河南省高一下学期期末数学试卷
【最新】河南省郑州市高一下册第二学期期末考试数学试题含答案
2019-2020学年下期期末考试高一数学试题卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.0sin 585的值为（ ）A ．22 B ．22- C ．32- D ．322.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 3.下列各式中，值为32的是（ ） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15- C ．202sin 151- D ．2020sin 15cos 15+4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（ ）A ．19，13B ．13，19 C.19，18 D ．18，195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A ．23 B ．25 C. 12 D ．136.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++•+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图像是（ ）A ．B ． C.D ．7.设单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（ ）A ．34 B ．537C.2537 D ．5378.如果下面程序框图运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（ ）A ．10?k <B ．10?k > C. 11?k < D ．11?k >9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（ ） A ．18 B ．1136 C.14 D ．156410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称，则ϕ可能取值是（ ）A ．2π B ．12π- C.6π D ．6π- 11.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ，若3OC mOA mOB =+u u u r u u u r u u u r ，AP AB λ=u u u r u u u r，则λ=（ ）A ．56 B ．45 C.34 D ．2512.已知平面上的两个向量OA u u u r 和OB uuu r 满足cos OA α=u u u r ，sin OB α=u u u r ，[0,]2πα∈，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，且22221(21)cos 2(21)sin 4λαμα-+-=，则OC u u u r 的最大值是（ ）A ．32B ．34 C.35 D ．37第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知tan 4α=，tan()3πβ-=，则tan()αβ+ ．14.已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是82，则xy = ． 15.已知ABC ∆的三边长4AC =，3BC =，5AB =，P 为AB 边上的任意一点，则()CP BC BA -u u u r u u u r u u u rg 的最小值为 ．16.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图像向左平移12π个单位，再向下平移2个单位，得到()g x 的图像，若12()()16g x g x =，且1x ，2[2,2]x ππ∈-，则122x x -的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-. （I ）求向量a b -与向量b 夹角的余弦值 （II ）若()a a b λ⊥-，求实数λ的值.18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x B πωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x的解析式（II）将()f x的图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x=的图像，求()y g x=的图像离y轴最近的对称中心.19. 某商场经营某种商品，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这种商品数x之间的一组数据关系如表：（I）画出散点图；（II）求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（III）估计当每天销售的件数为12件时，每周内获得的纯利为多少？附注：721280iix==∑，721()27iix x=-=∑，713076i iix y==∑，72134992iiy==∑，1122211()()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑，$a y bx=-.20. 在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上.（I ）若点F 是CD 上靠近C 的四等分点，设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，求λμg 的值；（II ）若3AB =，4BC =，当2AE BE =u u u r u u u rg 时，求DF 的长.21.某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示. （I ）若该所中学共有3000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数； （II ）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人，试求恰好抽中1名优秀生的概率.22.已知函数21()sin 3cos 2f x x x x ωωω=+（0ω>），()y f x =的图象与直线2y =相交，且两相邻交点之间的距离为x . （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）已知,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域； （III ）求函数()f x 的单调区间并判断其单调性.试卷答案一、选择题1-5BABCB 6-10BDADC 11、12：CB 二、填空题 13.113 14.60 15.16- 16.5512π 三、解答题17.解：（1）()4,2a b -=-vv ，设a b -vv 与a v的夹角为θ，所以()cos a a bbbb θ-⋅===-vv r r vv ， （2）()13,24a b λλλ-=+-vv ()a ab λ⊥-v v Q v ，∴()0a a b λ⋅-=vv v()()1132240λλ∴⨯++⨯-=，解得1λ= 18.．．．解：．．(1)．．．根据表中已知数据，解得．．．．．．．．．．．5A ＝，．2ω=，．6πϕ=-.．数据补全如下表：．．．．．．．．且函数表达式为．．．．．．．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭.．(2)．．．由．(1)．．．知．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 因此．．g(x)=5sin 2+2=5sin 2+2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.． 因为．．y sinx ＝的对称中心为．．．．．．(,2)k π ，．k Z ∈，令．．2x+=k 6ππ，．k Z ∈，解得．．．x=212k ππ-，．k Z ∈，．即．()y g x ＝图象的对称中心为．．．．．．．．222kx π（-，），．k Z ∈，其中离．．．．y 轴最近的对称中心为．．．．．．．．．(,2)12π-.．19.解：(1)（2）$712723456789675659637179808270730767670136 4.92807362813670640.928i ii iix y x y nx ybxnxay bx =++++++==++++++==--⨯⨯∴===≈-⨯-∴=-=-⨯≈∑∑$$∴回归方程为： 4.940.9y x ∧=+（3）当12x -时 4.91240.999.7y ∧=⨯+=所以估计当每天销售的简述为12件时，周内获得的纯利润为99.7元.20.解：（1）EF EC CF =+u u u r u u u r u u u r，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，所以1124EF EC CF BC CD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以，1142EF AB AD =-+u u u r u u u r u u u r ，即14λ=-，12μ=，则18λμ⋅=-.（2）设DF mDC =u u u r u u u r(0)m >，则(1)CF m DC =-u u u r u u u r ，1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，(1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又0AB AD ⋅=u u u r u u u r，所以1()[(m 1)]2AE BF AB AD AB AD ⋅=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221(1)2m AB AD =-+u u u r u u u r 9(1)82m =-+=，解得13m =，所以DF 的长为1． 21.解：（1）由直方图可知，样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=，则估计全校这次考试中优秀生人数为30000.3900⨯=．（2）由分层抽样知识可知，成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100间分别抽取了3人，2人，1人．记成绩在[)70,80的3人为a ，b ，c ，成绩在[)80,90的2人为d ，e ，成绩在[]90,100的1人为f ，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ，(,,)a b d ，(,,)a b e ，(,,)a b f ，(,,)a c d ，(,,)a c e ，(,,)a c f ，(,,)a d e ，(,,)a d f ，(,,)a e f ，(,,)b c d ，(,,)b c e ，(,,)b c f ，(,,)b d e ，(,,)b d f ，(,,)b e f ，(,,)c d f ，(,,)c e f ，(,,)d e f 共20种，其中恰好抽中1名优秀生的结果有(,,)a b d ，(,,)b c d ，(,,)c a d ，(,,)a b e ，(,,)b c e (,,)c a e ，(,,)a b f ，(,,)b c f ，(,,)c a f 共9种，所以恰好抽中1名优秀生的概率为920P =．22.解：（1）()211cos2ωx 1sin 21sin(2)22226f x x xcos x sin x x πωωωωω-=+==-+=-+与直线2y =的图象的两相邻交点之间的距离为π，则T π=，所以1ω=（2）7131[,]2[,]sin(2)[1,]266662x x x ππππππ∈∴+∈∴+∈-Q ()f x ∴的值域是1[,2]2（3）令222()262kx x kx k Z πππ-≤+≤+∈，则()36kx x kx k Z ππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调减区间为()ππk π-,k πk Z 63⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3222(),262kx x kx k Z πππ+≤+≤+∈则2()63kx x kx k Z ππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调增区间为()π2πk π,k πk Z 63⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。
河南省开封市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含解析
开封市2022-2023学年度第二学期期末调研考试高一数学试题（答案在最后）注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数1i2i z +=+，则z 的虚部为（）A.15-B.15 C.1i5- D.1i 5【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简得到31i 55z =+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数()()()()1i 2i 1i 31i 2i 2i 2i 55z +-+===+++-，所以z 的虚部为15.故选：B.2.在ABC 中，13BD BC = ，设,AB a AC b == ，则AD =（）A.2133a b +r rB.2133a b -+ C.4133a b -D.4133a b + 【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的加法和减法法则，计算可得答案.【详解】由13BD BC =，可得，1()3AD AB AC AB -=-，整理可得，12133323a bAD AB AC +=+= .故选：A3.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“2枚硬币都是正面朝上”，事件B =“2枚硬币朝上的面相同”，则下列A 与B 的关系中正确的个数为（）①A B ⊆②互斥③互为对立④相互独立A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型的计算公式、互斥事件、对立事件、独立事件的概念对选项一一分析判断即可得出答案.【详解】由题意可知：一枚硬币有两个等可能结果：正面朝上、反面朝上，两枚硬币有两个等可能结果：正正、正反、反正、反反，事件A =“2枚硬币都是正面朝上”包含的情况为：正正，事件B =“2枚硬币朝上的面相同”包含的情况为：正正，反反，故A B ⊆，故①正确；②错误；事件A 的对立事件为：正反、反正、反反，故③错误；则()()121,442P A P B ===，()12P AB =，所以()()()P A P B P AB ≠，故④错误.故选：A .4.已知,m n 为空间中两条直线，,αβ为空间中两个平面，则下列说法正确的是（）A.若,m m n α⊥⊥，则n α∥B.若,,m n m n αβ⊂⊂∥，则αβ∥C.若,,m n ααββ⊥⊥∥，则m n ⊥D.若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥【解析】【分析】由选项A 的条件可得出线在面内或线面平行可以判断A 选项；由选项B 的条件可得出两个平面平行或相交可以判断B 选项；由选项C 的条件可得出两条直线可以平行、相交或异面可判断C 选项；根据面面垂直的判定可以判断D 选项.【详解】对于A ，若,m m n α⊥⊥，则n α∥或n ⊂α，A 错；对于B ，若,,m n m n αβ⊂⊂∥，则αβ∥或,αβ相交，B 错；对于C ，若,,m n ααββ⊥⊥∥，则,m n 相交或//m n 或,m n 异面，C 错；对于D ，若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，当n ⊂α，又n β⊥，可得αβ⊥；当//n α时，如图，平面α内必然有一条直线设为l 与n 平行，由n β⊥，则l β⊥，由面面垂直的判定可得αβ⊥，所以D 正确．故选：D ．5.从长度为2,3,5,7,11的5条线段中任取3条，这三条线段不能构成一个三角形的概率为（）A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】利用列举法及古典概型概率公式求解即可.【详解】取出3条线段的情况有()()()()()()2,3,5,2,3,7,2,3,11,2,5,7,2,5,11,2,7,11，()()()()3,5,7,3,5,11,3,7,11,5,7,11，共10种，不能构成三角形的有()()()()()()()2,3,5,2,3,7,2,3,11,2,5,7,2,5,11,2,7,11,3,5,11，()3,7,11共8种，故概率84105P ==.6.已知,O O '分别是圆柱O O '上､下底面圆的圆心，,A B 分别是上､下底面圆周上一点，若2O O O A '='，且直线O A '与OB 垂直，则直线AB 与O O '所成的角的正切值为（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】如图，过点B 作圆柱的母线，交圆柱的上底面于点C ，连接,AC O C '，说明ABC ∠即为直线AB 与O O '所成的角的平面角，进而可得出答案.【详解】如图，过点B 作圆柱的母线，交圆柱的上底面于点C ，连接,AC O C '，则BC ⊥平面AO C '，则//BC OO '，且BC OO '=，所以四边形BCO O '为平行四边形，所以//OB O C '，因为O A OB '⊥，所以O A O C ''⊥，设22O O O A a '=='，则2,,BC a OB O C a AC '====，因为BC ⊥平面AO C '，AC ⊂平面AO C '，所以BC AC ⊥，则tan 22AC ABC BC a ∠===，即直线AB 与O O '所成的角的正切值为2.故选：B.7.如图所示，为测量河对岸的塔高AB ，选取了与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得3tan ,50m 4ACB CD ∠==，3cos ,cos 55BCD BDC ∠∠==，则塔高AB 为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求得BC ，再在直角ABC 中，利用正切函数的定义，求得AB 的长，即可求解．【详解】在BCD △中，350m,cos 5CD BCD BDC ∠∠===，所以4sin 55BCD BDC ∠∠==所以()34sin sin 55CBD BCD BDC ∠∠=+∠=+=，由正弦定理sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，可得4505BC ⨯==在直角ABC 中，因为3tan ,4ACB ∠=所以3tan 4AB BC ACB ∠=⋅==，即塔高为．故选：C ．8.如图，在平面四边形ABCD 中，90,2,A AB AD BCD ∠=== 为等边三角形，当点M 在对角线AC 上运动时，MC MD ⋅的最小值为（）A.-2B.32-C.-1D.12-【答案】B 【解析】【分析】利用几何知识易得ABC ADC ≅△△，利用向量加法运算及数量积定义得26322MC MD MC ⎛⋅=-- ⎝⎭，然后利用二次函数求解最值即可，【详解】由题意，2AB AD ==，4560105ABC ADC ∠=∠=+= ，22BC DC BD ===，所以ABC ADC ≅△△，所以ACB ACD ∠=∠，即AC 平分BCD ∠，由MD MC CD =+ 可得2()MC MD MC MC CD MC MC CD⋅=⋅+=+⋅22263cos150622MC MC CD MC MC MC ⎛=+⋅⋅=-=-- ⎝⎭，所以当62MC =时，MC MD ⋅ 有最小值为32-.故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足i 1i z =+，则（）A.1iz =+B.z 在复平面内对应的点位于第四象限C.2z =D.2220z z -+=【答案】ABD【解析】【分析】先根据复数的除法运算求出z ，再根据共轭复数的定义即可判断A ；根据复数的几何意义即可判断B ；根据复数的模的公式即可判断C ；根据复数的四则运算即可判断D.【详解】由i 1i z =+，得()21i i1i 1i i iz ++===-，则1i z =+，故A 正确；z 在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限，故B 正确；z ==，故C 错误；()()22221i 21i 22i 22i 20z z -+=---+=--++=，故D 正确.故选：ABD.10.某学校为普及安全知识，对本校1000名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动（满分为100分）.现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图，下列结论正确的是（）A.图中x 的值为0.020B.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为130人C.该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80D.该校高一学生竞赛得分的平均数估计为74.6【答案】ACD 【解析】【分析】根据频率分布直方图性质可得x ，判断A ；计算出得分不小于90的频率，即可判断B ；计算得分介于50至80之间的频率与0.75比较，从而判断C ；由频率分布直方图平均数计算公式计算判断D .【详解】由频率分布直方图性质可得：()0.0100.0120.0280.030101x ++++⨯=，解得0.020x =，故A 正确；得分不小于90的频率为0.012100.12⨯=，故得分不小于90的人数估计为10000.12120⨯=人，故B 错误；得分介于50至80之间的频率为0.01100.028100.030100.680.75⨯+⨯+⨯=<，所以该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80，故C 正确；该校高一学生竞赛得分的平均数估计为550.01010650.02810750.03010850.02010950.0121074.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD11.若平面上的三个力123,,F F F 作用于一点，且处于平衡状态.已知124N,2N F F == ，1F 与2F的夹角为120 ，则下列说法正确的是（）A.3F =B.1F 与3F的夹角为90C.2F 与3F的夹角为90D.()1324F F F +⋅= 【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的图形运算法则，结合余弦定理和向量数量积的定义等知识进行求解即可.【详解】如图所示，设123,,F F F 分别为,,OA OB OC，将向量进行平移，OB平移至OB '，将OA反向延长至点D ，则120AOB ∠=︒，18060OAB DOB AOB '==︒-=︒∠∠∠，在OAB '△中，由余弦定理得，22212cos 60164242122OB AB OA AB OA '''=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=,所以OB '=，即3F =，故A 正确；显然，在OAB '△中，22212416OB AB OA ''+=+==，即90AB O '=︒∠，所以30COD AOB '==︒∠∠，所以1F 与3F的夹角180150AOC COD ∠=︒-∠=︒，故B 错误；2F 与3F的夹角603090BOC DOB COD =+=︒+︒=︒∠∠∠，故C 正确；()()()21324F F F OA OC OB OA B O OB B A OB OB ''+⋅=+⋅=+⋅=⋅=-=- ，故D 错误故选：AC12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，G 为面对角线1A D 上的一个动点（包含端点），则下列选项中正确的有（）A.三棱锥11B GBC -的体积为定值B.线段1A D 上存在点G ，使1A C ⊥平面1GBC C.当点G 与点1A 重合时，二面角11G BC B --的余弦值为63D.设直线BG 与平面11BCC B 所成角为θ，则tan θ2【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】对于A ，因为三棱锥11B GBC -的体积11111113B GBC G BB C BB C V V S DC --==⋅ ，易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，DC ⊥平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值DC ，又11BC S △B 为定值，所以三棱锥11B GBC -体积为定值，故A 正确．对于B ，如图所示，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()()1,1,0,0,0,0B D ,()0,1,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ，()10,1,1C ，设()101DG DA λλ=≤≤ ，所以(),0,G λλ，()11,1,1AC =--，设(),,n x y z =⊥ 平面1GBC ，()11,0,1BC =- ，()1,1,1C G λλ=--，则()11010n BC x z n C G x y z λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，取1x =，则1,21z y λ==-，则()1,21,1n λ=- ，要使1A C ⊥平面1GBC ，即1//AC n ，1AC n =-，此时[]=01,1λ∈-，故B正确.对于C ，当点G 与点1A 重合时，此时()1,0,1G ，设()111,,m x y z =⊥平面1GBC ，()11,0,1BC =- ，()0,1,1BG =- ，则1111100m BC x z m BG y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =，则111,1z y ==，则()1,1,1n = ，设()0,1,0p =⊥平面11BB C ，设二面角11G BC B --所成角为α，所以3cos cos ,3m p m p m p α⋅====⋅，因为α为锐二面角，[]0,πα∈，所以cos 3α=，故C 不正确；对于D ，(),0,G λλ，()()1,1,0,1,1,B BG λλ=--，设()0,1,0p =⊥平面11BCC B ，设直线BG 与平面11BCC B 所成角为θ，π0,2θ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以sin cos ,BG pBG p BG p θ⋅===⋅==，因为sin ,tan y x y x ==在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当sin θ取得最大值时，tan θ取得最大值，当1=2λ时，()max sin 3θ==，此时cos 3θ=，所以()max2tan 2θ=，所以D 正确故选：ABD .三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,2a = ，(1,)b λ=- ，若a b ⊥ ，则λ=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据向量的垂直的坐标表示求解即可.【详解】解：因为a b ⊥ ，(1,2)a = ，()1,b λ=- ，所以120a b λ⋅=-+=，解得12λ=.故答案为：12.14.中岳嵩山是著名的旅游胜地，天气预报6月30日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，利用计算机进行模拟试验，产生09 之间的整数随机数，假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨，6,7,8,9表示当天不下雨，每4个随机数为一组，产生如下20组随机数：95339522001874720018387958693181789026928280842539908460798024365987388207538935据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为__________.【答案】0.4##25【解析】【分析】求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3181，8425，2436，0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为80.420=.故答案为：0.415.已知三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且21,22AC AB b ab c ⋅=-= ，则a b +的取值范围是__________.【答案】(]2,4【解析】【分析】由数量积定义、余弦定理结合已知式可得224a b ab +-=，由基本不等式求解即可.【详解】21cos cos 2AC AB AC AB A bc A b ab ⋅=⋅==- ，由余弦定理可得：222cos 2b c a A bc+-=，所以224cos 2b a bc A +-=，所以2224122b a b ab +-=-，所以224a b ab +-=，所以()()()()2222223143=44a b ab a b ab a b a b a b =+-=+-≥+-++，所以()216a b +≤，又因为2a b c +>=，所以24a b <+≤，所以a b +的取值范围是(]2,4.