第3章 费米能级
掺杂与费米能级的关系
掺杂与费米能级的关系掺杂是指向半导体材料中引入杂质元素或者一些外部因素，比如温度等，以改变其电性质的一种方法。
掺杂可以改变半导体材料的导电性能，而费米能级可以很好地解释此现象。
第一步：理解费米能级费米能级又称费米面，是指一个系统中所有电子能量的平均数，且只有所有具有比费米能级低的能量的电子可以占据费米能级。
费米能级可以用来描述金属、半导体和绝缘体中的电子行为。
在一个理想的半导体材料中，所有价带（valence band）的能量都被占据了，而所有导带（conduction band）的能量都空着。
半导体材料的导电特性就是由能带（band）之间的禁带（band gap）决定的。
在绝缘体中，禁带的能量非常高，电子没有足够的能量从价带向导带跃迁，所以绝缘体不能导电。
在金属中，禁带的能量非常低，电子可以很容易地离开价带进入导带，因此金属能够导电。
第二步：了解掺杂对费米能级的影响当半导体材料被掺杂时，也就是引入少量杂质元素，会导致新的能级被引入，并且这个能级应该比原来的禁带能量还要低。
这就意味着更多的电子能够从价带跃迁到导带，导致半导体材料的导电能力增强。
在n型半导体中，掺杂的杂质元素有多余的电子，这些电子被引入半导体中，会占据新引入的能级。
由于新能级比禁带能量低，这些电子将成为导电的自由电子。
在p型半导体中，掺杂的杂质元素缺少电子。
在这种情况下，半导体中的空穴（holes）跳到杂质元素上，形成留有正电荷的空穴，这些空穴将产生电子空穴对（electron-hole pairs），从而导致半导体材料导电。
第三步：结论通过在半导体材料中的掺杂，可以更改费米能级，进而影响材料的导电能力。
n型和p型半导体是非常重要的器件，例如场效应晶体管，二极管等器件都是由n型和p型半导体组成。
理解费米能级和掺杂的关系是要成为一名合格电子工程师的基本要求。
第3章 费米能级
.
以后就表示从状态(1)跃迁到状态(2)的几率。
上式表示电子从E1态跃迁到E2态的微扰矩阵元，又叫跃迁动量矩阵元。 它是电子的终态(2)波函数的共扼复数ψ 2*与对始态(1)波函数ψ 1进行 H’运算得到结果的标量积。
要计算跃迁几率(即求a2(t))必须知道微扰算符H’的具体形式。如果假定微扰是 简谐函数，则按照费米黄金准则，跃迁几率可以表示为：
.Hale Waihona Puke 半导体异质结激光器中粒子数反转
.
光子与载流子的相互作用
光子与半导体内部载流子相互作用表现为 以下几个物理过程：
.
半导体内量子跃迁的特点
由于半导体能带中电子(空穴)的态密度很高，因此在光子作用下产生的 跃迁不是在分立的、固定的两个能级之间，而是发生在非局部能级的导带与 价带之间。在分析半导体中的跃迁过程时不仅要考虑电子的跃迁几率，还必 须考虑参与跃迁的电子态密度分布，而这又与掺杂浓度和激励水平有关。因 此，半导体中的跃迁过程具有明显不同于双能级系统的特点： (a)半导体能带中电子的态密度很高，用来产生粒子数反转分布的电子数很大， 因而可能具有很高的量子跃迁速率，获得很大的光增益系数。 (b)半导体中同一能带内的载流子相互作用很强。这种互作用过程的碰撞时间比 辐射过程的时间常数要小，所以发生电子跃迁后留下来的空态能够很快被带 内电子所补充，使能带内仍保持激励态的准平衡分布，可以用准费米能级描 述载流子的分布特性。 (c)半导体中被激发的电子态可以通过扩散或传导在晶体中传播，因此有可能用 比较简单的办法(如p—n结注入)使半导体内很快达到并维持其粒子数分布反 转状态，可以实现很高的能量转换效率。这是半导体激光器的突出优点。 (d)半导体中跃迁发生在占据一定能量范围的大量的导带电子和价带空穴之间， 因此辐射谱线较宽，单色性较差。
半导体物理第三章1
第三章 半导体中载流子的统计半导体靠电子和空穴传导电流，为了了解和描述半导体的导电过程，必须首先了解其中电子和空穴按能量分布的基本规律，掌握用统计物理学的方法求解处于热平衡状态的一块半导体中的载流子密度及其随温度变化的规律。
这就是本章要讨论的主要问题。
§3.1 状态密度为了计算半导体中热平衡载流子的密度及其随温度变化的规律，我们需要两方面的知识：第一，载流子的允许量子态按能量如何分布；第二，载流子在这些允许的量子态中如何分布。
一、 热平衡状态下的电子和空穴1、 热平衡状态在一定温度下，如果没有其他外界作用，半导体中能量较低的价带和施主能级上的电子依靠热激发跃迁到能量较高的受主或（和）导带，分别在价带和导带中引入可以导电的空穴和电子。
同时，高能量状态上电子也有一定的几率退回到它原来的低能量状态。
于是，电子和空穴在所有允许量子态间的可逆跃迁达到稳定的动态平衡，使导带和价带分别具有稳定的电子密度和空穴密度，这种状态即是热平衡状态。
处于热平衡状态下的导带电子和价带空穴称为热平衡载流子。
热平衡载流子具有稳定的、与温度相关的密度。
因此，需要解决如何计算确定温度下半导体热平衡载流子密度的问题。
2、 热平衡状态下的载流子密度由于导电电子和空穴分别分布在导带和价带的量子态中，所以电子和空穴的密度必取决于这些状态的密度分布，以及电子和空穴占据这些状态的几率。
如果状态密度是与能量无关的常数N C 和N V ，则电子和空穴的热平衡密度n 0和p 0直接由N C 和N V 分别与相应的几率函数相乘得出；如果状态密度是能量的函数g C (E) 和g V (E)，则载流子密度的计算须采用积分方式，即dE E f E g n CE C )()(0⎰∞=；dE E f E g p VE V )()(0⎰∞-=因此，须了解态密度函数和几率函数的具体函数形式。
二、 态密度的定义及求解思路假定在能带中无限小的能量间隔d E 内有d Z 个量子态，则状态密度g (E )定义为dE dZ E g /)(=也就是说，状态密度g (E )就是在能带中能量E 的附近每单位能量间隔内的量子态数。
半导体物理第三章3
§3.4 一般情况下的载流子统计分布一般情况指同一半导体中同时含有施主和受主杂质的情况。
