25习题课

A5 PB5P1
21
1 0 0
1 0 0
又
B2
0 0
0 0
0 1
,
B3
0 0
0 0
01 B
B5 B
A5 PB5P1 PBP1 A
1 0 0
又P 1
2 4
1 1
0 1
1 0 0
A5
A
2 6
0 1
01
22
3. 逆矩阵的求解、证明 0 2 1 例6: 求A的逆矩阵． A 1 1 2
a
c
b d
,
得
ac
c
b
d
d
a c
a b
c
d
c 0,a d
a
X
0
b
a
,
其中a，b为实数
17
1 0 0
例2：设
A
0 3
1 0
0 3
,
求 (2E A)T (2E A)1(4E A2 ) 的行列式。
分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算
解： (2E A)T (2E A)1(4E A2 )
3 4
5t ,且AB O,则
3 5 3
t
30
3.已知A3 E,则A1
4.矩阵A
0 0
0 5
2 0
的逆
矩阵A1
8 0 0
2 1 0 0
5.
设4阶矩阵A
1 1 2
1 2 1
0 2 1
0 53
则A的逆矩阵A1
31
6. 若n阶矩阵A满足方程A2 2A 3E 0,则 A1
8( A B ) 56
19
2. 方阵的幂 1 1 1 1
例4：设
A
1 1
1 1
1 1
1
1
求
Am .
1
1
1
1
解： （递推法）
4
A2
4 4
4 E4
22 E4
4
A3 A2 A 22 A
所以，当 m 2k 时
Am A2k
A2
k
22 E4 k 22k E4 2m E4
ri r j (ci c j)
11 ri k (ci k ) ri (k)r j(ci (k)c j)
11
矩阵的等价：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,
就称矩阵A与矩阵B等价。记作 A ~ B
6. 初等矩阵
初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵： 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵
相 当 于 在A的 左 边 乘 一 个 相 应 的m阶 初 等 矩 阵 ； 对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 ，相 当 于 在A的 右 边 乘 一 个 相 应 的n阶 初 等 矩 阵 。
13
8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵
定理： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
B
.
(1)求乘积XYZ;
(2)证明: A B A D C A1 B . CD
28
解: （１）根据分块矩阵的乘法，得
XYZ
E C A1
O A E C
B D
E O
A1 E
B
A O
D
B C A1
B
E O
A1 E
B
A O
O
D
C
A1
B
.
（２）由（１）可得
A XYZ
O
O D C A1B
A
初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
E(i, j)1 E(i, j)
E(i(k ))1 E(i( 1 ))
E (ij(k ))1
k E (ij(k ))
12
7. 初等矩阵与初等变换的关系：
初等变换
初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
定理：设A是m n矩 阵 ， 对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 ，
D C A1B ,
又 XYZ X Y Z 1 Y 1 Y A
B ,
CD
A B A D C A1 B .
CD
29
三.测试题
一、填空题(每小题4分，共32分)． 1. 设A为n阶方阵, A为其伴随矩阵,det A 1 ,则
3
det
1 4
A
1
15
A
2.
设3阶方阵A
O,
B
1 2
s
其中 cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj k 1 (i 1,2, ,m; j 1,2, n)
4
乘法满足 ( AB)C A(BC );
( AB) (A)B A(B), (其中为数);
A(B C ) AB AC , (B C )A BA CA; E m Amn Amn Amn E n .
a m
1
a m2
a mn
实矩阵: 元素是实数
复矩阵： 元素是复数
2
一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵
2. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）
加法满足
1 交换律：A B B A.
推论2：如果对可逆矩阵 A 和同阶单位矩阵 E 作同样的初等 行变换，那么当 A 变成单位矩阵 E 时，E 就变成 A1。
14
要求可逆矩阵A的逆矩阵, 只需对分块矩阵
( A E)施行初等行变换,当把A变成E时,原来的E就 变成了 A1 .
或者对分块矩阵
A E
施行初等列变换,当把A
变成E时,原来的E就变成了A1 .
o 0
X 21 X 22 X 11
A1 o 0
0
B
A1 0
O
A1
B1
O
.
Bs X12 Es X12 B1
27
例10: 设A, B,C , D都是n阶方阵, A是非奇异的,
E是n阶 单 位 阵, 并 且
X
E C A1
O , E
Y A C
B , D
Z
E O
A1 E
)
XT
(
AT
1
)
BT
X B A1
16
1. 矩阵的基本运算
二. 典型例题
Leabharlann Baidu
2. 方阵的幂 3. 逆矩阵的求解、证明
1. 矩阵的基本运算
4. 矩阵方程 5. 矩阵的分块运算
例1：设矩阵
A
1 0
1 1 , 求与A可交换的所有矩阵。
分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求
解：设所求矩阵为 X 由 AX XA,
幂等矩阵： A为n阶方阵，且 A2 A 7
伴随矩阵：行列式 A 的各个元素的代数余子式
构成的如下矩阵
Aij 所
A11
A
A12
A1n
A21 A22
An1 An2
A2n Ann
AA A A A E.
