也可借助特殊值法来处理,即通过端点的选取,实现巧妙排除,即可得解㊂解:(变换主元法)原不等式变换主元可得(x -1)p +x 2-4x +3>0,当0ɤp ɤ4时恒成立㊂结合一次函数的图像与性质得x 2-4x +3>0,4(x -1)+x 2-4x +3>0,据此整理可得x 2-4x +3>0,x 2-1>0,解得x <1或x >3,x <-1或x >1,则x <-1或x >3㊂应选D ㊂(特殊值法)当x =-1时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p <4,即x =-1不符合条件,排除A ㊁B ㊂当x =3时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p >0,即x =3不符合条件,排除C ㊂应选D㊂解决一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,一定要清楚区分主元与参数㊂一般情况下,知道参数范围的,就选为主元,求参数范围的,就选为参数㊂在实际解题过程中,就是把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,变换主元后得到一次函数或二次函数,进而根据原变量的取值范围求解㊂若不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,则实数k 的取值范围是( )㊂A .0ɤk ɤ1 B .0<k ɤ1C .k <0或k >1D .k ɤ0或k ȡ1提示:由于不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,分以下两种情况讨论:①当k =0时,则8ȡ0,符合题意;②当k ʂ0时,则k >0,Δ=36k 2-4k (k +8)=32k (k -1)ɤ0,解得0<k ɤ1㊂综上所述,0ɤk ɤ1㊂应选A ㊂作者单位:江苏省靖江高级中学(责任编辑 郭正华)51知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题是高中数学中的一个重要知识点，它涉及到一元二次不等式的求解和区间的概念。
在解决这类问题时，我们需要灵活运用一元二次不等式的性质和求解方法，并结合区间的特性进行分析。
本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法，帮助读者更深入地理解这一知识点。
1. 一元二次不等式的基本形式在开始讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法之前，我们先来回顾一下一元二次不等式的基本形式。
一元二次不等式通常可以写成以下形式：ax^2 + bx + c > 0其中，a、b、c为实数且a ≠ 0，x为变量。
在求解一元二次不等式时，我们通常需要先将不等式化为标准形式，再根据不等式的性质和判定条件进行求解。
2. 一元二次不等式的解题思路对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，我们首先需要确定该区间，并根据不等式的特性进行分析。
在求解过程中，我们需要考虑以下几点：（1）对一元二次不等式进行因式分解，寻找合适的解题方法；（2）利用一元二次不等式的图象和判定条件，确定不等式在给定区间上的变化趋势；（3）结合区间的特性，分析不等式在给定区间上的取值范围；（4）判断一元二次不等式在给定区间上是否恒成立，给出相应的解法。
3. 求解方法举例接下来，我们通过一个具体的例子来演示一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法。
例题：求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0在区间(1, 3)上是否恒成立。
解：我们对不等式x^2 - 4x + 3 > 0进行因式分解，得到(x - 1)(x - 3) > 0。
我们可以利用一元二次不等式的图象和判定条件来分析不等式在区间(1, 3)上的变化趋势。
当x属于区间(1, 3)时，(x - 1)和(x - 3)的取值分别为正和负，或者为负和正。
高一数学痛点大揭秘专题3 一元二次不等式恒成立问题(解析版)
一元二次函数、方程和不等式 专题3 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考的一个难点问题。
含参一元二次不等式恒成立问题设计二次函数的性质和图象，渗透着换元、划归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力。
【题型导图】类型一 实数集R 上的不等式恒成立问题例1：若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数 x 恒成立，则 k 的取值范围是（ ） A ．3,0B ．(]3,0-C ．(,3]-∞-D ．(0,)+∞【答案】A 【详解】解：由已知可知0k ≠，所以要一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数 x 恒成立，则200k <⎧⎨∆<⎩， 即220342()08k k k <⎧⎪⎨-⋅⋅-<⎪⎩，解得30k -<<， 所以k 的取值范围为3,0，故选：A【变式1】“0a >”是“一元二次不等式20ax bx c ++>恒成立”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】由一元二次不等式20ax bx c ++>恒成立，则0a >且240b ac =-<， 反之，0a >时，如：2320x x ++>不恒成立， 故选B.【变式2】设a 为实数，若关于x 的一元二次不等式20x x a ++>恒成立，则a 的取值范围是_____. 【答案】1(,)4+∞【详解】一元二次不等式20x x a ++>恒成立，∴140a ∆=-<，解得14a >． a ∴的取值范围是1(,)4+∞．故答案为：1(,)4+∞．【变式3】若不等式()270x mx m -++>在实数集R 上恒成立，求m 的取值范围.【答案】(2-+. 【详解】解：一元二次不等式()270x mx m -++>在实数集R 上恒成立，则∆<0，即()24170m m -⨯⨯+<，整理得24280m m --<，解得22m -<+，所以m 的取值范围是(2-+.【痛点直击】一元二次不等式在实数集R 上的恒成立问题，可结合图象，考虑图象的开口方向以及图象与x 轴的交点个数判断即可，可从二次项系数的正负和判别式两个方面来考虑。