在这种情况下，电中性条件为-++=+A D p n n p 00(3-80)因为n D +＝N D -n D ，p A －＝N A -p A ，电中性条件可表示成D A A D n N n p N p ++=++00式中，n D 和p A 分别是中性施主和中性受主的浓度，上式即)exp(kTE E N N VF V D --+)exp(211kTE E N AF A -++)exp(211)exp(kT E E N kT E E N N F D DF C C A -++--+= 对确定的半导体，式中的变数仅是E F 及T ，但E F 是T 的隐函数。
因此，若能利用这一关系确定出E F 与T 的函数关系，则对于半导体同时含施主和受主杂质的—般情况下，导带中的电子和价带中的空穴以及杂质能级上电子的统计分布问题就可完全确定。
然而，要想利用上式得到E F 的解析表达式是困难的。
不过，对计算机的使用已十分普及的今天并不是什么大问题。
如果实际应用时式中某些项还可忽略，求解费米能级E F 的问题还能进一步简化。
事实上，前面讨论的本征半导体和含一种杂质的半导体就是它的简化特例。
请同学阅读参考书中对含少量受主杂质的n 型半导体求解费米能级的讨论。
特别注意求解过程中的近似处理方法。
§3.5 简并半导体一、重掺杂半导体的载流子密度1、适用于玻耳兹曼统计的掺杂浓度已知n 型半导体处于施主杂质完全电离的温区时，其费米能级为D C F C N N kTE E ln=- （N A ＝0） ；AD CF C N N N kT E E -=-ln （N A ≠0） 注意此公式成立的先决条件是(E C -E F )>>kT ，因此它只适用于N D 或(N D -N A ) <<N C 的掺杂条件。
不过从这公式可以看到，随着有效杂质浓度的提高，费米能级将逐渐向导带底靠拢，从而使先决条件趋于无效。
费米能级位置
什么是Fermi能级为什么Fermi能级可以处于禁带中间为什么本征半导体的Fermi能级位于禁带中央为什么n型半导体的Fermi能级位于导带底附近Fermi能级随着温度和掺杂浓度的改变而如何变化Fermi能级(E F)是一个非常重要的物理概念，它在半导体电子学中起着极其重要的作用。
(1) Fermi能级的概念:在固体物理学中，Fermi能量(Fermi energy)是表示在无相互作用的Fermi粒子的体系中加入一个粒子所引起的基态能量的最小可能增量；也就是在绝对零度时，处于基态的Fermi粒子体系的化学势，或者是处于基态的单个Fermi粒子所具有的最大能量--------- F ermi粒子所占据的最高能级的能量另一方面，按照Fermi-Dirac统计，在能量为E的单电子量子态上的平均电子数为：式中的T为绝对温度，k为玻尔兹曼常数，圧是该Fermi-Dirac分布函数的一个参量(称为化学势「在绝对零度下，所有能量小于E F的量子态都被电子占据，而所有能量大于E F的量子态都是空着的，则作为化学势的参量E F就是电子所占据的最高量子态的能量，因此这时系统的化学势也就与费米能量一致。
从而，往往就形象地把费米能量和化学势统称之为Fermi能级。
虽然严格说来，费米能级是指无相互作用的Fermi粒子系统在趋于绝对零度时的化学势，但是在半导体物理电子学领域中，费米能级则经常被当做电子或空穴的化学势来使用，所以也就不再区分费米能级和化学势了。
在非绝对零度时，电子可以占据高于E F的若干能级，则这时Fermi 能级将是占据几率等于50%的能级。
处于Fermi能级附近的电子（常称为传导电子）对固体的输运性质起着重要的作用。
（2）Fermi能级的含义：作为Fermi-Dirac分布函数中一个重要参量的Fermi能级EF,具有决定整个系统能量以及载流子分布的重要作用。
①在半导体中，由于Fermi能级（化学势）不是真正的能级，即不一定是允许的单电子能级（即不一定是公有化状态的能量），所以它可以像束缚状态的能级一样，可以处于能带的任何位置，当然也可以处于禁带之中。
[理学]半导体器件物理3章平衡半导体
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第三章：平衡半导体到现在为止，我们已经讨论了一般晶体，确定了单晶晶格中电子的一些特性。
这一章，我们将运用这些概念来研究半导体材料，尤其是用导带和价带中量子态密度以及费米－狄拉克分布函数来确定导带和价带中电子和空穴的浓度。
此外，我们还会利用这些概念给出半导体材料的费米能级。
这一章我们将涉及平衡半导体：所谓平衡半导体或处于热平衡状态的半导体，是指无外界（如电压、电场、磁场或温度梯度等）作用影响的半导体。
在这种情况下，材料的所有特性均与时间无关。
平衡状态是研究半导体物理特性的起点，之后我们才会研究偏离平衡状态时出现的特性，例如给半导体材料施加电压时的情况。
这一章我们将要讨论的内容有：1.确定本征半导体热平衡时的电子和空穴浓度2.确定非本征即掺杂半导体热平衡时的电子和空穴浓度3.研究电子和空穴浓度随能量和温度变化的统计规律4.确定本征半导体费米能级的位置，讨论本征费米能级随掺杂浓度和温度的变化。
3.1本征半导体中的载流子浓度半导体器件的特性很大程度依赖于半导体材料的电导率，通过控制加入到半导体材料中的特定杂质的数量，就可以改变半导体的电学性能。
掺杂原子的类型决定了半导体材料中起作用的载流子是电子还是空穴。
掺杂原子的引入可以改变电子在有效能量状态上的分布，费米能级的位置成了杂质原子类型和浓度的函数。
电流实际上表征了电荷的流动速度。
半导体中的两种载流子电子和空穴均对电流有贡献。
因为半导体中的电流大小取决于导带中的电子数目和价带中的空穴数目，所以半导体中的载流子浓度是一个重要参数。
电子和空穴浓度与状态密度函数及费米－狄拉克分布函数有关。
3.1.1本征半导体平衡时的电子和空穴浓度分布导带中电子（关于能量）的分布为导带中的有效量子态密度与某个量子态被电子占据的概率的乘积。
