全国高中数学竞赛金牌模拟试卷(一)附答案
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)模拟卷(全国高中数学联赛一试)(解析版)
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知函数()sin()f x x 是定义在R 上的偶函数，则cos(2) 的值为 ． 答案：0．解：由于()sin()f x x 是偶函数，故()2k kZ ，所以 cos(2)cos cos sin 02k k． 2．若关于z 的复系数一元二次方程2i 0()z z R 的一个根为11z =，则另一个根2z ．答案：i 12． 解：由题意得201i 1 ，解得i 12．因此12i 12i z z ，所以2i 12z ． 3．设数列{}n a 的通项公式为2[log ]n a n n ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为 ．答案：631．解：事实上，22[log ][log ]n a n n n n ．而当1n 时，2[log ]0n ；当2,3n 时，2[log ]1n ；当4,5,6,7n 时，2[log ]2n ；当8,9,,15n 时，2[log ]3n ；当16,17,,31n 时，2[log ]4n ；当32n 时，2[log ]5n ，因此{}n a 的前32项和为321232102142831645631S ．4．已知向量,a b的最小值为 ．答案：2．解：设向量,a b的夹角为 ，其中(0,) ，则． 令254()((1,1))1x f x x x ，则222(2)(21)()(1)x x f x x ．因此()f x 在11,2 单调递减，1,12单调递增，所以()f x 的最小值为142f ．2，此时1cos 2 ． 5．在梯形ABCD 中，,2260A D C A B B ，M 为CD 边点Q （异于的中点，动点P 在BC 边上，ABP 与CMP 的外接圆交于点P ），则BQ 的最小值为 ．1．解：由熟知的结论，,,ABP CMP AME 的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在AME 的外接圆上，如图所示．而AME 是直角三角形，故其外接圆半径1R AD ．在ABD中，由余弦定理，BD ，所以BQ1，此时P 在线段BC 上，且CP ．6．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，过 的右焦点F 且斜率为3的直线与 交于,A B 两点，与 的渐近线交于,C D 两点．若||5AB ，则||CD ．答案：．7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90 的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2 ，则该圆台体积的取值范围是 ．答案：．解：设圆台上底面为圆1O ，半径为1R ，下底面为圆2O ，半径为2R ，圆台母线为l ．由圆台的侧面积为2 可得21(222)π2lR R ，故212l R R ①．由侧面展开是圆心角为90 的扇形所截得的扇环，可得 11122222l R l l R，故2144l R R ②．因此圆台的高21)h R R ，圆台的体积2222121212211(()3)V R R h R R R R R R ．结合①②可得222112R R．由于210R R，故21R R．令21x R R ，则12124124x R x x R x，进而可得3134V x x ．令31()34f x x x x ，则43()304f x x ．因此()f x在 上单调递增，故()f x f ．所以V ，即圆台体积的取值范围是 ． 8．用 表示11元集合{1,2,3,,10,2024}A 的三元子集的全体．对 中任意一个三元子集{,,}()T x y z x y z ，定义()m T y ，则()T m T的值为 ．答案：990．解：不妨将集合A 视为{}1,2,3,,10,11 （这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个()()m T T 的值）．对每个T ，定义*{12|}T t t T ，则*T ，且*)12()(T m T m ． 由于当T 遍历 的所有三元子集时，*T 也遍历 的所有三元子集，所以**311()666C 990()()(2)T T T T m T m T m T m T ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）已知,,0a b c ，二次函数2()f x ax bx c 存在零点，求a b cb c a的最小值．解：令,b c m n a a ，则,0m n 且1a b c mn b c a m n．由题意得240b ac ，即24m n，故m ．考虑11()f m m m n，则()f m在) 上单调递增．所以()a b c f m n f n n b c a，当n m 时等号成立．因此a b c b c a． 10．（本题满分20分）在ABC 中，,30AB AC BAC ．在AB 边上取五等分点12345,,,,T T T T T （12345,,,,,,A T T T T T B 顺次排列）．记(1,2,3,4)k k BT C k ，求31141tan tan tan tan tan tan k k k A B 的值．解：在AB 延长线上任取一点D ，记05,A DBC B ，则所求式子即为410tan tan kk k．为方便，记05,T A T B ．作CH AB 于点H ，则tan (04)k k CH k T H（这里及以下，有向线段的方向约定为AB方向）．注意到,30AB AC BAC ，有111112tan tan 555k k k k k k AC T H T H T T ABCH CHCH CH ， 故115tan tan (tan tan (04))2k k k k k ．进而4411500055tan tan (ta )n tan (tan tan 22)k k k kk k575tan tan (252126211．（本题满分20分）已知A 是抛物线22(0)y px p 上一点（异于原点），斜率为1k 的直线1l 与抛物线恰有一个公共点A （1l 与x 轴不平行），斜率为2k 的直线2l 与抛物线交于,B C两点．若ABC 是正三角形，求12k k 的取值范围．解：设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y ．设直线):(A A AB y y t x x −=−，代入抛物线22y px 得2220A A y p y y p x t t ，故2B A p y y t． 设直线):(A A AC y y s x x ，同理可得2C A py y s． 由AB AC 知2222111)(1()B A C A y y y y t s． 不妨设,,A B C 是绕着ABC 的重心逆时针排列的，则由3BAC知s t ，代入化简得)2A A p t y t p y t．结合t 0t 时B A y y 与C A y y 同号可知A py ， 又22B C B C B C y y p k x x y y，进而121112B C AA y y k p k y t s y ，代入化简得1211k k0,t ． 因此121111,,00,227k k．当t时，易知AC x 轴，B 位于坐标原点，此时12122B C A y y k k y．而0,t 均不符合题意．k k 的取值范围是1(1,0)0,7．因此，12。
全国高中数学联赛模拟试卷试题.doc
全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题（每题 6 分共 36 分）1. 由 0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5 的偶数有 [ ] 个A.360B.252C.720D.2402. 已知数列 { a n }(n ≥ 1) 满足 a n 2 = a n 1 - a n ，且 a 2 =1, 若数列的前2020 项之和为 2020，则前2020 项的和等于 [ ] A.2020B.2020C.2020D.20203. 有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是 60 0，又侧棱与底面所成的角都是450 ，则这个棱锥的体积是[ ]A.1B. 3C.3 D.3424. 若 ( 2x 4)2 naa x ax2a+则 a 2 a 4 a 2 n 被 3 除的余数2 2 n x 2n (n ∈ N ),0 1是 [ ] A.0 B.1C.2D.不能确定5. 已知 x, y(2, 2 ) ，且 xy 1 ，则24 的最小值是[ ]2422 xyA 、20B 、12C 、 16 4 2D 、 16 4 277776. 在边长为 12 的正三角形中有 n 个点，用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的2 个点，则 n 的最小值是 [ ]A.17B.16C.11D.10二、填空题（每题 9 分共 54 分）7. 在锐角三角形 ABC 中，设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x) 满足f(cos2C)=cos(B+C-A) ，则 f(x) 的解析是为100 8.[(10i 1)(10i 3)(10i 7)(10i 9)] 的末三位数是 _______i 19. 集合 A 中的元素均为正整数，具有性质：若a A ，则 12- aA ，这样的集合共有 个 .10. 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A 、 B 两点，且 |AB|= 86. 在抛物线上是否存在一点 C ，使△ ABC 为正三角形，若存在， C 点的11坐标是.11. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2， a nan 11(n N * ) ，设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则S 2007 2S 2006S 2005 的值为12. 函数f ( x) 3 1 x x，其中0. 函数 f ( x)在[ 0, ) 上是减函数；的取范是 _____________________. 三、解答题（每题20 分共 60 分）13. 已知点 A 5,0和曲 x2 y 21 2x2 5,y上的点P、P、P n。
2019年全国高中数学联赛模拟试题(一)参考答案
中；
……18 '
若 x 672 ，假若 x y ，只有 y 2x ，这种数 y 也已悉数被挖去，即 y X ，因此 X 不
是好集，这种 a 也不合要求． 综上所述， a 的最大值为 671 ．
…… 20 '
将 AN 方程与椭圆方程联立，得 b2 a2k 2 x2 2a3k 2 x k 2a2 a2b2 0
xA
xN
2a3k 2 b2 a2k2
, xN
ab2 a3k 2 b2 a2k2
yN
2kab2 b2 a2k2
,
AM
a
1 k 2
…… 9 ' ……12 '
AN
ab2 a3k 2 b2 a2k2
若 X 中存在 x y, x y ，因 x 672 ， y 2016 ，则 y 3x ；
若 x 672 ，如果 x y , x y ，只有 y 2x 或者 y 3x ，此时 y 的取值只能是：
y 2 672 1344 ， 或 者 y 3 672 2016 ； 由 于
1344 2(672 0), 2016 2(672 336) ， 这 说 明 ， 这 两 个 数 已 被 挖 去 ， 不 在 集 合 X
， AM
a cos
( ) ，…… 6 ' 2
因此
AM
AN
2a2b2 b2 cos2 a2 sin2
，…… 9 '
又据 AN ∥ CD ，则点 C, D 坐标为： C( OD cos, OD sin ) ，
D( OD cos, OD sin ) ，……12'
因为 C, D 在椭圆上，则
点 A, N 的坐标为 A(a, 0), N (a cos , b sin ) ，则直线 AN 方程为
全国高中数学联赛一试模拟试题
(考试时间：80分钟满分：120分)
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.函数 的值域是___________
2.设a,b,c为RT△ACB的三边长,点(m,n)在直线ax+by+c=0上.则m2+n2的最小值是___________
3.若 ，且 为正整数，则
(考试时间：80分钟满分：120分)
1、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.集合 , , ,则 的取值范围是___________
2.某人投两次骰子,先后得到点数 ,用来作为一元二次方程 的系数,则使方程有
实根的概率为______________
3.过四面体 的顶点 作半径为 的球，该球与四面体 的外接球相切
6．对于每个大于等于2的整数 ，令 表示 在区间 上不同解的个数，
表示 在区间 上不同解的个数，则 =____________
7．在平面直角坐标系中，定义点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离”为d(P,Q)=|x1－x2|＋|y1－y2|
若C(x,y)到点A(1, 3),B(6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x,y满足0≤x≤10, 0≤y≤10，
B队三名队员是B1,B2,B3,，且 对 的胜率为 (1≤i,j≤3)，A队得分期望的最大可能值是________.