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题个性化教案授课时间：备课时间：年级：课时：课题：学员姓名：授课老师：教学目标教学难点(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.教学 内容复习引入：题型一.解一元二次不等式(1)x 2+7x −30≤0 (2)25x 2+5x +1>0 (3)−x 2+6x −9≥0题型二.解高次不等式（方法：穿针引线法）(1) (x+1)2(x-2)3＜0 (2) (x+2)3(x-2)2(x+2)＞0 (3) (x+1)4(x-1)3(x 2-1)＜0题型三.解分式不等式(方法：等价变换)(1) x−2x 2+6x+9＜0 (2) x+1x 2−9≥0 (3)x 2+9x−22x−5≤0Ⅰ.02>-m ，0>∆ Ⅱ.02>-m ，0=∆ Ⅲ. 02>-m ，0<∆)2( 0)2(<-m 的图像Ⅳ.02<-m ，0>∆ Ⅴ. 02<-m ，0=∆ Ⅵ. 02<-m ，0<∆经观察，只有Ⅵ情况满足题目条件，所以得[]⎩⎨⎧<----=∆<-0)4)(24)2(2022m m m （解之得：22<<-m综上所述，当22≤<-m 时，对于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立.变式题：关于x 的不等式()()042222≤--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.思考题：当m 为何值时，二次函数y=mx²-(1-m)x+m 与x 轴无交点？例2. 设函数22)(2+-=x axx f ，对于满足1<x<4的一切x 值，都有f(x)>0，求实数a 的取值范围. 【解析】法一：当a>0时，aa x a x f 12)1()(2-+-=，由x ∈(1,4)，f(x)>0得⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≤022)1(11a f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<012)1(411a af a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≥02816)4(41a f a所以⎩⎨⎧≥≥01a a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<21141a a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤8341a a ，所以1≥a 或121<<a ，即21>a 。
一元二次不等式恒成立问题的解法
一元二次不等式恒成立问题的解法哎呀，这一元二次不等式恒成立问题可真是个让人头疼的家伙！但别怕，我这个小学生今天就来和你好好说道说道。
你想想，一元二次不等式就像是一个调皮的小怪兽，总是变着法儿地给我们出难题。
比如说，它会变成ax² + bx + c > 0 这样的模样，然后问我们啥时候它能一直成立。
我们先来看，如果这个不等式是大于0 恒成立的情况。
这就好比我们要找一个超级强壮的大力士，不管什么时候都能打败对手。
那这个大力士得有什么条件呢？首先，a 得大于0 呀，这就像是大力士要有坚定的决心，要是a 小于0 ，那不就像没了斗志，还怎么赢？然后，判别式b² - 4ac 得小于0 ，这就好像是大力士不能有弱点，一旦有了弱点，就可能被对手抓住打败啦。
再说说小于0 恒成立的情况，这就好像是要找一个永远都输不了的弱小选手，那a 就得小于0 ，判别式b² - 4ac 还是小于0 。
举个例子吧，假如有个不等式x² + 2x + 3 > 0 ，这里a = 1 大于0 ，b = 2 ，c = 3 ，判别式b² - 4ac = 2² - 4×1×3 = 4 - 12 = -8 ，小于0 ，所以这个不等式就恒大于0 。
你说，这一元二次不等式恒成立问题是不是很像一场和小怪兽的战斗？我们得找到它的弱点，才能战胜它！
总之，解决一元二次不等式恒成立问题，关键就是看a 的正负和判别式的大小。
只要我们掌握了这个秘诀，再调皮的小怪兽也难不倒我们！。
教案：一元二次不等式恒成立的问题
一元二次不等式恒成立的问题教学目标1. 会解决一元二次不等式恒成立的问题。
2. 进一步掌握一元二次不等式的解法。
3. 培养学生的分类讨论思想和数形结合思想。
教学重点：加强学生的分类讨论思想意识教学难点：提高学生利用数形结合的方法解决问题的能力教学过程：一、复习1．回顾一元二次不等式的解法，即“三个二次”之间的联系。
2．解一元二次不等式的步骤：一看（看是否标准型，非标准型须转化为标准型），二算（计算判别式及对应方程的解），三写（写出不等式的解集）。
3．解不等式(1)03532-2<-+x x (2)03-2<-+x x二、新授前面我们已经学习了一元二次不等式的解法，那现在看看一元二次不等式的 综合问题。
今天，我们就通过一个典型例题来研究不等式恒成立的问题。
典例：例、 关于的x 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：（一）讨论系数① 当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式变成常数不等式 。
② 当0)2(≠-a 时，原不等式是一元二次不等式。
（二）分类讨论①当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式可化为04<-，∴2=a 时，不等式恒成立。
② 当0)2(≠-a 时，不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 是一个一元二次不等式，此时对应方程04)2(2)2(2=--+-x a x a 应满足⎩⎨⎧<∆<-002a （这一充要条件是通过借助函数4)2(2)2(y 2--+-=x a x a 的图像，在图像上找出x 时0y <取什么值，而得到的。
强调数形结合思想。
）练习：不等式012<--kx kx 的解集为全体实数，求k 的取值范围。
举一反三：（提问，学生思考）1. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≤--+-x a x a 呢？2. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2>--+-x a x a 呢？3. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≥--+-x a x a 呢？ （以上三个问题由学生来完成）三、小结通过典例，得到以下结论：不等式02<++c bx ax 对一切实数恒成立（解集为R ），则系数应满足的条件：⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a （其他三种形式的不等式所得结论由学生自己归纳）。
不等式专题：一元二次不等式恒成立和有解问题-【题型分类归纳】(解析版)