()()()()3.1c F n E g E f E =其中，()F f E 是费米－狄拉克分布函数，()c g E 导带中有效量子态密度，在整个导带能量范围对上式积分便可得到导带中单位体积的总电子浓度。
第三章费米分布及玻耳兹曼分布
绝对温度T 下的物体内，电子达到热平衡状态时，一个 能量为Ｅ的独立量子态，被一个电子占据的几率f(E）为：
fn E
1
EEF
电子的费米分布函数
1 e k0T
K0为玻尔兹曼常数。 EF为一个类似于积分常数的一个待定常数，称为费米能级。
3.2.1 费米分布函数
它描述了在热平衡状态下，在一个费米粒子系统（如电子系统）中 属于能量E的一个量子态被一个电子占据的概率。
T=0K： 若E<EF，则 f(E)=1； 若E>EF，则 f(E)=0。 T>0K： 若E= EF ， 则f(E) =1/2 ； 若E< EF ， 则f(E) >1/2 ； 若E> EF ， 则f(E) <1/2 ；
费米分布函数与温度的关系
19
3.2.1 费米分布函数
温度升高，能量比EF高的量子态被电子占据的概率上升。 E EF 5kT时, f (E) 0.007 E EF 5kT时, f (E) 0.993
对硅， 导带底共有6个对称状态，m dn 1.08m0; 对锗，s 8，m dn 0.56m0
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.3 状（能）态密度的总结
3.1.3 状（能）态密度的总结
3.2 费米能级和载流子的统计分布
热平衡状态下，电子按能量大小，具有一定的统计分布规律性。 电子是费米子，遵从费米分布。
Ec EF K0T
p0
NV exp
EF EV k0T
可算计出本征载流子浓度为:
n NV
1/2
ex
p－
Eg 2k0T
43
3.3.2 本征载流子浓度 说明：
第3章-半导体中载流子的统计分布
3.1 状态密度
• 1、k空间量子态的分布 • 2、状态密度
1.5 载流子的运动 载流子 参与导电的电子和空穴统称为半导体的载流子。
载流子的产生 本征激发 电子从价带跃迁到导带，形成导带电子和价带空穴 杂质电离 当电子从施主能级跃迁到导带时产生导带电子；
当电子从价带激发到受主能级时产生价带空穴
载流子数目增加
(3-27)
所以，导带底附近的状态密度为:
gC
(E)
dZ dE
4V
2mn 3/ 2
h3
E EC 1/ 2
此式表明，状态密度随电子的能量呈抛物线关系。
对于等能面为椭球面的情况，仍选极值能量为
Ec,E(k)与k的关系：
E(k)
Ec
h2 2
k12
k
2 2
mt
k
2 3
ml
考虑到晶体的对称性，导带底极值附近对应椭球不止
能量为E的空穴状态密度 mp* 空穴的有效质量 EV 价带顶
有效质量
晶体中的电子除了受到外力作用外，还受到晶格原子和 其他电子的作用，为了把这些作用等效为晶体中的电子质 量，所以引入有效质量的概念。（当电子在外力作用下运 动时，它一方面受到外电场力的作用，同时还和半导体内 部原子、电子相互作用着，电子的加速度应该是半导体内 部势场和外电场作用的综合效果。但是要找出内部势场的 具体形式并且求出加速度遇到一定的困难，引进有效质量 后可使问题变得简单，直接把外力和电子的加速度联系起 来，而内部势场的作用则由有效质量加以概括。特别是有 效质量可以直接由试验测定，因而可以很方便地解决电子 的运动规律。）
对于P型半导体，随着受主杂质浓度的增加，费 米能级从禁带中线逐渐移向价带顶附近。
第三章 热平衡时非简并半导体载流子浓度
2mdp h
)
3/ 2
EV E
1/ 2
称mdp为价带空穴的状态密度有效质量
2. 极值点ko≠0
导带底附近：
2 2 2 k k k z k zo h k x k xo y yo E (k ) Ec * * * 2 my mz mx 2
a
x x+L
L=a×N
在 x 和 x+L 处，电子的波函数分别为φ(x) 和 φ(x+L)
φ(x)=φ(x+L)
e ikxu ( x) e ik ( x L )u ( x L) u ( x) u ( x L) e
ikx ikL
e
ik ( x L ) ikNa
e e 1 cos kL 1 kL 2n (n 0,1,2 ) 2n k L 2 4 k 0, , L L
dN=fB(E)gc(E)dE
整个导带的电子数N为：
N e
Ec
Ec
E EF kT
2mdn 3 / 2 1/ 2 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
引入：
E Ec x kT
利用积分公式：
x
0
1/ 2 x
e dx
2
2kTmdn N 2V e 2 h
∴ 电子浓度no：
3/ 2
Ec EF kT
2kTmdn no N / V 2 e 2 h
3/ 2
Ec EF kT
电子占据导带底Ec 的几率
令：
2kTmdn Nc 2 2 h
半导体物理分章答案第三章
（5） （6）
2、n型半导体的载流子浓度
假设只含有一种n型杂质。
在热平衡条件下，半导体是电中性的：
n0 = p0 + nD+
（7）
EC EF
而
n0 N C e k0T
EF EV
p0 N V e k0T
将上两式和（5）式一起代入（7）式中，即
ECEF
EFEV
NCe k0T NVe k0T
•电子占据施主能级ED的几率
•空穴占据受主能级EA的几率
f
D
(E)
1
1
1
ED EF
e k0T
2
（1）
•杂质能级上未电离的载流子浓度
施主能级上的电子浓度：
nD=NDfD(E)
（3）
•电离杂质的浓度
f
A(E)
1
1
1
EF EA
e k0T
2
（2）
受主能级上的空穴浓度：
pA=NAfA(E)
（4）
电离施主的浓度：nD+=ND-nD=ND[1-fD(E)] 电离受主的浓度：pA-=NA-pA=NA[1-fA(E)]
（3） （4）
可以见到：NC T3/2 和 NV T3/2
且，
E CE V
E g
n0p0N CN Ve k0T N CN Vek0T
（5）