7.△ABC的三边长分别为13, 14, 15,有4个半径同为 的圆O,O1,O2,O3放在△ABC内，并且⊙O1与
边AB、AC相切，⊙O2与边BA、BC相切，⊙O3与边CB、CA相切，⊙O与⊙O1,O2,O3相切,
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
全国高中数学联赛模拟卷(一试+二试附详细解答)
20XX 年全国高中数学联赛模拟卷(3)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．函数 y =的最大值是 _______2．青蛙在正六边形ABCDEF 上A 点处，每次向相邻顶点跳跃.到达D 点或者跳满五次则停止.不同跳跃 方式有____________种. 3．设2()f x ax bx c =++,(0)1,(1)1,(1)1,f f f ≤≤-≤则(2)f 的最大值为 ___________ 4．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a = ______5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线1x y +=交于M , N 两点, 且OM ON ⊥(O 为原点), 当椭圆的离心率e ∈[33, 22]时, 椭圆长轴长的取值范围是 __________6．对于每个大于等于2的整数n ，令)(n f 表示x nx sin sin =在区间],0[π上不同解的个数，)(n g 表示x nx cos cos =在区间],0[π上不同解的个数，则∑=-20072))()((n n f n g =____________7．在平面直角坐标系中，定义点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)之间的“直角距离”为d (P , Q )=|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|若C (x , y )到点A (1, 3), B (6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x , y 满足0≤x ≤10, 0≤y ≤10， 则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 _________8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动， 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．已知,,a b c 是实数, 二次函数2()f x ax bx c =++满足()02a b c f a--=，求证：－1与1中至少有一个是()0f x =的根.10．设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1122n n n nba a a n --=+-(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．11．已知椭圆1222=+y x ，过定点)0,1(C 两条互相垂直的动直线分别椭交圆于Q P ,两点。
全国高中数学联赛模拟试题1及答案
全国高中数学联赛模拟试题1及答案全国高中数学联赛模拟试题1及答案全国高中数学联赛模拟试题（一）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是（A）1 （B）3 （C）4 （D）5x22、函数y （x∈R，x≠1）的递增区间是x 1（A）x≥2 （C）x≤0（B）x≤0或x≥2 （D）x≤1 2或x≥23、过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，则l的方程为（A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝04、若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在 0, 上有两个不同的实数解x，则参2数a的取值范围是（A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A）42 （B）45 （C）48 （D）516、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是（A）8 （B）10 （C）14 （D）16二、填空题：（每小题9分，共54分）1、[x]表示不大于x的最大整数，则方程1×[x2＋x]＝19x＋99的实数解x2是．2、设a1＝1，an+1＝2an＋n2，则通项公式an＝．3、数799被2550除所得的余数是．54、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，则cosC＝．3135、设k、是实数，使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个根为sin 和cos ，则的取值范围是． 6、数5 242n（n∈N）的个位数字是三、（20分）已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．四、（20分）（1）求出所有的实数a，使得关于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a ＝0的两根皆为整数．（2）试求出所有的.实数a，使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根．五、（20分）试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何∈R，都有cos2 ＋xcos ＋y≥0}之中．第二试一、（50分）设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0．a2 b a c z求证： 1的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0．ac b二、（50分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：（1）AK⊥BC；（2） AK AP AQ2S△ABC，其中S△ABC表BC示△ABC的面积．三、（50分）给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程：ai4(j 1,2,3, ,n)． i j2j 1i 1n确定和式Si 1nai的值（写成关于n的最简式子）． 2i 1参考答案第一试二、填空题：18115871、或；38383、343；2、7×2n-1－n2－2n－3； 4、53 12； 265、{ | ＝2n ＋或2n －，n∈Z} ；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）． 21 1 1x z y z 1 x y三、证略，等号成立的条件是x y z 或 2或 2或 2．3 z 0 y 0 z 0四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．五、rmax＝42．第二试a c a c 4b i一、证略（提示：直接解出z ，通过变形即得充分性成22立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC边上的高AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP三线共点，从而AK⊥BC；记AR与PQ交于点T，则AQ＝AP，对于AK＜AP，可证∠APK＜∠AKP）．三、S12S△ABC＝AR＞AT＞BC2n 121．。
高中数学竞赛模拟试题(第一试)及参考答案
高中数学竞赛模拟试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．若对任意[],2x a a ∈+均有2x a x +≥，则实数a 的取值范围是 解：22323204602x a x x ax a a a +≥⇔--≤⇒+≤⇒≤-． 2．已知()220x y ≥>，则x y +的最小值为解：(221212x x x y y y ⎫+≥⇒≥⇒≥⎪⎪⎭（利用函数单调性）12x y y y+≥+≥，等号当且仅当1x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为2． 3．用[]x 表示不超过x 的最大整数.则211sin ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣等于解：22110sin20142014sin <<⇒>，222111tan 120152014sin tan >⇒=+<，所以2120141sin ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎢⎣．4．已知()()()()()21,,()21n n fx f x f x f x f x f f x x ===+个则12n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 解：1222211111111111121n nn n n n n ff f f f f x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒+=+==+=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2132n n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知棱长为1，点E 在11A D 上，点F 在CD 上，112,2A E ED DF FC ==.则三棱锥1B FEC -的体积为解：如图，作111FF C D ⊥,连接11B F 交1EC 于点K 三棱锥1B FEC -的体积为115327BFK EC S =△．6．已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上， 记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABCS S ∆∆的最小值为解：（1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==. 又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=,所以22221()124PQR ABC BC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为14.（2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图所示，设1,(01),(0)2BC CR x x BRQ παα==≤≤∠=<<,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠= 在Rt CPR ∆中，,sin sin CR xPR αα== 在BRQ ∆中，31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44xPQ RB xB PQB αππα-=⇔=⇔∠+1sin cos 2sin x ααα=+， 因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+. 这样，PQR ABCS S ∆∆2222111()cos 2sin (12)(cos sin )5αααα=≥=+++，当且仅当arctan 2α=取等号， 此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为15.7．设P 为抛物线22y x =上的一个动点，过P 作抛物线的切线与22:1O x y +=交于点,,M N O 在,M N 两点处的切线交于点Q ，则点Q 的轨迹方程是8．选择集合{}()*1,2,,S n n N =∈的两个不同的非空子集A 和B ．则使B 中最小数大于A 中最大数的概率是 设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-，从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---，所以所有满足A 中最大数小于B 中最小数的集合对(A ，B )的个数为()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=--=-⋅-=-⋅+-∑．而所有的集合对(A ，B )的个数为()()2122nn --所以使B 中最小数大于A 中最大数的概率是()()1(2)212122n n nn --⋅+-- 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 已知椭圆2222:1x y E a b+=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交y 轴于点P ，过点M 作垂直于l 的直线交y 轴于点Q .求证：12,,,,F Q F M P 五点共圆.（略）10.（本小题满分20分）已知函数22()1n nx xf x x -=+，12,n x x x ,,为正实数，且12...1n x x x +++=，证明：12()()...()0n n n n f x f x f x +++≥ （略）11.（本小题满分20分）.已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n nn n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩．证明:505020a b +>． 证明：因为22221122112()n n n n n n n n n na b a b a b a b b a +++=+++++， 所以49492222505011221111()2()i i i i i i ii a b a b a b a b b a ==+=+++++∑∑221122111122494449200.a b a b >++++⨯⨯≥+⨯=又1112n n n n n n a b a b a b ++=++，所以49505011111111124998100i i i a b a b a b a b a b ==++⨯>++≥∑. 所以222505050505050()2200200400a b a b a b +=++>+=.因此505020a b +>2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案加试一、（本小题满分40分） 已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=+*n N ∈．