2020年中考复习专题2相似三角形存在性问题

中考压轴题相似三角形存在性问题2

中考压轴题相似三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写动点形成的全等、相似三角形存在性问题模拟题．在中考压轴题中，线面动形成的全等、相似三角形存在性问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．已知，如图①，在▱ABCD 中，AB=3cm ，BC=5cm ，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM ，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速移动，速度为1cm/s ，当△PNM 停止平移时，点Q 也停止移动，如图②，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4），连接PQ ，MQ ，MC ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥MN ？（2）设△QMC 的面积为y （cm2），求y 与x 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △QMC ：S 四边形ABQP=1：4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）920=t ；（2）236105y t t =-+（0＜t ＜4）；（3）t=2；（4）23=t ．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出AC ，根据PQ ∥AB ，得出CB CQ CA CP =，544t t =-，求解即可；（2）过点P 作PD ⊥BC 于D ，根据△CPD ∽△CBA ，得出453t PD -=，求出PD=1235t -，再根据S △QMC=S △QPC ，得出y=S △QMC=12QC•PD ，再代入计算即可；（3）根据S △QMC ：S 四边形ABQP=1：4，得出S △QPC ：S △ABC=1：5，代入得出（236105t t -+）：6=1：5，再计算即可；（4）根据PQ ⊥MQ 得出△PDQ ∽△MQP ，得出2PQ =MP•DQ ，根据勾股定理得出22PD DQ +=MP•DQ ，再分别代入得出59165)5916()5312(22t t t -⨯=-+-，求出t 即可．（4）若PQ ⊥MQ ，则∠PQM=∠PDQ ，∵∠MPQ=∠PQD ，∴△PDQ ∽△MQP ，∴DQ PQ PQ PM =，∴2PQ =MP•DQ ，∴22PD DQ +=MP•DQ ，∵CD=1645t -，∴DQ=CD ﹣CQ=1645t t --=1695t -，∴59165)5916()5312(22t t t -⨯=-+-，∴整理得0322=-t t ，解得10t =（舍去），232t =，∴23=t 时，PQ ⊥MQ ．考点：相似形综合题；动点型；存在型；综合题；压轴题．原创模拟预测题2．如图1，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，且CD ＞DA ，DA=2，点P ，Q 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿射线DC 、射线DA 运动，过点Q 作AC 的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中087x<≤，87x m<≤时，函数的解析式不同）．（1）填空：n的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【答案】（1）3249；（2）228(0)7256328(4)412545457xx x xxS<≤-+⎧⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪⎩．【解析】试题分析：（1）当x=78时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，然后根据PQ=78，QR=PQ，求出n的值是多少即可．（2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：①当87x<≤时，求出S关于x的函数关系式，判断出当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，据此求出m=4；②当847x<≤时，S关于x的函数关系式即可．试题解析：（1）如图1，当x=78时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，∵PQ=78，QR=PQ，∴QR=78，∴n=S=21(287)⨯=3249；综上，可得：228 (0)7256328(4)412545457xx x xxS<≤-+⎧⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪⎩．考点：动点问题的函数图象；动点型；分类讨论；分段函数；综合题；压轴题．原创模拟预测题3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx=++x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D 的坐标；（2）如图1，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B 匀速运动，到达点B 时停止运动．以AP 为边作等边△APQ （点Q 在x 轴上方），设点P 在运动过程中，△APQ 与四边形AOCD 重叠部分的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC ，在第二象限内存在点M ，使得以M 、O 、A 为顶点的三角形与△AOC 相似．请直接写出所有符合条件的点M 坐标．【答案】（1）2323333y x x =--+ D （﹣2，3）；（2）223 (02)3 3 (23)3113 3 (34)2t t t t t ≤≤-<≤⎪+<≤⎪⎩；（3）M （﹣3，3或（﹣3，33或（94-，33）或（34-，33）．【解析】试题分析：（1）把A 、B 的坐标代入即可求得函数解析式即可，由点D 与C 对称求得点D 坐标即可；（2）由特殊角的三角函数值得出∠DAP=60°，则点Q 一直在直线AD 上运动，分别探讨当点P 在线段AO 上；点Q 在AD 的延长线上，点P 在线段OB 上以及点Q 在AD 的延长线上，点P 在线段OB 上时的重叠面积，利用三角形的面积计算公式求得答案即可；（3）由于3OA=3，OA ⊥OC ，则△OAC 是含30°的直角三角形，分两种情况探讨：当△AMO 以∠AMO 为直角的直角三角形时；当△AMO 以∠OAM 为直角的直角三角形时；得出答案即可．试题解析：（1）∵抛物线23y ax bx =++经过A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴933030a b a b ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，解得：33233a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为2323333y x x =--+则D 点坐标为（﹣2，3）；②当2＜t≤3时，如图：此时点Q 在AD 的延长线上，点P 在OA 上，设QP 与DC 交于点H ，∵DC ∥AP ，∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，∴△QDH 是等边三角形，∴S=S △QAP ﹣S △QDH ，∵QA=t ，∴S △QAP=234t ，∵QD=t ﹣2，∴S △QDH=232)4t -，∴S=2233(2)44t --33t③当3＜t≤4时，如图：此时点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上，设QP与DC交于点E，与OC交于点F，过点Q作AP的垂涎，垂足为G，∵OP=t﹣3，∠FPO=60°，∴OF=OP•tan60°=3（t﹣3），∴S△FOP=132⨯t﹣3）（t﹣3）=23(3)t-，∵S=S△QAP﹣S△QDE﹣S△FOP，S△QAP﹣S△QDE=33t-．∴2333(3)2t t---=23114332t t-+-．综上所述，S与t之间的函数关系式为S=223(02)3 3 (23)31143 3 (34)2t tt tt t t⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎨⎪-+-<≤⎪⎩；（3）∵OC=3，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形．①当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；如图：过点M2作AO的垂线，垂足为N，∵∠M2AO=30°，AO=3，∴M2O=32，又∵∠OM2N=M2AO=30°，∴ON=12OM2=34，M2N=3ON=33，∴M2的坐标为（34-，33），同理可得M1的坐标为（94-，33）；②当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；如图：∵以M、O、A为顶点的三角形与△OAC相似，∴OAAM3AMOA3OA=3，∴3或AM=33AM⊥OA，且点M在第二象限，∴点M的坐标为（﹣33）或（﹣3，33．综上所述，符合条件的点M的所有可能的坐标为（﹣3，3），（﹣3，33，（94-，33），（34-，33）．考点：二次函数综合题；相似三角形综合题；分段函数；分类讨论；动点型；相似三角形的判定；综合题；压轴题．。

相似三角形存在性问题

相似三角形1、如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过A (3，0)、B (4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；(3) 如图②，若点N 在抛物线上，且∠NBO ＝∠AB O ，则在(2)的条件下，求出所有满足△B2．已知：如图，抛物线的顶点为点D ，与y 轴相交于点A ，直线y ＝ax ＋3与y 轴也交于点A ，矩形ABCO 的顶点B 在此抛物线上，矩形面积为12．（1）求该抛物线的对称轴；（3）若线段DO 与AB 交于点E ，以点 D 、A 、E 为顶点的三角形是否有可能与以点D 、O 、A 为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D 坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．3、如图，直线AB 交x 轴于点B （4，0），交y 轴于点A （0，4），直线DM ⊥x 轴正半轴于点M ，交线段AB 于点C ，DM=6，连接DA ，∠DAC=90°．（1）直接写出直线AB 的解析式；（2）求点D 的坐标；（3）若点P 是线段MB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点F ，交过O 、D 、B 三点的抛物线于点E ，连接CE ．是否存在点P ，使△BPF 与△FCE 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形 A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为点C ，试在x 轴上找点D ，使得以点 B ′、C 、D 为顶点的三角形与ABC △相似．1、解：(1) ∵ 抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，0)、B (4，4)．∴⎨⎧9a ＋3b ＝016a ＋4b ＝4，解得：⎨⎧a ＝1b ＝－3．∴ 抛物线的解析式是y ＝x 2－3x ．(2) 设直线OB 的解析式为y ＝k 1x ，由点B (4，4)，得：4＝4k 1，解得k 1＝1．∴ 直线OB 的解析式为y ＝x ．∴ 直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m ．∵ 点D 在抛物线y ＝x 2－3x 上．∴ 可设D (x ，x 2－3x )．又点D 在直线y ＝x －m 上，∴ x 2－3x ＝x －m ，即x 2－4x ＋m ＝0．∵ 抛物线与直线只有一个公共点，∴ △＝16－4m ＝0，解得：m ＝4．此时x 1＝x 2＝2，y ＝x 2－3x ＝－2，∴ D 点坐标为(2，－2)．(3) ∵ 直线OB 的解析式为y ＝x ，且A (3，0)，∴ 点A 关于直线OB 的对称点A'的坐标是(0，3)．设直线A'B 的解析式为y ＝k 2x ＋3，过点B (4，4)，∴ 4k 2＋3＝4，解得：k 2＝14．∴ 直线A'B 的解析式是y ＝14x ＋3．∵ ∠NBO ＝∠ABO ，∴ 点N 在直线A'B 上，∴ 设点N (n ，14n ＋3)，又点N 在抛物线y ＝x 2－3x 上， ∴ 14n ＋3＝n 2－3n ，解得：n 1＝－34，n 2＝4(不合题意，会去)，∴ 点N 的坐标为(－34，4516)．方法一：如图1，将△NOB 沿x 轴翻折，得到△N 1OB 1，则N 1(－34，－4516)，B 1(4，－4)，∴ O 、D 、B 1都在直线y ＝－x 上．∵ △P 1OD ∽△NOB ，∴ △P 1OD ∽△N 1OB 1，∴ OP 1ON 1＝OD OB 1＝12，∴ 点P 1的坐标为(－38，－4532)．将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(4532，38)．综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(4532，38)．方法二：如图2，将△NOB 绕原点顺时针旋转90°，得到△N 2OB 2，则N 2(4516，34)，B 2(4，－4)， ∴ O 、D 、B 2都在直线y ＝－x 上．∵ △P 1OD ∽△NOB ，∴ △P 1OD ∽△N 2OB 2，∴ OP 1ON 2＝OD OB 2＝12，∴ 点P 1的坐标为(4532，38)．将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(－38，－4532)．综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(4532，38)．点坐标．，解得，所以，直线，所以，抛物线解析式为4将E （x ，x ）代入抛物线y=﹣x （x ﹣4）中，得x=﹣x （x ﹣4），解得x=0或，，则PE=MC=2，将E （x ，2）代入抛物线y=﹣x （x ﹣4）中，得2=﹣x （x ﹣4），x=，）或（的形状，如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m =-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．。

中考数学压轴题解题策略：相似三角形的存在性问题

相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程(组)．例题解析例❶如图1-1,抛物线y=1x2-3x+4与X轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C.动82直线EF(EF//x轴)从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段0B上以每秒2个单位的速度向原点0运动.是否存在t,使得△匕卩卩与厶ABC相似.若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由.图1-1【解析】ABP卩与厶ABC有公共角ZB，那么我们梳理两个三角形中夹ZB的两条边.△ABC是确定的.由y=x2-x+4，可得A(4,0)、B(&0)、C(0,4).782于是得到BA=4,BC=4*5.还可得到C E=C0=1.EF OB2△BPF中，BP=21,那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了. 在RtAEFC中，CE=t,EF=21,所以CF=^5t.因此BF=处5-呂二*；5(4-1).于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程BABP ①当—时，BCBF42t44_—.解得t—（如图1-2）. 4冒55（4-1）3BABF ②当—时，BCBP4—〔5（4-1）.解得1—20（如图1-3）. 4f5217得顶点M(1,-图1-2 图1-3例❷如图2-1,在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,ZAOB=120°.(1)这条抛【解析】AABC与AAOM中相等的一组角在哪里呢?本题由简到难，层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第(2)题求ZAOM的大小作铺垫；求得了ZAOM的大小，第(3)题暗示了要在△ABC中寻找与ZAOM相等的角.(1)如图2-2,过点A作AH丄y轴，垂足为H.容易得到A(-1,3).再由A(-1,J3)、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为y二辜x2-睾x.⑵由y吕x2一斗x召(x-1)2-斗,v33(3)由A (-1,\：'3)、B(2,0),可得ZABO=30°. 因此当点C 在点B 右侧时，ZABC=ZA0M=150°. 所以△ABC 与AAOM 相似，存在两种情况：① 当燮=_°A 仝时，BC =BA ==2.此时C(4,0)(如图2-3).BCOM J3弋3 BC OA —② 当==时，BC =x/3BA =\3x 2\；3=6.此时C (8,0)(如图2-4).BAOM图2-3.图2-4例❸如图3-1,抛物线y=ax 2+bx —3与x 轴交于A(l,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点D,顶点为C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在x 轴下方的抛物线上是否存在点M,过M 作MN 丄x 轴于点N,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.图3-1【解析】AAMN 是直角三角形，因此必须先证明△BCD 是直角三角形.一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程.所以 tan ZBOM=.所以ZBOM=30。