§3.3 本征半导体的载流子浓度
Carriers Density of Intrinsic Semiconductors
本征半导体满足：n0=p0=ni 。本征载流子浓度是温 度T的函数。
（2）过渡区 特征：本征激发不能忽略，杂质全电离。 电中性条件为：n0=p0+ND
费米能级与电压的计算
费米能级与电压的计算
1. 能带理论：
能带理论描述了固体中电子能量的分布情况。
根据能带理论，
固体中的电子能量被分为多个能带，其中包括价带和导带。
费米能
级就是在零温下，处于能带填充状态的最高能级。
费米能级的位置
取决于材料的性质，如电子密度和晶格结构等。
2. 费米-狄拉克分布函数：
费米-狄拉克分布函数描述了在热平衡状态下，能级上电子的分
布情况。
根据费米-狄拉克分布函数，电子在能级上的填充情况与温
度有关。
在绝对零度时，费米-狄拉克分布函数可以简化为阶梯函数，即费米函数。
费米函数表示了能级上电子的占据情况，只有能级能
量小于费米能级的电子才能被填充。
当施加电场时，电子将受到电场力的作用而发生移动。
电压可
以通过电场的势能差来描述，即电场力对电子做功的结果。
费米能
级与电压之间的关系可以通过考虑电子在电场中的运动来得到。
具
体计算方法涉及到固体物理学中的输运理论和能带结构，需要考虑
电子的散射、载流子浓度等因素。
综上所述，费米能级与电压的计算涉及到能带理论和费米-狄拉克分布函数。
具体计算方法需要考虑材料的性质和电子在电场中的运动情况。
费米能级问题
费米能级问题我简单说一下我对费米能及的理解：若固体中有N个电子，他们的基态是按泡利原理由低到高填充能量尽可能低的N个量子态。
有两类填充情况：一、电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部是空的，最高的满带称为价带，最低的空带称为导带。
价带最高能级（价带顶）与导带最低能级（导带底）之间的能量范围称为带隙。
这种情况对应绝缘体和半导体。
半导体实际上是带隙宽度小的绝缘体。
二、除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带（常被称为导带）。
这时最高占据能级为费米能级EF，它位于一个或几个能带的能量范围之内。
这就是金属。
说白了，固体内的电子因泡利不相容原理，不能每一个电子都在最低的能级，便一个一个依序往从低能及往高能阶填，直到最后一个填进的那个能级便是所谓的费米能级。
如果你明白了费米能级，就知道它可以是任何数值。
有的文献中，为了讨论方便。
就定义了费米能级为零点（估计你的概念就是从这里得出的）。
不同的费米能级有不同的物理意义。
半导体的费米能级EF总为负值。
最后补充一点，一般我们讨论的都是电子费米子。
至于中子、质子等其他费米子另当别论。
MS里介绍夹价带和态密度时的几句话，希望能解决你的问题。
All energiesare relative tothe Fermi level (or to the top of the valence band in the case of insulators or semiconductors). The labels along the X axis of the band structure graph correspond to the standard definitions of high symmetry points for the given lattice type (Bradley and Cracknell, 1972). TheG point is denoted by a G. 另外一句：The energies of the bands are plottedwith respect tothe Fermi level, which isassigneda value of zero.0K时费米能级应该是0eV吧，这个说法是不正确的，几乎没有物质在0K时费米能级是0eV。
费米能级
一、基本简介
固体物理和半导体物理在这方面的内容没有什么差别。原子核外的电子可以拥 有的能量当然可以高于费米能级，只不过具有这种能量的几率很小而已。这也 正是为什么本征半导体虽然电导很低，但也不是无穷小的原因。
对于p型半导体，因为价带中有较多的自由空穴（多数载流子），则Fermi能级EF在价带顶（EV） 之上、并必将靠近EV；这时，价带中越是靠近EF的的能级，就被空穴占据的几率越大；同时， 掺入受主的杂质浓度越高，Fermi能级就越靠近价带顶。
总之，凡是EF靠近导带底的半导体必将是电子导电为主的n型半导体，凡是EF靠近价带顶的半 导体必将是空穴导电为主的p型半导体。当然，如果EF处于禁带中央，即两种载流子分别占据 导带能级和价带能级的几率相等，则两种载流子的数量也就差不多相等，那么这就必然是本征 半导体，这时的Fermi能级特称为本征Fermi能级（用EFi表示，与禁带中央线Ei一致）。
四、Fermi能级与温度和掺杂的关系
四、Fermi能级与温度和掺杂的关系
④由于Fermi-Dirac分布函数是载流子体系处于热平衡状态下的一种统计分布规律。因此，也 只有在（热）平衡情况下才可采用此分布函数，并且也只有在这时Fermi能级才有意义。实际 上，Fermi能级本来就是热平衡电子系统的一个热力学函数——化学势。由于在热平衡状态下
三、Fermi能级的含义
整个系统具有统一的化学势，因此整个电子系统、即使是复杂的混合体系，在热平衡时也必将F以上的能级基本上是空着的（例如，导带就是如此，其中的自由电子很 少），EF以下的能级基本上是被电子填满了的（例如，价带就填满了价电子，其中的自由空穴 很少）；在EF以上、并越靠近EF（即E-EF越小）的能级，被电子所占据的几率就越大。对于n 型半导体，因为导带中有较多的电子（多数载流子），则Fermi能级EF必将靠近导带底（EC）； 同时，掺入施主杂质的浓度越高，Fermi能级就越靠近导带底。
第三章 催化剂与催化作用_金属氧化物催化剂