故答案为：(]2,416.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙），若勒洛四面体ABCD 能够容纳的最大球的表面积为25π，则正四面体ABCD 的棱长为______.【答案】4+4+【解析】【分析】设出棱长，先根据正四面体的性质求出外接球半径，再由四面体能够容纳的最大球的半径建立方程求解即可.【详解】设正四面体ABCD 的棱长为a ，根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，点E 为该球与勒洛四面体的一个切点，O 为该球球心，由正四面体的性质可知该球球心O 为正四面体ABCD 的中心，即O 为正四面体ABCD 外接球的球心（内切球的球心），则BO 为正四面体ABCD 的外接球的半径，勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为OE ，连接BE ，则,,B O E 三点共线，此时BE a =，由题意24π25πOE ⨯=，所以25OE =，所以52BO a OE a =-=-，如图：记M 为BCD △的中心，连接,BM AM ，由正四面体的性质可知O 在AM 上.因为AB a =，所以233BM a ==，则3AM ==，因为2222()BO BM OM AM OM =+=-，即22223633BO a OM OM ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4BO a =，所以542a a =-，解得4a =+，即正四面体ABCD 的棱长为4+故答案为：4+【点睛】方法点睛：求解几何体外接球的半径的解题思路：一是根据球的截面的性质，利用球的半径R 、截面圆的半径r 及球心到截面圆的距离三者的关系222R r d =+求解，其中确定球心的位置是关键；二是将几何体补形成长方体，利用该几何体与长方体共有的外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.某校高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本.（1）求抽取男生､女生的人数；（2）观测样本的指标值（单位：cm ），计算得到男生样本的均值为170，方差为14，女生样本的均值为160，方差为34，求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差.【答案】（1）30；20（2）方差为46，身高方差为46【解析】【分析】（1）根据分层抽样的概念及计算方法，即可求解；（2）记男生身高的均值记为x ，方差记为2x s ；女生身高的均值记为y ，方差记为2y s ，得到总样本的均值为166z =，结合222221{30[()]20[()]}50x y s s x z s y z =⋅⨯+-+⨯+-，即可求解.【小问1详解】解：由题意，高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本，所以抽取男生人数为60050301000⨯=，女生人数为40050201000⨯=.【小问2详解】解：记男生身高为1230,,,x x x ⋯，其均值记为x ，方差记为2x s ；女生身高为1220,,,y y y ⋯，其均值记为y ，方差记为2y s ，把总样本数据的均值记为z ，方差记为2s ，所以总样本的均值为30203017020160166505050z x y ⨯+⨯=+==，总样本的方差为222221{30[()]20[()]}50x y s s x z s y z =⋅⨯+-+⨯+-221{30[14(170166)]20[34(160166)]}4650=⋅⨯+-+⨯+-=，所以总样本的方差为46，据此估计高一年级学生身高的总体方差为46.18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，,AB CD AD CD ⊥∥，122CD AD AA AB ====，点E 为1AA 的中点.（1）求证：1CD 平面BDE ；（2）设F 是直线1CD 上的动点，求三棱锥F BDE -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）23.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定即可证明；（2）利用等体积法求解即可.【小问1详解】如图所示，分别取1,DD CD 的中点,M N ，连接,,MN EM BN ，由题意得，EM AD 且EM AD =，BN AD ∥且BN AD =，所以EM BN ∥且=EM BN ，所以四边形EMNB 是平行四边形，所以EB MN ∥，又因为1∥MN CD ，所以1EB CD ∥，又因为1CD ⊄平面,BDE EB ⊂平面BDE ，所以1CD 平面BDE .【小问2详解】由（1）1CD 平面BDE ，所以1CD 上任意一点F 到平面BDE 的距离都相等，所以11F BDE D BDE B EDD V V V ---==，由题意1,DD CD AD CD ⊥⊥，又1= DD AD D ，1,DD AD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又AB CD ，所以AB ⊥平面11ADD A ，即AB ⊥平面1EDD ，因为111122222EDD S DD AD =⋅=⨯⨯= ，所以1111221333B EDD EDD V S AB -=⋅=⨯⨯= ，所以三棱锥F BDE -的体积为23.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成45 角的两条数轴，12,e e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量.若向量12OP p xe ye ==+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量p 在斜坐标系xOy 中的坐标.设向量,a b 在斜坐标系xOy中的坐标分别为((3,,.（1）求a b ⋅；（2）求向量a在向量b上的投影向量在斜坐标系xOy 中的坐标.【答案】（1）3（2）3,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题可知：1212123,,2a eb e e e ==+⋅=，再利用数量积的运算律求解即可；（2）利用向量a 在向量b 上的投影向量为1223332cos 555||b a b a b b e b b θ⋅===+求解即可.【小问1详解】由题可知：1212123,,1122a eb e e e =-=+⋅=⨯⨯=，则()()22121211223323232a b e e e e e ⋅=-⋅+=+⋅-=+-=.【小问2详解】b ==== 记a与b的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影向量为()12233cos 555||b a b a b e b b θ⎛⎫⋅===+⎪⎝⎭，所以向量a在向量b上的投影向量在斜坐标系xOy 中的坐标为332,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.20.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p ，乙发球时甲得分的概率为25，各球的结果相互独立.已知在某局双方10:10平后，甲先发球.（1）若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为715，求p 的值；（2）在（1）的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率.【答案】（1）p 的值为23（2）32225【解析】【分析】（1）根据题意得到事件的可能情况进而列出方程求解；（2）根据题意分析知所对应的事件为前两球甲乙各得1分、后两球均为甲得分，根据题意的先后手情况，列出式子求解即可.【小问1详解】由题意可知，甲先发球，两人又打了2个球该局比赛结束，所对应的事件为A =“甲连赢两球或乙连赢两球”，所以()()227115515P A p p ⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪⎝⎭，解得23p =，即p 的值为23【小问2详解】由题意可知，若两人又打了4个球且甲获胜，所对应的事件为B =“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，因为甲发球时甲得分的概率为23，乙得分的概率为21133-=，乙发球时甲得分的概率为25，乙得分的概率为23155-=，所以()23122232353535225P B ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭21.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2sin sin 353,cos sin 412b A B A a C ⋅⋅==⋅.（1）求cos B ；（2）若ABCD 为AC 的中点，求线段BD 的长.【答案】（1）8（2）3【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，得出,b c的关系，再根据cos 12A =得出,a c 的关系，再利用余弦定理即可得解；（2）先根据三角形的面积公式求出,,a b c ，再向量化即可得解.【小问1详解】由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可得22222sin sin 3sin 4b A B ab b a C ac c ⋅⋅===⋅，即32b c =，又因为222227534cos 212c a b c a A bc -+-===，得2a c =，所以222234cos 28c a c b B ac +-==；【小问2详解】由（1）可知cos 8B =，由()0,πB ∈，得46sin 8B ==，所以21sin 216ABC S ac B c === ，得4,c a b ===，又因为1(),cos 62BD BA BC BA BC BA BC ABC =+⋅=⋅⋅∠=，所以3BD === ，即线段BD 的长为3.22.三棱锥D ABC -中，底面ABC 为正三角形，CD ⊥平面ABC ，E 为棱BC 的中点，且CDACλ=（λ为正常数）.（1）若2λ=，求二面角C AE D --的大小；（2）记直线AC 和平面ADE 所成角为α，试用常数λ表示sin α的值，并求α的取值范围.【答案】（1）π3（2）sin α=；π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先证明⊥AE 平面BCD ，从而可得二面角C AE D --的平面角是CED ∠，求解即可；（2）在平面BCD 内作CH DE ⊥，连接AH ，先证明CH ⊥平面ADE ，从而可得直线AC 和平面ADE 所成的角CAH α∠=，进而可得sin α=，求得10sin 2α<<，从而可求解.【小问1详解】底面ABC 为正三角形，E 为棱BC 的中点，所以BC AE ⊥，因为CD ⊥平面,ABC AE ⊂平面ABC ，所以CD AE ⊥，又因为,BC CD ⊂平面,BCD BC CD C ⋂=，所以⊥AE 平面BCD 又DE ⊂平面BCD ，所以DE AE ⊥，所以二面角C AE D --的平面角是CED ∠，而tan 212CD CD CED CE AC ∠λ====π02CED ∠<<，所以π3CED ∠=.故二面角C AE D --的大小为π3.【小问2详解】在平面BCD 内作CH DE ⊥，连接AH ，由⊥AE 平面,BCD AE ⊂平面ADE ，所以平面BCD ⊥平面ADE ，又平面BCD 平面=ADE DE ，CH ⊂平面BCD ，所以CH ⊥平面ADE ，所以直线AC 和平面ADE 所成的角CAH α∠=，在DCE △中，根据等面积法可得CE CD CH DE⋅=，所以12sin AC AC CH CE CD AC AC DE λα⋅⋅===⋅因为0λ>，所以2144λ+>2>，所以102<<即10sin 2α<<，因为π02α<<，所以π06α<<，所以直线AC 和平面ADE 所成角α的取值范围为π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2022-2023学年河南省南阳市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数z =3+4i1−2i，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2√3C ．√5D ．√102．已知△ABC 的边AC 上有一点D ，且满足CD →=3DA →，则BD →=（ ） A ．﹣2BC →+3BA →B ．23BC →+13BA →C ．34BC →+14BA →D ．14BC →+34BA →3．利用斜二测画法画出平面四边形ABCD 的直观图是一个底角为45°的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，其中A ′B ′∥C ′D ′且A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ＝2B ．A ′D ′=2√2C ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3 D ．四边形ABCD 的面积为6√2 4．已知a =sin 32，b =cos 32，c =tan 32，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠HBG ＝α，∠FBG ＝β，则β+α＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π26．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√33D ．√637．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝60°且△ABC 的面积为√3，若c +a ＝6，则b ＝（ ） A ．2√6B ．5C ．2√7D ．√308．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ）A ．45B ．35C ．25D ．15二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知不重合的两条直线m ，n 和不重合的两个平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β10．已知复数z 1满足z 1=1+ii ，z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点，则（ ） A ．z 1的共轭复数为1﹣iB ．当x ＝0时，z 2为纯虚数C ．若OZ 1→∥OZ 2→，则x +y ＝0D ．若OZ 1→⊥OZ 2→，则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1＝AB ＝2．下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”B ．四面体A 1ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1体积最大值为23D ．四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”12．已知函数f n (x)=sin n x +cos n x ，(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ） A ．f 1（x ）在区间[−π3，π4]上单调递增B ．若f 1(x)=√22，则f 3(x)=3√28C ．f 4（x ）的最小正周期为π2D ．f 4（x ）的图象可以由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点P （1，3），则2sinθsinθ+cosθ= ．14．设向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1），若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则实数λ＝ ．15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．16．如图所示，有一块三角形的空地，∠ABC =7π12，BC ＝4√2千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝ ；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使∠DBE =π6，则BD +BE 的最小值为 千米．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）在①z +z =−8，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．已知复数z ＝（m 2﹣2m ﹣3）+（m 2﹣3m ﹣4）i （i 为虚数单位），若____，求实数m 的值． （2）已知x ＝1﹣i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求a ，b 的值． 18．（12分）已知a →，b →是同一平面内的两个向量，其中a →=(1，2)，b →=(λ，1)． （1）当λ＝1时，求a →与b →的夹角的余弦值； （2）若a →+2b →与2a →−2b →共线，求实数λ的值．19．（12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO =√2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 是AB ̂的中点，点D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面P AC ； （2）求二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值．20．（12分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →． （1）求角A 的值；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．21．（12分）如图是一个以△A 1B 1C 1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC ．已知AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3．（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1？若存在，求出AO OB的值；若不存在，请说明理由；（2）若A 1B 1＝2，求几何体A 1B 1C 1﹣ABC 的体积．22．（12分）已知函数f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3．将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求函数f （x ）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间；（2）若对于∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0恒成立，求实数m 的范围．2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数z =3+4i1−2i，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2√3C ．√5D ．√10解：z =3+4i1−2i =(3+4i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−5+10i5=−1+2i ，|z |=√(−1)2+22=√5． 故选：C ．2．已知△ABC 的边AC 上有一点D ，且满足CD →=3DA →，则BD →=（ ） A ．﹣2BC →+3BA →B ．23BC →+13BA →C ．34BC →+14BA →D ．14BC →+34BA →解：由CD →=3DA →，可得CD →=34CA →，所以BD →=BC →+CD →=BC →+34CA →=BC →+34(BA →−BC →)=14BC →+34BA →． 故答案为：D ．3．利用斜二测画法画出平面四边形ABCD 的直观图是一个底角为45°的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，其中A ′B ′∥C ′D ′且A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ＝2B ．A ′D ′=2√2C ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3 D ．四边形ABCD 的面积为6√2 解：根据斜二测画法的直观图知，AB ＝A 'B '＝4，所以选项A 错误； CD ＝C 'D '＝2，A ′D ′=√12+12=√2，选项B 错误； 又AD ＝2A ′D ′＝2√2，BC =√(2√2)2+22=2√3，所以四边形ABCD 的周长为2+4+2√2+2√3=6+2√2+2√3，选项C 错误； 四边形ABCD 的面积为12×（2+4）×2√2=6√2，选项D 正确．故选：D ．4．已知a =sin 32，b =cos 32，c =tan 32，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解：因为π3＜32＜π2，所以√32=sin π3＜sin 32＜sin π2=1，即√32＜a ＜1， 12=cos π3＞cos 32＞cos π2=0，即0＜b ＜12， c =tan 32＞tan π3=√3， 所以c ＞a ＞b ． 故选：C ．5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠HBG ＝α，∠FBG ＝β，则β+α＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：不妨设正方形的边长为1，则在Rt △BGH 中，BG =3，GH =1，BH =√10，所以cosα=10sinα=10， 则在Rt △BEF 中，BE =2，EF =1，BF =√5，所以cosβ=25sinβ=15， 所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=3√102√51√10×1√5=5√50=√22， 又易知，α，β∈(0，π2)，所以α+β∈（0，π），故α+β=π4． 故选：B ．6．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√33D ．√63解：由展开图可得直观图，由正方体的性质可知HD ⊥平面ABCD ，则∠HBD 即为BH 与底面ABCD 的夹角， 设正方体的棱长为1，则BD =√12+12=√2，BH =√DH 2+BD 2=√3， 所以cos ∠HBD =BDBH =√23=√63，即BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为√63．故选：D ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝60°且△ABC 的面积为√3，若c +a ＝6，则b ＝（ ） A ．2√6B ．5C ．2√7D ．√30解：因为△ABC 的面积为√3，故12acsinB =12ac ×√32=√3，故ac ＝4，又b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ＝（a +c ）2﹣3ac ＝36﹣12＝24， 故b =2√6． 故选：A ．8．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ） A ．45B ．35C ．25D ．15解：由题意|GA →+GB →|=|GA →−GB →|， 所以(GA →+GB →)2=(GA →−GB →)2，即GA →2+GB →2+2GA →⋅GB →=GA →2+GB →2−2GA →⋅GB →， 所以GA →⋅GB →=0，所以AG ⊥BG ，又AG →=23×12(AC →+AB →)=13(AC →+AB →)，BG →=23×12(BA →+BC →)=13(BA →+BC →)，则AG →⋅BG →=19(AC →+AB →)⋅(BA →+BC →)=19(AC →⋅BA →+AC →⋅BC →+AB →⋅BA →+AB →⋅BC →)=0， 所以CA →⋅CB →=AC →⋅AB →+BA →⋅BC →+AB →2，即ab cos C ＝bc cos A +ac cos B +c 2，由cosA =b 2+c 2−a 22bc ，cosB =a 2+c 2−b 22ac ，cosC =a 2+b 2−c 22ab， 所以a 2+b 2＝5c 2，所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =25(a b +b a )≥45√a b ⋅b a =45，当且仅当a ＝b 时等号成立，又y ＝cos x 在（0，π）上单调递减，C ∈（0，π）， 所以当∠C 取最大值时，cos C =45． 故选：A ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知不重合的两条直线m ，n 和不重合的两个平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β解：对于A ，当m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，且m ，n 相交时，才有α∥β，故A 错误； 对于B ，若m ⊥α，m ⊥β，根据线面垂直的性质定理可得α∥β，故B 正确；对于C ，若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，β可绕n 旋转，此时α∥β或α与β相交，故C 错误； 对于D ，∵n ∥β，故在β中存在一条直线s ，使得n ∥s ，∴m ∥s ， 则s ⊥α，而s ⊂β，故α⊥β，故D 正确． 故选：BD ．10．已知复数z 1满足z 1=1+ii ，z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点，则（ ）A ．z 1的共轭复数为1﹣iB ．当x ＝0时，z 2为纯虚数C ．若OZ 1→∥OZ 2→，则x +y ＝0D ．若OZ 1→⊥OZ 2→，则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|解：已知复数z 1满足z 1=1+ii，则z 1＝1﹣i ， 又z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点， 则OZ 1→=(1，−1)，OZ 2→=(x ，y)，对于选项A ，z 1的共轭复数为1+i ，即选项A 错误；对于选项B ，当x ＝0，y ≠0时，z 2为纯虚数，即选项B 错误；对于选项C ，当OZ 1→∥OZ 2→时，则1×y ＝（﹣1）×x ，则x +y ＝0，即选项C 正确；对于选项D ，若OZ 1→⊥OZ 2→，则x ＝y ，则z 1+z 2＝（1+x ，x ﹣1），z 1﹣z 2＝（1﹣x ，﹣x ﹣1）， 则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|=√(1+x)2+(1−x)2，即选项D 正确． 故选：CD ．11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1＝AB ＝2．下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”B ．四面体A 1ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1体积最大值为23D ．四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”解：底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”， ∴在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，侧棱AA 1⊥平面ABC ，对A 选项，AA 1⊥BC ，又AC ⊥BC ，且AA 1∩AC ＝A ，则BC ⊥平面A 1ACC 1， ∴四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”，故A 正确；对C 选项，在底面有4＝AC 2+BC 2≥2AC •BC ，即AC •BC ≤2， 当且仅当AC =BC =√2时取等号，V B−A 1ACC 1=13S A 1ACC 1×BC =13AA 1×AC ×BC =23AC ×BC ≤43，故C 错误；对D 选项，由AC ⊥BC ，即A 1C 1⊥BC ，又A 1C 1⊥C 1C 且BC ∩C 1C ＝C ，BC ，C 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，∵BC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1C 1⊥BC 1，则△A 1BC 1为直角三角形，又由BC ⊥平面AA 1C 1C ，A 1C ⊂平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥A 1C ，则△A 1BC 为直角三角形， 由“堑堵”的定义可得△A 1C 1C 为直角三角形，△CC 1B 为直角三角形， ∴四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”，故D 正确；对B 选项，由C 知△A 1BC 为直角三角形，侧棱AA 1⊥平面ABC ，则易知△A 1AB ，△A 1AC 为直角三角形，而△ABC 为直角三角形，则外接球球心O 位于A 1B 的中点， 则外接球半径R =12A 1B =12×√22+22=√2， 则球的表面积为4πR 2=4π×(√2)2=8π，故B 正确． 