中考数学压轴题：二次函数综合、相似三角形存在性问题

中考数学压轴题：二次函数综合、相似三角形存在性问题1．如图，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1C2=65，求m的值．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+√3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．3．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．（1）求该抛物线的解析式；（2）判断△BCM的形状，并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；（3）点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP 的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）D是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBD与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P 运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；9．如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点A （3，1），点C （0，4），顶点为点M ，过点A 作AB ∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标．10．如图，抛物线y ＝ax 2+bx 经过两点A （﹣1，1），B （2，2）．过点B 作BC ∥x 轴，交抛物线于点C ，交y 轴于点D ．（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C 的坐标；（2）若抛物线上存在点M ，使得△BCM 的面积为72，求出点M 的坐标；（3）连接OA 、OB 、OC 、AC ，在坐标平面内，求使得△AOC 与△OBN 相似（边OA 与边OB 对应）的点N 的坐标．11．如图1，抛物线y＝ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；（2）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．。

中考数学复习之二次函数背景下的相似三角形的存在性问题,含参考答案

中考数学复习之相似三角形的存在性问题（学案）知识与方法梳理：相似三角形存在性的处理思路1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：相似三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2. 画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解．注：相似三角形列方程往往借助对应边成比例；3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．例1：在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为 C (4，，且与x 轴的两个交点间的距离为6．（1）求二次函数的解析式；（2）在x 轴上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】△由顶点坐标C (4，)可知对称轴为直线x =4，利用与x 轴两个交点间的距离为6，再结合抛物线的对称性可知A （1，0)，B (7，0)．△设交点式y =a (x -1)(x -7)，再代入坐标C (4，可求解出解析式2y x =-+．【过程示范】△顶点坐标为C (4，)， △抛物线对称轴为直线x =4，又△抛物线与x 轴的两个交点间的距离为6， △由抛物线的对称性可知：A (1，0)，B (7，0)．设抛物线的解析式为y =a (x -1)(x -7)，将C (4，)代入可得，a = △所求解析式为2y x x =．第二问：相似三角形的存在性【思路分析】相似三角形存在性问题也是在存在性问题的框架下进行的：△分析特征：先研究定点、动点，其中A 、B 、C 为定点，点Q 为抛物线上的动点；进一步研究此△ABC ，发现其中AC=BC ；构造辅助线：CD 垂直于x 轴，能够计算出△BAC =30°，△ACB =30°；再考虑研究△QAB ，固定线段为AB ，并且由于点Q 在x 轴上方的抛物线上，所以△QAB 为钝角（填“钝角”或“直角”）三角形．△画图求解：先考虑点Q 在抛物线对称轴右侧的情况，此时△ABQ 为钝角，要想使△ABC 与△ABQ 相似，则需要△ABQ =120°，且AB=BQ ．求解时，可根据△ABQ =120°，AB =BQ =6来求出Q 点坐标．同理，考虑点Q 在抛物线对称轴左侧时的情况．△结果验证：考虑点Q 还要在抛物线上，将点Q 代入抛物线解析式验证．【过程示范】存在点Q 使得△QAB 与△ABC 相似．由抛物线对称性可知，AC =BC ，过点C 作CD △x 轴于D ，则AD =3，CD在Rt△ACD 中，tan△DAC，△△BAC =△ABC =30°，△ACB =120°． △当△ACB △△ABQ 1时， △ABQ 1=120°且BQ 1=AB =6．过点Q 1作Q 1E △x 轴，垂足为E ，则在Rt△BQ 1E 中，BQ 1=6，△Q 1BE =60°， △Q 1E =BQ 1·sin60°=62⨯=BE =3， △E (10，0)，Q 1(10，．当x =10时，y= △点Q 1在抛物线上．△由抛物线的对称性可知，还存在AQ 2=AB ，此时△Q 2AB △△ACB ，点Q 2的坐标为(-2，．综上，Q 1(10，，Q 2(-2，．练习题1. 如图，抛物线2110833y x x =-+-经过A ，B ，C 三点，BC △OB ，AB =BC ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ．点M是直线AB 上方的抛物线上一动点，作MN ⊥x 轴于点N ，若△AMN 与△ACD 相似，则点M 的坐标为_____________________________．OB CDAxy2. 如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(1，0)，过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH △OB 于点H ．若PB 5t ，且0＜t ＜1．（1）点C 的坐标是____________，b _______，c ______．（2）求线段QH 的长（用含t 的代数式表示）．（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P ，H ，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．A BCOHP QxyyxO CB A3. 如图，抛物线213222y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D (1，m )在抛物线上，直线y =-x -1与抛物线交于A ，E 两点，点P 在x 轴上，且位于点B 的左侧，若以P ，B ，D 为顶点的三角形与△ABE 相似，则点P 的坐标为__________________________________．4. 如图，已知抛物线过点A (0，6)，B (2，0)，C (7，52)．（1）求抛物线的解析式．（2）若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称．求证：△CFE =△AFE ．（3）在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，抛物线y=ax2+bx经过两点A(-1，1)，B(2，2)．过点B作BC△x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．连接OA，OB，OC，AC，点N在坐标平面内，且△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应），则点N的坐标为_____________________________________．6.如图，抛物线y=-x2+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D．是否存在以P，O，D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点A作AP△CB交抛物线于点P．（1）求A，B，C三点的坐标．（2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MG△x轴于点G，使以A，M，G为顶点的三角形与△PCA 相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A，B，且点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，1)．（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标．（2）过点B作BD△CA交抛物线于点D，在x轴上点A的左侧是否存在点P，使以P，A，C为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9. 如图，抛物线经过A (4，0)，B (1，0)，C (0，-2)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）P 是抛物线上一动点，过点P 作PM △x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1. 2. （1）(0，-3)，，-3；（2）；（3）存在，或． 3. 4. （1）；（3）． 5. N 1(3，4)，N 2(4，3)，N 3(-2，-1)，N 4(-1，-2)6.存在，1P ，2(12P --+．7.（1）A (-1，0)，B (1，0)，C (0，-1)；（2）存在，M 1(-2，3)，M 2(4，15)，347()39M ，． 1257111()()2424M M -，，，94-148 0218 4 12t t QH t t ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（）（）73225321121322(0)(0)75P P -，，，21462y x x =-+1241(0)(02)2P P --，，，8.（1）y =-x 2+1，B (-1，0)；（2）存在，11(0)3P ，，P 2(-2，0)． 9.（1）215222y x x =-+-；（2）存在，P 1(0，-2)，P 2(-3，-14)，P 3(2，1)，P 4(5，-2)．。

中考数学压轴题分析：相似三角形的存在性问题

中考数学压轴题分析：相似三角形的存在性问题几何图形的存在性问题是中考常见的问题。

本文内容选自2020年广东省中考数学压轴题，考查相似三角形的存在性问题，难度不小。

一个三角形形状大小确定，另外一个三角形有两个动点。

具体请看下面内容。

【中考真题】（2020·广东）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．（1）求，的值；（2）求直线的函数解析式；（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上．当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．【分析】题（1）利用待定系数法求解析式，根据BO=3AO=3，得出点，点坐标，代入求抛物线解析式。

题（2）求BD的解析式，需要确定点D的坐标。

由于题目已知BC与CD的比例关系，可以考虑过点D作x轴的垂线，得到一个A字型的相似，求出点D的横坐标，代入二次函数的解析式，然后即可得到结论。

当然，如果先设直线BD的解析式为y=kx－3k，联立二次函数的解析式，得到一元二次方程的两根x1与x2的关系即可求出k的值。

题（3）中需要确定与△ABD相似的△BPQ。

由于A、B、D三点的位置的固定的，坐标也是确定的。

那么形状与大小就确定了。

先求出3边长度，且易得∠BAD为钝角。

而∠PBQ不可能为钝角，所以只需要分两种情况讨论即可：①点B与点B对应；②点B与点D对应。

两种情况中边的比例又有两种情况，因此分为4种情况讨论。

设PQ的坐标，然后根据比例关系得出结论。

【答案】解：（1），点，点，抛物线解析式为：，，；（2）如图1，过点作于，，，，，，，点横坐标为，点坐标为，，设直线的函数解析式为：，由题意可得：，解得：，直线的函数解析式为；（3）点，点，点，，，，，对称轴为直线，直线与轴交于点，点，，，，如图2，过点作于，，，，，如图，设对称轴与轴的交点为，即点，若，，，，，当，，，点，；当，，，点，；若，，，当，，，点，；当，，，点，；综上所述：满足条件的点的坐标为，或，或，或，．。

中考专题：二次函数函数的存在性问题(相似三角形)

