与矩形有关的折叠问题

与矩形相关的折叠问题

在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题的一个突破口。下面从几个不同的层面展示一下。

例1、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．

(A )60° (B )75° (C )90° (D )95°

分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC 和折痕BD 就充当了角平分线的角色，即∠ABC =∠A /BC ,∠EBD =∠E /BD 。

例2、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O 。

（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。

（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。 （3）若AB =6,BC =8,则O 点到BD 的距离是 。

分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD 。另外，还可以从另一个角度分析。由折痕BD 可以找到 ∠OBD =∠CBD ，由于在矩形中，AD ∥BC ，∠ODB =∠CBD ，经过等量代换∠OBD ＝∠ODB ，然后等角对等边OB =OD 。这是在矩形折叠中比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中发挥作用的一类题目。因为AD ＝BC ，BC ＝BE ，因此在△ABO 中可以设AO ＝x ，则BO ＝OD ＝8－x ，因为AB ＝6，即可以根据勾股定理列等式：AB 2＋AO 2＝BO 2进行计算了。下面的这个题目就是用这个思路解决的。大家可以尝试一下。

例3、已知：如图，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB ，OA 分别在x 轴、y 轴上，点A 坐标为（0,3），∠OAB ＝60°,以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D 点的坐标.

O

A

C

B

E

D

例4、一个矩形纸片如图折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF 。 （1）找出图中全等的三角形，并证明。 （2）重合部分是什么图形？证明你的结论。

（3）连接BE ，并判断四边形BEDF 是什么特殊四边形，BD 与EF 有什么关系？并证明。

分析：此题的折叠不仅有前面几个问题中线段和角的对应相等，而且在折叠的过程中隐藏着EF 垂直平分BD ，这对于第三问中四边形形状的判断，有着重要的作用，这仍然是轴对称的性质。利用这些条件易证明△EOD ≌△BOF ，则有ED ＝BF ，且ED ∥BF ，首先四边形EBFD 是平行四边形，由于BD 、EF 互相垂直，所以就可说明四边形EBFD 是菱形。

例5、在矩形ABDC 中，把∠A 沿CF 折叠，点A 恰好落在矩形的对称中心E 处，若AB ＝a ，AC ＝b ，请你计算

b

a

的值。 分析：这个问题中的折叠，体现出来的看似只是一对

角的相等，其实还有矩形中心对称图形的特征。即点E 是

对角线的交点。由矩形的性质可以说明AE ＝DE ，因为折叠可知AC ＝CE ，因此可得：△CAE 是等边三角形，即∠ACB ＝60°，进而在直角△ACB 中解决两直角边的关系为3：１。

总之，由于矩形本身所独有的特征，例如直角、对角线相等这些区别于普通平行四边形的特征，使得折叠在矩形中会产生奇妙的结果，只要大家用心体会，善于总结归纳，一定会从中发现很多美妙的结论！

F

1 3

2 C

B

A

E

D A '

F

1 3

2 C

B

A

E

D A '

O

A

B

C

D

E

F

A B

C

D

E

F