计算机图形学第二讲 光栅图形学

Bresenham算法
Bresenham画线算法
在直线生成的算法中Bresenham算法 是最有效的算法之一。令 k=Δy/Δx， 就0≤k≤1的情况来说明Bresenham算法。 由DDA算法可知：
斜率不在[0,1]的直线的处理
• 若-1<k<0
• 先对(x0,-y0)和(x1,-y1)所确定的
• 直线进行扫描转换，
(x0,y0)
• 每确定一组(x,y)，输出(x,-y)。
(x1,-y1)
(x0,-y0)
(x1,y1)
斜率不在[0,1]的直线的处理
• 若k<-1
• 对(-y0,x0)和(-y1,x1)所确定的
。
数值微分(DDA)法
•基本思想
已知过端点P0 (x0, y0), P1(x1, y1)的直线段L y=kx+b
直线斜率为
k y1 y0 x1 x0
考虑当x从xixi+1时y的变化规律： 设x=xi+1- xi xi+1= xi+ x
数值微分(DDA)法
计算yi+1= kxi+1+b= k (xi+ x) +b
通过两点不能唯一确定a,b,c,
取 a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0， F(x,y)=ax+by+c;
则有
Fx, y 0 Fx, y 0 Fx, y 0
点在直线上面 点在直线上方 点在直线下方
P2 Q
P=(xp,yp) P1
∴欲判断M点是在Q点上方还是在Q点下方，
只需把M代入F(x,y),并检查它的符号。
直线进行扫描转换，
(x0,y0)
每确定一组(x,y)，
输出(y,-x)。
(-y0,x0)
(x1,-y1) (-y1,x1)
(x,-y0)
(x1,y1)
3 Bresenham算法(教材上介绍的)
假定直线段的0≤k≤1 基本原理：
kd k
d kd
k kd
图5-8 改进B的reBsreennhsaemmh算am法算原法理绘制直线的原理
为(x+1,y+1)，同时将d更新为d-1；否则(x,y)更新 为(x+1,y)。 5.当直线没有画完时，重复步骤3和4。否则结束。
改进1：令e=d-0.5
yi1
xi1
yi yi
xi 1
1 (e (e
0) 0)
• e初=-0.5， • 每走一步有e=e+k。 • if (e>0) then e=e-1
(X i+1, kX i+1+b)
栅格交点表示象素点位置
直接计算法
这样一来，只要给定 x的值，根据解析式立即 可以计算出对应的y值，然后输出(x,round(y)).
。
。。
(X i , Yi)
。
(X i , Yi)
(X i+1, kX i+1+b)
这种方法直观，但效率太低，因为每一步需要 一次浮点乘法、一次浮点加法和一次舍入运算。
由于只用d 的符号作判断，为了只包含整数运算, 可以用2d代替d来摆脱小数，提高效率。
中点画线法
void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { int a, b, d1, d2, d, x, y;
a=y0-y1, b=x1-x0, d=2*a+b; d1=2*a, d2=2* (a+b); x=x0, y=y0; drawpixel(x, y, color); while (x<x1) { if (d<0) {x++; y++; d+=d2; } else {x++; d+=d1;} drawpixel (x, y, color); } /* while */ } /* mid PointLine */
部分重要概念
光栅化（扫描转化）
确定最佳逼近图形的像素集合，并用指定属性 写像素的过程称为图形的扫描转化或光栅化。
区域充填
确定二维图形内部区域对应的像素集，并用 指定的属性或图案进行显示的过程。
部分重要概念
裁剪
确定一个图形的哪些部分在窗口内，必须显示；哪 些部分落在窗口之外，不该显示的过程称为裁剪。
• 在介绍三个常用算法前，先介绍一种最容易 想到的算法： 直接计算法！
0 直接计算法
假定直线的起点、终点分别为：（x0,y0), (x1,y1)， 且都为整数。 计算出斜率k=(y1-y0)/(x1-x0) , 在Y轴的截距b=y0-k*x0
y=k*x+b
。
。。
(X i , Yi)
。
(X i , Yi)
• DDA算法就是一个增量算法。
数值微分(DDA)法