二次函数函数的存在性问题（相似三角形）1、）如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。

（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

2、）矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，(03)C -，，直线34y x =-与BC 边相交于D 点．（1）求点D 的坐标；（2）若抛物线294y ax x =-经过点A ，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P O M 、、为顶点的三角形与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．3、）如图，已知抛物线y ＝34x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0）过点C 的直线y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．（1）填空：点C 的坐标是_ _，b ＝ _，c ＝_ _；（2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．4、）已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、．（1）求点A B F 、、的坐标；（2）求证：CF DF ⊥；（3）点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．6、）如图，ABCD 在平面直角坐标系中，6AD =，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程27120x x -+=的两个根，且OA OB >．（1）求sin ABC ∠的值．（2）若E 为x 轴上的点，且163AOE S =△，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断AOE △与DAO △是否相似？（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．答案1、（09贵州安顺）解：（1） ∵抛物线与y 轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为)0(32≠++=a bx ax y (1′) 根据题意，得⎩⎨⎧=++=+-033903b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=21b a∴抛物线的解析式为322++-=x x y (5′) (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）设对称轴与x 轴的交点为F∴四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形 =111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅=11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯=9（3）相似如图，==∴====∴2220BD BE +=, 220DE = 即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形 ∴90AOB DBE ∠=∠=︒,且AO BO BD BE ==∴AOB ∆∽DBE ∆ 2、（09青海）解：（1）点D 的坐标为(43)-，．（2）抛物线的表达式为23984y x x =-．（3）抛物线的对称轴与x 轴的交点1P 符合条件． ∵OA CB ∥， ∴1POM CDO ∠=∠． ∵190OPM DCO ∠=∠=°， ∴1Rt Rt POM CDO △∽△． ∵抛物线的对称轴3x =， ∴点1P 的坐标为1(30)P ，．过点O 作OD 的垂线交抛物线的对称轴于点2P ． ∵对称轴平行于y 轴， ∴2P MO DOC ∠=∠．∵290POM DCO ∠=∠=°， ∴21Rt Rt P M O DOC △∽△∴点2P 也符合条件，2OP M ODC ∠=∠． ∴121390PO CO P PO DCO ==∠=∠=，°， ∴21Rt Rt P PO DCO △≌△． ∴124PP CD ==．∵点2P 在第一象限，∴点2P 的坐标为2P (34)，， ∴符合条件的点P 有两个，分别是1(30)P ，，2P (34)，3、（09广西钦州）解：（1）（0，－3），b ＝－94，c ＝－3．（2）由（1），得y ＝34x 2－94x －3，它与x 轴交于A ，B 两点，得B （4，0）． ∴OB ＝4，又∵OC ＝3，∴BC ＝5．由题意，得△B HP ∽△BOC ，∵OC ∶OB ∶BC ＝3∶4∶5 ， ∴HP ∶HB ∶BP ＝3∶4∶5 ， ∵PB ＝5t ，∴HB ＝4t ，HP ＝3t ． ∴OH ＝OB －HB ＝4－4t ．由y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，得Q （4t ，0）． ∴OQ ＝4t ． ①当H 在Q 、B 之间时， QH ＝OH －OQ ＝（4－4t ）－4t ＝4－8t ． ②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝OQ －OH ＝4t －（4－4t ）＝8t －4．综合①，②得QH ＝｜4－8t ｜；（3）存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似． ①当H 在Q 、B 之间时，QH ＝4－8t ，若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得483t -＝34tt， ∴t ＝732．若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝484t t -，即t 2＋2t －1＝0．∴t 11，t 21（舍去）．②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝8t －4．若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得843t -＝34t t ，∴t ＝2532．若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝844t t -，即t 2－2t ＋1＝0．∴t 1＝t 2＝1（舍去）．综上所述，存在t 的值，t 11，t 2＝732，t 3＝2532．4、（09福建莆田）（1）解:方法一，如图1，当1x =-时,14y =；当4x =时,4y = ∴1A ⎛⎫- ⎪⎝⎭1，4 ()44B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+则1444k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为314y x =+ ，当0x =时,1y = ()01F ∴，方法二:求A B 、两点坐标同方法一,如图2,作FG BD ⊥,AH BD ⊥,垂足分别为G 、H ,交y 轴于点N ,则四边形FOMG 和四边形NOMH 均为矩形,设FO x =图3BGF BHA △∽△ BG FG BH AH ∴= 441544x -∴=-解得1x = ()0F ∴，1(2)证明：方法一：在Rt CEF △中，1,2CE EF == 22222125CF CE EF ∴=+=+=CF ∴在Rt DEF △中，42DE EF ==， 222224220DF DE EF ∴=+=+= DF ∴=由（1）得()()1141C D ---，，，， 5CD ∴=， 22525CD ∴== 222CF DF CD ∴+=90CFD ∴∠=° ∴CF DF ⊥方法二：由（1）知5544AF AC ===，AF AC ∴= 同理：BF BD = ACF AFC ∴∠=∠AC EF ∥ ACF CFO ∴∠=∠ AFC CFO ∴∠=∠ 同理：BFD OFD ∠=∠ 90CFD OFC OFD ∴∠=∠+∠=° 即CF DF ⊥（3）存在. 如图3，作PM x ⊥轴，垂足为点M 又PQ OP ⊥ Rt Rt OPM OQP ∴△∽△ PM OMPQ OP∴= PQ PM OP OM ∴= 设()2104P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，，则214PM x OM x ==，①当RtRt QPO CFD △∽△时，12PQ CF OP DF === 21142xPM OM x ∴== 解得2x = ()121P ∴， ②当Rt Rt OPQ CFD △∽△时，2PQ DF OP CF === 2142xPM OM x ∴==解得8x = ()2816P ∴，综上，存在点()121P ，、()2816P ，使得OPQ △与CDF △相似.（图2）5、（09山东临沂）解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时， 4AM m =-，215222PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠=°， ∴①当21AM AO PM OC ==时， APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，．②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-．解得14m =，25m =（均不合题意，舍去） ∴当14m <<时，(21)P ，．类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，．（3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215222t t -+-．过D 作y 轴的平行线交AC 于E ．由题意可求得直线AC 的解析式为122y x =-．E ∴点的坐标为122t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 2215112222222DE t t t t t ⎛⎫∴=-+---=-+ ⎪⎝⎭．22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△．∴当2t =时，DAC △面积最大．(21)D ∴，． 6、（09牡丹江）（1）解27120x x -+=得1243x x ==，，OA OB >， 43OA OB ∴==，在Rt AOB △中，由勾股定理有5AB = 4sin 5OA ABC AB ∴∠== （2）∵点E 在x 轴上，163AOES =△ 11623AO OE ∴⨯= 83OE ∴= 880033E E ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或，由已知可知D （6，4）设DE y kx b =+，当803E ⎛⎫⎪⎝⎭，时有46803k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得65165k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴61655DEy x =- 同理803E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，6161313DE y x =+ 在AOE △中，89043AOE OA OE ∠===°，，在AOD △中，9046OAD OA OD ∠===°，， OE OAOA OD= AOE DAO ∴△∽△ （3）满足条件的点有四个123475224244(38)(30)1472525F F F F ⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，；，；，；，。

专题二相似三角形的存在性问题

专题二相似三角形的存在性问题解相似三角形的存在问题，一般分为三个步骤：第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根.难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快.一般情况下，寻找一组相等的角，然后根据对应边成比例，分成两种情况列方程.1.如图，抛物线213482y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C.动直线EF （EF//x 轴）从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于点E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动.是否存在t 值，使得△BPF 与△ABC 相似？若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21b 2y x x c =-++,经过点A(1,3)、B(0,1) 1.求抛物线的表达式及其顶点坐标；2.经过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C.在y 轴上取一点P ，使△ABP 与△ABC 相似，求满足条件的所有P 点坐标.3.如图，△ABC 中,AB=5，AC=3，cos ∠A=310.点D 在AB 边上（点D 不与点A 、点B 重合），作DE//BC 交AC 于点E.在BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与三角形EF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由.4.如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点A(1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点D ，顶点为C.（1）求此抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、N 、M 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.5.如图，抛物线2(0)y ax c a =+≠与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B 、C 两点（点C 在x 轴正半轴上），△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线国电C 时，与x 轴的另一个交点为E ，其顶点为F ，对称与x 轴的交点为H.（1）求a c 、的值；（2）连接OF,试判断△OEF 是否为等腰三角形，并说明理由；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E ，另一直角边与y 轴相交于点P.是否存在这样的点Q ，使以点P 、Q 、E 为顶点的△POE 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.6.在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A(1,0)、B(3,0)两点.（1）写出这个二次函数图像的对称轴；（2）设这个二次函数图像的顶点为D ，与y 轴交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点E ，连接AC 、DE 和DB.当△AOC 与△DEB 相似时，求这个二次函数的解析式.7.如图，点O 为据新华社ABCD 的对称中心，AB=10cm ，BC=12cm.点E 、F 、G 分别从A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动.点E 的运动速度为每秒1cm ，点F的运动速度为3cm 每秒，点G 的运动速度为每秒1.5cm.当点F 到达C 时，三个点随之停止运动.在运动过程中，△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB 'F.设点E 、F 、G 运动时间为t 秒.（1）当t= 秒时，四边形'EBFB 为正方形；（2）若以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似，求t 值.（3）是否存在实数t ，使得点'B 与点O 重合？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由.8.如图，二次函数2(0)y ax bx a =+≠的图像经过点A(1,4)，对称轴是直线x=-32，线段AD 平行于x 轴，交抛物线雨点D.在y 轴上取一点C （0,2），直线AC 交抛物线与点B ，连接OA 、OB 、OD 、BD.（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B 的坐标和坐标平面内使△EOD △AOB 得点E 的坐标；（3）设点F 是BD 的中点，点P 是线段DO 上的动点，为PD 为何值时，将△BPF 沿边PF 翻折，是△BPE 与△DPF 重叠部分的面积是△BDP 面积的14. 9.如图，在平面直角坐标系中，直线L1过点A （1,0）且与y 轴平行，直线L2过点B （0,2）且与x 轴平行，直线L1与L2相交于点P.点E 为直线L2上一点，反比例函数(0)k y k x =>的图像过点E 且与直线L1相交于点F.（1）若点E 与点P 重合，求k 值；（2）连接OE 、OF 、EF ，若k>2，且△OEF 的面积为△PEF 的面积的2倍，去点E 的坐标；（3）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以M 、E 、F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.10.如图，在△ABC 中，AB=AC=BC=8.⊙A 的半径为2，动点P 从点B 出发沿BC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，以点P 为圆心，以PB 为半径作⊙P ，设点P 的运动的时间为t.（1）当⊙P 与直线AC 相切时，求t 值；（2）当⊙P 与⊙A 相切时，求t 值；（3）延长BA 交⊙A 于点D ，连接AP 交⊙A 于点E ，连接DE 并延长交BC 于点F.当△ABP 与△FBD 相似时，求t 值.11.如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为（8,0），B 点坐标为（0,6），点C 是x 轴上的一点，沿直线BC 翻折，点O 正好落在AB 边上的点D 处.（1）去点C 的坐标；（2）设直线CD 与y 轴交于点E ，求点E 的坐标；（3）点P 在直线AB 上，直线CP 与y 轴交于点F ，如果△ACP 与△BPF 相似，求直线CP 的解析式.。

中考数学相似三角形的存在性问题解题策略

相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．例题解析例1、如图1-1，抛物线213482y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1-1【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边．△ABC 是确定的．由213482y x x =-+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)．于是得到BA ＝4，BC ＝12CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了．在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以CF ．因此)BF t ==-．于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当BA BPBC BF ==43t =（如图1-2）．②当BA BFBC BP ==207t =（如图1-3）．图1-2 图1-3 例2、如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结O M ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图2-1【解析】△ABC 与△AOM 中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M 的坐标，为第（2）题求∠AOM 的大小作铺垫；求得了∠AOM 的大小，第（3）题暗示了要在△ABC 中寻找与∠AOM 相等的角．（1）如图2-2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．容易得到A (1-．再由A (1-、B (2,0)两点，可求得抛物线的解析式为2y x x =．（2）由221)y x x ==-，得顶点M (1,．所以tan BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．图2-2（3）由A (1-、B (2,0)，可得∠ABO ＝30°．因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．所以△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①当BA OABC OM ==时，2BC ==．此时C (4,0)（如图2-3）．②当BC OA BA OM ==时，6BC ==．此时C (8,0)（如图2-4）．图2-3 图2-4例3、如图3-1，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A (1, 0)、B (3, 0)两点，与y 轴交于点D ，顶点为C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图3-1【解析】△AMN 是直角三角形，因此必须先证明△BCD 是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．（1）抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x －3．（2）由y ＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1，得D (0,－3)，C (2, 1)．如图3-2，由B (3, 0)、D (0,－3)、C (2, 1)，可知∠CBO ＝45°，∠DBO ＝45°．所以∠CBD ＝90°，且13BC BD ==．图3-2 图3-3 图3-4设点M 、N 的横坐标为x ，那么NM ＝－y M ，而NA 的长要分N 在A 的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当N 在A 右侧时，NA ＝x －1，分两种情况列方程： ①当3NA BD NM BC ==时，13(1)(3)x x x -=--．解得103x =．此时M 107(,)39-（如图3-3）． ②当13NA BC NM BD ==时，11(1)(3)3x x x -=--．解得x ＝6．此时M (6,－15)（如图3-5）．当N 在A 左侧时，NA ＝1－x ，也要分两种情况列方程： ①当3NA BD NM BC ==时，13(1)(3)x x x -=--．解得83x =＞1，不符合题意（如图3-4）． ②当13NA BC NM BD ==时，11(1)(3)3x x x -=--．解得x ＝0，此时M (0,－3)（如图3-6）．图3-5 图3-6例4、如图4-1，在平面直角坐标系中，A (8,0)，B (0,6)，点C 在x 轴上，BC 平分∠OBA ．点P 在直线AB 上，直线CP 与y 轴交于点F ，如果△ACP 与△BPF 相似，求直线CP 的解析式．图4-1【解析】首先求得点C (3,0)．△ACP 与△BPF 中，相等的角在哪里啊？①如图4-2，当点P 在线段AB 上时，△ACP 与△BPF 中，∠APC 与∠BPF 是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP 与AB 是垂直的．可以求得F (0,－4)，于是直线CF (CP )为443y x =-． ②如图4-3，当点P 在AB 的延长线上时，△ACP 与△BPF 有公共角∠P ．于是∠OFC ＝∠PFB ＝∠A ，可以求得F (0, 4)，因此直线CF (CP )为443y x =-+． ③如图4-4，当点P 在BA 的延长线上时，∠B 与∠PCA 不可能相等．在△AOB 中，根据大边对大角，∠B ＞∠BAO ；∠BAO 又是△PCA 的一个外角，∠BAO ＞∠PCA ．图4-2 图4-3 图4-4例5、如图5-1，二次函数y ＝x 2＋3x 的图象经过点A (1,a )，线段AD 平行于x 轴，交抛物线于点D ．在y 轴上取一点C (0, 2)，直线AC 交抛物线于点B ，连结OA 、OB 、OD 、BD ．求坐标平面内使△EOD ∽△AOB 的点E 的坐标；图5-1【解法一】点A 、D 、B 都是确定的，可以求得A (1, 4)，D (－4, 4)，B (－2,－2)．所以AO =，BO =，AB =DO =△EOD ∽△AOB ，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程．由EO OD DE AO OB BA ===EO =DE = 设点E 的坐标为(x , y )，根据EO 2＝68，DE 2＝180，列方程组222268,(4)(4)180.x y x y ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩解得118,2,x y =⎧⎨=-⎩ 222,8,x y =⎧⎨=-⎩ 所以点E 的坐标为(8,－2)或(－2, 8)．上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系．【解法二】如图5-2，△AOB 是确定的，△AOB 与△EOD 有公共点O ，OB ∶OD ＝1∶2，∠BOD ＝90°．如果△EOD ∽△AOB ，我们可以把△AOB 绕着点O 顺时针旋转，使得点B ′落在OD 上，此时旋转角为90°，点B ′恰好落在OD 的中点．按照这个运动规则，点A (1, 4) 绕着点O 顺时针旋转90°，得到点A ′(4,－1)，点A ′是线段OE 的中点，因此点E 的坐标为(8,－2)．如图5-3，点E (8,－2)关于直线OD （即直线y ＝－x ）对称的点为E ′(2,－8)．图5-2 图5-3例6、如图6-1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝8．⊙A 的半径为2，动点P 从点B 出发沿BC 方向以每秒1个单位的速度向点C 运动．延长BA 交⊙A 于点D ，连结AP 交⊙A 于点E ，连结DE 并延长交BC 于点F ．设点P 运动的时间为t 秒，当△ABP 与△FBD 相似时，求t 的值．图6-1【解析】△ABC 是等腰直角三角形，⊙A 是确定的，先按照题意把图形补充完整．如图6-2，容易发现△ABP 与△FBD 有公共角∠B ，如果根据对应边成比例列方程BA BDBP BF =或BA BF BP BD=，其中BA ＝BP ＝t ，BD ＝2，但是用含t 的式子表示BF 困难重重啊！图6-2 图6-3 图6-4我们另起炉灶，按照判定定理1来解决．△ABP 与△FBD 有公共角∠B ，我们以∠D 为分类标准，分两种情况讨论它们相似：第一种情况，如图6-3，∠BAP ＝∠D 是不可能的，这是因为∠BAP 是等腰三角形ADE 的外角，∠BAP ＝2∠D ．第二种情况，如图6-4，当∠BP A ＝∠D 时，在△ABP 中，由于∠BAP ＝2∠D ＝2∠BP A ，因此45°＋3∠BP A ＝180°．解得∠BP A ＝45°．此时△ABP 是等腰直角三角形，P 与C 重合，所以t ＝8．解答这道题目，如果选取点P 的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究．在讨论第二种情况∠BP A ＝∠D 时，我们容易被已知图6-1给定的点P 的位置所误导，以为图6-2中“锐角∠D ”与“钝角∠BP A ”不可能相等．。