一元二次不等式恒成立和有解问题一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式20ax bx c >＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨>⎩a b c 或0Δ<0>⎧⎨⎩a2、不等式20ax bx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨<⎩a b c 或0Δ<0<⎧⎨⎩a【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若()0>f x 在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式()0>f x 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数()f x 的值域为[,]m n ，则()≥f x a 恒成立⇒min ()≥f x a ，即≥m a ；()≤f x a 恒成立⇒max ()≤f x a ，即≤n a .三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的[,]∈x m n ，()>a f x 恒成立⇒max ()>a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()>a f x 有解⇒min ()>a f x ；若对任意[,]∈x m n ，()>a f x 无解⇒min ()≤a f x .2、对任意的[,]∈x m n ，()<a f x 恒成立⇒min ()<a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()<a f x 有解⇒max ()<a f x ； 若对任意[,]∈x m n ，()<a f x 无解⇒max ()≥a f x .题型一 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题【例1】若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0- D ．()(),20,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】当0=a 时，不等式成立；当0≠a 时，不等式2220--<ax ax 恒成立，等价于()()20,2420,<⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩a a a 20∴-<<a ． 综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．【变式1-1】“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14>m B ．14<m C ．1<mD ．1>m 【答案】A【解析】∵不等式20-+>x x m 在R 上恒成立，∴2(1)40∆--<＝m ，解得14>m ， 又∵14>m ，∴140∆=-<m ，则不等式20-+>x x m 在R 上恒成立， ∴“14>m ”是“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件，故选：A.【变式1-2】已知关于x 的不等式2680-++>kx kx k 对任意∈x R 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．01k ≤≤B ．01k ≤< C ．0k <或1k > D ．0k ≤或1k > 【答案】B【解析】当0=k 时，80>恒成立，符合题意；当0≠k 时，由题意有()()2Δ6480>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩k k k k ，解得01<<k ， 综上，01≤<k .故选：B.【变式1-3】已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（ ）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110ax a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B【变式1-4】关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞ 【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x ≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤； 综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞.故选：B.题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例2】若14x <≤时，不等式()2241x a x a -++≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(,4]-∞.【解析】对于任意的14x <≤，不等式()22241(1)25x a x a x a x x -++≥--⇔-≤-+，即2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--， 因此，对于任意的14x <≤，2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--恒成立， 当14x <≤时，013x <-≤，44(1)(1)411x x x x -+≥-⋅=--， 当且仅当411x x -=-，即3x =时取“=”，即当3x =时，4(1)1x x -+-取得最小值4，则4a ≤， 所以实数a 的取值范围是(,4]-∞.【变式2-1】已知2(2)420+-+-x a x a对[)2,∀∈+∞x 恒成立，则实数a 的取值范围________. 【答案】(],3-∞【解析】因为2(2)420x a x a +-+-对[)2,x ∀∈+∞恒成立，即4222x a x ++-≥+在[)2,x ∀∈+∞时恒成立，令2,4x t t +=≥， 则4222x x ++-+代换为42t t +-，令4()2g t t t=+-， 由对勾函数可知，()g t 在[)4,t ∈+∞上单增，所以min ()(4)3g t g ==， 所以(],3a ∈-∞.故答案为：(],3-∞【变式2-2】已知二次函数222y x ax =++.若15x ≤≤时，不等式3y ax >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】22<a .【解析】不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，当[]1,5x ∈时，可变形为：222x a x x x+<=+，即min 2()a x x <+. 又2222x x x x+≥+= 当且仅当2x x=，即[]21,5x =时，等号成立，min 2()22x x∴+=22a <故实数a 的取值范围是：22a <【变式2-3】若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则a 的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．222-D ．