故选：ABD ．12．已知函数f n (x)=sin n x +cos n x ，(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ） A ．f 1（x ）在区间[−π3，π4]上单调递增B ．若f 1(x)=√22，则f 3(x)=3√28C ．f 4（x ）的最小正周期为π2D ．f 4（x ）的图象可以由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到解：对于A ，f 1(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 因为x ∈[−π3，π4]， 所以x +π4∈[−π12，π2]，又y ＝sin x 在(−π2，π2)上递增，故正确； 对于B ，由f 1(x)=sinx +cosx =√22，则f 3(x)=(sinx +cosx)(sin 2x −sinxcosx +cos 2x)=(sinx +cosx)(1−(sinx+cosx)2−12)=√22(1−(√22)2−12)=5√28，故错误；对于C ，f 4(x)=sin 4x +cos 4x =(sin 2x +cos 2x)2−2sin 2x ⋅cos 2x =1−12（sin2x ）2=34+14cos4x ， 则T =2π4=π2，故正确；D ．由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位得到y =14sin[4(x +π8)]=14sin(4x +π2)=14cos4x ，再向上平移34个单位得到y =34+14cos4x ，故正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点P （1，3），则2sinθsinθ+cosθ=32．解：因为角θ的终边经过点P （1，3），所以tan θ＝3， 所以2sinθsinθ+cosθ=2tanθtanθ+1=2×33+1=32．故答案为：32．14．设向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1），若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则实数λ＝ ±3 ． 解：∵向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1）， ∴向量|a →|＝3√2，|b →|=√2，向量a →•b →=3﹣3＝0， 若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则（a →+λb →）•（a →−λb →）=|a →|2−λ2|b →|2=0， 即18﹣2λ2＝0， 则λ2＝9， 解得λ＝±3， 故答案为：±3，15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 √1112（只需写出一个可能的值）．解：由于三棱锥的棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，所以三角形的边长不能出现：1，1，2的情况，所以不妨三棱锥的底面为正三角形，棱长长为：2；三棱锥的高为：√22−(23×32×1)2=√113，所以三棱锥的体积为：13×√34×1×1×√113=√1112；故答案为：√1112． 16．如图所示，有一块三角形的空地，∠ABC =7π12，BC ＝4√2千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝ π6；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使∠DBE =π6，则BD +BE 的最小值为 8（√3−1） 千米．解：因为sin ∠ABC =sin 7π12=sin(π4+π3)=sin π4cos π3+cos π4sin π3=√6+√24， cos ∠ABC =cos7π12=cos(π4+π3)=cos π4cos π3−sin π3sin π4=√2−√64， 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC cos ∠ACB =8(√3+1)2， ∴AC =2√2(1+√3)， 根据正弦定理有ACsin7π12=AB sin∠ACB，可得sin ∠ACB =4×√6+√242(2+6)=12，因为0＜∠ACB ＜π2，所以，∠ACB =π6，设∠CBD ＝θ，其中0≤θ≤5π12，则∠BDC =5π6−θ，∠BEC =2π3−θ， 在△BCD 中，由正弦定理BD sinπ6=BC sin∠BDC ，可得BD =2√2sin(5π6−θ)，在△BCE 中，由正弦定理BEsinπ6=BC sin∠BEC，可得BE =2√2sin(2π3−θ)，则BD +BE =2√2(1√32sinθ+12cosθ1√32cosθ+12sinθ)=4√2(√3+1)(sinθ+cosθ)√3+4sinθcosθ，令t =sinθ+cosθ，t ∈[1，√2]，则sinθcosθ=t 2−12，则 BD +BE =f(t)=4√2(3+1)t 2t 2−(2−√3)=4√2(3+1)2t−(2−3)t， 易知分母g(t)=2t −(2−√3)t＞0，且是一个单调递增的函数， 则f （t ）是一个单调递减的函数， 当t =√2时，f （t ）有最小值，f(t)min =8(3+1)2+3=8(√3−1)．故答案为：π6；8(√3−1)．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）在①z +z =−8，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．已知复数z ＝（m 2﹣2m ﹣3）+（m 2﹣3m ﹣4）i （i 为虚数单位），若____，求实数m 的值． （2）已知x ＝1﹣i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求a ，b 的值． 解：选条件①：因为z =(m 2−2m −3)−(m 2−3m −4)i ，又z +z =−8， 所以2（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣8，解得m ＝1． 选条件②：∵z 为纯虚数，∴{m 2−2m −3=0m 2−3m −4≠0，解得m ＝3． 选条件③：∵z 为非零实数，∴{m 2−2m −3≠0m 2−3m −4=0，解得m ＝4； （2）因为x ＝1﹣i 为实系数一元二次方程：x 2+ax +b ＝0的一个根， ∴（1﹣i ）2+a （1﹣i ）+b ＝0，即a +b ﹣（2+a ）i ＝0，所以{a +b =0a +2=0，解得，a ＝﹣2，b ＝2．18．（12分）已知a →，b →是同一平面内的两个向量，其中a →=(1，2)，b →=(λ，1)． （1）当λ＝1时，求a →与b →的夹角的余弦值； （2）若a →+2b →与2a →−2b →共线，求实数λ的值． 解：（1）当λ＝1时，b →=(1，1)，又a →=(1，2)， 所以cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=1+2√2×√5=3√1010；（2）因为a →=(1，2)，b →=(λ，1)，所以a →+2b →=(1+2λ，4)，2a →−2b →=(2−2λ，2)， 又a →+2b →与2a →−2b →共线，所以（1+2λ）×2﹣4×（2﹣2λ）＝0，解得λ=12．19．（12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO =√2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 是AB ̂的中点，点D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面P AC ； （2）求二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值．解：（1）连接OC ，因为OA ＝OC ，D 为的AC 中点，所以AC ⊥OD ． 又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以PO ⊥AC ，又OD ∩PO ＝O ，PO ，OD ⊂面POD ，所以AC ⊥平面POD ， 又AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC ．（2）由（1）知AC ⊥平面POD ，OD ，PD ⊂面POD ，所以AC ⊥OD ，AC ⊥PD ，故∠PDO 是二面角B ﹣AC ﹣P 的平面角，在Rt △POD 中，PO =√2，又点C 是AB ⌢的中点，点D 为AC 的中点，所以OD =12BC =√22，故PD =√2+12=√102，所以cos ∠PDO =OD PD =√22102=√55，即二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值为√55．20．（12分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →． （1）求角A 的值；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．解：（1）∵向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →， ∴sin A （2sin B ﹣cos C ）﹣cos A sin C ＝0，即2sin A sin B ﹣sin （A +C ）＝0， 又在锐角△ABC 中，B ∈（0，π2），2sin A sin B ＝sin B ，∴sin A =12，又A ∈（0，π2），则A =π6；（2）由正弦定理得a +c ＝2R （sin A +sin C ）=2sinB（sin A +sin C ） =2sinB [12+sin （5π6−B ）]=2sinB （12+12cos B +√32sin B ） =√3+1+cosB sinB =√3+1tan B 2，∵△ABC 是锐角三角形，∴{0＜B ＜π20＜5π6−B ＜π2，解得π3＜B ＜π2， ∴π6＜B 2＜π4，则√33＜tan B 2＜1， ∴√3+1＜a +c ＜2√3， ∴3+√3＜a +b +c ＜2√3+2，故△ABC 周长的取值范围为（3+√3，2√3+2）．21．（12分）如图是一个以△A 1B 1C 1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC ．已知AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3．（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1？若存在，求出AO OB的值；若不存在，请说明理由；（2）若A 1B 1＝2，求几何体A 1B 1C 1﹣ABC 的体积．解：（1）存在，此时AO OB=1，如图，取AB 的中点O ，连接OC ，作OD ∥AA 1交A 1B 1于点D ，连接C 1D ， 则OD ∥BB 1∥CC 1，因为O 是AB 的中点，所以OD 为梯形AA 1B 1B 的中位线， 所以OD =12(BB 1+AA 1)=3=CC 1， 所以四边形ODC 1C 为平行四边形，所以OC ∥C 1D ，又C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，OC ⊄平面A 1B 1C 1，所以OC ∥平面A 1B 1C 1，即在边AB 上是存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1且AO OB=1．（2）如图在AA 1上取点D 使得A 1D ＝BB 1＝2，在CC 1上取点E 使得C 1E ＝BB 1＝2， 连接BD 、DE 、BE ，则三棱柱A 1B 1C 1﹣DBE 为正三棱柱，取DE 的中点F ，连接BF ， 取A 1C 1的中点G ，连接B 1G ，则BF ⊥DE ，B 1G ⊥A 1C 1， 又平面BDE ⊥平面ACC 1A 1，平面BDE ∩平面ACC 1A 1＝DE ， BF ⊂平面BDE ，所以BF ⊥平面ACC 1A 1，又BF =√22−12=√3，S △A 1B 1C 1=12×2×√3=√3，S ADEC =(1+2)×22=3， 所以V B−ADEC =13×3×√3=√3，V A 1B 1C 1−DBE =S △A 1B 1C 1⋅A 1D =2√3， 所以V A 1B 1C 1−ABC =V B−ADEC +V A 1B 1C 1−DBE =3√3．22．（12分）已知函数f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3．将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求函数f （x ）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间；（2）若对于∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0恒成立，求实数m 的范围．解：（1）f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3=4sinx(12cosx −√32sinx)+√3=sin2x −√3(1−cos2x)+√3=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)．因x∈[−π4，π6]，则2x+π3∈[−π6，2π3]，又y＝sin x分别在[−π6，π2]，[π2，2π3]上单调递增和递减，则2x+π3∈[π2，2π3]⇒[π12，π6]，即函数f（x）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间为[π12，π6]；（2）函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，所得解析式为2sin(2x⋅32+π3)=2sin(3x+π3)，又将所得函数图象向右平移π18个单位长度，解析式为2sin[3(x−π18)+π3]=2sin(3x+π6)，则g(x)=2sin(3x+π6)．因x∈[0，π3]，则3x+π6∈[π6，7π6]．又y＝sin x在[π6，π2]上单调递增，在[π2，7π6]上单调递减，则sin(3x+π6)∈[−12，1]，故g(x)=2sin(3x+π6)∈[−1，2]．方法1：令g（x）＝t∈[﹣1，2]，则∀x∈[0，π3]，g2(x)−mg(x)−3≤0等价于∀t∈[﹣1，2]，t2﹣mt﹣3≤0，当t＝0时，t2﹣mt﹣3≤0⇔﹣3≤0，则此时m可取任意值；当t∈（0，2]时，t2−mt−3≤0⇔m≥t−3t⇒m≥(t−3t)max，注意到函数y=x，y=−1x均在（0，2]上单调递增，则函数y=t−1t在（0，2]上单调递增，则(t−3t)max=2−32=12⇒m≥12；当t∈[﹣1，0）时，t2−mt−3≤0⇔m≤t−3t⇒m≤(t−3t)min，注意到函数y=x，y=−1x均在[﹣1，0）上单调递增，则函数y=t−1t在[﹣1，0）上单调递增，则(t−3t)min=−1−3−1=2⇒m≤2；综上可得：12≤m ≤2．所以实数m 的范围为[12，2]．方法2：令g （x ）＝t ∈[﹣1，2]， 则∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0，等价于∀t ∈[﹣1，2]，ℎ(t)=t 2−mt −3≤0⇒{ℎ(−1)≤0ℎ(2)≤0⇒{1+m −3≤04−2m −3≤0，解得12≤m ≤2．所以实数m 的范围为[12，2]．。
河南省南阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含答案
2023年春期高中一年级期终质量评估数学试题（答案在最后）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效､2.答题前､考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁､不折叠､不破损.第Ⅰ卷选择题（共60分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数34i12i z +=-，则z =（）A.B.1C.D.5【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用复数的运算法则和模长的定义即可求出结果.【详解】因为34i (34i)(1+2i)510i12i 12i (12i)(1+2i)5z ++-+====-+--，所以z ==.故选：C.2.已知ABC 的边AC 上有一点D ，且满足3CD DA =，则BD =（）A.23BC BA -+B.2133BC BA +C.3144BC BA +D.1344BC BA +【答案】D 【解析】【分析】利用向量的线性运算可得BD的表示形式.【详解】因为3CD DA =，故()3BD BC BA BD -=- ，整理得到：1344BD BC BA =+，故选：D.3.如图，四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为等腰梯形A B C D ''''，已知4,2A B C D ''''==，则下列说法正确的是（）A.2AB = B.A D ''=C.四边形ABCD 的周长为4+D.四边形ABCD 的面积为【答案】D 【解析】【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.【详解】如图过D ¢作DE O B ''⊥，由等腰梯形A B C D ''''可得：A D E ''△是等腰直角三角形，即()1422A D E '''==⨯-⨯,即B 错误；还原平面图为下图，即42,AB CD AD ===A 错误；过C 作CF ⊥AB ，由勾股定理得CB =，故四边形ABCD 的周长为：426++=+C 错误；四边形ABCD 的面积为：()1422⨯+⨯=，即D 正确.故选：D 4.已知3sin 2a =，3cos 2b =，3tan 2c =，则实数,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a<<【答案】C 【解析】【分析】由π3π322<<，根据正弦函数、余弦函数及正切函数的性质判断即可.【详解】因为π3π322<<，所以3π3πsin sin sin 12322=<<=，即312a <<，1π3πcos cos cos 02322=>>=，即102b <<，3πtan tan 23c =>=，所以c a b >>.故选：C5.矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令,HBG FBG αβ∠=∠=，则βα+=（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】设出正方形的边长，在Rt BGH △和Rt BEF △中，分别求出sin ,cos αα和sin ,cos ββ，从而可求出cos()αβ+的值，再利用(0,π)αβ+∈即可求出结果.【详解】不妨设正方形的边长为1，则在Rt BGH △中，3,1,BG GH BH ===，所以cosαα==，则在Rt BEF △中，2,1,BE EF BF ===，所以cosββ==，所以cos()cos cos sin sin2αβαβαβ+=-=，又易知，π,(0,)2αβ∈，所以(0,π)αβ+∈，故π4αβ+=.故选：B.6.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（）A.12B.22C.3D.3【答案】D 【解析】【分析】由展开图得到正方体的直观图，则HBD ∠即为BH 与底面ABCD 的夹角，再由锐角三角函数计算可得.【详解】由展开图可得如下直观图，由正方体的性质可知HD ⊥平面ABCD ，则HBD ∠即为BH 与底面ABCD 的夹角，设正方体的棱长为1，则BD ==，BH ==所以6cos3BDHBD BH∠===，即BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为3.故选：D7.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,60a b c B =︒且ABC 3，若6c a +=，则b =（）A.26B.5C.27D.30【答案】A 【解析】【分析】利用余弦定理结合面积公式可求b .【详解】因为ABC 的面积为3113sin 3222ac B ac =⨯=，故4ac =，又()2222222cos 3361224b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-=-=，故26b =，故选：A.8.已知点G 为三角形ABC 的重心，且GA GB GA GB +=-，当C ∠取最大值时，cos C =（）A.45B.35C.25D.15【答案】A 【解析】【分析】由题设可得0AG BG ⋅=，结合1()3AG AC AB =+ ，1()3BG BA BC =+ 及余弦定理可得2cos ()5a bC b a=+，根据基本不等式即可求解.【详解】由题意GA GB GA GB +=- ，所以22()()GA GB GA GB +=-，即222222GA GB GA GB GA GB GA GB ++⋅=+-⋅，所以0GA GB ⋅=uu r uu u r ，所以AG BG ⊥，又211()()323AG AC AB AC AB =⨯+=+ ，211()()323BG BA BC BA BC =⨯+=+ ，则11()()()099AG BG AC AB BA BC AC BA AC BC AB BA AB BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=，所以2CA CB AC AB BA BC AB ⋅=⋅+⋅+ ，即2cos cos cos ab C bc A ac B c =++，由222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=，所以2225a b c +=，所以222244cos ()2555a b c a b a b C ab b a b a +-==+⋅=，当且仅当a b =时等号成立，又cos y x =在()0,π上单调递减，()0,πC ∈，所以当C ∠取最大值时，cos C =45.故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得2225a b c +=，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知不重合的两条直线,m n 和不重合的两个平面,αβ，则下列命题正确的是（）A.若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβB.若,m m αβ⊥⊥，则//αβC.若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则//αβD.若,//m n αβ⊥，且//m n ，则αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据面面平行的判定定理可得A 的正误，根据线面垂直的性质定理可得B 的正误，根据面面垂直的判定定理可得D 的正误，根据线面的动态关系可判断C 的正误.【详解】对于A ，当,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，且,m n 相交时才有//αβ，故A 错误.对于B ，根据线面垂直的性质定理可得B 正确.对于C ，若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，β可绕n 旋转，此时//αβ或,αβ相交，故C 错误.对于D ，因为//n β，故在β中存在一条直线s ，使得//n s ，所以//m s ，所以s α⊥，而s β⊂，故αβ⊥，故D 正确.故选：BD.10.已知复数1z 满足11iiz +=，2=+z x yi ，x ，y ∈R ，1z ，2z 所对应的向量分别为1OZ ，2OZ ，其中O 为坐标原点，则（）A.1z 的共辄复数为1i- B.当0x =时，2z 为纯虚数C.若12OZ OZ ∥，则0x y += D.若12OZ OZ ⊥，则1212z z z z +=-【答案】CD 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数11i z =-，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A ，B,根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C ，结合复数模长公式即可判断D.【详解】A 选项：由于11i1i iz +==-，所以1z 的共轭复数为1i +，故选项A 错误，,B 选项：当当0x =时，2i z y =，若0y =，则2z 为为实数，故选项B 错误；C 选项：易知()11,1OZ =- ，()2,OZ x y = ，又12//OZ OZ ，则11x y=-，即0x y +=，故选项C 正确;D 选项：由于12OZ OZ ⊥，则0x y -=，()()()()()2222222121i i 111121z z x y x y x x x +=-++=++-=++-=+，()()()()()2222222121i i 111121z z x y x y x x x -=---=-++=-++=+，故1212z z z z +=-，选项D 正确．故选：CD.11.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵111ABC A B C -中，AC ⊥BC ，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体1A ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC.四棱锥11B A ACC -体积最大值为23D.四面体11AC CB 为“鳖臑”【答案】ABD 【解析】【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A ，D 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意找到四面体1A ACB 的外接球的球心位置，求出外接球半径，利用球的表面积公式即可得到判断B.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，ACBC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，对A 选项，∴1AA BC ⊥，又ACBC ⊥，且1AA AC A = ，则BC ⊥平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，对；对C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当2AC BC ==1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，故C 错误；对D 选项，由ACBC ⊥，即11A C BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，1,BC C C ⊂平面11BB C C ，∴11A C ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂ 平面11BB C C ,∴111A C BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形，又由BC ⊥平面11AA C C ，1AC ⊂平面11AA C C ，BC ∴⊥1AC ，则1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形．∴四面体11AC CB 为“鳖臑”，故D 正确；对B 选项，由C 知1A BC 为直角三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，则易知1A AB △,1A AC △为直角三角形，而ABC 为直角三角形，则外接球球心O 位于1A B 的中点，则外接球半径11122R A B ==，则球的表面积为22448R πππ=⨯=，故B 正确.故选：ABD ．12.已知函数()()*sin cos ,Nnnn f x x x n =+∈，则下列说法正确的是（）A.()1f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B.若()12f x =，则()38f x =C.()4f x 的最小正周期为π2D.()4f x 的图象可以由函数()1sin44g x x =的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到【答案】ACD 【解析】【分析】A.由()1πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用这些函数的性质判断；B.由()()()223sin cos sin sin cos cos f x x x x x x x =+-+()()2sin cos 1sin cos 12x x x x ⎛⎫+- ⎪=+-⎪⎝⎭求解判断；C.由()()24422224sin cos sin cos 2sin cos f x x x x x x x =+=+-⋅31cos 444x =+判断；D.