(I) 证明：{}n a 是正整数数列；(II) 是否存在*m N∈，使得2015m a ，并说明理由．（Ⅰ）由13n n a a +=+得2211640n n n n a a a a +++++=，（1）同理可得222212640n n n n a a a a +++++++=，（2），由（1）（2）可知，2,n n a a +为方程2211640n n x a x a ++-++=的两根，又2n n a a +<，即有216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=- 因为121,5,a a ==所以n a 为正整数.（Ⅱ）不存在*m N ∈，使得2015m a .假设存在*m N ∈，使得2015m a ，则31m a .一方面，2214m m m a a a ++=+，所以21314m a ++,即214(mod31)m a +≡-，所以301530142(mod31)m a +≡-≡-. 由费马小定理知3021(mod31)≡，所以3011(mod31)m a +≡-，另一方面，1(,31)1m a +=.事实上，假设1(,31)1m a d +=>，则31d ，即31d =，所以131m a +，而21314m a ++，这样得到314.矛盾.所以，由费马小定理得3011(mod31)m a +≡.这样得到11(mod31)≡-.矛盾. 所以不存在*m N ∈，使得2015m a二、（本小题满分40分）如图，在等腰ABC ∆中，A B A C B C =>，D 为ABC ∆内一点，满足.DA DB DC =+ 边AB 的中垂线与ADB ∠的外角平分线交于点P ，边AC 的中垂线与ADC ∠的外角平分线交于点Q .证明： B C P Q 、、、 四点共圆.三、（本小题满分50分）设p 为大于3的素数，证明：（1）()11pp -+至少含有一个不同于p 的素因子；（2）设()111inpi i p p α=-+=∏，其中12,,,n p p p 是互不相同的素数，12,,,n ααα为正整数，则212ni i i p p α=≥∑.四、（本小题满分50分）设X 是非空有限集合，12,,,k A A A … 是X 的k 个子集，满足下列条件：(1) 3,1,2,,i A i k ≤=…; (2) X 中任意一个元素属于12,,,k A A A …中的至少4个集合.证明：可从12,,,k A A A …中选出37k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个集合，使得它们的并集为X .解：令{}12,,,k S A A A =.现依次选定集合i A ，使得这些集合的并集i A 的元素个数每次递增3个，选出所有这样的集合后，不妨设{}3312,,,a S A A A =，30a ≥，又设33S X =，其中333X a =.因为3S 已是满足以上性质的最大集合，则对于剩下的任意集合3,i A i a >，有()32iA X X -≤.类似地，在集合3X X -中依次选定集合i A ，使得这些集合的并集i A 的元素个数每次递增2个，不妨设这些集合{}3332212,,,a a a a S A A A +++=全部被选出，则有()232S X X X ⋂-=，且222X a =；同理，对于剩下的任意集合23,i A i a a >+，有()321iA X X X --≤.类似地，{}3232321112,,,a a a a a a a S A A A ++++++=，以及321X X X X --=，注意到32112323X X X X a a a =++=++，323S S S X ⋃⋃= 且321123S S S a a a m ++=++=即为上述选定集合所满足的关系，现说明37km ≤. 注意到1X 中的每一个元素至少出现4次，但11iA X ≤，32i a a ≥+，因此有：3214k a a a ≥++ (1)在12X X +中，每个元素也至少出现4次，但()122iA X X +≤，3i a ≥，因此有：()21332124422a a k a aa a +≥+=++ (2)在X 中，每个元素也至少出现4次，因此有：()3213243a a a k ++≥ (3)现考虑20*(1)12*(2)27*(3)++，()12359140k a a a ≥++，所以5931407k m k ≤<，即为所求.。
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x+9x+12，则f(x)+g(x)=（。
）。
A。
-x+9x-12B。
x+9x-12C。
-x-9x+12D。
x-9x+122.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=sinxcosx④y=（空缺）其中在(x,y)上为单调增函数的是（。
）。
A。
①B。
②C。
①和③D。
②和④3.方程x+x-1=xπ2的解集为A（其中π为无理数，π=3.141…，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（。
）。
A。
B。
C。
1D。
44.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4（θ∈R），则点P(x,y)所在区域的面积为（。
）。
A。
36πB。
32πC。
20πD。
16π5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（。
）。
A。
9B。
12C。
15D。
186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于（。
）。
A。
807.已知曲线C：y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点，则m的取值范围是（。
）。
A。
(-2-1,2)B。
(-2,2-1)C。
[,2-1)D。
(,2-1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax/Smin的值为（。
）。
A。
B。
C。
D。
9.设x=.82,y=sin1,z=log2237，则x、y、z的大小关系为（。
）。
A。
x<y<zB。
y<z<xC。
z<x<yD。
z<y<x10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（。
全国高中数学联赛模拟卷（1）（一试+二试_附详细解答）
全国⾼中数学联赛模拟卷（1）（⼀试+⼆试_附详细解答）全国⾼中数学联赛模拟卷(1)⼀试⼀、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，共64分）1229x <+的解集为． 2．过正⽅体外接球球⼼的截⾯截正⽅体所得图形可能为______________. ①三⾓形②正⽅形③梯形④五边形⑤六边形3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.4．复数z ，使322z z z+=，则z 的所有可能值为 _____ ____．5．所有的满⾜条件11aba b a b ab a b ---=?++的正整数对(,)a b 的个数为．6．设,,a b c 为⽅程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 7．将号码分别为1、2、…、9的九个⼩球放⼊⼀个袋中，这些⼩球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出⼀个球，其号码为a ，放回后，⼄从此袋中再摸出⼀个球，其号码为b . 则使不等式 0102>+-b a 成⽴的事件发⽣的概率等于．8．已知A , B , C 为△ABC 三内⾓, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=α,2||=α.如果当C 最⼤时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, 最⼤值是__ ___.⼆、解答题（本⼤题共3⼩题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==-∑，求数列{a n }中的最⼤值．10．给定正实数k ，圆⼼为(b a ，)的圆⾄少与抛物线2kx y =有三个公共点，⼀个是原点(0, 0)，另两个点在直线b kx y +=上，求b a ，的值（⽤k 表⽰）． 11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．ABCPQ ID O 1 I 1I 2⼆试⼀、（本题满分40分）在Rt ABC ?中，CD 是斜边AB 上的⾼，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内⼼，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的⾓平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正⽅形．⼆、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：ba db a d a dc ad c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++333333333333.2222d c b a +++≥三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n 证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(mod 21或≡n四、（本题满分50分）试求最⼩的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有⼀数，其各位数字之和是7的倍数.全国⾼中数学联赛模拟卷(1)答案⼀试1．由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845x 故原不等式的解集为145,00,28-? ?U2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中⼼对称图形，且②⑤可以截得3．提⽰：44[2,)(,2]33--?, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，?2），数形结合可得.4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ?，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满⾜条件，当 0z ≠时，2120z z +-= 设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ?-+-=?+=? ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代⼊(1) 整理得：2(1)01a a -=?=2）0b ≠，则 1a =- 代⼊(1) 得：242b b =?=±，经检验复数1,12z i =-±均满⾜条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--. 5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->?1b a b -?>11b a b -?≥+，从⽽有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --?++=-aa ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-?()11a b a a b --=?-1a a -≥，从⽽()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满⾜本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=-- 7．提⽰：甲、⼄⼆⼈每⼈摸出⼀个⼩球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a ?2b +10>0得2b6181135745=++++8．解: 2)cos(2)cos(2122sin 32cos 2||22=+--+=++-?=B A B A B A B A α ,21tan tan cos cos sin sin 2)cos(3)cos(=?=?+=-?B A B A B A B A B A22tan tan 4)tan (tan 2tan tan )tan(tan -=-≤+-=+=+-=B A B A BA B A C ,等号成⽴仅当22tan tan ==B A .令|AB |=2c ,因c 4||||=+, 所以 M 是椭圆1342222=+cy c x 上的动点.故点C (0,c 22), 设M (x ,y ), 则|MC |2＝x 2+(c y 22-)2＝c y c cy y c cy y y c 3||,2923122344222222≤+--=+-+-. 当y ＝c 3-时, |MC |2max =22627c +, |MC |max ＝c 216+. ||AB＝4. 9．解：经计算知22a =，33a =，45103a a ==，下⾯⽤数学归纳法证明：当5n ≥时，有103n a ≤ 假设()1053n a n ≤≥，则1211111111122122n n n n n n a n n n +-++++=+?+?++?-- 21111212212n n n n n n n n n n -++??=++?++? ?--?? 112n n n a n n ++=+ 1110186810233533n n n n n n +++≤+?=?≤?<所以数列{a n }中的最⼤值是45103a a ==10．解：设⊙O :,)()(2222b a b y a x +=-+- 即02222=-+-by y ax x抛物线与直线b kx y +=的两个交点坐标为),(),,,(2211y x y x ，则211222kx kx b kx kx b =+??=+?，即12121x x b x x k +==-??①, 这两点亦在圆上，即),(2)(222111*********b kx b b kx ax x by y ax x o +-++-=-+-=?02)1(21212=--+b ax x k同理 02)1(22222=--+b ax x k , 即 12221222,1.1a x x k b x x k ?+=??+?-?=?+?②⽐较①，②知：kk k k b k a 11),1(2122+=+=+= 11．解：⾸先，函数)(x f 以为π周期，且以)(42Z k k x ∈+=ππ为对称轴，即 ))(()2(),()(Z k x f x k f x f x f ∈=-+=+πππ，其次，42)43(,102)4(,7)2(-=+-=+-=a k f a k f a k f πππππ，∵)(x f 关于)(42Z k k x ∈+=ππ对称，∴)(x f 在)42,2(πππ+k k 及)22,42(ππππ++k k 上的零点个数为偶数，要使)(x f 在区间)0πn ，（恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点（1）若7=a ，则0)42(,0)2(≠+=πππk f k f ，考虑区间)2,0(π及),2(ππ上的零点个数．ABCP Q ID O 1I 1 I 2令].2,1((cos sin ∈+=t x x t 则0473)(2=-+-==t t t g y ，解得11=t （舍），)4sin(2342π+==x t ，故在2 ,0(π内有两解．当),2(ππ∈x 时，72sin 3)cos (sin 7)(---=x x x x f ，令]2,1((cos sin ∈-=t x x t ，则01073)(2=-+==t t t g y ，解得11=t （舍），3102-=t （舍），故在),2(ππ内⽆解．因此，)(x f 在区间),0(π内有三个零点．.503201114)1(3),0(==-=-+n n n n n 个零点。