4. 金属氧化物硫化物及其催化作用
概述
金属氧化物催化剂组成：常为复合氧化物(Complex oxides)，
即多组分氧化物。 VO5-MoO3，Bi2O3-MoO3，TiO2-V2O5-P2O5，V2O5MoO3-Al2O3，MoO3-Bi2O3-Fe2O3-CoO-K2O-P2O5-SiO2 （即7组分的代号为C14的第三代生产丙烯腈催化剂）。
复合氧化物催化剂的结构
（2）钙钛矿结构 这是一类化合物，其晶格结构类似于矿物CaTiO3，是可用 通式ABO3表示的氧化物。A是一个大的阳离子，B是一个 小的阳离子。在高温下钙钛矿型结构的单位晶胞为正立方 体，A位于晶胞的中心，B位于正立方体顶点。此中A的配 位数为12,B的配位数为6.
结构要求：
复合氧化物催化剂的结构
任何稳定的化合物，必须满足化学价态的平衡。当晶格中
发生高价离子取代低价离子时，就要结合高价离子和因取 代而需要的晶格阳离子空位以满足这种要求。例如Fe3O4的 Fe离子，若按γ-Fe2O3中的电价平衡，晶体中有8/3的Fe3+， 1/3的阳离子空穴。阳离子一般小于阴离子。可以书写成
组分中至少有一种是过渡金属氧化物。组分与组分之间可
能相互作用，作用的情况常因条件而异。复合氧化物系常 是多相共存，如Bi2O3-MoO3，就有α、β和γ相。有活性相 概念。它们的结构十分复杂，有固溶体，有杂多酸，有混 晶等。
概述
金属催化剂作用和功能
有的组分是主催化剂，有的为助催化剂或者载体。主催
金属硫化物催化剂及其催化剂作用
硫化物催化剂的活性相，一般是其氧化物母体先经高温
熔烧，形成所需要的结构后，再在还原气氛下硫化。硫
第3章 费米能级
− ( Ec − EF ) exp kT − ( Ec − EF ) = N c exp kT 2π mn kT n0 = 2 2 h
* 3/ 2
其中N 为导带的有效状态密度（ 其中Nc为导带的有效状态密度（数量级一般在 1019):
受激发射场与激励场具有相同的频率、位 相、偏振及方向，属同一模式，相干光。
受激吸收越迁
电子在能量为hv的光子作用下吸收其能量 电子在能量为hv的光子作用下吸收其能量 并由价带中的E 能级跃迁到导带的E 并由价带中的E1能级跃迁到导带的E2能级， 它是受激发射的逆过程。其越迁速率可写 为：
B12位受激吸收越迁几率系数，具有与B21 位受激吸收越迁几率系数，具有与B 相同的量纲。
约化态密度
约化态密度表示单位能量间隔中， 约化态密度表示单位能量间隔中，两个自旋方向之一的电 子参与光跃迁的密度。满足K选择定则 子参与光跃迁的密度。满足 选择定则
具有约化(折合 态密度的含义，与跃迁速率成正比。Pc 具有约化 折合)态密度的含义，与跃迁速率成正比。 折合 态密度的含义 分别为导带和价带的有效态密度分布函数。 和Pv分别为导带和价带的有效态密度分布函数。基于以上讨 分别为导带和价带的有效态密度分布函数 论，就可以直接写出三种跃迁过程的跃迁速率并确定它们之 间的关系。 间的关系。
应变量子阱激光器
利用量子阱层和垒层晶格常数的差异 在量子阱内部引入应变：
调节波长； 调节波长； 输出光偏振度更高； 输出光偏振度更高； 以较小的电流 获得更大的输出
非平衡状态下半导体中的载流子
半导体偏离热力学平衡状态时，由于载流子寿命比它们的驰豫时间长很多， 半导体偏离热力学平衡状态时，由于载流子寿命比它们的驰豫时间长很多， 即导带电子或价带空穴与晶格发生能量交换的几率比起电子与空穴相互作用 的几率大得多， 的几率大得多，因此可以认为电子与晶格或空穴与晶格相互独立地处于热平 衡状态。这时对电子和空穴可以分别用准费米能级EFc和EFv代替热平衡状态 衡状态。这时对电子和空穴可以分别用准费米能级E 下的单一费米能级E 来描述系统。这时可以认为， 下的单一费米能级Ef来描述系统。这时可以认为，电子和空定在各自的导带 和价带内仍处于平衡状态，尽管电子和空穴总的分布是不平衡的。 和价带内仍处于平衡状态，尽管电子和空穴总的分布是不平衡的。这种情况 下的电子和空穴浓度可以用类似前面的方法来计算。不过费米— 下的电子和空穴浓度可以用类似前面的方法来计算。不过费米—狄拉克函数 要分别用下面的式子： 要分别用下面的式子：
半导体物理 第三章
积分后可得热平衡状态下非 简并半导体的导带电子浓度
30
导带顶能量
n0
/ Ec
Ec
(2m ) 4 h
* 3/ 2 n 3
e
E EF kT 0
( E Ec ) dE
1/ 2
令x ( E Ec ) /(k0T ) ( E Ec )1/ 2 (k0T )1/ 2 x1/ 2 d ( E Ec ) (k0T )dx x' ( Ec' Ec ) /(k0T )
33
p0 4
(2m ) h
* 3/ 2 p 3
e
Ev EF kT 0
Hale Waihona Puke x'0
x1/ 2e x dx
2
(，Ev' )的空穴数 极少，忽略不计
* p 0 3
0
x e dx
Ev EF kT 0
1/ 2 x
p0 2
其中，μ：系统的化学势；
半导体能带内所有量子 态中被电子占据的量子 态数等于电子总数
F： 系统的自由能； N：电子总数，决定费米能级的条件是： f ( Ei ) N
i
上式的意义是：当系统处于热平衡状态，也不对外界作
功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变 化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。
f B ( E ) g c ( E )dE e
E EF kT 0
( E Ec )1/ 2 dE
单位体积中的电子数即电子浓度
(2m ) dN dn 4 V h
半导体物理第三章习题参考答案
NA
解得：
p
NA 2
1
1
4ni2
N
2 A
1
2
1 叶良修，半导体物理学（第二版），上册，129 页。
(1) T 300K 时，硼原子全部电离，此时本征载流子浓度 ni 1.51010cm-3 有：
