复旦附中高一上期末(2020.1)

20．若函数 f(x) 满足：对于其定义域 D 内的任何一个自变量 x0 ，都有函数值 f(x0 ) D ， 则称函数 f(x) 在 D 上封闭．
（1）若下列函数的定义域为 D (0,1) ，试判断其中哪些在 D 上封闭，并说明理由．
f1(x) 2x 1 ， f2 (x) 2x 1 ；
（2）若函数
在 [1 ,1] 2
上递减，
[1, 2] 上递增，所以 2a [2, 5], a [1, 5]
2
4
18．（1）
f
(x)
为奇函数，
1 ax x 1
0
的解集关于原点对称，所以
a
1
．
此时
f(x)
log2
x x
1 1
,
(x
1或x
1)
，f (x )
log2
x x
1 1
log2
x x
1 1
f(x)
成立，故
①若 f(x0 ) x0 ， f(x0 ), x0 D ， f(x) 在 D 上单调递增，
f(f(x0 )) f(x0 ) ，即 x0 f(x0 ) ，矛盾；
②若 f(x0 ) x0 ， f(x0 ), x0 D ， f(x) 在 D 上单调递增，
f(f(x0 )) f(x0 ) ，即 x0 f(x0 ) ，矛盾．
m
6,
41 5 10
．
【第 12 题解析】（改编自 2015 闵行二模理 14）
f(x1) ≤ g(x2 ) f(x1)max ≤ g(x2 )min ，
而
lg(x
2)
R
，∴
a
0
，∴
g(x)
x
x 2
1
(x
2)
，
g(x)
的值域为
1 2
,
1 2
，
当 x 1时， f(x) 单调递减， f(x) f(1) 1 ，满足满足题设条件； 2
所以，假设不成立， f(x0 ) x0 ．
21．（1）
a
1
时，
f(x)
| x 1|, 2x , x
x 0
≥
0
当 x ≥ 0 时， f(x) | x 1|≥ 1 , x ≥ 5 或x ≤ 3 , x [0, 3] [5 , ) ；
44
4
44
当 x 0 时， f(x) 2x ≥ 1 , x ≥ 2, x [2, 0) ． 4
C． [3,5]
D．[0, 7)
三、解答题 17．已知函数 f(x) 4x a 2x1 1． （1）若 a 1，解方程： f(x) 4 ； （2）若 f(x) 在 [1,1] 上存在零点，求实数 a 的取值范围．
18．已知函数
f(x)
log2
1 ax x 1
的图像关于原点对称，其中
a
为常数．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
16．已知函数 f(x) m 2x x2 nx ，记集合 A {x | f(x) 0, x R} ，集合
B {x | f[f(x)] 0, x R} ，若 A B ，且都不是空集，则 m n 的取值范围是（ ）
A．[0, 4)
B． [1, 4)
【第 10 题解析】即 2f(x)min f(x)max ，
f(x)
ex ex
t 1
ex
1 t 1 ex 1
1
t 1 ex 1
，
①当 t 1 0 ，即 t 1 时， f(x) 在 R 上单调递减， f(x) (1, t) ，∴ 2 1≥ t ，解得 t (1, 2] ；
②当 t 1 0 ，即 t 1 时， f(x) 1 符合题意；
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
14．下列函数中既是偶函数，又在 (0, ) 上单调递增的是（ ）
A．
y
|
1 x
|
B． y x2
C． y | log2 x |
2
D． y x3
15．设函数 f(x) 的定义域为 R ，有下列三个命题：
（1）若存在常数 M ，使得对任意 x R , 有 f(x) ≤ M ，则 M 是函数 f(x) 的最大值；
综上所述， n [0, 4) ，则 m n 的取值范围是 [0, 4) ．
三、解答题 17．（1） f(x) 4x 2 2x 1 4 ， 2x 3 或 2x 1（舍）
方程的解为 x log2 3 ．
（2）令 t
2x
[1 2
, 2] ，则
t2
2at
1
0
，
2a
t2
1 t
t
1 t