void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) int x；
float dx, dy, y, k; dx, = x1-x0, dy=y1-y0; k=dy/dx, y=y0; for (x=x0; xx1, x++) drawpixel (x, int(y+0.5), color);
中点画线法
构造判别式：
d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5)
P2
=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c
Q
当d<0，M在直线(Q点)下 方，取右上方P2；
P=(xp,yp) P1
当d>0，M在直线(Q点)上
方，取右方P1；
当d=0，选P1或P2均可， 约定取P1；
能否采用增量算法呢？
中点画线法
走样和反走样
因像素逼近误差，使图形产生畸变（台阶、锯齿）的现 象称之为走样。用于减少或消除走样的技术称为反走样。
消隐（消除隐藏线和隐藏面）
为了提高图形的真实性，必须把隐藏的部分从图中删 除，习惯上称为消除隐藏线和隐藏面，或简称消隐。
直线段的扫描转换算法
• 直线的扫描转换: 确定最佳逼近于该直线的 一组象素，并且按扫描线顺序，对这些象素 进行写操作。
• 此时再下一个象素的判别式为
d2= F(xp+2, yp+1.5)
=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c
= a(xp +1)+b(yp +0.5)+c +a +b
=d+a+b ；
增量为a＋b
P2
Q
P=(xp,yp) P1
中点画线法
• 画线从(x0, y0)开始，d的初值 d0=F(x0+1, y0+0.5)= a(x0 +1)+b(y0 +0.5)+c = F(x0, y0)+a+0.5b = a+0.5b
• 原理：
P2 Q
P=(xp,yp) P1
2 中点画线法
假定直线斜率0<K<1，且已 确定点亮象素点P（Xp ,Yp ）, 则下一个与直线最接近的像 素只能是P1点或P2点。设M 为中点，Q为交点 现需确定下一个点亮的象素。
中点画线法
– 当M在Q的下方-> P2离直线更近更近->取P2 。 – M在Q的上方-> P1离直线更近更近->取P1 – M与Q重合， P1、P2任取一点。
更新为(x+1,y+1)，同时将e更新为e-2△x；否则 (x,y)更新为(x+1,y)。 5.当直线没有画完时，重复步骤3和4。否则结束。
Bresenham画线算法
BresenhamLine(x0,y0,x1,y1,color) {
int x0,y0,x1,y1,color; int x,y,dx,dy,e; dx = x1-x0; dy = y1-y0; e = -dx; x=x0; y=y0; for( i=0; i<=dx; i++)
yi
1
xi1 xi
yi yi
1
1 (d (d
0.5) 0.5)
误差项d的计算 • d初=0， • 每走一步：d=d+k • 一旦y方向上走了一步，d=d-1
算法步骤：
1.输入直线的两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。 2.计算初始值△x、△y、d=0、x=x0、y=y0。 3.绘制点(x,y)。 4.d更新为d+k，判断d的值。若d>0.5，则(x,y)更新
• 设起点和终点分别为(x0,y0)和(x1,y1)
• 若k>1
• 则(y0,x0)和(y1,x1)所确定的
(x1,y1)
直线斜率k€ [0,1]， (y1,x1)
适用于前面讨论的情形。
• 对(y0,x0)和(y1,x1)所确定的 (y0,x0) 直线进行扫描转换，
(x0,y0)
每确定一组(x,y)，输出(y,x)。
y=y+k;
数值微分(DDA)法
• 例：画直线段P0(0,0)--P1(5,2) k=0.4
x y int(y+0.5)
00
0
Line: P0(0, 0)-- P1(5, 2)
1 0.4 0
3
2 0.8 1
2
3 1.2 1
4 1.6
2
1
5 2.0
2
0 12 3 4 5
数值微分(DDA)法
• 缺点： 在此算法中，y、k必须是float，且每一 步都必须对y进行舍入取整，不利于硬件实现。