NA ，
p
NA
1014 cm-3 ， n
ni2 p
2.3106 cm-3 ；
(2) T 400K 时，此时本征载流子浓度23 ni 1.31014 cm-3 NA ，本征激发已不 能忽略，有：
答：当T 300K 时，有：
3
3
NC
2
2 mnkT h2
2
2.509 1019
mn m0
2
cm-3
3
3
NV
2
2
mp h2
kT
2
2.509
1019
mp m0
2
cm-3
ni
NC NV
1
2
exp
Eg 2kT
代入数据得到：
Si GaAs
NC cm-3 2.7581019 4.351017
由波尔兹曼分布近似：
n NA ND nD
n
NC
exp
EC EF kT
以及施主能级上的电子的分布规律：
有：
nD
ND
1 gD
exp
EF ED kT
1
1 gD
exp
EF ED kT
n NA n n ND nD
ND NA n
nD
n
ND nD
1
n
1 gD
exp
第三章半导体 重点知识
价带顶态密度
1 V （ 2m ） gV ( E ) = （ EV E） 2 2 2π
3 * 2 p 3
结论：导带底和价带顶附近， 结论：导带底和价带顶附近，单位能量间隔内的量子 态数目，随载流子的能量增加按抛物线关系增大， 态数目，随载流子的能量增加按抛物线关系增大，即 能量越大，状态密度越大。 能量越大，状态密度越大。
3.2 费米能级和载流子的统计分布
费米分布函数f(E) 费米分布函数f(E) 热平衡状态下，电子按能量大小具有一定的统 计分布规律性 根据量子力学，电子为费米子，服从费米分布
f (E) =
1 1+ e
E EF k 0T
f(E)表示能量为E f(E)表示能量为E的一个量子态被一个电子占据 的概率。E 的概率。EF表示平衡状态的参数称为费米能级
2 2 C * n
得到K的表达式，并求导，得到KdK关于dE的表达式 5. 代入步骤3的结果，得到dZ与dE关系式
* dZ V ( 2mn )3 / 2 6. 根据定义 g ( E ) = = ( E EC )1/ 2 dE 2π 2 3
结论
3.1状态密度 3.1状态密度
3 * 2 n 3
1 V （2m ） 2 （E EC） 导带底态密度 g c ( E ) = 2 2π
1 f (E) = e
EF E k 0T
3.2 费米能级和载流子的统计分布
3。简并半导体和非简并半导体 。
简并半导体：掺杂浓度高，对于 型半导体 其费米能级E 型半导体， 简并半导体：掺杂浓度高，对于n型半导体，其费米能级 F 接近导带或进入导带中； 型半导体， 接近导带或进入导带中；对于 p型半导体，其费米能级 F 型半导体 其费米能级E 接近价带或进入价带中的半导体 非简并半导体：掺杂浓度较低，其费米能级EF在禁带中的 非简并半导体：掺杂浓度较低，其费米能级 半导体 n型半导体 型半导体 非简并 弱简并 简 并
半导体物理学(第7版)第三章知识题和答案解析
第三章习题和答案1. 计算能量在E=E c 到2*n 2C L 2m 100E E π+= 之间单位体积中的量子态数。
解：2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。
322233*28100E 21233*22100E 0021233*231000L 8100)(3222)(22)(1Z VZZ )(Z )(22)(2322C22CL E m h E E E m V dE E E m V dE E g Vd dEE g d E E m V E g cn c C nlm h E C nlm E C nn c n c πππππ=+-=-====-=*++⎰⎰**）（）（单位体积内的量子态数）（)(21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'213''''''2'21'21'21'2222222C a a lt tz y x ac c zla z y t ay x t a x z t y x C C e E E m k V m m m m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k mlk m k k h E k E K IC E G si -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=+++====+++=*****系中的态密度在等能面仍为球形等能面系中在则：令）（关系为）（半导体的、证明：[]3123221232'2123231'2'''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~ltn c nc l t t z m m sm VE E hm E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dkk k g Vk k g d k dE E E =-==∴-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+••==∴•=∇•=+**πππ）方向有四个，锗在（旋转椭球，个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。
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受激发射率
吸收系数a(E21)与 受激发射速. 率rst(E21)只相差一个常数因子
自发发射速率与吸收系数的关系
同样的方法可得到：
结合：
表 导体明激了光a(器E)的，理r论21基(s础p。)。rst(. sp)的相互关系。它构成了半
自大发量发处射 于复 高合 能系状数态的A2电1[子其而量言纲，为它1／们时各间自]独.对立于发 射能量相同但彼此无关的光子，对应光波之间没 有固定的相位关系偏振方向，且传播方向也不相 同。
.
