中考数学数形结合思想复习课件
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中考数学复习 第四部分 专题三 数形结合思想课件
专题三 数形结合思想
数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就 是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量 关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合 起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题 得以解决的思考方法．运用这一数学思想解题，要熟练掌握一 些概念和运算的几何意义及常见图形中的代数特征．
(3)求第二档每月电费 y(单位：元)与用电量 x(单位：度)之间 的函数关系式；
(4)在每月用电量超过 230 度时，每月多用 1 度电要比第二 档多付电费 m 元，小刚家某月用电 290 度，交电费 153 元，求 m 的值．
图 Z3－1
(4)根据图象可得出：用电 230 度，需要付费 108 元，用电 140度，需要付费63元，故108－63＝45(元)，230－140＝90(度)， 45÷90＝0.5(元)，则第二档电费为 0.5 元/度．
实际问题的数形结合
例 1：(2012 年贵州遵义)为了促进节能减排，倡导节约用电， 某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图 Z3－1 中的折线反
映了每户每月用电电费 y(单位：元)与用电量 x(单位：度)间的函
数关系式．
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：
档次
第一档
第二档
第三档
每月用电量 x(度) 0＜x≤140 __________ __________ (2)小明家某月用电 120 度，需交电费________元；
∵小刚家某月用电 290 度，交电费 153 元， ∴290－230＝60(度)，153－108＝45(元)． ∴45÷60＝0.75(元)． ∴m＝0.75－0.5＝0.25.
数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就 是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量 关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合 起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题 得以解决的思考方法．运用这一数学思想解题，要熟练掌握一 些概念和运算的几何意义及常见图形中的代数特征．
(3)求第二档每月电费 y(单位：元)与用电量 x(单位：度)之间 的函数关系式；
(4)在每月用电量超过 230 度时，每月多用 1 度电要比第二 档多付电费 m 元，小刚家某月用电 290 度，交电费 153 元，求 m 的值．
图 Z3－1
(4)根据图象可得出：用电 230 度，需要付费 108 元，用电 140度，需要付费63元，故108－63＝45(元)，230－140＝90(度)， 45÷90＝0.5(元)，则第二档电费为 0.5 元/度．
实际问题的数形结合
例 1：(2012 年贵州遵义)为了促进节能减排，倡导节约用电， 某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图 Z3－1 中的折线反
映了每户每月用电电费 y(单位：元)与用电量 x(单位：度)间的函
数关系式．
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：
档次
第一档
第二档
第三档
每月用电量 x(度) 0＜x≤140 __________ __________ (2)小明家某月用电 120 度，需交电费________元；
∵小刚家某月用电 290 度，交电费 153 元， ∴290－230＝60(度)，153－108＝45(元)． ∴45÷60＝0.75(元)． ∴m＝0.75－0.5＝0.25.
数形结合专题课件
跟踪练习： 如图， 直线y=ax+b与双曲线y= k/x+c相交于A（1，3） ,B（-1，-2），两点，则ax+b〉k/x +c成立的x的取值 X>1或-1<x<0__。 范围是______
观察图像，由函数值到图像再到自变量 小结：
。
二：形的问题用数来解决
2.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它 们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角 形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三 角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y 关于x的函数图象是（ B ）
跟踪练习： 1如图,双曲线y1= (x>0)经过D(2,5), 双曲线y2= (x>0)经过C点，A点在y轴正半轴上，B（2,0）点在x 轴的正半轴上，若四边形ABCD是矩形 （1）求双曲线y1= (x<0)的解析式. (2)求A的坐标，双曲线y2= (x>0)解析式。
小结：
。
解： (1)双曲线y1= (x>0)经过D(2,5), ∴ y1=10/X (2)分别过D，C点作Y,X轴的垂线，垂足分别是E,F。 则△DEA ≌△CFB,∴AE=CF,DE=BF=2.△BFC ∽△AOB, ∴BF:AO=CF:BO ,设A点坐标为（0,m)，AE=CF=5-m∴ 2:m=(5-m):2，∴ m=1或4，当m=4时，不合题意， ∴ m=1,∴ C点坐标为（4,4）， ∴ y2=16/X.