高中数学竞赛模拟试题及详细解析答案
高中数学竞赛模拟试题及详细解析答案一. 选择题(本题满分30分,每题5分)1. 设()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,满足:()()223f x h x x x -=++.则()()f x h x +的表示式（ ）.A.223x x -+-B.223x x ++C. 223x x -+ D.()223x x -++2. ()()44040sin sin 60sin 60ααα+-++的值为（ ）.A.23B. 1C. 89D.983. 设,,A B C 分别在正四面体P KMN -的棱,,PK PM PN 上,已知1PA =,2PB =,3PC =.则截面ABC ∆的面积为（ ）.A.4. 已知I 是ABC ∆的内心,3,2,4BC AC AB ===,若AI mAB nAC =+uu r uu u r uu u r.则m n +的值为 （ ）.A.13B. 23C. 49D.595. 对于三位数abc ,满足()37abc a b c =++的三位数的个数共有（ ）.A.12个B. 15个C. 13个D.14 个6. 若两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点构成一正方形, 则22m n +的值（ ）. A.25 B. 7 C. 252D.72二. 填空题(本题满分30分,每题5分) 7. 己知b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====.则k =_____________.8. 设数列{}n a 的通项公式n a =.则99S =____________.9. 设P 是锐角ABC ∆内部任意一点, P 至边,,BC CA AB 的距离分别为,,PD PE PF . 则BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅的最小值是______________.10. 已知实系数方程320x ax bx c +++=的三个根可以作为一椭圆,一双曲线,一抛物线的离心率.则ba的取值范围是______________.11. 计算 __________.12. 函数()3261321f x x x x =+++,已知()()1,21f a f b ==.则a b +=__________.三. 解答题(本题满分80分,每题20分)13. 设n N ∈，对于满足条件:22111000n a a ++=的所有等差数列:123,,,a a a L L .试求1221n n n S a a a +++=+++L 的最大值.14. 设,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令tan ,tan ,tan A p B q C r ===. 求证(1).1qr rp pq ++< 的充分必要条件是:2A B C π++<; (2).1qr rp pq ++= 的充分必要条件是:2A B C π++=; (3).1qr rp pq ++> 的充分必要条件是:2A B C π++>.15. 己知双曲线22221x y a b -=的离心率e =2x =, 直线l 与双曲线右支及双曲线的渐近线交于,;,B C A D . (1).求双曲线的方程; (2). 求证AB CD =;(3). 如果AB BC CD ==,求证OBC ∆的面积为定值.16. 设D 是等腰ABC ∆的底边BC 的中点,P 是ABC ∆内部一点,满足PCA PBC ∠=∠.求证 0180BPD APC ∠+∠=.参考答案一. 选择题(本题满分30分,每题5分)1. 设()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,满足:()()223f x h x x x -=++.则()()f x h x +的表示式 (A)A.223x x -+-B.223x x ++C. 223x x -+ D.()223x x -++解 因为()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,()()223f x h x x x -=++,则()()()()222323f x h x x x f x h x x x ---=-+⇔+=-+-故选A .2. ()()44040sin sin 60sin 60ααα+-++的值为 (D)A.23 B. 1 C. 89 D.98解 记()()44040sin sin 60sin 60T ααα=+-++,()()()()()()()2220002202041cos 21cos 12021cos 120232cos 2cos 1202cos 1202cos 2cos 1202cos 1202T ααααααααα⎡⎤⎡⎤=-+--+-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+-++⎣⎦++-++而()()000cos 2cos 1202cos 1202cos 22cos120cos 2cos 2cos 20ααααααα+-++=+=-=()()()()()220202000cos 2cos 1202cos 12021cos 21cos 24041cos 24042131cos 41cos 240cos 422αααααααα+-++⎡⎤=++-+++⎣⎦=+++= 所以 339488T =+=.故填D.3. 设,,A B C 分别在正四面体P KMN -的棱,,PK PM PN 上,已知1PA =,2PB =,3PC =.则截面ABC ∆的面积为 (C)A.解 记,,PA a PB b PC c ===,根据余弦定理得:BC CA AB ==再由海仑公式得:S =将1,2,3PA a PB b PC c ======代入,计算得S ==故选C.4. 已知I 是ABC ∆的内心,3,2,4BC AC AB ===,若AI mAB nAC =+uu r uu u r uu u r.则m n +的值为 (B)A.13 B. 23 C. 49 D.59解 在ABC ∆中,延长AI 交BC 于D .则422AB AC λ===.故1233AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r .因为3,2,1BC BD CD =⇒==,在ABD ∆中,I 分AD 的比'422AB BD λ===. 224399AI AD AB AC ==+uu r uuu r uu u r uuu r , 所以242993m n +=+=.故选B .5. 对于三位数abc ,满足()37abc a b c =++的三位数的个数共有个. (B)A.12个B. 15个C. 13个D.14 个解 因为三位数abc ,满足()37abc a b c =++,所以()1001037a b c a b c ++=++,即()()63273673443a a c a b c a c b a =+⇔=+⇔-=-所以当a b c ==时,共有9种,即111;222;333;444;555;666;777;888;999当 3,7,0374,8,145,9,2a b c a c b c a b c b a a b c ===⎧-=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎨-=⎩⎪===⎩; 即370,481,592. 当 4,0,7375,1,846,2,9a b c a c b c a b c b a a b c ===⎧-=-⎧⎪⇒-=-⇒===⎨⎨-=-⎩⎪===⎩; 即407,518,629. 所以满足()37abc a b c =++条件的三位数共有15个.故选B.6. 若两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点构成一正方形, 则22m n +的值 (A) A.25 B. 7 C.252D.72解 根据两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点能构成一正方形,则 222216925m n m n -=-⇔+=或 222216925m n m n -=-⇔+=故选A.二. 填空题(本题满分30分,每题5分) 7. 己知b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====.则1k =-或3k =.解 因为b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====,所以有 (){();;3;.b c d ak c d a bk a b c d k a b c d c a b ck a b c dk ++=⎧⎪++=⎪⇒+++=+++⎨++=⎪⎪++=⎩ 当0a b c d +++=时,1k =-;当0a b c d +++≠时,3k =.8. 设数列{}n a 的通项公式n a =.则99910S =.解 对n a 裂项分解n a ====所以1n S =,999110S ==9. 设P 是锐角ABC ∆内部任意一点, P 至边,,BC CA AB 的距离分别为,,PD PE PF .则BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅的最小值是2.解 因为 2S PD BC PE CA PF AB =⨯+⨯+⨯;BPC PA BC S S ∆⨯≥-, CPA PB CA S S ∆⨯≥-, APB PC AB S S ∆⨯≥-所以 32BPC CPA APB BC PA CA PB AB PC S S S S S ∆∆∆⨯+⨯+⨯≥---=.故2BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=≥⋅+⋅+⋅.当P 点是ABC ∆的垂心时,取得最小值是2.10. 已知实系数方程320x ax bx c +++=的三个根可以作为一椭圆,一双曲线,一抛物线的离心率.则b a 的取值范围是12,2b a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 解 记()32f x x ax bx c =+++,因为抛物线的离心率为1,所以()10f =,即101a b c c a b +++=⇔-=++()()()()323221111f x x ax bx c x ax bx a b x x a x a b =+++=++-++⎡⎤=-+++++⎣⎦因为()()211h x x a x a b =+++++在()0,1与()1,∞内各有一根,于是()()0010230010h a b a b h >⎧++>⎧⎪⇒⎨⎨++<<<⎩⎪⎩.由线性规划知,易得: 12,2b a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.11. 计算3=.解3=.12. 函数()3261321f x x x x =+++,已知()()1,21f a f b ==.则4a b +=-.解 ()()()332613212211f x x x x x x =+++=++++,记()3h x x x =+,则()()h x h x -=-,()h x 是奇函数.因为()()()()()()()()3322111210221121210f a a a h a f b b b h b =++++=⇒+=-=++++=⇒+=所以()()220h a h b +++=,故得2204a b a b +++=⇔+=-.三. 解答题(本题满分80分,每题20分)13. 设n N ∈，对于满足条件:22111000n a a ++=的所有等差数列:123,,,a a a L L .试求1221n n n S a a a +++=+++L 的最大值.解由柯西不等式得:()()()12111122131122501n n n n n n a a a a S a a a n n n +++++++-⎛⎫⎛⎫=+++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤=+L当113n a a +=-,22111000na a ++=,即1110,30n a a +=-=时,S 的最大值为()501n +.14. 设,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令tan ,tan ,tan A p B q C r ===. 求证 (1).1qr rp pq ++< 的充分必要条件是:2A B C π++<; (2).1qr rp pq ++= 的充分必要条件是:2A B C π++=; (3).1qr rp pq ++> 的充分必要条件是:2A B C π++>.证明 记1T qr rp pq =++-,cos cos cos S A B C =，则tan tan tan tan tan tan 1sin sin sin sin sin sin 1cos cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos T B C C A A B B C C A A BB C C A A BB C A C A B A B C A B C A B C=++-=++-++-=()()()sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos C A B C A B A B C A B C A B C+-+-++==因为,,A B C ∠∠∠均为锐角，所以cos cos cos 0S A B C =>.