培优讲义——相似三角形的存在性问题

培优讲义——相似三角形的存在性问题
常见方法一：先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等；
常见方法二：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

1、如图，在直角坐标系中，已知点(2,0)A ，(0,4)B ，(1,0)C ，在坐标轴上找到点
D ，使△AOB 与△DOC 相似，求出D 点的坐标，并说明理由．
2、如下图，在矩形ABCD 中，AB=12 cm ，BC=6 cm ．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2 cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1 cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：
（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？
3、如图，在平面直角坐标系中，A (8,0)，B (0,6)，点C 在x 轴上，BC 平分∠OBA ．点P 在
直线AB 上，直线CP 与y 轴交于点F ，如果△ACP 与△BPF 相似，求直线CP 的解析式．
26、（13分）如图，正方形ABCD 边长为10cm ，P 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AP ，过点P 作PE ⊥PA 交CD 于点E ．（1）求证：△ABP ∽△PCE ；
（2）当P 在BC 上运动时，对应的点E 也随之在CD 上运动，设CP x =，DE y =，求y 与x 的函数关系式及y 的取值范围。

（3）在线段BC 上，是否存在不同于P 的点Q ，使得QA ⊥QE ？若存在，求线段BQ 与BP 之间的数量关系；若不存在，请说明理由。

（备用图）。

2020年中考专题练习题---相似三角形的存在性问题---教师版

若ABC∆与DEF∆相似，理论上应有六种可能情况，但在中考中，6种情况未免过于复杂，所以题目中一般都还会隐含（或明示）着其中一组对应角关系，于是就只需讨论两种情况是否可能，并解出相关结果．可以将相似三角形的存在问题大致分为两类：以函数为背景的和以几何为背景的。

相比而言，以函数为背景的题目往往计算过程较为复杂，但思维过程相对简单，需要的是仔细认真；而以几何为背景的题目思维过程更为复杂，需要相对高的几何能力．1、知识内容：相似三角形的存在性问题内容分析知识结构模块一：以函数为背景的相似三角形问题知识精讲在纯几何问题中，证明三角形相似主要有三种方法：①两组角对应相等；②一组角相等且其两边对应成比例；③三组边对应成比例．在以函数为背景的压轴题中，基本都属于第二种情况，其他两种出现较少。

若ABC ∆与DEF ∆相似，且A D ∠=∠，则可能有两种情况：①AB DE AC DF =；②AB DFAC DE=． 2、解题思路：（1）寻找或证明两个三角形中一定相等的两个角；（2）计算或表示出夹此两角的四条边中的三条；（3）解出第四条边，并代回题面进行验证，舍去多余情况．【例1】如图，在平面直角坐标系中，双曲线ky x=（0k ≠）与直线y = x ＋2都经过点 A （2，m ）．（1）求k 与m 的值；（2）此双曲线又经过点B （n ，2），过点B 的直线BC 与直线y = x ＋2平行交y 轴于点 C ，联结AB 、AC ，求ABC ∆的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y = x ＋2与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，如果以点A 、C 、E 所组成的三角形与ACD ∆相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．【答案】（1）k = 8，m = 4；（2）8；（3）（10，8）．【解析】（1）将A （2，m ）代入y = x + 2，得m = 4；将A （2，4）代入ky x=，得k = 8；（2）将B （n ，2）代入8y x=，得n = 4；例题解析xy1 1O设BC 为y x c =+，将B （4，2）代入，得2c =-， ∴直线BC 解析式为2y x =-． ∴C 点为（0，2-）．∴ABC ∆的面积为()14662224482⨯-⨯+⨯+⨯=； △ABC 为直角三角形（4） D 点坐标为（2，0），∴E 点坐标为（10，8）．【总结】本题一方面考查函数解析式与点的坐标的关系，另一方面考查几何图形的面积的确定以及相似三角形的存在性，注意根据公共角去分类讨论．【例2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y = ax 2＋bx （a ＞ 0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO = BO = 2，∠AOB = 120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且ABC ∆与AOM ∆相似，求点C 的坐标．AB OMxy【答案】（1）2323y x x =；（2）150︒；（3）（4，0）或（8，0）．【解析】解：（1）∵120AOB ∠=︒，2AO BO ==，∴A 点坐标为(13-，，B 点坐标为()20，．∴代入2y ax bx =+，解得：3a ，23b =∴抛物线解析式为：2323y =．（2）过M 作MF ⊥OB 于F ，∵点M 的坐标为31,⎛ ⎝⎭，∴30FOM ∠=︒． ∴309030150AOM ∠=︒+︒+︒=︒．（3）∵30ABO ∠=︒，150AOM ∠=︒，∴C 点在B 点右侧，ABC ∠与AOM ∠为对应角，分情况讨论：① ABC AOM ∆∆∽时，∴AO MOAB BC=． ∵23MO =2BC =． ∴C 点坐标为（4，0）； ② CAB AOM ∆∆∽时，∴BC ABAO MO=． ∴6BC =．∴C 点坐标为（8，0）．综上所述，C 点坐标为（4，0）或（8，0）．【总结】本题一方面考查二次函数背景下的角度的确定，注意对特殊角的发掘，另一方面考查相似的分类讨论，先找到相等的角，再分类讨论．【例3】如图，平面直角坐标系xOy 中，已知B （1-，0），一次函数5y x =-+的图像与x轴、y 轴分别交于点A ，C 两点．二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是该二次函数图像的顶点，求APC ∆的面积；（3）如果点Q 在线段AC 上，且ABC ∆与AOQ ∆相似，求点Q 的坐标．【答案】（1）245y x x =-++；（2）15；（3）1Q （56，256）或2Q （2，3）．【解析】（1）∵直线5y x =-+，当0y =时，得5x =；当0x =时，得5y =； ∴A (5，0) C (0，5)∵二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A (5，0)、点B (1-，0)．∴255010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：45b c =⎧⎨=⎩；∴二次函数的解析式为245y x x =-++．（2）由()224529y x x x =-++=--+，由题意得顶点P (2，9) ．设抛物线对称轴与x 轴交于G 点，∴S 1413.512.515APC AOC APG AOC AOCP OCPG S S S S S ∆∆∆∆=-=+-=+-=四边形梯形．（3）∠CAB =∠OAQ ，AB = 6，AO = 6，AC =52，○1ABC ∆∽AOQ ∆，∴AB AOAC AQ=， ∴2526AQ =，1Q （56，256）； ○2ABC ∆∽AQO ∆，∴AB AQAC AO=， yxOCAB∴32AQ =，2Q （2，3），∴当点Q 的坐标为1Q （56，256）或2Q （2，3）时，ABC ∆与AOQ ∆相似．【总结】本题主要考查二次函数背景下的面积问题及相似三角形的存在性问题，注意求面积的常用方法及相似的分类讨论．【例4】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 过点A （3，0）、B （0，m ）（0>m ），tan 2BAO ∠=.（1）求直线AB 的表达式；（2）反比例函数1k y x=的图像与直线AB 交于第一象限内的C 、D 两点（BD < BC ），当AD = 2DB 时，求1k 的值；（3）设线段AB 的中点为E ，过点E 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交反比例函数2k y x=的图像于点F ，分别联结OE 、OF ，当OEF ∆∽OBE ∆时，请直接写出满足条件的所有2k 的值．【答案】（1）26y x =-+；（2）14k =；（3）292k =-或22716k =．【解析】解：（1）∵tan 2BAO ∠=，()3,0A ，∴()0,6B ，∴:26AB y x =-+；（2）∵2AD BD =，∴3A D x x =，∴()14D ，，∴14k =； xyABO（3）3,32E ⎛⎫⎪⎝⎭，BOE EFO ∠=∠○1当OBE EFO ∠=∠时，OB OEEF EO=， ∴61EF=，6EF =， ∴3,32F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴292k =-；○2当OBE EOF ∠=∠时，OB OEEO EF=， ∴2158OE EF OB ==，∴39,28F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴22716k =；综上：292k =-或22716k =．【总结】本题综合性较强，一方面考查了锐角三角比在函数背景下的运用，另一方面考查了点的坐标与距离间的关系，注意对符号的判定．模块二：以几何为背景的相似三角形问题知识精讲1、知识内容：在以几何为背景的此类压轴题中，几何推导的过程较为复杂，往往需要多次运用边、角关系的代换才能得到最终结果；在计算上也经常需要借助函数、方程的思想，来求得最后的解答。

中考数学压轴题专题03相似三角形的存在性问题(学生版+解析版)