专题复习--数形结合在函数中的应用
导入： 数形结合思想是一种重要的解题思想，用 这种思想指导，一些形的问题可以用数的 方法来处理，一些数的问题又可以用形帮 助解决，有时即要形又要数来共同帮助解 题，这也是中考命题中主要考查的一个内 容．是近年来中考的热点之一。
数学中考复习：数形结合思想PPT课件
距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。 （1）求这条抛物线的解析式； y
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池 外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5． 已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
中考复习
数形结合思想
2024/9/19
1
谈到“数形结合”，大多与函数问 题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反应了函数的性 质，
函数的解析式是从数量关系上反应 量与量之间的联系；
函数图象则直观地反应了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象 的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0
数形结合 PPT课件
4、用三角解决几何问题
11
例、如图在 ABC 中，已知 AB AC, CF、BE 分别是AB、AC边上的高， 求证：AB CF AC BE
分析：要证AB CF AC BE
只需证AB ACsin A AC ABsin A 即证AB AC (AB AC)sin A
一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、 见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
1、解析几何就是数形结合的光辉典范。 2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角
二、数形结合方法的应用 1、构造几何图形解决代数问题
例1、已知 x, y, z, r 都是正数，并且x2 y2 z2 , z x2 r 2 x2 求证：rz xy
证明：考虑单位正方形ABCD，对角线AC BD 2
AO a 2 b 2 BO (1 b)2 a 2
Aa
D
CO (1 a)2 (1 b)2 DO (1 a)2 b 2 由于AO CO AC BO DO BD
b O
所以原不等式成立，当且仅当AC BD O 时
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
13
2019/9/13
14
由相交弦定理可得(b z)a b(x a)EF AB Q (b y)a b(z a)EF CD R
ax by(1) 即az bx(2)
ay z) b (x y z) 由x y z 0 得a b代入(1)(2)(3)得x y z 即PQR为等边三角形
11
例、如图在 ABC 中，已知 AB AC, CF、BE 分别是AB、AC边上的高， 求证：AB CF AC BE
分析：要证AB CF AC BE
只需证AB ACsin A AC ABsin A 即证AB AC (AB AC)sin A
一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、 见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
1、解析几何就是数形结合的光辉典范。 2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角
二、数形结合方法的应用 1、构造几何图形解决代数问题
例1、已知 x, y, z, r 都是正数，并且x2 y2 z2 , z x2 r 2 x2 求证：rz xy
证明：考虑单位正方形ABCD，对角线AC BD 2
AO a 2 b 2 BO (1 b)2 a 2
Aa
D
CO (1 a)2 (1 b)2 DO (1 a)2 b 2 由于AO CO AC BO DO BD
b O
所以原不等式成立，当且仅当AC BD O 时
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
13
2019/9/13
14
由相交弦定理可得(b z)a b(x a)EF AB Q (b y)a b(z a)EF CD R
ax by(1) 即az bx(2)
ay z) b (x y z) 由x y z 0 得a b代入(1)(2)(3)得x y z 即PQR为等边三角形
中考数学专题复习数形结合-从简单处着手找规律公开课PPT课件
二、深入探究
......
例2 用大小相等的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个
小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，......按照这样的方法， 拼
成第n个正方形比第（n-1）个正方形多几个小正方形？
......
第1个正方形 第2个正方形
第3个正方形
第4个正方形
多了（1+2×2）个 多了（1+2×3）个 多了（1+2×4）个
特殊→一般→特殊
例1 用同样大小的棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆
下去，则第n个图需棋子
枚（用含n的代数式表示）.
......