，因为
t
1 t
f1(4 a) ≤ f(x) | 2x a2 | 在 x [0, ) 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
参考答案
一、填空题
1． (,5)
2． y x 1, (x ≥ 2)
3．
a2 2a
4．3
5． (1, )
6．1
7． (3, 0)
8． (1, 2]
9．2
10．[1 , 2] 2
11． (6, 41 5 ) 10
（1）求 a 的值；
（2）设集合
A
{x
|
7
4
x
≥1}
，B={x
|
f
(x)
log2
(x
1)
m}
，若
A
B
，求实数
m
的
取值范围．
19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作．生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成
为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的
生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器 x（百台），其 总成本为 P(x) （万元），其中固定成本为 12 万元，并且每生产 1 百台的生产成本为 10 万
③当 t 1 0 ，即 t 1 时， f(x) 在 R 上单调递增， f(x) (t,1) ，∴ 2 t ≥1 ，解得 t [1 ,1) ； 2
综上， t [1 , 2] ． 2
【第 11 题解析】（2016 杨浦二模理 13）
记
f(x)
4x
5 x
5x
4 x
x
9 x
,
9x
1 x
,
5x 5x
21．已知函数
f
(x)
|
x 2x
a
|
x ≥0 x 0
，其中
a
R
．
（1）若 a 1 ，解不等式 f(x) ≥ 1 ； 4
（2）设
a
0
，
g(x)
log2
f(
1 x
)
，若对任意的
t
[1 2
,
2]
，函数
g(x)
在区间[t, t
2]
上的最大
值和最小值的差不超过1，求实数 a 的取值范围；
（3）已知函数 y f(x) 存在反函数，其反函数记为 y f1(x) ．若关于 x 的不等式：
g(x)
5x a x2
的定义域为
(1, 2)
，是否存在实数
a
，使得
g(x)
在其定义域
(1,
2)
上
封闭？若存在，求出所有 a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．
（3）已知函数 f(x) 在其定义域 D 上封闭，且单调递增．若 x0 D 且 f(f(x0 )) x0 ，求证：
f(x0 ) x0 ．
复旦附中高一上期末数学试卷
一、填空题
1．函数 y log1 (5 x) 的定义域为
．
2
2．函数 f(x) x2 1(x ≤ 1) 的反函数为
．
3．已知 log2 3 a ，试用 a 表示 log9 12
．
4．幂函数 f(x) (a 1)x m2 2m3(a, m N) 为偶函数，且在 (0, ) 上是减函数，则
由 f[f(x)] (x2 nx)2 n(x2 nx) (x2 nx)(x2 nx n) 0 ．
若 n 0 时，则 A B {0} ，满足题意；
若 n 0 时，由方程 f(x) 0 的根为 0 和 n ．
而 0 和 n 不是方程 x2 nx n 0 的根，
所以方程 x2 nx n 0 无解，即 n2 4n 0 ，解得 n (0, 4)
4 x
4 x
≥0 0
x 9x
9 x
,
1 x
,
x≥2 5 5，
0x 2 5 5
函数图象如图所示，
研究函数单调性可得，
x
0,
1 3
时，
f(x)
单调递减，
x
1 3
,
2
5 5
时，
f
(x)
单调递增，
x
2
5 5
,
时，
f(x)
单调递减，
m
f
1 3
,
f
2
5 5
时，
原方程在
(0,
)
内恰有三个相异实根，即
19．（1）由题意得 P(x) 12 10x ,
则
f(x)
Q(x)
P(x)
0.5x2 12x 12,
212
10x,
x
16.