专题三相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC∽△DEF，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC与△DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC∽△DEF ,②△ABC∽△FDE、③△ABC∽△EFD、3、若题目中为△ABC与△DEF并且有∠A、∠D（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC∽△DEF，②、△ABC∽△DFE需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MB MC -的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】（2019·海南模拟）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC 中，AO =10，AB =8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点.(1)求AD 的长及抛物线的解析式；(2)一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？(3)点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·湖南模拟）如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B 两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2019·江苏中考真题）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【举一反三】（2018武汉中考）抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD 与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．【新题训练】1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C 1：y ＝﹣1m（x +2）（x ﹣m ）（m ＞0）与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点E ．（1）求点B 、点C 的坐标；（2）当△BCE 的面积为6时，若点G 的坐标为（0，b ），在抛物线C 1的对称轴上是否存在点H ，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H 的坐标（用含b 的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．2．（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似？（3）点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.3．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣83），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．（3）点C关于x轴的对称点为H，当5FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2020·河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．6．（2020·浙江初三期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的对称轴为直线l ，将直线l 绕着点()0,2P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线上一点（1）若45α∠=︒，求直线AB 的函数表达式（2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标7．（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝13x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠P AB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．8．（2019·江苏初三期末）如图，抛物线y＝ax2＋5ax＋c（a＜0）与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DH⊥x轴于点H，延长DH交AC于点E，且S△ABD：S△ACB＝9：16，（1）求A、B两点的坐标；（2）若△DBH与△BEH相似，试求抛物线的解析式．9．（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；（3）点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·西安市铁一中学中考模拟）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,1)-，并且与y轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO V 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线122y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是32x=-且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接P A，PC．求△P AC的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019·江苏泗洪姜堰实验学校中考模拟）如图，抛物线2481293y x x =--与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点．（1）求△AOB 的外接圆的面积；（2）若动点P 从点A 出发，以每秒2个单位沿射线AC 方向运动；同时，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位沿射线BA 方向运动，当点P 到达点C 处时，两点同时停止运动．问当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似？（3）若M 为线段AB 上一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交抛物线于点N ．①是否存在这样的点M ，使得四边形OMNB 恰为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M 运动到何处时，四边形CBNA 的面积最大？求出此时点M 的坐标及四边形CBAN 面积的最大值．13．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：()2y ax c a x c =+-+经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为L '.（1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D .若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.14．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．15．（2018·四川中考真题）如图，抛物线y =12x 2+bx +c 与直线y =12x +3交于A ，B 两点，交x 轴于C 、D 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MD |的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接P A ，过点P 作PQ ⊥P A 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2019·湖南中考真题）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2.(点A 在点B 的左侧)(1)求点A 、B 的坐标； (2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积；(3)如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.专题三相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

2024年九年级数学中考专题：二次函数相似三角形问题课件

04
方法归纳
四、方法归纳
在平面直角坐标系中，二次函数背景下当两个三角形相似，求点的坐标，一般情况下，相似的两个三角形都是特殊的三角形（常见直角三角形），且有一条直角边在坐标轴上，或者垂直平行坐标轴，结合相似三角形模型，对应边成比例，求出点的坐标即可
05
学以致用
五、学以致用
如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,−2)三点。 (1)求出抛物线的解析式； (2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以 A，P，M为顶点的三角形与ΔOAC相似?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由
一、相似三角形
相似三角形判定：(1)两角对应分别相等的两个三角形相似。 (2)三边对应成比例的两个三角形相似。 (3)两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似。
02
相似三角形模型
(1) A字型(反A型)
二、相似三角形模型
(2)8字型(反8型)
(3)一线三垂直
二
例题讲解
三、例题讲解
抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为(-3,0)，顶点D 的坐标为(-1,4) (1)求抛物线的表达式和B、C两点的坐标 (2)连接AD 、 AC 、 CD 、 BC，在y轴上是否存在点M，使得以M 、B 、 C 为顶点的三角形与ΔACD相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由
中考专题：二次函数三角形相似问题
目录
01
02
03
04 05
相
相
例
方
学
似
似
题
法
以
三
三
讲
归

相似三角形存在性问题(含解析)

相像存在性问题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A、 D 两点，与 y 轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点 A 的坐标为（ 1，0），点 B 的坐标为（ 0，4），已知点 E（ m， 0）是线段 DO上的动点，过点 E 作 PE⊥ x 轴交抛物线于点 P，交 BC于点 G，交 BD于点 H．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）当点 P 在直线 BC上方时，请用含 m的代数式表示 PG的长度；（ 3）在（ 2）的条件下，能否存在这样的点 P，使得以 P、B、G为极点的三角形与△ DEH相像？若存在，求出此时 m的值；若不存在，请说明原因．2．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线25C xy ax x c过点A（，）和（，），（，）是轴正0 48 0 P t0690°得线段 PB．过点 B作x轴的垂线、过点半轴上的一个动点， M是线段 AP 的中点，将线段MP绕点 P 顺时针旋转A 作y轴的垂线，两直线订交于点D．（ 1）求此抛物线的对称轴；（ 2）当t为什么值时，点 D落在抛物线上？（ 3）能否存在t，使得以 A、B、D 为极点的三角形与△PEB相像？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明原因．333．如图，过点 A （ 0， 3）的直线 l 1 与 x 轴交于点 B ， tan ∠ ABO=4．过点 A 的另向来线 l 2： y ＝－4 tx ＋ b (t ＞0)与 x 轴交于点 Q ，点 P 是射线 AB 上的一个动点，过 P 作 PH ⊥ x 轴于点 H ，设 PB ＝ 5t ．（ 1）求直线 l 1 的函数分析式；（ 2）当点 P 在线段 AB 上运动时，设△ PHQ 的面积为 S （ S ≠ 0），求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）当点 P 在射线 AB上运动时，能否存在这样的 t 值，使以 P， H，Q为极点的三角形与△ AOQ相像？若存在，直接写出全部知足条件的 t 值所对应的 P 点坐标；若不存在，请说明原因．4．如图，点 A 是x 轴正半轴上的动点，点 B 的坐标为（0， 4），将线段AB 的中点绕点 A 按顺时针方向旋转90°得点 C，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为F，过点 B 作 y 点，连结AC、 BC、 CD，设点 A 的横坐标为t ．轴的垂线与直线CF 订交于点E，点D是点A 对于直线CF的对称（ 1）线段AB与AC的数目关系是，地点关系是．（2）当 t=2 时，求 CF 的长；（3）当 t 为什么值时，点 C 落在线段 BD上？求出此时点 C的坐标；（4）设△ BCE的面积为 S，求 S与 t 之间的函数关系式．5．如图，抛物线y=－1x2+3x－ 2 交 x 轴于 A， B 两点（点 A 在点 B 的左边），交 y 轴于点 C，分别过点B， C 作 y 42轴， x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C 逆时针旋转，使点D旋转到y 轴上获得△FEC，连结BF．（1）求点 B， C所在直线的函数分析式；（ 2）求△ BCF的面积；（3）在线段 BC上能否存在点 P，使得以点 P，A， B 为极点的三角形与△ BOC相像？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．。

相似三角形的存在性问题的探究

2
3
AP 5 即： 3 5 2 10 13 AP P ) 1 ( 2, 3 3
AP AB BA BC
y 2( x 2) 1
2
(3,3)
3 AB 5 , BC 2
②若△ ABP∽ △ BAC
P
，则
AP AB BC BA
2 3
即：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 AP 2
5 P2 (2, ) 2
△BCD与△ABO中，保持不 △ABP与△ABC中，保持不变变的是∠ABO= ∠BCD ．的是∠ABC= ∠BAP ．
分两种情况：分两种情况：
2 3
①若△ ABP ∽△ ①若△ BCD ∽BCA △ OBA ②若△ ②若△ ABP BCD ∽△ ∽BAC △ ABO
一、解题步骤：三步曲
第一步：寻找分类标准第二步：画出示意图第三步：计算——具体问题具体分析
2
(3,3)
2
3
P
y 2( x 2)2 1
(3,3) △ABP与△ABC中，保持不变的是 ∠ABC= ∠BAP ．
P
分两种情况：
①若△ ABP∽ △ BCA
2 3
②若△ ABP∽ △ BAC
P
y 2( x 2)2 1
(3,3)
3 AB 5 , BC 2
①若△ ABP∽ △ BCA ，则
BA 2 , BO 4, BC 4 2
①若△ BCD∽ △ OBA ，则
CD BC BA OB
CD BC BO AB
CD 4 2 4 2
CD 2
D1 (6,0) D2 (20,0)
②若△ BCD∽ △ ABO