①
②
③
从“形”的角度解答图形规律题
①
②
由_1 个 和（n-1） 个 组成
4+33（n+n1-1 ）
③
第n个图形
一、例题精讲
方法一：从“数”的角度解答图形规律题
特殊→一般→特殊
椅子 20
把．
2、下列每个图是由若干个圆点组成的形如四边形的图案，当每条边（包括顶点）
上有n（n≥2)个圆点时，图案的圆点数为Sn．按此规律推断Sn关于n的关系式为：
Sn= 4n-4
．
谢谢聆听
1、一张长方形桌子需配6把椅子，按如图方式将桌子拼在一起，那么8张桌子需配
椅子
把．
2、下列每个图是由若干个圆点组成的形如四边形的图案，当每条边（包括顶点）
上有n（n≥2)个圆点时，图案的圆点数为Sn．按此规律推断Sn关于n的关系式为：
Sn=
．
四、课后作业
1、一张长方形桌子需配6把椅子，按如图方式将桌子拼在一起，那么8张桌子需配
中考数学总复习专题四数形结合问题课件
(1)求点 A，点 B 的坐标. (2)若点 P 是 x 轴上任意一点，求证： PA －PB≤AB. (3)当 PA －PB 最大时，求点 P 的坐标.
(1)解：抛物线 y＝－14x2－x＋2 与 y 轴交于点 B， 令 x＝0 得 y＝2. ∴B(0，2) ∵y＝－14x2－x＋2＝－41(x＋2)2＋3 ∴A(－2，3).
(1)若一次函数y1＝x＋1的图象与y轴交于点B，求△ABO的 面积.
(2)利用函数图象直接写出当 y1＞y2 时，x 的取值范围.
解：(1)令 x＝0，则 y1＝1. ∴B(0，1). ∴OB＝1. ∴S△ABO＝12×1×1＝12.
(2)结合函数图象可得，当 y1＞y2 时，x＜1.
例2：如图，AB，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点 P 从 点 O 出发，沿 O→C→B→O 的路线匀速运动，设∠APD＝y(单位： 度)，那么 y 与点 P 运动的时间(单位：秒)的关系图是( )
A
B
C
D
答案：B
例 3：如下图，抛物线 y＝－41x2－x＋2 的顶点为 A，与 y 轴交 于点 B.
例1：甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明 阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时 出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离 s(单位：km)与运动 时间 t(单位：h)的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是 ()
A.两人出发 1 h 后相遇 B.赵明阳跑步的速度为 8 km/h C.王浩月到达目的地时两人相距 10 km D.王浩月比赵明阳提前 1.5 h 到目的地 答案：C
得方程组－ b＝2k2＋，b＝3，
解得k＝－12， b＝2，
∴y＝－12x＋2;
当 y＝0 时，x＝4.
(1)解：抛物线 y＝－14x2－x＋2 与 y 轴交于点 B， 令 x＝0 得 y＝2. ∴B(0，2) ∵y＝－14x2－x＋2＝－41(x＋2)2＋3 ∴A(－2，3).
(1)若一次函数y1＝x＋1的图象与y轴交于点B，求△ABO的 面积.
(2)利用函数图象直接写出当 y1＞y2 时，x 的取值范围.
解：(1)令 x＝0，则 y1＝1. ∴B(0，1). ∴OB＝1. ∴S△ABO＝12×1×1＝12.
(2)结合函数图象可得，当 y1＞y2 时，x＜1.
例2：如图，AB，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点 P 从 点 O 出发，沿 O→C→B→O 的路线匀速运动，设∠APD＝y(单位： 度)，那么 y 与点 P 运动的时间(单位：秒)的关系图是( )
A
B
C
D
答案：B
例 3：如下图，抛物线 y＝－41x2－x＋2 的顶点为 A，与 y 轴交 于点 B.
例1：甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明 阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时 出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离 s(单位：km)与运动 时间 t(单位：h)的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是 ()
A.两人出发 1 h 后相遇 B.赵明阳跑步的速度为 8 km/h C.王浩月到达目的地时两人相距 10 km D.王浩月比赵明阳提前 1.5 h 到目的地 答案：C
得方程组－ b＝2k2＋，b＝3，
解得k＝－12， b＝2，
∴y＝－12x＋2;
当 y＝0 时，x＝4.
中考数学函数思想与数形结合复习课件
第70讲 中考 复习专题(四) 函数思想与
数形结合 资邱中学 林存才
❖ 【教学目标】
❖ 通过学习、训练，使学生理解 和掌握函数思想和数形结合思 想并能运用函数思想和数形结 合思想解决问题.
❖ 【教学重、难点】
❖ 使学生能灵活运用函数思想和 数形结合思想解决问题.