受激光发射跃迁
电子在能量为hv的外界光子作用下由导带 能级E2跃迁到价带能级E1＝E2-hv上，同时 放出能量为hv的光子，这称为受激光发射。 单位体积、单位能量间隔内受激光发射的 跃迁速周期势，P为动量算符，相应 为 展开上式，对一级微扰计算可以忽略非线性项，经整理后可 得：
对于电流密度和电荷密度均为零的自由电磁场，A与ε罗的关系为
对行波场
kap在为x辐方射向场的的分波量矢，，εω0为为电辐场射强场. 度的的角振频幅率。。ax为单位矢量
为了计算电场强度ε0 ，可以把由坡印廷矢量的实部给出的电磁 通量与光子能量hv联系起来。坡印廷矢量为：
获得半导体激光内部参数的途径
通过实验测量得到半导体的吸收谱曲线 a(E) ，用它来换算成自发发射或受激发射 谱。
通过计算导带和价带的态密度分布、量子 跃迁矩阵元和跃迁几率B12或A21，然后代 人方程以确定a(E) ，r21(sp) ，rst(sp)
.
半经典理论求解B12
求 要利解用跃量迁子几率力学B1原2的理严来格处理理论物属质量体子系电，动仍力然学用范经围典。的为电简磁单被起理见论，来主描 述光的特征—半经典理论。这种处理方法所得结果不能解释自发发 射．但可以通过爱因斯坦关系将吸收、自发发射和受激发射之间建立 起联系。
半导体偏离热力学平衡状态时，由于载流子寿命比它们的驰豫时间长很多， 即导带电子或价带空穴与晶格发生能量交换的几率比起电子与空穴相互作用 的几率大得多，因此可以认为电子与晶格或空穴与晶格相互独立地处于热平 衡状态。这时对电子和空穴可以分别用准费米能级EFc和EFv代替热平衡状态 下的单一费米能级Ef来描述系统。这时可以认为，电子和空定在各自的导带 和价带内仍处于平衡状态，尽管电子和空穴总的分布是不平衡的。这种情况 下的电子和空穴浓度可以用类似前面的方法来计算。不过费米—狄拉克函数 要分别用下面的式子：
.
半导体异质结激光器中粒子数反转
.
光子与载流子的相互作用
光子与半导体内部载流子相互作用表现为 以下几个物理过程：
.
半导体内量子跃迁的特点
由于半导体能带中电子(空穴)的态密度很高，因此在光子作用下产生的 跃迁不是在分立的、固定的两个能级之间，而是发生在非局部能级的导带与 价带之间。在分析半导体中的跃迁过程时不仅要考虑电子的跃迁几率，还必 须考虑参与跃迁的电子态密度分布，而这又与掺杂浓度和激励水平有关。因 此，半导体中的跃迁过程具有明显不同于双能级系统的特点： (a)半导体能带中电子的态密度很高，用来产生粒子数反转分布的电子数很大， 因而可能具有很高的量子跃迁速率，获得很大的光增益系数。 (b)半导体中同一能带内的载流子相互作用很强。这种互作用过程的碰撞时间比 辐射过程的时间常数要小，所以发生电子跃迁后留下来的空态能够很快被带 内电子所补充，使能带内仍保持激励态的准平衡分布，可以用准费米能级描 述载流子的分布特性。 (c)半导体中被激发的电子态可以通过扩散或传导在晶体中传播，因此有可能用 比较简单的办法(如p—n结注入)使半导体内很快达到并维持其粒子数分布反 转状态，可以实现很高的能量转换效率。这是半导体激光器的突出优点。 (d)半导体中跃迁发生在占据一定能量范围的大量的导带电子和价带空穴之间， 因此辐射谱线较宽，单色性较差。
.
约化态密度
约化态密度表示单位能量间隔中，两个自旋方向之一的电 子参与光跃迁的密度。满足K选择定则
具有约化(折合)态密度的含义，与跃迁速率成正比。Pc 和Pv分别为导带和价带的有效态密度分布函数。基于以上讨 论，就可以直接写出三种跃迁过程的跃迁速率并确定它们之 间的关系。
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自发光发射跃迁
导带内能量为E2的电子向价带内一个能量为E1＝ (E2-hv)状态之间的跃迁过程。单位体积、单位 能级积成量E2的正间占比隔据，内几也的率自与f发ρc和发re能d射成级速正E率比1，空，着r可21的写(s几为P率：)与[1电—子f在v]之能
以单位体积内，能量E～E+dE之间的光子 数表示：
单位体积、单位能量间隔内的光子态密度， 即光子按能量的分布密度
.