由函数()1sin44g x x =利用平移变换和伸缩变换判断.【详解】A.()1πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ,34x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以πππ,4122x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又sin y x =在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，故正确；B.由()1sin cos 2f x x x =+=，则()()()223sin cos sin sin cos cos f x x x x x x x =+-+，()()2sin cos 1sin cos 12x x x x ⎛⎫+- ⎪=+- ⎪⎝⎭，22121228⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故错误；C.()()24422224sin cos sin cos 2sin cos f x x x x xx x =+=+-⋅，()()222222131sin cos 2sin cos 1sin2cos 4244x x x x x x =+-⋅=-=+，则2ππ42T ==，故正确；D.由函数()1sin44g x x =的图象先向左平移π8个单位得到1π1π1sin 4sin 4cos 448424y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再向上平移34个单位得到31cos 444y x =+，故正确，故选：ACD第II 卷非选择题（共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点()1,3P ，则2sin sin cos θθθ=+__________.【答案】32##1.5【解析】【分析】根据三角函数的定义，利用条件求出tan 3θ=，再利用齐次式即可求出结果.【详解】因为角θ的终边经过点()1,3P ，所以tan 3θ=，所以2sin 2tan 233sin cos tan 1312θθθθθ⨯===+++，故答案为：32.14.已知向量()()3,3,1,1a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥- ，则实数λ=__________.【答案】3±【解析】【分析】利用向量垂直与数量积间的关系，得到2220a b λ-= ，再根据条件即可求出结果.【详解】因为()()a b a b λλ+⊥- ，所以()()2220a b a b a b λλλ+⋅-=-= ，又()()3,3,1,1a b ==-，所以21820λ-=，解得3λ=±.故答案为：3±.15.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是_______（只需写出一个可能的值）【答案】6或12或12(写出其中一个即可)【解析】【分析】考虑一条边为1，两条边为1，三条边为1三种情况，如图所示，分别利用体积公式，和利用长方体体积减去四个三棱锥的体积，计算得到答案.【详解】一条边为1，其余边为2时，如图1，不妨设1AD =，BC 中点为E ，连接,AE DE ，作DHAE ⊥于H ，易知BC DE ⊥，BC AE ⊥，AE DE E = ，故BC ⊥平面DEA ，DH ⊂平面DEA ，故DH BC ⊥，又DH AE ⊥，BC AE E = ，故DH ⊥平面ABC ，易知DE AE ==5cos 6DEA ∠=，故sin 6DH DEA =∠==，111233266ABC V S DH =⨯⨯=⨯⨯=△.当有两条边为1时，只能时对边为1，如图2，不妨设1AD BC ==设对应长方体的长宽高分别为：,,a b c ，则222222441a b b c c a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得2222a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，故22141122141442223222212V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.当有三条边为1时，只能是底边三条边为1，如图3所示，E 是BC 中点，连接AE ，故DH AE ⊥于H ，易知BC DE ⊥，BC AE ⊥，AE DE E = ，故BC ⊥平面DEA ，DH ⊂平面DEA ，故DH BC ⊥，又DHAE ⊥，BC AE E = ，故DH ⊥平面ABC ，易知2DE =，2AE =，153444cos 1522DEA +-∠=，故151533sin 223DH DEA =∠=，11113322312ABC V S DH =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.其他情况不满足.故答案为：6或12或12(写出其中一个即可)16.如图所示，有一块三角形的空地，已知7,12ABC BC π∠==千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝________；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使6DBE π∠=，则BD ＋BE 最小值为________平方千米．【答案】①.π6##30︒②.1)-【解析】【分析】在ABC中，利用余弦定理求得AC =+，再由正弦定理求解；设5π012CBD θθ⎡⎤∠=∈⎢⎣⎦，，，分别在BCD △，BCE 中，利用正弦定理分别求得BD ，BE，再由BD BE +=；令sin cos [1t t θθ=+∈，，转化为()BD BE f t +===求解.【详解】在ABC中，由余弦定理得)2222··cos 162AC AB BC AB BC ABC =+-∠=，28(48(1=+=+，则AC =+，根据正弦定理有7πsin sin 12AC ABACB =∠所以1πsin 022ACB ACB ⎛⎫∠=∠∈ ⎪⎝⎭，，，π6ACB ∠=∴；设5π012CBD θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，，，则5π2π63BDC BEC θθ∠=-∠=-，，在BCD △中，由正弦定理得πsin sin 6BC BD BDC ==∠5πsin 6θ⎛⎫- ⎪⎝⎭在BCE中，由正弦定理得π·sin 2πsin 6sin 3BC BE BEC θ==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2222BD BE ⎛⎫⎪+==⎝⎭令sin cos [1t t θθ=+∈，，则21sin cos 2t θθ-=则()BD BE f t +===易知分母()20g t t =-，且是一个单调递增的函数，则()f t 是一个单调递减的函数，当t =时，()f t有最小值，min ()1)f t ==-．故答案为：π6；1)-.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（1）在①8z z +=-，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.已知复数()()222334i(i z m m m m =--+--为虚数单位)，若__________，求实数m 的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分.（2）已知1i x =-是关于x 的实系数一元二次方程20x ax b ++=的一个根，求,a b 的值.【答案】（1）答案见解析；（2）2,2a b =-=【解析】【分析】（1）由复数的类型以及运算，列出关系式，从而得出实数m 的值；（2）将1i x =-代入方程求得,a b .【详解】选条件①：因为()()222334i z m m m m =-----，又8z z +=-，所以，()22238m m --=-，解得1m =.选条件②：z 为纯虚数22230340m m m m ⎧--=∴⎨--≠⎩，解得 3.m =选条件③：z 为非零实数，22230340m m m m ⎧--≠∴⎨--=⎩，解得4m =.（2）因为1i x =-为实系数一元二次方程：20x ax b ++=的一个根，()2(1i)1i 0a b ∴-+-+=，即(2)i 0a b a +-+=，所以020a b a +=⎧⎨+=⎩，解得，2,2a b =-=.18.已知,a b是同一平面内的两个向量，其中()()1,2,,1a b λ== .（1）当1λ=时，求a 与b的夹角的余弦值；（2）若2a b + 与22a b - 共线，求实数λ的值.【答案】（1）10（2）12【解析】【分析】（1）由两向量余弦的夹角公式，根据条件，利用数量积的坐标运算和模长公式即可求出结果；（2）根据条件，先求2a b + 与22a b - 的坐标，再利用共线的坐标运算即可求出结果.【小问1详解】当1λ=时，()1,1b = ，又()1,2a =，所以cos ,10a b a b a b⋅==⋅.【小问2详解】因为()()1,2,,1a b λ== ，所以2(12,4)a b λ+=+，22(22,2)a b λ-=- ，又2a b + 与22a b - 共线，所以(12)24(22)0λλ+⨯-⨯-=，解得12λ=.19.如图，在圆锥PO中，已知PO O =的直径2AB =，点C 是 AB 的中点，点D 为AC 的中点.（1）证明：平面POD ⊥平面PAC ；（2）求二面角B AC P --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由圆锥的性质可得PO AC ⊥，由圆的性质可得AC OD ⊥，由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面POD ，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）利用（1）条件得到PDO ∠是二面角B AC P --的平面角，再利用条件求出Rt POD 的三边长即可求出结果.【小问1详解】连接OC ，因为OA OC =,D 为的AC 中点，所以AC OD ⊥.又PO ⊥底面O ，AC ⊂底面O ，所以PO AC ⊥，又OD PO O = ，,PO OD ⊂面POD ，所以AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC．【小问2详解】由（1）知AC ⊥平面POD ，,OD PD ⊂面POD ，所以,AC OD AC PD ⊥⊥，故PDO ∠是二面角B AC P --的平面角，在Rt POD中，PO =，又点C 是 AB 的中点，点D 为AC 的中点，所以1222OD BC ==，故2PD ==，所以22cos 5OD PDO PD ∠===，即二面角B AC P --的余弦值为5.20.已知锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()sin ,cos m A A =，()2sin cos ,sin n B C C =-- ，且m n ⊥ .（1）求角A 的值；（2）若2b =，求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）π6A =（2）3,2++【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标形式结合三角变换可得1sin 2A =，故可求π6A =.（2）利用正弦定理结合三角变换公式可得1tan2a c B +=+，据此可求周长的取值范围.【小问1详解】因为m n ⊥，故()()sin 2sin cos cos sin 0A B C A C -+-=，整理得到：2sin sin sin cos cos sin 0A B A C A C --=，故2sin sin sin A B B =，而π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin 0B >，所以1sin 2A =，而π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π6A =.【小问2详解】22(sin sin )(sin sin )sin a c R A C A C B+=+=+215π211sin()cos sin sin 26sin 222B B B B B ⎛⎫⎡⎤=+-=++ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭1cos 1sin tan 2B B B +=+=+,因为ABC 为锐角三角形，故π025ππ062B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，故ππ32B <<，所以ππ624B <<，故3tan 132B<<1a c +<+<，故周长的取值范围为3,2++.21.如图是一个以111A B C △为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC .已知1114,2,3AA BB CC ===.（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得//OC 平面111A B C ？若存在，求出AOOB的值；若不存在，请说明理由；（2）若112A B =，求几何体111A B C ABC -的体积.【答案】（1）存在，此时1AOOB=，理由见解析（2）33【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接OC ，作1//OD AA 交11A B 于点D ，连接1C D ，从而得到四边形1ODC C 为平行四边形，即可得到1//OC C D ，从而得证；（2）将几何体转化为一个四棱锥和正三棱柱的体积进行计算.【小问1详解】存在，此时1AOOB=，如图，取AB 的中点O ，连接OC ，作1//OD AA 交11A B 于点D ，连接1C D ，则11////OD BB CC ，因为O 是AB 的中点，所以OD 为梯形11AA B B 的中位线，所以()111132OD BB AA CC =+==，所以四边形1ODC C 为平行四边形，所以1//OC C D ，又1C D ⊂平面111A B C ，OC ⊄平面111A B C ，所以//OC 平面111A B C ，即在边AB 上是存在一点O ，使得//OC 平面111A B C 且1AOOB=.【小问2详解】如图在1AA 上取点D 使得112A D BB ==，在1CC 上取点E 使得112C E BB ==，连接BD 、DE 、BE ，则三棱柱111DBE A B C -为正三棱柱，取DE 的中点F ，连接BF ，取11A C 的中点G ，连接1B G ，则BF DE ⊥，111B G A C ⊥，又平面BDE ⊥平面11ACC A ，平面BDE ⋂平面11ACC A DE =，BF ⊂平面BDE ，所以BF ⊥平面11ACC A ，又22213BF =-=，11112332A B C S =⨯=!，()12232ADEC S +⨯==，所以13333B ADEC V -=⨯=，11111113DBE C A C B B A V S A D -⋅== 所以1111113A B C ABC B ADEC BE A D B C V V V ---+==22.已知函数()π4sin cos 33f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()f x 在区间[π4-，π6]上的单调递减区间；（2）若对于()()20303π,,x gx mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的范围.【答案】（1）ππ,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用辅助角公式可将()f x 化为π2sin 23x ⎛⎫+⎪⎝⎭，因x ∈[π4-，π6]，则22,πππ363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，后由sin y x =在π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间可得答案；（2）由题可得()236πsin g xx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，后利用sin y x =在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性可得()[]1,2g x ∈-.方法1：令()12,g xt ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，230t mt --≤，后分)(10002,,,,t t t ⎡⎤∈-=∈⎣⎦三种情况，利用分离参数结合函数3=-y t t单调性可得答案；方法2：令()12,g xt ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，()230h t t mt =--≤，则()()2010h h ⎧≤⎪⎨-≤⎪⎩，即可得答案.【小问1详解】()1344322πsin cos sin cos f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21222223πsin cos sin sin x x x x x ⎛⎫=--+=+=+ ⎪⎝⎭.因x ∈[π4-，π6]，则22,πππ363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，又sin y x =分别在πππ2π,,,6223⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上单调递增和递减，则22323126πππππ,,x ⎡⎤⎡⎤+∈⇒⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，即函数()f x 在区间[π4-，π6]上的单调递减区间为ππ,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，所得解析式为32223233ππsin sin x x ⎛⎫⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又将所得函数图象向右平移π18个单位长度，解析式为23231836πππsin sin x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()236πsin g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则73666πππ,x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.又sin y x =在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则13162πsin ,x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()23126πsin ,g x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭.方法1：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，230t mt --≤.当0=t 时，23030t mt --≤⇔-≤，则此时m 可取任意值；当(]0,2t ∈时，23330max t mt m t m t t t ⎛⎫--≤⇔≥-⇒≥- ⎪⎝⎭，注意到函数1,y x y x ==-均在(]0,2上单调递增，则函数1y t t=-在(]0,2上单调递增，则33112222maxt m t ⎛⎫-=-=⇒≥ ⎪⎝⎭；当[)1,0t ∈-时，23330min t mt m t m t t t ⎛⎫--≤⇔≤-⇒≤- ⎪⎝⎭，注意到函数1,y x y x ==-均在[)1,0-上单调递增，则函数1y t t=-在[)1,0-上单调递增，则331221min t m t ⎛⎫-=--=⇒≤ ⎪-⎝⎭；综上可得：122m ≤≤.方法2：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，()()()21013030204230h m h t t mt h m ⎧-≤+-≤⎧⎪=--≤⇒⇒⎨⎨≤--≤⎪⎩⎩.则122m ≤≤.【点睛】关键点点睛：本题涉及求正弦型函数的单调区间及恒成立问题，难度较大.。
河南省濮阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含答案
高中一年级学业质量监测数学（答案在最后）本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数()11iz m m =++-纯虚数，则实数m =（）.A.0 B.1- C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据纯虚数的定义列方程求m 即可.【详解】∵复数()11i z m m =++-为纯虚数，10m ∴+=，10m -≠，1m ∴=-.故选：B.2.下列说法正确的是（）A.若a b =，则a b= B.若//a b ，//b c ，则//a cC.长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量D.单位向量都相等【答案】C 【解析】【分析】根据向量的相关性质逐项分析.【详解】对于A ，若a b=，只能说明两个向量的模长相等，但是方向不确定，所以A 错误；对于B ，如果0b =，结论B 不正确；对于C ，根据平行向量的定义，C 正确；对于D ，单位向量长度相等，但是方向不确定，所以D 错误；故选：C.3.直线l 与平面α不平行，则（）A.l 与α相交B.l ⊂αC.l 与α相交或l ⊂αD.以上结论都不对【答案】C 【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系的概念，结合题意，即可得到答案.【详解】由直线与平面的位置关系概念，可得直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交三种位置关系，因为直线l 与平面α不平行，所以l 与α相交或l ⊂α.故选：C.4.在ABC 中，若45,30,3A B BC =︒=︒=，则边AC 的长为（）A.62B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理即可.【详解】因为45,30,3A B BC =︒=︒=，所以由正弦定理得：sin 3sin 30sin sin sin sin 45BC AC BC B AC A B A ⨯=⇒=== ，故选：B.5.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（）A.7.6B.7.8C.8D.8.2【答案】B 【解析】【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、8、9、9，所以平均数为678997.85++++=.故选：B6.已知ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1c a a b b c+=++，则()sin A C +的大小为（）A.2B.2C.3D.12【答案】A 【解析】【分析】由已知得222c a b ac +-=，利用余弦定理求得cos B ，得到角B ，从而由sin()sin A C B +=求出结果.【详解】c a1a b b c+=++，∴整理可得222c a b ac +-=，cos 222c a b ac 1B 2ac 2ac 2+-∴===，0πB << ，π3B ∴=，()sin()sin πsin 2A CB B +=-==∴，故选：A ．7.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p ，12，23，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为38，则p 的值为（）A.14B.13C.23D.34【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合独立事件概率的乘法公式求恰好投中两次的概率，列方程求解即可得结果.【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A ，B ，C ，则()()()12,,23P A p P B P C ===，可知恰好投中两次为事件,ABC ABC ABC ，故恰好投中两次的概率()121212113111232323368P p p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14p =．故选：A.8.点,,O G P 为ABC 所在平面内的点，且有222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，0GA GB GC ++=，()()()0PA PB AB PB PC BC PC PA CA +⋅=+⋅=+⋅= ，则点,,O G P 分别为ABC的（）A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】A 【解析】【分析】由题中向量的关系，根据数量积转化为位置上的关系，进而可判断.【详解】由2222||||||||OA BC OB CA +=+ ，得2222OA OB CA BC -=- ，即()()()()OA OB OA OB CA BC CA BC +⋅-=+⋅-，则()()OA OB BA BA CA CB +⋅=⋅+ ，得()0OA OB CA CB BA +--⋅= 所以20OC BA ⋅= ，则OC AB ⊥ ，同理可得OA BC ⊥ ，OB AC ⊥，即O 是ABC 三边上高的交点，则O 为ABC 的垂心；由0GA GB GC ++=，得GA GB GC +=- ，设AB 的中点为M ，则2G GA M GC GB ==-+，即G ，M ，C 三点共线，所以G 在ABC 的中线CM 上，同理可得G 在ABC 的其余两边的中线上，即G 是ABC 三边中线的交点，故G 为ABC 的重心；由()0PA PB AB +⋅= ，得20PM AB ⋅= ，即PM AB ⊥，又M 是AB 的中点，所以P 在AB 的垂直平分线上，同理可得，P 在BC ，AC 的垂直平分线上，即P 是ABC 三边垂直平分线的交点，故P 是ABC 的外心，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列有关复数的说法中（其中i 为虚数单位），正确的是（）A.9i i=B.复数32i z =-的虚部为2iC.若()21i z =-，则复平面内z 对应的点位于第二象限D.复数z 为实数的充要条件是z z =【答案】AD 【解析】【分析】根据复数的乘方判断A ，根据复数的定义判断B ，根据复数的几何意义判断C ，根据充要条件的定义判断D.【详解】对于A ：2941i i i ⨯+==，故A 正确；对于B ：复数32i z =-的虚部为2-，故B 错误；对于C ：()2221i 12i i 2i z =-=-+=-，所以2i z =，则复平面内z 对应的点为()0,2位于虚轴，故C 错误；对于D ：若复数z 为实数则z z =，设i z a b =+，(),R a b ∈，若z z =，即i i a b a b =+-，所以0b =，则复数z 为实数，故复数z 为实数的充要条件是z z =，故D 正确；故选：AD10.从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.A 与B 对立B.B 与C 互斥C.A 与C 互斥D.B 与C 对立【答案】BD 【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接判断作答.【详解】事件A ：三件产品都是正品，事件C ：三件产品包含一件正品两件次品，两件正品一件次品，三件正品，事件A 与B 互斥不对立，事件A 与C 不互斥，事件B 与C 互斥，又对立，所以A ，C 都不正确；B ，D 都正确.故选：BD11.下列说法中正确的有（）A.若AB 与CD是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上B.若向量()1,3a = ，()1,3a b -=--，则a b∥C.若平面上不共线的四点O ，A ，B ，C 满足320OA OB OC -+=，则2AB BC= D.若非零向量a ，b 满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角是π3【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，根据向量共线的定义，可得其正误；对于B ，利用向量共线定理，可得其正误；对于C ，根据向量减法，结合共线定理，可得其正误；对于D ，根据向量模的求解以及夹角公式，可得答案.【详解】AB 与CD是共线向量，也可能是AB CD ，故A 错误；设(),b x y = ，∵()1,3a = ，()1,3a b -=--，∴11,33,x y -=-⎧⎨-=-⎩解得2,6,x y =⎧⎨=⎩∴()2,6b = ，又∵16320⨯-⨯=，∴a b∥，故B 正确；由已知得()()220OA OB OC OB BA BC -+-=+= ，∴2AB BC =，∴2AB BC= ，故C 正确；由()22a a b =- 整理可得22b a b =⋅，设a 与a b + 的夹角是θ，则()2221322cos 2a b a a a b a a b θ+⋅+==⋅+ ，∴a 与a b + 的夹角是π6，故D 错误．故选：BC.12.已知三棱锥S ABC -中,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，则下列结论正确的是（）A.二面角S AB C --B.