而302A B C π<++<. 故 ()0cos 02T A B C A B C π<⇔++>⇔++<.同理可证:02T A B C π=⇔++=; 02T A B C π>⇔++>.15. 己知双曲线22221x y a b -=的离心率e =2x =, 直线l 与双曲线右支及双曲线的渐近线交于,;,B C A D . (1).求双曲线的方程; (2). 求证AB CD =; (3). 如果AB BC CD ==,求证OBC ∆的面积为定值.解 由题设条件2c a a c ==,得1,a c ==所以双曲线的方程221x y -=. (2). 设直线l : y mx b =+,1m ≠±.11;.11A D A D b b x x y mx b y mx b m my x b y x by y m m -⎧⎧==⎪⎪=+=+⎧⎧⎪⎪-+⇒⇒⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪==⎪⎪-+⎩⎩则AD 的中点坐标为22,11bmb m m ⎛⎫⎪--⎝⎭. 将y mx b =+代入221x y -=,得()()2221210m x bmx b ---+=.由韦达定理得BC 中点坐标也为22,11bmb m m ⎛⎫⎪--⎝⎭.从而AB CD =. (3). 设点()(),,,A a a D d d -,0,0a d >>.由AB BC CD ==得:22,33a d a d C +-⎛⎫⎪⎝⎭. 由点C 在双曲线上得222291338a d a d ad +-⎛⎫⎛⎫-=⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11133638BOC AOD S S OA OD ad ∆∆==⨯===16. 设D 是等腰ABC ∆的底边BC 的中点,P 是ABC ∆内部一点,满足PCA PBC ∠=∠.求证 0180BPD APC ∠+∠=.证明 因为AC AB =,将APC ∆旋转至AEB ∆,连,PE BE ,过B 点作BF ∥PC ,与PD 的延长线交于F .因为D 是BC 的中点,BF ∥PC ,所以BDF CDP ∆≅∆,即得 BF CP =.又,EBP FBP BE PC BF ∠=∠==,所以PBE PBF ∆≅∆,得,EPB FPB PBF ABC AEP ∠=∠∠=∠=∠,因此 在PBE ∆中,BPD APC EPB AEB ∠+∠=∠+∠EPB PEB AEP EPB AEP PBE π=∠+∠+∠=∠+∠+∠=。
2018全国高中数学联赛模拟试题1及参考答案
⎫ ⎩ ⎭⎪ + 2高中联赛模拟试题 1一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 设集合 A = {x -2 ≤ x < 5}， B = ⎧x 3a > 1．若 A B ≠∅ ，则实数 a 的取值范围是．⎨ x - 2a ⎬2.已知甲、乙两只盒子中装有相同规格的乒乓球，其中，甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅有三 个白球．若从甲盒中任取三个放入乙盒中，则从乙盒中任取一个是红球的概率是．2 c os 2⎛ 1 x - 1 ⎫- x 3.函数f ( x ) = ⎝ 2 2 ⎭ 的对称中心的坐标为 ．x - 1V + V 4.已知四棱锥 S - ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，O 是四棱锥内任意一点．则 四面体OSAB 四面体OSCD=V 四面体OSBC + V 四面体OSDA．5.在椭圆 x 2 = 1(a > b > 0) 中，记右顶点、上顶点、右焦点分别为 A , B , F ．若 ∠AFB = ∠BAF + 90 ，a b则椭圆的离心率为 ．6.平面上 n 个三角形最多把平面分成 部分．sin2π ⋅ sin 8π7.计算： 15 15 = ．cos π ⋅ cos 2π ⋅ cos4π 5 5 58. 设复数 α, β ,γ , z 满足 α + β + γ = αβ + βγ + γα = αβγ = 1．则 α - z + β - z + γ - z 的最小值为 ．2y 2BB 1CC 1( )二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9.已知动直线 l 过定点 A (2, 0) 且与抛物线 y = x 2+ 2 交于不同的两点B ,C ．设 B , C 在 x 轴上的射影分别为 B 1 ,C 1 ． P 为线段 BC 上的点，且满足 PC ，求 ∆POA 的重心的轨迹方程．10. 设 f ( x ) = sin x ．已知当 x ∈[0,π ]时，有 sin x + 1 ≥ 2x + cos x ．证明： f ⎛ π ⎫ + f ⎛ 2π ⎫ + + f ⎛ (n + 1)π ⎫ 2n + 1⎪ 2n + 1⎪ 2n + 1 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭p11. 已知 p 为大于 3 的素数．求 ∏ k 2 + k + 1 除以 p 的余数．k =1高中联赛模拟试题 1加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分一、（本题满分 40 分）已知a, b, c∈，且+ c = 0 ．证明：a = b = c = 0二、（本题满分 40 分）a2b2 b2c2 c2 a2 31)已知正实数a, b, c满足a2 + b2 + c2 = 1．证明：++≥．abc + c4abc + a4abc + b4 2三、（本题满分 50 分）已知圆Γ 内有两定点A 、B ，过A 作一动弦CD ，延长CB 、DB ，与圆Γ 分别交于点E 、F ．证明：弦EF 通过一个与C 、D 无关的定点．四、（本题满分 50 分）在80 座城市之间执行如下两种方式的飞行航线：（1）任意一座城市至少与七座城市有直航；（2）任意两座城市可以通过有限次直航来连接．求最小的正整数n ，使得无论如何安排满足条件的航线，任意一座城市到其他城市均最多可以经过n 次直航到达．C 3 3高中联赛模拟试题 1解答一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 0 < a < 5或 -1 < a < 0 ．2解析：由题意可知 B = {x 2a < x < 5a , a > 0}⋃{x 5a < x < 2a , a < 0}． 又因为 A ⋂ B ≠ ∅ ， ⇒ 0 < 2a < 5或 - 2 < 2a < 0 ．2.1 ．4C k C 3-k 解析：由题设知乙盒中红球个数的可能值 ξ =0，1，2，3 ．故 P (ξ = k ) = 3 3(k = 0,1, 2,3)．从而得出6P ( A ) = ∑P (ξ = k )P ( A ξ = k ) = 1．k =04 3.(1, -1) ．解析：由题设知 f ( x ) = cos ( x -1) - 1 ．因为 g ( x ) = cos x为奇函数，其对称中心为 (0, 0) ，故 f ( x ) 的对称中心为 (1, -1) ．x -1 x4.1．解析：延长 SO 与底面 ABCD 交于点 X ．由底面 ABCD 是平行四边形，⇒ S ∆XAB + S ∆XCD = S ∆XBC + S ∆XDA ⇒ V 四面体OSAB + V 四面体OSCD = V 四面体OSBC + V 四面体OSDA5.5 -1 ．2解析：设左焦点为 F '．则由 ∠AFB = ∠BAF + 90 ⇒ ∠AF ' B + ∠BAF ' = 90 ⇒ AB ⊥ BF ' ．又 AB 2= a 2 + b 2 , BF ' 2= a 2 , AF ' 2= (a + c )2．由勾股定理知 a 2 + b 2 + a 2 = (a + c )2，由此， ⇒ c = a6.3n 2 - 3n + 2 ．解析：设 n 个三角形最多把平面分成 S n 个部分． S 1 = 2 ．因为任意一个三角形与另一个三角形至多有 6 个交点，这些交点将该三角形的周长分成至多 6(n - 1)1 12 2 0 0⎨ BB 1 CC 1 AB 1 AC 1 1 , ⎝ ⎭段，每一段将其所在平面一分为二，增加了 6(n - 1) 个部分．从而 S n - S n -1 = 6(n - 1)(n ≥ 2) ．7.-2 ． 解析：sin 2π ⋅ sin 8π8sin πsin 2π sin 8π4sin π ⎛cos 2π - cos 2π ⎫2⎛sin 3π - sin π ⎫ + 2sin π15 15515 15 5 5 3⎪ 5 5 ⎪5 cos π ⋅ cos 2π ⋅ cos 4π= cos 8π⎝ ⎭ = cos 8π ⎝ ⎭ ． sin 8π5 5 555 58.1 +解析：注意到 α, β ,γ 为一元三次方程 x 3 - x 2 + x -1 = 0 的根，从而可令α = i , β = -i ,γ = 1．在复平面上，⎫令 α, β ,γ 分别对应于点 A (0,1), B (0, -1),C (1, 0) ．当 z 取到 ∆ABC 的费马点⎪ 时取值最小． ⎪ ⎝ ⎭二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9. 当 l ⊥ x 轴时，直线 l 与抛物线不可能有两个交点． 故设直线l : y = k ( x - 2)． 与抛物线的方程联立得： x 2 - kx + 2k + 2 = 0 ．（1） 由 ∆ > 0 ⇒ k > 4 + 2 6或k < 4 - 2）设 B ( x , y ),C ( x , y ), P ( x , y ) ．则 ⎧x 1 + x 2 = k , （3）令 λ =CP= = = 2 - x 1 2 - x 2⎩x 1 x 2 = 2k + 2.（4）⎧ ⎪⎪x = 设重心 G ( x , y ) ．则 ⎨ (2 + x 0 ), 3 ．将式（2），（3），（4）代入，并注意到 y = k ( x- 2)得： 0 0⎪ y = y .⎪⎩ 3 0⎧x = 4 - 4k ⎪⎪ 3(4 - k ) ⎨⇒ 12x - 3y - 4 = 0 ．从而得 k = 4 y ，代入（2）式得： ⎪ y = ⎪⎩-4k 4 - k y - 44 y < 4 或 4 < y < 4 G 的轨迹方程为：3 3⎛ 12x - 3y - 4 = 0 4 -y < 4或4 < y < 4 ． 3 3 ⎪1- ，故⎝ ⎭3 ( ) ( ) 10. 由已知条件 ⇒ sin x - cos x ≥ 2 x -1 ⇒ ⎛ x - π ⎫ ≥ 2x -1 ．又当1 ≤ k ≤ n + 1时，0 ≤k π + π ≤ π ． π 4 ⎪ π 2n +1 4⎝ ⎭而 2 sin k π ≥ 2 ⎛ k π + π ⎫ -1 = 2k 12n + 1 π 2n +1 4 ⎪2n +1 2⎛ π ⎫ ⎛ 2π ⎫ ⎛ (n + 1)π ⎫⎤ n +1 ⎛ 2k 1 ⎫ 3(n + 1) f ⎪ + f ⎪ + + f⎪⎥ ≥ ∑ - ⎪ = ⎢⎣ ⎝ 2n + 1 ⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭⎥⎦ k =1 ⎝ 2n + 1 2 ⎭ 2 (2n +1)⎛ π ⎫ ⎛ 2π ⎫⎛ (n + 1)π ⎫ n + 1) f ⎪ + f ⎪ + + f⎪ ≥ ． ⎝ 2n + 1⎭ ⎝ 2n + 1⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭ 4(2n +1)11. 注意到 k ≠ 1时， k 2 + k + 1 =k-1 ．而当 k 取遍 2,3, , p 时，分母 k -1 取遍1, 2, , p -1． k -1由费马小定理， x p -1 ≡ 1(mod p ) 在1 ≤ x ≤ p 恰有 p -1 个解．（1）当 p ≡ 1(mod3 )时， x 3 -1 为 x p -1 -1 的因子，于是 x 3 -1 ≡ 0(mod p )在1 ≤ x ≤ p 内恰有三个解．于 是当 k 取遍 2,3, , p 时，分子 k 3 -1 中恰有两项为 p 的倍数，而分母不含 p 的因子． p故 ∏ k 2 + k + 1 ≡ 0(mod p ) ．k =1（2）当 p ≡ 2(mod 3)时，3 与 p -1 互素，于是存在整数 a ,b 使得 3a + ( p - 1)b = 1． 假设有一个 2 ≤ k ≤ p 满足k 3 ≡ 1(mod p ) ．由费马小定理得 k ≡ k 3a +( p -1)b≡ 1(mod p )，矛盾． 因此， x 3 -1≡ 0(mod p )只有 x ≡ 1(mod p ) 这一个解．故当 k 取遍1, 2, , p 时， k 3 除以 p 的余数两两不同，正好也取遍1, 2, , p ．从而当 k 取遍 2,3, , p 时， k 3 -1 除以 p 的余数取遍1, 2, , p -1．p3p p3故 ∏ k -1 ≡ 1(mod p ) ⇒ ∏ (k 2 + k + 1) ≡ 3 ∏ k -1≡ 3(mod p ) ．k =2 k -1 k =1 k =2 k -1p综上， ∏ k 2 + k + 1 除以 p 的余数为 0 或 3．k =1(( ) ( ) ( )) ( )t1一、（本题满分 40 分）加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分显然， a , b , c 中有一个为 0，则其余两个也为 0． 下面假设 a , b , c 均不为 0．易证明：若 a , b , c 均为非 0 + c = 0 ；（1）d ,e ,f 均为非 0 有理数，且+ f = 0 ，则 a = b = c ．d e f（1+ 3a = 0 ；（1）式两边同时乘以+ 33b= 0 ． 于是， b = c = 3a= k ．（2）c 3a 3b由 a , b , c 均为非 0 有理数知其中必有两个同号．结合（2）式，知 a , b , c 同号．从而（1）式左边不为 0，矛盾． ⇒ a = b = c = 0 ．二、（本题满分 40 分）x 2 y 2 z 2令 a 2= yz ,b 2= zx , c 2= xy ．则 xy + yz + zx = 1．原式左边 = + x + yz y + zx z + xy．由柯西不等式得：⎛ x 2y 2 z 2 ⎫ 2+ + ⎪x + yz + y + zx + z + xy ≥ x + y + z ⎝ x + yz y + zx z + xy ⎭x 2 y 2 z 2( x + y + z )2( x + y + z )2⇒ + + ≥ = x + yz y + zx z + xy x + y + z + ( yz + zx + xy ) ． x + y + z + 1 由 ( x + y + z )2≥ 3( x y + yz + zx ) ⇒ x + y + z ≥t = x + y + z2 因为 f (t ) = (t + 1) + 2 ，在区间) 上单调递增，所以：t + 1 t + 1 331)原式左边 ≥ f (t ) ≥．