一、题型归析
❖ 函数思想是一种对应思想，它 是用运动变化的观点来观察问 题、分析问题，并借助于函数 关系思考解决问题的一种数学 思想.数形结合思想就是把数量 与图形结合起来进行分析、研 究、解决问题的思维策略.在学 习中，充分利用问题中所提供 的数与形，不失时机地把数的 精确性与形的直观性结合起来， （即以形作为手段，数为目的， 比如应用函数的图像来直观地 说明函数的性质；或者是借助
二、例题解析
❖ 【例1】某商人将进货单价为8元的商品，按每件10元出售时， 每天可销售100件，现在他想采取提高售价的办法来增加利 润.已知这种商品每提价1元（每件）日销售量就减少10件， 请问他的想法能否实现，他把价格定为多少元时，才能使每 天获得的利润最大？最大利润是多少？若不能，请说明理由.
❖ B上在，x点轴C负在半x轴轴正半轴上，AC17=5,AB=
3 ，5
cos∠ACB= ,求过A,B,C三点的抛物线的解
析式.
❖ 【分析】要求抛物线解析式，需先求A3、B、
C三点的坐标，由图知，求坐标要先解5直角三
角形，求出OA、OC、OB的长度，在直角三
角形AOC中，由AC=5，cos∠ACB= 求得
❖ OA=4,OC=3. 在直角三角形AOB中求得OB=1, 结合图形和已知即可写出A、B、C三点的坐 标.
❖ 【思路点拨】本题要先结合图形求出三条线 段的长度，在根据线段长度得出点的坐标时， 一定要结合图形，根据点所在的坐标轴或象 限写出点的坐标.解答本题也是利用了数形结 合思想，正是把形的直观和数的精确有机的 结合起来.
数形结合 资邱中学 林存才
❖ 【教学目标】
❖ 通过学习、训练，使学生理解 和掌握函数思想和数形结合思 想并能运用函数思想和数形结 合思想解决问题.
❖ 【教学重、难点】
❖ 使学生能灵活运用函数思想和 数形结合思想解决问题.
一、题型归析
❖ 函数思想是一种对应思想，它 是用运动变化的观点来观察问 题、分析问题，并借助于函数 关系思考解决问题的一种数学 思想.数形结合思想就是把数量 与图形结合起来进行分析、研 究、解决问题的思维策略.在学 习中，充分利用问题中所提供 的数与形，不失时机地把数的 精确性与形的直观性结合起来， （即以形作为手段，数为目的， 比如应用函数的图像来直观地 说明函数的性质；或者是借助
二、例题解析
❖ 【例1】某商人将进货单价为8元的商品，按每件10元出售时， 每天可销售100件，现在他想采取提高售价的办法来增加利 润.已知这种商品每提价1元（每件）日销售量就减少10件， 请问他的想法能否实现，他把价格定为多少元时，才能使每 天获得的利润最大？最大利润是多少？若不能，请说明理由.
❖ B上在，x点轴C负在半x轴轴正半轴上，AC17=5,AB=
3 ，5
cos∠ACB= ,求过A,B,C三点的抛物线的解
析式.
❖ 【分析】要求抛物线解析式，需先求A3、B、
C三点的坐标，由图知，求坐标要先解5直角三
角形，求出OA、OC、OB的长度，在直角三
角形AOC中，由AC=5，cos∠ACB= 求得
❖ OA=4,OC=3. 在直角三角形AOB中求得OB=1, 结合图形和已知即可写出A、B、C三点的坐 标.
❖ 【思路点拨】本题要先结合图形求出三条线 段的长度，在根据线段长度得出点的坐标时， 一定要结合图形，根据点所在的坐标轴或象 限写出点的坐标.解答本题也是利用了数形结 合思想，正是把形的直观和数的精确有机的 结合起来.