中考数学考前专题复习相似三角形存在性问题

中考数学考前专题复习相似三角形存在性问题学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．如图，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点C ，连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q 在射线ED 上，若以点P 、Q 、E 为顶点的三角形与BOC 相似，请直接写出点P 的坐标．2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A，B，其中点A（﹣1，0），交y轴于点C（0，2），对称轴交x轴于点M（3 2，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)作点C关于点M的对称点D，顺次连接A，C，B，D，判断四边形ACBD的形状，并说明理由；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，已知A（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为P．(1)求点B的坐标及抛物线的表达式；(2)对称轴与线段BC的交点为Q，将线段PQ绕点Q，按顺时针方向旋转120°，请判断旋转后点P的对应点P′是否还在抛物线上，并说明理由；(3)在x轴上是否存在点M，使△MOC与△BCP相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M的坐标（不必书写求解过程）．4．如图1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B （3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），顶点为D，对称轴交x轴于点E．(1)求该二次函数的解析式；(2)设M为该抛物线上直线BC下方一点，是否存在点M，使四边形CMBE面积最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接CE（如图2），设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ△x 轴，垂足为Q．连接PE，请求出当△PQE与△COE相似时点P的坐标．5．如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B，与y轴交于点C （0，3）．(1)求此抛物线的解析式及点B的坐标；(2)设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC．△求证：△AOC△△DCB；△在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；参考答案：1．（1）223y x x =--+；（2）12(12,2),(2,3)P P ---【解析】【分析】（1）根据抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），即可得到关于a 、b 的方程，从而可以求得a 、b 的值，然后即可写出抛物线的解析式；（2）根据（1）中抛物线的解析式，设点P 的坐标，然后再根据BOC 是等腰直角三角形，得出PQE 是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解．【详解】解：（1）△抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0）， △309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩ 解得12a b =-⎧⎨=-⎩△此抛物线的解析式为：223y x x =--+（2）当0x =时，3y =，所以，OB =OC =3，△BOC 是等腰直角三角形，以点P 、Q 、E 为顶点的三角形与BOC 相似，△PQE 是等腰直角三角形，设点P 的坐标为2(23)m m m --+，，抛物线的对称轴为直线21221b x a -=-=-=--⨯，设BC 的解析式为y kx n =+，将B （﹣3，0），C （0，3）代入得，303k n n -+=⎧⎨=⎩，解得，13k n =⎧⎨=⎩，故BC 的解析式为3y x ，把1x =-代入得，2y =，则E 点坐标为(12)-，，如图，当E 为直角顶点时，2232m m --+=，解得，112m =--，212m =-+（舍去），把112m =--代入得，2232m m --+=，则P 点坐标为(12,2)--，当Q为直角顶点时，PQ=QE，即22321m m m--+-=--，解得12m=-，2m=（舍去），把12m=-代入得，2233m m--+=，则P点坐标为(2,3)-；当P为直角顶点时，作PM△EQ于M，PM=ME，即22321m m m--+-=--，解得12m=-，2m=（舍去），则P点坐标为(2,3)-；综上，P点坐标为(12,2)--或(2,3)-．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程．2．(1)y 12=-x 232+x ＋2 (2)矩形，理由见解析(3)存在，（32，54）或（32，54-）或（32，5）或（32，﹣5）【解析】【分析】(1)根据对称轴上的M 点坐标得出B 点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)根据对角线互相平分得出四边形ABCD 是平行四边形，再利用勾股定理证其中一个角是直角即可得出四边形ABCD 是矩形；(3)过点D 作DE △x 轴于E ，得出D 点坐标，分别求出BD ，AD ，AB ，BM ，分情况利用线段比例关系求出PM 的长度，即可确定P 点的坐标．(1)解：△抛物线对称轴交x 轴于点M （32，0），且A （﹣1，0）， △B （4，0），又△C （0，2）， △001642a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， △抛物线的解析式为：y 12=-x 232+x ＋2； (2)解：四边形ABCD 为矩形，理由如下：△点M 是AB 的中点，也为CD 的中点，△四边形ABCD 是平行四边形，又△AC 22125=+=，BC 224220=+=，AB =5，△AC 2＋BC 2=AB 2，△△ACB =90°，△四边形ABCD 是矩形；(3)解：由题知，抛物线的对称轴为直线x32=，过点D作DE△x轴于点E，△四边形ABCD是矩形，△，∥AC BD AC BD=，△OAC EBD∠=，△DE△x，OC AB⊥，△90AOC BED∠=∠=︒，△()AOC BED AAS≌，△DE=OC，AO=BE，△OC=2，AO=1，△DE=OC=2，AO=BE=1，△OE=5-1-1=3，△OM=ME32=，△D（3，﹣2），又△BD22(43)25=-+=，AD22(13)2=--+=25，AB=5，BM52=，△BDA=90°，且点P在对称轴上，△△BMP=90°，即△BDA=△BMP=90°，当PM BDBM AD=时，△BMP△△ABD，即55252PM=，解得PM54=，则P（32，54）或（32，54-），当BM BDPM AD=时，△BPM△△ABD，即55225PM=，解得PM=5，则P'（32，5）或（32，﹣5），综上，符合条件的P点坐标为（32，54）或（32，54-）或（32，5）或（32，﹣5）．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．3．(1)B（﹣3，0）；y＝﹣x2﹣2x＋3(2)在抛物线上，理由见解析(3)存在，（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）【解析】【分析】（1）构建方程组求解即可；（2）如图1中，过点P'作P'H△PQ于H．求出点P'的坐标，即可判断；（3）首先证明△PCB=90°，由PC : BC=1 : 3，推出OM : OC=1 : 3或OC: OM=1 : 3，推出OM= 1或9，由此即可解决问题．(1)解：△A、B是关于直线x＝﹣1对称的两点，点A的坐标为（1，0），△B（﹣3，0）；将A、B两点坐标代入y＝ax2＋bx＋3，可得：03 0933a ba b=++⎧⎨=-+⎩；解得12 ab=-⎧⎨=-⎩△抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x＋3(2)解：点P′在抛物线上，理由如下：△点P为抛物线顶点，直线x＝﹣1为抛物线的对称轴，△点P的横坐标为﹣1，纵坐标为y＝﹣x2﹣2x＋3＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）＋3＝4，△点P的坐标为（﹣1，4），设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B、C的值代入可得3003bk b=+⎧⎨=-+⎩；解得13kb=⎧⎨=⎩，△BC与对称轴交于点Q，△当x＝﹣1，y＝x＋3＝﹣1＋3＝2，△点Q的坐标为（﹣1，2），△PQ＝4﹣2＝2，△P'是点P绕点Q顺时针旋转120°得到的，△P'Q＝PQ＝2，过P'作P'H平行于x轴，P'H交抛物线对称轴于点H，如图：△在Rt△QHP'中，△P'QH＝180°﹣120°＝60°，P'Q＝2，△QH＝1，HP′3=，△点P'横坐标为点H横坐标加HP'，即：13-+，点P'纵坐标为点Q纵坐标减HQ，即：2﹣1＝1，即P'（13-+，1）．将P'的横坐标值代入y＝﹣x2﹣2x＋3，y＝﹣（﹣1+3）2﹣2×（﹣1+3）＋3＝1，△P'的坐标符合抛物线表达式，△P'在抛物线上．(3)解：存在，点M坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）．理由如下：△BP2＝[﹣3﹣（﹣1）]2＋（0﹣4）2＝20，PC2＝（﹣1﹣0）2＋（4﹣3）2＝2，BC2＝（﹣3﹣0）2＋（0﹣3）2＝18，20＝18＋2，△BP2＝PC2＋BC2，△△BCP是直角三角形，△BCP＝90°，32BC=，2PC=，△M是x轴上一点，△COM＝90°，若△OCM＝△CBP，则△OCM△△CBP，△3232OC CBOM CP===，此时，点M坐标为（1，0）或（﹣1，0），若△OCM＝△CPB，则△OCM△△CPB，△21332OC CPOM CB===，此时，点M坐标为（9，0）或（﹣9，0）△综上，点M存在，点M坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理及相似三角形的性质及图形的变换的性质，运用分类讨论的思想是解题的关键．4．(1)y23=x243-x﹣2(2)存在，M（32，52-）(3)（5，8）或（2，﹣2）或（94，138-）【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x＋1）（x﹣3），将点C（0，﹣2）代入解析式即可求出抛物线的解析式，（2）先求出直线BC的直线解析式为y23=x﹣2，然后过M点作x轴的垂线交直线BC于点N，设M（m，23m243-m﹣2），则N（m，23m﹣2），进而得出S四边形CMBE＝S△BCE＋S△BMC＝﹣（m32-）2174+，从而得出当m32=时，S四边形CMBE有最大值，将m32=代入抛物线即可求出答案；（3）设P（m，23m243-m﹣2）（m＞1），得出PQ＝|23m243-m﹣2|，EQ＝m﹣1，分两种情况讨论求解，△若△COE△△PQE，△若△COE△△EQP，然后利用相似三角形的对应边成比例构造方程即可求出点P的坐标．(1)解：设抛物线解析式为y ＝a （x ＋1）（x ﹣3），将点C （0，﹣2）代入，得：﹣3a ＝﹣2，解得a 23=， △抛物线解析式为y 23=x 243-x ﹣2； (2)解：存在点M 使四边形CMBE 面积最大，理由如下：△y 23=x 243-x ﹣223=（x ﹣1）283-，对称轴交x 轴于点E ． △E （1，0），设BC 的直线解析式为y ＝kx ＋b ，△302k b b +=⎧⎨=-⎩，△223b k =-⎧⎪⎨=⎪⎩， △y 23=x ﹣2，如图1，过M 点作x 轴的垂线交直线BC 于点N ，设M （m ，23m 243-m ﹣2），则N （m ，23m ﹣2）， △MN 23=-m 2＋2m ， △S 四边形CMBE ＝S △BCE ＋S △BMC12=⨯2×212+⨯3×（23-m 2＋2m ）＝2＋（﹣m 2＋3m ）＝﹣（m 32-）2174+， △当m 32=时，S 四边形CMBE 有最大值， △32m =时，222423435223332322y x x ⎛⎫=--=⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭， △M （32，52-）； (3)△C （0，﹣2），E （1，0），△OC ＝2，OE ＝1，设P （m ，23m 243-m ﹣2）（m ＞1），则PQ ＝|23m 243-m ﹣2|，EQ ＝m ﹣1， △若△COE △△PQE ，则OC QP OE QE =，即22423321m m m --=-， △22423321m m m --=-或24223321m m m +-=- 解得m ＝0（舍）或m ＝5或m ＝2或m ＝﹣3（舍），此时点P 坐标为（5，8）或（2，﹣2）； △若△COE △△EQP ，则OC QE OE QP =，即21224133m m m -=--， △21224133m m m -=--或21242133m m m -=+- 解得m ＝3（舍去）或m ＝14-（舍）或m ＝﹣1（舍）或m ＝94， △m ＞1，△此时点P 的坐标为（94，138-）；综上所述，点P 的坐标为（5，8）或（2，﹣2）或（94，138-）．【点睛】本题主要考查了是二次函数的性质，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键．5．（1）（3，0）；（2）△见解析，△存在，P 1（9，0）或P 2（0，13-）【解析】【分析】（1）由C （0，3）得出抛物线解析式为y=-x 2+bx+3，将点A 的横纵坐标代入解析式求出b ，令y =0，解出x 即可得点B 的坐标；（2）△作DE △y 轴交于点E ，根据二次函数解析式可得出点D 坐标，可求出△OCB =△DCE =45°，则△DCB =△AOC =90°，由勾股定理求出CD 、BC 的长度，可得CD OA BC OC=，即可证明△AOC △△DCB ；△分以C 为顶点的角是90°时和以A 为顶点的角是90°时两种情况讨论，根据相似三角形的性质分别求出点P 的坐标即可.【详解】解：（1）△C （0，3），△抛物线解析式为y=-x 2+bx+3，△A （-1，0），△-1-b +3=0，解得b =2.△抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3，令y =0，则-x 2+2x +3=0，解得：x 1=-1，x 2=3，△点B 的坐标是（3，0）.（2）△作DE △y 轴交于点E ， △抛物线解析式为y=-x 2+2x+3=-（x -1）2+4，A （-1，0），B （3，0），C （0，3）， △顶点D （1，4），OA =1，OC =OB =3，△△OCB =45°，DE =1，EO =4，△EC =1，△△DCE =45°，△△DCB =△AOC =90°，由勾股定理求得：CD =2211+=2，BC =2233+=32，△21332CD OA BC OC===， △△AOC △△DCB ．△存在，符合条件的点P有两个：P1（9，0）或P2（0，13-）.当以C为顶点的角是90°时，△△AOC△△DCB，△△CAP=△CDB，△△ACP=△DCB=90°，△△PCA△△BCD，△△DBC=△APC，△△BCD=△POC=90°，△△BCD△△POC，△CD BC OC OP=，△CDBC=OCOP=13,△OP=9，△P（9，0）；当以A为顶点的角是90°时，△CAP=△BCD=90°，△△AOC△△DCB，△△ACP=△CBD，△△PCA△△BCD，△△APC=△CDB，△△DCB=△POA=90°，△△DCB△△POA，△CD BC OP OA=，△13 OP CDOA BC==，△OP=13，△P（0，13 -）.综上所述：存在符合条件的点P有两个：P1（9，0）或P2（0，13 -）.【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及二次函数的性质是解题关键．。

2020中考数学冲刺满分班专题03 相似三角形的存在性问题(解析版)