2三、（本题满分 50 分）连结 AB 并延长与圆 Γ 交于点 G ， H ，与弦 EF 交于点 P ． 设 ∠ECD = ∠EFD = α,∠CDF = ∠CEF = β .由 S ∆ABC ⋅ S ∆PBF ⋅ S ∆ABD ⋅ S ∆PBE = 1 ，得AC ⋅ BC sin α ⋅ PB ⋅ FB ⋅ AD ⋅ BD sin β ⋅ PB ⋅ EB = 1．S ∆PBF S ∆ABD S ∆PBE S ∆ABC PF ⋅ BF sin α AB ⋅ DB PE ⋅ BE sin β AB ⋅ C B 整理得 PB 2 ⋅ AC ⋅ AD = AB 2 ⋅ PE ⋅ PF ．在圆 Γ 中，由相交弦定理得：PB 2 ⋅ AG ⋅ AH = AB 2⋅ PG ⋅ PH ．（1） 设 AB = a , PB = b , BG = c > a , BH = d > b ，其中， a , c , d 为常数， b 未定．则（1）式 ⇔ b 2 (c - a )(d + a ) = a 2 (d - b )(c + b ) ． 整理得 ((c - a )d + ac )b 2 + a 2 (c - d )b - a 2cd = 0 ．该二次方程的二次项系数与常数项符号相反，因此有且仅有一个正数解．故 b 是定值．即 BP 是定值． 从而无论 C , D 如何选取， EF 总是与 AB 交于一个固定点 P ．四、（本题满分 50 分）n 的最小值为 27． 若两座城市可以通过有限次直航来连接，称这两个城市”通航”． 首先证明： n ≤ 27 ．反证法：若 n ≥ 28 ，不妨设有两座城市 A 1 到 A 29 间至少经过 28 次到达．设城市 A 1 到 A 29 的一个最短连 接路线为 A 1 → A 2 → → A 29 ．因为每一座城市至少和七座城市通航，所以， A 1 , A 29 与除去 A 2 A 28 以外的至少六座城市通航，城市 A 2A 28 与除去 A 1A 29 以外的至少五座城市通航．设 A = {A 1 , A 2 , , A 29 } ．设分别与城市 A 1 , A 4 , A 7 , A 10 , A 13 , A 16 , A 19 , A 22 , A 25 , A 29 通航，且不属于 A 的所有城市 组成的集合为 X i (i = 0,1, , 9)．易知， X 0 ≥ 6, X 9 ≥ 6, X i ≥ 5(i = 1, 2, ,8) ． 又 X i ⋂ X j = ∅(i ≠ j ) ，否则，城市 A 1 , A 29 之间有更短的连接路线． 故 A ⋃ ( X 0 ⋃ X 1 ⋃ ⋃ X 9 ) ≥ 29 + 6 ⨯ 2 + 5 ⨯ 8 = 81 > 80 ，矛盾．从而 n ≤ 27 ． 其次证明： n = 27 是可以的．事实上，取 28 座城市 A 1 , A 2 , , A 28 与城市集合 X i (i = 0,1, , 9)． 当 i = 0, 9 时， X i = 6 ；当 i = 1, 2, ,8 时， X i = 5 ，且对于 0 ≤ i < j ≤ 9 ， X i ⋂ X j = ∅ ， X i 中不包含城市 A 1 , A 2 , , A 28 ． 对于1 ≤ k ≤ 8 ，城市 A 3k , A 3k +1 , A 3k +2 与集合 X k 中所有的城市通航；城市 A 1 , A 2 与集合 X 0 中所有的城市通 航；城市 A 27 , A 28 与集合 X 9 中所有城市通航；集合 X i (0 ≤ i ≤ 9)中任意一座城市与上述的城市 A s 通航， 与且仅与集合 X i 中其余城市通航；城市 A i 与 A i +1 (i = 1, 2, , 27) 通航． 这样，城市 A 1 A 28 至少与七座城市通航，集合 X i 中任意一座城市均只与七座城市通航，且城市A 1A 28 至少经过 27 次直航来连接．因此， n = 27 ．。
高中数学竞赛(预赛)训练试题+数学竞赛初赛试题(含答案)
高中数学竞赛(预赛)训练试题+数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）一、填空题（本题满分56分，每小题7分。
） 1．已知复数m 满足11=+m m ，则=+200920081mm ． 2．设2cos sin 23cos 21)(2++=x x x x f ，]4,6[ππ-∈x ，则)(x f 的值域为 ． 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则15152211,,,a S a S a S 中最大的是 ． 4．已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若AC y AB x AO +=，且5102=+y x ，则=∠BAC cos ．5．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱A 1D 1和CC 1的中点．则四面体1MNB O -的体积为 ．6．设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ⊆}4,3,2,1{，则符合条件的),,(C B A 共有 组．（注：C B A ,,顺序不同视为不同组．）7．设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，则||y 的最小值为 ． 8．设p 是给定的正偶数，集合},3,22|{1N ∈=<<=+m m x x x A p pp 的所有元素的和是 ．二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。
） 9．设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+，其中n m n m ≥∈,,N ． （1）证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ； （2）证明：1111200921<+++a a a ． 10．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．11．已知抛物线C ：221x y =与直线l ：1-=kx y 没有公共点，设点P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线C 的两条切线，A ，B 为切点．(1)证明：直线AB 恒过定点Q ；12．设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ．证明：22222)(4b a ad d c c b b a -+≥+++．湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）参考答案一、填空题（本题满分56分，每小题7分。
全国高中数学联赛模拟试题第一试试题
全国高中数学联赛模拟试题第一试试题一、选择题1、对任意一组非负实数a 1,a 2,…,a n ，规定a 1=a n+1，若有∑=+-+-nk k k k kaa a a 12112∑=≥ni i a 1λ恒成立，则实数λ的最大值为_________. A ．0 B.22C ．1D ．22、已知A ，B ，C 为ΔABC 的三个内角，记y=sin3A+sin3B+sin3C ，则y 的取值范围是______。
A ．[0，2]B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-233,2C ．[-2，2]D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛233,03、若p,q ∈N +且p+q>2007, 0<p<q ≤2007，(p,q)=1，则形如pq1的所有分数的和为_________. A ．20072006 B ．20082007 C ．21D ．14、椭圆的中心为原点O ，焦点在x 轴上，过椭圆的左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则椭圆的离心率e 的取值范围是_________。
A ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,215B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-215,0C ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 D ．]415,415[+-5、若对实数x ∈[10,+∞）恒有|log m x|≥2，则m 取值范围是_________。
A ．（0，1）B ．]10,1(C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛1010,0D ．(]10,11,1010 ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡6、将20个乒乓球（不加区分）装入5个不同的盒子里，要求不同的盒子中的球数互不相同，且盒子都不空，一共有_______种不同装法。
A ．7B ．14C ．419C D ．7×5！二、填空题7、已知复数z 1,z 2,z 3满足|z 1|≤1,|z 2|≤1,|2z 3-(z 1+z 2)|≤|z 1-z 2|，则|z 3|的最大值与最小值的差为_________。
8、已知平面向量a=(3,-1),b=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21，若存在非零实数k 和角⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππαα，使得c=a+(tan 2α-3)b, d=-ka+(tan α)b ，且c ⊥d ，则k=_________。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷(预赛)(A卷)(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷（预赛）（A卷）一、填空题：本题共8小题，每小题8分，共64分。
1.若实数m>1满足log9(log8m)=2024，则log3(log2m)的值为______．2.设无穷等比数列{a n}的公比q满足0<|q|<1.若{a n}的各项和等于{a n}各项的平方和，则a2的取值范围是______．3.设实数a，b满足：集合A={x∈R|x2−10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b3}的交集为[4,9]，则a+b的值为______．4.在三棱锥P−ABC中，若PA⊥底面ABC，且棱AB，BP，BC，CP的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为______．5.一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b.若事件“a+b=7”发生的概率为17，则事件“a=b”发生的概率为______．6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2x)在区间[0,5)上的零点个数为25，则g(x)在区间[1,4)上的零点个数为______．7.设F1，F2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P(异于长轴端点)，记O为△PF1F2的外心，若PO⋅F1F2=2PF1⋅PF2，则Ω的离心率的最小值为______．8.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a,b,c)为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10<a<b<c的幸运数组(a,b,c)的个数为______．二、解答题：本题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.(本小题16分)在△ABC中，已知cosC=sinA+cosA2=sinB+cosB2，求cosC的值．10.(本小题20分)在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x2−y2=1的右顶点为A.将圆心在y轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P，圆心距为d，求d|PA|的所有可能的值．11.(本小题20分)设复数z，w满足z+w=2，求S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值．参考答案1.40492.[−14,0)∪(0,2)3.74.345.196.117. 648.5919.解：由题意知，sinA +cosA =sinB +cosB ，所以 2sin (A +π4)= 2sin (B +π4)，所以A +π4=B +π4或(A +π4)+(B +π4)=π，即A =B 或A +B =π2，当A =B 时，C =π−2A ，且A ∈(0,π2)，由cosC =sinA +cosA 2，知cos (π−2A)=sinA +cosA 2，即−2cos2A =sinA +cosA ，所以2(sin 2A−cos 2A)=sinA +cosA ，所以2(sinA +cosA)(sinA−cosA)=sinA +cosA ，因为A ∈(0,π2)，所以sinA +cosA ≠0，所以sinA−cosA =12，又sin 2A +cos 2A =1，所以(12+cosA )2+cos 2A =1，解得cosA =7−14或cosA =− 7−14(舍负)，所以cosC =−cos2A =1−2cos 2A =1−2×(7−14)2= 74；当A +B =π2时，C =π2，所以cosC =0，此时sinA +cosA = 2sin (A +π4)=0，而A ∈(0,π2)，所以A +π4∈(π4,3π4)，所以sin (A +π4)>0，与sin (A +π4)=0相矛盾，所以cosC =0不成立，综上，cosC = 74． 10.解：考虑以(0,y 0)为圆心的好圆Ω0：x 2+(y−y 0)2=r 20(r 0>0)．由Ω0与Γ的方程联立消去x ，得关于y 的二次方程2y 2−2y 0y +y 20+1−r 20=0．根据条件，该方程的判别式Δ=4y20−8(y20+1−r20)=0，因此y20=2r20−2．对于外切于点P的两个好圆Ω1，Ω2，显然P在y轴上．设P(0,ℎ)，Ω1，Ω2的半径分别为r1，r2，不妨设Ω1，Ω2的圆心分别为(0,ℎ+r1)，(0,ℎ−r2)，则有(ℎ+r1)2=2r21−2，(ℎ−r2)2=2r22−2，两式相减得2ℎ(r1+r2)=r21−r22，而r1+r2>0，故化简得ℎ=r1−r22，进而(r1−r22+r1)2=2r21−2，整理得r21−6r1r2+r22+8=0①，由于d=r1+r2，A(1,0)，|PA|2=ℎ2+1=(r1−r2)24+1，而①可等价地写为2(r1−r2)2+8=(r1+r2)2，即8|PA|2=d2，所以d|PA|=22．11.解：根据z+w=2，得w=2−z，可得|z2−2w|=|z2−2(2−z)|=|z2+2z−4|=|z+1+5|⋅|z+1−5|．|w2−2z|=|(2−z)2−2z|=|z2−6z+4|=|z−3+5|⋅|z−3−5|．以上两式的最右边各项分别是z到复平面中实轴上的点(−1−5,0)，(−1+5,0)，(3−5,0)，(3+5,0)的距离，将z=x+yi换成其实部x时，各个距离都不会增大，因此只需考虑函数f(x)=|x2+2x−4|+|x2−6x+4|在R上的最小值．由x2+2x−4=0的根为−1±5，x2−6x+4=0的根为3±5，且−1−5<3−5<−1+5<3+5，分以下几种情况讨论：①若x≤−1−5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在(−∞,−1−5]上的最小值为f(−1−5)=16+85；②若x∈(−1−5,3−5]，则f(x)=−8x+8，此时f(x)的最小值为f(3−5)=−16+85；③若x∈[3−5,−1+5]，则f(x)=−2x2+4x，此时f(x)的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=−16+85；④若x∈[−1+5,3+5]，则f(x)=8x−8，此时f(x)的最小值为f(−1+5)=−16+85；⑤若x≥3+5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在[3+5,+∞)的最小值为f(3+5)=16+85．综上所述，f(x)在R上的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=85−16．即S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值是85−16．。