中考数学总复习 专题一 数形结合思想课件
的第23题则体现了几何问题解决的过程中数形结合的重要
性，2017年的第21题则体现了统计中数形结合的重要性等， 它是数学中非常重要的数学方法之一，应该(yīnggāi)予以重视．
第三页，共十六页。
数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系
和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结 合思想．数、式能反映图形的准确性，图形能增强数、式 的直观性，“数形结合”可以调动和促进学生形象思维和
抽象思维的协调(xiétiáo)发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂
的数量关系中凸显最本质的特征．常见的情形：利用数
第四页，共十六页。
轴、函数的图象和性质、几何模型、方程与不等式以及数 式特征可以将代数(dàishù)问题转化为几何问题；利用代数(dàishù)计算、 几何图形特征可以将几何问题转化为代数问题；利用三角 知识解决几何问题；利用统计图表让统计数据更形象更直 观等．
No 值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：。的一部分，请画出该函数图象的另一。(3)观察函数图象，写出两条函数的。(4)①3 3 ②2
③－1＜a＜0。A
Image
12/9/2021
第十六页，共十六页。
第十二页，共十六页。
【归纳总结(zǒngjié) 此类题目需充分发挥图形的作用，从图中读出已知条件，借助图形解决问题是关键．
第十三页，共十六页。
1．(2017·威海)如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标(zuòbiāo) 为(－4，0)，点B在y轴上，若反比例函数y＝ (k≠0k )的图 象过点C，则该反比例函数的表达式为( ) A x
内容 总结 (nèiróng)
专题一 数形结合思想。体现了函数问题解决的过程中数形结合的重要性，2017年。的第23题则体现了几何问题解决的过程中数形结合的重 要。的直观性，“数形结合”可以调动和促进学生形象思维和。的数量关系中凸显最本质的特征(tèzhēng)．常见的情形：利用数。(1)自变量x的取
性，2017年的第21题则体现了统计中数形结合的重要性等， 它是数学中非常重要的数学方法之一，应该(yīnggāi)予以重视．
第三页，共十六页。
数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系
和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结 合思想．数、式能反映图形的准确性，图形能增强数、式 的直观性，“数形结合”可以调动和促进学生形象思维和
抽象思维的协调(xiétiáo)发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂
的数量关系中凸显最本质的特征．常见的情形：利用数
第四页，共十六页。
轴、函数的图象和性质、几何模型、方程与不等式以及数 式特征可以将代数(dàishù)问题转化为几何问题；利用代数(dàishù)计算、 几何图形特征可以将几何问题转化为代数问题；利用三角 知识解决几何问题；利用统计图表让统计数据更形象更直 观等．
No 值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：。的一部分，请画出该函数图象的另一。(3)观察函数图象，写出两条函数的。(4)①3 3 ②2
③－1＜a＜0。A
Image
12/9/2021
第十六页，共十六页。
第十二页，共十六页。
【归纳总结(zǒngjié) 此类题目需充分发挥图形的作用，从图中读出已知条件，借助图形解决问题是关键．
第十三页，共十六页。
1．(2017·威海)如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标(zuòbiāo) 为(－4，0)，点B在y轴上，若反比例函数y＝ (k≠0k )的图 象过点C，则该反比例函数的表达式为( ) A x
内容 总结 (nèiróng)
专题一 数形结合思想。体现了函数问题解决的过程中数形结合的重要性，2017年。的第23题则体现了几何问题解决的过程中数形结合的重 要。的直观性，“数形结合”可以调动和促进学生形象思维和。的数量关系中凸显最本质的特征(tèzhēng)．常见的情形：利用数。(1)自变量x的取
中考数学复习讲义课件 专题4 数形结合思想
☞示例 5 图 1 是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱 形铁块立放其中(圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上)．现将甲槽中的 水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度 y(厘米)与注水时间 x(分钟) 之间的关系如图 2 所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)图 2 中折线 ABC 表示 乙 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段 DE 表示 甲 槽中水的深度与注水时间之间的关系(以上两空选填“甲”或 “乙”)，点 B 的纵坐标表示的实际意义是 铁块的高度为 14 厘米(或乙槽 中水的深度达到 14 厘米时刚好淹没铁块，说出大意即可) .
n（n＋1）（2n＋1）
＝ 16n(n＋1)(2n＋1)
2
.