玩转压轴题，争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品专题三相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MB MC -的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）215322y x x =++；（2）点M 的坐标为（52-，12-）时，MB MC -2；（3）存在点(1,6)P ．【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据三角形的三边关系可知：当点B 、C 、M 三点共线时，可使MB MC -的值最大，据此求解即可；（3）先求得90ACB ∠=︒，再过点P 作PQ PA ⊥于点P ，过点P 作PG y ⊥轴于点G ，如图，这样就把以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似问题转化为以A ，P ，G 为顶点的三角形与ABC ∆相似的问题，再分当13PG BC AG AC ==时与3PG AC AG BC ==时两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）将(0,3)A ，(3,0)C -代入212y x bx c =++得：39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++；（2）解方程组：215322132y x x y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得1103x y =⎧⎨=⎩，2241x y =-⎧⎨=⎩， ∵(0,3)A ，∴(4,1)B -当点B 、C 、M 三点不共线时，根据三角形三边关系得MB MC BC -<，当点B 、C 、M 三点共线时，MB MC BC -=，∴当点B 、C 、M 三点共线时，MB MC -取最大值，即为BC 的长，如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，则在Rt BEC ∆中，由勾股定理得：222BC BE CE =+=，∴MB MC -取最大值为2；易求得直线BC 的解析式为：y =－x －3，抛物线的对称轴是直线52x =-，当52x =-时，12y ，∴点M 的坐标为（52-，12-）； ∴点M 的坐标为（52-，12-）时，MB MC -取最大值为2；（3）存在点P ，使得以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似．设点P 坐标为215,3(0)22x x x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，在Rt BEC ∆中，∵1BE CE ==，∴45BCE ∠=︒，在Rt ACO ∆中，∵3AO CO ==，∴45ACO ∠=︒，∴180454590ACB ∠=︒-︒-︒=︒，AC =过点P 作PQ PA ⊥于点P ，过点P 作PG y ⊥轴于点G ，如图，∵90PGA APQ ∠=∠=︒，PAG QAP ∠=∠，∴PGA ∆∽QPA ∆，∵90PGA ACB ∠=∠=︒，∴①当13PG BC AG AC ==时，PGA ∆∽BCA ∆， ∴211533322x x x =++-，解得11x =，20x =，（舍去） ∴点P 的纵坐标为215113622⨯+⨯+=，∴点P 为(1,6)； ②当3PG AC AG BC==时，PGA ∆∽ACB ∆， ∴23153322x x x =++-，解得1133x =-（舍去），20x =（舍去）， ∴此时无符合条件的点P ；综上所述，存在点(1,6)P ．【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，主要考查待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、两函数的交点和线段差的最值等问题，其中（1）题是基础题型，（2）题的求解需运用三角形的三边关系，（3）题要注意分类求解，避免遗漏，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法．【举一反三】（2019·海南模拟）抛物线y=ax 2+bx+3经过点A （1，0）和点B （5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x =+ 相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ．①连结PC 、PD ，如图1，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似?若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2318355y x x =-+；（2）① 102940；② 存在，（（2，95）或（349，5527-）．【解析】【详解】试题分析：（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P 点坐标，则可表示出M 、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C 、D 的坐标，过C 、D 作PN 的垂线，可用t 表示出△PCD 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；②当△CNQ 与△PBM 相似时有PQ PM CQ BM= 或NQ BM CQ PM =两种情况，利用P 点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．试题解析：（1）∵抛物线23y ax bx =++经过点A （1，0）和点B （5，0）， ∴3025530a b a b ++=⎧⎨++=⎩ ，解得35185a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴该抛物线对应的函数解析式为2318355y x x =-+ ；（2）①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，∴可设P （t ，2318355t t -+）（1＜t ＜5）， ∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ， ∴M （t ，0），N （t ，335t +）， ∴22331837147335555220PN t t t t ⎛⎫⎛⎫=+--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 联立直线CD 与抛物线解析式可得2335318355y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩ 或7365x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴C （0，3），D （7，365），分别过C 、D 作直线PN 的直线，垂足分别为E 、F ，如图1，则CE=t ，DF=7﹣t ，∴11772222PCD PCN PDN S S S PN CE PN DF PN =+=+== 22371472171029522010240t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ∴当72t =时，△PCD 的面积有最大值，最大值为102940； ②存在．∵∠CQN=∠PMB=90°，∴当△CNQ 与△PBM 相似时，有PQ PM CQ BM = 或NQ BM CQ PM =两种情况， ∵CQ ⊥PM ，垂足为Q ，∴Q （t ，3），且C （0，3），N （t ，335t + ），∴CQ=t ，333355Q t N t +-==， ∴35CQ NQ = ， ∵P （t ，2318355t t -+），M （t ，0），B （5，0）， ∴BM=5﹣t ，223183180335555PM t t t t ⎛⎫=--+=-- ⎪⎝+⎭，当PQ PM CQ BM =时，则35PM BM =，即()2318335555t t t --=+-，解得t=2或t=5（舍去），此时P （2，95 ）；当NQ BM CQ PM =时，则35BM PM =，即2318355355t t t ⎛⎫-=+ ⎪⎝-⎭-，解得349t =或5t =（舍去），此时P （349，5527-）；综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为P （2，95）或（349，5527-）．类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点.(1)求AD 的长及抛物线的解析式；(2)一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？(3)点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【解析】（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD 全等，首先在Rt △CEO 中求出OE 的长，进而可得到AE 的长；在Rt △AED 中，AD=AB-BD 、ED=BD ，利用勾股定理可求出AD 的长．进一步能确定D 点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t 的值；（3）由于以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论：①EC 做平行四边形的对角线，那么EC 、MN 必互相平分，由于EC 的中点正好在抛物线对称轴上，所以M 点一定是抛物线的顶点；②EC 做平行四边形的边，那么EC 、MN 平行且相等，首先设出点N 的坐标，然后结合E 、C 的横、纵坐标差表示出M 点坐标，再将点M 代入抛物线的解析式中，即可确定M 、N 的坐标．试题解析：（1）∵四边形ABCO 为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10，由题意，得△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD ，由勾股定理易得EO=6，∴AE=10﹣6=4，设AD=x ，则BD=ED=8﹣x ，由勾股定理，得()22248x x +=﹣ ，解得，x=3，∴AD=3，∵抛物线2y ax bx c =++过点D （3, 10），C （8, 0），O （0, 0）， ∴9310{ 6480a b a b +=+=，解得 23{163a b =-=， ∴抛物线的解析式为： 221633y x x =-+；（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5，而CQ=t ，EP=2t ，∴PC=10﹣2t ，当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴CQ CP AE DE =，即 10245t t -=，解得4013t =，当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC， ∴PC CQ AE DE =，即 10245t t -=，解得257t =， ∴当4013t =或257t =时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似；（3）假设存在符合条件的M 、N 点，分两种情况讨论：①EC 为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC 中点，若四边形MENC 是平行四边形，那么M 点必为抛物线顶点；则： 3243M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN 必被EC 中点（4，3）平分，则1443N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； ②EC 为平行四边形的边，则EC//MN ，EC =MN ，设N （4，m ），则M （4﹣8，m+6）或M （4+8，m ﹣6）；将M （﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时 N （4，﹣38）、M （﹣4，﹣32）；将M （12，m ﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N （4，﹣26）、M （12，﹣32）；综上，存在符合条件的M 、N 点，且它们的坐标为：①()1432M --，， ()1438N -，； ②()21232M -，， 2(426N -，）； ③33243M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 31443N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解．【举一反三】（2019·湖南模拟）如图，已知直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y=-x 2+bx+c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB上，从点A 出发，向点B 个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ 时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）t=1或t=32；（3）点F的坐标为（2，3）．（4）94．【解析】【详解】试题分析：（1）先由直线AB的解析式为y=-x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则2t，PA=3-t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可；（3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标；（4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t2，然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值．试题解析：（1）∵y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），将A（3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得930{3b cc-++==，解得2{3bc==∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，∴∠QAP=45°．如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则2t，PA=3-t．在Rt△PQA中，22QAPA=，即：2232tt=-，解得：t=1；如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则2t，PA=3-t．在Rt△PQA中，22PAQA=222t=，解得：t=32．综上所述，当t=1或t=32时，△PQA是直角三角形；（3）如图③所示：设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2．∵EP∥FQ，EF∥PQ，∴EP=FQ．即：3-t=3t-t2．解得：t1=1，t2=3（舍去）．将t=1代入F（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），得点F的坐标为（2，3）．（4）如图④所示：设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t2．∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴点M的坐标为（1，4）．∴22112+=当△BOP∽△QBM时，MB BQOP OB=2(3)2t-=，整理得：t2-3t+3=0，△=32-4×1×3＜0，无解：当△BOP ∽△MBQ 时，BM BQ OB OP =即：2(3)2t -=，解得t=94． ∴当t=94时，以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似．类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2019·江苏中考真题）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =②92155n <<. 【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，275），可求DA=52，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，5PQ 与AB 不平行时，5②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，5DN=245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =，9(2,)5C ∴，由已知可求5(,0)2A -，点A 关于2x =对称点为13(,0)2，则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，(5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，2DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQDAB ∆∆， DACDPN ∆∆， DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆，DNQ DCA ∴∆∆，DP DN DB DC∴=，DP ∴=综上所述DP =②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DN DA DC∴=， 245DN ∴=，21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<；故答案为92155n <<；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．【举一反三】（2018武汉中考）抛物线L ：y=﹣x 2+bx+c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B ．（1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx ﹣k+4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣x 2+2x+1；（2）-3；（3）当m=2﹣1时，点P 的坐标为（0，）和（0，）；当m=2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）．【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A （0，1）利用待定系数法进行求解可即得；（2）根据直线y=kx ﹣k+4=k （x ﹣1）+4知直线所过定点G 坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S △BMN =S △BNG ﹣S △BMG =BG•x N ﹣BG•x M =1得出x N ﹣x M =1，联立直线和抛物线解析式求得x=，根据x N ﹣x M =1列出关于k 的方程，解之可得；（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．【详解】（1）由题意知，解得：，∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；（2）如图1，设M点的横坐标为x M，N点的横坐标为x N，∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，∴点B（1，2），则BG=2，∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG•（x N﹣1）-BG•（x M-1）=1，∴x N﹣x M=1，由得：x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，解得：x==，则x N=、x M=，由x N﹣x M=1得=1，∴k=±3，∵k＜0，∴k=﹣3；（3）如图2，设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），设P（0，t），（a）当△PCD∽△FOP时，，∴，∴t2﹣（1+m）t+2=0①；(b)当△PCD∽△POF时，，∴，∴t=（m+1）②；（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，△=（1+m）2﹣8=0，解得：m=2﹣1（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根t1=t2=，方程②有一个实数根t=，∴m=2﹣1，此时点P的坐标为（0，）和（0，）；（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0，解得：m=2（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根t 1=1、t 2=2，方程②有一个实数根t=1，∴m=2，此时点P 的坐标为（0，1）和（0，2）；综上，当m=2﹣1时，点P 的坐标为（0，）和（0，）；当m=2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）．【新题训练】1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C 1：y ＝﹣1m（x +2）（x ﹣m ）（m ＞0）与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点E ．