三棱锥S ABC -的内切球的半径为33C.E 是线段AC 上一动点，则SEB △D.Q 是三棱锥S ABC -的外接球上一动点，则点Q 到面ABC 距离的最大值为433【答案】ACD 【解析】【分析】将三棱锥S ABC -嵌套在正方体SADB CMNH -内，对于A ：可证SD AB ⊥，CO AB ⊥，结合二面角可知：二面角S AB C --的平面角为COS ∠，运算判断；对于B ：根据三棱锥内切球的半径公式3Vr S =表，运算判断；对于C ：根据正方体可证：SB SE ⊥，结合三角形面积分析可得：当E 是线段AC 的中点时，SEB △面积取到最小值，运算判断；对于D ：结合正方体可知：三棱锥S ABC -的外接球即为正方体SADB CMNH -的外接球，且SN 为外接球的直径，可证SN ⊥平面ABC ，则点Q 到面ABC 距离的最大值为NG ，运算判断．【详解】根据题意将三棱锥S ABC -嵌套在正方体SADB CMNH -内，如图所示：连接SD 交AB 于点O ，在正方体SADB 中，∴SD AB⊥∵AB AC BC ==，点O 为AB 的中点，则CO AB ⊥∴二面角S AB C --的平面角为COS ∠，则tan CSCOS SO∠==，A 正确；三棱锥S ABC -的表面积为113226222S =⨯⨯⨯+⨯=+表114222323V =⨯⨯⨯⨯=∴三棱锥S ABC -的内切球的半径为313V r S ==-表，B 错误；根据题意可知：SB ⊥平面ASCM ，则SB SE⊥∴SEB △面积为12S SB SE SE =⨯=当E 是线段AC 的中点时，SE 取到最小值∴SEB △面积的最小值为，C 正确；三棱锥S ABC -的外接球即为正方体SADB CMNH -的外接球，显然SN 为外接球的直径，设SN CO G= ∵SD AB ⊥，CO AB⊥SD CO O = ，则AB ⊥平面SDNC∴SN AB ⊥同理可证：SN AC⊥AB AC A ⋂=，则SN ⊥平面ABC点Q 到面ABC 距离的最大值为NG∵SC DN ∥且SC DN =，则CSDN 为平行四边形∴SD CN ∥，则2GN CNSG SO==∴233NG SN ==，D 正确；故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校高一(1)班有50名学生，综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，则该班“运动与健康”评价等级为A 的人数是_____【答案】19【解析】【分析】高一(1)班的总人数乘以该班“运动与健康”评价等级为A 的所占的百分比，即可得该班“运动与健康”评价等级为A 的人数．【详解】该班“运动与健康”评价等级为A 的人数是：50×38%=19人．故答案为19【点睛】本题主要考查扇形统计图的定义，其中各部分的数量=总体×其所占的百分比．14.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．下图给出了一个石瓢壶的相关数据，那么该壶的容量为______．（结果用圆周率表示）【答案】244π3##244π3【解析】【分析】利用圆台体积公式可得，也可以看成为两个圆锥体积相减.【详解】方法1：由题意知，圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为4，则222221244π(4π5π45π433V =⨯+⨯⨯⨯=.方法2：如图，设大圆锥的高为h ，则4810h h -=，解得：20h =，所以2211244ππ520π416333V =⨯⨯-⨯⨯=.故答案为：244π3.15.若{}1,3,4,6,7m ∈-，则方程240x x m ++=有实根的概率为________．【答案】35##0.6【解析】【分析】先利用判别式求出m 的范围，然后根据m 可取的值得概率.【详解】 方程240x x m ++=有实根,1640m ∴∆=-≥，解得4m ≤，又{}1,3,4,6,7m ∈-，m ∴可取的值的集合为{}1,3,4-，则方程240x x m ++=有实根的概率为35.故答案为：35.16.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，90ACB ∠= ，11BC CC ==，32AC =，P 为1BC 上的动点，则1CP PA +的最小值为________．【答案】5【解析】【分析】将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形，得四边形11AC CB ，若要1CP PA+取得最小值，当且仅当C 、P 、1A 三点共线，即可求出满足条件的P 点位置，然后应余弦定理求解.【详解】由题设可知1CC B 为等腰直角三角形，且11A C ⊥平面11BCC B ，故1190A C B ∠= ，将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形，得四边形11AC CB ，如图所示，若要1CP PA +取得最小值，当且仅当C 、P 、1A 三点共线，∵11CC =、11AC AC ==，145CC B ∠= ，1190BC A ∠= ，∴11135CC A ∠= ，∴当1CP PA +最小值时，由余弦定理得(22112cos13525A C =+-⨯= ，∴15A C =，即1CP PA +的最小值为5．故答案为：5.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数3i 2iz -=+（i 是虚数单位），z 为z 的共轭复数.（1）求复数z 的模；（2）若21i az z b ++=+（a ，b ∈R ），求a ，b 的值.【答案】（1（2）32a b =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】（1）先利用复数的运算法则化简复数，再根据复数模的定义，直接计算z 的模长即可（2）先利用复数的运算法则化简复数，再根据复数相等即可求解【小问1详解】∵3i (3i)(2i)55i 1i 2i (2i)(2i)5z ----====-++-，∴z ==【小问2详解】∵21i az z b ++=+，∴2(1i)(1i)1i-+++=+a b ∴()(2)i 1i ++-=+a b a ，∴1,21,a b a +=⎧⎨-=⎩∴3,2.a b =⎧⎨=-⎩18.仓廪实，天下安．习近平总书记强调:“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：cm ）：甲：29，31，30，32，28；乙：27，44，40，26，43．请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：（1）哪种玉米苗长得高？（2）哪种玉米苗长得齐？【答案】（1）乙种玉米苗长得高（2）甲种玉米苗长得齐【解析】【分析】（1）计算甲乙的平均数，再比较大小即可；（2）计算甲乙是的方差，比较大小即可.【小问1详解】()()11293130322815030cm 55x =⨯++++=⨯= 甲，()()11274440264318036cm 55x =⨯++++=⨯=乙，x x ∴<甲乙．∴乙种玉米苗长得高．【小问2详解】()()()()()()22222221293031303030323028302cm 5s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 甲，()()()()()()222222212736443640362636433662cm 5s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙，22s s ∴<甲乙．∴甲种玉米苗长得齐．19.已知平面向量a 、b ，若2a = ，3b =，a b -= .（1）求向量a 、b 的夹角；（2）若c a tb =+ 且c a ⊥ ，求c r.【答案】（1）2π3（2）c = 【解析】【分析】（1）在等式a b -= 两边平方，结合平面向量数量积的运算性质可求得向量a 、b 的夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围即可得解；（2）由已知可得0c a ⋅= ，利用平面向量数量积的运算性质求出t 的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得c r.【小问1详解】解：因为a b -= ，则()2222222cos ,a b a a b b a a b a b b-=-⋅+=-⋅+ 412cos ,919a b =-+= ，所以，1cos ,2a b =- ，又因为0,πa b ≤≤ ，因此，2π,3a b = ，即向量a 、b 的夹角为2π3.【小问2详解】解：因为c a tb =+ 且c a ⊥ ，则()222πcos 3c a a tb a a ta b a t a b ⋅=+⋅=+⋅=+⋅ 430t =-=，解得43t =，因此c == .20.某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【答案】（1）70.5（2）110【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分．【小问2详解】在[)80,90和[]90,100两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，记为a ，b ，c ，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有：()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=，共10种取法，其中两人得分都在[]90,100的情况只有(){}12，共有1种，所以两人得分都在[]90,100的概率为110P =．21.若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足222sin sin sin sin sin A B C B C --=.（1）求角A ；（2）若6a =，求△ABC 周长的取值范围.【答案】（1）2π3A =（2）(12,6+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得222a b c bc --=，由余弦定理即可求解，（2）根据正弦定理得b B =，由内角和关系以及和差角公式可得31cos sin 22c B B ⎫=-⎪⎪⎭，进而由三角函数的性质即可求解.【小问1详解】由正弦定理可得：222a b c bc --=，2221cos 22c b a A bc +-∴==-，()0,πA ∈ ，2π3A ∴=【小问2详解】因为πA B C ++=，2π3A =，所以π3B C +=，故ππ(0)33C B B =-<<由正弦定理得：62πsin sin sin sin 3a b c A B C ====所以b B =，π1cos sin 322c C B B B ⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以ABC周长1π6cos sin 6223a b c B B B B ⎫⎛⎫=++=++-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为π03B <<，则ππ2π<333B <+，所以πsin 123B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故π12663B ⎛⎫<++≤+ ⎪⎝⎭求ABC周长的取值范围为(12,6+.22.如图，在几何体ABCDE 中，AD ⊥面ABE ，AD BC ∥，2AD BC =，AB BE =．（1）求证：平面DCE ⊥平面DAE ；（2）AB =1，2AE =14ABCDE V =，求CE 与平面DAE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）根据线线平行证得//CN BM ，再结合线面垂直的性质定理与面面垂直的判定定理即可得证；（2）首先确定直线CE 与平面DAE 所成角的平面角为CEN ∠，再应用棱锥体积公式求52CE =、22CN =，即可得解.【小问1详解】如图，取AE DE 、的中点M 、N ，连接BM 、MN 、CN ，则知MN AD ∥，且2AD MN =，又AD BC ∥，且2AD BC =，所以MN BC ∥，且MN BC =，则四边形BMNC 为平行四边形，所以CN BM ∥．∵AB BE =，M 为AE 的中点，∴BM AE ⊥，∵AD ⊥平面ABE ，BM ⊂平面ABE ，∴BM AD ⊥．又AD AE A ⋂=，AD ⊂平面DAE ,AE ⊂平面DAE ，∴BM ⊥平面DAE从而可得CN ⊥平面DAE ，由于CN ⊂平面DCE ，所以平面DCE ⊥平面DAE ，命题得证．.【小问2详解】由（1）知，CN ⊥平面DAE 于N ，则CEN ∠为CE 与平面DAE 所成角.且在Rt CEN △中，sin CN CEN CE∠=，由1AB BE ==且2AE =AB BE ⊥，又已知AD ⊥平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，∴AD BE ⊥，∵,,AD AB A AD AB ⋂=⊂平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ，设(0)BC t t =>，则2AD t =，那么有322ABCD AD BC t S AB +=⋅=，则11324ABCDE ABCD t V S BE =⋅==，解得12t =，即有12BC =．从而易得，在Rt CBE △中，52CE =；又在Rt ABE △中，22BM =，则知22CN BM ==；∴210sin 55CN CEN CE ∠==，即CE 与平面DAE 所成角的正弦值为105．。
河南省郑州市高一下期末考试数学试题有答案
下期期末考试高一数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.0sin 585的值为（ ）A ．2 B ．2- C ． 2.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3.的是（ ） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15- C ．202sin 151- D ．2020sin 15cos 15+ 4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（ ）A ．19，13B ．13，19 C.19，18 D ．18，195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A ．23 B ．25 C. 12 D ．136.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++∙+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图像是（ ） A ． B ． C. D ．7.设单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（ ）A ．34 B ．537 C. 8.如果下面程序框图运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（ ）A ．10?k <B ．10?k > C. 11?k < D ．11?k >9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（ ） A ．18 B ．1136 C.14 D ．156410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称，则ϕ可能取值是（ ）A ．2π B ．12π- C.6π D ．6π- 11.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ，若3OC mOA mOB =+，AP AB λ=，则λ=（ ）A ．56 B ．45 C.34 D ．2512.已知平面上的两个向量OA 和OB 满足cos OA α=，sin OB α=，[0,]2πα∈，0OA OB ⋅=，若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，且22221(21)cos 2(21)sin 4λαμα-+-=，则OC 的最大值是（ ） A ．32 B ．34 C.35 D ．37第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知tan 4α=，tan()3πβ-=，则tan()αβ+．14.已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8xy =．15.已知ABC ∆的三边长4AC =，3BC =，5AB =，P 为AB 边上的任意一点，则()CP BC BA -的最小值为．16.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图像向左平移12π个单位，再向下平移2个单位，得到()g x 的图像，若12()()16g x g x =，且1x ，2[2,2]x ππ∈-，则122x x -的最大值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-. （I ）求向量a b -与向量b 夹角的余弦值 （II ）若()a a b λ⊥-，求实数λ的值.18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x B πωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式 （II ）将()f x 的图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图像，求()y g x =的图像离y 轴最近的对称中心.19. 某商场经营某种商品，在某周内获纯利y （元）与该周每天销售这种商品数x 之间的一组数据关系如表：（I ）画出散点图；（II ）求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程；（III ）估计当每天销售的件数为12件时，每周内获得的纯利为多少？ 附注：721280ii x==∑，721()27i i x x =-=∑，713076i i i x y ==∑，72134992i i y ==∑，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. 在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上.（I ）若点F 是CD 上靠近C 的四等分点，设EF AB AD λμ=+，求λμ的值； （II ）若3AB =，4BC =，当2AE BE =时，求DF 的长.21.某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示. （I ）若该所中学共有3000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；（II ）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人，试求恰好抽中1名优秀生的概率.22.已知函数21()sin cos 2f x x x x ωωω=-+（0ω>），()y f x =的图象与直线2y =相交，且两相邻交点之间的距离为x . （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）已知,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域； （III ）求函数()f x 的单调区间并判断其单调性.试卷答案一、选择题1-5:BABCB 6-10:BDADC 11、12：CB 二、填空题 13.113 14.60 15.16- 16.5512π 三、解答题17.解：（1）()4,2a b -=-，设a b -与a 的夹角为θ，所以()()23)(2)44cos 5a ab bb b θ-⋅+-⨯===-- ， （2）()13,24a b λλλ-=+-()a ab λ⊥-，∴()0a a b λ⋅-=()()1132240λλ∴⨯++⨯-=，解得1λ=18.．．．解：．．(1)．．．根据表中已知数据，解得．．．．．．．．．．．5A ＝，．2ω=，．6πϕ=-.．数据补全如下表：．．．．．．．．且函数表达式为．．．．．．．f(x)=5sin 2+26x ⎛⎫-⎪⎝⎭.．(2)．．．由．(1)．．．知．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫-⎪⎝⎭，．因此．．g(x)=5sin 2+2=5sin 2+2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.． 因为．．y sinx ＝的对称中心为．．．．．．(,2)k π ，．k Z ∈，令．．2x+=k 6ππ，．k Z ∈，解得．．．x=212k ππ-，．k Z ∈，．即．()y g x ＝图象的对称中心为．．．．．．．．222kx π（-，），．k Z ∈，其中离．．．．y 轴最近的对称中心为．．．．．．．．．(,2)12π-.． 19.解：(1)（2）712723456789675659637179808270730767670136 4.92807362813670640.928i ii iix y x y nx yb xnxa y bx =++++++==++++++==--⨯⨯∴===≈-⨯-∴=-=-⨯≈∑∑∴回归方程为： 4.940.9y x ∧=+（3）当12x -时 4.91240.999.7y ∧=⨯+=所以估计当每天销售的简述为12件时，周内获得的纯利润为99.7元.20.解：（1）EF EC CF =+，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，所以1124EF EC CF BC CD =+=+，在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-， 所以，1142EF AB AD =-+，即14λ=-，12μ=，则18λμ⋅=-. （2）设DF mDC =(0)m >，则(1)CF m DC =-，1122AE AB BC AB AD =+=+， (1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+，又0AB AD ⋅=， 所以1()[(m 1)]2AE BF AB AD AB AD ⋅=+-+221(1)2m AB AD =-+9(1)82m =-+=，解得13m =，所以DF 的长为1． 21.解：（1）由直方图可知，样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=，则估计全校这次考试中优秀生人数为30000.3900⨯=．（2）由分层抽样知识可知，成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100间分别抽取了3人，2人，1人． 记成绩在[)70,80的3人为a ，b ，c ，成绩在[)80,90的2人为d ，e ，成绩在[]90,100的1人为f ，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ，(,,)a b d ，(,,)a b e ，(,,)a b f ，(,,)a c d ，(,,)a c e ，(,,)a c f ，(,,)a d e ，(,,)a d f ，(,,)a e f ，(,,)b c d ，(,,)b c e ，(,,)b c f ，(,,)b d e ，(,,)b d f ，(,,)b e f ，(,,)c d f ，(,,)c e f ，(,,)d e f 共20种，其中恰好抽中1名优秀生的结果有(,,)a b d ，(,,)b c d ，(,,)c a d ，(,,)a b e ，(,,)b c e (,,)c a e ，(,,)a b f ，(,,)b c f ，(,,)c a f 共9种，所以恰好抽中1名优秀生的概率为920P =．22.解：（1）()211cos2ωx 1sin 21sin(2)2226f x x xcos x x x πωωωωω-=+==+=-+与直线2y =的图象的两相邻交点之间的距离为π，则T π=，所以1ω=（2）7131[,]2[,]sin(2)[1,]266662x x x ππππππ∈∴+∈∴+∈-()f x ∴的值域是1[,2]2（3）令222()262kx x kx k Z πππ-≤+≤+∈，则()36kx x kx k Z ππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调减区间为()ππk π-,k πk Z 63⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3222(),262kx x kx k Z πππ+≤+≤+∈则2()63kx x kx k Z ππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调增区间为()π2πk π,k πk Z 63⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。
河南郑州高一下学期期末考试数学试题含答案
2019一2020学年下期期末考试高一数学试题卷注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，考试时间120分钟，满分150分考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交秒时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知平行四边形ABCD 中，向量AD →=(3，7)，AB →=(－2，3)，则向量=A.(1，5)B.(－2，7)C.(5，4)D.(1，10). 2. sin(－103 π)的值等于A.2B.C.D.-. 3.某学校从编号依次为01，02，…，72的72个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12：21，则该样本中来自第四组的学生的编号为 A.30 B.31 C.32 D.33 4.下列函数中是偶函数且最小正周期为14的是A.y=cos 24x-sin 24xB.y=sin4xC.y=sin2x+cos2xD.y=cos2x5.已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差s 2为 A. B.3 C.32 D.46.已知cos θ=45，且θ∈(－12 π，0)，则tan(π+θ)= A. －7 B.7 C. －17 D. 177.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数.将组成a 的2个数字按从小到大排成的两位数记为I(a)，按从大到小排成的两位数记为D(a)(例如a=75，则I(a)=57，D(a)=75).执行如图所示的程序框图，若输人的a=97，则输出的b=A.45B.40C.35D.307；8；8.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心园的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概事为A.45B.40C.35D.309.在△ABC 中，|AB →|=||=2。