全国高中生数学竞赛试题
全国高中生数学竞赛试题一、选择题1. 若一个等差数列的前三项分别是2x-1、3x+1和7x-5，那么x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且有a>0，b>0，c>0，那么a+b+c的值是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 一个圆的半径是5cm，圆心位于坐标系的原点，那么圆上一点（3，4）到圆心的距离是：A. 5cmB. 5√2cmC. 2√5cmD. 10cm4. 以下哪个三角形的内角和不是180°？A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形5. 若a、b、c是等比数列，且abc=8，a+b+c=6，那么b的值是：A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题6. 一个等差数列的前四项之和为26，首项为2，公差为3，求该等差数列的第四项。
7. 已知一个圆的周长为4πcm，求该圆的面积（π取3.14）。
8. 若函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6有唯一的零点，求该零点的值。
9. 一个直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，求另一条直角边的长度。
10. 一个等比数列的前三项分别是2，6和18，求该数列的公比。
三、解答题11. 已知一个等差数列的前五项和为35，且第五项是首项的三倍。
求该等差数列的首项和公差。
12. 一个圆与直线y=2x+3相交于点A，且圆心到直线的距离为2√2cm。
若圆的半径为5cm，求圆心的坐标。
13. 证明：若n是正整数，且n^2 + 3n + 2是一个完全平方数，则n 也是正整数。
14. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为x，且周长为30cm。
求x的值。
15. 一个等比数列的前五项之和为31，首项为2，求该等比数列的公比和最后一项的值。
请注意，以上题目仅供参考，实际的全国高中生数学竞赛试题可能会有所不同。
在解答时，考生需要仔细审题，合理运用数学知识和解题技巧，力求准确、高效地完成题目。
全国高中数学竞赛金牌模拟试卷(一)
DCBAxyOxyOOOxy xy全国高中数学竞赛金牌模拟试卷（一）一、选择题1、二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为（ ）2、已知数列{}n a 满足)(,,*1221N n a a a b a a a n n n ∈-===++。
{}n n a S 是的前n 项的和，则20042004S a +等于（ ）A 、a b +B 、a b -C 、a b -+D 、a b -- 3、在12)2(++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（ ）A 、1312++n ； B 、123+n ； C 、12321+⨯n ； D 、)13(2112++n4、在1，2，3，4，5的排列54321,,,,a a a a a 中，满足条件,,2321a a a a <<4543,a a a a <<的排列个数是（ ）A 、10；B 、12；C 、14；D 、16.5、直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=323:,3232--+=-+m mx x y C m 中至少有一条相交，则m 的取值范围是（ ） A 、283-≤≥m m 或 B 、211-≤-≥m m 或 C 、R m ∈ D 、以上均不正确6、若关于x 的不等式062<--a ax x 有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的a 的最大值为a M 、最小值为a m ，则a M －a m 等于（ ）A 、1B 、24C 、25D 、26 7、R k ∈，则方程组⎩⎨⎧=---++-=0111618491222y x y x k kx y （ ）A 、有且仅有一组实数解B 、有且仅有两组不同的实数解C 、有两组解，但不一定都是实数解D 、由于k 为参数，以上情况均有可能出现8、锐角△ABC 中，c b a c AB b CA a BC >>===且,,,，分别以BC ，CA ，AB 边上的高AD ，BE ，CF 为折线，将三角形折成平面角均为)0(πθθ<<的二面角，记折叠后的四面体ABCD ，ABCE ，ABCF 体积方便为321,,V V V ，则下面结论正确的是（ ） A 、321V V V >> B 、321V V V <<C 、231V V V >>或213V V V >>D 、321,,V V V 大小不能确定9、有九条直线，其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为2：3的两个四边形，那么这九条直线（ ）A 、存在这样的九条直线；没有两条过同一个点；B 、至少有两条过同一个点；C 、至少有三条过同一个点；D 、至少有四条过同一个点； 10、设1)5,4,3,2,1(0,51==≥∈∑=i ii i xi x R x ，则{433221,,x x x x x x x ma +++ }54,x x +的最小值等于（ ） A 、41 B 、31 C 、61 D 、41二、填空题11、设a 为实数，集合{}{}φ≠+---=+-=B A a a B a a a a A ,1,1,1,,,222，则=B A____________________．12、)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且)(),1()1(x f x f x f -=+在)1,0(∈x 上是增函数，则)1.8(f 与)8.3(-f 的大小关系是____________________．13、已知向量375a b a b +-与垂直，472a b a b --与垂直，则向量a b b -与的夹角是____________________． 14、已知sin(2)3sin a a β+=，且1,,(,)22k a n n k Z πβπβπ≠+≠+∈，则tan()tan a ββ+的值是____________________．15、设,,,a b c d 为已知常数，且0b c d ≥≥≥，要使x a x a b -+-++x a b c x a b c x a b c d x a b c d -+-+-+++-+-++-++-为常数，则x 的取值范围是____________________．16、如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，,,AB a BC b ==1A A c =，E 为D 1C 1中点，若平面A 1BC 1与平面ACE 所成二面角的平面角为θ，则Sin θ=____________________．17、若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]11.31,234⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦等等）则2004++++⎢⎣ ＝____________________．18、斜率为1的直线与椭圆2214y x +=交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的点，且2AP PB=. 则P 点的轨迹方程是____________________．19、函数)cos (sin 32sin x x x y +-=的最大值为____________________．20、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是____________________．（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线。
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题及答案
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式1．三角函数的积化和差公式sin α•cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)], cos α•sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)], cos α•cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)], sin α•sin β=21[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V 球=34πR 3（R 为球的半径）。
一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy 平面上，0<y ≤x 2,0≤x ≤1所围成图形的面积为31。
则集合 M={(x,y)|x ≤|y|}, N={(x,y)|x ≥y 2| 的交集M ∩N 所表示的图形面积为 A ．32 B ．31 C ．1 D ．61 2．在四面体ABCD 中，设AB=1，CD=3，直线AB 与直线CD 的距离为2，夹角为3π。
则四面体ABCD 的体积等于 A ．23 B ．31 C ．21 D ．333．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。
若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A ．90B ．100C ．110D ．1204．在ΔABC 中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC ，则 A ．ΔABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形 B ．ΔABC 是直角三角形，但不一定是等腰三角形 C ．ΔABC 既不是等腰三角形，也不是直角三角形 D ．ΔABC 既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x 2-x+4, f(g(x))=3x 4+18x 3+50x 2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A ．8B ．9C ．10D ．116．设0<x<1, a,b 为正常数。
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CBA xyOxyOOOxy xy全国高中数学竞赛金牌模拟试卷（一）一、选择题1、二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为（ ）2、已知数列{}n a 满足)(,,*1221N n a a a b a a a n n n ∈-===++。