8
3. 逆矩阵 定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 AB BA E
(
A)1
1
A1(
0)
A1 A 1
逆矩阵求法：（1）待定系数法 （2）伴随矩阵法 （3）初等变换法
4. 分块矩阵
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．
10
5. 初等变换
对换变换、倍乘变换、倍加变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换．
初 等 变 换逆
变
换
ri r j (ci c j) ri k(ci k) ri k r j(ci k c j)
即， A, E 初等行变换 E，A1
A E
初等列 变换
E A1
15
9. 解矩阵方程的初等变换法 (1)AX B
初等行变换
( A B) ~ (E A1 B) X A1 B
(2)XA B
~
A B
初等列变换 E
B
A1
X
BA1
或者
~ ( AT
初等行变换
BT )
(E
(
AT
1
)
BT
其中 , , 2 , 3 , 4 均为 4 维列向量，且已知行列式
A 4, B 3, 求行列式 A B .
分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求
解： A B ,2 2,2 3,2 4 8 , 2, 3, 4 8( , 2, 3, 4 , 2, 3, 4 )
矩阵乘法不满足：交换律、消去律
5
方阵的幂： A是n 阶方阵， Ak AAA
并且
k个
Am Ak Amk
Am k Amk （m,k为正整数）
方阵的多项式：
f (x)
ak x k
a x k 1
k 1
a1 x a0
f
( A)
ak Ak
a A k 1
k 1
a1 A
a0 E
方阵的行列式：
满足: 1 AT A;
1 1 1
0 2 1 1 0 0
解：(
A
E
)
1 1
1 1
2 1
0 0
1 0
0 1
r1r 2 1
1
2
0
1
0
r
3
r
1
1
1
2
0 1 0
~ 0 2 1 1 0 0 ~ 0 2 1 1 0 0
1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1
r
2
r
3
1
1
2
0
1
0
r
(
1
2
)r
3
1
1
设
A
1
1
0,且AX A 2X ,求矩阵X .
0 1 4
（用初等变换法）
解： AX A 2X , ( A 2E)X A,
1 0 1 3 0 1
由于 A 2E
A
1 0
1 1
0 2
1 0
1 1
0 4
初等行变换 1
~ 0
0
0 1 0
0 0 1
5 4 2
2 3 2
2 2, 3
5 X 4
注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系， 例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解 此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘， 因为矩阵乘法不满足交换律。
矩阵方程
AX B XA B AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1C B1
25
3 0 1
例8:
2
2 3 2
2 2. 3
26
5. 矩阵的分块运算
例9：
设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求
0
B
A 1
O
.
解：设所求逆矩阵为
X11
X
21
X X
12 22
,
则
0
Bs
An X11
0
X 21
X 12 X 22
En 0
0
E
s
An X 21 En
An Bs
X 22 X 11
则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的） 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
判定定理: n阶方阵A可逆 A 0 且 A1 1 A A
推论：设A、B为同阶方阵，若 AB E, 则A、B都可逆，且 A1 B，B1 A
9
满足规律： ( A )1 1 A, ( AT )1 ( A1)T,
(2E A)T (2E A)1(2E A)(2E A)
(2E A)T (2E A) (2E A)T (2E A)
3 0 02
(2E A) 2 0 3 0 2025
3 0 5
18
例3：设 4 阶方阵 A , 2 , 3 , 4 , B , 2 , 3 , 4 ,
2 结合律：A B C A B C . 3 A 0 A,其中A与O是同型矩阵. 4 A A O.
3
数与矩阵相乘：数 与矩阵 A的乘积记作 A 或 A ，规定为 A A (aij )
数乘满足 ()A (A); ( )A A A; ( A B) A B.
矩阵与矩阵相乘：设 A (aij)ms, B (bij)sn, 规定 AB C (cij)mn,
0
0
1
2
~ 0 2 0 1 1 1 ~ 0 2 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
0 0 1 0 1 1
23
r
1 22
1
1
0
0
1 2
~ 0 1 0 1 2 1 2 1 2
0 0 1 0 1 1
r
(
1
1)r
2
1
0
0
1 2
3 2
5 2
~ 0 1 0 1 2 1 2 1 2
0 0 1 0
当 m 2k 1 时
Am A2k1 A2k A 22k E4 A 2m1 A
20
1 0 0 1 0 0
例5：已知
求A
AP
与
A5
PB, .
B
0 0
0 0
0 1
,
P
2 2
1 1
0 1
解： P 0 P 1存在
A PBP1
A2 PBP1 PBP1 PB2P1 A3 PB2P1 PBP1 PB3P1
1
1
1 2 A1 1 2 0
3 2 12 1
5 2 1 2 . 1
注意: 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，
其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵 时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．
24
4. 矩阵方程
例7: 解矩阵方程 AX B, XA B, AXB C, 其中A, B均为可逆矩阵。
2 A n A;
3 AB A B
6
一些特殊的矩阵:
转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A .
满足：1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
对称矩阵和反对称矩阵：
A是对称矩阵 AT A A是反对称矩阵 AT A
第二章 矩阵习题课
一. 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题
1
一. 主要内容
1. 矩阵的定义
由m n个数 aij (i 1,2,,m; j 1,2,,n)
排成的m行n列的数表，
a 11
简称m n矩阵.
记作
A
a21
a 12
a22
a 1n
a2n
A a 简记为
或 A ij mn
mn