0
≤
x
≤16,
（2）当 x 16 时，函数 f(x) 递减，即有 f (x) 212 10 16 52 ；
当 0 ≤ x ≤16 时，函数 f(x) 0.5(x 12)2 60 当 x 12 时， f(x) 有最大值 60 52
综上可知，当工厂生产 12 百台时，可使利润最大为 60 万元．
20．（1）当 x (0,1) 时， f1(x) 2x 1 (1,1) ， f1(x) 在 D 上不封闭；
f2 (x) 2x 1 (0,1) ， f2 (x) 在 D 上封闭．
（2）设存在实数
a
，使得
g(x)
5x a x2
在
(1, 2)
m
的取
值范围是
．
x2 x k
12．已知函数
f
(x)
1 2
l百度文库g
1 3
x
x x
≤1 1 ，
g(x)
a
lg(x
2)
x
x 2
1
(a
R)
，若对任意的
x1, x2 x | x R, x 2 ，均有 f(x1) ≤ g(x2 ) ，则实数 k 的取值范围是
．
二、选择题
13．若命题甲： x 1 0 ，命题乙： lg2 x lg x 0 ，则命题甲是命题乙的（ ）
元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入 Q(x) （万元）满足
Q(x)
0.5x2
224,
(x
22x, 16)
(0
≤
x
≤16)
，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据
上述统计规律，请完成下列问题： （1）求利润函数 y f(x) 的解析式（利润＝销售收入 总成本）；
（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？
10．对于函数 y f(x),x D ，若对任意 a,b,c D ， f(a), f(b), f(c) 都可为某一三角形的三
边长，则称
f(x)
为“三角形函数”．已知
f(x)
ex ex
t 1
是三角形函数，则实数
t
的取值范围
是
．
11．若关于
x
的方程
(4x
5 x
)
|
5x
4 x
|
m
在
(0,
)
内恰好有三个相异实根，则实数
当 x ≤1，
f (x )max
f
1 2
k
1≤1 42
k≤3 4
；综上，
k
,
3 4
．
二、选择题
13．A 14．D 15．C 16．A 【第 16 题解析】（2019 杨浦一模 16）
设
x 0
A
，则
f
(x0
)
0
，
又 A B ，所以 x0 B ，即 f[f(x0 )] f(0) 0 ，所以 m 0 ， f(x) x2 nx ．
am
．
5．函数 y log3 (x2 x) 的递增区间为
．
6．方程 log2 (9x 5) log2 (3x 2) 2 的解为 x
．
2020.01
7．已知关于 x 的方程 x2 kx k2 k 4 0 有两个实数根，且一根大于 2，一根小于 2，则
实数 k 的取值范围为
．
8．若函数
上封闭，
即对一切
x
(1, 2)
，1
5x a x2
2
恒成立，
x 2 0,x 2 5x a 2x 4 ，
即 3x 4 a 4x 2 恒成立，
3x 4 (1, 2)a ≥2 ； 4x 2 (2, 6)a ≤ 2 ．
综上，满足条件的 a 2 ．
（3）假设 f(x0 ) x0 ，
12． (, 3] 4
【第 9 题解析】易知 f(x) 为 R 上单调递增的奇函数，从而可知 f1(x) 也是 R 上单调递增的
奇函数， F(x) f1(x 1) 1 是由 f1(x) 向右、向上平移 1 个单位，∴ F(x) 在 x [3,5] 上
单调递增，且关于点 (1,1) 中心对称，∴ M m 1 M m 2 ． 2
f(x)
x 3
6, loga
x,
x x
≤ 2, 2,
（
a
0
且
a
1 ）的值域是
[4,
)
，则实数
a
的取值范
围
．
9．已知 f(x) 1 (3x 3x ) 的反函数为 f1(x) ，当 x [3,5] 时，函数 F(x) f1(x 1) 1 的 2
最大值为 M ，最小值为 m ，则 M m
．
a
1 ．
（2） A [3, 7)
f(x) log2 (x 1) log2 (x 1) m 在 [3, 7) 上有解，
log2 (x 1) [2,3), m 2.
解 2： log2 (x 1) m,0 x 1 2m ， B (1, 2m 1)
A B , 2m 1 3, m 2.
（2）若存在 x0 R , 使得对任意 x R , 且 x x0 , 有 f(x) f(x0 ) ，则 f(x0 ) 是函数 f(x)
的最大值；
（3）若存在 x0 R , 使得对任意 x R , 有 f(x) ≤ f(x0 ) ，则 f(x0 ) 是函数 f(x) 的最大值．
这些命题中，真命题的个数是（ ）