河南省高一数学下学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知命题P：∀x∈R，x＞sinx，则P的否定形式为（）A．￢P：∃x∈R，x≤sinxB．￢P：∀x∈R，x≤sinxC．￢P：∃x∈R，x＜sinxD．￢P：∀x∈R，x＜sinx2．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a6+a7=18，则S9的值为（）A．64B．72C．54D．843．设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A． B． C． D．4．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A． B． C． D．5．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A． B． C． D．6．已知实数对（x，y）满足，则2x+y取最小值时的最优解是（）A．6B．3C．（2，2）D．（1，1）7．已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则+（）等于（）A． B． C． D．8．已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A．4B．8C．12D．169．对于函数f（x），在使f（x）≤M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最小值称为函数f（x）的“上确界”．已知函数f（x）=+a（x∈[﹣2，2]）是奇函数，则f（x）的上确界为（）A．2B． C．1D．10．在数列{a n}中a n≠0，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5（）A．是等差数列B．是等比数列C．三个数的倒数成等差数列D．三个数的平方成等差数列11．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为（）A． B． C． D．212．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1B． C． D．二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．13．已知t＞0，则函数的最小值为．14．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB﹣sinA，sinB﹣cosA）在第象限．15．设{a n}是正项等比数列，令S n=lga1+lga2+…+lga n，n∈N*，若存在互异的正整数m，n，使得S m=S n，则S m+n= ．16．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：x+2≥0且x﹣10≤0，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．19．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．20．数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．21．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，直线l过A（a，0），B（0，﹣b）两点，原点O到直线l的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若•=﹣23，求直线m的方程．22．设函数的极值点．（I）若函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，求函数f（x）的解析式；（II）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知命题P：∀x∈R，x＞sinx，则P的否定形式为（）A．￢P：∃x∈R，x≤sinxB．￢P：∀x∈R，x≤sinxC．￢P：∃x∈R，x＜sinxD．￢P：∀x∈R，x＜sinx【考点】命题的否定．【分析】根据命题P：∀x∈R，x＞sinx为全称命题，其否定形式为特称命题，由“任意的”否定为“存在”，“＞“的否定为“≤”可得答案．【解答】解：∵命题P：∀x∈R，x＞sinx为全称命题，∴命题P的否定形式为：∃x∈R，x≤sinx故选A．2．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a6+a7=18，则S9的值为（）A．64B．72C．54D．84【考点】等差数列的性质．【分析】把所有的量用等差数列中的基本量a1和d表示，再利用求和公式和性质求S9的值即可．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意得，a2+a6+a7=18，则3a1+12d=18，即a1+4d=6，即a5=6，所以S9==9a5=54，故选：C．3．设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A． B． C． D．【考点】数列的求和；导数的运算．【分析】函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．【解答】解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），==﹣，用裂项法求和得S n=．故选A4．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A． B． C． D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．5．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A． B． C． D．【考点】余弦定理．【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选C．6．已知实数对（x，y）满足，则2x+y取最小值时的最优解是（）A．6B．3C．（2，2）D．（1，1）【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y中，z表示直线在y轴上的截距，要求z的最小，则只要可行域直线在y轴上的截距最小即可．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小，z越小结合图象可知，当直线经过A（1，1）时，截距最小，z最小，则2x+y取最小值时的最优解是为（1，1）．故选D．7．已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则+（）等于（）A． B． C． D．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】由向量加法的平行四边形法则可知G是CD的中点，所以可得=（），从而可以计算化简计算得出结果．【解答】解：如图所示：因为G是CD的中点，所以（）=，从而+（）=+=．故选A．8．已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A．4B．8C．12D．16【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】直线过定点，由椭圆定义可得 AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4，由△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM），求出结果．【解答】解：直线过定点，由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，故选：B．9．对于函数f（x），在使f（x）≤M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最小值称为函数f（x）的“上确界”．已知函数f（x）=+a（x∈[﹣2，2]）是奇函数，则f（x）的上确界为（）A．2B． C．1D．【考点】函数恒成立问题；奇函数．【分析】首先根据函数是奇函数求出a=﹣1，然后将函数化成f（x）=，再根据均值不等式求出函数的最小值，即可得出答案．【解答】解：∵函数f（x）=+a（x∈[﹣2，2]）是奇函数∴f（0）=0∴a=﹣1f（x）=﹣1=∵x+≥2∴f（x）=﹣1=≤1∴f（x）的上确界为1故选C．10．在数列{a n}中a n≠0，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5（）A．是等差数列B．是等比数列C．三个数的倒数成等差数列D．三个数的平方成等差数列【考点】等比关系的确定．【分析】根据a1，a2，a3成等差数列可得a2=，根据a3，a4，a5的倒数成等差数列可知a4=，根据a2，a3，a4成等比数列可知a32=a2•a4，把刚才求得的a2和a4代入此等式化简可得a32=a1•a5，根据等比数列的等比中项的性质可判断a1，a3，a5成等比数列【解答】解：依题意，2a2=a1+a3①a32=a2•a4②③由①得a2=④，由③得a4=⑤将④⑤代入②化简得a32=a1•a5，故选B．11．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，进而在RT△PF1F2中结合双曲线的定义和△PF1F2的面积，进而根据双曲线的简单性质求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，∴F1P2+F2P2=F1F22，又根据曲线的定义得：F1P﹣F2P=2a，平方得：F1P2+F2P2﹣2F1P×F2P=4a2从而得出F1F22﹣2F1P×F2P=4a2∴F1P×F2P=2（c2﹣a2）又当△PF1F2的面积等于a2即F1P×F2P=a22（c2﹣a2）=a2∴c=a，∴双曲线的离心率e==．故选A．12．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1B． C． D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．13．已知t＞0，则函数的最小值为﹣2 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将函数变为﹣4，用基本不等式求解即可．【解答】解：，当且仅当t=1时等号成立，故y min=﹣2．14．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB﹣sinA，sinB﹣cosA）在第二象限．【考点】象限角、轴线角．【分析】由题意知A、B、C是锐角，推出A、B的关系，分别求它的正弦和余弦，即可得到结果．【解答】解：在锐角三角形ABC中，有A＜90°，B＜90°，C＜90°，又因为A+B+C=180°所以有A+B＞90°，所以有A＞90°﹣B．又因为Y=cosx在0°＜x＜90°上单调减即cosx的值随x的增加而减少，所以有cosA＜cos（90°﹣B）=sinB，即cosA＜sinB，sinB﹣cosA＞0同理B＞90°﹣A，则cosB＜cos（90°﹣A）=sinA，所以cosB﹣sinA＜0故答案为：二．15．设{a n}是正项等比数列，令S n=lga1+lga2+…+lga n，n∈N*，若存在互异的正整数m，n，使得S m=S n，则S m+n= 0 ．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】根据{a n}是正项等比数列，推断出lga n+1﹣lga n结果为常数，判断出数列{lga n}为等差数列，进而用等差数列求和公式分别表示出S m和S n，根据S m﹣S n=0求得lga1+）=0代入S m+n求得答案．【解答】解：∵{a n}是正项等比数列，设公比为q，∴lga n+1﹣lga n=lgq∴数列{lga n}为等差数列，设公差为d则S m=mlga1+，S n=nlga1+∵S m=S n，∴S m﹣S n=mlga1+﹣nlga1﹣=（m﹣n）（lga1+）=0∵m≠n∴lga1+）=0∴S m+n=（m+n）lga1+=（m+n）（lga1+）=0故答案为0．16．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为\frac{8}{3} ．【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：x+2≥0且x﹣10≤0，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】先解出￢p，￢q，然后根据￢p是￢q的必要不充分条件，即可得到限制m的不等式，解不等式即可得m的取值范围．【解答】解：命题p：﹣2≤x≤10，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0；∴￢p：x＜﹣2，或x＞10；￢q：x＜1﹣m，或x＞1+m，m＞0；￢p是￢q的必要不充分条件，就是由￢q能得到￢p，而￢p得不到￢q；∴集合{x|x＜﹣2，或＞10}真包含集合{x|x＜1﹣m，或x＞1+m，m＞0}；∴1﹣m≤﹣2，且1+m≥10，且两等号不能同时取；∴解得：m≥9，即实数m的取值范围为[9，+∞）．18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）注意角的范围，利用二倍角公式求得sinC的值．（2）利用正弦定理先求出边长c，由二倍角公式求cosC，用余弦定理解方程求边长b．【解答】解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1﹣2sin2C=，及0＜C＜π所以 sinC=．（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理=，解得c=4．由cos2C=2cos2C﹣1=，及0＜C＜π 得cosC=±．由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC，得b2±b﹣12=0，解得b=或b=2．所以b=或b=2，c=4．19．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）欲证平面AMD⊥平面CDE，即证CE⊥平面AMD，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DM⊥CE，MP⊥CE；（3）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．【解答】（1）解：由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点，所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE．（3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角．可得，．20．数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I）由已知中（n∈N+），我们易变形得：，即，进而根据等差数列的定义，即可得到结论；（II）由（I）的结论，我们可以先求出数列的通项公式，进一步得到数列{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）由（II）中数列{a n}的通项公式，及b n=n（n+1）a n，我们易得到数列{b n}的通项公式，由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到，故利用错位相消法，即可求出数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知可得，即，即∴数列是公差为1的等差数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴（Ⅲ）由（Ⅱ）知b n=n•2nS n=1•2+2•22+3•23++n•2n2S n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1相减得： =2n+1﹣2﹣n•2n+1∴S n=（n﹣1）•2n+1+221．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，直线l过A（a，0），B（0，﹣b）两点，原点O到直线l的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若•=﹣23，求直线m的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）先求出直线l的方程，再点到直线的距离公式建立关于a，b，c的方程，解这个方程求出a，b，从而得到双曲线的方程．（2）设m方程为y=kx﹣1，则点M、N坐标（x1，y1），（x2，y2）是方程组的解，消去y，得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6=0．由根与系数关系和题设条件推导出k的值，从而求出直线m的方程．【解答】解：（1）依题意，l方程+=1，即bx﹣ay﹣ab=0，由原点O到l的距离为，得=，又e==，∴b=1，a=．故所求双曲线方程为﹣y2=1．（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx﹣1，则点M、N坐标（x1，y1），（x2，y2）是方程组的解，消去y，得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6=0．①依题意，1﹣3k2≠0，由根与系数关系，知x1+x2=，x1x2=•=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣1）（kx2﹣1）=（1+k2）x1x2﹣k（x1+x2）+1=﹣+1=+1．又∵•=﹣23，∴+1=﹣23，k=±，当k=±时，方程①有两个不相等的实数根，∴方程为y=x﹣1或y=﹣x﹣1．22．设函数的极值点．（I）若函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，求函数f（x）的解析式；（II）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（I）求导函数，利用x=1是函数f（x）的极值点，函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，可得f′（1）=0，f′（2）=，从而可求函数f（x）的解析式；（II）（x＞0），分类讨论：①若c＜0，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0；②若0＜c＜1，则f极大（x）=clnc，f极小（x）=；③若c≥1，则f极小（x）=clnc，f极大（x）=，由此可确定实数c的取值范围．【解答】解：（I）求导函数，可得∵x=1是函数f（x）的极值点，函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，∴f′（1）=0，f′（2）=∴∴b=﹣，c=∴函数f（x）的解析式为；（II）（x＞0）①若c＜0，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即∴②若0＜c＜1，则f极大（x）=f（c）=clnc+，f极小（x）=f（1）=∵b=﹣1﹣c，∴f极大（x）=clnc，f极小（x）=∴f（x）=0不可能有两解③若c≥1，则f极小（x）=clnc，f极大（x）=，∴f（x）=0只有一解综上可知，实数c的取值范围为．。
河南省郑州市2022学年高一下学期期末考试数学试卷
郑州市2022—2022学年下期期末考试高中一年级数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知平行四边形ABCD 中，向量()3,7AD =，()2,3AB =-，则向量AC 的坐标为（）()1,5.()2,7-C.()5,4D.()1,10【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则，结合平面向量坐标的加法运算可求得向量AC 的坐标.【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可得()()()2,33,71,10AC AB AD =+=-+=.故选：D.【点睛】本题考查平面向量加法的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.2.10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于()B.C.12D.12-【答案】A10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭=2πsin 3=,选A.3.某学校从编号依次为01，02，…，72的72个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12，21，则该样本中来自第四组的学生的编号为（）【答案】A 【解析】 【分析】根据相邻两个组的编号确定组矩，即可得解.【详解】由题：样本中相邻的两个组的编号分别为12，21，所以组矩为9，则第一组所取学生的编号为3，第四组所取学生的编号为30.故选：A【点睛】此题考查系统抽样，关键在于根据系统抽样方法确定组矩，依次求得每组选取的编号.4.下列函数中是偶函数且最小正周期为4π的是（）A.22cos4sin 4y x x =- B.sin 4y x = C.sin 2cos2y x x =+D.cos 2y x =【解析】 【分析】本题首先可将四个选项都转化为()sin y A ωx φ=+的形式，然后对四个选项的奇偶性以及周期性依次进行判断，即可得出结果．【详解】A 中，函数22cos4sin 4cos8y x x x =-=，是偶函数，周期为284T ππ==；B 中，函数是奇函数，周期242T ππ==；C 中，函数sin 2224y x cos x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，是非奇非偶函数，周期T π=；D 中，函数是偶函数，周期22T ππ==. 综上所述，故选A ．【点睛】本题考查对三角函数的奇偶性以及周期性的判断，考查三角恒等变换，偶函数满足()()f x f x -=，对于函数()sin y A ωx φ=+，其最小正周期为2T πω=，考查化归与转化思想，是中档题．5.已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为（）A.52C.72【答案】C【分析】由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．【详解】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，由平均数和方差的计算公式可得75558x ⨯+==，()227455782s ⨯+-==.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．6.已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.7- C.17-D.17【答案】D 【解析】 【分析】由平方关系求得sin θ，再由商数关系求得tan θ，最后由两角和的正切公式可计算．【详解】,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5θ=，3sin 5θ∴=-，3tan 4θ=-，tan tan14tan 471tan tan 4πθπθπθ+⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭-故选：D.【点睛】本题考查两角和的正切公式，考查同角间的三角函数关系．属于基础题．7.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数.将组成a的2个数字按从小到大排成的两位数记为I（a），按从大到小排成的两位数记为D（a）（例如a=75，则I（a）=57，D（a）=75），执行如图所示的程序框图，若输入的a=97，则输出的b=（）【答案】A【解析】【分析】根据程序框图输入a＝97，按程序框图执行即可得选项.【详解】由题意得:97,977918;==-=a b18,811863;a b ==-=63,633627a b ==-=；27,722745a b ==-=，45为5的倍数，所以输出45， 故选:A【点睛】本题主要考查了求程序框图的执行结果，属于基础题.8.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（）A.25B.12C.37 D.38【答案】D 【解析】 【分析】分别求出大圆面积和深色部分面积即可得解.【详解】设中心圆的半径为r ，所以中心圆的面积为2r π，8环面积为222945r r r πππ-=， 射击靶的面积为216r π，所以命中深色部分的概率为2263168r r ππ=. 故选：D【点睛】此题考查几何概型，属于面积型，关键在于准确求解面积，根据圆环特征分别求出面积即可得解.9.在ABC 中，2AB AC ==，且120BAC ︒∠=，若(01)BM BC λλ=<<，则()AM AB AC ⋅+=（）C.32D.12【答案】A 【解析】 【分析】取BC 的中点D ，连接DA ，根据()2AM AB AC AD AM ⋅+=⋅，即可得解.【详解】取BC 的中点D ，连接DA ，在ABC 中，2AB AC ==，且120BAC ︒∠=，所以,1DA BC AD ⊥=，2AB AC AD +=()22cos 22AM AB AC AD AM AD AM MAD AD AD ⋅+=⋅=⋅⋅∠=⋅=.故选：A【点睛】此题考查求向量的数量积，涉及平面向量的线性运算，根据数量积的几何意义求解，可以简化计算.10.若点(,1)6A π在函数()cos(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象上，为了得到函数y =sin （2x +3π）（x ∈R ）的图象，只需把曲线f （x ）上所有的点（）A.向左平行移动3π个单位长度B.向右平行移动3π个单位长度C.向右平行移动12π个单位长度 D.向左平行移动12π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】依次带入三个点计算得到3πϕ=-，再通过平移法则得到答案.【详解】当,16A π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上时，即cos 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-+∈， 当0k =时满足条件，故3πϕ=-. 所以()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又sin(2)cos(2)cos(2)3326y x x x ππππ=+=+-=-cos[2()]123x ππ=+-， 所以只需将()f x 的图象向左平移12π个单位长度得到y =sin （2x +3π）（x ∈R ）的图象故选：D.【点睛】本题考查了根据函数过点求参数，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力，属于中档题目.11.已知(2sin13,2sin 77),||1a a b ︒︒=-=，a 与a b -的夹角为3π，则a b ⋅=（）【答案】B 【解析】 【分析】利用a 与a b -的夹角为3π结合向量的夹角公式求解即可.【详解】因为a 与a b -的夹角为3π，且(2sin13a=2==.故()cos 3a a ba a bπ⋅-=⋅-，即214122aa ba b -⋅=⇒-⋅=，解得3a b ⋅=. 故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式运用、模长公式以及向量的夹角公式等.属于基础题.12.若关于x 的方程sin cos 2sin cos 10,,44x x x x a x ππ⎡⎤+-+-=∈-⎢⎥⎣⎦有两个不同解，则实数a 的取值范围为（）A.9(2,]4B.5[2,]2C.5(2,)2D.9[2,)4【答案】D 【解析】 【分析】换元设sin cos t x x =+，将原函数变为22192()24a t t t =-+=--+，根据函数图像得到答案.【详解】sin cos 2sin cos 10,,sin cos 2sin cos 144x x x x a x a x x x x ππ⎡⎤+-+-=∈-⇒=+-+⎢⎥⎣⎦设sin cos t x x =+，则22sin cos 1x x t =-sin cos 2sin(),4t x x x π=+=+,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，单调递增，则[0,2]t ∈22192()24a t t t =-+=--+如图：数a 的取值范围为9[2,)4故答案选D【点睛】本题考查了换元法，参数分离，函数图像，参数分离和换元法可以简化运算，是解题的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知向量3),(2,0)a b →→==，则|2|a b →→-=________【答案】23【解析】【分析】求得2a b →→-的坐标，根据向量模的公式计算即可.【详解】(1,3),(2,0)a b →→==,∴()2(1,3)2(2,0)3,3a b →→-=-=-, ∴|2|9323a b →→-=+=.故答案为：23【点睛】本题考查利用坐标求向量的模，考查计算能力，属于基础题.14.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为_________.【答案】56π【解析】 【分析】根据图像可得1(0)sin ,02f ϕϕπ==<<，根据0所在位置，处于函数的单调减区间，即可得解.【详解】由图可得：1(0)sin ,02f ϕϕπ==<<，56πϕ=或6π=ϕ 由于0在函数()f x 的单调减区间内， 所以56πϕ=.故答案为：56π 【点睛】此题考查根据三角函数的图象求参数的取值，常用代入法求解，判定初相的取值时，根据图象结合单调性取值.15.已知3sin()65x π+=-，则25sin ()sin()36x x ππ---的值________【答案】3125【解析】 分析】设6x πθ+=，将25sin ()sin()36x x ππ---转化为θ的函数，再利用诱导公式以及同角三角函数关系求解.【详解】设6x πθ+=，则3sin 5θ=-，所以2225sin ()sin()sin ()sin()cos sin 362x x πππθπθθθ---=---=-2233311sin sin 1()()5525θθ=--=----=故答案为：3125【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.16.在Rt ABC △中，90,3C AB ︒∠==.以C 为圆心，2为半径作圆，线段PQ 为该圆一条直径，则AP BQ ⋅的最小值为_________.【答案】-10 【解析】 【分析】向量变形为()()AP BQ AC CP BC CQ ⋅=+⋅+，化简得4CP BA ⋅-，转化为讨论夹角问题求解.【详解】由题线段PQ为该圆的一条直径，设,CP BA夹角为θ，可得：()()AP BQ AC CP BC CQ⋅=+⋅+()()=+⋅-2AC CP BC CP=⋅+⋅-⋅-AC BC CP BC AC CP CP()2=⋅--4CP BC AC CPCP BA=⋅-=⋅-6cos4CP BAθcos4θ=-，当,CP BA夹角为θπ=时取得最小值-10.故答案为：-10【点睛】此题考查求平面向量数量积的最小值，关键在于根据平面向量的运算法则进行变形，结合线性运算化简求得，此题也可建立直角坐标系，三角换元设坐标利用函数关系求最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量(3,2),(1,2),(4,1)==-=.a b c（1）求32+-；a b c（2）若()//(2)a kc b a +-，求实数k . 【答案】（1）()0,6（2）1613k =- 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算可得答案； （2）由向量平行的坐标运算条件可得答案. 