全国高中数学竞赛金牌模拟试卷(一)附答案

C

B

A x

y

O

x

y

O

O

O

x

y x

y

全国高中数学竞赛金牌模拟试卷（一）

一、选择题

1、二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为（ ）

2、已知数列{}n a 满足)(,,*1221N n a a a b a a a n n n ∈-===++。{}n n a S 是的前n 项的和，则20042004S a +等于（ ）

A 、a b +

B 、a b -

C 、a b -+

D 、a b -- 3、在12)2(++

n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（ ）

A 、13

1

2++n ； B 、123+n ； C 、12321+⨯n ； D 、)13(2

1

12++n

4、在1，2，3，4，5的排列54321,,,,a a a a a 中，满足条件,,2321a a a a <<

4543,a a a a <<的排列个数是（ ）

A 、10；

B 、12；

C 、14；

D 、16.

5、直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=

323:,3232--+=-+m mx x y C m 中至少有一条相交，则m 的取值范围

是（ ） A 、28

3

-≤≥

m m 或 B 、211-≤-≥m m 或

C 、R m ∈

D 、以上均不正确

6、若关于x 的不等式062

<--a ax x 有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的a 的最大值为a M 、最小值为a m ，则a M －a m 等于（ ）

A 、1

B 、24

C 、25

D 、26 7、R k ∈，则方程组⎩⎨

⎧=---++-=0

111618491

22

2

y x y x k kx y （ ）

A 、有且仅有一组实数解

B 、有且仅有两组不同的实数解

C 、有两组解，但不一定都是实数解

D 、由于k 为参数，以上情况均有可能出现

8、锐角△ABC 中，c b a c AB b CA a BC >>===且,,,，分别以BC ，CA ，AB 边上的高AD ，BE ，CF 为折线，将三角形折成平面角均为)0(πθθ<<的二面角，记折叠后的四面体ABCD ，ABCE ，ABCF 体积方便为321,,V V V ，则下面结论正确的是（ ） A 、321V V V >> B 、321V V V <<

C 、231V V V >>或213V V V >>

D 、321,,V V V 大小不能确定

9、有九条直线，其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为2：3的两个四边形，那么这九条直线（ ）

A 、存在这样的九条直线；没有两条过同一个点；

B 、至少有两条过同一个点；

C 、至少有三条过同一个点；

D 、至少有四条过同一个点； 10、设1)

5,4,3,2,1(0,5

1

==≥∈∑=i i

i i x

i x R x ，

则{433221,,x x x x x x x ma +++ }54,x x +的最小值等于（ ） A 、

41 B 、31 C 、61 D 、4

1

二、填空题

11、设a 为实数，集合{}{}

φ≠+---=+-=B A a a B a a a a A ,1,1,1,,,2

22，则=B A

____________________．

12、)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且)(),1()1(x f x f x f -=+在)1,0(∈x 上是增

函数，则)1.8(f 与)8.3(-f 的大小关系是____________________．

13、已知向量375a b a b +-与垂直，472a b a b --与垂直，则向量a b b -与的夹角是

____________________． 14、已知

sin(2)3sin a a β+=，且1,,(,)22k a n n k Z πβπβπ≠+≠+∈，则tan()

tan a ββ

+的值

是____________________．

15、设,,,a b c d 为已知常数，且0b c d ≥≥≥，要使

x a x a b -+-++x a b c x a b c x a b c d x a b c d -+-+-+++-+-++-++-为

常数，则x 的取值范围是____________________．

16、如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，,,AB a BC b ==1A A c =，E 为D 1C 1中点，若平面A 1BC 1与平面ACE 所成二面角的平面角为θ，则Sin θ=____________________．

17、若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]11.31,234

⎡⎤=-=-⎢⎥⎣

⎦

等

等）则2004++++⎢⎣ ＝____________________．

18、斜率为1的直线与椭圆2

2

14

y x +

=交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的点，且2AP PB =. 则P 点的轨迹方程是____________________．

19、函数)cos (sin 32sin x x x y +-=的最大值为____________________．

20、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数

是____________________．（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线。）

21、全国篮球职业联赛的某个赛季在H 队与F 队之间角逐。采取七局四胜制（无平局），即若有一队胜4场，则该队获胜并且比赛结束。设比赛双方获胜是等可能的。根据已往资料显示，每场比赛的组织者可获门票收入100万元。组织者在此赛季中，两队决出胜负后，门票收入不低于500万元的概率是____________________．

D

A

E

C B 1

c

D 1

b

C 1

A 1