.因此，12＋22＋32＋…＋n2＝
图2
[解答] [由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为 n－1＋2＋n＝2n＋ 1，由此可得这三个三角形数阵中所有圆圈中数的总和为 3(12＋22＋32＋… ＋n2)＝(2n＋1)(1＋2＋3＋…＋n)＝(2n＋1)·n（n2＋1），所以 12＋22＋32＋… ＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．]
A．2495 C．127654
B．3565 D．230192
10．如图，△ABC 的面积为 1，分别取 AC，BC 两边的中点 A1，B1，则四
边形 A1ABB1 的面积为34，再分别取 A1C，B1C 的中点 A2，B2，A2C，B2C 的
中点 A3，B3，…，依次取下去，利用这一图形，能直观地计算出34＋432＋433＋… ＋43n＝ 1－41n .
(3)若乙槽底面积为 36 平方厘米(壁厚不计)，求乙槽中铁块的体积； [解答] 解：∵水由甲槽匀速注入乙槽， ∴乙槽前 4 分钟注入水的体积是后 2 分钟的 2 倍． 设乙槽底面积与铁块底面积之差为 S 平方厘米，则(14－2)S＝2×36×(19－ 14)，解得 S＝30. ∴铁块底面积为 36－30＝6(平方厘米)． ∴铁块的体积为 6×14＝84(立方厘米)．
中考数学专题复习——数形结合思想PPT课件
2 无论 m 为何实数，直线 y ＝ x ＋ 2m 与 y ＝－x＋4的交点不可能在 （ C） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
y
O
x
y＝－x＋4
3 已 知 二 次 函 数 y1 ＝ ax2 ＋ bx ＋ c （a≠0)与一次函数 y2＝kx ＋m(k≠0) 的 图 象 相 交 于 点 A( － 2,4) ， B(8,2) （如图所示），则能使 y1 ＞ y2成立的 x＜－2或x＞8 x的取值范围是＿＿＿＿＿
24 24 18 (3)中途加油＿＿升 (4)如果加油站离 12 目的地还有230公里， 6 车速为40公里/小时， 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （小时） t
要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 .
7、思考题：
已知：如图，直线y＝－√3 x/3＋1和x 轴、 y 轴分别相交于 A、 B 两点，以线段 AB 为 边在第一象限内作一个等边三角形ABC，点P 在第一象限内，且使△ABP与△ABC的面积相 y 等。（1）求C点坐标； （2）求直线PC的解析式； D （3）若点Q的坐标为 C (√3 m,m2－3),问点Q在 P B x 不在直线PC上？ A E O
2 例3：已知二次函数 y ax bx c 的图象如图所示
1、试判断a , b , c 的符号 2、点（b , 2a-b）在第
二
象限
3、若M= a b c a b c 则 （ A ） A、M > 0 B、 M = 0 C、M < 0 D、不能确定
2a b 2a b y
运用数形结合的方法，将 函数的解析式、图象和性 质三者有机地结合起来
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S
s 1
S
s 1
s 2
（A）
t
S
s 1
s 2
（B）
t
S
s 1
s 2
（C）
t
s 2
（D）
t
例3：如图中的图象(折线ABCDE)描述了一汽车在某一直路上的
行驶过程中，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间
的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶120千米；
②汽车在行驶途中停留了0.5小时； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为
保证∠1为 ( C)A．30° B．45° C．60°
D．75°
7
例2：“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：领先的兔子看着
缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时发现乌龟
快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终
点…，用
s 1
,
s
2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t
表示时间，则下列图象中，与故事情节相吻合的是 （ D ）
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
此函数自变量t的 取值范围是
42 36
＿＿0＿≤t＿≤5＿＿＿ 30
数形结合思想最明显地表现是利用直角坐标 系将几何问题与代数问题结合联系起来， “以形助数，用数解形”。这种思想是近年 来中考的热点之一，也是中考的高档题。
华罗庚 教授
数无形时不直观
形无数时难入微
例1：丁俊辉在的世界台球（中国）公开赛中获得
冠军，如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反 弹后能将7号球直接撞入袋中，那么击打白球时必须
.