5- 【答案】D【解析】记22()(1)11f x x a x x ax a =+-+=++-，要使不等式()2110x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则：12(1)20a f ⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或2122()1024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩或22(2)50a f a ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩ 解得2a ≥-或42a -<<-或54a -≤≤-，即5a ≥-.故选：D【变式2-4】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ， 解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥，故选：A.题型三 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题【例3】当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求的取值范围．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意不等式210ax x a -+-≤对[]2,3a ∈恒成立，可设2()(1)(1)f a x a x =-+-+，[]2,3a ∈，则()f a 是关于a 的一次函数，要使题意成立只需(2)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即22210320x x x x ⎧--≤⎨--≤⎩，解2210x x --≤，即()()2110x x +-≤得112x -≤≤，解2320x x --≤，即()()3210x x +-≤得213x -≤≤，所以原不等式的解集为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【变式3-1】若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦.故选：C【变式3-2】已知[]1,1∈-a ，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．()()3,,2∞-∞+ B ．()()2,,1∞-∞+ C ．()()3,,1∞-∞+D ．()1,3 【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．∴x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．【变式3-3】已知当11a -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞B ．][(),13,∞∞-⋃+C ．(),1-∞D ．()(),13,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】()24420x a x a +-+->恒成立，即()22440x a x x -+-+>，对任意得[]1,1a ∈-恒成立， 令()()2244f a x a x x =-+-+，[]1,1a ∈-，当2x =时，()0f a =，不符题意，故2x ≠， 当2x >时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递增，则()()2min 12440f a f x x x =-=-++-+>，解得3x >或2x <（舍去），当2x <时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递减，则()()2min 12440f a f x x x ==-+-+>，解得1x <或2x >（舍去），综上所述，实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.故选：D.【变式3-3】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ， 或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x = 综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥.故选：A.题型四 一元二次不等式在实数集上的有解问题【例4】已知不等式20kx x k -+<有解，则实数k 的取值范围为__________. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】当0k =时，0x -<，符合题意当0k >时，令2y kx x k =-+，由不等式20kx x k -+<有解，即2140k ∆=->，得102k <<当0k <时， 2y kx x k =-+开口向下，满足20kx x k -+<有解，符合题意综上，实数k 的取值范围为1,2k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭【变式4-1】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____． 【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下， 所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意； 当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解， 则需满足440∆=->a ，可得1a <，所以01a <<， 综上所述：a 的取值范围是(),1-∞.【变式4-2】x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立，则m 的取值范围是___________.【答案】11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()22111313612f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()min 1112f x =，因为x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立， 所以1112m >， 则m 的取值范围是11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【变式4-3】若关于x 的不等式29(2)04ax a x -++<有解，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】当0a =时，不等式为9204x -+<有解，故0a =，满足题意；当0a >时，若不等式29(2)04ax a x -++<有解， 则满足29(2)404a a ∆=+-⋅>，解得1a <或4a >；当0a <时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式29(2)04ax a x -++<总是有解，所以0a <，综上可得，实数a 的取值范围是(,1)(4,)-∞+∞.