【详解】（1）()()()3233,21,224,1a b c +-=+--()()()9,61,28,2=+--()0,6=·（2）()34,2a kc k k +=++，()25,2b a -=-，∵()()//2a kc b a +-，∴()()()234520k k ⨯+--⨯+=， 解之得：1613k =-·【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量平行的条件，属于基础题.18.疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产KN 95口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测试分数进行划分，其中分数不小于70的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取100件口罩进行检测，其结果如下：（1）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率； （2）根据表中数据，估计该公司口罩的平均测试分数；（3）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取5件，再从这5件口罩中随机抽取2件，求这2件口罩全是合格品的概率.【答案】（1）15；（2）77.8；（3）35.【解析】 【分析】（1）根据表中数据确定不合格的口罩数，再利用频数除以总数估计不合格率；（2）根据平均数计算公式直接求解；（3）先根据分层抽样确定抽取的5件口罩中不合格的1件，合格的4件，再利用枚举法列出基本事件总数以及至少有一件不合格品包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式以及对立事件概率公式求解.【详解】解：（1）在抽取的100件产品中，不合格的口罩有：4+16＝20（件）所以口罩为不合格品的频率为2011005=， 根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为15.（2）平均测试分数为554651675428524951477.8100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=·（3）由题意所抽取的5件口罩中不合格的1件，合格的4件.设4件合格口罩记为a ，b ，c ，d ，1件不合格口罩记为x . 若抽取的口罩中恰有1件不合格，则共有ax ，bx ，cx ，dx ，4种情况.·而从5件口罩中抽取2件，共有ab ，ac ，ad ，ax ，bc ，bd ，bx ，cd ，cx ，dx ，10种情况.所以2件口罩中至少有一件不合格品的概率为42105=. 故2件口罩全是合格品的概率为23155-=. 【点睛】本题考查平均数、频率、古典概型概率、分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.19.已知α，β为锐角，tan )ααβ=+=. （1）求cos 2α的值； （2）求tan (β-α)的值.【答案】（1）13-；（2）5【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，转化为齐次式求值；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.【详解】解：（1）由tan α=，得222222cos sin 1tan 121cos 2cos sin 1tan 123ααααααα---====-+++； （2）由α，β为锐角，得α+β∈（0，π），2α∈（0，π），又∵()cos 3αβ+=-，∴()sin αβ+==，sin()tan()cos()αβαβαβ++==+由tan α=，得22tan tan 21tan ααα==--则()()()()tan tan 2tan tan 21tan tan 25αβαβααβααβα+-⎡⎤-=+-==⎣⎦++ 【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.综上本题考查运算求解能力，是中档题. 20.已知函数(),[,]122f x x ππ=⋅∈a b ，其中2(3,cos ),(sin(2),4)3x x π==+-a b（1）求函数f (x )的单调递增区间； （2）求函数f （x ）的最大值和最小值.【答案】（1）,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最大值-1；最小值2-【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简，再根据两角和正弦公式展开，结合二倍角余弦公式以及辅助角公式化简，最后根据正弦函数单调性求结果；（2）先根据[,]122x ππ∈确定50266x ππ≤-≤，再根据正弦函数性质求最值.【详解】（1）()224cos 3f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭sin2cos cos2sin 33x x ππ⎫=+⎪⎭1cos242x +-⨯31cos22cos22cos22sin 2 2.22226x x x x x x π⎛⎫=+--=--=-- ⎪⎝⎭222,()262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈,()63k x k k Z ππππ[,],122x ππ∈所以函数f (x )的单调递增区间为,].123ππ[（2）∵122x ππ≤≤，可得50266x ππ≤-≤∴0sin 2 1.6x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭当3x π=时，函数()f x 有最大值-1； 当12x π=时，函数()f x 有最小值2-.【点睛】本题考查向量数量积、两角和正弦公式、二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.21.如图，四边形OQRP 为矩形，其中P ，Q 分别是函数()(0)f x x ωω=>图象上的一个最高点和最低点，O为坐标原点，R 为图象与x 轴的交点.求f （x ）的解析式.【答案】()32f x x π=【解析】 【分析】借助函数()f x 的最小正周期得出P ，Q 的坐标，矩形OQRP 中OP OQ ⊥，利用向量数量积运算可求出最小正周期，由()f x 的最小正周期可得ω的值，从而求出f （x ）的解析式.【详解】解：设函数()f x 的最小正周期为T ，则(3)4TP ，3(,3)4TQ -， 因为四边形OQRP 为矩形，得OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=， 即233016T -=，解得4T =，所以2242T πππω===，所以()32f x x π=.【点睛】本题考查利用三角函数函数图象求三角函数解析式，主要考查三角函数的周期性，考查理解辨析能力和运算求解能力，是中档题.22.红外线治疗仪的治疗作用是在红外线照射下，组织温度升高，毛细血管扩张，血流加快，物质代谢增强，组织细胞活力及再生能力提高，对我们身体某些疾病的治疗有着很大的贡献，某药店兼营某种红外线治疗仪，经过近5个月的营销，对销售状况进行相关数据分析，发现月销售量与销售价格有关，其统计数据如下表：（1）根据表中数据求y关于x的线性回归方程；（2）①每台红外线治疗仪的价格为165元时，预测红外线治疗仪的月销售量；（四舍五入为整数）②若该红外线治疗仪的成本为120元/台，药店为使每月获得最大的纯收益，利用（1）中结论，问每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为多少元？（四舍五入，精确到1元）.参考公式：回归直线方程y bx a=+，()()()121ˆni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，ˆa y bx=-.【答案】（1）0.96198.6y x=-+；（2）①红外线治疗仪的月销量为40台；②价格应定为163元.【解析】【分析】（1）计算出x 、y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求得b 和a 的值，即可得出y 关于x 的线性回归方程；（2）①将10x =代入回归直线方程，求得y 的值，即可得出红外线治疗仪的月销售量的预测值；②计算出药店每月获取得纯利()Q x 的函数解析式，利用二次函数的基本性质可求得()Q x 取最大值时对应的x 值，即可得解.【详解】（1）1401501601701801605x ++++==，6455453526455y ++++==， ()()()()()()22222521140160150160160160170160180160i i x x =-+-+-+-+=--∑1000=，()()51201910100010102019960i ii x x y y =--=-⨯⨯-⨯+⨯-⨯-⨯=-∑. ()()()1219600.961000ni ii n ii x x y y b x x ==---∴===--∑∑，450.96160198.6a y bx =-=+⨯=， y ∴关于x 的回归方程为0.96198.6y x =-+；（2）①由（1）知，当165x =时，0.96165198.640.240y =-⨯+=≈，答：每台红外线治疗仪的价格为165元时，红外线治疗仪的月销量为40台；②药店每月获取得纯利()()()20.96198.61200.96313.823832Q x x x x x =-+-=-+-. 所以当313.816320.96x =≈⨯时，()Q x 取得最大值.答：药店为使每月获得最大的纯收益，每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为163元.【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了利用回归直线方程与总体进行估计，考查计算能力，属于中等题.。
河南省2022学年高一数学下学期期末考试试题理
第二学期期末考试 高一数学试卷（理科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分）（1）从集合}2,1,2{-=A 中随机选取一个数记为a ，从集合}2,1,2{-=B 中随机选取一个数记为b ，则直线0=+-a y bx 不经过第四象限的概率为 A.31 B. 32 C. 92 D. 94（2）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 A.46，45，53 B.47，45，56 C.46，45，56 D.45，47，53 （3）已知向量)sin ,(cos ),3,2(θθ==b a ，若b a ⊥，则=θtan A. 32-B. 32C. 23-D. 23 （4）已知曲线x y C sin 1=：，曲线)32cos(2π-=x y C ：，则A. 曲线1C 横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位. B. 曲线1C 横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移12π个单位.C. 曲线1C 横坐标缩短到原来的21倍，再向左平移6π个单位.D. 曲线1C 横坐标缩短到原来的21倍，再向左平移12π个单位.（5）已知等比数列}{n a 中，且0>n a .若881=a a ，则=+++822212log ...log log a a aA. 4B. 8C. 12D. 6（6）已知等差数列}{n a 满足3,375-==a a ，则数列}||{n a 的前10项和为 A. 15 B. 75C. 45D. 60（7）在ABC ∆中，O 为ABC ∆的外心，且满足2||=AB ,则=⋅+⋅AB BO AB AO 2 A. 1 B. 2C. 4D. 01 2 52 0 23 3 3 1 24 4 8 9 45 5 5 7 7 8 8 9 5 0 0 1 1 4 7 96 17 8开始1S =结束1i =1000?S ≥i 输出2i i =+*S S i=是否（8）已知函数.,0,sin cos )(R x x x x f ∈>+=ωωω若曲线)(x f y =与直线1=y 的交点中，相邻交点的距离的最小值为43π，则)(x f y =的最小正周期为 A. 2πB . π C. π2 D . π3（9）已知程序框图如右，则输出的i 的值为A. 7B. 9C. 11D. 13(10) 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，cbA 2212cos 2+=，则ABC ∆的形状为A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形 （11）已知等差数列}{},{n n b a 的前n 项和为n n T S ,，且3212+-=n n T S n n .若数列}{n a 为递增数列，则使0<n a 的最大正整数n 为A. 6B. 7C. 5D. 4(12)已知函数0,cos sin 3)(>+=ωωωx x x f . 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为A.315π B. 33π C. 321π D.339π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）13.已知2tan =θ，则_____________cos sin sin 2=-θθθ. 14.在ABC △中，::2:3:4a b c =，则sin 2sin AC= ．15.在矩形ABCD 中，43==AD AB ，,点P 在以A 为圆心且与BD 相切的圆上，且在矩形ABCD 内，若μλμλ++=则,AD AB AP 的最大值为__________.16.如果数列}{n a 的前n 项和为nn S 21+=，则.________=n a三、解答题17.设函数2()sin()2cos 1366x xf x πππ=--+． (1)求()f x 的最小正周期;(2)若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当3[0,]2x ∈时()y g x =的最大值． 18.已知数列}{n a 是首项为正数的等差数列，数列}1{1+n n a a 的前n 项和为1+n n （1）求数列}{n a 的通项公式;（2）设nn n a b 2)12(•+=，求数列}{b n 的前n 项和n T .19.在锐角ABC ∆中，内角C B A 、、的对边为c b a 、、.且B cco B a C b s cos 2cos -=（1）求角B 的值;（2）设θ=A ,求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的取值范围.20.2016年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据： 上春晚次数x （单位：次） 2 4 6 8 10 粉丝数量y （单位：万人） 10204080100（Ⅰ）若该演员的粉丝数量y 与上春晚次数x 满足线性回归方程，试求回归方程^^^y b x a =+，并就此分析：该演员上春晚11次时的粉丝数量； （Ⅱ）若用(1,2,3,4,5)iiy i x =表示统计数据时粉丝的“即时均值”（精确到整数）： （1）求这5次统计数据时粉丝的“即时均值”的方差；（2）从“即时均值”中任选2组，求这两组数据之和不超过15的概率. 参考公式：()()()1122211,n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bxxnxx x -----⋅--===---∑∑∑∑用最小二乘法求线性回归方程系数公式：21.在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边为c b a 、、.且cb aC A -=2cos cos （1）求角A 的值;（2）设2=a ,求ABC ∆面积的取值范围.22.已知数列}{n a ，}{b n 满足)(),(211+++∈-=-N n b b a a n n n n （1）若,32,11+==n b a n 求数列}{n a 的通项公式;（2）若恒成立，对一切+∈++>==N n a b a n n n n λλ212,2,61求实数λ取值范围.答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D CADCBBDDBAB二、填空题13. 52 14.8715. 1 16. ⎩⎨⎧≥==-2,21,31n n a n n三、解答题17.（1）3cos 3cos 213sin 23)(x x x x f πππ--=3cos 233sin 23x x ππ-= )33sin 3ππ-=x （.........................4分所以函数的最小正周期为632==ππT .............5分（2）因为函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称， 所以)33sin(3]3)2(3sin[3)2()(xx x f x g ππππ-=--=-=.....7分 因为3[0,]2x ∈[,]3363xππππ-∈-所以.........9分所以]23,21[)33sin(-∈-x ππ，]23,23[)(-∈x g 。
2024届河南省平顶山市、许昌市、汝州数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析
2024届河南省平顶山市、许昌市、汝州数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．各项不为零的等差数列}{n a 中，23711440a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．4B ．8C ．16D ．642．已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使得45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是 A ．[0,1]B ．8[0,]5C ．1[,1]2-D ．18[,]25-3．已知向量a 与b 的夹角为60，2a =，1b =，当()2b a b λ⊥-时，实数λ为( ) A ．1B ．2C ．4D ．84．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1:3，母线长为6cm ，则己知圆锥的母线长为（ ）cm . A ．8B ．9C ．10D ．125．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递减的函数是（ ） A ．1y x=B ．21y x =+C ．21y x =-+D ．lg y x =6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．77．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．572π B ．632π C ．29πD ．32π8．下列关于函数()sin 1f x x =+（[0,2]x π）的叙述，正确的是（ ） A ．在[0,]π上单调递增，在[,2]ππ上单调递减 B ．值域为[2,2]-C ．图像关于点(,0)()k k Z π∈中心对称D ．不等式3()2f x >的解集为15|66x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭9．A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 10．如图，是上一点，分别以为直径作半圆，从作，与半圆相交于，，，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年河南省平顶山市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省平顶山市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z =5i 31−2i 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．数据71，73，79，83，89，90，96，98的25%分位数为（ ） A ．73B ．75C ．76D ．793．某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.24．已知向量a →=(−2，4)，b →=(−1，1)，则a →在b →上的投影向量为（ ） A ．(35，−65)B ．(−35，65)C ．（3，﹣3）D ．（﹣3，3）5．已知圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则它的侧面展开图的圆心角为（ ） A ．π2B ．πC ．4π3D ．3π26．在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →，则CD →=（ ） A ．12CM →+14BM →B ．14CM →+12BM →C ．13CM →+13BM →D ．13CM →−13BM →7．已知在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点M ，N 分别是BC ，BB 1的中点，则异面直线D 1M ，DN 所成角的余弦值为（ ） A ．17B ．√3514C ．914D ．678．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A +sin （A +C ）＝2sin C ，则（ ） A ．sin C 的最小值为12B ．sinC 的最大值为√32 C ．cos C 的最小值为0 D ．cos C 的最大值为12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．|z|=|z| B ．z −z 一定是虚数 C ．z +z 一定是实数D ．z 2≥010．从1～9这9个整数中随机取1个数，记M ，N 是此试验中的两个事件，且满足P （M ）=13，P （N ）=23，则下列说法正确的是（ ） A ．M 与N 是对立事件B ．若M ⊆N ，则P （MN ）=13C ．若P(MN)=19，则M 与N 相互独立D ．若P （M ∪N ）＝1，则M 与N 互斥11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且b ＝3，A ＝2B ，则下列说法正确的是（ ） A ．若c ＜b ，则△ABC 是钝角三角形 B ．△ABC 可能是顶角为钝角的等腰三角形C ．若a =3√3，则C =π2D ．若c ＝1，则a =2√312．如图所示，扇形OAB 的半径OA ＝4，∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点，点D ，E 是线段OB ，OA 上的动点且满足|OD →|=|AE →|，则CD →⋅CE →的值可以是（ ）A ．6B ．8C ．2√10D ．3√10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)，若(a →+2b →)⊥c →，则t ＝ ． 14．设一组样本数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的方差为5，则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差是 ．15．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为16，甲和乙两本书都买的概率为12，则小王买乙书的概率为 ．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，平面ABC ⊥平面P AB ，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z1＝t+（t2﹣1）i，z2＝sinθ+（2cosθ+1）i，其中t∈R，θ∈[0，π]．（1）若z1，z2∈R且z1＞z2，求t的值；（2）若z1＝z2，求θ．18．（12分）某型号新能源汽车近期升级一项新技术，现随机抽取了100名该技术的体验用户对该技术进行评分（满分100分），所有评分数据按照[84，88），[88，92），[92，96），[96，100]进行分组得到了如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计对该技术的评分的中位数；（2）现从评分在[84，88），[96，100]内的体验用户中按人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1B1，AB，AD的中点．（1）求平面AEC截正方体所得截面面积；（2）证明：平面AEC⊥平面MEF．20．（12分）如图所示，四边形ABCD的外接圆为圆O，BC＝2，AC＝3，tan B＝﹣2√2．（1）求sin∠ACB；（2）若∠COD＝∠AOD，求AD的长．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PD＝AB＝3AD＝3．（1）求点A到平面PBC的距离．（2）若E是P A的中点，F是PB上靠近点P的三等分点，棱PB上是否存在一点G使CG∥平面DEF？证明你的结论并求BG的长．22．（12分）某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖．每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中．甲、乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖．（1）若m＝60，求这两人中奖的概率；（2）若m＝240，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率．2022-2023学年河南省平顶山市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z =5i 31−2i在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：z =5i 31−2i =−5i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2−i ，则z 在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限． 故选：D ．2．数据71，73，79，83，89，90，96，98的25%分位数为（ ） A ．73B ．75C ．76D ．79解：8×25%＝2，该组数据的25%分位数为从小到大第2个数据和第3个数据的平均数 73+792=76．故选：C ．3．某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2解：前三年6月份最高气温小于30°C 的天数为5+7+24＝36，所以概率为3690=0.4，所以可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率0.4． 故选：C ．4．已知向量a →=(−2，4)，b →=(−1，1)，则a →在b →上的投影向量为（ ） A ．(35，−65)B ．(−35，65)C ．（3，﹣3）D ．（﹣3，3）解：∵a →⋅b →=2+4=6，b →2=2，∴a →在b →上的投影向量为：a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=62(−1，1)=(−3，3)．5．已知圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则它的侧面展开图的圆心角为（ ） A ．π2B ．πC ．4π3D ．3π2解：根据题意，设圆锥的高为h ，它的侧面展开图的圆心角θ， 圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则V =π×4×ℎ3=8√33π， 则h ＝2√3，故该圆锥的母线长l =√12+4=4， 则4θ＝2π×2，解可得θ＝π． 故选：B ．6．在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →，则CD →=（ ） A ．12CM →+14BM →B ．14CM →+12BM →C ．13CM →+13BM →D ．13CM →−13BM →解：如图，在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →， 则CD →=CM →+MD →⋯⋯①， BA →=BM →+MA →⋯⋯②，①×2+②可得：4CD →=2CM →+BM →，即CD →=12CM →+14BM →．故选：A ．7．已知在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点M ，N 分别是BC ，BB 1的中点，则异面直线D 1M ，DN 所成角的余弦值为（ ） A ．17B ．√3514C ．914D ．67解：延长BB 1至G ，使得B 1G ＝1，连接D 1G ，GM ， 易知D 1G ∥DN ，则∠MD 1G 为异面直线D 1M ，DN 所成角，因为D 1G =√32+22+12=√14，MG =√12+32=√10，D 1M =√12+32+22=√14，故△MD 1G 中，cos ∠MD 1G =D 1M 2+D 1G 2−MG 22D 1M⋅D 1G =14+14−102×14×14=914．8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A +sin （A +C ）＝2sin C ，则（ ） A ．sin C 的最小值为12B ．sinC 的最大值为√32 C ．cos C 的最小值为0 D ．cos C 的最大值为12解：由已知得sin A +sin B ＝2sin C ，根据正弦定理可得a +b ＝2c ， 根据余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab =(a+b)2−2ab−c 22ab =3c 22ab −1≥3c 22(a+b 2)2−1=32−1=12，当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以cos C 的最小值为12，sin 2C +cos 2C =1，从而sin C 的最大值为√32． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．|z|=|z| B ．z −z 一定是虚数 C ．z +z 一定是实数D ．z 2≥0解：对于ABC ，不妨设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 则z =a −bi ，对于A ，|z|=|z|=√a 2+b 2，故A 正确； 对于B ，z −z =(a +bi)−(a −bi)=2bi ， 当b ＝0时，z −z =0，故B 错误；对于C ，z +z =a +bi +a −bi =2a ∈R ，故C 正确； 对于D ，设z ＝i ， z 2＝﹣1＜0，故D 错误． 故选：AC ．10．从1～9这9个整数中随机取1个数，记M，N是此试验中的两个事件，且满足P（M）=13，P（N）=23，则下列说法正确的是（）A．M与N是对立事件B．若M⊆N，则P（MN）=13C．若P(MN)=19，则M与N相互独立D．若P（M∪N）＝1，则M与N互斥解：对于A，M与N不一定为对立事件，也有可能由交集，比如M为“抽出的数大于等于7”，N为“抽出的数大于等于8或小于等于4”，A错误；对于B，当M⊆N，则P（MN）＝P（M）=13，B正确；对于C，由P（M）=13，P（N）=23，可得P（N）＝1−23=13，则P（M N）＝P（M）P（N），可得M，N互相独立，即有M与N相互独立，C正确；对于D，由P（M）=13，P（N）=23，可得P（M）+P（N）＝P（M∪N）＝1，即有P（MN）＝0，M与N也可能由交集，比如M为“抽出的数小于等于3”，N为“抽出的数大于等于3且小于等于8”显然P（M∪N）=49+49+19=1，二者的交集是“抽出的数字为3”，互斥，D正确．故选：BCD．11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝3，A＝2B，则下列说法正确的是（）A．若c＜b，则△ABC是钝角三角形B．△ABC可能是顶角为钝角的等腰三角形C．若a=3√3，则C=π2D．若c＝1，则a=2√3解：对于A，若c＜b，则C＜B，由π＝A+B+C＜4B，得B＞π4，所以A＞π2，故A正确；对于C，由正弦定理得asinA =bsinB，即asin2B=bsinB，所以a2sinBcosB=bsinB，结合b＝3得a＝6cos B，若a＝3√3，则\cos B=√32，所以B=π6，A=π3，则C=π2，故C正确；对于B，若△ABC是等腰三角形，当A＝C时，A+B+C＝5B，则顶角B=π5为锐角，当B＝C时，A+B+C＝2A，则顶角A=π2为直角，即顶角不可能为钝角，故B错误；对于D ，由选项C 的分析可知a ＝6cos B ，再由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+1−92a ， 所以a ＝6×a 2+1−92a，整理得a 2＝12，所以a ＝2√3，故D 正确．故选：ACD ．12．如图所示，扇形OAB 的半径OA ＝4，∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点，点D ，E 是线段OB ，OA 上的动点且满足|OD →|=|AE →|，则CD →⋅CE →的值可以是（ ）A ．6B ．8C ．2√10D ．3√10解：∵∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点， ∴∠BOC =∠AOC =π3，设|AE |＝x ，（0≤x ≤4），则|OD |＝x ，|OE |＝4﹣x ， ∴CD →=OD →−OC →，CE →=OE →−OC →， ∴CD →⋅CE →=(OD →−OC →)⋅(OE →−OC →) =OD →⋅OE →−OD →⋅OC →−OC →⋅OE →+OC →2 =x ⋅(4−x)⋅(−12)−4x ⋅12−4(4−x)⋅12+16 =12x 2−2x +8=12(x −2)2+6，0≤x ≤4， ∴6≤CD →⋅CE →≤8，故AB 正确；又6=2√9＜2√10＜2√16=8，故C 正确； (3√10)2=90＞64=82，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)，若(a →+2b →)⊥c →，则t ＝ 32．解：a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)， 则a →+2b →=（1，2）+（﹣4，2）＝（﹣3，4）， ∵(a →+2b →)⊥c →，∴2×（﹣3）+4t ＝0，解得t =32． 故答案为：32．14．设一组样本数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的方差为5，则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差是 45 ．解：已知4＝1×3+1，7＝2×3+1，3a +1＝3×a +1， 3b +1＝3×b +1，16＝5×3+1，19＝6×3+1，25＝8×3+1，所以数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25是数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的3倍再加1， 则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差为32×5＝45． 故答案为：45．15．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为16，甲和乙两本书都买的概率为12，则小王买乙书的概率为34．解：设事件A 表示“小王买甲书”，事件B 表示“小王买乙书”， 由题意可知，事件A 与事件B 相互独立， 所以事件A 与事件B 也相互独立，所以P （A B ）＝P （A ）P （B ）＝P （A ）（1﹣P （B ））=16，即P （A ）﹣P （A ）P （B ）=16， 又因为P （AB ）＝P （A ）P （B ）=12，所以P （A ）=12+16=23，P （B ）=1223=34，即小王买乙书的概率为34．故答案为：34．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，平面ABC ⊥平面P AB ，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 40π ．解：因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外接圆圆心即点D ，三棱锥外接球球心在过点D 与平面ABC 垂直的直线上，即在平面P AB 内，所以球心即为△P AB 的外接圆圆心，球的半径即为△P AB 的外接圆半径R ，因为PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，所以BD =2√2，从而AD =2√2，设P A ＝x ，在△P AD 中，根据余弦定理有PA 2=22+(2√2)2−2×2×2√2cos3π4=20，所以PA =2√5， 由正弦定理得2R =2√5sin∠PBA =2√10，所以R =√10，所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝40π．故答案为：40π．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z 1＝t +（t 2﹣1）i ，z 2＝sin θ+（2cos θ+1）i ，其中t ∈R ，θ∈[0，π]．（1）若z 1，z 2∈R 且z 1＞z 2，求t 的值；（2）若z 1＝z 2，求θ．解：（1）由z 1，z 2∈R 且z 1＞z 2，可得{t 2−1=2cosθ+1=0t ＞sinθ，且θ∈[0，π]，解得t ＝1； （2）因为z 1＝z 2，所以{t =sinθt 2−1=2cosθ+1θ∈[0，π]，解得cos θ＝﹣1，所以θ＝π．18．（12分）某型号新能源汽车近期升级一项新技术，现随机抽取了100名该技术的体验用户对该技术进行评分（满分100分），所有评分数据按照[84，88），[88，92），[92，96），[96，100]进行分组得到了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并根据频率分布直方图，估计对该技术的评分的中位数；（2）现从评分在[84，88），[96，100]内的体验用户中按人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率．解：（1）因为4（0.025+0.075+0.1+a ）＝1，解得a ＝0.05，易得评分在[84，92）内的频率为4（0.025+0.075）＝0.4＜0.5，评分在[84，96）内的频率为4（0.025+0.075+0.1）＝0.8＞0.5，所以中位数在区间[92，96）内，则中位数为92+0.5−0.40.8−0.4×4=93；（2）易知这6人中评分在[84，88）内的有2人，记为x 、y ，评分在[96，100]内的有4人，记为a ，b ，c ，d ，则从这6人中随机抽取2人有：xy 、xa 、xb 、xc 、xd 、ya 、yb 、yc 、yd 、ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共15种情况，其中至少有一人评分在[84，88）内的有：xy 、xa 、xb 、xc 、xd 、ya 、yb 、yc 、yd 共9种情况，则这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率P =915=35． 19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是A 1B 1，AB ，AD 的中点．（1）求平面AEC 截正方体所得截面面积；（2）证明：平面AEC ⊥平面MEF ．解：（1）平面AEC 截正方体所得截面为梯形ACQE ，其中Q 为B 1C 1的中点，由题易知AC ＝2√2，EQ =√2，OC ＝AE =√5，∴梯形的高h =√5−12=√92=3√22，所以截面面积为√2+2√22×3√22=92． 证明：（2）连接BD ，∵M ，F 为AD ，AB 的中点，∴MF ∥BD ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴AC ⊥MF ，∵E ，F 分别是A 1B 1，AB 的中点，∴EF ∥AA 1，∵AA1⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥AC，又∵EF∩MF＝F，∴AC⊥平面MEF，又∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面MEF．20．（12分）如图所示，四边形ABCD的外接圆为圆O，BC＝2，AC＝3，tan B＝﹣2√2．（1）求sin∠ACB；（2）若∠COD＝∠AOD，求AD的长．解：（1）由tanB=−2√2，可得sinB=2√23，cosB=−13，设AB＝c（c＞0），在△ABC中，由余弦定理得9=4+c2−4c×(−13)，即c2+43c−5=0，解得c＝﹣3（舍去）或c=5 3，由正弦定理得sin∠ACB=c⋅sinB3=53×2√233=10√227．（2）∵∠COD＝∠AOD，∴AD＝CD，由已知得∠B+∠ADC＝π，∴cos∠ADC=1 3，设AD＝CD＝m（m＞0），在△ACD中，由余弦定理得9=m2+m2−2m2×13=43m2，所以m2=27 4，所以m=3√32，即AD=3√32．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PD＝AB＝3AD＝3．（1）求点A到平面PBC的距离．（2）若E是P A的中点，F是PB上靠近点P的三等分点，棱PB上是否存在一点G使CG∥平面DEF？证明你的结论并求BG的长．解：（1）因为AD∥BC，AD∉平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离即点D到平面PBC的距离，作DM⊥PC，垂足为M，如下图所示：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，又BC⊥CD，CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD，且交线为PC，又DM⊂平面PCD，所以DM⊥平面PBC，点D到平面PBC的距离即DM，在等腰直角△PCD中，PD＝CD＝3，所以DM=3×332=3√22，即点A到平面PBC的距离为3√2 2．证明：（2）存在满足条件的点G，且点G为线段PB上靠近点B的三等分点，证明如下：连接AC，BD交于点O，连接OG，AG，因为点F，G是PB的三等分点，所以F为PG的中点，G为BF的中点，在矩形ABCD中，O为BD的中点，所以OG∥DF，OG∉平面DEF，所以OG∥平面DEF，因为点E为P A的中点，所以EF∥AG，AG∉平面DEF，所以AG∥平面DEF，又因为OG∩AG＝G，OG，AG⊂平面ACG，所以平面ACG∥平面DEF，又因为CG⊂平面ACG，所以CG∥平面DEF，因为PB=√12+32+32=√19，所以BG=√193．22．（12分）某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖．每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中．甲、乙共有购物小票一张，购物金额为m 元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖．（1）若m ＝60，求这两人中奖的概率；（2）若m ＝240，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率．解：（1）记1个红球为a ，4个白球分别为b ，c ，d ，e ．则从箱子中随机摸出两球，样本点有：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10个样本点 其中含有红球的为：ab ，ac ，ad ，ae ，共4个样本点，所以在一次摸奖中，中奖概率为410=25． 当m ＝60时，甲、乙两人只能摸奖一次，所以他们中奖的概率为25．（2）当m ＝240时，他们可以摸奖4次．记事件第i 次由甲摸奖为A i （i ＝1，2，3，4），记第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖为事件B ， 则B =A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4，所以P(B)=P(A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4)，=P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)，=12×(25)3+12×25×35×35+12×35×35×25+12×35×25×35 =31125．。
河南省郑州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p ：0x ∃>，0y >，使得不等式(5x y λ+>++成立，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是（）A.52λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭B.53λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭C.54λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭D.55λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭2.已知 1.30.920.9, 1.3,log 3a b c ===，则（）A.a c b <<B.c a b <<C .a b c<< D.c b a<<3.将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()()242h x g x x x =-+-的零点个数为（）A.1B.2C.3D.44.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为123,,234且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A.14B.724C.1124D.17245.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.sin ()2xf x = B.cos ()2xf x = C.()sin 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()cos 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭6.在ABC 中，D 为BC 上一点，且3BD DC =，ABC CAD ∠=∠，2π3BAD ∠=，则tan ABC ∠=（）A.3913B.133C.33D.357.已知π02α<<，()2ππ1sin 2sin 2cos cos 2714αα+=，则α=（）A.3π14B.5π28C.π7D.π148.已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A.22z z= B.若1z =，则1i z --1+C.若()212i z =-，则复平面内z 对应的点位于第一象限D.若13i -是关于x 的方程20(R)x px q p q ++=∈,的一个根，则8q =-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知函数()()()sin 0,0,π2πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13⎛⎫-⎪⎝⎭，则（）A.11π6ϕ=B.3ω=C.()f x 在π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.方程()()21f x a a =-<<-在0,π]［内恰有4个互不相等的实根10.已知a ，b ，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）A.一定存在实数x ，y 使得a xb yc =+成立B.若a b a c ⋅=⋅，那么一定有()a b c⊥- C.若()()a c b c -⊥-，那么2a b a b c-=+- D .若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ，那么a ，b ，c 一定相互平行11.已知函数2()2sin cos 23cos f x x x x =-，则下列结论中正确的有（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.()f x 的对称轴为ππ32k x =+，k ∈Z C.()f x 的对称中心为ππ(0)3,2k +，k ∈ZD.()f x 的单调递增区间为π5π[π,π]1212k k -++，k ∈Z 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知142x y >->-，，且21x y +=，则19214x y +++的最小值为_________.13.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3COD AOC BOD S ∠=∠==扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________.14.已知点O 是ABC 的外心，60BAC ∠=︒，设AO mAB nAC =+，且实数m ，n 满足42m n +=，则mn 的值是___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b R ∈且0a >，函数4()4x xbf x a+=-是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）对任意(0,)x ∈+∞，不等式()02x mf x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.16.本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频率分布直方图.（1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在[)60,70的概率.17.已知ABC 的面积为9，点D 在BC 边上，2CD DB =．（1）若4cos 5BAC ∠=，AD DC =，①证明：sin 2sin ABD BAD ∠=∠；②求AC ；（2）若AB BC =，求AD 的最小值．18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r，2AFFB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.19.已知),cos2a x x =，()2cos ,1b x =- ，记()()R f x a b x =⋅∈（1）求函数()y f x =的值域；（2）求函数()y f x =，[]0,πx ∈的单调减区间；（3）若()π24F x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恰有2个零点12,x x ，求实数m 的取值范围和12x x +的值．2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
2024届河南省名校数学高一第二学期期末达标检测试题含解析
2024届河南省名校数学高一第二学期期末达标检测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数()sin()sin ((0,))2f x x x παααπ⎛⎫=+++-∈⎪⎝⎭的最大值是2，则α的值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π2．已知14sin 225αα+=,则4sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )A ．5-B ．5C ．45-D ．453．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 13a =-，则10S 等于 （ ） A ．18 B ．24C ．60D ．904．若110b a<<，则下列不等式不成立．．．的是( ) A ．11a b a>- B ．a b <C ．a b >D ．22a b >5．已知点()2,0A -，点()0,4B ，点P 在圆()()223420x y -+-=上，则使得APB ∆为直角三角形的点P 的个数为（ ） A ．5B ．2C ．3D ．46．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A ．16B ．17C ．18D ．197．已知()3,3a =，()1,0b =，则()2a b b -=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．38．设直线：，：，若与平行，则的值为（ ）A ．B ．0或C ．0D ．69．若,a b R +∈，24ab a b ++=，则+a b 的最小值为（ ） A ．2B ．61-C ．262-D ．263-10．已知直线()21:3120l x a y +--=，()21:103l x a y a +--=，若12//l l ，则a 的值为（ ） A ．1a =或2a =B ．1a =C ．2a =D ．2a =-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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河南省高一下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知△ABC和点M满足++=．若存在实数m使得+=m成立，则m=（）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
2. （2分）已知等差数列前17项和，则（）
A . 3
B . 6
C . 17
D . 51
3. （2分）已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
4. （2分）若，则是（）
A . 等边三角形
B . 有一内角是的三角形
C . 等腰直角三角形
D . 有一内角是的等腰三角形
5. （2分）正项等比数列{an}中，lga3+lga8+lga13=6，则a1a15的值为（）
A . 10000
B . 1000
C . 100
D . 10
6. （2分） (2019高一下·湖州期末) 已知数列满足，（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，则（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）在中，若，则这个三角形一定是（）
A . 等腰三角形
B . 直角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等边三角形
8. （2分） (2016高二上·弋阳期中) 已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）
A . ﹣3
B . 0
C . 1
D . 3
9. （2分） (2018高一下·瓦房店期末) 已知函数，若是函数的一条对称轴，且，则点所在直线为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2019高二上·郑州期中) 在中，，，，则
（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）已知=（1，2），=（﹣2，0），且k+与垂直，则k=（）
A . -1
B .
C .
D . -
12. （2分） (2020高二上·唐山月考) 已知，，且，则的最小值为（）
A . 2
B . 4
C . 6
D . 8
二、填空题 (共5题；共5分)
13. （1分）(2018·徐州模拟) 已知函数，函数，则不等式
的解集为________．
14. （1分）已知数列{an}满足a1=1，an+1•an=2n（n∈N*），则S2012=________
15. （1分） (2017高二下·黑龙江期末) 设的内角所对的边分别为，，，已知
为钝角，且，若，则的面积的最大值为________．
16. （1分）四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，则|+|=________
17. （1分） (2020高二下·莲湖期末) 若不等式对恒成立，则a的取值范围是________．
三、解答题 (共6题；共46分)
18. （10分） (2015高一下·兰考期中) 已知 =（1，2）， =（﹣3，2），当k为何值时：
（1） k + 与﹣3 垂直；
（2） k + 与﹣3 平行，平行时它们是同向还是反向？
19. （5分） (2017高一下·荔湾期末) 某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距 km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长
度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？
20. （1分） (2019高三上·丰城月考) 已知正项数列的前项和为，且
定义数列：对于正整数，是使得不等式成立的的最小值，则的前10项和是________．
21. （15分） (2019高二下·上海期末) 如图，在棱长为的正方体中，E，F，M分别是棱、和所在直线上的动点：
（1）求的取值范围：
（2）若N为面内的一点，且，，求的余弦值：
（3）若E、F分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点M，使平面 ?若能，试确定点M的位置，若不能，请说明理由.
22. （5分）已知f（x）=ax2+bx+1．
（1）若f（x）＞0的解集是（﹣1，2），求实数a，b的值．
（2）若A={x|f（x）＞0}，且﹣1∈A，2∈A，求3a﹣b的取值范围．
23. （10分）(2019·晋城模拟) 已知等比数列的前项和为，其中， . （1）求数列的通项公式；
（2）若为递增数列，求数列的前项和.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：略
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共5题；共5分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
答案：17-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共46分)答案：18-1、
答案：18-2、
考点：
解析：
答案：19-1、考点：
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答案：20-1、考点：
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答案：21-1、
答案：21-2、答案：21-3、
考点：解析：
答案：22-1、考点：
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答案：23-1、
答案：23-2、考点：
解析：。