马D
C
A B 士帅 相
9：右图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为
棋子，剩余的格点上没有棋子.我们约定跳
棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿
G
直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一
FE
步.已知点A为已方一枚棋子，欲将棋子A跳
进对方区域（阴影部分的格点），则跳行
D
的最少步数为（ ）
BC
y
O
x
y＝－x＋4
3 已 知 二 次 函 数 y1 ＝ ax2 ＋ bx ＋ c （ a≠0) 与 一 次 函 数 y2 ＝ kx ＋ m(k≠0) 的 图 象 相 交 于 点 A( － 2,4) ， B(8,2)
（如图所示），则能使y1＞y2成立的 x的取值范围是＿x＜＿－＿2＿或＿x＞8
y
y2 A －2 O
数学思想方法
分析法、综合法、 归纳法、反证法等
函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
二、数形结合思想---图形帮助解题
数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形 的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能 够从不同侧面认识事物，数形结合思想就是要使抽 象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维 与形象思维结合起来，华罗庚先生说过:“数与形 本是两依倚,焉能分作两边飞. 数缺形时少直观, 形 少数时难入微.”.数形结合思想是一种重要的解题 思想，用这种思想指导，一些几何问题可以用代数 方法来处理，一些代数问题又可以用几何图形帮助 解决，下面主要讲如何用图形帮助解题，这也是中 考命题中主要考查的一个内容．
80
千米/时；
④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶3 的速度在逐渐减小.
其中正确的说法共有
( A)
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
例4：下列选项中，（ C ）的解集如图所示。
A、 x4 3 B、 x4 3 C、x4 3 D、 x4 3
–7
–1
利用数轴解绝对值、不等式（组）等问题
例5：试比较 x 2与 x 的大小
∴0＝3×(﹣2)/2＋m， 0＝﹣(﹣2)/2＋n
∴m＝3，n＝﹣1 ∴两个一次函数解析式分别为
y＝3x/2＋3， y＝﹣x/2－1
x ∴它们与y轴的交点为B(0,3)C(0,﹣1)
∴画出草图，如图， BC＝∣3－（﹣1）∣＝4，AO＝2
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
中考复习
数形结合思想
03.07.2020
1
谈到“数形结合”，大多与函数问 题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反映了函数的性 质，
函数的解析式是从数量关系上反映 量与量之间的联系；
函数图象则直观地反映了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象 的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与图 形之间相互转化来解决数学问题的思想.
边在第一象限内作一个等边三角形ABC，点P
在第一象限内，且使△ABP与△ABC的面积相
等。（1）求C点坐标； y
（2）求直线PC的解析式； D
（3）若点Q的坐标为
C
(√3 m,m2－3),问点Q在
不在直线上？
B
OA
P
x
E
8：如图，如果士 所在位置的坐标为(-1,-2), 相所在位置的坐标
为
那么，马可以走的位置的坐标为
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0
(D)a－b＋c＞0
O何实数，直线y＝x＋2m与y ＝－x＋4的交点不可能在 （ C） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
“数”与“形”是相互联系的. 数轴与直角坐标系的建立，为“数”
与“形”的沟通提供了工具，使抽象的 数量关系有了形象直观的几何意义，而 直观图象的性质也常可用数量关系加以 精确地描述.
一. 数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等
数学思想 和方法
逻辑学中的方 法(或思维方法)
y1
B
8
x
4 某市民广场上要建造一个圆形的喷水池，并
在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处
装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向
上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所
示）。若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A
距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。 （1）求这条抛物线的解析式； y
目(的(43地))如中还果途有加加23油油0公站＿2里离＿4 ，升2114286
车速为40公里/小时， 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （t 小时） 要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 .
7、思考题：
已知：如图，直线y＝－√3 x/3＋1和x
轴、y轴分别相交于A、B两点，以线段AB为
y y x2
y x
1
-1 0 1
x
例6：已知二次函数 ya2xb xc的图象如图所示
1、试判断a , b , c 的符号
2、点（b , 2a-b）在第 二
象限
3、若M= a b c a b c 2 a b 2 a b
则 （A）
y
A、M > 0
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池 外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5． 已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
y
B
O
AC
解：∵一次函数y＝3x/2＋m和y＝ ﹣x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0）