题型五 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例5】已知关于x 的不等式2630mx x m -+<在(]02，上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-∞，B ．127⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．()3+∞， D ．127⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【解析】由题意得，2630mx x m -+<，(]02x ∈，，即263xm x <+ ， 故问题转化为263xm x <+在(]02，上有解， 设26()3x g x x =+，则266()33x g x x x x==++，(]02x ∈，， 对于323x x+≥，当且仅当3(0,2]x =时取等号， 则max ()323g x ==3m <，故选：A【变式5-1】已知命题p ：“15∃≤≤x ，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a <B ．4aC ．4a >D ．4a >-【答案】A 【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集 若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题， 需满足25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥． 因此p 命题成立时a 的范围时4a <，故选：A ．【变式5-2】若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，则m 的取值范围为（ ）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．[0,1] D ．(0,1) 【答案】B【解析】令22()(1)f x x m x m =-+-，其对称轴为202m x =≥， 关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解， 当(1,1)x ∈-时，有()(1)f x f <-，(1)0f ∴->，即20m m +>，可得0m >或1m <-．故选：B ．【变式5-3】已知当12x ≤≤时，存在x 使不等式()()14m x m x -++<成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m <<【答案】C【解析】由()()14m x m x -++<可得224m m x x +<-+，由题意可得()22max 4m m x x +<-+，且12x ≤≤，令()24f x x x =-+对称轴为12x =，开口向上，所以()24f x x x =-+在[]1,2上单调递增， 所以2x =时，()()2max 22246f x f ==-+=，所以26m m +<，解得：32m -<<， 所以实数m 的取值范围为{}32m m -<<，故选：C.【变式5-4】关于x 的不等式2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，则a 的取值范围为________．【答案】[]2,6-【解析】2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，()22max 44a a x x ∴-≤-，其中[]1,6x ∈；设()2416y x x x =-≤≤， 则当6x =时，max 362412y =-=， 2412a a ∴-≤，解得：26a -≤≤，a ∴的取值范围为[]2,6-.。
一元二次不等式恒成立问题(高三一轮)
数形结合转化 为零点分布问 题
或
m0 2 m 4m(m 6) 0
6 综上所述： m , 7
解得m 或m 0
m 0
变式 已知函数f ( x) x 2 mx 1，若对x m, m 1 都有f ( x) 0, 则实数m的取值范围是
x2 x 1 0恒成立
m 6 , x 1,3 恒成立 2 x x 1
6 即m 2 , x 1,3 x x 1 min
令y x2 x 1, x 1,3
1 3 则y ( x ) 2 2 4
x 3时，ymax 7 即m 6 .
例 3 若对于任意 k [1,1] ，函数 f ( x ) x （k 4) x 4 2k 的
2
值恒大于 0，则 x 的取值范围是 ,1 3, ．
解：g(k ) ( x 2)k x2 4 x 4 k 1,1
g(1) 0 则g k 0恒成立 g(1) 0
变换主元
2-x x 2 4 x 4 0 x 2或x 3即x 1或x 3 即 2 x 1或x 2 x 2 x 4 x 4 0
x ,1 3,
变式
1 7 x ,1 3 2
2 m 2 ,0
小结
定义域为R时（结合图像：开口方向， 判别式）
注意：二次项系数为0的情况
一元二次不等式 恒成立问题 参变分离
定义域不为R时
转化为函数求最值 数形结合转化为零点 分布问题
变换主元 已知谁的范围，谁就是主元； 求谁的范围，谁就是参数。
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【课时目标】
（1） 理解恒成立问题与解一元二次不等式的区别； （2） 恒成立问题的常见处理方法（通法通则）。
【探究主题】一元二次不等式的恒成立问题
课前自学学案
问题1、对于任意的R x ∈，不等式012>+-mx x 恒成立，求实数m 的取值范围。
解决问题1：是让我们解不等式求x 的集合吗？
解决问题2：你会解决问题吗？你想到的工具是什么？如何求解？
问题2对于任意的[]2,1∈x ，不等式012>+-mx x 恒成立，求实数m 的取值范围。
两个问题的区别在哪里？如何解决呢？
课堂师生互动学案
【探究难点】数形结合的数与形的结合---如何由图形的变换列式求解。
【探究重点】
探究1：对于任意的[]2,1∈x，不等式0
1
2>
+
x恒成立，求实数m的取值范围。
-mx
两个问题的区别在哪里？如何解决呢？
【变式训练】对于任意的()2,1∈x，不等式0
1
2>
x恒成立，求实数m的取值范
-mx
+
围。
探究2：关于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的
取值范围.
当堂检测【自主学习，自我展示】
1、 对于任意的R x ∈，不等式02
>+-m x x 恒成立，求实数m 的取值范围是____。
2、对于任意的[]1,1-∈x ，不等式0122>+-mx x 恒成立，求实数m 的取值范围。
主题总结
1、 2、
知识拓展 能力训练
1、
已知不等式
)1(122
->-x m x （1） 是否存在m 任意实数x ，使得上述不等式恒成立？若存在，试求出m 的范围；若
不存在，说明理由； （2） 若对任意[]2,2-∈m 恒成立，求x 的范围。
2、是否存在实数p ，使得不等式61
6
922<+-++<
-x x px x 对任意的实数x 恒成立，若存在，求出p 的范围。