高中数学：课时跟踪检测(二) 余弦定理

课时跟踪检测（二） 余弦定理

层级一 学业水平达标

1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°

D ．150°

解析：选B ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，

∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1

2，∴A ＝60°.

2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝13

14

，则最大角的余弦值是( ) A ．－1

5

B ．－1

6

C ．－17

D ．－1

8

解析：选C 由余弦定理，得

c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×13

14＝9，

所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为

cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3

＝－1

7.

3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 2

2ab >0，则△ABC ( )

A ．一定是锐角三角形

B ．一定是直角三角形

C ．一定是钝角三角形

D ．是锐角或直角三角形

解析：选C 由c 2－a 2－b 2

2ab

>0得－cos C >0，

所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．

4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )

A.43 B ．8－4 3 C ．1

D.23

解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝4

3

.

5．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1

D ．不确定

解析：选C 若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2，即a 2>3，∴a >3，故3

6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120° ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. ★答案★：0

7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π

3

，则a ＝________. 解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos

2π3

， ∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0， ∴a ＝1，或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1. ★答案★：1

8．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1

4，则b ＝________.

解析：因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14， 解得b ＝4. ★答案★：4

9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . 解：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，

得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×1

2＝19.

∴b ＝19.

10．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，

a ＝5，c ＝6，sin B ＝3

5

.

(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π

4的值． 解：(1)在△ABC 中，因为a >b ， 故由sin B ＝35，可得cos B ＝4

5

.

由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.

由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝313

13.

所以b 的值为13，sin A 的值为

313

13

. (2)由(1)及a

13，

所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝12

13，

cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－

513

. 故sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫1213－513＝7226

. 层级二 应试能力达标

1．在△ABC 中，有下列关系式：

①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C . 一定成立的有( ) A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：选C 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及 sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos A sin C ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.

2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )

A ．a >b

B ．a

C ．a ＝b

D ．不能确定