（1）求点B 、点C 的坐标；（2）当△BCE 的面积为6时，若点G 的坐标为（0，b ），在抛物线C 1的对称轴上是否存在点H ，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H 的坐标（用含b 的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点B 、C 的坐标分别为：（﹣2，0）、（m ，0）；（2）存在，点H （1，34b ）；（3）存在，m ＝222+【详解】解：（1）()()()120y x x m m m=-+->，令y ＝0，则x ＝﹣2或m ，故点B 、C 的坐标分别为：（﹣2，0）、（m ，0）；（2）存在，理由：()()12y x x m m=-+-，令x ＝0，则y ＝2，故点E （0，2）， △BCE 的面积为：()1122622BC OE m ⨯⨯=+⨯= ，解得：m ＝4，则抛物线的对称轴为： ()12412x =-+= ，点B 关于函数对称轴的对称点为点C （m ，0），连接CE 交对称轴于点H ，则点H 为所求，将点C 、E 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CE 的表达式为： 14y bx b =-+ ，当x ＝1时,34y b = ，故点H （1，34b ）；（3）∵OE ＝OB ＝2，故∠EBO ＝45°，过点F 作FT ⊥x 轴于点F ；①当△BEC ∽△BCF 时，则BC 2＝BE •BF ，∠FBO ＝EBO ＝45°，则直线BF 的函数表达式为：y ＝﹣x ﹣2，故点F （x ，﹣x ﹣2）；将点F 的坐标代入抛物线表达式得： ()()122x x x m m --=-+- 解得：x ＝﹣2（舍去）或2m ，故点F （2m ，﹣2m ﹣2），则)221,22BF m BE =+=∵BC 2＝BE •BF ，则()()2222221m m +=+ 解得： 222m =±（舍去负值），故2m =②当△BEC ∽△FCB 时，则BC 2＝BF •EC ，∠CBF ＝∠ECO ，则△BFT ∽△COE ，则2TF EO BT CO m == ，则点()2,2F x x m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦将点F 的坐标代入抛物线表达式得： ()()()2122x x x m m m -+=-+- 解得：x ＝﹣2（舍去）或m +2；则点()22,4F m m m ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦BC 2＝BF •EC ，则()()()2222242222m m m m m +⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭ 化简得：m 3+4m 2+4m ＝m 3+4m 2+4m +16，此方程无解；综上，m ＝222+．2．（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似？（3）点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）212(2)33y x =-+；（2）1t =或52t =时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似；（3）存在，四边形MDEN 是平行四边形时，1(2,1)M ，1(4,2)N ；四边形MNDE 是平行四边形时，2(2,3)M ，2(0,2)N ；四边形NDME 是平行四边形时，322,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，312,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】解：（1）过点E 作EG x ⊥轴于G 点.∵四边形OABC 是边长为2的正方形，D 是OA 的中点，∴2OA OC ==，1OD =，90AOC DGE ∠=∠=︒.∵90CDE ∠=︒，∴90ODC GDE ∠+∠=︒.∵90ODC OCD ∠+∠=︒，∴OCD GDE ∠=∠.在OCD ∆和GED ∆中COD DGE OCD GDE DC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ODC GED AAS ∆∆≌，1EG OD ==，2DG OC ==.∴点E 的坐标为(3,1). ∵抛物线的对称轴为直线AB 即直线2x =，∴可设抛物线的解析式为2(2)y a x k =-+，将C 、E 点的坐标代入解析式，得421a k a k +=⎧⎨+=⎩，解得1323a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴抛物线的解析式为212(2)33y x =-+；（2）①若DFP COD ∆∆∽，则PDF DCO ∠=∠，//PD OC ，∴90PDO OCP AOC ∠=∠=∠=︒，∴四边形PDOC 是矩形，∴1PC OD ==，∴1t =；②若PFD COD ∆∆∽，则PDF DCO ∠=∠， ∴PD DF CD OD =. ∴9090PCF DCO DPF PDF ∠=︒-∠=-∠=∠. ∴PC PD =，∴12DF CD =. ∵22222215CD OD OC =+=+=，∴5CD =，∴5DF =. ∵PD DF CD OD =， ∴5552PC PD ==⨯=，52t =，综上所述：1t =或52t =时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似：（3）存在，①若以DE 为平行四边形的对角线，如图2，此时，N 点就是抛物线的顶点（2，23），由N 、E 两点坐标可求得直线NE 的解析式为：y ＝13x ； ∵DM ∥EN ， ∴设DM 的解析式为：y ＝13x ＋b ，将D （1，0）代入可求得b ＝−13， ∴DM 的解析式为：y ＝13x−13，令x ＝2，则y ＝13， ∴M （2，13）； ②过点C 作CM ∥DE 交抛物线对称轴于点M ，连接ME ，如图3，∵CM ∥DE ，DE ⊥CD ，∴CM ⊥CD ，∵OC ⊥CB ，∴∠OCD ＝∠BCM ，在△OCD 和△BCM 中BCM OCD CBM COD CO CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OCD ≌△BCM （ASA ），∴CM ＝CD ＝DE ，BM ＝OD ＝1，∴CDEM 是平行四边形，即N 点与C 占重合，∴N （0，2），M （2，3）；③N 点在抛物线对称轴右侧，MN ∥DE ，如图4，作NG ⊥BA 于点G ，延长DM 交BN 于点H ，∵MNED 是平行四边形，∴∠MDE ＝MNE ，∠ENH ＝∠DHB ，∵BN ∥DF ，∴∠ADH ＝∠DHB ＝∠ENH ，∴∠MNB ＝∠EDF ，在△BMN 和△FED 中MBN EFD BNM FDE MN DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△BMN ≌△FED （AAS ），∴BM ＝EF ＝1，BN ＝DF ＝2，∴M （2，1），N （4，2）；综上所述，四边形MDEN 是平行四边形时，1(2,1)M ，1(4,2)N ；四边形MNDE 是平行四边形时，2(2,3)M ，2(0,2)N ；四边形NDME 是平行四边形时，322,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，312,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 3．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，﹣83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AE AB 的值．（3）点C 关于x 轴的对称点为H ，5FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224233y x x =--；（2）E （﹣15，﹣85）5；（3）（1133+1133-）或Q（1，2）或Q（1，﹣32）．【详解】（1）由题可列方程组：2823ca a c=-⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：232ac⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线解析式为：y＝23x2﹣43x﹣2；（2）由题意和勾股定理得，∠AOC＝90°，AC＝5，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则k b0b2-+=⎧⎨=-⎩，解得：22kb=-⎧⎨=-⎩，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时AOCAEBSS△△＝（ACAB）252＝516，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝165，∴12AB×|y E|＝165，AB＝4，则y E＝﹣85，则点E（﹣15，﹣85）；由△AOC∽△AEB得：5AO AEAC AB==∴AE5 AB5=；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CFsin∠FCG＝5 CF，∴5CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3×12＝32，∴当y＝﹣32时，即点F（0，﹣32），5CF+BF有最小值；①当点Q为直角顶点时（如图3）F（0，﹣32），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+32），解得：m 133±，则点Q（1133+1133-）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣32）；综上，点Q的坐标为：（1，1334+）或（1，1334-）或Q（1，2）或Q（1，﹣32）．4．（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1) 抛物线的解析式为y=13x2-2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是814，点P（92，﹣54）；(3) Q（4,1）或（-3，1）.【详解】解：(1)将A(0，1)，B(9，10)代入函数解析式得：13×81＋9b＋c＝10，c＝1，解得b＝−2，c＝1，所以抛物线的解析式y＝13x2−2x＋1；(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，∴13x2−2x＋1＝1，解得x1＝6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(6，1)，∵点A(0，1)，点B(9，10)，∴直线AB的解析式为y＝x＋1，设P(m，13m2−2m＋1)，∴E(m，m＋1)，∴PE＝m＋1−(13m2−2m＋1)＝−13m2＋3m.∵AC⊥PE，AC＝6，∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝12AC⋅EF＋12AC⋅PF＝12AC⋅(EF＋PF)＝12AC⋅EP＝12×6(−13m2＋3m)＝−m2＋9m.∵0<m<6，∴当m＝92时，四边形AECP的面积最大值是814，此时P(9524，)；(3)∵y＝13x2−2x＋1＝13(x−3)2−2，P(3，−2)，PF＝y F−y p＝3，CF＝x F−x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的点Q，设Q(t，1)且AB＝92，AC＝6，CP＝32，∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，CQ:AC＝CP:AB，(6−t):6＝32:92，解得t＝4，所以Q(4，1)；②当△CQP∽△ABC时，CQ:AB＝CP:AC，(6−t):9232:＝6，解得t＝−3，所以Q(−3，1).综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似，Q点的坐标为(4，1)或(−3，1).5．（2020·河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =--+；（2）PG=24833m m --；（3）存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似，此时m 的值为﹣1或2316-．【详解】解：（1）∵抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，4）， ∴40{34b c c -++==，解得8{34b c =-=. ∴抛物线的解析式为248433y x x =--+. （2）∵E （m ，0），B （0，4），PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，∴P （m ，248433m m --+），G （m ，4）. ∴PG=224848443333m m m m --+-=--. （3）在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似．∵248433y x x =--+，∴当y=0时，2484033x x --+=，解得x=1或﹣3.∴D（﹣3，0）．当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．设直线BD的解析式为y=kx+4，将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=4 3 .∴直线BD的解析式为y=43x+4. ∴H（m，43m+4）．分两种情况：①如果△BGP∽△DEH，那么BG GPDE EH=，即248334343m mmm m---=++.由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1.②如果△PGB∽△DEH，那么PG BGDE HE=，即248334343m m mm m---=++.由﹣3＜m＜0，解得m=2316-．综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或2316-．6．（2020·浙江初三期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2y x的对称轴为直线l，将直线l绕着点()0,2P顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB两点（点A在点B的左侧），点Q是该抛物线上一点（1）若45α∠=︒，求直线AB的函数表达式（2）若点p将线段分成2:3的两部分，求点A的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标【答案】（1）2y x =+；（2）234,3⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或()3,3-；（3）(1,2)-，(2,2)-，(13,2)--，(13,2)- 【详解】（1）如图①，设直线AB 与x 轴的交点为M ．∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M （-2，0）．设直线AB 的解析式为y=kx+b （k≠0），将M （-2，0），P （0，2）两点坐标代入，得0(202)k b k b⨯+⨯-⎩+⎧⎨＝＝，解得，12k b ⎧⎨⎩＝＝．故直线AB 的解析式为y=x+2；（2）①:2:3AP PB =设()22,4A a a -()23,9B a a （a ＞0） ∵点A 、点B 在直线y=x+2上和抛物线y=x 2的图象上，∴2422a a =-+，2932a a =+∴24212a a-=-，292=13a a - ∴22429223a a a a--=-解得，13a =，23a =-（舍去） 234,3A ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭②:3:2AP PB =设()23,9A a a -()22,4B a a （a ＞0） ∵点A 、点B 在直线y=x+2上和抛物线y=x 2的图象上，∴2932a a =-+，2422a a =+∴29213a a -=-，242=12a a- ∴22924232a a a a--=- 解得：133a =，233a =-（舍去） (3,3)A ∴-综上234,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,3-（3）45MPA ∠=︒，45QPB ∠≠︒(1,1)A -，(2,4)B①45QBP ∠=︒此时B ，Q 关于y 轴对称，PBQ ∆为等腰直角三角形1(1,2)M ∴-2(2,2)M -②45BQP ∠=︒此时()2,4Q -满足，左侧还有Q '也满足BQP BQ P '∠=∠Q '∴，B ，P ，Q 四点共圆，易得圆心为BQ 中点()0,4D设()2,Q x x '，()0x <∵Q D BD '= ()2222(0)42x x ∴-+-=()()22430x x --=0x <且不与Q 重合3x ∴=(3,3)Q '∴-，2Q P '=2Q P DQ DP ''===DPQ '∴∆为正三角形，160302PBQ '∠=⨯=︒︒ 过P 作PE BQ '⊥，则2PE Q E '==2BE =26Q B '∴=∵Q PBPMA '∆∆ ∴PQ Q B PA PM''=∴262+= 解得，13PM =+ ∴(13,2)M --∵Q PBPMA '∆∆ ∴PQ Q B PM PA''= ∴2262PM += 解得，31PM =-∴(13,2)M -综上所述，满足条件的点M 的坐标为：(1,2)-，(2,2)-，(13,2)--，(13,2)-.7．（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠PAB ＝45°．求证：△PQA ∽△ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．【答案】（1）y ＝13x 2﹣83x +5，点A 坐标为（0，5）；（2）详见解析；（372．【详解】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝13x2+mx+n，得1126+n,250=5,3mm n=+⎧⎪⎨++⎪⎩解得，m＝﹣83，n＝5，则抛物线的解析式为：y＝13x2﹣83x+5，点A坐标为（0，5）；（2）∵AC＝225552+=，BC＝22(65)12-+=，AB＝22(51)6213-+=，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，当∠P AB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y轴于点Q，∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠P AB＝135°，∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，∵∠QAP+∠QP A＝90°，∴∠QP A＝∠CAB，又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，∴k＝﹣32，∴y AB'＝﹣32x+5，联立235,218533y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得，x 1＝72，x 2＝0（舍去），则F '（72，﹣14），将B （6，1），B '（4，﹣1）代入直线y ＝mx +n ，得，61,41,k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得，1,5.k b =⎧⎨=-⎩∴y BB '＝x ﹣5，由题意知，k FF '＝K BB '，∴设y FF '＝x +b ，将点F '（72，﹣14）代入，得，b ＝﹣154， ∴y FF '＝x ﹣154，联立25,354y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得，21,43.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴F （214，32），则FF '＝2221731()()4224-++＝724．8．（2019·江苏初三期末）如图，抛物线y ＝ax 2＋5ax ＋c （a ＜0）与x 轴负半轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，D 是抛物线的顶点，过D 作DH ⊥x 轴于点H ，延长DH 交AC 于点E ，且S △ABD ：S △ACB ＝9：16，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若△DBH 与△BEH 相似，试求抛物线的解析式．【答案】(1) 4c a =;(2) 见解析.【解析】【详解】解：（1）222525525(5)()4424y a x x a c a x a c =++-+=+-+ ∴525,24D a c ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭∵C (0，c ) ∴OC =-c ，DH =254a c -+ ∵S △ABD ：S △ACB ＝9∶16 ∴25();()9:164DH a c c OC =-+-= ∴4c a = ∴254(1)(4)y ax ax a a x x =++=++ ∴ (4,0),(1,0)A B --（2）① ∵EH ∥OC ∴△AEH ∽△ACO ∴EH AH OC AO = ∴ 1.544EH a =- ∴ 1.5EH a =- ∵ 2.25DH a EH =-≠ ∵△DBH 与△BEH 相似∴∠BDH =∠EBH , 又∵∠BHD =∠BHE =90°∴△DBH ∽△BEH∴DH BH BH EH = ∴ 2.25 1.5a BH BH a-=- ∴63a =±（舍去正值） ∴265646y =9．（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；（3）点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y==x 2-4x+3；（2）AS △ACD =2；（3）①∠DFE=90°时，E 1（22）; E 2（22）；②∠EDF=90°时，E 3（1，2）、E 4（4，-1）．【详解】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 y=a （x-2）2-1，代入C （O ，3）后，得：a （0-2）2-1=3，a=1∴抛物线的解析式：y=（x-2）2-1=x 2-4x+3．（2）由（1）知，A （1，0）、B （3，0）；设直线BC 的解析式为：y=kx+3，代入点B 的坐标后，得：3k+3=0，k=-1∴直线BC ：y=-x+3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D （2，1）；∴22AG DG +2，22OC OA +10，22(31)2-+2，即：AC 2=AD 2+CD 2，△ACD 是直角三角形，且AD ⊥CD ；∴S △ACD =12AD•CD=12×2×2=2．（3）由题意知：EF ∥y 轴，则∠FED=∠OCB ，若△OCB 与△FED 相似，则有：①∠DFE=90°，即 DF ∥x 轴；将点D 纵坐标代入抛物线的解析式中，得：x 2-4x+3=1，解得 x=2±2；当2时，2；当x=2-2时，y=-x+3=1+2；∴E 1（2+2，1-2）、E 2（2-2，1+2）．②∠EDF=90°；易知，直线AD ：y=x-1，联立抛物线的解析式有：x 2-4x+3=x-1，x 2-5x+4=0，解得 x 1=1、x 2=4；当x=1时，y=-x+3=2；当x=4时，y=-x+3=-1；∴E 3（1，2）、E 4（4，-1）；综上，存在符合条件的点E ，且坐标为：（2+2，1-2）、（2-2，1+2）、（1，2）或（4，-1）．10．（2019·西安市铁一中学中考模拟）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,1)-，并且与y轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．。

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