{}n n a S 是的前n 项的和，则20042004S a +等于（ ）A 、a b +B 、a b -C 、a b -+D 、a b -- 3、在12)2(++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（ ）A 、1312++n ； B 、123+n ； C 、12321+⨯n ； D 、)13(2112++n4、在1，2，3，4，5的排列54321,,,,a a a a a 中，满足条件,,2321a a a a <<4543,a a a a <<的排列个数是（ ）A 、10；B 、12；C 、14；D 、16.5、直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=323:,3232--+=-+m mx x y C m 中至少有一条相交，则m 的取值范围是（ ） A 、283-≤≥m m 或 B 、211-≤-≥m m 或C 、R m ∈D 、以上均不正确6、若关于x 的不等式062<--a ax x 有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的a 的最大值为a M 、最小值为a m ，则a M －a m 等于（ ）A 、1B 、24C 、25D 、26 7、R k ∈，则方程组⎩⎨⎧=---++-=0111618491222y x y x k kx y （ ）A 、有且仅有一组实数解B 、有且仅有两组不同的实数解C 、有两组解，但不一定都是实数解D 、由于k 为参数，以上情况均有可能出现8、锐角△ABC 中，c b a c AB b CA a BC >>===且,,,，分别以BC ，CA ，AB 边上的高AD ，BE ，CF 为折线，将三角形折成平面角均为)0(πθθ<<的二面角，记折叠后的四面体ABCD ，ABCE ，ABCF 体积方便为321,,V V V ，则下面结论正确的是（ ） A 、321V V V >> B 、321V V V <<C 、231V V V >>或213V V V >>D 、321,,V V V 大小不能确定9、有九条直线，其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为2：3的两个四边形，那么这九条直线（ ）A 、存在这样的九条直线；没有两条过同一个点；B 、至少有两条过同一个点；C 、至少有三条过同一个点；D 、至少有四条过同一个点； 10、设1)5,4,3,2,1(0,51==≥∈∑=i ii i xi x R x ，则{433221,,x x x x x x x ma +++ }54,x x +的最小值等于（ ） A 、41 B 、31 C 、61 D 、41二、填空题11、设a 为实数，集合{}{}φ≠+---=+-=B A a a B a a a a A ,1,1,1,,,222，则=B A____________________．12、)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且)(),1()1(x f x f x f -=+在)1,0(∈x 上是增函数，则)1.8(f 与)8.3(-f 的大小关系是____________________．13、已知向量375a b a b +-与垂直，472a b a b --与垂直，则向量a b b -与的夹角是____________________． 14、已知sin(2)3sin a a β+=，且1,,(,)22k a n n k Z πβπβπ≠+≠+∈，则tan()tan a ββ+的值是____________________．15、设,,,a b c d 为已知常数，且0b c d ≥≥≥，要使x a x a b -+-++x a b c x a b c x a b c d x a b c d -+-+-+++-+-++-++-为常数，则x 的取值范围是____________________．16、如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，,,AB a BC b ==1A A c =，E 为D 1C 1中点，若平面A 1BC 1与平面ACE 所成二面角的平面角为θ，则Sin θ=____________________．17、若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]11.31,234⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦等等）则2004++++⎢⎣ ＝____________________．18、斜率为1的直线与椭圆2214y x +=交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的点，且2AP PB =. 则P 点的轨迹方程是____________________．19、函数)cos (sin 32sin x x x y +-=的最大值为____________________．20、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是____________________．（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线。
）21、全国篮球职业联赛的某个赛季在H 队与F 队之间角逐。
采取七局四胜制（无平局），即若有一队胜4场，则该队获胜并且比赛结束。
设比赛双方获胜是等可能的。
根据已往资料显示，每场比赛的组织者可获门票收入100万元。
组织者在此赛季中，两队决出胜负后，门票收入不低于500万元的概率是____________________．DAEC B 1cD 1bC 1A 1答案与提示一、选择题：1、D .提示：二次函数b ax y +=2与一次函数图象b ax y +=交于两点),(b o 、),1(b a +，由二次函数图象知，b a ,同号，而由C B ,中一次函数图象知b a ,异号，相矛盾,故舍去C B ,.又由b a >知，当0>>b a 时，1->-ab，此时与A 中图形不符，与D 中图形相符. 故选 D 2、B 提示：b a a a b a a b a a a a b a b a a a ==-=-=-=-===87654321,,,,,,,由此推得：0,543216=+++++=++++++n n n n n n n n a a a a a a a a ∴0334633362004662004=⨯=-==⨯+=S S b a a a a∴b a S a -=+20042004。
故选B 3、D . 提示：r r n r n r xCT 2212121⋅=-+++.由于x 的幂指数应为整数,因此,r 为奇数. 记+⋅+⋅+⋅=+++55123312112222n n n C C C S …+1212122+++⋅n n n C . 由于 +⋅+⋅+=+++++21121120121222)21(n n n n C C C … -1212122+++⋅n n n C , -⋅+⋅-=-++++21121120121222)21(n n n n C C C … -1212122+++⋅n n n C , 因此,将以上两式相减,即可得到 )13(2112+=+n S . 4、D .提示：由已知条件知只可能 52=a 或54=a ，且3,3,3342≤≥≥a a a . (1) 当52=a 时,则34=a 或4当34=a 时,有2!=2种排列:当44=a 时,有3!=6种排列,即共有8种排列. 同理,当52=a 时,也有8种排列. 故应选 D . 5、B .提示：原命题可变为，求方程：m mx x mx 4532-+=-，3)12(322-+-+=-m x m x mx ，32332--+=-m mx x mx 中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的m 的值，使得所求.即变为解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<--<+--,0)2(44,04)1(,0)34(4)4(2222m m m m m m 得 123-<<-m ，故符合条件的m 取值范围是23-≤m 或1-≥m ， 应选 B .6、D ；提示 由⎪⎩⎪⎨⎧≤+--++>+5224224024222a a a a a a a a得25242402≤-+-<>a a a a 或 解得]1,0()24,25[ --∈a∴26)25(1=--=-a a m M ； 故选D 7、B提示：原方程组可变为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+---=-19)2(4)1()2(122y x x K y )2()1( (1)表示过点）1,2(的直线,(2)表示椭圆,中心为)2,1(Q ,短半轴长为2.由22)21()12(22<=-+-=AQ 知,A 点在椭圆内部,因此,过点A 的直线与椭圆必有两个不同的交点. 故选 B .8、A 提示：θADSin CD BD V ⋅⋅⋅=611 θS i n a b C o s C c C o s B⋅∆⋅⋅⋅=261 aS i n b c C o s B C o s C θ⋅∆=3a C o s AbcsCSin CosACosBCo ⋅∆=3θ)(2322222c b a a c b s C S i n C o s A C o s B C o ++-⋅∆=θ )(1322223222c b a a s C S i n C o s A C o s B C o c b a ++-⋅⋅∆⋅=θCA BDab c（ 以上∆表示ABC ∆面积）.记 32222θs C S i nC o s A C o s B C o c b a K ⋅∆⋅=, 同理可得,)(22232c b a b KV +-=)(22233c b a C K V -+= 由于K 为相同值,因此,要比较321,,V V V 大小,即比较)(2223c b a a ++-、 )(2223c b a b +-、)(2223c b a c -+的大小.∵ b a >、222c b a >+∴ )(2223c b a a ++--)(2223c b a b +-=)(2)())((223322233b a b a b a c b a b a ---++-- =)(2))((2222233b a b a c b a b a --+---0< ∴)(12223c b a a ++-)(12223c b a b +->, ∴ 21V V >. 同理, 32V V >.∴ 321V V V >> , 选 A . 9、C .提示：如图，设CD 为满足要求的直线，将平行四边形分成两个梯形，易知，要使这两个梯形面积之比为2：3，只要其中位线比为2：3，即AP :PB =2：3，S R Q P ,,,），象P 这样的点有四个（图中且适合条件 的九条直线必过这四点中的一个点.根据抽屉原理知，其中必有3条直线过同一个点. 故选C 10、B 提示：{}{}31)(31,,,,,45151412154433221≥+≥+++≥++++∑=x x x x x x x x x ma x x x x x x x x x ma i iABPQ RS1-2取0,3142531=====x x x x x 则 {}31,,,54433221=++++x x x x x x x x x ma 故选B 二：填空题11、{}2,1-=B A . 提示：由φ≠B A 可得1=a 12、)8.3()1.8(-<f f .提示:∵)(x f 在),(+∞-∞上是偶函数,且)1()1(x f x f -=+.∴[])1()1()1(-=--=+x f x f x f ∴)()2(x f x f =+∴)(x f 是以2为周期的偶函数 ∴)1.0()1.024()1.8(f f f =+⨯=,)2.0()2.0()2.042()8.3()8.3(f f f f f =-=-⨯==-. 又∵)(x f 在(0.1)上是增函数,0.1与0.2)1,0(∈且2.01.0<, ∴)2.0()1.0(f f <. ∴)8.3()1.8(-<f f .13、0160)5()3(=-+⇒=-⋅+ （1）0160)5()3(=-+⇒=-⋅+ （2）（1）-（2）化简得221=⋅ ；（3）（1）×15+（2）×8=；（4）222)-(=+-==设a b b -与的夹角为θ，则21-==Cos θ∴0120=θ14、ββββββSin a Cos Cos a Sin n ta a n ta ).().(.)(.++=+ 213131)2(1)2(])2([21])2([21=-+=-+++=--++=Sinaa Sin Sina a Sin Sina a Sin Sina a Sin ββββ15、x 的取值范围是d c b a x b a -+-≤≤-.提示:当0≥≥≥d c b 时,有a cb a dc b a b ad c b a c b a ≤+-≤-+-≤-≤+--≤--. 因此, d c b a x b a -+-≤≤-,这时d c b a x c b c x b a x a x +-+-+-+-++-+- +c b a x d c b a x ++-+-++-=d c b a x c b a x b a x a x -+-+-+-+-+-++- +c b a x d c b a x ++-+-++- =d c b 24-+. 16、222222222222244ac c b b a b a a c c b bca Sin ++⋅++=θ.提示：设AC D 1中AC 边上的高（即1D 到AC 距离）为h ，则 ab a ac c b a S h ACD 22222212++==∆. 又求得 2222224421a c cb b a S EAC ++=∆. 设C 到平面AE D 1的距离为d , 于是,由C ED A EAC D V V 11--= 得到4131⋅22222244a c c b b a ++=b ac ⋅⋅⋅212131,∴22222244ac c b b a abcd ++=.∴222222222222244ac c b b a b a a c c b bca h d Sin ++⋅++==θ.17、2003．提示： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⨯-+)1(11n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++)1(11n n n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++11n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n = 1 18、轨迹是：2)(5324x y y x --=+ )5(<-x y 提示：设动点为),(y x P ''，则过P )(x y x y '-'+=.代入椭圆方程1422=+y x , 整理得： 04)()(2522=-'-'+'-'+x y x x y x (※)若直线l 椭圆交于),(11y x A ，))(,(2122x x y x B <，则21,x x 是方程(※)的两个根, 且5)(52)(21x y x y x '-'--'-'-= ①5)(52)(22x y x y x '-'-+'-'-= ②又∵2=PBAP， 21x x <. ∴3221x x x +='. 将①、②代入并整理得： 2)(5324x y y x '-'-='+' （5<'-'x y ） 19、2369max +=y . 提示:设参数λ(R ∈λ),则2222)2(1Cosx x Sin y λλλ+=①))(4(122222x Cos x Sin ++≤λλλ②222222224)1)(4()21(4λλλλλλ++=+⋅+≤由①、②知,取等号条件为:⎪⎩⎪⎨⎧-==.2,22x Cos Cosxλλλ 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.213,132Cos λ∴4369)13(4)131)(134(22+=--+-+≤y , 即 2369max +=y . 20、241提示：凸多面体的面数F ＝36，棱数E ＝60，顶点数V ＝E+2-F ＝26 将顶点记为i ＝1，2，3，···，26设凸多面体的面中以i 为顶点的三角形有i t 个，以i 为顶点的四边形有i q 个那么凸多面体的对角线总数＝∑--261)25(21i i q t2414123242132522121262521261261=⨯-⨯⨯-=⨯--⨯⨯=∑∑==i ii i q t22、0.875提示：解一：门票收入不低于500万元⇔比赛进行了5场或6场或7场。