跃迁速率与爱因斯坦关系
受激吸收、受激发射和自发发射过程的跃迁速率以及 联系它们的爱因斯坦关系是各种激光器理论的分析基础。 半导体激光器中影响以上三种越迁速率的因素： ①电子在半导体能带之间的跃迁只能始于电子的占有态而 终止于电子的空态，因此跃迁速率应该正比于与跃迁有关 的初态占据几率和终态被空着的几率。可以认为发生跃迁 的量子系统仍处于热平衡状态，描写电子占据几率的函数 仍可使用导带和价带中各自的准费米能级。 ②迁界跃光几迁场率几作B2率用1，，时自包发发括生发：电射受子跃激态迁吸跃几收迁率跃的A迁几2几1率，率大决B小定1，2半，是导受决体激定受发半到射导外跃体 材料吸收系数和增益的一个基本参量。
(2) r12 net(st)——净受激发射速率，它是受 激发射速率r21(st)与受激吸收速率r12a(st) 之差。
(5) r st(E21) ——称为受激发射率，它乘以 每一个态的光子数之后就是r12 net(st)
受激发射率
.
吸收系数
净受激吸收速率等于：
吸收系数a（E21）等于净吸收速率被光子通量除。 而光子通量等于光子密度分布S（E21）和群速 vg的乘积，而：
.
光子密度与能量分布函数
在讨论跃迁速率与爱因斯坦关系之前弄清楚辐射 场中光子密度随能量的分布对分析辐射场与半导 体中电子的相互作用非常重要。在半导体物理学 中，我们利用电子的状态密度和占据几率来得出 电子密度随能量的分布。类似地，现在要推导的 物理量是单位体积、单位频率间隔内的光子数— —光子密度按能量的分布。需要两个物理量来表 示光子密度分布。一个是由电磁场方程组求解边 界条件得到的光子状态密度；另一个是这些状态 被光子占据的几率，即玻色—爱因斯坦分布律。
净受激发射速率
为了找到自发发射、受激发射和受微吸收 的关系。这里引入净受激发射速率r21net(st) 的概念，它是r21(st)和 r12a(st)之差，即：
利用 S(E21)的表达式和爱因斯坦关系，上式可改写为：
受激发射率
.
几个符号的意义
(1) r21(st) ——在光子作用下电子由导带向 价带跃迁并受激发射相同光子的速率。
.
③由于激励光子总有一定能量范围（频谱具有一定 宽度），则越迁速率应正比于单位体积、单位能 量间隔中的光子密度。
④半导体中的电子跃迁不是发生在孤立的两个能级 之间，因此对于某一特定能量的光子可以使半导 体能带中一定能量范围内的电子跃迁。即使对单 色光，若光子与电子互作用时间越短，则按量子 力学测不准原理，跃迁所涉及的能量范围就越宽。 必需考虑单位能量间隔中参与跃迁的电子态密度。
上节课回顾：
n0
2
2mn*kT
h2
3/ 2
exp
Ec kT
EF
Nc
exp
Ec
kT
EF
其中Nc为导带的有效状态密度（数量级一般在 1019):
Nc
2
2mn*kT
h2
3/2
.
量子尺寸效应
在量子半导体井材料中，原本体材料中准 连续的能带变成了量子化的能级或被子禁 带隔开的一些子能带。另一方面，由于电 子波函数形式的改变，态密度出现不连续 性。
要计算M就必须知道H’，即必须考虑辐射场与一个电子相互作用时体系的哈密顿 量，即系统中的总能量。在电磁场内，必须考虑作用在电子上的非保守力，所以 作用在以速度v运动的电子上的力是洛仑兹力：
这时F与v有关，F不能由标量场的梯度给出。对非保守力系统，用矢量场描述电磁 场最方便。引入电磁场的矢量势A，则这时的哈密顿量可表示为：
一个允许的K值决定了光子的一个能量，一 个动量，即决定了光子的一个状态。所以 要得到光子密度，可以先求k～k+△k之间 的球壳体积内的k态数。每个k在k空间中占 据的体积为(π／L)3。因为m，p，q只取正 整数，所以只需要考虑1／8个球壳即可。 同时考虑到光场有TE模和TM模两个偏振状 态，应乘以因子2。因此单位体积内， k～ k+△k间的光子状态数为：
.
量子阱激光器的优点
发射波长向短波方向可选择范围更宽； 高的温度稳定性； 光谱变窄； 输出光具有偏振特性； 以较小的电流获得更大的输出。
.
应变量子阱激光器
利用量子阱层和垒层晶格常数的差异 在量子阱内部引入应变：
调节波长； 输出光偏振度更高； 以较小的电流
获得更大的输出
.
非平衡状态下半导体中的载流子
.
立方光学谐振腔
光学腔内产生稳定振荡的条件是：光子在腔 内来回一次的光程应等于所传播的平面波 波长的整数倍(驻波边界条件) 。在K空间， 驻波条件对选取K值的限制为
式中，m，n，q为正整数。每一组(m，n， q)值确定一个k值，给出谐振腔内电磁场的 一个振动模式。同时根据电子能量E与k的 关系：
.
.
又，热平衡条件下 Efc=Efv,具有统一的费米 能级：
这就是联系三个跃迁几率系数的爱因斯坦关系：在相同条件下，受激发射和 受激吸收具有相同的几率。即一个光子碰到共振的高能级电子而引起受激发射的可 能性正好相当于它碰到低能级电子而被吸收的可能性。爱因斯坦关系对任何材料系 统都成立。各材料之间的差别包含在必须. 用量子力学计算的跃迁几率之中。